Theorem umgrislfupgrenlem 16054

Description: Lemma for umgrislfupgrdom 16055. (Contributed by AV, 27-Jan-2021.)

Assertion

Ref	Expression
umgrislfupgrenlem	⊢ ({𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)} ∩ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2o ≼ 𝑥}) = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 𝑥 ≈ 2o}

Proof of Theorem umgrislfupgrenlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inrab 3481	. 2 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)} ∩ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2o ≼ 𝑥}) = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ((𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o) ∧ 2o ≼ 𝑥)}
2		1ndom2 7094	. . . . . . 7 ⊢ ¬ 2o ≼ 1o
3		domentr 7008	. . . . . . . 8 ⊢ ((2o ≼ 𝑥 ∧ 𝑥 ≈ 1o) → 2o ≼ 1o)
4	3	ex 115	. . . . . . 7 ⊢ (2o ≼ 𝑥 → (𝑥 ≈ 1o → 2o ≼ 1o))
5	2, 4	mtoi 670	. . . . . 6 ⊢ (2o ≼ 𝑥 → ¬ 𝑥 ≈ 1o)
6		orel1 733	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑥 ≈ 1o → ((𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o) → 𝑥 ≈ 2o))
7	5, 6	syl 14	. . . . 5 ⊢ (2o ≼ 𝑥 → ((𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o) → 𝑥 ≈ 2o))
8	7	impcom 125	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o) ∧ 2o ≼ 𝑥) → 𝑥 ≈ 2o)
9		olc 719	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ≈ 2o → (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o))
10		ensymb 6997	. . . . . 6 ⊢ (2o ≈ 𝑥 ↔ 𝑥 ≈ 2o)
11		endom 6979	. . . . . 6 ⊢ (2o ≈ 𝑥 → 2o ≼ 𝑥)
12	10, 11	sylbir 135	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ≈ 2o → 2o ≼ 𝑥)
13	9, 12	jca 306	. . . 4 ⊢ (𝑥 ≈ 2o → ((𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o) ∧ 2o ≼ 𝑥))
14	8, 13	impbii 126	. . 3 ⊢ (((𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o) ∧ 2o ≼ 𝑥) ↔ 𝑥 ≈ 2o)
15	14	rabbii 2790	. 2 ⊢ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ((𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o) ∧ 2o ≼ 𝑥)} = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 𝑥 ≈ 2o}
16	1, 15	eqtri 2252	1 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)} ∩ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2o ≼ 𝑥}) = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 𝑥 ≈ 2o}

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 716   = wceq 1398  {crab 2515   ∩ cin 3200  𝒫 cpw 3656   class class class wbr 4093  1_oc1o 6618  2_oc2o 6619   ≈ cen 6950   ≼ cdom 6951

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-1o 6625  df-2o 6626  df-er 6745  df-en 6953  df-dom 6954

This theorem is referenced by:  umgrislfupgrdom  16055  usgrislfuspgrdom  16114