Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mspropd GIF version

Theorem mspropd 12647
 Description: Property deduction for a metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xmspropd.1 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐾))
xmspropd.2 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐿))
xmspropd.3 (𝜑 → ((dist‘𝐾) ↾ (𝐵 × 𝐵)) = ((dist‘𝐿) ↾ (𝐵 × 𝐵)))
xmspropd.4 (𝜑 → (TopOpen‘𝐾) = (TopOpen‘𝐿))
Assertion
Ref Expression
mspropd (𝜑 → (𝐾 ∈ MetSp ↔ 𝐿 ∈ MetSp))

Proof of Theorem mspropd
StepHypRef Expression
1 xmspropd.1 . . . 4 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐾))
2 xmspropd.2 . . . 4 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐿))
3 xmspropd.3 . . . 4 (𝜑 → ((dist‘𝐾) ↾ (𝐵 × 𝐵)) = ((dist‘𝐿) ↾ (𝐵 × 𝐵)))
4 xmspropd.4 . . . 4 (𝜑 → (TopOpen‘𝐾) = (TopOpen‘𝐿))
51, 2, 3, 4xmspropd 12646 . . 3 (𝜑 → (𝐾 ∈ ∞MetSp ↔ 𝐿 ∈ ∞MetSp))
61sqxpeqd 4565 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵 × 𝐵) = ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)))
76reseq2d 4819 . . . . . 6 (𝜑 → ((dist‘𝐾) ↾ (𝐵 × 𝐵)) = ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))))
83, 7eqtr3d 2174 . . . . 5 (𝜑 → ((dist‘𝐿) ↾ (𝐵 × 𝐵)) = ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))))
92sqxpeqd 4565 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵 × 𝐵) = ((Base‘𝐿) × (Base‘𝐿)))
109reseq2d 4819 . . . . 5 (𝜑 → ((dist‘𝐿) ↾ (𝐵 × 𝐵)) = ((dist‘𝐿) ↾ ((Base‘𝐿) × (Base‘𝐿))))
118, 10eqtr3d 2174 . . . 4 (𝜑 → ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) = ((dist‘𝐿) ↾ ((Base‘𝐿) × (Base‘𝐿))))
121, 2eqtr3d 2174 . . . . 5 (𝜑 → (Base‘𝐾) = (Base‘𝐿))
1312fveq2d 5425 . . . 4 (𝜑 → (Met‘(Base‘𝐾)) = (Met‘(Base‘𝐿)))
1411, 13eleq12d 2210 . . 3 (𝜑 → (((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ∈ (Met‘(Base‘𝐾)) ↔ ((dist‘𝐿) ↾ ((Base‘𝐿) × (Base‘𝐿))) ∈ (Met‘(Base‘𝐿))))
155, 14anbi12d 464 . 2 (𝜑 → ((𝐾 ∈ ∞MetSp ∧ ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ∈ (Met‘(Base‘𝐾))) ↔ (𝐿 ∈ ∞MetSp ∧ ((dist‘𝐿) ↾ ((Base‘𝐿) × (Base‘𝐿))) ∈ (Met‘(Base‘𝐿)))))
16 eqid 2139 . . 3 (TopOpen‘𝐾) = (TopOpen‘𝐾)
17 eqid 2139 . . 3 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
18 eqid 2139 . . 3 ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) = ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)))
1916, 17, 18isms 12622 . 2 (𝐾 ∈ MetSp ↔ (𝐾 ∈ ∞MetSp ∧ ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ∈ (Met‘(Base‘𝐾))))
20 eqid 2139 . . 3 (TopOpen‘𝐿) = (TopOpen‘𝐿)
21 eqid 2139 . . 3 (Base‘𝐿) = (Base‘𝐿)
22 eqid 2139 . . 3 ((dist‘𝐿) ↾ ((Base‘𝐿) × (Base‘𝐿))) = ((dist‘𝐿) ↾ ((Base‘𝐿) × (Base‘𝐿)))
2320, 21, 22isms 12622 . 2 (𝐿 ∈ MetSp ↔ (𝐿 ∈ ∞MetSp ∧ ((dist‘𝐿) ↾ ((Base‘𝐿) × (Base‘𝐿))) ∈ (Met‘(Base‘𝐿))))
2415, 19, 233bitr4g 222 1 (𝜑 → (𝐾 ∈ MetSp ↔ 𝐿 ∈ MetSp))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1331   ∈ wcel 1480   × cxp 4537   ↾ cres 4541  ‘cfv 5123  Basecbs 11959  distcds 12030  TopOpenctopn 12121  Metcmet 12150  ∞MetSpcxms 12505  MetSpcms 12506 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1re 7714  ax-addrcl 7717 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-inn 8721  df-2 8779  df-3 8780  df-4 8781  df-5 8782  df-6 8783  df-7 8784  df-8 8785  df-9 8786  df-ndx 11962  df-slot 11963  df-base 11965  df-tset 12040  df-rest 12122  df-topn 12123  df-top 12165  df-topon 12178  df-topsp 12198  df-xms 12508  df-ms 12509 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator