Theorem 0func 49716

Description: The functor from the empty category. (Contributed by Zhi Wang, 7-Oct-2025.) (Proof shortened by Zhi Wang, 17-Oct-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
0func.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)

Assertion

Ref	Expression
0func	⊢ (𝜑 → (∅ Func 𝐶) = {⟨∅, ∅⟩})

Proof of Theorem 0func

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 5262	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ V)
3		base0 17264	. . 3 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ∅ = (Base‘∅))
5		0func.c	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
6	2, 4, 5	0funcg 49714	1 ⊢ (𝜑 → (∅ Func 𝐶) = {⟨∅, ∅⟩})

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  Vcvv 3457  ∅c0 4288  {csn 4585  ⟨cop 4591  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  Basecbs 17259  Catccat 17710   Func cfunc 17901

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-1cn 11146  ax-addcl 11148

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-map 8814  df-ixp 8884  df-nn 12225  df-slot 17232  df-ndx 17244  df-base 17260  df-cat 17714  df-func 17905

This theorem is referenced by:  fucofvalne  49954  initocmd  50298