Theorem umgrunop 15912

Description: The union of two multigraphs (with the same vertex set): If ⟨𝑉, 𝐸⟩ and ⟨𝑉, 𝐹⟩ are multigraphs, then ⟨𝑉, 𝐸 ∪ 𝐹⟩ is a multigraph (the vertex set stays the same, but the edges from both graphs are kept). (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by AV, 25-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
umgrun.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UMGraph)
umgrun.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ UMGraph)
umgrun.e	⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
umgrun.f	⊢ 𝐹 = (iEdg‘𝐻)
umgrun.vg	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
umgrun.vh	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐻) = 𝑉)
umgrun.i	⊢ (𝜑 → (dom 𝐸 ∩ dom 𝐹) = ∅)

Assertion

Ref	Expression
umgrunop	⊢ (𝜑 → ⟨𝑉, (𝐸 ∪ 𝐹)⟩ ∈ UMGraph)

Proof of Theorem umgrunop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		umgrun.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UMGraph)
2		umgrun.h	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ UMGraph)
3		umgrun.e	. 2 ⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
4		umgrun.f	. 2 ⊢ 𝐹 = (iEdg‘𝐻)
5		umgrun.vg	. 2 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
6		umgrun.vh	. 2 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐻) = 𝑉)
7		umgrun.i	. 2 ⊢ (𝜑 → (dom 𝐸 ∩ dom 𝐹) = ∅)
8		vtxex 15804	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → (Vtx‘𝐺) ∈ V)
9	1, 8	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐺) ∈ V)
10	5, 9	eqeltrid 2316	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ V)
11		iedgex 15805	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → (iEdg‘𝐺) ∈ V)
12	1, 11	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) ∈ V)
13	3, 12	eqeltrid 2316	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ V)
14		iedgex 15805	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 ∈ UMGraph → (iEdg‘𝐻) ∈ V)
15	2, 14	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐻) ∈ V)
16	4, 15	eqeltrid 2316	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
17		unexg 4531	. . . 4 ⊢ ((𝐸 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V) → (𝐸 ∪ 𝐹) ∈ V)
18	13, 16, 17	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∪ 𝐹) ∈ V)
19		opexg 4313	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ (𝐸 ∪ 𝐹) ∈ V) → ⟨𝑉, (𝐸 ∪ 𝐹)⟩ ∈ V)
20	10, 18, 19	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨𝑉, (𝐸 ∪ 𝐹)⟩ ∈ V)
21		opvtxfv 15808	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ (𝐸 ∪ 𝐹) ∈ V) → (Vtx‘⟨𝑉, (𝐸 ∪ 𝐹)⟩) = 𝑉)
22	10, 18, 21	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘⟨𝑉, (𝐸 ∪ 𝐹)⟩) = 𝑉)
23		opiedgfv 15811	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ (𝐸 ∪ 𝐹) ∈ V) → (iEdg‘⟨𝑉, (𝐸 ∪ 𝐹)⟩) = (𝐸 ∪ 𝐹))
24	10, 18, 23	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘⟨𝑉, (𝐸 ∪ 𝐹)⟩) = (𝐸 ∪ 𝐹))
25	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 20, 22, 24	umgrun 15911	1 ⊢ (𝜑 → ⟨𝑉, (𝐸 ∪ 𝐹)⟩ ∈ UMGraph)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  Vcvv 2799   ∪ cun 3195   ∩ cin 3196  ∅c0 3491  ⟨cop 3669  dom cdm 4716  ‘cfv 5314  Vtxcvtx 15798  iEdgciedg 15799  UMGraphcumgr 15877

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4521  ax-setind 4626  ax-cnex 8078  ax-resscn 8079  ax-1cn 8080  ax-1re 8081  ax-icn 8082  ax-addcl 8083  ax-addrcl 8084  ax-mulcl 8085  ax-addcom 8087  ax-mulcom 8088  ax-addass 8089  ax-mulass 8090  ax-distr 8091  ax-i2m1 8092  ax-1rid 8094  ax-0id 8095  ax-rnegex 8096  ax-cnre 8098

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4381  df-xp 4722  df-rel 4723  df-cnv 4724  df-co 4725  df-dm 4726  df-rn 4727  df-res 4728  df-iota 5274  df-fun 5316  df-fn 5317  df-f 5318  df-fo 5320  df-fv 5322  df-riota 5947  df-ov 5997  df-oprab 5998  df-mpo 5999  df-1st 6276  df-2nd 6277  df-sub 8307  df-inn 9099  df-2 9157  df-3 9158  df-4 9159  df-5 9160  df-6 9161  df-7 9162  df-8 9163  df-9 9164  df-n0 9358  df-dec 9567  df-ndx 13021  df-slot 13022  df-base 13024  df-edgf 15791  df-vtx 15800  df-iedg 15801  df-umgren 15879

This theorem is referenced by:  usgrunop  15977