Theorem nnrpd 9902

Description: A positive integer is a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnrpd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnrpd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Proof of Theorem nnrpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnrpd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnrp 9871	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ+)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2200  ℕcn 9121  ℝ⁺crp 9861

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1re 8104  ax-addrcl 8107  ax-0lt1 8116  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltwlin 8123  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-ltadd 8126

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-xp 4725  df-cnv 4727  df-iota 5278  df-fv 5326  df-ov 6010  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198  df-inn 9122  df-rp 9862

This theorem is referenced by:  zgt1rpn0n1  9903  qtri3or  10472  qbtwnrelemcalc  10487  qbtwnre  10488  flqdiv  10555  addmodlteq  10632  nnesq  10893  bcpasc  11000  cvg1nlemcxze  11508  cvg1nlemcau  11510  cvg1nlemres  11511  resqrexlemnmsq  11543  resqrexlemnm  11544  resqrexlemcvg  11545  climrecvg1n  11874  climcvg1nlem  11875  cvgratnnlembern  12049  cvgratnnlemfm  12055  mertenslemi1  12061  mertenslem2  12062  efcllemp  12184  ege2le3  12197  eftlub  12216  effsumlt  12218  efgt1p2  12221  eirraplem  12303  bitsfzo  12481  bitscmp  12484  bitsinv1lem  12487  prmind2  12657  isprm5lem  12678  sqrt2irrlem  12698  sqrt2irraplemnn  12716  sqrt2irrap  12717  modprmn0modprm0  12794  pythagtriplem12  12813  pythagtriplem14  12815  pythagtriplem16  12817  4sqlem7  12922  4sqlem12  12940  logbrec  15649  logbgcd1irr  15656  logbgcd1irraplemexp  15657  logbgcd1irraplemap  15658  sgmval  15672  sgmf  15675  sgmnncl  15677  sgmppw  15681  1sgmprm  15683  sgmmul  15685  perfectlem2  15689  lgseisenlem1  15764  lgsquadlem2  15772  lgsquadlem3  15773  2sqlem8  15817  cvgcmp2nlemabs  16460  trilpolemlt1  16469