Theorem opprsllem 14235

Description: Lemma for opprbasg 14236 and oppraddg 14237. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.) (Revised by AV, 6-Nov-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
opprbas.1	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
opprsllem.2	⊢ (𝐸 = Slot (𝐸‘ndx) ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
opprlem.3	⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (.r‘ndx)

Assertion

Ref	Expression
opprsllem	⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑂))

Proof of Theorem opprsllem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulrslid 13362	. . . . 5 ⊢ (.r = Slot (.r‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ∈ ℕ)
2	1	slotex 13256	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (.r‘𝑅) ∈ V)
3		tposexg 6491	. . . 4 ⊢ ((.r‘𝑅) ∈ V → tpos (.r‘𝑅) ∈ V)
4	2, 3	syl 14	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → tpos (.r‘𝑅) ∈ V)
5		opprsllem.2	. . . 4 ⊢ (𝐸 = Slot (𝐸‘ndx) ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
6		opprlem.3	. . . 4 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (.r‘ndx)
7	1	simpri 113	. . . 4 ⊢ (.r‘ndx) ∈ ℕ
8	5, 6, 7	setsslnid 13281	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ tpos (.r‘𝑅) ∈ V) → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘(𝑅 sSet ⟨(.r‘ndx), tpos (.r‘𝑅)⟩)))
9	4, 8	mpdan 421	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘(𝑅 sSet ⟨(.r‘ndx), tpos (.r‘𝑅)⟩)))
10		eqid 2234	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
11		eqid 2234	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
12		opprbas.1	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
13	10, 11, 12	opprvalg 14230	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑂 = (𝑅 sSet ⟨(.r‘ndx), tpos (.r‘𝑅)⟩))
14	13	fveq2d 5676	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝐸‘𝑂) = (𝐸‘(𝑅 sSet ⟨(.r‘ndx), tpos (.r‘𝑅)⟩)))
15	9, 14	eqtr4d 2270	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑂))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2205   ≠ wne 2414  Vcvv 2815  ⟨cop 3694  ‘cfv 5354  (class class class)co 6052  tpos ctpos 6477  ℕcn 9239  ndxcnx 13226   sSet csts 13227  Slot cslot 13228  Basecbs 13229  ._rcmulr 13308  opp_rcoppr 14228

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221  ax-1re 8223  ax-addrcl 8226

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-fv 5362  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-tpos 6478  df-inn 9240  df-2 9298  df-3 9299  df-ndx 13232  df-slot 13233  df-sets 13236  df-mulr 13321  df-oppr 14229

This theorem is referenced by:  opprbasg  14236  oppraddg  14237