Theorem umgrislfupgrdom 16372

Description: A multigraph is a loop-free pseudograph. (Contributed by AV, 27-Jan-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
umgrislfupgr.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
umgrislfupgr.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
umgrislfupgrdom	⊢ (𝐺 ∈ UMGraph ↔ (𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2o ≼ 𝑥}))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝑉

Allowed substitution hint:   𝐼(𝑥)

Proof of Theorem umgrislfupgrdom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		umgrupgr 16353	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → 𝐺 ∈ UPGraph)
2		umgrislfupgr.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3		umgrislfupgr.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
4	2, 3	umgrfen 16348	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 𝑥 ≈ 2o})
5		id 19	. . . . 5 ⊢ (𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 𝑥 ≈ 2o} → 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 𝑥 ≈ 2o})
6		ensymb 7067	. . . . . . . . 9 ⊢ (2o ≈ 𝑥 ↔ 𝑥 ≈ 2o)
7		endom 7049	. . . . . . . . 9 ⊢ (2o ≈ 𝑥 → 2o ≼ 𝑥)
8	6, 7	sylbir 135	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ≈ 2o → 2o ≼ 𝑥)
9	8	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 → (𝑥 ≈ 2o → 2o ≼ 𝑥))
10	9	ss2rabi 3330	. . . . . 6 ⊢ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 𝑥 ≈ 2o} ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2o ≼ 𝑥}
11	10	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 𝑥 ≈ 2o} → {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 𝑥 ≈ 2o} ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2o ≼ 𝑥})
12	5, 11	fssd 5547	. . . 4 ⊢ (𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 𝑥 ≈ 2o} → 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2o ≼ 𝑥})
13	4, 12	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2o ≼ 𝑥})
14	1, 13	jca 306	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → (𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2o ≼ 𝑥}))
15	2, 3	upgrfen 16338	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ UPGraph → 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)})
16		fin 5578	. . . . 5 ⊢ (𝐼:dom 𝐼⟶({𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)} ∩ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2o ≼ 𝑥}) ↔ (𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)} ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2o ≼ 𝑥}))
17		umgrislfupgrenlem 16371	. . . . . 6 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)} ∩ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2o ≼ 𝑥}) = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 𝑥 ≈ 2o}
18		feq3 5518	. . . . . 6 ⊢ (({𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)} ∩ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2o ≼ 𝑥}) = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 𝑥 ≈ 2o} → (𝐼:dom 𝐼⟶({𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)} ∩ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2o ≼ 𝑥}) ↔ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 𝑥 ≈ 2o}))
19	17, 18	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (𝐼:dom 𝐼⟶({𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)} ∩ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2o ≼ 𝑥}) ↔ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 𝑥 ≈ 2o})
20	16, 19	sylbb1 137	. . . 4 ⊢ ((𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)} ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2o ≼ 𝑥}) → 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 𝑥 ≈ 2o})
21	15, 20	sylan 283	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2o ≼ 𝑥}) → 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 𝑥 ≈ 2o})
22	2, 3	isumgren 16346	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ UPGraph → (𝐺 ∈ UMGraph ↔ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 𝑥 ≈ 2o}))
23	22	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2o ≼ 𝑥}) → (𝐺 ∈ UMGraph ↔ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 𝑥 ≈ 2o}))
24	21, 23	mpbird 167	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2o ≼ 𝑥}) → 𝐺 ∈ UMGraph)
25	14, 24	impbii 126	1 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph ↔ (𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2o ≼ 𝑥}))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 720   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  {crab 2532   ∩ cin 3219   ⊆ wss 3220  𝒫 cpw 3688   class class class wbr 4130  dom cdm 4774  ⟶wf 5373  ‘cfv 5377  1_oc1o 6680  2_oc2o 6681   ≈ cen 7020   ≼ cdom 7021  Vtxcvtx 16253  iEdgciedg 16254  UPGraphcupgr 16332  UMGraphcumgr 16333

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-1o 6687  df-2o 6688  df-er 6807  df-en 7023  df-dom 7024  df-sub 8499  df-inn 9305  df-2 9363  df-3 9364  df-4 9365  df-5 9366  df-6 9367  df-7 9368  df-8 9369  df-9 9370  df-n0 9564  df-dec 9778  df-ndx 13355  df-slot 13356  df-base 13358  df-edgf 16246  df-vtx 16255  df-iedg 16256  df-upgren 16334  df-umgren 16335

This theorem is used by:  vtxdumgrfival  16539