Theorem nnrpd 9886

Description: A positive integer is a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnrpd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnrpd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Proof of Theorem nnrpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnrpd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnrp 9855	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ+)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2200  ℕcn 9106  ℝ⁺crp 9845

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1re 8089  ax-addrcl 8092  ax-0lt1 8101  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltwlin 8108  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-ltadd 8111

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-br 4083  df-opab 4145  df-xp 4724  df-cnv 4726  df-iota 5277  df-fv 5325  df-ov 6003  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-inn 9107  df-rp 9846

This theorem is referenced by:  zgt1rpn0n1  9887  qtri3or  10455  qbtwnrelemcalc  10470  qbtwnre  10471  flqdiv  10538  addmodlteq  10615  nnesq  10876  bcpasc  10983  cvg1nlemcxze  11488  cvg1nlemcau  11490  cvg1nlemres  11491  resqrexlemnmsq  11523  resqrexlemnm  11524  resqrexlemcvg  11525  climrecvg1n  11854  climcvg1nlem  11855  cvgratnnlembern  12029  cvgratnnlemfm  12035  mertenslemi1  12041  mertenslem2  12042  efcllemp  12164  ege2le3  12177  eftlub  12196  effsumlt  12198  efgt1p2  12201  eirraplem  12283  bitsfzo  12461  bitscmp  12464  bitsinv1lem  12467  prmind2  12637  isprm5lem  12658  sqrt2irrlem  12678  sqrt2irraplemnn  12696  sqrt2irrap  12697  modprmn0modprm0  12774  pythagtriplem12  12793  pythagtriplem14  12795  pythagtriplem16  12797  4sqlem7  12902  4sqlem12  12920  logbrec  15628  logbgcd1irr  15635  logbgcd1irraplemexp  15636  logbgcd1irraplemap  15637  sgmval  15651  sgmf  15654  sgmnncl  15656  sgmppw  15660  1sgmprm  15662  sgmmul  15664  perfectlem2  15668  lgseisenlem1  15743  lgsquadlem2  15751  lgsquadlem3  15752  2sqlem8  15796  cvgcmp2nlemabs  16359  trilpolemlt1  16368