Theorem nnrpd 10074

Description: A positive integer is a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnrpd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnrpd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Proof of Theorem nnrpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnrpd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnrp 10043	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ+)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2209  ℕcn 9283  ℝ⁺crp 10033

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1re 8263  ax-addrcl 8266  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-br 4126  df-opab 4188  df-xp 4775  df-cnv 4777  df-iota 5332  df-fv 5380  df-ov 6078  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-inn 9284  df-rp 10034

This theorem is referenced by:  zgt1rpn0n1  10075  ltesubnnd  10149  qtri3or  10653  qbtwnrelemcalc  10668  qbtwnre  10669  flqdiv  10736  addmodlteq  10813  nnesq  11075  bcpasc  11182  cvg1nlemcxze  11726  cvg1nlemcau  11728  cvg1nlemres  11729  resqrexlemnmsq  11761  resqrexlemnm  11762  resqrexlemcvg  11763  climrecvg1n  12092  climcvg1nlem  12093  cvgratnnlembern  12268  cvgratnnlemfm  12274  mertenslemi1  12280  mertenslem2  12281  efcllemp  12403  ege2le3  12416  eftlub  12435  effsumlt  12437  efgt1p2  12440  eirraplem  12522  bitsfzo  12700  bitscmp  12703  bitsinv1lem  12706  prmind2  12876  isprm5lem  12897  sqrt2irrlem  12917  sqrt2irraplemnn  12935  sqrt2irrap  12936  modprmn0modprm0  13013  pythagtriplem12  13032  pythagtriplem14  13034  pythagtriplem16  13036  4sqlem7  13141  4sqlem12  13159  logfac  15918  logbrec  15985  logbgcd1irr  15992  logbgcd1irraplemexp  15993  logbgcd1irraplemap  15994  sgmval  16011  sgmf  16014  sgmnncl  16016  sgmppw  16020  1sgmprm  16022  sgmmul  16024  perfectlem2  16028  lgseisenlem1  16103  lgsquadlem2  16111  lgsquadlem3  16112  2sqlem8  16156  cvgcmp2nlemabs  16986  trilpolemlt1  16995