Theorem nnrpd 10027

Description: A positive integer is a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnrpd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnrpd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Proof of Theorem nnrpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnrpd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnrp 9996	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ+)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2203  ℕcn 9237  ℝ⁺crp 9986

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1re 8221  ax-addrcl 8224  ax-0lt1 8233  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-ltadd 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2815  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-br 4110  df-opab 4172  df-xp 4755  df-cnv 4757  df-iota 5312  df-fv 5360  df-ov 6053  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-inn 9238  df-rp 9987

This theorem is referenced by:  zgt1rpn0n1  10028  qtri3or  10600  qbtwnrelemcalc  10615  qbtwnre  10616  flqdiv  10683  addmodlteq  10760  nnesq  11021  bcpasc  11128  cvg1nlemcxze  11667  cvg1nlemcau  11669  cvg1nlemres  11670  resqrexlemnmsq  11702  resqrexlemnm  11703  resqrexlemcvg  11704  climrecvg1n  12033  climcvg1nlem  12034  cvgratnnlembern  12209  cvgratnnlemfm  12215  mertenslemi1  12221  mertenslem2  12222  efcllemp  12344  ege2le3  12357  eftlub  12376  effsumlt  12378  efgt1p2  12381  eirraplem  12463  bitsfzo  12641  bitscmp  12644  bitsinv1lem  12647  prmind2  12817  isprm5lem  12838  sqrt2irrlem  12858  sqrt2irraplemnn  12876  sqrt2irrap  12877  modprmn0modprm0  12954  pythagtriplem12  12973  pythagtriplem14  12975  pythagtriplem16  12977  4sqlem7  13082  4sqlem12  13100  logbrec  15825  logbgcd1irr  15832  logbgcd1irraplemexp  15833  logbgcd1irraplemap  15834  sgmval  15851  sgmf  15854  sgmnncl  15856  sgmppw  15860  1sgmprm  15862  sgmmul  15864  perfectlem2  15868  lgseisenlem1  15943  lgsquadlem2  15951  lgsquadlem3  15952  2sqlem8  15996  cvgcmp2nlemabs  16816  trilpolemlt1  16825