Theorem opprsllem 13239

Description: Lemma for opprbasg 13240 and oppraddg 13241. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.) (Revised by AV, 6-Nov-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
opprbas.1	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
opprsllem.2	⊢ (𝐸 = Slot (𝐸‘ndx) ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
opprlem.3	⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (.r‘ndx)

Assertion

Ref	Expression
opprsllem	⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑂))

Proof of Theorem opprsllem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulrslid 12584	. . . . 5 ⊢ (.r = Slot (.r‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ∈ ℕ)
2	1	slotex 12483	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (.r‘𝑅) ∈ V)
3		tposexg 6258	. . . 4 ⊢ ((.r‘𝑅) ∈ V → tpos (.r‘𝑅) ∈ V)
4	2, 3	syl 14	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → tpos (.r‘𝑅) ∈ V)
5		opprsllem.2	. . . 4 ⊢ (𝐸 = Slot (𝐸‘ndx) ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
6		opprlem.3	. . . 4 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (.r‘ndx)
7	1	simpri 113	. . . 4 ⊢ (.r‘ndx) ∈ ℕ
8	5, 6, 7	setsslnid 12508	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ tpos (.r‘𝑅) ∈ V) → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘(𝑅 sSet ⟨(.r‘ndx), tpos (.r‘𝑅)⟩)))
9	4, 8	mpdan 421	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘(𝑅 sSet ⟨(.r‘ndx), tpos (.r‘𝑅)⟩)))
10		eqid 2177	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
11		eqid 2177	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
12		opprbas.1	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
13	10, 11, 12	opprvalg 13234	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑂 = (𝑅 sSet ⟨(.r‘ndx), tpos (.r‘𝑅)⟩))
14	13	fveq2d 5519	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝐸‘𝑂) = (𝐸‘(𝑅 sSet ⟨(.r‘ndx), tpos (.r‘𝑅)⟩)))
15	9, 14	eqtr4d 2213	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑂))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   ≠ wne 2347  Vcvv 2737  ⟨cop 3595  ‘cfv 5216  (class class class)co 5874  tpos ctpos 6244  ℕcn 8917  ndxcnx 12453   sSet csts 12454  Slot cslot 12455  Basecbs 12456  ._rcmulr 12531  opp_rcoppr 13232

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1re 7904  ax-addrcl 7907

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-fv 5224  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-tpos 6245  df-inn 8918  df-2 8976  df-3 8977  df-ndx 12459  df-slot 12460  df-sets 12463  df-mulr 12544  df-oppr 13233

This theorem is referenced by:  opprbasg  13240  oppraddg  13241