Theorem divfl0 10388

Description: The floor of a fraction is 0 iff the denominator is less than the numerator. (Contributed by AV, 8-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
divfl0	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) = 0))

Proof of Theorem divfl0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0z 9348	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		znq 9700	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ)
3	1, 2	sylan 283	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ)
4		qcn 9710	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ)
5		addlid 8167	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ → (0 + (𝐴 / 𝐵)) = (𝐴 / 𝐵))
6	5	eqcomd 2202	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ → (𝐴 / 𝐵) = (0 + (𝐴 / 𝐵)))
7	3, 4, 6	3syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝐵) = (0 + (𝐴 / 𝐵)))
8	7	fveq2d 5563	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) = (⌊‘(0 + (𝐴 / 𝐵))))
9	8	eqeq1d 2205	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) = 0 ↔ (⌊‘(0 + (𝐴 / 𝐵))) = 0))
10		0z 9339	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
11		flqbi2 10383	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ (𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ) → ((⌊‘(0 + (𝐴 / 𝐵))) = 0 ↔ (0 ≤ (𝐴 / 𝐵) ∧ (𝐴 / 𝐵) < 1)))
12	10, 3, 11	sylancr 414	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((⌊‘(0 + (𝐴 / 𝐵))) = 0 ↔ (0 ≤ (𝐴 / 𝐵) ∧ (𝐴 / 𝐵) < 1)))
13		nn0ge0div 9415	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵))
14	13	biantrurd 305	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝐵) < 1 ↔ (0 ≤ (𝐴 / 𝐵) ∧ (𝐴 / 𝐵) < 1)))
15		nn0re 9260	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℝ)
16		nnrp 9740	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ+)
17		divlt1lt 9801	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝐴 / 𝐵) < 1 ↔ 𝐴 < 𝐵))
18	15, 16, 17	syl2an 289	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝐵) < 1 ↔ 𝐴 < 𝐵))
19	14, 18	bitr3d 190	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((0 ≤ (𝐴 / 𝐵) ∧ (𝐴 / 𝐵) < 1) ↔ 𝐴 < 𝐵))
20	9, 12, 19	3bitrrd 215	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) = 0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   class class class wbr 4034  ‘cfv 5259  (class class class)co 5923  ℂcc 7879  ℝcr 7880  0cc0 7881  1c1 7882   + caddc 7884   < clt 8063   ≤ cle 8064   / cdiv 8701  ℕcn 8992  ℕ₀cn0 9251  ℤcz 9328  ℚcq 9695  ℝ⁺crp 9730  ⌊cfl 10360

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7972  ax-resscn 7973  ax-1cn 7974  ax-1re 7975  ax-icn 7976  ax-addcl 7977  ax-addrcl 7978  ax-mulcl 7979  ax-mulrcl 7980  ax-addcom 7981  ax-mulcom 7982  ax-addass 7983  ax-mulass 7984  ax-distr 7985  ax-i2m1 7986  ax-0lt1 7987  ax-1rid 7988  ax-0id 7989  ax-rnegex 7990  ax-precex 7991  ax-cnre 7992  ax-pre-ltirr 7993  ax-pre-ltwlin 7994  ax-pre-lttrn 7995  ax-pre-apti 7996  ax-pre-ltadd 7997  ax-pre-mulgt0 7998  ax-pre-mulext 7999  ax-arch 8000

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-fv 5267  df-riota 5878  df-ov 5926  df-oprab 5927  df-mpo 5928  df-1st 6199  df-2nd 6200  df-pnf 8065  df-mnf 8066  df-xr 8067  df-ltxr 8068  df-le 8069  df-sub 8201  df-neg 8202  df-reap 8604  df-ap 8611  df-div 8702  df-inn 8993  df-n0 9252  df-z 9329  df-q 9696  df-rp 9731  df-fl 10362

This theorem is referenced by:  fldiv4p1lem1div2  10397  fldiv4lem1div2  10399  gausslemma2dlem4  15315