Theorem umgrislfupgrdom 16577

Description: A multigraph is a loop-free pseudograph. (Contributed by AV, 27-Jan-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
umgrislfupgr.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
umgrislfupgr.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
umgrislfupgrdom	⊢ (𝐺 ∈ UMGraph ↔ (𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2o ≼ 𝑥}))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝑉

Allowed substitution hint:   𝐼(𝑥)

Proof of Theorem umgrislfupgrdom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		umgrupgr 16558	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → 𝐺 ∈ UPGraph)
2		umgrislfupgr.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3		umgrislfupgr.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
4	2, 3	umgrfen 16553	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 𝑥 ≈ 2o})
5		id 19	. . . . 5 ⊢ (𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 𝑥 ≈ 2o} → 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 𝑥 ≈ 2o})
6		ensymb 7071	. . . . . . . . 9 ⊢ (2o ≈ 𝑥 ↔ 𝑥 ≈ 2o)
7		endom 7053	. . . . . . . . 9 ⊢ (2o ≈ 𝑥 → 2o ≼ 𝑥)
8	6, 7	sylbir 135	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ≈ 2o → 2o ≼ 𝑥)
9	8	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 → (𝑥 ≈ 2o → 2o ≼ 𝑥))
10	9	ss2rabi 3330	. . . . . 6 ⊢ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 𝑥 ≈ 2o} ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2o ≼ 𝑥}
11	10	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 𝑥 ≈ 2o} → {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 𝑥 ≈ 2o} ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2o ≼ 𝑥})
12	5, 11	fssd 5550	. . . 4 ⊢ (𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 𝑥 ≈ 2o} → 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2o ≼ 𝑥})
13	4, 12	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2o ≼ 𝑥})
14	1, 13	jca 306	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → (𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2o ≼ 𝑥}))
15	2, 3	upgrfen 16543	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ UPGraph → 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)})
16		fin 5581	. . . . 5 ⊢ (𝐼:dom 𝐼⟶({𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)} ∩ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2o ≼ 𝑥}) ↔ (𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)} ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2o ≼ 𝑥}))
17		umgrislfupgrenlem 16576	. . . . . 6 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)} ∩ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2o ≼ 𝑥}) = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 𝑥 ≈ 2o}
18		feq3 5521	. . . . . 6 ⊢ (({𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)} ∩ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2o ≼ 𝑥}) = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 𝑥 ≈ 2o} → (𝐼:dom 𝐼⟶({𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)} ∩ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2o ≼ 𝑥}) ↔ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 𝑥 ≈ 2o}))
19	17, 18	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (𝐼:dom 𝐼⟶({𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)} ∩ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2o ≼ 𝑥}) ↔ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 𝑥 ≈ 2o})
20	16, 19	sylbb1 137	. . . 4 ⊢ ((𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)} ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2o ≼ 𝑥}) → 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 𝑥 ≈ 2o})
21	15, 20	sylan 283	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2o ≼ 𝑥}) → 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 𝑥 ≈ 2o})
22	2, 3	isumgren 16551	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ UPGraph → (𝐺 ∈ UMGraph ↔ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 𝑥 ≈ 2o}))
23	22	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2o ≼ 𝑥}) → (𝐺 ∈ UMGraph ↔ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 𝑥 ≈ 2o}))
24	21, 23	mpbird 167	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2o ≼ 𝑥}) → 𝐺 ∈ UMGraph)
25	14, 24	impbii 126	1 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph ↔ (𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2o ≼ 𝑥}))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 720   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  {crab 2532   ∩ cin 3219   ⊆ wss 3220  𝒫 cpw 3688   class class class wbr 4131  dom cdm 4776  ⟶wf 5376  ‘cfv 5380  1_oc1o 6684  2_oc2o 6685   ≈ cen 7024   ≼ cdom 7025  Vtxcvtx 16458  iEdgciedg 16459  UPGraphcupgr 16537  UMGraphcumgr 16538

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-cnre 8296

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-1o 6691  df-2o 6692  df-er 6811  df-en 7027  df-dom 7028  df-sub 8506  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-5 9375  df-6 9376  df-7 9377  df-8 9378  df-9 9379  df-n0 9575  df-dec 9789  df-ndx 13413  df-slot 13414  df-base 13416  df-edgf 16451  df-vtx 16460  df-iedg 16461  df-upgren 16539  df-umgren 16540

This theorem is used by:  vtxdumgrfival  16744