Theorem nnrpd 9697

Description: A positive integer is a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnrpd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnrpd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Proof of Theorem nnrpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnrpd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnrp 9666	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ+)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2148  ℕcn 8922  ℝ⁺crp 9656

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1re 7908  ax-addrcl 7911  ax-0lt1 7920  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-pre-ltirr 7926  ax-pre-ltwlin 7927  ax-pre-lttrn 7928  ax-pre-ltadd 7930

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-xp 4634  df-cnv 4636  df-iota 5180  df-fv 5226  df-ov 5881  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-xr 7999  df-ltxr 8000  df-le 8001  df-inn 8923  df-rp 9657

This theorem is referenced by:  zgt1rpn0n1  9698  qtri3or  10246  qbtwnrelemcalc  10259  qbtwnre  10260  flqdiv  10324  addmodlteq  10401  nnesq  10643  bcpasc  10749  cvg1nlemcxze  10994  cvg1nlemcau  10996  cvg1nlemres  10997  resqrexlemnmsq  11029  resqrexlemnm  11030  resqrexlemcvg  11031  climrecvg1n  11359  climcvg1nlem  11360  cvgratnnlembern  11534  cvgratnnlemfm  11540  mertenslemi1  11546  mertenslem2  11547  efcllemp  11669  ege2le3  11682  eftlub  11701  effsumlt  11703  efgt1p2  11706  eirraplem  11787  prmind2  12123  isprm5lem  12144  sqrt2irrlem  12164  sqrt2irraplemnn  12182  sqrt2irrap  12183  modprmn0modprm0  12259  pythagtriplem12  12278  pythagtriplem14  12280  pythagtriplem16  12282  4sqlem7  12385  logbrec  14539  logbgcd1irr  14546  logbgcd1irraplemexp  14547  logbgcd1irraplemap  14548  lgseisenlem1  14611  2sqlem8  14631  cvgcmp2nlemabs  14942  trilpolemlt1  14951