Theorem nnrpd 10045

Description: A positive integer is a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnrpd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnrpd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Proof of Theorem nnrpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnrpd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnrp 10014	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ+)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2205  ℕcn 9254  ℝ⁺crp 10004

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1re 8237  ax-addrcl 8240  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-xp 4760  df-cnv 4762  df-iota 5317  df-fv 5365  df-ov 6061  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-inn 9255  df-rp 10005

This theorem is referenced by:  zgt1rpn0n1  10046  ltesubnnd  10120  qtri3or  10624  qbtwnrelemcalc  10639  qbtwnre  10640  flqdiv  10707  addmodlteq  10784  nnesq  11046  bcpasc  11153  cvg1nlemcxze  11692  cvg1nlemcau  11694  cvg1nlemres  11695  resqrexlemnmsq  11727  resqrexlemnm  11728  resqrexlemcvg  11729  climrecvg1n  12058  climcvg1nlem  12059  cvgratnnlembern  12234  cvgratnnlemfm  12240  mertenslemi1  12246  mertenslem2  12247  efcllemp  12369  ege2le3  12382  eftlub  12401  effsumlt  12403  efgt1p2  12406  eirraplem  12488  bitsfzo  12666  bitscmp  12669  bitsinv1lem  12672  prmind2  12842  isprm5lem  12863  sqrt2irrlem  12883  sqrt2irraplemnn  12901  sqrt2irrap  12902  modprmn0modprm0  12979  pythagtriplem12  12998  pythagtriplem14  13000  pythagtriplem16  13002  4sqlem7  13107  4sqlem12  13125  logbrec  15951  logbgcd1irr  15958  logbgcd1irraplemexp  15959  logbgcd1irraplemap  15960  sgmval  15977  sgmf  15980  sgmnncl  15982  sgmppw  15986  1sgmprm  15988  sgmmul  15990  perfectlem2  15994  lgseisenlem1  16069  lgsquadlem2  16077  lgsquadlem3  16078  2sqlem8  16122  cvgcmp2nlemabs  16942  trilpolemlt1  16951