Theorem nnrpd 9932

Description: A positive integer is a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnrpd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnrpd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Proof of Theorem nnrpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnrpd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnrp 9901	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ+)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2202  ℕcn 9146  ℝ⁺crp 9891

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8126  ax-resscn 8127  ax-1re 8129  ax-addrcl 8132  ax-0lt1 8141  ax-0id 8143  ax-rnegex 8144  ax-pre-ltirr 8147  ax-pre-ltwlin 8148  ax-pre-lttrn 8149  ax-pre-ltadd 8151

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-xp 4731  df-cnv 4733  df-iota 5286  df-fv 5334  df-ov 6024  df-pnf 8219  df-mnf 8220  df-xr 8221  df-ltxr 8222  df-le 8223  df-inn 9147  df-rp 9892

This theorem is referenced by:  zgt1rpn0n1  9933  qtri3or  10504  qbtwnrelemcalc  10519  qbtwnre  10520  flqdiv  10587  addmodlteq  10664  nnesq  10925  bcpasc  11032  cvg1nlemcxze  11563  cvg1nlemcau  11565  cvg1nlemres  11566  resqrexlemnmsq  11598  resqrexlemnm  11599  resqrexlemcvg  11600  climrecvg1n  11929  climcvg1nlem  11930  cvgratnnlembern  12105  cvgratnnlemfm  12111  mertenslemi1  12117  mertenslem2  12118  efcllemp  12240  ege2le3  12253  eftlub  12272  effsumlt  12274  efgt1p2  12277  eirraplem  12359  bitsfzo  12537  bitscmp  12540  bitsinv1lem  12543  prmind2  12713  isprm5lem  12734  sqrt2irrlem  12754  sqrt2irraplemnn  12772  sqrt2irrap  12773  modprmn0modprm0  12850  pythagtriplem12  12869  pythagtriplem14  12871  pythagtriplem16  12873  4sqlem7  12978  4sqlem12  12996  logbrec  15711  logbgcd1irr  15718  logbgcd1irraplemexp  15719  logbgcd1irraplemap  15720  sgmval  15734  sgmf  15737  sgmnncl  15739  sgmppw  15743  1sgmprm  15745  sgmmul  15747  perfectlem2  15751  lgseisenlem1  15826  lgsquadlem2  15834  lgsquadlem3  15835  2sqlem8  15879  cvgcmp2nlemabs  16695  trilpolemlt1  16704