ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  opprsllem GIF version

Theorem opprsllem 13251
Description: Lemma for opprbasg 13252 and oppraddg 13253. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.) (Revised by AV, 6-Nov-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
opprbas.1 𝑂 = (opprβ€˜π‘…)
opprsllem.2 (𝐸 = Slot (πΈβ€˜ndx) ∧ (πΈβ€˜ndx) ∈ β„•)
opprlem.3 (πΈβ€˜ndx) β‰  (.rβ€˜ndx)
Assertion
Ref Expression
opprsllem (𝑅 ∈ 𝑉 β†’ (πΈβ€˜π‘…) = (πΈβ€˜π‘‚))

Proof of Theorem opprsllem
StepHypRef Expression
1 mulrslid 12592 . . . . 5 (.r = Slot (.rβ€˜ndx) ∧ (.rβ€˜ndx) ∈ β„•)
21slotex 12491 . . . 4 (𝑅 ∈ 𝑉 β†’ (.rβ€˜π‘…) ∈ V)
3 tposexg 6261 . . . 4 ((.rβ€˜π‘…) ∈ V β†’ tpos (.rβ€˜π‘…) ∈ V)
42, 3syl 14 . . 3 (𝑅 ∈ 𝑉 β†’ tpos (.rβ€˜π‘…) ∈ V)
5 opprsllem.2 . . . 4 (𝐸 = Slot (πΈβ€˜ndx) ∧ (πΈβ€˜ndx) ∈ β„•)
6 opprlem.3 . . . 4 (πΈβ€˜ndx) β‰  (.rβ€˜ndx)
71simpri 113 . . . 4 (.rβ€˜ndx) ∈ β„•
85, 6, 7setsslnid 12516 . . 3 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ tpos (.rβ€˜π‘…) ∈ V) β†’ (πΈβ€˜π‘…) = (πΈβ€˜(𝑅 sSet ⟨(.rβ€˜ndx), tpos (.rβ€˜π‘…)⟩)))
94, 8mpdan 421 . 2 (𝑅 ∈ 𝑉 β†’ (πΈβ€˜π‘…) = (πΈβ€˜(𝑅 sSet ⟨(.rβ€˜ndx), tpos (.rβ€˜π‘…)⟩)))
10 eqid 2177 . . . 4 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
11 eqid 2177 . . . 4 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
12 opprbas.1 . . . 4 𝑂 = (opprβ€˜π‘…)
1310, 11, 12opprvalg 13246 . . 3 (𝑅 ∈ 𝑉 β†’ 𝑂 = (𝑅 sSet ⟨(.rβ€˜ndx), tpos (.rβ€˜π‘…)⟩))
1413fveq2d 5521 . 2 (𝑅 ∈ 𝑉 β†’ (πΈβ€˜π‘‚) = (πΈβ€˜(𝑅 sSet ⟨(.rβ€˜ndx), tpos (.rβ€˜π‘…)⟩)))
159, 14eqtr4d 2213 1 (𝑅 ∈ 𝑉 β†’ (πΈβ€˜π‘…) = (πΈβ€˜π‘‚))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   β‰  wne 2347  Vcvv 2739  βŸ¨cop 3597  β€˜cfv 5218  (class class class)co 5877  tpos ctpos 6247  β„•cn 8921  ndxcnx 12461   sSet csts 12462  Slot cslot 12463  Basecbs 12464  .rcmulr 12539  opprcoppr 13244
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1re 7907  ax-addrcl 7910
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-fv 5226  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-tpos 6248  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-ndx 12467  df-slot 12468  df-sets 12471  df-mulr 12552  df-oppr 13245
This theorem is referenced by:  opprbasg  13252  oppraddg  13253
  Copyright terms: Public domain W3C validator