ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  pcidlem GIF version

Theorem pcidlem 12280
Description: The prime count of a prime power. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
pcidlem ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑃 pCnt (𝑃𝐴)) = 𝐴)

Proof of Theorem pcidlem
StepHypRef Expression
1 simpl 108 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ ℙ)
2 prmnn 12068 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
31, 2syl 14 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ ℕ)
4 simpr 109 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℕ0)
53, 4nnexpcld 10635 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑃𝐴) ∈ ℕ)
61, 5pccld 12258 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑃 pCnt (𝑃𝐴)) ∈ ℕ0)
76nn0red 9193 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑃 pCnt (𝑃𝐴)) ∈ ℝ)
87leidd 8437 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑃 pCnt (𝑃𝐴)) ≤ (𝑃 pCnt (𝑃𝐴)))
95nnzd 9337 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑃𝐴) ∈ ℤ)
10 pcdvdsb 12277 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃𝐴) ∈ ℤ ∧ (𝑃 pCnt (𝑃𝐴)) ∈ ℕ0) → ((𝑃 pCnt (𝑃𝐴)) ≤ (𝑃 pCnt (𝑃𝐴)) ↔ (𝑃↑(𝑃 pCnt (𝑃𝐴))) ∥ (𝑃𝐴)))
111, 9, 6, 10syl3anc 1234 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → ((𝑃 pCnt (𝑃𝐴)) ≤ (𝑃 pCnt (𝑃𝐴)) ↔ (𝑃↑(𝑃 pCnt (𝑃𝐴))) ∥ (𝑃𝐴)))
128, 11mpbid 146 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑃↑(𝑃 pCnt (𝑃𝐴))) ∥ (𝑃𝐴))
133, 6nnexpcld 10635 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑃↑(𝑃 pCnt (𝑃𝐴))) ∈ ℕ)
1413nnzd 9337 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑃↑(𝑃 pCnt (𝑃𝐴))) ∈ ℤ)
15 dvdsle 11808 . . . . 5 (((𝑃↑(𝑃 pCnt (𝑃𝐴))) ∈ ℤ ∧ (𝑃𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑃↑(𝑃 pCnt (𝑃𝐴))) ∥ (𝑃𝐴) → (𝑃↑(𝑃 pCnt (𝑃𝐴))) ≤ (𝑃𝐴)))
1614, 5, 15syl2anc 409 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → ((𝑃↑(𝑃 pCnt (𝑃𝐴))) ∥ (𝑃𝐴) → (𝑃↑(𝑃 pCnt (𝑃𝐴))) ≤ (𝑃𝐴)))
1712, 16mpd 13 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑃↑(𝑃 pCnt (𝑃𝐴))) ≤ (𝑃𝐴))
183nnred 8895 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ ℝ)
19 prmuz2 12089 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ‘2))
20 eluz2gt1 9565 . . . . 5 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → 1 < 𝑃)
211, 19, 203syl 17 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → 1 < 𝑃)
22 nn0leexp2 10649 . . . 4 (((𝑃 ∈ ℝ ∧ (𝑃 pCnt (𝑃𝐴)) ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ0) ∧ 1 < 𝑃) → ((𝑃 pCnt (𝑃𝐴)) ≤ 𝐴 ↔ (𝑃↑(𝑃 pCnt (𝑃𝐴))) ≤ (𝑃𝐴)))
2318, 6, 4, 21, 22syl31anc 1237 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → ((𝑃 pCnt (𝑃𝐴)) ≤ 𝐴 ↔ (𝑃↑(𝑃 pCnt (𝑃𝐴))) ≤ (𝑃𝐴)))
2417, 23mpbird 166 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑃 pCnt (𝑃𝐴)) ≤ 𝐴)
25 iddvds 11770 . . . 4 ((𝑃𝐴) ∈ ℤ → (𝑃𝐴) ∥ (𝑃𝐴))
269, 25syl 14 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑃𝐴) ∥ (𝑃𝐴))
27 pcdvdsb 12277 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃𝐴) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐴 ≤ (𝑃 pCnt (𝑃𝐴)) ↔ (𝑃𝐴) ∥ (𝑃𝐴)))
281, 9, 4, 27syl3anc 1234 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐴 ≤ (𝑃 pCnt (𝑃𝐴)) ↔ (𝑃𝐴) ∥ (𝑃𝐴)))
2926, 28mpbird 166 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝐴 ≤ (𝑃 pCnt (𝑃𝐴)))
30 nn0re 9148 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℝ)
3130adantl 275 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℝ)
327, 31letri3d 8039 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → ((𝑃 pCnt (𝑃𝐴)) = 𝐴 ↔ ((𝑃 pCnt (𝑃𝐴)) ≤ 𝐴𝐴 ≤ (𝑃 pCnt (𝑃𝐴)))))
3324, 29, 32mpbir2and 940 1 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑃 pCnt (𝑃𝐴)) = 𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104   = wceq 1349  wcel 2142   class class class wbr 3990  cfv 5200  (class class class)co 5857  cr 7777  1c1 7779   < clt 7958  cle 7959  cn 8882  2c2 8933  0cn0 9139  cz 9216  cuz 9491  cexp 10479  cdvds 11753  cprime 12065   pCnt cpc 12242
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 610  ax-in2 611  ax-io 705  ax-5 1441  ax-7 1442  ax-gen 1443  ax-ie1 1487  ax-ie2 1488  ax-8 1498  ax-10 1499  ax-11 1500  ax-i12 1501  ax-bndl 1503  ax-4 1504  ax-17 1520  ax-i9 1524  ax-ial 1528  ax-i5r 1529  ax-13 2144  ax-14 2145  ax-ext 2153  ax-coll 4105  ax-sep 4108  ax-nul 4116  ax-pow 4161  ax-pr 4195  ax-un 4419  ax-setind 4522  ax-iinf 4573  ax-cnex 7869  ax-resscn 7870  ax-1cn 7871  ax-1re 7872  ax-icn 7873  ax-addcl 7874  ax-addrcl 7875  ax-mulcl 7876  ax-mulrcl 7877  ax-addcom 7878  ax-mulcom 7879  ax-addass 7880  ax-mulass 7881  ax-distr 7882  ax-i2m1 7883  ax-0lt1 7884  ax-1rid 7885  ax-0id 7886  ax-rnegex 7887  ax-precex 7888  ax-cnre 7889  ax-pre-ltirr 7890  ax-pre-ltwlin 7891  ax-pre-lttrn 7892  ax-pre-apti 7893  ax-pre-ltadd 7894  ax-pre-mulgt0 7895  ax-pre-mulext 7896  ax-arch 7897  ax-caucvg 7898
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 827  df-dc 831  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1352  df-fal 1355  df-nf 1455  df-sb 1757  df-eu 2023  df-mo 2024  df-clab 2158  df-cleq 2164  df-clel 2167  df-nfc 2302  df-ne 2342  df-nel 2437  df-ral 2454  df-rex 2455  df-reu 2456  df-rmo 2457  df-rab 2458  df-v 2733  df-sbc 2957  df-csb 3051  df-dif 3124  df-un 3126  df-in 3128  df-ss 3135  df-nul 3416  df-if 3528  df-pw 3569  df-sn 3590  df-pr 3591  df-op 3593  df-uni 3798  df-int 3833  df-iun 3876  df-br 3991  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-tr 4089  df-id 4279  df-po 4282  df-iso 4283  df-iord 4352  df-on 4354  df-ilim 4355  df-suc 4357  df-iom 4576  df-xp 4618  df-rel 4619  df-cnv 4620  df-co 4621  df-dm 4622  df-rn 4623  df-res 4624  df-ima 4625  df-iota 5162  df-fun 5202  df-fn 5203  df-f 5204  df-f1 5205  df-fo 5206  df-f1o 5207  df-fv 5208  df-isom 5209  df-riota 5813  df-ov 5860  df-oprab 5861  df-mpo 5862  df-1st 6123  df-2nd 6124  df-recs 6288  df-frec 6374  df-1o 6399  df-2o 6400  df-er 6517  df-en 6723  df-sup 6965  df-inf 6966  df-pnf 7960  df-mnf 7961  df-xr 7962  df-ltxr 7963  df-le 7964  df-sub 8096  df-neg 8097  df-reap 8498  df-ap 8505  df-div 8594  df-inn 8883  df-2 8941  df-3 8942  df-4 8943  df-n0 9140  df-z 9217  df-uz 9492  df-q 9583  df-rp 9615  df-fz 9970  df-fzo 10103  df-fl 10230  df-mod 10283  df-seqfrec 10406  df-exp 10480  df-cj 10810  df-re 10811  df-im 10812  df-rsqrt 10966  df-abs 10967  df-dvds 11754  df-gcd 11902  df-prm 12066  df-pc 12243
This theorem is referenced by:  pcid  12281  pcmpt  12299
  Copyright terms: Public domain W3C validator