Theorem flid 9619

Description: An integer is its own floor. (Contributed by NM, 15-Nov-2004.)

Assertion

Ref	Expression
flid	⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (⌊‘𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem flid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zq 9043	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)
2		flqle 9613	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)
3	1, 2	syl 14	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)
4		zre 8687	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
5	4	leidd 7933	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ≤ 𝐴)
6		flqge 9617	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐴 ≤ 𝐴 ↔ 𝐴 ≤ (⌊‘𝐴)))
7	1, 6	mpancom 413	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 ≤ 𝐴 ↔ 𝐴 ≤ (⌊‘𝐴)))
8	5, 7	mpbid 145	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ≤ (⌊‘𝐴))
9	1	flqcld 9612	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
10	9	zred 8801	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
11	10, 4	letri3d 7544	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → ((⌊‘𝐴) = 𝐴 ↔ ((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ (⌊‘𝐴))))
12	3, 8, 11	mpbir2and 888	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (⌊‘𝐴) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 103   = wceq 1287   ∈ wcel 1436   class class class wbr 3820  ‘cfv 4981   ≤ cle 7467  ℤcz 8683  ℚcq 9036  ⌊cfl 9603

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3932  ax-pow 3984  ax-pr 4010  ax-un 4234  ax-setind 4326  ax-cnex 7380  ax-resscn 7381  ax-1cn 7382  ax-1re 7383  ax-icn 7384  ax-addcl 7385  ax-addrcl 7386  ax-mulcl 7387  ax-mulrcl 7388  ax-addcom 7389  ax-mulcom 7390  ax-addass 7391  ax-mulass 7392  ax-distr 7393  ax-i2m1 7394  ax-0lt1 7395  ax-1rid 7396  ax-0id 7397  ax-rnegex 7398  ax-precex 7399  ax-cnre 7400  ax-pre-ltirr 7401  ax-pre-ltwlin 7402  ax-pre-lttrn 7403  ax-pre-apti 7404  ax-pre-ltadd 7405  ax-pre-mulgt0 7406  ax-pre-mulext 7407  ax-arch 7408

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rmo 2363  df-rab 2364  df-v 2617  df-sbc 2830  df-csb 2923  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3637  df-int 3672  df-iun 3715  df-br 3821  df-opab 3875  df-mpt 3876  df-id 4094  df-po 4097  df-iso 4098  df-xp 4417  df-rel 4418  df-cnv 4419  df-co 4420  df-dm 4421  df-rn 4422  df-res 4423  df-ima 4424  df-iota 4946  df-fun 4983  df-fn 4984  df-f 4985  df-fv 4989  df-riota 5569  df-ov 5616  df-oprab 5617  df-mpt2 5618  df-1st 5868  df-2nd 5869  df-pnf 7468  df-mnf 7469  df-xr 7470  df-ltxr 7471  df-le 7472  df-sub 7599  df-neg 7600  df-reap 7993  df-ap 8000  df-div 8079  df-inn 8358  df-n0 8607  df-z 8684  df-q 9037  df-rp 9067  df-fl 9605

This theorem is referenced by:  flqidm  9620  flqidz  9621  ceilid  9650  flqeqceilz  9653  zmod10  9675  phiprmpw  11080