Theorem umgrislfupgrenlem 15806

Description: Lemma for umgrislfupgrdom 15807. (Contributed by AV, 27-Jan-2021.)

Assertion

Ref	Expression
umgrislfupgrenlem	⊢ ({𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)} ∩ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2o ≼ 𝑥}) = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 𝑥 ≈ 2o}

Proof of Theorem umgrislfupgrenlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inrab 3449	. 2 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)} ∩ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2o ≼ 𝑥}) = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ((𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o) ∧ 2o ≼ 𝑥)}
2		1ndom2 6982	. . . . . . 7 ⊢ ¬ 2o ≼ 1o
3		domentr 6901	. . . . . . . 8 ⊢ ((2o ≼ 𝑥 ∧ 𝑥 ≈ 1o) → 2o ≼ 1o)
4	3	ex 115	. . . . . . 7 ⊢ (2o ≼ 𝑥 → (𝑥 ≈ 1o → 2o ≼ 1o))
5	2, 4	mtoi 666	. . . . . 6 ⊢ (2o ≼ 𝑥 → ¬ 𝑥 ≈ 1o)
6		orel1 727	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑥 ≈ 1o → ((𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o) → 𝑥 ≈ 2o))
7	5, 6	syl 14	. . . . 5 ⊢ (2o ≼ 𝑥 → ((𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o) → 𝑥 ≈ 2o))
8	7	impcom 125	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o) ∧ 2o ≼ 𝑥) → 𝑥 ≈ 2o)
9		olc 713	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ≈ 2o → (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o))
10		ensymb 6890	. . . . . 6 ⊢ (2o ≈ 𝑥 ↔ 𝑥 ≈ 2o)
11		endom 6872	. . . . . 6 ⊢ (2o ≈ 𝑥 → 2o ≼ 𝑥)
12	10, 11	sylbir 135	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ≈ 2o → 2o ≼ 𝑥)
13	9, 12	jca 306	. . . 4 ⊢ (𝑥 ≈ 2o → ((𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o) ∧ 2o ≼ 𝑥))
14	8, 13	impbii 126	. . 3 ⊢ (((𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o) ∧ 2o ≼ 𝑥) ↔ 𝑥 ≈ 2o)
15	14	rabbii 2759	. 2 ⊢ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ((𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o) ∧ 2o ≼ 𝑥)} = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 𝑥 ≈ 2o}
16	1, 15	eqtri 2227	1 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)} ∩ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2o ≼ 𝑥}) = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 𝑥 ≈ 2o}

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 710   = wceq 1373  {crab 2489   ∩ cin 3169  𝒫 cpw 3621   class class class wbr 4054  1_oc1o 6513  2_oc2o 6514   ≈ cen 6843   ≼ cdom 6844

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4173  ax-nul 4181  ax-pow 4229  ax-pr 4264  ax-un 4493  ax-setind 4598  ax-iinf 4649

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3860  df-int 3895  df-br 4055  df-opab 4117  df-tr 4154  df-id 4353  df-iord 4426  df-on 4428  df-suc 4431  df-iom 4652  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-iota 5246  df-fun 5287  df-fn 5288  df-f 5289  df-f1 5290  df-fo 5291  df-f1o 5292  df-fv 5293  df-1o 6520  df-2o 6521  df-er 6638  df-en 6846  df-dom 6847

This theorem is referenced by:  umgrislfupgrdom  15807