Theorem nnrpd 9788

Description: A positive integer is a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnrpd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnrpd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Proof of Theorem nnrpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnrpd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnrp 9757	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ+)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2167  ℕcn 9009  ℝ⁺crp 9747

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7989  ax-resscn 7990  ax-1re 7992  ax-addrcl 7995  ax-0lt1 8004  ax-0id 8006  ax-rnegex 8007  ax-pre-ltirr 8010  ax-pre-ltwlin 8011  ax-pre-lttrn 8012  ax-pre-ltadd 8014

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-xp 4670  df-cnv 4672  df-iota 5220  df-fv 5267  df-ov 5928  df-pnf 8082  df-mnf 8083  df-xr 8084  df-ltxr 8085  df-le 8086  df-inn 9010  df-rp 9748

This theorem is referenced by:  zgt1rpn0n1  9789  qtri3or  10349  qbtwnrelemcalc  10364  qbtwnre  10365  flqdiv  10432  addmodlteq  10509  nnesq  10770  bcpasc  10877  cvg1nlemcxze  11166  cvg1nlemcau  11168  cvg1nlemres  11169  resqrexlemnmsq  11201  resqrexlemnm  11202  resqrexlemcvg  11203  climrecvg1n  11532  climcvg1nlem  11533  cvgratnnlembern  11707  cvgratnnlemfm  11713  mertenslemi1  11719  mertenslem2  11720  efcllemp  11842  ege2le3  11855  eftlub  11874  effsumlt  11876  efgt1p2  11879  eirraplem  11961  bitsfzo  12139  bitscmp  12142  bitsinv1lem  12145  prmind2  12315  isprm5lem  12336  sqrt2irrlem  12356  sqrt2irraplemnn  12374  sqrt2irrap  12375  modprmn0modprm0  12452  pythagtriplem12  12471  pythagtriplem14  12473  pythagtriplem16  12475  4sqlem7  12580  4sqlem12  12598  logbrec  15304  logbgcd1irr  15311  logbgcd1irraplemexp  15312  logbgcd1irraplemap  15313  sgmval  15327  sgmf  15330  sgmnncl  15332  sgmppw  15336  1sgmprm  15338  sgmmul  15340  perfectlem2  15344  lgseisenlem1  15419  lgsquadlem2  15427  lgsquadlem3  15428  2sqlem8  15472  cvgcmp2nlemabs  15789  trilpolemlt1  15798