Theorem nnrpd 9651

Description: A positive integer is a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnrpd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnrpd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Proof of Theorem nnrpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnrpd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnrp 9620	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ+)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2141  ℕcn 8878  ℝ⁺crp 9610

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1re 7868  ax-addrcl 7871  ax-0lt1 7880  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-ltadd 7890

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-br 3990  df-opab 4051  df-xp 4617  df-cnv 4619  df-iota 5160  df-fv 5206  df-ov 5856  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-inn 8879  df-rp 9611

This theorem is referenced by:  zgt1rpn0n1  9652  qtri3or  10199  qbtwnrelemcalc  10212  qbtwnre  10213  flqdiv  10277  addmodlteq  10354  nnesq  10595  bcpasc  10700  cvg1nlemcxze  10946  cvg1nlemcau  10948  cvg1nlemres  10949  resqrexlemnmsq  10981  resqrexlemnm  10982  resqrexlemcvg  10983  climrecvg1n  11311  climcvg1nlem  11312  cvgratnnlembern  11486  cvgratnnlemfm  11492  mertenslemi1  11498  mertenslem2  11499  efcllemp  11621  ege2le3  11634  eftlub  11653  effsumlt  11655  efgt1p2  11658  eirraplem  11739  prmind2  12074  isprm5lem  12095  sqrt2irrlem  12115  sqrt2irraplemnn  12133  sqrt2irrap  12134  modprmn0modprm0  12210  pythagtriplem12  12229  pythagtriplem14  12231  pythagtriplem16  12233  4sqlem7  12336  logbrec  13672  logbgcd1irr  13679  logbgcd1irraplemexp  13680  logbgcd1irraplemap  13681  2sqlem8  13753  cvgcmp2nlemabs  14064  trilpolemlt1  14073