MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0subcat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0subcat 17794
Description: For any category 𝐢, the empty set is a (full) subcategory of 𝐢, see example 4.3(1.a) in [Adamek] p. 48. (Contributed by AV, 23-Apr-2020.)
Assertion
Ref Expression
0subcat (𝐢 ∈ Cat β†’ βˆ… ∈ (Subcatβ€˜πΆ))

Proof of Theorem 0subcat
Dummy variables 𝑓 𝑔 π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0ssc 17793 . 2 (𝐢 ∈ Cat β†’ βˆ… βŠ†cat (Homf β€˜πΆ))
2 ral0 4507 . . 3 βˆ€π‘₯ ∈ βˆ… (((Idβ€˜πΆ)β€˜π‘₯) ∈ (π‘₯βˆ…π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ βˆ… βˆ€π‘§ ∈ βˆ… βˆ€π‘“ ∈ (π‘₯βˆ…π‘¦)βˆ€π‘” ∈ (π‘¦βˆ…π‘§)(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯βˆ…π‘§))
32a1i 11 . 2 (𝐢 ∈ Cat β†’ βˆ€π‘₯ ∈ βˆ… (((Idβ€˜πΆ)β€˜π‘₯) ∈ (π‘₯βˆ…π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ βˆ… βˆ€π‘§ ∈ βˆ… βˆ€π‘“ ∈ (π‘₯βˆ…π‘¦)βˆ€π‘” ∈ (π‘¦βˆ…π‘§)(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯βˆ…π‘§)))
4 eqid 2726 . . 3 (Homf β€˜πΆ) = (Homf β€˜πΆ)
5 eqid 2726 . . 3 (Idβ€˜πΆ) = (Idβ€˜πΆ)
6 eqid 2726 . . 3 (compβ€˜πΆ) = (compβ€˜πΆ)
7 id 22 . . 3 (𝐢 ∈ Cat β†’ 𝐢 ∈ Cat)
8 f0 6765 . . . . . 6 βˆ…:βˆ…βŸΆβˆ…
9 ffn 6710 . . . . . 6 (βˆ…:βˆ…βŸΆβˆ… β†’ βˆ… Fn βˆ…)
108, 9ax-mp 5 . . . . 5 βˆ… Fn βˆ…
11 0xp 5767 . . . . . 6 (βˆ… Γ— βˆ…) = βˆ…
1211fneq2i 6640 . . . . 5 (βˆ… Fn (βˆ… Γ— βˆ…) ↔ βˆ… Fn βˆ…)
1310, 12mpbir 230 . . . 4 βˆ… Fn (βˆ… Γ— βˆ…)
1413a1i 11 . . 3 (𝐢 ∈ Cat β†’ βˆ… Fn (βˆ… Γ— βˆ…))
154, 5, 6, 7, 14issubc2 17792 . 2 (𝐢 ∈ Cat β†’ (βˆ… ∈ (Subcatβ€˜πΆ) ↔ (βˆ… βŠ†cat (Homf β€˜πΆ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ βˆ… (((Idβ€˜πΆ)β€˜π‘₯) ∈ (π‘₯βˆ…π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ βˆ… βˆ€π‘§ ∈ βˆ… βˆ€π‘“ ∈ (π‘₯βˆ…π‘¦)βˆ€π‘” ∈ (π‘¦βˆ…π‘§)(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯βˆ…π‘§)))))
161, 3, 15mpbir2and 710 1 (𝐢 ∈ Cat β†’ βˆ… ∈ (Subcatβ€˜πΆ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  βˆ…c0 4317  βŸ¨cop 4629   class class class wbr 5141   Γ— cxp 5667   Fn wfn 6531  βŸΆwf 6532  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  compcco 17215  Catccat 17614  Idccid 17615  Homf chomf 17616   βŠ†cat cssc 17760  Subcatcsubc 17762
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-homf 17620  df-ssc 17763  df-subc 17765
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator