Theorem nnrpd 9928

Description: A positive integer is a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnrpd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnrpd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Proof of Theorem nnrpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnrpd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnrp 9897	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ+)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2202  ℕcn 9142  ℝ⁺crp 9887

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1re 8125  ax-addrcl 8128  ax-0lt1 8137  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-ltadd 8147

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-xp 4731  df-cnv 4733  df-iota 5286  df-fv 5334  df-ov 6020  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-inn 9143  df-rp 9888

This theorem is referenced by:  zgt1rpn0n1  9929  qtri3or  10499  qbtwnrelemcalc  10514  qbtwnre  10515  flqdiv  10582  addmodlteq  10659  nnesq  10920  bcpasc  11027  cvg1nlemcxze  11542  cvg1nlemcau  11544  cvg1nlemres  11545  resqrexlemnmsq  11577  resqrexlemnm  11578  resqrexlemcvg  11579  climrecvg1n  11908  climcvg1nlem  11909  cvgratnnlembern  12083  cvgratnnlemfm  12089  mertenslemi1  12095  mertenslem2  12096  efcllemp  12218  ege2le3  12231  eftlub  12250  effsumlt  12252  efgt1p2  12255  eirraplem  12337  bitsfzo  12515  bitscmp  12518  bitsinv1lem  12521  prmind2  12691  isprm5lem  12712  sqrt2irrlem  12732  sqrt2irraplemnn  12750  sqrt2irrap  12751  modprmn0modprm0  12828  pythagtriplem12  12847  pythagtriplem14  12849  pythagtriplem16  12851  4sqlem7  12956  4sqlem12  12974  logbrec  15683  logbgcd1irr  15690  logbgcd1irraplemexp  15691  logbgcd1irraplemap  15692  sgmval  15706  sgmf  15709  sgmnncl  15711  sgmppw  15715  1sgmprm  15717  sgmmul  15719  perfectlem2  15723  lgseisenlem1  15798  lgsquadlem2  15806  lgsquadlem3  15807  2sqlem8  15851  cvgcmp2nlemabs  16636  trilpolemlt1  16645