Theorem 0funcg 49047

Description: The functor from the empty category. Corollary of Definition 3.47 of [Adamek] p. 40, Definition 7.1 of [Adamek] p. 101, Example 3.3(4.c) of [Adamek] p. 24, and Example 7.2(3) of [Adamek] p. 101. (Contributed by Zhi Wang, 17-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
0funcg.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
0funcg.b	⊢ (𝜑 → ∅ = (Base‘𝐶))
0funcg.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)

Assertion

Ref	Expression
0funcg	⊢ (𝜑 → (𝐶 Func 𝐷) = {⟨∅, ∅⟩})

Proof of Theorem 0funcg

Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relfunc 17800	. 2 ⊢ Rel (𝐶 Func 𝐷)
2		0ex 5257	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
3	2, 2	relsnop 5759	. 2 ⊢ Rel {⟨∅, ∅⟩}
4		0funcg.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
5		0funcg.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∅ = (Base‘𝐶))
6		0funcg.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
7	4, 5, 6	0funcg2 49046	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑓(𝐶 Func 𝐷)𝑔 ↔ (𝑓 = ∅ ∧ 𝑔 = ∅)))
8		brsnop 5477	. . . 4 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ ∅ ∈ V) → (𝑓{⟨∅, ∅⟩}𝑔 ↔ (𝑓 = ∅ ∧ 𝑔 = ∅)))
9	2, 2, 8	mp2an 692	. . 3 ⊢ (𝑓{⟨∅, ∅⟩}𝑔 ↔ (𝑓 = ∅ ∧ 𝑔 = ∅))
10	7, 9	bitr4di 289	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑓(𝐶 Func 𝐷)𝑔 ↔ 𝑓{⟨∅, ∅⟩}𝑔))
11	1, 3, 10	eqbrrdiv 5748	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 Func 𝐷) = {⟨∅, ∅⟩})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3444  ∅c0 4292  {csn 4585  ⟨cop 4591   class class class wbr 5102  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  Basecbs 17155  Catccat 17601   Func cfunc 17792

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-map 8778  df-ixp 8848  df-cat 17605  df-func 17796

This theorem is referenced by:  0func  49049  initc  49053  0fucterm  49505