Theorem 0fucterm 50896

Description: The category of functors from an initial category is terminal. (Contributed by Zhi Wang, 17-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
0fucterm.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
0fucterm.b	⊢ (𝜑 → ∅ = (Base‘𝐶))
0fucterm.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
0fucterm.q	⊢ 𝑄 = (𝐶 FuncCat 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
0fucterm	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ TermCat)

Proof of Theorem 0fucterm

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0fucterm.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (𝐶 FuncCat 𝐷)
2	1	fucbas 18170	. . . 4 ⊢ (𝐶 Func 𝐷) = (Base‘𝑄)
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 Func 𝐷) = (Base‘𝑄))
4		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (𝐶 Nat 𝐷) = (𝐶 Nat 𝐷)
5	1, 4	fuchom 18171	. . . 4 ⊢ (𝐶 Nat 𝐷) = (Hom ‘𝑄)
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 Nat 𝐷) = (Hom ‘𝑄))
7		simprl 783	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝑔 ∈ (𝐶 Func 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ (𝑓(𝐶 Nat 𝐷)𝑔) ∧ 𝑏 ∈ (𝑓(𝐶 Nat 𝐷)𝑔))) → 𝑎 ∈ (𝑓(𝐶 Nat 𝐷)𝑔))
8	4, 7	nat1st2nd 18161	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝑔 ∈ (𝐶 Func 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ (𝑓(𝐶 Nat 𝐷)𝑔) ∧ 𝑏 ∈ (𝑓(𝐶 Nat 𝐷)𝑔))) → 𝑎 ∈ (⟨(1st ‘𝑓), (2nd ‘𝑓)⟩(𝐶 Nat 𝐷)⟨(1st ‘𝑔), (2nd ‘𝑔)⟩))
9		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
10	4, 8, 9	natfn 18164	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝑔 ∈ (𝐶 Func 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ (𝑓(𝐶 Nat 𝐷)𝑔) ∧ 𝑏 ∈ (𝑓(𝐶 Nat 𝐷)𝑔))) → 𝑎 Fn (Base‘𝐶))
11		0fucterm.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∅ = (Base‘𝐶))
12	11	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝑔 ∈ (𝐶 Func 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ (𝑓(𝐶 Nat 𝐷)𝑔) ∧ 𝑏 ∈ (𝑓(𝐶 Nat 𝐷)𝑔))) → ∅ = (Base‘𝐶))
13	12	fneq2d 6658	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝑔 ∈ (𝐶 Func 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ (𝑓(𝐶 Nat 𝐷)𝑔) ∧ 𝑏 ∈ (𝑓(𝐶 Nat 𝐷)𝑔))) → (𝑎 Fn ∅ ↔ 𝑎 Fn (Base‘𝐶)))
14	10, 13	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝑔 ∈ (𝐶 Func 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ (𝑓(𝐶 Nat 𝐷)𝑔) ∧ 𝑏 ∈ (𝑓(𝐶 Nat 𝐷)𝑔))) → 𝑎 Fn ∅)
15		fn0 6695	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 Fn ∅ ↔ 𝑎 = ∅)
16	14, 15	sylib 221	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝑔 ∈ (𝐶 Func 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ (𝑓(𝐶 Nat 𝐷)𝑔) ∧ 𝑏 ∈ (𝑓(𝐶 Nat 𝐷)𝑔))) → 𝑎 = ∅)
17		simprr 785	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝑔 ∈ (𝐶 Func 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ (𝑓(𝐶 Nat 𝐷)𝑔) ∧ 𝑏 ∈ (𝑓(𝐶 Nat 𝐷)𝑔))) → 𝑏 ∈ (𝑓(𝐶 Nat 𝐷)𝑔))
18	4, 17	nat1st2nd 18161	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝑔 ∈ (𝐶 Func 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ (𝑓(𝐶 Nat 𝐷)𝑔) ∧ 𝑏 ∈ (𝑓(𝐶 Nat 𝐷)𝑔))) → 𝑏 ∈ (⟨(1st ‘𝑓), (2nd ‘𝑓)⟩(𝐶 Nat 𝐷)⟨(1st ‘𝑔), (2nd ‘𝑔)⟩))
19	4, 18, 9	natfn 18164	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝑔 ∈ (𝐶 Func 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ (𝑓(𝐶 Nat 𝐷)𝑔) ∧ 𝑏 ∈ (𝑓(𝐶 Nat 𝐷)𝑔))) → 𝑏 Fn (Base‘𝐶))
20	12	fneq2d 6658	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝑔 ∈ (𝐶 Func 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ (𝑓(𝐶 Nat 𝐷)𝑔) ∧ 𝑏 ∈ (𝑓(𝐶 Nat 𝐷)𝑔))) → (𝑏 Fn ∅ ↔ 𝑏 Fn (Base‘𝐶)))
21	19, 20	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝑔 ∈ (𝐶 Func 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ (𝑓(𝐶 Nat 𝐷)𝑔) ∧ 𝑏 ∈ (𝑓(𝐶 Nat 𝐷)𝑔))) → 𝑏 Fn ∅)
22		fn0 6695	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 Fn ∅ ↔ 𝑏 = ∅)
23	21, 22	sylib 221	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝑔 ∈ (𝐶 Func 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ (𝑓(𝐶 Nat 𝐷)𝑔) ∧ 𝑏 ∈ (𝑓(𝐶 Nat 𝐷)𝑔))) → 𝑏 = ∅)
24	16, 23	eqtr4d 2801	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝑔 ∈ (𝐶 Func 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ (𝑓(𝐶 Nat 𝐷)𝑔) ∧ 𝑏 ∈ (𝑓(𝐶 Nat 𝐷)𝑔))) → 𝑎 = 𝑏)
25	24	ralrimivva 3209	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝑔 ∈ (𝐶 Func 𝐷))) → ∀𝑎 ∈ (𝑓(𝐶 Nat 𝐷)𝑔)∀𝑏 ∈ (𝑓(𝐶 Nat 𝐷)𝑔)𝑎 = 𝑏)
26		moel 3389	. . . 4 ⊢ (∃*𝑎 𝑎 ∈ (𝑓(𝐶 Nat 𝐷)𝑔) ↔ ∀𝑎 ∈ (𝑓(𝐶 Nat 𝐷)𝑔)∀𝑏 ∈ (𝑓(𝐶 Nat 𝐷)𝑔)𝑎 = 𝑏)
27	25, 26	sylibr 237	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝑔 ∈ (𝐶 Func 𝐷))) → ∃*𝑎 𝑎 ∈ (𝑓(𝐶 Nat 𝐷)𝑔))
28		0fucterm.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
29		0catg 17894	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ ∅ = (Base‘𝐶)) → 𝐶 ∈ Cat)
30	28, 11, 29	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
31		0fucterm.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
32	1, 30, 31	fuccat 18180	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ Cat)
33	3, 6, 27, 32	isthincd 50786	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ThinCat)
34		opex 5437	. . . 4 ⊢ ⟨∅, ∅⟩ ∈ V
35	34	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨∅, ∅⟩ ∈ V)
36	28, 11, 31	0funcg 50415	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 Func 𝐷) = {⟨∅, ∅⟩})
37		sneq 4594	. . . 4 ⊢ (𝑓 = ⟨∅, ∅⟩ → {𝑓} = {⟨∅, ∅⟩})
38	37	eqeq2d 2774	. . 3 ⊢ (𝑓 = ⟨∅, ∅⟩ → ((𝐶 Func 𝐷) = {𝑓} ↔ (𝐶 Func 𝐷) = {⟨∅, ∅⟩}))
39	35, 36, 38	spcedv 3556	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓(𝐶 Func 𝐷) = {𝑓})
40	2	istermc 50824	. 2 ⊢ (𝑄 ∈ TermCat ↔ (𝑄 ∈ ThinCat ∧ ∃𝑓(𝐶 Func 𝐷) = {𝑓}))
41	33, 39, 40	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ TermCat)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2147  ∃*wmo 2565  ∀wral 3080  Vcvv 3454  ∅c0 4281  {csn 4588  ⟨cop 4838   Fn wfn 6556  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446  1^st c1st 8026  2^nd c2nd 8027  Basecbs 17419  Hom chom 17471  Catccat 17870   Func cfunc 18061   Nat cnat 18151   FuncCat cfuc 18152  ThinCatcthinc 50767  TermCatctermc 50822

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8507  df-er 8748  df-map 8880  df-ixp 8957  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-fin 9008  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-nn 12366  df-2 12435  df-3 12436  df-4 12437  df-5 12438  df-6 12439  df-7 12440  df-8 12441  df-9 12442  df-n0 12637  df-z 12724  df-dec 12845  df-uz 12996  df-fz 13670  df-struct 17357  df-slot 17392  df-ndx 17404  df-base 17420  df-hom 17484  df-cco 17485  df-cat 17874  df-cid 17875  df-func 18065  df-nat 18153  df-fuc 18154  df-thinc 50768  df-termc 50823

This theorem is used by:  initocmd  51067