MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0subcat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0subcat 17831
Description: For any category 𝐢, the empty set is a (full) subcategory of 𝐢, see example 4.3(1.a) in [Adamek] p. 48. (Contributed by AV, 23-Apr-2020.)
Assertion
Ref Expression
0subcat (𝐢 ∈ Cat β†’ βˆ… ∈ (Subcatβ€˜πΆ))

Proof of Theorem 0subcat
Dummy variables 𝑓 𝑔 π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0ssc 17830 . 2 (𝐢 ∈ Cat β†’ βˆ… βŠ†cat (Homf β€˜πΆ))
2 ral0 4516 . . 3 βˆ€π‘₯ ∈ βˆ… (((Idβ€˜πΆ)β€˜π‘₯) ∈ (π‘₯βˆ…π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ βˆ… βˆ€π‘§ ∈ βˆ… βˆ€π‘“ ∈ (π‘₯βˆ…π‘¦)βˆ€π‘” ∈ (π‘¦βˆ…π‘§)(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯βˆ…π‘§))
32a1i 11 . 2 (𝐢 ∈ Cat β†’ βˆ€π‘₯ ∈ βˆ… (((Idβ€˜πΆ)β€˜π‘₯) ∈ (π‘₯βˆ…π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ βˆ… βˆ€π‘§ ∈ βˆ… βˆ€π‘“ ∈ (π‘₯βˆ…π‘¦)βˆ€π‘” ∈ (π‘¦βˆ…π‘§)(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯βˆ…π‘§)))
4 eqid 2728 . . 3 (Homf β€˜πΆ) = (Homf β€˜πΆ)
5 eqid 2728 . . 3 (Idβ€˜πΆ) = (Idβ€˜πΆ)
6 eqid 2728 . . 3 (compβ€˜πΆ) = (compβ€˜πΆ)
7 id 22 . . 3 (𝐢 ∈ Cat β†’ 𝐢 ∈ Cat)
8 f0 6783 . . . . . 6 βˆ…:βˆ…βŸΆβˆ…
9 ffn 6727 . . . . . 6 (βˆ…:βˆ…βŸΆβˆ… β†’ βˆ… Fn βˆ…)
108, 9ax-mp 5 . . . . 5 βˆ… Fn βˆ…
11 0xp 5780 . . . . . 6 (βˆ… Γ— βˆ…) = βˆ…
1211fneq2i 6657 . . . . 5 (βˆ… Fn (βˆ… Γ— βˆ…) ↔ βˆ… Fn βˆ…)
1310, 12mpbir 230 . . . 4 βˆ… Fn (βˆ… Γ— βˆ…)
1413a1i 11 . . 3 (𝐢 ∈ Cat β†’ βˆ… Fn (βˆ… Γ— βˆ…))
154, 5, 6, 7, 14issubc2 17829 . 2 (𝐢 ∈ Cat β†’ (βˆ… ∈ (Subcatβ€˜πΆ) ↔ (βˆ… βŠ†cat (Homf β€˜πΆ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ βˆ… (((Idβ€˜πΆ)β€˜π‘₯) ∈ (π‘₯βˆ…π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ βˆ… βˆ€π‘§ ∈ βˆ… βˆ€π‘“ ∈ (π‘₯βˆ…π‘¦)βˆ€π‘” ∈ (π‘¦βˆ…π‘§)(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯βˆ…π‘§)))))
161, 3, 15mpbir2and 711 1 (𝐢 ∈ Cat β†’ βˆ… ∈ (Subcatβ€˜πΆ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3058  βˆ…c0 4326  βŸ¨cop 4638   class class class wbr 5152   Γ— cxp 5680   Fn wfn 6548  βŸΆwf 6549  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  compcco 17252  Catccat 17651  Idccid 17652  Homf chomf 17653   βŠ†cat cssc 17797  Subcatcsubc 17799
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-pm 8854  df-ixp 8923  df-homf 17657  df-ssc 17800  df-subc 17802
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator