ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mspropd GIF version

Theorem mspropd 13840
Description: Property deduction for a metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xmspropd.1 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐾))
xmspropd.2 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐿))
xmspropd.3 (𝜑 → ((dist‘𝐾) ↾ (𝐵 × 𝐵)) = ((dist‘𝐿) ↾ (𝐵 × 𝐵)))
xmspropd.4 (𝜑 → (TopOpen‘𝐾) = (TopOpen‘𝐿))
Assertion
Ref Expression
mspropd (𝜑 → (𝐾 ∈ MetSp ↔ 𝐿 ∈ MetSp))

Proof of Theorem mspropd
StepHypRef Expression
1 xmspropd.1 . . . 4 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐾))
2 xmspropd.2 . . . 4 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐿))
3 xmspropd.3 . . . 4 (𝜑 → ((dist‘𝐾) ↾ (𝐵 × 𝐵)) = ((dist‘𝐿) ↾ (𝐵 × 𝐵)))
4 xmspropd.4 . . . 4 (𝜑 → (TopOpen‘𝐾) = (TopOpen‘𝐿))
51, 2, 3, 4xmspropd 13839 . . 3 (𝜑 → (𝐾 ∈ ∞MetSp ↔ 𝐿 ∈ ∞MetSp))
61sqxpeqd 4651 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵 × 𝐵) = ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)))
76reseq2d 4905 . . . . . 6 (𝜑 → ((dist‘𝐾) ↾ (𝐵 × 𝐵)) = ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))))
83, 7eqtr3d 2212 . . . . 5 (𝜑 → ((dist‘𝐿) ↾ (𝐵 × 𝐵)) = ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))))
92sqxpeqd 4651 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵 × 𝐵) = ((Base‘𝐿) × (Base‘𝐿)))
109reseq2d 4905 . . . . 5 (𝜑 → ((dist‘𝐿) ↾ (𝐵 × 𝐵)) = ((dist‘𝐿) ↾ ((Base‘𝐿) × (Base‘𝐿))))
118, 10eqtr3d 2212 . . . 4 (𝜑 → ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) = ((dist‘𝐿) ↾ ((Base‘𝐿) × (Base‘𝐿))))
121, 2eqtr3d 2212 . . . . 5 (𝜑 → (Base‘𝐾) = (Base‘𝐿))
1312fveq2d 5517 . . . 4 (𝜑 → (Met‘(Base‘𝐾)) = (Met‘(Base‘𝐿)))
1411, 13eleq12d 2248 . . 3 (𝜑 → (((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ∈ (Met‘(Base‘𝐾)) ↔ ((dist‘𝐿) ↾ ((Base‘𝐿) × (Base‘𝐿))) ∈ (Met‘(Base‘𝐿))))
155, 14anbi12d 473 . 2 (𝜑 → ((𝐾 ∈ ∞MetSp ∧ ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ∈ (Met‘(Base‘𝐾))) ↔ (𝐿 ∈ ∞MetSp ∧ ((dist‘𝐿) ↾ ((Base‘𝐿) × (Base‘𝐿))) ∈ (Met‘(Base‘𝐿)))))
16 eqid 2177 . . 3 (TopOpen‘𝐾) = (TopOpen‘𝐾)
17 eqid 2177 . . 3 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
18 eqid 2177 . . 3 ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) = ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)))
1916, 17, 18isms 13815 . 2 (𝐾 ∈ MetSp ↔ (𝐾 ∈ ∞MetSp ∧ ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ∈ (Met‘(Base‘𝐾))))
20 eqid 2177 . . 3 (TopOpen‘𝐿) = (TopOpen‘𝐿)
21 eqid 2177 . . 3 (Base‘𝐿) = (Base‘𝐿)
22 eqid 2177 . . 3 ((dist‘𝐿) ↾ ((Base‘𝐿) × (Base‘𝐿))) = ((dist‘𝐿) ↾ ((Base‘𝐿) × (Base‘𝐿)))
2320, 21, 22isms 13815 . 2 (𝐿 ∈ MetSp ↔ (𝐿 ∈ ∞MetSp ∧ ((dist‘𝐿) ↾ ((Base‘𝐿) × (Base‘𝐿))) ∈ (Met‘(Base‘𝐿))))
2415, 19, 233bitr4g 223 1 (𝜑 → (𝐾 ∈ MetSp ↔ 𝐿 ∈ MetSp))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105   = wceq 1353  wcel 2148   × cxp 4623  cres 4627  cfv 5214  Basecbs 12453  distcds 12536  TopOpenctopn 12676  Metcmet 13301  ∞MetSpcxms 13698  MetSpcms 13699
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4117  ax-sep 4120  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-cnex 7898  ax-resscn 7899  ax-1re 7901  ax-addrcl 7904
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-id 4292  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-iota 5176  df-fun 5216  df-fn 5217  df-f 5218  df-f1 5219  df-fo 5220  df-f1o 5221  df-fv 5222  df-ov 5874  df-oprab 5875  df-mpo 5876  df-1st 6137  df-2nd 6138  df-inn 8915  df-2 8973  df-3 8974  df-4 8975  df-5 8976  df-6 8977  df-7 8978  df-8 8979  df-9 8980  df-ndx 12456  df-slot 12457  df-base 12459  df-tset 12546  df-rest 12677  df-topn 12678  df-top 13358  df-topon 13371  df-topsp 13391  df-xms 13701  df-ms 13702
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator