ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  bcrpcl GIF version

Theorem bcrpcl 10506
Description: Closure of the binomial coefficient in the positive reals. (This is mostly a lemma before we have bccl2 10521.) (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
bcrpcl (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝐾) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem bcrpcl
StepHypRef Expression
1 bcval2 10503 . 2 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝐾) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾))))
2 elfz3nn0 9902 . . . 4 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
3 faccl 10488 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
42, 3syl 14 . . 3 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
5 fznn0sub 9844 . . . 4 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁𝐾) ∈ ℕ0)
6 elfznn0 9901 . . . 4 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)
7 faccl 10488 . . . . 5 ((𝑁𝐾) ∈ ℕ0 → (!‘(𝑁𝐾)) ∈ ℕ)
8 faccl 10488 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ0 → (!‘𝐾) ∈ ℕ)
9 nnmulcl 8748 . . . . 5 (((!‘(𝑁𝐾)) ∈ ℕ ∧ (!‘𝐾) ∈ ℕ) → ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)) ∈ ℕ)
107, 8, 9syl2an 287 . . . 4 (((𝑁𝐾) ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)) ∈ ℕ)
115, 6, 10syl2anc 408 . . 3 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)) ∈ ℕ)
12 nnrp 9458 . . . 4 ((!‘𝑁) ∈ ℕ → (!‘𝑁) ∈ ℝ+)
13 nnrp 9458 . . . 4 (((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)) ∈ ℕ → ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)) ∈ ℝ+)
14 rpdivcl 9474 . . . 4 (((!‘𝑁) ∈ ℝ+ ∧ ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)) ∈ ℝ+) → ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾))) ∈ ℝ+)
1512, 13, 14syl2an 287 . . 3 (((!‘𝑁) ∈ ℕ ∧ ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)) ∈ ℕ) → ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾))) ∈ ℝ+)
164, 11, 15syl2anc 408 . 2 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾))) ∈ ℝ+)
171, 16eqeltrd 2216 1 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝐾) ∈ ℝ+)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1480  cfv 5123  (class class class)co 5774  0cc0 7627   · cmul 7632  cmin 7940   / cdiv 8439  cn 8727  0cn0 8984  +crp 9448  ...cfz 9797  !cfa 10478  Ccbc 10500
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-mulrcl 7726  ax-addcom 7727  ax-mulcom 7728  ax-addass 7729  ax-mulass 7730  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0lt1 7733  ax-1rid 7734  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-precex 7737  ax-cnre 7738  ax-pre-ltirr 7739  ax-pre-ltwlin 7740  ax-pre-lttrn 7741  ax-pre-apti 7742  ax-pre-ltadd 7743  ax-pre-mulgt0 7744  ax-pre-mulext 7745
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813  df-sub 7942  df-neg 7943  df-reap 8344  df-ap 8351  df-div 8440  df-inn 8728  df-n0 8985  df-z 9062  df-uz 9334  df-q 9419  df-rp 9449  df-fz 9798  df-seqfrec 10226  df-fac 10479  df-bc 10501
This theorem is referenced by:  bcp1nk  10515  bcpasc  10519  bccl2  10521
  Copyright terms: Public domain W3C validator