Theorem nnrpd 9846

Description: A positive integer is a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnrpd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnrpd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Proof of Theorem nnrpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnrpd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnrp 9815	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ+)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2177  ℕcn 9066  ℝ⁺crp 9805

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4173  ax-pow 4229  ax-pr 4264  ax-un 4493  ax-setind 4598  ax-cnex 8046  ax-resscn 8047  ax-1re 8049  ax-addrcl 8052  ax-0lt1 8061  ax-0id 8063  ax-rnegex 8064  ax-pre-ltirr 8067  ax-pre-ltwlin 8068  ax-pre-lttrn 8069  ax-pre-ltadd 8071

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-rab 2494  df-v 2775  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3860  df-int 3895  df-br 4055  df-opab 4117  df-xp 4694  df-cnv 4696  df-iota 5246  df-fv 5293  df-ov 5965  df-pnf 8139  df-mnf 8140  df-xr 8141  df-ltxr 8142  df-le 8143  df-inn 9067  df-rp 9806

This theorem is referenced by:  zgt1rpn0n1  9847  qtri3or  10415  qbtwnrelemcalc  10430  qbtwnre  10431  flqdiv  10498  addmodlteq  10575  nnesq  10836  bcpasc  10943  cvg1nlemcxze  11378  cvg1nlemcau  11380  cvg1nlemres  11381  resqrexlemnmsq  11413  resqrexlemnm  11414  resqrexlemcvg  11415  climrecvg1n  11744  climcvg1nlem  11745  cvgratnnlembern  11919  cvgratnnlemfm  11925  mertenslemi1  11931  mertenslem2  11932  efcllemp  12054  ege2le3  12067  eftlub  12086  effsumlt  12088  efgt1p2  12091  eirraplem  12173  bitsfzo  12351  bitscmp  12354  bitsinv1lem  12357  prmind2  12527  isprm5lem  12548  sqrt2irrlem  12568  sqrt2irraplemnn  12586  sqrt2irrap  12587  modprmn0modprm0  12664  pythagtriplem12  12683  pythagtriplem14  12685  pythagtriplem16  12687  4sqlem7  12792  4sqlem12  12810  logbrec  15517  logbgcd1irr  15524  logbgcd1irraplemexp  15525  logbgcd1irraplemap  15526  sgmval  15540  sgmf  15543  sgmnncl  15545  sgmppw  15549  1sgmprm  15551  sgmmul  15553  perfectlem2  15557  lgseisenlem1  15632  lgsquadlem2  15640  lgsquadlem3  15641  2sqlem8  15685  cvgcmp2nlemabs  16143  trilpolemlt1  16152