MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0subcat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0subcat 17729
Description: For any category 𝐢, the empty set is a (full) subcategory of 𝐢, see example 4.3(1.a) in [Adamek] p. 48. (Contributed by AV, 23-Apr-2020.)
Assertion
Ref Expression
0subcat (𝐢 ∈ Cat β†’ βˆ… ∈ (Subcatβ€˜πΆ))

Proof of Theorem 0subcat
Dummy variables 𝑓 𝑔 π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0ssc 17728 . 2 (𝐢 ∈ Cat β†’ βˆ… βŠ†cat (Homf β€˜πΆ))
2 ral0 4471 . . 3 βˆ€π‘₯ ∈ βˆ… (((Idβ€˜πΆ)β€˜π‘₯) ∈ (π‘₯βˆ…π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ βˆ… βˆ€π‘§ ∈ βˆ… βˆ€π‘“ ∈ (π‘₯βˆ…π‘¦)βˆ€π‘” ∈ (π‘¦βˆ…π‘§)(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯βˆ…π‘§))
32a1i 11 . 2 (𝐢 ∈ Cat β†’ βˆ€π‘₯ ∈ βˆ… (((Idβ€˜πΆ)β€˜π‘₯) ∈ (π‘₯βˆ…π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ βˆ… βˆ€π‘§ ∈ βˆ… βˆ€π‘“ ∈ (π‘₯βˆ…π‘¦)βˆ€π‘” ∈ (π‘¦βˆ…π‘§)(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯βˆ…π‘§)))
4 eqid 2733 . . 3 (Homf β€˜πΆ) = (Homf β€˜πΆ)
5 eqid 2733 . . 3 (Idβ€˜πΆ) = (Idβ€˜πΆ)
6 eqid 2733 . . 3 (compβ€˜πΆ) = (compβ€˜πΆ)
7 id 22 . . 3 (𝐢 ∈ Cat β†’ 𝐢 ∈ Cat)
8 f0 6724 . . . . . 6 βˆ…:βˆ…βŸΆβˆ…
9 ffn 6669 . . . . . 6 (βˆ…:βˆ…βŸΆβˆ… β†’ βˆ… Fn βˆ…)
108, 9ax-mp 5 . . . . 5 βˆ… Fn βˆ…
11 0xp 5731 . . . . . 6 (βˆ… Γ— βˆ…) = βˆ…
1211fneq2i 6601 . . . . 5 (βˆ… Fn (βˆ… Γ— βˆ…) ↔ βˆ… Fn βˆ…)
1310, 12mpbir 230 . . . 4 βˆ… Fn (βˆ… Γ— βˆ…)
1413a1i 11 . . 3 (𝐢 ∈ Cat β†’ βˆ… Fn (βˆ… Γ— βˆ…))
154, 5, 6, 7, 14issubc2 17727 . 2 (𝐢 ∈ Cat β†’ (βˆ… ∈ (Subcatβ€˜πΆ) ↔ (βˆ… βŠ†cat (Homf β€˜πΆ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ βˆ… (((Idβ€˜πΆ)β€˜π‘₯) ∈ (π‘₯βˆ…π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ βˆ… βˆ€π‘§ ∈ βˆ… βˆ€π‘“ ∈ (π‘₯βˆ…π‘¦)βˆ€π‘” ∈ (π‘¦βˆ…π‘§)(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯βˆ…π‘§)))))
161, 3, 15mpbir2and 712 1 (𝐢 ∈ Cat β†’ βˆ… ∈ (Subcatβ€˜πΆ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  βˆ…c0 4283  βŸ¨cop 4593   class class class wbr 5106   Γ— cxp 5632   Fn wfn 6492  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  compcco 17150  Catccat 17549  Idccid 17550  Homf chomf 17551   βŠ†cat cssc 17695  Subcatcsubc 17697
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-pm 8771  df-ixp 8839  df-homf 17555  df-ssc 17698  df-subc 17700
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator