Theorem flid 10643

Description: An integer is its own floor. (Contributed by NM, 15-Nov-2004.)

Assertion

Ref	Expression
flid	⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (⌊‘𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem flid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zq 9957	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)
2		flqle 10637	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)
3	1, 2	syl 14	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)
4		zre 9580	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
5	4	leidd 8787	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ≤ 𝐴)
6		flqge 10641	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐴 ≤ 𝐴 ↔ 𝐴 ≤ (⌊‘𝐴)))
7	1, 6	mpancom 422	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 ≤ 𝐴 ↔ 𝐴 ≤ (⌊‘𝐴)))
8	5, 7	mpbid 147	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ≤ (⌊‘𝐴))
9	1	flqcld 10636	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
10	9	zred 9699	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
11	10, 4	letri3d 8388	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → ((⌊‘𝐴) = 𝐴 ↔ ((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ (⌊‘𝐴))))
12	3, 8, 11	mpbir2and 953	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (⌊‘𝐴) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2203   class class class wbr 4108  ‘cfv 5351   ≤ cle 8308  ℤcz 9576  ℚcq 9950  ⌊cfl 10627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-cnex 8217  ax-resscn 8218  ax-1cn 8219  ax-1re 8220  ax-icn 8221  ax-addcl 8222  ax-addrcl 8223  ax-mulcl 8224  ax-mulrcl 8225  ax-addcom 8226  ax-mulcom 8227  ax-addass 8228  ax-mulass 8229  ax-distr 8230  ax-i2m1 8231  ax-0lt1 8232  ax-1rid 8233  ax-0id 8234  ax-rnegex 8235  ax-precex 8236  ax-cnre 8237  ax-pre-ltirr 8238  ax-pre-ltwlin 8239  ax-pre-lttrn 8240  ax-pre-apti 8241  ax-pre-ltadd 8242  ax-pre-mulgt0 8243  ax-pre-mulext 8244  ax-arch 8245

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-id 4413  df-po 4416  df-iso 4417  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-pnf 8309  df-mnf 8310  df-xr 8311  df-ltxr 8312  df-le 8313  df-sub 8445  df-neg 8446  df-reap 8848  df-ap 8855  df-div 8946  df-inn 9237  df-n0 9496  df-z 9577  df-q 9951  df-rp 9986  df-fl 10629

This theorem is referenced by:  flqidm  10644  flqidz  10645  ceilid  10676  flqeqceilz  10679  zmod10  10701  bits0  12630  bitsp1e  12634  phiprmpw  12915  fldivp1  13042