Theorem umgrislfupgrenlem 15922

Description: Lemma for umgrislfupgrdom 15923. (Contributed by AV, 27-Jan-2021.)

Assertion

Ref	Expression
umgrislfupgrenlem	⊢ ({𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)} ∩ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2o ≼ 𝑥}) = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 𝑥 ≈ 2o}

Proof of Theorem umgrislfupgrenlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inrab 3476	. 2 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)} ∩ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2o ≼ 𝑥}) = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ((𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o) ∧ 2o ≼ 𝑥)}
2		1ndom2 7022	. . . . . . 7 ⊢ ¬ 2o ≼ 1o
3		domentr 6941	. . . . . . . 8 ⊢ ((2o ≼ 𝑥 ∧ 𝑥 ≈ 1o) → 2o ≼ 1o)
4	3	ex 115	. . . . . . 7 ⊢ (2o ≼ 𝑥 → (𝑥 ≈ 1o → 2o ≼ 1o))
5	2, 4	mtoi 668	. . . . . 6 ⊢ (2o ≼ 𝑥 → ¬ 𝑥 ≈ 1o)
6		orel1 730	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑥 ≈ 1o → ((𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o) → 𝑥 ≈ 2o))
7	5, 6	syl 14	. . . . 5 ⊢ (2o ≼ 𝑥 → ((𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o) → 𝑥 ≈ 2o))
8	7	impcom 125	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o) ∧ 2o ≼ 𝑥) → 𝑥 ≈ 2o)
9		olc 716	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ≈ 2o → (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o))
10		ensymb 6930	. . . . . 6 ⊢ (2o ≈ 𝑥 ↔ 𝑥 ≈ 2o)
11		endom 6912	. . . . . 6 ⊢ (2o ≈ 𝑥 → 2o ≼ 𝑥)
12	10, 11	sylbir 135	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ≈ 2o → 2o ≼ 𝑥)
13	9, 12	jca 306	. . . 4 ⊢ (𝑥 ≈ 2o → ((𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o) ∧ 2o ≼ 𝑥))
14	8, 13	impbii 126	. . 3 ⊢ (((𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o) ∧ 2o ≼ 𝑥) ↔ 𝑥 ≈ 2o)
15	14	rabbii 2785	. 2 ⊢ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ((𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o) ∧ 2o ≼ 𝑥)} = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 𝑥 ≈ 2o}
16	1, 15	eqtri 2250	1 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)} ∩ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2o ≼ 𝑥}) = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 𝑥 ≈ 2o}

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 713   = wceq 1395  {crab 2512   ∩ cin 3196  𝒫 cpw 3649   class class class wbr 4082  1_oc1o 6553  2_oc2o 6554   ≈ cen 6883   ≼ cdom 6884

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-iinf 4679

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-br 4083  df-opab 4145  df-tr 4182  df-id 4383  df-iord 4456  df-on 4458  df-suc 4461  df-iom 4682  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-1o 6560  df-2o 6561  df-er 6678  df-en 6886  df-dom 6887

This theorem is referenced by:  umgrislfupgrdom  15923  usgrislfuspgrdom  15982