Theorem mhmlin 13834

Description: A monoid homomorphism commutes with composition. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mhmlin.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
mhmlin.p	⊢ + = (+g‘𝑆)
mhmlin.q	⊢ ⨣ = (+g‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
mhmlin	⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑌)) = ((𝐹‘𝑋) ⨣ (𝐹‘𝑌)))

Proof of Theorem mhmlin

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mhmlin.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
2		eqid 2238	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
3		mhmlin.p	. . . . . 6 ⊢ + = (+g‘𝑆)
4		mhmlin.q	. . . . . 6 ⊢ ⨣ = (+g‘𝑇)
5		eqid 2238	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
6		eqid 2238	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑇) = (0g‘𝑇)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	ismhm 13828	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) ↔ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd) ∧ (𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑇) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) ⨣ (𝐹‘𝑦)) ∧ (𝐹‘(0g‘𝑆)) = (0g‘𝑇))))
8	7	simprbi 275	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) → (𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑇) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) ⨣ (𝐹‘𝑦)) ∧ (𝐹‘(0g‘𝑆)) = (0g‘𝑇)))
9	8	simp2d 1041	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) ⨣ (𝐹‘𝑦)))
10		fvoveq1 6111	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑦)))
11		fveq2 5698	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑋))
12	11	oveq1d 6103	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝐹‘𝑥) ⨣ (𝐹‘𝑦)) = ((𝐹‘𝑋) ⨣ (𝐹‘𝑦)))
13	10, 12	eqeq12d 2253	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) ⨣ (𝐹‘𝑦)) ↔ (𝐹‘(𝑋 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑋) ⨣ (𝐹‘𝑦))))
14		oveq2 6096	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝑋 + 𝑦) = (𝑋 + 𝑌))
15	14	fveq2d 5702	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝐹‘(𝑋 + 𝑦)) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑌)))
16		fveq2 5698	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑌))
17	16	oveq2d 6104	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → ((𝐹‘𝑋) ⨣ (𝐹‘𝑦)) = ((𝐹‘𝑋) ⨣ (𝐹‘𝑌)))
18	15, 17	eqeq12d 2253	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑋) ⨣ (𝐹‘𝑦)) ↔ (𝐹‘(𝑋 + 𝑌)) = ((𝐹‘𝑋) ⨣ (𝐹‘𝑌))))
19	13, 18	rspc2v 2943	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) ⨣ (𝐹‘𝑦)) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑌)) = ((𝐹‘𝑋) ⨣ (𝐹‘𝑌))))
20	9, 19	syl5com 29	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑌)) = ((𝐹‘𝑋) ⨣ (𝐹‘𝑌))))
21	20	3impib 1232	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑌)) = ((𝐹‘𝑋) ⨣ (𝐹‘𝑌)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  ⟶wf 5376  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088  Basecbs 13411  +_gcplusg 13491  0_gc0g 13670  Mndcmnd 13789   MndHom cmhm 13824

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1re 8280  ax-addrcl 8283

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-fv 5388  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-map 6928  df-inn 9315  df-ndx 13414  df-slot 13415  df-base 13417  df-mhm 13826

This theorem is used by:  mhmf1o  13837  resmhm  13854  resmhm2  13855  resmhm2b  13856  mhmco  13857  mhmima  13858  mhmeql  13859  gzsumwmhm  13863  mhmmulg  14026  ghmmhmb  14117  cntzmhm  14174  gzsummhm  14236  rhmmul  14581