Theorem nnrpd 9929

Description: A positive integer is a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnrpd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnrpd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Proof of Theorem nnrpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnrpd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnrp 9898	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ+)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2202  ℕcn 9143  ℝ⁺crp 9888

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1re 8126  ax-addrcl 8129  ax-0lt1 8138  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-ltadd 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-xp 4731  df-cnv 4733  df-iota 5286  df-fv 5334  df-ov 6021  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-inn 9144  df-rp 9889

This theorem is referenced by:  zgt1rpn0n1  9930  qtri3or  10501  qbtwnrelemcalc  10516  qbtwnre  10517  flqdiv  10584  addmodlteq  10661  nnesq  10922  bcpasc  11029  cvg1nlemcxze  11547  cvg1nlemcau  11549  cvg1nlemres  11550  resqrexlemnmsq  11582  resqrexlemnm  11583  resqrexlemcvg  11584  climrecvg1n  11913  climcvg1nlem  11914  cvgratnnlembern  12089  cvgratnnlemfm  12095  mertenslemi1  12101  mertenslem2  12102  efcllemp  12224  ege2le3  12237  eftlub  12256  effsumlt  12258  efgt1p2  12261  eirraplem  12343  bitsfzo  12521  bitscmp  12524  bitsinv1lem  12527  prmind2  12697  isprm5lem  12718  sqrt2irrlem  12738  sqrt2irraplemnn  12756  sqrt2irrap  12757  modprmn0modprm0  12834  pythagtriplem12  12853  pythagtriplem14  12855  pythagtriplem16  12857  4sqlem7  12962  4sqlem12  12980  logbrec  15690  logbgcd1irr  15697  logbgcd1irraplemexp  15698  logbgcd1irraplemap  15699  sgmval  15713  sgmf  15716  sgmnncl  15718  sgmppw  15722  1sgmprm  15724  sgmmul  15726  perfectlem2  15730  lgseisenlem1  15805  lgsquadlem2  15813  lgsquadlem3  15814  2sqlem8  15858  cvgcmp2nlemabs  16662  trilpolemlt1  16671