Theorem umgrislfupgrdom 15944

Description: A multigraph is a loop-free pseudograph. (Contributed by AV, 27-Jan-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
umgrislfupgr.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
umgrislfupgr.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
umgrislfupgrdom	⊢ (𝐺 ∈ UMGraph ↔ (𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2o ≼ 𝑥}))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝑉

Allowed substitution hint:   𝐼(𝑥)

Proof of Theorem umgrislfupgrdom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		umgrupgr 15927	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → 𝐺 ∈ UPGraph)
2		umgrislfupgr.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3		umgrislfupgr.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
4	2, 3	umgrfen 15922	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 𝑥 ≈ 2o})
5		id 19	. . . . 5 ⊢ (𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 𝑥 ≈ 2o} → 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 𝑥 ≈ 2o})
6		ensymb 6940	. . . . . . . . 9 ⊢ (2o ≈ 𝑥 ↔ 𝑥 ≈ 2o)
7		endom 6922	. . . . . . . . 9 ⊢ (2o ≈ 𝑥 → 2o ≼ 𝑥)
8	6, 7	sylbir 135	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ≈ 2o → 2o ≼ 𝑥)
9	8	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 → (𝑥 ≈ 2o → 2o ≼ 𝑥))
10	9	ss2rabi 3306	. . . . . 6 ⊢ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 𝑥 ≈ 2o} ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2o ≼ 𝑥}
11	10	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 𝑥 ≈ 2o} → {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 𝑥 ≈ 2o} ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2o ≼ 𝑥})
12	5, 11	fssd 5486	. . . 4 ⊢ (𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 𝑥 ≈ 2o} → 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2o ≼ 𝑥})
13	4, 12	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2o ≼ 𝑥})
14	1, 13	jca 306	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → (𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2o ≼ 𝑥}))
15	2, 3	upgrfen 15912	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ UPGraph → 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)})
16		fin 5514	. . . . 5 ⊢ (𝐼:dom 𝐼⟶({𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)} ∩ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2o ≼ 𝑥}) ↔ (𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)} ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2o ≼ 𝑥}))
17		umgrislfupgrenlem 15943	. . . . . 6 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)} ∩ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2o ≼ 𝑥}) = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 𝑥 ≈ 2o}
18		feq3 5458	. . . . . 6 ⊢ (({𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)} ∩ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2o ≼ 𝑥}) = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 𝑥 ≈ 2o} → (𝐼:dom 𝐼⟶({𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)} ∩ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2o ≼ 𝑥}) ↔ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 𝑥 ≈ 2o}))
19	17, 18	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (𝐼:dom 𝐼⟶({𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)} ∩ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2o ≼ 𝑥}) ↔ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 𝑥 ≈ 2o})
20	16, 19	sylbb1 137	. . . 4 ⊢ ((𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)} ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2o ≼ 𝑥}) → 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 𝑥 ≈ 2o})
21	15, 20	sylan 283	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2o ≼ 𝑥}) → 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 𝑥 ≈ 2o})
22	2, 3	isumgren 15920	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ UPGraph → (𝐺 ∈ UMGraph ↔ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 𝑥 ≈ 2o}))
23	22	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2o ≼ 𝑥}) → (𝐺 ∈ UMGraph ↔ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 𝑥 ≈ 2o}))
24	21, 23	mpbird 167	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2o ≼ 𝑥}) → 𝐺 ∈ UMGraph)
25	14, 24	impbii 126	1 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph ↔ (𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2o ≼ 𝑥}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 713   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  {crab 2512   ∩ cin 3196   ⊆ wss 3197  𝒫 cpw 3649   class class class wbr 4083  dom cdm 4719  ⟶wf 5314  ‘cfv 5318  1_oc1o 6561  2_oc2o 6562   ≈ cen 6893   ≼ cdom 6894  Vtxcvtx 15828  iEdgciedg 15829  UPGraphcupgr 15906  UMGraphcumgr 15907

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-addcom 8110  ax-mulcom 8111  ax-addass 8112  ax-mulass 8113  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-1rid 8117  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-cnre 8121

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-iord 4457  df-on 4459  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-1o 6568  df-2o 6569  df-er 6688  df-en 6896  df-dom 6897  df-sub 8330  df-inn 9122  df-2 9180  df-3 9181  df-4 9182  df-5 9183  df-6 9184  df-7 9185  df-8 9186  df-9 9187  df-n0 9381  df-dec 9590  df-ndx 13050  df-slot 13051  df-base 13053  df-edgf 15821  df-vtx 15830  df-iedg 15831  df-upgren 15908  df-umgren 15909

This theorem is referenced by:  vtxdumgrfival  16057