ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  gcd0id GIF version

Theorem gcd0id 11994
Description: The gcd of 0 and an integer is the integer's absolute value. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
gcd0id (𝑁 ∈ ℤ → (0 gcd 𝑁) = (abs‘𝑁))

Proof of Theorem gcd0id
StepHypRef Expression
1 gcd0val 11975 . . . 4 (0 gcd 0) = 0
2 oveq2 5896 . . . 4 (𝑁 = 0 → (0 gcd 𝑁) = (0 gcd 0))
3 fveq2 5527 . . . . 5 (𝑁 = 0 → (abs‘𝑁) = (abs‘0))
4 abs0 11081 . . . . 5 (abs‘0) = 0
53, 4eqtrdi 2236 . . . 4 (𝑁 = 0 → (abs‘𝑁) = 0)
61, 2, 53eqtr4a 2246 . . 3 (𝑁 = 0 → (0 gcd 𝑁) = (abs‘𝑁))
76adantl 277 . 2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = 0) → (0 gcd 𝑁) = (abs‘𝑁))
8 df-ne 2358 . . 3 (𝑁 ≠ 0 ↔ ¬ 𝑁 = 0)
9 0z 9278 . . . . . . . 8 0 ∈ ℤ
10 gcddvds 11978 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((0 gcd 𝑁) ∥ 0 ∧ (0 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
119, 10mpan 424 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → ((0 gcd 𝑁) ∥ 0 ∧ (0 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
1211simprd 114 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → (0 gcd 𝑁) ∥ 𝑁)
1312adantr 276 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (0 gcd 𝑁) ∥ 𝑁)
14 gcdcl 11981 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 gcd 𝑁) ∈ ℕ0)
159, 14mpan 424 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → (0 gcd 𝑁) ∈ ℕ0)
1615nn0zd 9387 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → (0 gcd 𝑁) ∈ ℤ)
17 dvdsleabs 11865 . . . . . . 7 (((0 gcd 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → ((0 gcd 𝑁) ∥ 𝑁 → (0 gcd 𝑁) ≤ (abs‘𝑁)))
1816, 17syl3an1 1281 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → ((0 gcd 𝑁) ∥ 𝑁 → (0 gcd 𝑁) ≤ (abs‘𝑁)))
19183anidm12 1305 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → ((0 gcd 𝑁) ∥ 𝑁 → (0 gcd 𝑁) ≤ (abs‘𝑁)))
2013, 19mpd 13 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (0 gcd 𝑁) ≤ (abs‘𝑁))
21 zabscl 11109 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → (abs‘𝑁) ∈ ℤ)
22 dvds0 11827 . . . . . . . 8 ((abs‘𝑁) ∈ ℤ → (abs‘𝑁) ∥ 0)
2321, 22syl 14 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → (abs‘𝑁) ∥ 0)
24 iddvds 11825 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁𝑁)
25 absdvdsb 11830 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁𝑁 ↔ (abs‘𝑁) ∥ 𝑁))
2625anidms 397 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁𝑁 ↔ (abs‘𝑁) ∥ 𝑁))
2724, 26mpbid 147 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → (abs‘𝑁) ∥ 𝑁)
2823, 27jca 306 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → ((abs‘𝑁) ∥ 0 ∧ (abs‘𝑁) ∥ 𝑁))
2928adantr 276 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → ((abs‘𝑁) ∥ 0 ∧ (abs‘𝑁) ∥ 𝑁))
30 eqid 2187 . . . . . . . . 9 0 = 0
3130biantrur 303 . . . . . . . 8 (𝑁 = 0 ↔ (0 = 0 ∧ 𝑁 = 0))
3231necon3abii 2393 . . . . . . 7 (𝑁 ≠ 0 ↔ ¬ (0 = 0 ∧ 𝑁 = 0))
33 dvdslegcd 11979 . . . . . . . . . 10 ((((abs‘𝑁) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (0 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (((abs‘𝑁) ∥ 0 ∧ (abs‘𝑁) ∥ 𝑁) → (abs‘𝑁) ≤ (0 gcd 𝑁)))
3433ex 115 . . . . . . . . 9 (((abs‘𝑁) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ (0 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → (((abs‘𝑁) ∥ 0 ∧ (abs‘𝑁) ∥ 𝑁) → (abs‘𝑁) ≤ (0 gcd 𝑁))))
359, 34mp3an2 1335 . . . . . . . 8 (((abs‘𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ (0 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → (((abs‘𝑁) ∥ 0 ∧ (abs‘𝑁) ∥ 𝑁) → (abs‘𝑁) ≤ (0 gcd 𝑁))))
3621, 35mpancom 422 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → (¬ (0 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → (((abs‘𝑁) ∥ 0 ∧ (abs‘𝑁) ∥ 𝑁) → (abs‘𝑁) ≤ (0 gcd 𝑁))))
3732, 36biimtrid 152 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 ≠ 0 → (((abs‘𝑁) ∥ 0 ∧ (abs‘𝑁) ∥ 𝑁) → (abs‘𝑁) ≤ (0 gcd 𝑁))))
3837imp 124 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (((abs‘𝑁) ∥ 0 ∧ (abs‘𝑁) ∥ 𝑁) → (abs‘𝑁) ≤ (0 gcd 𝑁)))
3929, 38mpd 13 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (abs‘𝑁) ≤ (0 gcd 𝑁))
4016zred 9389 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → (0 gcd 𝑁) ∈ ℝ)
4121zred 9389 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → (abs‘𝑁) ∈ ℝ)
4240, 41letri3d 8087 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → ((0 gcd 𝑁) = (abs‘𝑁) ↔ ((0 gcd 𝑁) ≤ (abs‘𝑁) ∧ (abs‘𝑁) ≤ (0 gcd 𝑁))))
4342adantr 276 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → ((0 gcd 𝑁) = (abs‘𝑁) ↔ ((0 gcd 𝑁) ≤ (abs‘𝑁) ∧ (abs‘𝑁) ≤ (0 gcd 𝑁))))
4420, 39, 43mpbir2and 945 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (0 gcd 𝑁) = (abs‘𝑁))
458, 44sylan2br 288 . 2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (0 gcd 𝑁) = (abs‘𝑁))
46 zdceq 9342 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → DECID 𝑁 = 0)
479, 46mpan2 425 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → DECID 𝑁 = 0)
48 exmiddc 837 . . 3 (DECID 𝑁 = 0 → (𝑁 = 0 ∨ ¬ 𝑁 = 0))
4947, 48syl 14 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 = 0 ∨ ¬ 𝑁 = 0))
507, 45, 49mpjaodan 799 1 (𝑁 ∈ ℤ → (0 gcd 𝑁) = (abs‘𝑁))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104  wb 105  wo 709  DECID wdc 835  w3a 979   = wceq 1363  wcel 2158  wne 2357   class class class wbr 4015  cfv 5228  (class class class)co 5888  0cc0 7825  cle 8007  0cn0 9190  cz 9267  abscabs 11020  cdvds 11808   gcd cgcd 11957
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917  ax-1cn 7918  ax-1re 7919  ax-icn 7920  ax-addcl 7921  ax-addrcl 7922  ax-mulcl 7923  ax-mulrcl 7924  ax-addcom 7925  ax-mulcom 7926  ax-addass 7927  ax-mulass 7928  ax-distr 7929  ax-i2m1 7930  ax-0lt1 7931  ax-1rid 7932  ax-0id 7933  ax-rnegex 7934  ax-precex 7935  ax-cnre 7936  ax-pre-ltirr 7937  ax-pre-ltwlin 7938  ax-pre-lttrn 7939  ax-pre-apti 7940  ax-pre-ltadd 7941  ax-pre-mulgt0 7942  ax-pre-mulext 7943  ax-arch 7944  ax-caucvg 7945
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-if 3547  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-iord 4378  df-on 4380  df-ilim 4381  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6155  df-2nd 6156  df-recs 6320  df-frec 6406  df-sup 6997  df-pnf 8008  df-mnf 8009  df-xr 8010  df-ltxr 8011  df-le 8012  df-sub 8144  df-neg 8145  df-reap 8546  df-ap 8553  df-div 8644  df-inn 8934  df-2 8992  df-3 8993  df-4 8994  df-n0 9191  df-z 9268  df-uz 9543  df-q 9634  df-rp 9668  df-fz 10023  df-fzo 10157  df-fl 10284  df-mod 10337  df-seqfrec 10460  df-exp 10534  df-cj 10865  df-re 10866  df-im 10867  df-rsqrt 11021  df-abs 11022  df-dvds 11809  df-gcd 11958
This theorem is referenced by:  gcdid0  11995  nn0gcdsq  12214  dfphi2  12234
  Copyright terms: Public domain W3C validator