ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  gcdzeq GIF version

Theorem gcdzeq 11993
Description: A positive integer 𝐴 is equal to its gcd with an integer 𝐵 if and only if 𝐴 divides 𝐵. Generalization of gcdeq 11994. (Contributed by AV, 1-Jul-2020.)
Assertion
Ref Expression
gcdzeq ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵) = 𝐴𝐴𝐵))

Proof of Theorem gcdzeq
StepHypRef Expression
1 nnz 9248 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℤ)
2 gcddvds 11934 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵))
31, 2sylan 283 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵))
43simprd 114 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵)
5 breq1 4003 . . 3 ((𝐴 gcd 𝐵) = 𝐴 → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵𝐴𝐵))
64, 5syl5ibcom 155 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵) = 𝐴𝐴𝐵))
71adantr 276 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
8 iddvds 11782 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴𝐴)
97, 8syl 14 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴𝐴)
10 simpr 110 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℤ)
11 nnne0 8923 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ≠ 0)
12 simpl 109 . . . . . . . . 9 ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → 𝐴 = 0)
1312necon3ai 2396 . . . . . . . 8 (𝐴 ≠ 0 → ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))
1411, 13syl 14 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℕ → ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))
1514adantr 276 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))
16 dvdslegcd 11935 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → ((𝐴𝐴𝐴𝐵) → 𝐴 ≤ (𝐴 gcd 𝐵)))
177, 7, 10, 15, 16syl31anc 1241 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴𝐴𝐴𝐵) → 𝐴 ≤ (𝐴 gcd 𝐵)))
189, 17mpand 429 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴𝐵𝐴 ≤ (𝐴 gcd 𝐵)))
193simpld 112 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴)
20 gcdcl 11937 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ0)
211, 20sylan 283 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ0)
2221nn0zd 9349 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ)
23 simpl 109 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℕ)
24 dvdsle 11820 . . . . . 6 (((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 → (𝐴 gcd 𝐵) ≤ 𝐴))
2522, 23, 24syl2anc 411 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 → (𝐴 gcd 𝐵) ≤ 𝐴))
2619, 25mpd 13 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 gcd 𝐵) ≤ 𝐴)
2718, 26jctild 316 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴𝐵 → ((𝐴 gcd 𝐵) ≤ 𝐴𝐴 ≤ (𝐴 gcd 𝐵))))
2821nn0red 9206 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℝ)
29 nnre 8902 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
3029adantr 276 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℝ)
3128, 30letri3d 8050 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵) = 𝐴 ↔ ((𝐴 gcd 𝐵) ≤ 𝐴𝐴 ≤ (𝐴 gcd 𝐵))))
3227, 31sylibrd 169 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴𝐵 → (𝐴 gcd 𝐵) = 𝐴))
336, 32impbid 129 1 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵) = 𝐴𝐴𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104  wb 105   = wceq 1353  wcel 2148  wne 2347   class class class wbr 4000  (class class class)co 5868  cr 7788  0cc0 7789  cle 7970  cn 8895  0cn0 9152  cz 9229  cdvds 11765   gcd cgcd 11913
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-setind 4532  ax-iinf 4583  ax-cnex 7880  ax-resscn 7881  ax-1cn 7882  ax-1re 7883  ax-icn 7884  ax-addcl 7885  ax-addrcl 7886  ax-mulcl 7887  ax-mulrcl 7888  ax-addcom 7889  ax-mulcom 7890  ax-addass 7891  ax-mulass 7892  ax-distr 7893  ax-i2m1 7894  ax-0lt1 7895  ax-1rid 7896  ax-0id 7897  ax-rnegex 7898  ax-precex 7899  ax-cnre 7900  ax-pre-ltirr 7901  ax-pre-ltwlin 7902  ax-pre-lttrn 7903  ax-pre-apti 7904  ax-pre-ltadd 7905  ax-pre-mulgt0 7906  ax-pre-mulext 7907  ax-arch 7908  ax-caucvg 7909
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4289  df-po 4292  df-iso 4293  df-iord 4362  df-on 4364  df-ilim 4365  df-suc 4367  df-iom 4586  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-rn 4633  df-res 4634  df-ima 4635  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fn 5214  df-f 5215  df-f1 5216  df-fo 5217  df-f1o 5218  df-fv 5219  df-riota 5824  df-ov 5871  df-oprab 5872  df-mpo 5873  df-1st 6134  df-2nd 6135  df-recs 6299  df-frec 6385  df-sup 6976  df-pnf 7971  df-mnf 7972  df-xr 7973  df-ltxr 7974  df-le 7975  df-sub 8107  df-neg 8108  df-reap 8509  df-ap 8516  df-div 8606  df-inn 8896  df-2 8954  df-3 8955  df-4 8956  df-n0 9153  df-z 9230  df-uz 9505  df-q 9596  df-rp 9628  df-fz 9983  df-fzo 10116  df-fl 10243  df-mod 10296  df-seqfrec 10419  df-exp 10493  df-cj 10822  df-re 10823  df-im 10824  df-rsqrt 10978  df-abs 10979  df-dvds 11766  df-gcd 11914
This theorem is referenced by:  gcdeq  11994  isevengcd2  12128
  Copyright terms: Public domain W3C validator