ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  divfl0 GIF version

Theorem divfl0 9631
Description: The floor of a fraction is 0 iff the denominator is less than the numerator. (Contributed by AV, 8-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
divfl0 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) = 0))

Proof of Theorem divfl0
StepHypRef Expression
1 nn0z 8703 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ)
2 znq 9041 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ)
31, 2sylan 277 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ)
4 qcn 9051 . . . . 5 ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ)
5 addid2 7565 . . . . . 6 ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ → (0 + (𝐴 / 𝐵)) = (𝐴 / 𝐵))
65eqcomd 2090 . . . . 5 ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ → (𝐴 / 𝐵) = (0 + (𝐴 / 𝐵)))
73, 4, 63syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝐵) = (0 + (𝐴 / 𝐵)))
87fveq2d 5272 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) = (⌊‘(0 + (𝐴 / 𝐵))))
98eqeq1d 2093 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) = 0 ↔ (⌊‘(0 + (𝐴 / 𝐵))) = 0))
10 0z 8694 . . 3 0 ∈ ℤ
11 flqbi2 9626 . . 3 ((0 ∈ ℤ ∧ (𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ) → ((⌊‘(0 + (𝐴 / 𝐵))) = 0 ↔ (0 ≤ (𝐴 / 𝐵) ∧ (𝐴 / 𝐵) < 1)))
1210, 3, 11sylancr 405 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → ((⌊‘(0 + (𝐴 / 𝐵))) = 0 ↔ (0 ≤ (𝐴 / 𝐵) ∧ (𝐴 / 𝐵) < 1)))
13 nn0ge0div 8766 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵))
1413biantrurd 299 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝐵) < 1 ↔ (0 ≤ (𝐴 / 𝐵) ∧ (𝐴 / 𝐵) < 1)))
15 nn0re 8615 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℝ)
16 nnrp 9075 . . . 4 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ+)
17 divlt1lt 9133 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝐴 / 𝐵) < 1 ↔ 𝐴 < 𝐵))
1815, 16, 17syl2an 283 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝐵) < 1 ↔ 𝐴 < 𝐵))
1914, 18bitr3d 188 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → ((0 ≤ (𝐴 / 𝐵) ∧ (𝐴 / 𝐵) < 1) ↔ 𝐴 < 𝐵))
209, 12, 193bitrrd 213 1 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) = 0))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wb 103   = wceq 1287  wcel 1436   class class class wbr 3820  cfv 4981  (class class class)co 5613  cc 7292  cr 7293  0cc0 7294  1c1 7295   + caddc 7297   < clt 7466  cle 7467   / cdiv 8078  cn 8357  0cn0 8606  cz 8683  cq 9036  +crp 9066  cfl 9603
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3932  ax-pow 3984  ax-pr 4010  ax-un 4234  ax-setind 4326  ax-cnex 7380  ax-resscn 7381  ax-1cn 7382  ax-1re 7383  ax-icn 7384  ax-addcl 7385  ax-addrcl 7386  ax-mulcl 7387  ax-mulrcl 7388  ax-addcom 7389  ax-mulcom 7390  ax-addass 7391  ax-mulass 7392  ax-distr 7393  ax-i2m1 7394  ax-0lt1 7395  ax-1rid 7396  ax-0id 7397  ax-rnegex 7398  ax-precex 7399  ax-cnre 7400  ax-pre-ltirr 7401  ax-pre-ltwlin 7402  ax-pre-lttrn 7403  ax-pre-apti 7404  ax-pre-ltadd 7405  ax-pre-mulgt0 7406  ax-pre-mulext 7407  ax-arch 7408
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rmo 2363  df-rab 2364  df-v 2617  df-sbc 2830  df-csb 2923  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3637  df-int 3672  df-iun 3715  df-br 3821  df-opab 3875  df-mpt 3876  df-id 4094  df-po 4097  df-iso 4098  df-xp 4417  df-rel 4418  df-cnv 4419  df-co 4420  df-dm 4421  df-rn 4422  df-res 4423  df-ima 4424  df-iota 4946  df-fun 4983  df-fn 4984  df-f 4985  df-fv 4989  df-riota 5569  df-ov 5616  df-oprab 5617  df-mpt2 5618  df-1st 5868  df-2nd 5869  df-pnf 7468  df-mnf 7469  df-xr 7470  df-ltxr 7471  df-le 7472  df-sub 7599  df-neg 7600  df-reap 7993  df-ap 8000  df-div 8079  df-inn 8358  df-n0 8607  df-z 8684  df-q 9037  df-rp 9067  df-fl 9605
This theorem is referenced by:  fldiv4p1lem1div2  9640
  Copyright terms: Public domain W3C validator