Theorem nnrpd 9919

Description: A positive integer is a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnrpd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnrpd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Proof of Theorem nnrpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnrpd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnrp 9888	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ+)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2200  ℕcn 9133  ℝ⁺crp 9878

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1re 8116  ax-addrcl 8119  ax-0lt1 8128  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-ltadd 8138

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2802  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-br 4087  df-opab 4149  df-xp 4729  df-cnv 4731  df-iota 5284  df-fv 5332  df-ov 6016  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-inn 9134  df-rp 9879

This theorem is referenced by:  zgt1rpn0n1  9920  qtri3or  10490  qbtwnrelemcalc  10505  qbtwnre  10506  flqdiv  10573  addmodlteq  10650  nnesq  10911  bcpasc  11018  cvg1nlemcxze  11533  cvg1nlemcau  11535  cvg1nlemres  11536  resqrexlemnmsq  11568  resqrexlemnm  11569  resqrexlemcvg  11570  climrecvg1n  11899  climcvg1nlem  11900  cvgratnnlembern  12074  cvgratnnlemfm  12080  mertenslemi1  12086  mertenslem2  12087  efcllemp  12209  ege2le3  12222  eftlub  12241  effsumlt  12243  efgt1p2  12246  eirraplem  12328  bitsfzo  12506  bitscmp  12509  bitsinv1lem  12512  prmind2  12682  isprm5lem  12703  sqrt2irrlem  12723  sqrt2irraplemnn  12741  sqrt2irrap  12742  modprmn0modprm0  12819  pythagtriplem12  12838  pythagtriplem14  12840  pythagtriplem16  12842  4sqlem7  12947  4sqlem12  12965  logbrec  15674  logbgcd1irr  15681  logbgcd1irraplemexp  15682  logbgcd1irraplemap  15683  sgmval  15697  sgmf  15700  sgmnncl  15702  sgmppw  15706  1sgmprm  15708  sgmmul  15710  perfectlem2  15714  lgseisenlem1  15789  lgsquadlem2  15797  lgsquadlem3  15798  2sqlem8  15842  cvgcmp2nlemabs  16572  trilpolemlt1  16581