Theorem nnrpd 9815

Description: A positive integer is a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnrpd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnrpd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Proof of Theorem nnrpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnrpd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnrp 9784	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ+)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2175  ℕcn 9035  ℝ⁺crp 9774

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1re 8018  ax-addrcl 8021  ax-0lt1 8030  ax-0id 8032  ax-rnegex 8033  ax-pre-ltirr 8036  ax-pre-ltwlin 8037  ax-pre-lttrn 8038  ax-pre-ltadd 8040

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-rab 2492  df-v 2773  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-br 4044  df-opab 4105  df-xp 4680  df-cnv 4682  df-iota 5231  df-fv 5278  df-ov 5946  df-pnf 8108  df-mnf 8109  df-xr 8110  df-ltxr 8111  df-le 8112  df-inn 9036  df-rp 9775

This theorem is referenced by:  zgt1rpn0n1  9816  qtri3or  10381  qbtwnrelemcalc  10396  qbtwnre  10397  flqdiv  10464  addmodlteq  10541  nnesq  10802  bcpasc  10909  cvg1nlemcxze  11264  cvg1nlemcau  11266  cvg1nlemres  11267  resqrexlemnmsq  11299  resqrexlemnm  11300  resqrexlemcvg  11301  climrecvg1n  11630  climcvg1nlem  11631  cvgratnnlembern  11805  cvgratnnlemfm  11811  mertenslemi1  11817  mertenslem2  11818  efcllemp  11940  ege2le3  11953  eftlub  11972  effsumlt  11974  efgt1p2  11977  eirraplem  12059  bitsfzo  12237  bitscmp  12240  bitsinv1lem  12243  prmind2  12413  isprm5lem  12434  sqrt2irrlem  12454  sqrt2irraplemnn  12472  sqrt2irrap  12473  modprmn0modprm0  12550  pythagtriplem12  12569  pythagtriplem14  12571  pythagtriplem16  12573  4sqlem7  12678  4sqlem12  12696  logbrec  15403  logbgcd1irr  15410  logbgcd1irraplemexp  15411  logbgcd1irraplemap  15412  sgmval  15426  sgmf  15429  sgmnncl  15431  sgmppw  15435  1sgmprm  15437  sgmmul  15439  perfectlem2  15443  lgseisenlem1  15518  lgsquadlem2  15526  lgsquadlem3  15527  2sqlem8  15571  cvgcmp2nlemabs  15933  trilpolemlt1  15942