Theorem 0func 48865

Description: The functor from the empty category. (Contributed by Zhi Wang, 7-Oct-2025.) (Proof shortened by Zhi Wang, 17-Oct-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
0func.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)

Assertion

Ref	Expression
0func	⊢ (𝜑 → (∅ Func 𝐶) = {⟨∅, ∅⟩})

Proof of Theorem 0func

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 5287	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ V)
3		base0 17233	. . 3 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ∅ = (Base‘∅))
5		0func.c	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
6	2, 4, 5	0funcg 48863	1 ⊢ (𝜑 → (∅ Func 𝐶) = {⟨∅, ∅⟩})

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  Vcvv 3463  ∅c0 4313  {csn 4606  ⟨cop 4612  ‘cfv 6540  (class class class)co 7412  Basecbs 17228  Catccat 17677   Func cfunc 17869

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5259  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7736  ax-cnex 11192  ax-1cn 11194  ax-addcl 11196

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6493  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7869  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-map 8849  df-ixp 8919  df-nn 12248  df-slot 17200  df-ndx 17212  df-base 17229  df-cat 17681  df-func 17873

This theorem is referenced by:  fucofvalne  48972