Theorem 0func 49004

Description: The functor from the empty category. (Contributed by Zhi Wang, 7-Oct-2025.) (Proof shortened by Zhi Wang, 17-Oct-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
0func.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)

Assertion

Ref	Expression
0func	⊢ (𝜑 → (∅ Func 𝐶) = {⟨∅, ∅⟩})

Proof of Theorem 0func

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 5270	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ V)
3		base0 17190	. . 3 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ∅ = (Base‘∅))
5		0func.c	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
6	2, 4, 5	0funcg 49002	1 ⊢ (𝜑 → (∅ Func 𝐶) = {⟨∅, ∅⟩})

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3455  ∅c0 4304  {csn 4597  ⟨cop 4603  ‘cfv 6519  (class class class)co 7394  Basecbs 17185  Catccat 17631   Func cfunc 17822

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5242  ax-sep 5259  ax-nul 5269  ax-pow 5328  ax-pr 5395  ax-un 7718  ax-cnex 11142  ax-1cn 11144  ax-addcl 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2880  df-ne 2928  df-ral 3047  df-rex 3056  df-reu 3358  df-rab 3412  df-v 3457  df-sbc 3762  df-csb 3871  df-dif 3925  df-un 3927  df-in 3929  df-ss 3939  df-pss 3942  df-nul 4305  df-if 4497  df-pw 4573  df-sn 4598  df-pr 4600  df-op 4604  df-uni 4880  df-iun 4965  df-br 5116  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5541  df-eprel 5546  df-po 5554  df-so 5555  df-fr 5599  df-we 5601  df-xp 5652  df-rel 5653  df-cnv 5654  df-co 5655  df-dm 5656  df-rn 5657  df-res 5658  df-ima 5659  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6472  df-fun 6521  df-fn 6522  df-f 6523  df-f1 6524  df-fo 6525  df-f1o 6526  df-fv 6527  df-ov 7397  df-oprab 7398  df-mpo 7399  df-om 7851  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8349  df-rdg 8387  df-map 8805  df-ixp 8875  df-nn 12198  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17186  df-cat 17635  df-func 17826

This theorem is referenced by:  fucofvalne  49220  initocmd  49538