Theorem mspropd 12647

Description: Property deduction for a metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
xmspropd.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
xmspropd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
xmspropd.3	⊢ (𝜑 → ((dist‘𝐾) ↾ (𝐵 × 𝐵)) = ((dist‘𝐿) ↾ (𝐵 × 𝐵)))
xmspropd.4	⊢ (𝜑 → (TopOpen‘𝐾) = (TopOpen‘𝐿))

Assertion

Ref	Expression
mspropd	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ MetSp ↔ 𝐿 ∈ MetSp))

Proof of Theorem mspropd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xmspropd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
2		xmspropd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
3		xmspropd.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((dist‘𝐾) ↾ (𝐵 × 𝐵)) = ((dist‘𝐿) ↾ (𝐵 × 𝐵)))
4		xmspropd.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘𝐾) = (TopOpen‘𝐿))
5	1, 2, 3, 4	xmspropd 12646	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ ∞MetSp ↔ 𝐿 ∈ ∞MetSp))
6	1	sqxpeqd 4565	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 × 𝐵) = ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)))
7	6	reseq2d 4819	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((dist‘𝐾) ↾ (𝐵 × 𝐵)) = ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))))
8	3, 7	eqtr3d 2174	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((dist‘𝐿) ↾ (𝐵 × 𝐵)) = ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))))
9	2	sqxpeqd 4565	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 × 𝐵) = ((Base‘𝐿) × (Base‘𝐿)))
10	9	reseq2d 4819	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((dist‘𝐿) ↾ (𝐵 × 𝐵)) = ((dist‘𝐿) ↾ ((Base‘𝐿) × (Base‘𝐿))))
11	8, 10	eqtr3d 2174	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) = ((dist‘𝐿) ↾ ((Base‘𝐿) × (Base‘𝐿))))
12	1, 2	eqtr3d 2174	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐾) = (Base‘𝐿))
13	12	fveq2d 5425	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Met‘(Base‘𝐾)) = (Met‘(Base‘𝐿)))
14	11, 13	eleq12d 2210	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ∈ (Met‘(Base‘𝐾)) ↔ ((dist‘𝐿) ↾ ((Base‘𝐿) × (Base‘𝐿))) ∈ (Met‘(Base‘𝐿))))
15	5, 14	anbi12d 464	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ∈ ∞MetSp ∧ ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ∈ (Met‘(Base‘𝐾))) ↔ (𝐿 ∈ ∞MetSp ∧ ((dist‘𝐿) ↾ ((Base‘𝐿) × (Base‘𝐿))) ∈ (Met‘(Base‘𝐿)))))
16		eqid 2139	. . 3 ⊢ (TopOpen‘𝐾) = (TopOpen‘𝐾)
17		eqid 2139	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
18		eqid 2139	. . 3 ⊢ ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) = ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)))
19	16, 17, 18	isms 12622	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ MetSp ↔ (𝐾 ∈ ∞MetSp ∧ ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ∈ (Met‘(Base‘𝐾))))
20		eqid 2139	. . 3 ⊢ (TopOpen‘𝐿) = (TopOpen‘𝐿)
21		eqid 2139	. . 3 ⊢ (Base‘𝐿) = (Base‘𝐿)
22		eqid 2139	. . 3 ⊢ ((dist‘𝐿) ↾ ((Base‘𝐿) × (Base‘𝐿))) = ((dist‘𝐿) ↾ ((Base‘𝐿) × (Base‘𝐿)))
23	20, 21, 22	isms 12622	. 2 ⊢ (𝐿 ∈ MetSp ↔ (𝐿 ∈ ∞MetSp ∧ ((dist‘𝐿) ↾ ((Base‘𝐿) × (Base‘𝐿))) ∈ (Met‘(Base‘𝐿))))
24	15, 19, 23	3bitr4g 222	1 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ MetSp ↔ 𝐿 ∈ MetSp))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1331   ∈ wcel 1480   × cxp 4537   ↾ cres 4541  ‘cfv 5123  Basecbs 11959  distcds 12030  TopOpenctopn 12121  Metcmet 12150  ∞MetSpcxms 12505  MetSpcms 12506

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1re 7714  ax-addrcl 7717

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-inn 8721  df-2 8779  df-3 8780  df-4 8781  df-5 8782  df-6 8783  df-7 8784  df-8 8785  df-9 8786  df-ndx 11962  df-slot 11963  df-base 11965  df-tset 12040  df-rest 12122  df-topn 12123  df-top 12165  df-topon 12178  df-topsp 12198  df-xms 12508  df-ms 12509

This theorem is referenced by: (None)