Theorem 0fucterm 50173

Description: The category of functors from an initial category is terminal. (Contributed by Zhi Wang, 17-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
0fucterm.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
0fucterm.b	⊢ (𝜑 → ∅ = (Base‘𝐶))
0fucterm.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
0fucterm.q	⊢ 𝑄 = (𝐶 FuncCat 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
0fucterm	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ TermCat)

Proof of Theorem 0fucterm

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0fucterm.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (𝐶 FuncCat 𝐷)
2	1	fucbas 18008	. . . 4 ⊢ (𝐶 Func 𝐷) = (Base‘𝑄)
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 Func 𝐷) = (Base‘𝑄))
4		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (𝐶 Nat 𝐷) = (𝐶 Nat 𝐷)
5	1, 4	fuchom 18009	. . . 4 ⊢ (𝐶 Nat 𝐷) = (Hom ‘𝑄)
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 Nat 𝐷) = (Hom ‘𝑄))
7		simprl 782	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝑔 ∈ (𝐶 Func 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ (𝑓(𝐶 Nat 𝐷)𝑔) ∧ 𝑏 ∈ (𝑓(𝐶 Nat 𝐷)𝑔))) → 𝑎 ∈ (𝑓(𝐶 Nat 𝐷)𝑔))
8	4, 7	nat1st2nd 17999	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝑔 ∈ (𝐶 Func 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ (𝑓(𝐶 Nat 𝐷)𝑔) ∧ 𝑏 ∈ (𝑓(𝐶 Nat 𝐷)𝑔))) → 𝑎 ∈ (⟨(1st ‘𝑓), (2nd ‘𝑓)⟩(𝐶 Nat 𝐷)⟨(1st ‘𝑔), (2nd ‘𝑔)⟩))
9		eqid 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
10	4, 8, 9	natfn 18002	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝑔 ∈ (𝐶 Func 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ (𝑓(𝐶 Nat 𝐷)𝑔) ∧ 𝑏 ∈ (𝑓(𝐶 Nat 𝐷)𝑔))) → 𝑎 Fn (Base‘𝐶))
11		0fucterm.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∅ = (Base‘𝐶))
12	11	ad2antrr 738	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝑔 ∈ (𝐶 Func 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ (𝑓(𝐶 Nat 𝐷)𝑔) ∧ 𝑏 ∈ (𝑓(𝐶 Nat 𝐷)𝑔))) → ∅ = (Base‘𝐶))
13	12	fneq2d 6619	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝑔 ∈ (𝐶 Func 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ (𝑓(𝐶 Nat 𝐷)𝑔) ∧ 𝑏 ∈ (𝑓(𝐶 Nat 𝐷)𝑔))) → (𝑎 Fn ∅ ↔ 𝑎 Fn (Base‘𝐶)))
14	10, 13	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝑔 ∈ (𝐶 Func 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ (𝑓(𝐶 Nat 𝐷)𝑔) ∧ 𝑏 ∈ (𝑓(𝐶 Nat 𝐷)𝑔))) → 𝑎 Fn ∅)
15		fn0 6656	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 Fn ∅ ↔ 𝑎 = ∅)
16	14, 15	sylib 221	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝑔 ∈ (𝐶 Func 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ (𝑓(𝐶 Nat 𝐷)𝑔) ∧ 𝑏 ∈ (𝑓(𝐶 Nat 𝐷)𝑔))) → 𝑎 = ∅)
17		simprr 784	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝑔 ∈ (𝐶 Func 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ (𝑓(𝐶 Nat 𝐷)𝑔) ∧ 𝑏 ∈ (𝑓(𝐶 Nat 𝐷)𝑔))) → 𝑏 ∈ (𝑓(𝐶 Nat 𝐷)𝑔))
18	4, 17	nat1st2nd 17999	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝑔 ∈ (𝐶 Func 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ (𝑓(𝐶 Nat 𝐷)𝑔) ∧ 𝑏 ∈ (𝑓(𝐶 Nat 𝐷)𝑔))) → 𝑏 ∈ (⟨(1st ‘𝑓), (2nd ‘𝑓)⟩(𝐶 Nat 𝐷)⟨(1st ‘𝑔), (2nd ‘𝑔)⟩))
19	4, 18, 9	natfn 18002	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝑔 ∈ (𝐶 Func 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ (𝑓(𝐶 Nat 𝐷)𝑔) ∧ 𝑏 ∈ (𝑓(𝐶 Nat 𝐷)𝑔))) → 𝑏 Fn (Base‘𝐶))
20	12	fneq2d 6619	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝑔 ∈ (𝐶 Func 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ (𝑓(𝐶 Nat 𝐷)𝑔) ∧ 𝑏 ∈ (𝑓(𝐶 Nat 𝐷)𝑔))) → (𝑏 Fn ∅ ↔ 𝑏 Fn (Base‘𝐶)))
21	19, 20	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝑔 ∈ (𝐶 Func 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ (𝑓(𝐶 Nat 𝐷)𝑔) ∧ 𝑏 ∈ (𝑓(𝐶 Nat 𝐷)𝑔))) → 𝑏 Fn ∅)
22		fn0 6656	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 Fn ∅ ↔ 𝑏 = ∅)
23	21, 22	sylib 221	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝑔 ∈ (𝐶 Func 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ (𝑓(𝐶 Nat 𝐷)𝑔) ∧ 𝑏 ∈ (𝑓(𝐶 Nat 𝐷)𝑔))) → 𝑏 = ∅)
24	16, 23	eqtr4d 2803	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝑔 ∈ (𝐶 Func 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ (𝑓(𝐶 Nat 𝐷)𝑔) ∧ 𝑏 ∈ (𝑓(𝐶 Nat 𝐷)𝑔))) → 𝑎 = 𝑏)
25	24	ralrimivva 3208	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝑔 ∈ (𝐶 Func 𝐷))) → ∀𝑎 ∈ (𝑓(𝐶 Nat 𝐷)𝑔)∀𝑏 ∈ (𝑓(𝐶 Nat 𝐷)𝑔)𝑎 = 𝑏)
26		moel 3390	. . . 4 ⊢ (∃*𝑎 𝑎 ∈ (𝑓(𝐶 Nat 𝐷)𝑔) ↔ ∀𝑎 ∈ (𝑓(𝐶 Nat 𝐷)𝑔)∀𝑏 ∈ (𝑓(𝐶 Nat 𝐷)𝑔)𝑎 = 𝑏)
27	25, 26	sylibr 237	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝑔 ∈ (𝐶 Func 𝐷))) → ∃*𝑎 𝑎 ∈ (𝑓(𝐶 Nat 𝐷)𝑔))
28		0fucterm.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
29		0catg 17732	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ ∅ = (Base‘𝐶)) → 𝐶 ∈ Cat)
30	28, 11, 29	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
31		0fucterm.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
32	1, 30, 31	fuccat 18018	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ Cat)
33	3, 6, 27, 32	isthincd 50066	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ThinCat)
34		opex 5435	. . . 4 ⊢ ⟨∅, ∅⟩ ∈ V
35	34	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨∅, ∅⟩ ∈ V)
36	28, 11, 31	0funcg 49715	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 Func 𝐷) = {⟨∅, ∅⟩})
37		sneq 4595	. . . 4 ⊢ (𝑓 = ⟨∅, ∅⟩ → {𝑓} = {⟨∅, ∅⟩})
38	37	eqeq2d 2776	. . 3 ⊢ (𝑓 = ⟨∅, ∅⟩ → ((𝐶 Func 𝐷) = {𝑓} ↔ (𝐶 Func 𝐷) = {⟨∅, ∅⟩}))
39	35, 36, 38	spcedv 3560	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓(𝐶 Func 𝐷) = {𝑓})
40	2	istermc 50104	. 2 ⊢ (𝑄 ∈ TermCat ↔ (𝑄 ∈ ThinCat ∧ ∃𝑓(𝐶 Func 𝐷) = {𝑓}))
41	33, 39, 40	sylanbrc 594	1 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ TermCat)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1563  ∃wex 1802   ∈ wcel 2145  ∃*wmo 2567  ∀wral 3079  Vcvv 3457  ∅c0 4288  {csn 4585  ⟨cop 4591   Fn wfn 6520  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  1^st c1st 7972  2^nd c2nd 7973  Basecbs 17257  Hom chom 17309  Catccat 17708   Func cfunc 17899   Nat cnat 17989   FuncCat cfuc 17990  ThinCatcthinc 50047  TermCatctermc 50102

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5231  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-er 8682  df-map 8814  df-ixp 8884  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12222  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-n0 12493  df-z 12580  df-dec 12700  df-uz 12851  df-fz 13524  df-struct 17195  df-slot 17230  df-ndx 17242  df-base 17258  df-hom 17322  df-cco 17323  df-cat 17712  df-cid 17713  df-func 17903  df-nat 17991  df-fuc 17992  df-thinc 50048  df-termc 50103

This theorem is referenced by:  initocmd  50299