Theorem umgrislfupgrdom 16286

Description: A multigraph is a loop-free pseudograph. (Contributed by AV, 27-Jan-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
umgrislfupgr.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
umgrislfupgr.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
umgrislfupgrdom	⊢ (𝐺 ∈ UMGraph ↔ (𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2o ≼ 𝑥}))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝑉

Allowed substitution hint:   𝐼(𝑥)

Proof of Theorem umgrislfupgrdom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		umgrupgr 16267	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → 𝐺 ∈ UPGraph)
2		umgrislfupgr.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3		umgrislfupgr.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
4	2, 3	umgrfen 16262	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 𝑥 ≈ 2o})
5		id 19	. . . . 5 ⊢ (𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 𝑥 ≈ 2o} → 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 𝑥 ≈ 2o})
6		ensymb 7057	. . . . . . . . 9 ⊢ (2o ≈ 𝑥 ↔ 𝑥 ≈ 2o)
7		endom 7039	. . . . . . . . 9 ⊢ (2o ≈ 𝑥 → 2o ≼ 𝑥)
8	6, 7	sylbir 135	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ≈ 2o → 2o ≼ 𝑥)
9	8	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 → (𝑥 ≈ 2o → 2o ≼ 𝑥))
10	9	ss2rabi 3330	. . . . . 6 ⊢ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 𝑥 ≈ 2o} ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2o ≼ 𝑥}
11	10	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 𝑥 ≈ 2o} → {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 𝑥 ≈ 2o} ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2o ≼ 𝑥})
12	5, 11	fssd 5542	. . . 4 ⊢ (𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 𝑥 ≈ 2o} → 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2o ≼ 𝑥})
13	4, 12	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2o ≼ 𝑥})
14	1, 13	jca 306	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → (𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2o ≼ 𝑥}))
15	2, 3	upgrfen 16252	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ UPGraph → 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)})
16		fin 5573	. . . . 5 ⊢ (𝐼:dom 𝐼⟶({𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)} ∩ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2o ≼ 𝑥}) ↔ (𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)} ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2o ≼ 𝑥}))
17		umgrislfupgrenlem 16285	. . . . . 6 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)} ∩ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2o ≼ 𝑥}) = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 𝑥 ≈ 2o}
18		feq3 5513	. . . . . 6 ⊢ (({𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)} ∩ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2o ≼ 𝑥}) = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 𝑥 ≈ 2o} → (𝐼:dom 𝐼⟶({𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)} ∩ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2o ≼ 𝑥}) ↔ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 𝑥 ≈ 2o}))
19	17, 18	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (𝐼:dom 𝐼⟶({𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)} ∩ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2o ≼ 𝑥}) ↔ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 𝑥 ≈ 2o})
20	16, 19	sylbb1 137	. . . 4 ⊢ ((𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)} ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2o ≼ 𝑥}) → 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 𝑥 ≈ 2o})
21	15, 20	sylan 283	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2o ≼ 𝑥}) → 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 𝑥 ≈ 2o})
22	2, 3	isumgren 16260	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ UPGraph → (𝐺 ∈ UMGraph ↔ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 𝑥 ≈ 2o}))
23	22	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2o ≼ 𝑥}) → (𝐺 ∈ UMGraph ↔ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 𝑥 ≈ 2o}))
24	21, 23	mpbird 167	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2o ≼ 𝑥}) → 𝐺 ∈ UMGraph)
25	14, 24	impbii 126	1 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph ↔ (𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2o ≼ 𝑥}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 720   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  {crab 2532   ∩ cin 3219   ⊆ wss 3220  𝒫 cpw 3685   class class class wbr 4125  dom cdm 4769  ⟶wf 5368  ‘cfv 5372  1_oc1o 6670  2_oc2o 6671   ≈ cen 7010   ≼ cdom 7011  Vtxcvtx 16167  iEdgciedg 16168  UPGraphcupgr 16246  UMGraphcumgr 16247

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-iord 4506  df-on 4508  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-1o 6677  df-2o 6678  df-er 6797  df-en 7013  df-dom 7014  df-sub 8489  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-4 9344  df-5 9345  df-6 9346  df-7 9347  df-8 9348  df-9 9349  df-n0 9543  df-dec 9757  df-ndx 13333  df-slot 13334  df-base 13336  df-edgf 16160  df-vtx 16169  df-iedg 16170  df-upgren 16248  df-umgren 16249

This theorem is referenced by:  vtxdumgrfival  16453