Theorem 0func 50000

Description: The functor from the empty category. (Contributed by Zhi Wang, 7-Oct-2025.) (Proof shortened by Zhi Wang, 17-Oct-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
0func.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)

Assertion

Ref	Expression
0func	⊢ (𝜑 → (∅ Func 𝐶) = {⟨∅, ∅⟩})

Proof of Theorem 0func

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 5268	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ V)
3		base0 17310	. . 3 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ∅ = (Base‘∅))
5		0func.c	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
6	2, 4, 5	0funcg 49998	1 ⊢ (𝜑 → (∅ Func 𝐶) = {⟨∅, ∅⟩})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3453  ∅c0 4282  {csn 4587  ⟨cop 4593  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  Basecbs 17305  Catccat 17756   Func cfunc 17947

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-1cn 11185  ax-addcl 11187

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-map 8831  df-ixp 8908  df-nn 12261  df-slot 17278  df-ndx 17290  df-base 17306  df-cat 17760  df-func 17951

This theorem is used by:  fucofvalne  50238  initocmd  50582