Theorem nnrpd 9760

Description: A positive integer is a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnrpd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnrpd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Proof of Theorem nnrpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnrpd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnrp 9729	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ+)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2164  ℕcn 8982  ℝ⁺crp 9719

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1re 7966  ax-addrcl 7969  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-ltadd 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-opab 4091  df-xp 4665  df-cnv 4667  df-iota 5215  df-fv 5262  df-ov 5921  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-inn 8983  df-rp 9720

This theorem is referenced by:  zgt1rpn0n1  9761  qtri3or  10310  qbtwnrelemcalc  10324  qbtwnre  10325  flqdiv  10392  addmodlteq  10469  nnesq  10730  bcpasc  10837  cvg1nlemcxze  11126  cvg1nlemcau  11128  cvg1nlemres  11129  resqrexlemnmsq  11161  resqrexlemnm  11162  resqrexlemcvg  11163  climrecvg1n  11491  climcvg1nlem  11492  cvgratnnlembern  11666  cvgratnnlemfm  11672  mertenslemi1  11678  mertenslem2  11679  efcllemp  11801  ege2le3  11814  eftlub  11833  effsumlt  11835  efgt1p2  11838  eirraplem  11920  prmind2  12258  isprm5lem  12279  sqrt2irrlem  12299  sqrt2irraplemnn  12317  sqrt2irrap  12318  modprmn0modprm0  12394  pythagtriplem12  12413  pythagtriplem14  12415  pythagtriplem16  12417  4sqlem7  12522  4sqlem12  12540  logbrec  15092  logbgcd1irr  15099  logbgcd1irraplemexp  15100  logbgcd1irraplemap  15101  lgseisenlem1  15186  2sqlem8  15210  cvgcmp2nlemabs  15522  trilpolemlt1  15531