Theorem bcrpcl 10827

Description: Closure of the binomial coefficient in the positive reals. (This is mostly a lemma before we have bccl2 10842.) (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
bcrpcl	⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝐾) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem bcrpcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bcval2 10824	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝐾) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))))
2		elfz3nn0 10184	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		faccl 10809	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
4	2, 3	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
5		fznn0sub 10126	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ0)
6		elfznn0 10183	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)
7		faccl 10809	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ0 → (!‘(𝑁 − 𝐾)) ∈ ℕ)
8		faccl 10809	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (!‘𝐾) ∈ ℕ)
9		nnmulcl 9005	. . . . 5 ⊢ (((!‘(𝑁 − 𝐾)) ∈ ℕ ∧ (!‘𝐾) ∈ ℕ) → ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) ∈ ℕ)
10	7, 8, 9	syl2an 289	. . . 4 ⊢ (((𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) ∈ ℕ)
11	5, 6, 10	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) ∈ ℕ)
12		nnrp 9732	. . . 4 ⊢ ((!‘𝑁) ∈ ℕ → (!‘𝑁) ∈ ℝ+)
13		nnrp 9732	. . . 4 ⊢ (((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) ∈ ℕ → ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) ∈ ℝ+)
14		rpdivcl 9748	. . . 4 ⊢ (((!‘𝑁) ∈ ℝ+ ∧ ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) ∈ ℝ+) → ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))) ∈ ℝ+)
15	12, 13, 14	syl2an 289	. . 3 ⊢ (((!‘𝑁) ∈ ℕ ∧ ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) ∈ ℕ) → ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))) ∈ ℝ+)
16	4, 11, 15	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))) ∈ ℝ+)
17	1, 16	eqeltrd 2270	1 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝐾) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2164  ‘cfv 5255  (class class class)co 5919  0cc0 7874   · cmul 7879   − cmin 8192   / cdiv 8693  ℕcn 8984  ℕ₀cn0 9243  ℝ⁺crp 9722  ...cfz 10077  !cfa 10799  Ccbc 10821

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-mulrcl 7973  ax-addcom 7974  ax-mulcom 7975  ax-addass 7976  ax-mulass 7977  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-1rid 7981  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-precex 7984  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990  ax-pre-mulgt0 7991  ax-pre-mulext 7992

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-if 3559  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-id 4325  df-po 4328  df-iso 4329  df-iord 4398  df-on 4400  df-ilim 4401  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-recs 6360  df-frec 6446  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-reap 8596  df-ap 8603  df-div 8694  df-inn 8985  df-n0 9244  df-z 9321  df-uz 9596  df-q 9688  df-rp 9723  df-fz 10078  df-seqfrec 10522  df-fac 10800  df-bc 10822

This theorem is referenced by:  bcp1nk  10836  bcpasc  10840  bccl2  10842