Theorem mhmlin 13669

Description: A monoid homomorphism commutes with composition. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mhmlin.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
mhmlin.p	⊢ + = (+g‘𝑆)
mhmlin.q	⊢ ⨣ = (+g‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
mhmlin	⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑌)) = ((𝐹‘𝑋) ⨣ (𝐹‘𝑌)))

Proof of Theorem mhmlin

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mhmlin.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
2		eqid 2232	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
3		mhmlin.p	. . . . . 6 ⊢ + = (+g‘𝑆)
4		mhmlin.q	. . . . . 6 ⊢ ⨣ = (+g‘𝑇)
5		eqid 2232	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
6		eqid 2232	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑇) = (0g‘𝑇)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	ismhm 13663	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) ↔ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd) ∧ (𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑇) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) ⨣ (𝐹‘𝑦)) ∧ (𝐹‘(0g‘𝑆)) = (0g‘𝑇))))
8	7	simprbi 275	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) → (𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑇) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) ⨣ (𝐹‘𝑦)) ∧ (𝐹‘(0g‘𝑆)) = (0g‘𝑇)))
9	8	simp2d 1037	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) ⨣ (𝐹‘𝑦)))
10		fvoveq1 6072	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑦)))
11		fveq2 5669	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑋))
12	11	oveq1d 6064	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝐹‘𝑥) ⨣ (𝐹‘𝑦)) = ((𝐹‘𝑋) ⨣ (𝐹‘𝑦)))
13	10, 12	eqeq12d 2247	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) ⨣ (𝐹‘𝑦)) ↔ (𝐹‘(𝑋 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑋) ⨣ (𝐹‘𝑦))))
14		oveq2 6057	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝑋 + 𝑦) = (𝑋 + 𝑌))
15	14	fveq2d 5673	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝐹‘(𝑋 + 𝑦)) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑌)))
16		fveq2 5669	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑌))
17	16	oveq2d 6065	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → ((𝐹‘𝑋) ⨣ (𝐹‘𝑦)) = ((𝐹‘𝑋) ⨣ (𝐹‘𝑌)))
18	15, 17	eqeq12d 2247	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑋) ⨣ (𝐹‘𝑦)) ↔ (𝐹‘(𝑋 + 𝑌)) = ((𝐹‘𝑋) ⨣ (𝐹‘𝑌))))
19	13, 18	rspc2v 2933	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) ⨣ (𝐹‘𝑦)) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑌)) = ((𝐹‘𝑋) ⨣ (𝐹‘𝑌))))
20	9, 19	syl5com 29	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑌)) = ((𝐹‘𝑋) ⨣ (𝐹‘𝑌))))
21	20	3impib 1228	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑌)) = ((𝐹‘𝑋) ⨣ (𝐹‘𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  ∀wral 2520  ⟶wf 5347  ‘cfv 5351  (class class class)co 6049  Basecbs 13201  +_gcplusg 13279  0_gc0g 13458  Mndcmnd 13618   MndHom cmhm 13659

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-cnex 8214  ax-resscn 8215  ax-1re 8217  ax-addrcl 8220

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-id 4413  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-fv 5359  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-map 6883  df-inn 9234  df-ndx 13204  df-slot 13205  df-base 13207  df-mhm 13661

This theorem is referenced by:  mhmf1o  13672  resmhm  13689  resmhm2  13690  resmhm2b  13691  mhmco  13692  mhmima  13693  mhmeql  13694  gsumwmhm  13700  mhmmulg  13869  ghmmhmb  13960  gsumfzmhm  14049  rhmmul  14298