Theorem umgrislfupgrenlem 16285

Description: Lemma for umgrislfupgrdom 16286. (Contributed by AV, 27-Jan-2021.)

Assertion

Ref	Expression
umgrislfupgrenlem	⊢ ({𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)} ∩ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2o ≼ 𝑥}) = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 𝑥 ≈ 2o}

Proof of Theorem umgrislfupgrenlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inrab 3505	. 2 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)} ∩ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2o ≼ 𝑥}) = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ((𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o) ∧ 2o ≼ 𝑥)}
2		1ndom2 7156	. . . . . . 7 ⊢ ¬ 2o ≼ 1o
3		domentr 7068	. . . . . . . 8 ⊢ ((2o ≼ 𝑥 ∧ 𝑥 ≈ 1o) → 2o ≼ 1o)
4	3	ex 115	. . . . . . 7 ⊢ (2o ≼ 𝑥 → (𝑥 ≈ 1o → 2o ≼ 1o))
5	2, 4	mtoi 674	. . . . . 6 ⊢ (2o ≼ 𝑥 → ¬ 𝑥 ≈ 1o)
6		orel1 737	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑥 ≈ 1o → ((𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o) → 𝑥 ≈ 2o))
7	5, 6	syl 14	. . . . 5 ⊢ (2o ≼ 𝑥 → ((𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o) → 𝑥 ≈ 2o))
8	7	impcom 125	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o) ∧ 2o ≼ 𝑥) → 𝑥 ≈ 2o)
9		olc 723	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ≈ 2o → (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o))
10		ensymb 7057	. . . . . 6 ⊢ (2o ≈ 𝑥 ↔ 𝑥 ≈ 2o)
11		endom 7039	. . . . . 6 ⊢ (2o ≈ 𝑥 → 2o ≼ 𝑥)
12	10, 11	sylbir 135	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ≈ 2o → 2o ≼ 𝑥)
13	9, 12	jca 306	. . . 4 ⊢ (𝑥 ≈ 2o → ((𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o) ∧ 2o ≼ 𝑥))
14	8, 13	impbii 126	. . 3 ⊢ (((𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o) ∧ 2o ≼ 𝑥) ↔ 𝑥 ≈ 2o)
15	14	rabbii 2808	. 2 ⊢ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ((𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o) ∧ 2o ≼ 𝑥)} = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 𝑥 ≈ 2o}
16	1, 15	eqtri 2259	1 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)} ∩ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2o ≼ 𝑥}) = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 𝑥 ≈ 2o}

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 720   = wceq 1402  {crab 2532   ∩ cin 3219  𝒫 cpw 3685   class class class wbr 4125  1_oc1o 6670  2_oc2o 6671   ≈ cen 7010   ≼ cdom 7011

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-br 4126  df-opab 4188  df-tr 4225  df-id 4433  df-iord 4506  df-on 4508  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-1o 6677  df-2o 6678  df-er 6797  df-en 7013  df-dom 7014

This theorem is referenced by:  umgrislfupgrdom  16286  usgrislfuspgrdom  16345