Theorem nnrpd 10105

Description: A positive integer is a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnrpd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnrpd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Proof of Theorem nnrpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnrpd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnrp 10074	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ+)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209  ℕcn 9306  ℝ⁺crp 10064

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1re 8273  ax-addrcl 8276  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-xp 4780  df-cnv 4782  df-iota 5337  df-fv 5385  df-ov 6088  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-inn 9307  df-rp 10065

This theorem is used by:  zgt1rpn0n1  10106  ltesubnnd  10180  qtri3or  10685  qbtwnrelemcalc  10700  qbtwnre  10701  flqdiv  10771  addmodlteq  10848  nnesq  11110  bcpasc  11218  cvg1nlemcxze  11762  cvg1nlemcau  11764  cvg1nlemres  11765  resqrexlemnmsq  11797  resqrexlemnm  11798  resqrexlemcvg  11799  climrecvg1n  12130  climcvg1nlem  12131  cvgratnnlembern  12306  cvgratnnlemfm  12312  mertenslemi1  12318  mertenslem2  12319  efcllemp  12441  ege2le3  12454  eftlub  12473  effsumlt  12475  efgt1p2  12478  eirraplem  12560  bitsfzo  12738  bitscmp  12741  bitsinv1lem  12744  prmind2  12914  isprm5lem  12936  sqrt2irrlem  12956  sqrt2irraplemnn  12975  sqrt2irrap  12976  modprmn0modprm0  13055  pythagtriplem12  13074  pythagtriplem14  13076  pythagtriplem16  13078  4sqlem7  13183  4sqlem12  13201  logfac  16048  logbrec  16115  logbgcd1irr  16122  logbgcd1irraplemexp  16123  logbgcd1irraplemap  16124  zprmlogbaplem1  16134  zprmlogbaplem2  16135  log2tlbndlog2  16139  birthdaylem2  16145  sgmval  16164  sgmf  16167  sgmnncl  16169  sgmppw  16187  1sgmprm  16189  sgmmul  16191  perfectlem2  16198  bclbnd  16205  prmefexple  16206  bposlem1  16209  bposlem2  16210  bposlem4  16212  bposlem5  16213  lgseisenlem1  16287  lgsquadlem2  16295  lgsquadlem3  16296  2sqlem8  16340  cvgcmp2nlemabs  17179  trilpolemlt1  17188