Theorem gcd0id 12508

Description: The gcd of 0 and an integer is the integer's absolute value. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
gcd0id	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 gcd 𝑁) = (abs‘𝑁))

Proof of Theorem gcd0id

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gcd0val 12489	. . . 4 ⊢ (0 gcd 0) = 0
2		oveq2 6015	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → (0 gcd 𝑁) = (0 gcd 0))
3		fveq2 5629	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → (abs‘𝑁) = (abs‘0))
4		abs0 11577	. . . . 5 ⊢ (abs‘0) = 0
5	3, 4	eqtrdi 2278	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → (abs‘𝑁) = 0)
6	1, 2, 5	3eqtr4a 2288	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 → (0 gcd 𝑁) = (abs‘𝑁))
7	6	adantl 277	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = 0) → (0 gcd 𝑁) = (abs‘𝑁))
8		df-ne 2401	. . 3 ⊢ (𝑁 ≠ 0 ↔ ¬ 𝑁 = 0)
9		0z 9465	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℤ
10		gcddvds 12492	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((0 gcd 𝑁) ∥ 0 ∧ (0 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
11	9, 10	mpan 424	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((0 gcd 𝑁) ∥ 0 ∧ (0 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
12	11	simprd 114	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 gcd 𝑁) ∥ 𝑁)
13	12	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (0 gcd 𝑁) ∥ 𝑁)
14		gcdcl 12495	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 gcd 𝑁) ∈ ℕ0)
15	9, 14	mpan 424	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 gcd 𝑁) ∈ ℕ0)
16	15	nn0zd 9575	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 gcd 𝑁) ∈ ℤ)
17		dvdsleabs 12364	. . . . . . 7 ⊢ (((0 gcd 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → ((0 gcd 𝑁) ∥ 𝑁 → (0 gcd 𝑁) ≤ (abs‘𝑁)))
18	16, 17	syl3an1 1304	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → ((0 gcd 𝑁) ∥ 𝑁 → (0 gcd 𝑁) ≤ (abs‘𝑁)))
19	18	3anidm12 1329	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → ((0 gcd 𝑁) ∥ 𝑁 → (0 gcd 𝑁) ≤ (abs‘𝑁)))
20	13, 19	mpd 13	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (0 gcd 𝑁) ≤ (abs‘𝑁))
21		zabscl 11605	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (abs‘𝑁) ∈ ℤ)
22		dvds0 12325	. . . . . . . 8 ⊢ ((abs‘𝑁) ∈ ℤ → (abs‘𝑁) ∥ 0)
23	21, 22	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (abs‘𝑁) ∥ 0)
24		iddvds 12323	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∥ 𝑁)
25		absdvdsb 12328	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ 𝑁 ↔ (abs‘𝑁) ∥ 𝑁))
26	25	anidms 397	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 ∥ 𝑁 ↔ (abs‘𝑁) ∥ 𝑁))
27	24, 26	mpbid 147	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (abs‘𝑁) ∥ 𝑁)
28	23, 27	jca 306	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((abs‘𝑁) ∥ 0 ∧ (abs‘𝑁) ∥ 𝑁))
29	28	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → ((abs‘𝑁) ∥ 0 ∧ (abs‘𝑁) ∥ 𝑁))
30		eqid 2229	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = 0
31	30	biantrur 303	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = 0 ↔ (0 = 0 ∧ 𝑁 = 0))
32	31	necon3abii 2436	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ≠ 0 ↔ ¬ (0 = 0 ∧ 𝑁 = 0))
33		dvdslegcd 12493	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((abs‘𝑁) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (0 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (((abs‘𝑁) ∥ 0 ∧ (abs‘𝑁) ∥ 𝑁) → (abs‘𝑁) ≤ (0 gcd 𝑁)))
34	33	ex 115	. . . . . . . . 9 ⊢ (((abs‘𝑁) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ (0 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → (((abs‘𝑁) ∥ 0 ∧ (abs‘𝑁) ∥ 𝑁) → (abs‘𝑁) ≤ (0 gcd 𝑁))))
35	9, 34	mp3an2 1359	. . . . . . . 8 ⊢ (((abs‘𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ (0 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → (((abs‘𝑁) ∥ 0 ∧ (abs‘𝑁) ∥ 𝑁) → (abs‘𝑁) ≤ (0 gcd 𝑁))))
36	21, 35	mpancom 422	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (¬ (0 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → (((abs‘𝑁) ∥ 0 ∧ (abs‘𝑁) ∥ 𝑁) → (abs‘𝑁) ≤ (0 gcd 𝑁))))
37	32, 36	biimtrid 152	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 ≠ 0 → (((abs‘𝑁) ∥ 0 ∧ (abs‘𝑁) ∥ 𝑁) → (abs‘𝑁) ≤ (0 gcd 𝑁))))
38	37	imp 124	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (((abs‘𝑁) ∥ 0 ∧ (abs‘𝑁) ∥ 𝑁) → (abs‘𝑁) ≤ (0 gcd 𝑁)))
39	29, 38	mpd 13	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (abs‘𝑁) ≤ (0 gcd 𝑁))
40	16	zred 9577	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 gcd 𝑁) ∈ ℝ)
41	21	zred 9577	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (abs‘𝑁) ∈ ℝ)
42	40, 41	letri3d 8270	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((0 gcd 𝑁) = (abs‘𝑁) ↔ ((0 gcd 𝑁) ≤ (abs‘𝑁) ∧ (abs‘𝑁) ≤ (0 gcd 𝑁))))
43	42	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → ((0 gcd 𝑁) = (abs‘𝑁) ↔ ((0 gcd 𝑁) ≤ (abs‘𝑁) ∧ (abs‘𝑁) ≤ (0 gcd 𝑁))))
44	20, 39, 43	mpbir2and 950	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (0 gcd 𝑁) = (abs‘𝑁))
45	8, 44	sylan2br 288	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (0 gcd 𝑁) = (abs‘𝑁))
46		zdceq 9530	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → DECID 𝑁 = 0)
47	9, 46	mpan2 425	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → DECID 𝑁 = 0)
48		exmiddc 841	. . 3 ⊢ (DECID 𝑁 = 0 → (𝑁 = 0 ∨ ¬ 𝑁 = 0))
49	47, 48	syl 14	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 = 0 ∨ ¬ 𝑁 = 0))
50	7, 45, 49	mpjaodan 803	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 gcd 𝑁) = (abs‘𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 713  DECID wdc 839   ∧ w3a 1002   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   ≠ wne 2400   class class class wbr 4083  ‘cfv 5318  (class class class)co 6007  0cc0 8007   ≤ cle 8190  ℕ₀cn0 9377  ℤcz 9454  abscabs 11516   ∥ cdvds 12306   gcd cgcd 12482

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8098  ax-resscn 8099  ax-1cn 8100  ax-1re 8101  ax-icn 8102  ax-addcl 8103  ax-addrcl 8104  ax-mulcl 8105  ax-mulrcl 8106  ax-addcom 8107  ax-mulcom 8108  ax-addass 8109  ax-mulass 8110  ax-distr 8111  ax-i2m1 8112  ax-0lt1 8113  ax-1rid 8114  ax-0id 8115  ax-rnegex 8116  ax-precex 8117  ax-cnre 8118  ax-pre-ltirr 8119  ax-pre-ltwlin 8120  ax-pre-lttrn 8121  ax-pre-apti 8122  ax-pre-ltadd 8123  ax-pre-mulgt0 8124  ax-pre-mulext 8125  ax-arch 8126  ax-caucvg 8127

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-recs 6457  df-frec 6543  df-sup 7159  df-pnf 8191  df-mnf 8192  df-xr 8193  df-ltxr 8194  df-le 8195  df-sub 8327  df-neg 8328  df-reap 8730  df-ap 8737  df-div 8828  df-inn 9119  df-2 9177  df-3 9178  df-4 9179  df-n0 9378  df-z 9455  df-uz 9731  df-q 9823  df-rp 9858  df-fz 10213  df-fzo 10347  df-fl 10498  df-mod 10553  df-seqfrec 10678  df-exp 10769  df-cj 11361  df-re 11362  df-im 11363  df-rsqrt 11517  df-abs 11518  df-dvds 12307  df-gcd 12483

This theorem is referenced by:  gcdid0  12509  nn0gcdsq  12730  dfphi2  12750