Theorem nnrpd 9626

Description: A positive integer is a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnrpd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnrpd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Proof of Theorem nnrpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnrpd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnrp 9595	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ+)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2136  ℕcn 8853  ℝ⁺crp 9585

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4099  ax-pow 4152  ax-pr 4186  ax-un 4410  ax-setind 4513  ax-cnex 7840  ax-resscn 7841  ax-1re 7843  ax-addrcl 7846  ax-0lt1 7855  ax-0id 7857  ax-rnegex 7858  ax-pre-ltirr 7861  ax-pre-ltwlin 7862  ax-pre-lttrn 7863  ax-pre-ltadd 7865

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2296  df-ne 2336  df-nel 2431  df-ral 2448  df-rex 2449  df-rab 2452  df-v 2727  df-dif 3117  df-un 3119  df-in 3121  df-ss 3128  df-pw 3560  df-sn 3581  df-pr 3582  df-op 3584  df-uni 3789  df-int 3824  df-br 3982  df-opab 4043  df-xp 4609  df-cnv 4611  df-iota 5152  df-fv 5195  df-ov 5844  df-pnf 7931  df-mnf 7932  df-xr 7933  df-ltxr 7934  df-le 7935  df-inn 8854  df-rp 9586

This theorem is referenced by:  zgt1rpn0n1  9627  qtri3or  10174  qbtwnrelemcalc  10187  qbtwnre  10188  flqdiv  10252  addmodlteq  10329  nnesq  10570  bcpasc  10675  cvg1nlemcxze  10920  cvg1nlemcau  10922  cvg1nlemres  10923  resqrexlemnmsq  10955  resqrexlemnm  10956  resqrexlemcvg  10957  climrecvg1n  11285  climcvg1nlem  11286  cvgratnnlembern  11460  cvgratnnlemfm  11466  mertenslemi1  11472  mertenslem2  11473  efcllemp  11595  ege2le3  11608  eftlub  11627  effsumlt  11629  efgt1p2  11632  eirraplem  11713  prmind2  12048  isprm5lem  12069  sqrt2irrlem  12089  sqrt2irraplemnn  12107  sqrt2irrap  12108  modprmn0modprm0  12184  pythagtriplem12  12203  pythagtriplem14  12205  pythagtriplem16  12207  4sqlem7  12310  logbrec  13478  logbgcd1irr  13485  logbgcd1irraplemexp  13486  logbgcd1irraplemap  13487  2sqlem8  13559  cvgcmp2nlemabs  13871  trilpolemlt1  13880