Theorem 0funcg 50307

Description: The functor from the empty category. Corollary of Definition 3.47 of [Adamek] p. 40, Definition 7.1 of [Adamek] p. 101, Example 3.3(4.c) of [Adamek] p. 24, and Example 7.2(3) of [Adamek] p. 101. (Contributed by Zhi Wang, 17-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
0funcg.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
0funcg.b	⊢ (𝜑 → ∅ = (Base‘𝐶))
0funcg.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)

Assertion

Ref	Expression
0funcg	⊢ (𝜑 → (𝐶 Func 𝐷) = {⟨∅, ∅⟩})

Proof of Theorem 0funcg

Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relfunc 18044	. 2 ⊢ Rel (𝐶 Func 𝐷)
2		0ex 5260	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
3	2, 2	relsnop 5783	. 2 ⊢ Rel {⟨∅, ∅⟩}
4		0funcg.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
5		0funcg.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∅ = (Base‘𝐶))
6		0funcg.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
7	4, 5, 6	0funcg2 50306	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑓(𝐶 Func 𝐷)𝑔 ↔ (𝑓 = ∅ ∧ 𝑔 = ∅)))
8		brsnop 5495	. . . 4 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ ∅ ∈ V) → (𝑓{⟨∅, ∅⟩}𝑔 ↔ (𝑓 = ∅ ∧ 𝑔 = ∅)))
9	2, 2, 8	mp2an 705	. . 3 ⊢ (𝑓{⟨∅, ∅⟩}𝑔 ↔ (𝑓 = ∅ ∧ 𝑔 = ∅))
10	7, 9	bitr4di 292	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑓(𝐶 Func 𝐷)𝑔 ↔ 𝑓{⟨∅, ∅⟩}𝑔))
11	1, 3, 10	eqbrrdiv 5770	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 Func 𝐷) = {⟨∅, ∅⟩})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450  ∅c0 4277  {csn 4584  ⟨cop 4834   class class class wbr 5102  ‘cfv 6541  (class class class)co 7422  Basecbs 17394  Catccat 17845   Func cfunc 18036

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7753

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-ov 7425  df-oprab 7426  df-mpo 7427  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-map 8854  df-ixp 8931  df-cat 17849  df-func 18040

This theorem is used by:  0func  50309  initc  50313  0fucterm  50788