Theorem 0funcg 49863

Description: The functor from the empty category. Corollary of Definition 3.47 of [Adamek] p. 40, Definition 7.1 of [Adamek] p. 101, Example 3.3(4.c) of [Adamek] p. 24, and Example 7.2(3) of [Adamek] p. 101. (Contributed by Zhi Wang, 17-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
0funcg.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
0funcg.b	⊢ (𝜑 → ∅ = (Base‘𝐶))
0funcg.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)

Assertion

Ref	Expression
0funcg	⊢ (𝜑 → (𝐶 Func 𝐷) = {⟨∅, ∅⟩})

Proof of Theorem 0funcg

Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relfunc 17914	. 2 ⊢ Rel (𝐶 Func 𝐷)
2		0ex 5270	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
3	2, 2	relsnop 5792	. 2 ⊢ Rel {⟨∅, ∅⟩}
4		0funcg.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
5		0funcg.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∅ = (Base‘𝐶))
6		0funcg.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
7	4, 5, 6	0funcg2 49862	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑓(𝐶 Func 𝐷)𝑔 ↔ (𝑓 = ∅ ∧ 𝑔 = ∅)))
8		brsnop 5506	. . . 4 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ ∅ ∈ V) → (𝑓{⟨∅, ∅⟩}𝑔 ↔ (𝑓 = ∅ ∧ 𝑔 = ∅)))
9	2, 2, 8	mp2an 704	. . 3 ⊢ (𝑓{⟨∅, ∅⟩}𝑔 ↔ (𝑓 = ∅ ∧ 𝑔 = ∅))
10	7, 9	bitr4di 292	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑓(𝐶 Func 𝐷)𝑔 ↔ 𝑓{⟨∅, ∅⟩}𝑔))
11	1, 3, 10	eqbrrdiv 5780	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 Func 𝐷) = {⟨∅, ∅⟩})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455  ∅c0 4286  {csn 4589  ⟨cop 4595   class class class wbr 5109  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17264  Catccat 17715   Func cfunc 17906

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-map 8822  df-ixp 8892  df-cat 17719  df-func 17910

This theorem is referenced by:  0func  49865  initc  49869  0fucterm  50321