Theorem nnrpd 9693

Description: A positive integer is a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnrpd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnrpd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Proof of Theorem nnrpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnrpd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnrp 9662	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ+)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2148  ℕcn 8918  ℝ⁺crp 9652

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1re 7904  ax-addrcl 7907  ax-0lt1 7916  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-ltadd 7926

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4004  df-opab 4065  df-xp 4632  df-cnv 4634  df-iota 5178  df-fv 5224  df-ov 5877  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-inn 8919  df-rp 9653

This theorem is referenced by:  zgt1rpn0n1  9694  qtri3or  10242  qbtwnrelemcalc  10255  qbtwnre  10256  flqdiv  10320  addmodlteq  10397  nnesq  10639  bcpasc  10745  cvg1nlemcxze  10990  cvg1nlemcau  10992  cvg1nlemres  10993  resqrexlemnmsq  11025  resqrexlemnm  11026  resqrexlemcvg  11027  climrecvg1n  11355  climcvg1nlem  11356  cvgratnnlembern  11530  cvgratnnlemfm  11536  mertenslemi1  11542  mertenslem2  11543  efcllemp  11665  ege2le3  11678  eftlub  11697  effsumlt  11699  efgt1p2  11702  eirraplem  11783  prmind2  12119  isprm5lem  12140  sqrt2irrlem  12160  sqrt2irraplemnn  12178  sqrt2irrap  12179  modprmn0modprm0  12255  pythagtriplem12  12274  pythagtriplem14  12276  pythagtriplem16  12278  4sqlem7  12381  logbrec  14348  logbgcd1irr  14355  logbgcd1irraplemexp  14356  logbgcd1irraplemap  14357  lgseisenlem1  14420  2sqlem8  14440  cvgcmp2nlemabs  14750  trilpolemlt1  14759