Theorem nnrpd 9973

Description: A positive integer is a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnrpd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnrpd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Proof of Theorem nnrpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnrpd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnrp 9942	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ+)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2202  ℕcn 9185  ℝ⁺crp 9932

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1re 8169  ax-addrcl 8172  ax-0lt1 8181  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-ltadd 8191

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-xp 4737  df-cnv 4739  df-iota 5293  df-fv 5341  df-ov 6031  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260  df-ltxr 8261  df-le 8262  df-inn 9186  df-rp 9933

This theorem is referenced by:  zgt1rpn0n1  9974  qtri3or  10546  qbtwnrelemcalc  10561  qbtwnre  10562  flqdiv  10629  addmodlteq  10706  nnesq  10967  bcpasc  11074  cvg1nlemcxze  11605  cvg1nlemcau  11607  cvg1nlemres  11608  resqrexlemnmsq  11640  resqrexlemnm  11641  resqrexlemcvg  11642  climrecvg1n  11971  climcvg1nlem  11972  cvgratnnlembern  12147  cvgratnnlemfm  12153  mertenslemi1  12159  mertenslem2  12160  efcllemp  12282  ege2le3  12295  eftlub  12314  effsumlt  12316  efgt1p2  12319  eirraplem  12401  bitsfzo  12579  bitscmp  12582  bitsinv1lem  12585  prmind2  12755  isprm5lem  12776  sqrt2irrlem  12796  sqrt2irraplemnn  12814  sqrt2irrap  12815  modprmn0modprm0  12892  pythagtriplem12  12911  pythagtriplem14  12913  pythagtriplem16  12915  4sqlem7  13020  4sqlem12  13038  logbrec  15754  logbgcd1irr  15761  logbgcd1irraplemexp  15762  logbgcd1irraplemap  15763  sgmval  15780  sgmf  15783  sgmnncl  15785  sgmppw  15789  1sgmprm  15791  sgmmul  15793  perfectlem2  15797  lgseisenlem1  15872  lgsquadlem2  15880  lgsquadlem3  15881  2sqlem8  15925  cvgcmp2nlemabs  16747  trilpolemlt1  16756