Theorem bcrpcl 11005

Description: Closure of the binomial coefficient in the positive reals. (This is mostly a lemma before we have bccl2 11020.) (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
bcrpcl	⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝐾) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem bcrpcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bcval2 11002	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝐾) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))))
2		elfz3nn0 10340	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		faccl 10987	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
4	2, 3	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
5		fznn0sub 10282	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ0)
6		elfznn0 10339	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)
7		faccl 10987	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ0 → (!‘(𝑁 − 𝐾)) ∈ ℕ)
8		faccl 10987	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (!‘𝐾) ∈ ℕ)
9		nnmulcl 9154	. . . . 5 ⊢ (((!‘(𝑁 − 𝐾)) ∈ ℕ ∧ (!‘𝐾) ∈ ℕ) → ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) ∈ ℕ)
10	7, 8, 9	syl2an 289	. . . 4 ⊢ (((𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) ∈ ℕ)
11	5, 6, 10	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) ∈ ℕ)
12		nnrp 9888	. . . 4 ⊢ ((!‘𝑁) ∈ ℕ → (!‘𝑁) ∈ ℝ+)
13		nnrp 9888	. . . 4 ⊢ (((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) ∈ ℕ → ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) ∈ ℝ+)
14		rpdivcl 9904	. . . 4 ⊢ (((!‘𝑁) ∈ ℝ+ ∧ ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) ∈ ℝ+) → ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))) ∈ ℝ+)
15	12, 13, 14	syl2an 289	. . 3 ⊢ (((!‘𝑁) ∈ ℕ ∧ ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) ∈ ℕ) → ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))) ∈ ℝ+)
16	4, 11, 15	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))) ∈ ℝ+)
17	1, 16	eqeltrd 2306	1 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝐾) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2200  ‘cfv 5324  (class class class)co 6013  0cc0 8022   · cmul 8027   − cmin 8340   / cdiv 8842  ℕcn 9133  ℕ₀cn0 9392  ℝ⁺crp 9878  ...cfz 10233  !cfa 10977  Ccbc 10999

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-mulrcl 8121  ax-addcom 8122  ax-mulcom 8123  ax-addass 8124  ax-mulass 8125  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-1rid 8129  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-precex 8132  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-apti 8137  ax-pre-ltadd 8138  ax-pre-mulgt0 8139  ax-pre-mulext 8140

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-frec 6552  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-reap 8745  df-ap 8752  df-div 8843  df-inn 9134  df-n0 9393  df-z 9470  df-uz 9746  df-q 9844  df-rp 9879  df-fz 10234  df-seqfrec 10700  df-fac 10978  df-bc 11000

This theorem is referenced by:  bcp1nk  11014  bcpasc  11018  bccl2  11020