Theorem nnrpd 9511

Description: A positive integer is a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnrpd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnrpd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Proof of Theorem nnrpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnrpd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnrp 9480	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ+)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1481  ℕcn 8744  ℝ⁺crp 9470

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1re 7738  ax-addrcl 7741  ax-0lt1 7750  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-ltadd 7760

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2691  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-br 3938  df-opab 3998  df-xp 4553  df-cnv 4555  df-iota 5096  df-fv 5139  df-ov 5785  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-inn 8745  df-rp 9471

This theorem is referenced by:  zgt1rpn0n1  9512  qtri3or  10051  qbtwnrelemcalc  10064  qbtwnre  10065  flqdiv  10125  addmodlteq  10202  nnesq  10442  bcpasc  10544  cvg1nlemcxze  10786  cvg1nlemcau  10788  cvg1nlemres  10789  resqrexlemnmsq  10821  resqrexlemnm  10822  resqrexlemcvg  10823  climrecvg1n  11149  climcvg1nlem  11150  cvgratnnlembern  11324  cvgratnnlemfm  11330  mertenslemi1  11336  mertenslem2  11337  efcllemp  11401  ege2le3  11414  eftlub  11433  effsumlt  11435  efgt1p2  11438  eirraplem  11519  prmind2  11837  sqrt2irrlem  11875  sqrt2irraplemnn  11893  sqrt2irrap  11894  logbrec  13085  logbgcd1irr  13092  logbgcd1irraplemexp  13093  logbgcd1irraplemap  13094  cvgcmp2nlemabs  13402  trilpolemlt1  13409