Theorem opprsllem 13706

Description: Lemma for opprbasg 13707 and oppraddg 13708. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.) (Revised by AV, 6-Nov-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
opprbas.1	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
opprsllem.2	⊢ (𝐸 = Slot (𝐸‘ndx) ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
opprlem.3	⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (.r‘ndx)

Assertion

Ref	Expression
opprsllem	⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑂))

Proof of Theorem opprsllem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulrslid 12834	. . . . 5 ⊢ (.r = Slot (.r‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ∈ ℕ)
2	1	slotex 12730	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (.r‘𝑅) ∈ V)
3		tposexg 6325	. . . 4 ⊢ ((.r‘𝑅) ∈ V → tpos (.r‘𝑅) ∈ V)
4	2, 3	syl 14	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → tpos (.r‘𝑅) ∈ V)
5		opprsllem.2	. . . 4 ⊢ (𝐸 = Slot (𝐸‘ndx) ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
6		opprlem.3	. . . 4 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (.r‘ndx)
7	1	simpri 113	. . . 4 ⊢ (.r‘ndx) ∈ ℕ
8	5, 6, 7	setsslnid 12755	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ tpos (.r‘𝑅) ∈ V) → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘(𝑅 sSet ⟨(.r‘ndx), tpos (.r‘𝑅)⟩)))
9	4, 8	mpdan 421	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘(𝑅 sSet ⟨(.r‘ndx), tpos (.r‘𝑅)⟩)))
10		eqid 2196	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
11		eqid 2196	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
12		opprbas.1	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
13	10, 11, 12	opprvalg 13701	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑂 = (𝑅 sSet ⟨(.r‘ndx), tpos (.r‘𝑅)⟩))
14	13	fveq2d 5565	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝐸‘𝑂) = (𝐸‘(𝑅 sSet ⟨(.r‘ndx), tpos (.r‘𝑅)⟩)))
15	9, 14	eqtr4d 2232	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑂))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   ≠ wne 2367  Vcvv 2763  ⟨cop 3626  ‘cfv 5259  (class class class)co 5925  tpos ctpos 6311  ℕcn 9007  ndxcnx 12700   sSet csts 12701  Slot cslot 12702  Basecbs 12703  ._rcmulr 12781  opp_rcoppr 13699

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1re 7990  ax-addrcl 7993

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-fv 5267  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-tpos 6312  df-inn 9008  df-2 9066  df-3 9067  df-ndx 12706  df-slot 12707  df-sets 12710  df-mulr 12794  df-oppr 13700

This theorem is referenced by:  opprbasg  13707  oppraddg  13708