Theorem nnrpd 9601

Description: A positive integer is a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnrpd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnrpd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Proof of Theorem nnrpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnrpd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnrp 9570	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ+)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2128  ℕcn 8833  ℝ⁺crp 9560

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4496  ax-cnex 7823  ax-resscn 7824  ax-1re 7826  ax-addrcl 7829  ax-0lt1 7838  ax-0id 7840  ax-rnegex 7841  ax-pre-ltirr 7844  ax-pre-ltwlin 7845  ax-pre-lttrn 7846  ax-pre-ltadd 7848

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-rab 2444  df-v 2714  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-br 3966  df-opab 4026  df-xp 4592  df-cnv 4594  df-iota 5135  df-fv 5178  df-ov 5827  df-pnf 7914  df-mnf 7915  df-xr 7916  df-ltxr 7917  df-le 7918  df-inn 8834  df-rp 9561

This theorem is referenced by:  zgt1rpn0n1  9602  qtri3or  10142  qbtwnrelemcalc  10155  qbtwnre  10156  flqdiv  10220  addmodlteq  10297  nnesq  10537  bcpasc  10640  cvg1nlemcxze  10882  cvg1nlemcau  10884  cvg1nlemres  10885  resqrexlemnmsq  10917  resqrexlemnm  10918  resqrexlemcvg  10919  climrecvg1n  11245  climcvg1nlem  11246  cvgratnnlembern  11420  cvgratnnlemfm  11426  mertenslemi1  11432  mertenslem2  11433  efcllemp  11555  ege2le3  11568  eftlub  11587  effsumlt  11589  efgt1p2  11592  eirraplem  11673  prmind2  11996  sqrt2irrlem  12035  sqrt2irraplemnn  12053  sqrt2irrap  12054  logbrec  13277  logbgcd1irr  13284  logbgcd1irraplemexp  13285  logbgcd1irraplemap  13286  cvgcmp2nlemabs  13603  trilpolemlt1  13612