Theorem nnrpd 9786

Description: A positive integer is a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnrpd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnrpd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Proof of Theorem nnrpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnrpd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnrp 9755	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ+)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2167  ℕcn 9007  ℝ⁺crp 9745

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1re 7990  ax-addrcl 7993  ax-0lt1 8002  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-ltadd 8012

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-xp 4670  df-cnv 4672  df-iota 5220  df-fv 5267  df-ov 5928  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-inn 9008  df-rp 9746

This theorem is referenced by:  zgt1rpn0n1  9787  qtri3or  10347  qbtwnrelemcalc  10362  qbtwnre  10363  flqdiv  10430  addmodlteq  10507  nnesq  10768  bcpasc  10875  cvg1nlemcxze  11164  cvg1nlemcau  11166  cvg1nlemres  11167  resqrexlemnmsq  11199  resqrexlemnm  11200  resqrexlemcvg  11201  climrecvg1n  11530  climcvg1nlem  11531  cvgratnnlembern  11705  cvgratnnlemfm  11711  mertenslemi1  11717  mertenslem2  11718  efcllemp  11840  ege2le3  11853  eftlub  11872  effsumlt  11874  efgt1p2  11877  eirraplem  11959  bitsfzo  12137  bitscmp  12140  bitsinv1lem  12143  prmind2  12313  isprm5lem  12334  sqrt2irrlem  12354  sqrt2irraplemnn  12372  sqrt2irrap  12373  modprmn0modprm0  12450  pythagtriplem12  12469  pythagtriplem14  12471  pythagtriplem16  12473  4sqlem7  12578  4sqlem12  12596  logbrec  15280  logbgcd1irr  15287  logbgcd1irraplemexp  15288  logbgcd1irraplemap  15289  sgmval  15303  sgmf  15306  sgmnncl  15308  sgmppw  15312  1sgmprm  15314  sgmmul  15316  perfectlem2  15320  lgseisenlem1  15395  lgsquadlem2  15403  lgsquadlem3  15404  2sqlem8  15448  cvgcmp2nlemabs  15763  trilpolemlt1  15772