Theorem 0funcg 49896

Description: The functor from the empty category. Corollary of Definition 3.47 of [Adamek] p. 40, Definition 7.1 of [Adamek] p. 101, Example 3.3(4.c) of [Adamek] p. 24, and Example 7.2(3) of [Adamek] p. 101. (Contributed by Zhi Wang, 17-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
0funcg.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
0funcg.b	⊢ (𝜑 → ∅ = (Base‘𝐶))
0funcg.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)

Assertion

Ref	Expression
0funcg	⊢ (𝜑 → (𝐶 Func 𝐷) = {⟨∅, ∅⟩})

Proof of Theorem 0funcg

Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relfunc 17937	. 2 ⊢ Rel (𝐶 Func 𝐷)
2		0ex 5272	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
3	2, 2	relsnop 5794	. 2 ⊢ Rel {⟨∅, ∅⟩}
4		0funcg.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
5		0funcg.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∅ = (Base‘𝐶))
6		0funcg.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
7	4, 5, 6	0funcg2 49895	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑓(𝐶 Func 𝐷)𝑔 ↔ (𝑓 = ∅ ∧ 𝑔 = ∅)))
8		brsnop 5508	. . . 4 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ ∅ ∈ V) → (𝑓{⟨∅, ∅⟩}𝑔 ↔ (𝑓 = ∅ ∧ 𝑔 = ∅)))
9	2, 2, 8	mp2an 705	. . 3 ⊢ (𝑓{⟨∅, ∅⟩}𝑔 ↔ (𝑓 = ∅ ∧ 𝑔 = ∅))
10	7, 9	bitr4di 292	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑓(𝐶 Func 𝐷)𝑔 ↔ 𝑓{⟨∅, ∅⟩}𝑔))
11	1, 3, 10	eqbrrdiv 5782	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 Func 𝐷) = {⟨∅, ∅⟩})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  Vcvv 3457  ∅c0 4286  {csn 4591  ⟨cop 4597   class class class wbr 5111  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  Basecbs 17287  Catccat 17738   Func cfunc 17929

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-map 8828  df-ixp 8898  df-cat 17742  df-func 17933

This theorem is used by:  0func  49898  initc  49902  0fucterm  50354