Theorem opprsllem 13836

Description: Lemma for opprbasg 13837 and oppraddg 13838. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.) (Revised by AV, 6-Nov-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
opprbas.1	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
opprsllem.2	⊢ (𝐸 = Slot (𝐸‘ndx) ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
opprlem.3	⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (.r‘ndx)

Assertion

Ref	Expression
opprsllem	⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑂))

Proof of Theorem opprsllem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulrslid 12964	. . . . 5 ⊢ (.r = Slot (.r‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ∈ ℕ)
2	1	slotex 12859	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (.r‘𝑅) ∈ V)
3		tposexg 6344	. . . 4 ⊢ ((.r‘𝑅) ∈ V → tpos (.r‘𝑅) ∈ V)
4	2, 3	syl 14	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → tpos (.r‘𝑅) ∈ V)
5		opprsllem.2	. . . 4 ⊢ (𝐸 = Slot (𝐸‘ndx) ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
6		opprlem.3	. . . 4 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (.r‘ndx)
7	1	simpri 113	. . . 4 ⊢ (.r‘ndx) ∈ ℕ
8	5, 6, 7	setsslnid 12884	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ tpos (.r‘𝑅) ∈ V) → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘(𝑅 sSet ⟨(.r‘ndx), tpos (.r‘𝑅)⟩)))
9	4, 8	mpdan 421	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘(𝑅 sSet ⟨(.r‘ndx), tpos (.r‘𝑅)⟩)))
10		eqid 2205	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
11		eqid 2205	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
12		opprbas.1	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
13	10, 11, 12	opprvalg 13831	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑂 = (𝑅 sSet ⟨(.r‘ndx), tpos (.r‘𝑅)⟩))
14	13	fveq2d 5580	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝐸‘𝑂) = (𝐸‘(𝑅 sSet ⟨(.r‘ndx), tpos (.r‘𝑅)⟩)))
15	9, 14	eqtr4d 2241	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑂))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1373   ∈ wcel 2176   ≠ wne 2376  Vcvv 2772  ⟨cop 3636  ‘cfv 5271  (class class class)co 5944  tpos ctpos 6330  ℕcn 9036  ndxcnx 12829   sSet csts 12830  Slot cslot 12831  Basecbs 12832  ._rcmulr 12910  opp_rcoppr 13829

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-nul 4170  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1re 8019  ax-addrcl 8022

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-fv 5279  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-tpos 6331  df-inn 9037  df-2 9095  df-3 9096  df-ndx 12835  df-slot 12836  df-sets 12839  df-mulr 12923  df-oppr 13830

This theorem is referenced by:  opprbasg  13837  oppraddg  13838