Theorem coprmgcdb 12626

Description: Two positive integers are coprime, i.e. the only positive integer that divides both of them is 1, iff their greatest common divisor is 1. (Contributed by AV, 9-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
coprmgcdb	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) → 𝑖 = 1) ↔ (𝐴 gcd 𝐵) = 1))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑖   𝐵,𝑖

Proof of Theorem coprmgcdb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnz 9476	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℤ)
2		nnz 9476	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℤ)
3		gcddvds 12500	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2an 289	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵))
5		simpr 110	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵)) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵))
6		gcdnncl 12504	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ)
7	6	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵)) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ)
8		breq1 4086	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = (𝐴 gcd 𝐵) → (𝑖 ∥ 𝐴 ↔ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴))
9		breq1 4086	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = (𝐴 gcd 𝐵) → (𝑖 ∥ 𝐵 ↔ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵))
10	8, 9	anbi12d 473	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = (𝐴 gcd 𝐵) → ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) ↔ ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵)))
11		eqeq1 2236	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = (𝐴 gcd 𝐵) → (𝑖 = 1 ↔ (𝐴 gcd 𝐵) = 1))
12	10, 11	imbi12d 234	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = (𝐴 gcd 𝐵) → (((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) → 𝑖 = 1) ↔ (((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵) → (𝐴 gcd 𝐵) = 1)))
13	12	rspcv 2903	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ → (∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) → 𝑖 = 1) → (((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵) → (𝐴 gcd 𝐵) = 1)))
14	7, 13	syl 14	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵)) → (∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) → 𝑖 = 1) → (((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵) → (𝐴 gcd 𝐵) = 1)))
15	5, 14	mpid 42	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵)) → (∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) → 𝑖 = 1) → (𝐴 gcd 𝐵) = 1))
16	4, 15	mpdan 421	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) → 𝑖 = 1) → (𝐴 gcd 𝐵) = 1))
17		simpl 109	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) → (𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ))
18	17	anim1i 340	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ ℕ))
19	18	ancomd 267	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (𝑖 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ)))
20		3anass 1006	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ↔ (𝑖 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ)))
21	19, 20	sylibr 134	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ))
22		nndvdslegcd 12502	. . . . . 6 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) → 𝑖 ≤ (𝐴 gcd 𝐵)))
23	21, 22	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) → 𝑖 ≤ (𝐴 gcd 𝐵)))
24		breq2 4087	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 → (𝑖 ≤ (𝐴 gcd 𝐵) ↔ 𝑖 ≤ 1))
25	24	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (𝑖 ≤ (𝐴 gcd 𝐵) ↔ 𝑖 ≤ 1))
26		nnge1 9144	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑖)
27		nnre 9128	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ → 𝑖 ∈ ℝ)
28		1red 8172	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
29	27, 28	letri3d 8273	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ → (𝑖 = 1 ↔ (𝑖 ≤ 1 ∧ 1 ≤ 𝑖)))
30	29	biimprd 158	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ → ((𝑖 ≤ 1 ∧ 1 ≤ 𝑖) → 𝑖 = 1))
31	26, 30	mpan2d 428	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ → (𝑖 ≤ 1 → 𝑖 = 1))
32	31	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (𝑖 ≤ 1 → 𝑖 = 1))
33	25, 32	sylbid 150	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (𝑖 ≤ (𝐴 gcd 𝐵) → 𝑖 = 1))
34	33	adantll 476	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (𝑖 ≤ (𝐴 gcd 𝐵) → 𝑖 = 1))
35	23, 34	syld 45	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) → 𝑖 = 1))
36	35	ralrimiva 2603	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) → ∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) → 𝑖 = 1))
37	36	ex 115	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 → ∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) → 𝑖 = 1)))
38	16, 37	impbid 129	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) → 𝑖 = 1) ↔ (𝐴 gcd 𝐵) = 1))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1002   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∀wral 2508   class class class wbr 4083  (class class class)co 6007  1c1 8011   ≤ cle 8193  ℕcn 9121  ℤcz 9457   ∥ cdvds 12314   gcd cgcd 12490

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-mulrcl 8109  ax-addcom 8110  ax-mulcom 8111  ax-addass 8112  ax-mulass 8113  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-1rid 8117  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-precex 8120  ax-cnre 8121  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltwlin 8123  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-apti 8125  ax-pre-ltadd 8126  ax-pre-mulgt0 8127  ax-pre-mulext 8128  ax-arch 8129  ax-caucvg 8130

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-recs 6457  df-frec 6543  df-sup 7162  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198  df-sub 8330  df-neg 8331  df-reap 8733  df-ap 8740  df-div 8831  df-inn 9122  df-2 9180  df-3 9181  df-4 9182  df-n0 9381  df-z 9458  df-uz 9734  df-q 9827  df-rp 9862  df-fz 10217  df-fzo 10351  df-fl 10502  df-mod 10557  df-seqfrec 10682  df-exp 10773  df-cj 11369  df-re 11370  df-im 11371  df-rsqrt 11525  df-abs 11526  df-dvds 12315  df-gcd 12491

This theorem is referenced by:  coprmdvds1  12629