Theorem 0funcg 49575

Description: The functor from the empty category. Corollary of Definition 3.47 of [Adamek] p. 40, Definition 7.1 of [Adamek] p. 101, Example 3.3(4.c) of [Adamek] p. 24, and Example 7.2(3) of [Adamek] p. 101. (Contributed by Zhi Wang, 17-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
0funcg.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
0funcg.b	⊢ (𝜑 → ∅ = (Base‘𝐶))
0funcg.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)

Assertion

Ref	Expression
0funcg	⊢ (𝜑 → (𝐶 Func 𝐷) = {⟨∅, ∅⟩})

Proof of Theorem 0funcg

Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relfunc 17820	. 2 ⊢ Rel (𝐶 Func 𝐷)
2		0ex 5229	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
3	2, 2	relsnop 5748	. 2 ⊢ Rel {⟨∅, ∅⟩}
4		0funcg.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
5		0funcg.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∅ = (Base‘𝐶))
6		0funcg.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
7	4, 5, 6	0funcg2 49574	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑓(𝐶 Func 𝐷)𝑔 ↔ (𝑓 = ∅ ∧ 𝑔 = ∅)))
8		brsnop 5464	. . . 4 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ ∅ ∈ V) → (𝑓{⟨∅, ∅⟩}𝑔 ↔ (𝑓 = ∅ ∧ 𝑔 = ∅)))
9	2, 2, 8	mp2an 698	. . 3 ⊢ (𝑓{⟨∅, ∅⟩}𝑔 ↔ (𝑓 = ∅ ∧ 𝑔 = ∅))
10	7, 9	bitr4di 290	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑓(𝐶 Func 𝐷)𝑔 ↔ 𝑓{⟨∅, ∅⟩}𝑔))
11	1, 3, 10	eqbrrdiv 5737	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 Func 𝐷) = {⟨∅, ∅⟩})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  Vcvv 3431  ∅c0 4261  {csn 4555  ⟨cop 4561   class class class wbr 5072  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  Basecbs 17170  Catccat 17621   Func cfunc 17812

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-map 8765  df-ixp 8836  df-cat 17625  df-func 17816

This theorem is referenced by:  0func  49577  initc  49581  0fucterm  50033