Theorem opprsllem 14089

Description: Lemma for opprbasg 14090 and oppraddg 14091. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.) (Revised by AV, 6-Nov-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
opprbas.1	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
opprsllem.2	⊢ (𝐸 = Slot (𝐸‘ndx) ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
opprlem.3	⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (.r‘ndx)

Assertion

Ref	Expression
opprsllem	⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑂))

Proof of Theorem opprsllem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulrslid 13216	. . . . 5 ⊢ (.r = Slot (.r‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ∈ ℕ)
2	1	slotex 13110	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (.r‘𝑅) ∈ V)
3		tposexg 6424	. . . 4 ⊢ ((.r‘𝑅) ∈ V → tpos (.r‘𝑅) ∈ V)
4	2, 3	syl 14	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → tpos (.r‘𝑅) ∈ V)
5		opprsllem.2	. . . 4 ⊢ (𝐸 = Slot (𝐸‘ndx) ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
6		opprlem.3	. . . 4 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (.r‘ndx)
7	1	simpri 113	. . . 4 ⊢ (.r‘ndx) ∈ ℕ
8	5, 6, 7	setsslnid 13135	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ tpos (.r‘𝑅) ∈ V) → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘(𝑅 sSet ⟨(.r‘ndx), tpos (.r‘𝑅)⟩)))
9	4, 8	mpdan 421	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘(𝑅 sSet ⟨(.r‘ndx), tpos (.r‘𝑅)⟩)))
10		eqid 2231	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
11		eqid 2231	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
12		opprbas.1	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
13	10, 11, 12	opprvalg 14084	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑂 = (𝑅 sSet ⟨(.r‘ndx), tpos (.r‘𝑅)⟩))
14	13	fveq2d 5643	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝐸‘𝑂) = (𝐸‘(𝑅 sSet ⟨(.r‘ndx), tpos (.r‘𝑅)⟩)))
15	9, 14	eqtr4d 2267	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑂))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1397   ∈ wcel 2202   ≠ wne 2402  Vcvv 2802  ⟨cop 3672  ‘cfv 5326  (class class class)co 6018  tpos ctpos 6410  ℕcn 9143  ndxcnx 13080   sSet csts 13081  Slot cslot 13082  Basecbs 13083  ._rcmulr 13162  opp_rcoppr 14082

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1re 8126  ax-addrcl 8129

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-fv 5334  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-tpos 6411  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-ndx 13086  df-slot 13087  df-sets 13090  df-mulr 13175  df-oppr 14083

This theorem is referenced by:  opprbasg  14090  oppraddg  14091