MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  catsubcat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem catsubcat 17791
Description: For any category 𝐢, 𝐢 itself is a (full) subcategory of 𝐢, see example 4.3(1.b) in [Adamek] p. 48. (Contributed by AV, 23-Apr-2020.)
Assertion
Ref Expression
catsubcat (𝐢 ∈ Cat β†’ (Homf β€˜πΆ) ∈ (Subcatβ€˜πΆ))

Proof of Theorem catsubcat
Dummy variables 𝑓 𝑔 π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssidd 4005 . . 3 (𝐢 ∈ Cat β†’ (Baseβ€˜πΆ) βŠ† (Baseβ€˜πΆ))
2 ssidd 4005 . . . 4 ((𝐢 ∈ Cat ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ))) β†’ (π‘₯(Homf β€˜πΆ)𝑦) βŠ† (π‘₯(Homf β€˜πΆ)𝑦))
32ralrimivva 3200 . . 3 (𝐢 ∈ Cat β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΆ)(π‘₯(Homf β€˜πΆ)𝑦) βŠ† (π‘₯(Homf β€˜πΆ)𝑦))
4 eqid 2732 . . . . . 6 (Homf β€˜πΆ) = (Homf β€˜πΆ)
5 eqid 2732 . . . . . 6 (Baseβ€˜πΆ) = (Baseβ€˜πΆ)
64, 5homffn 17639 . . . . 5 (Homf β€˜πΆ) Fn ((Baseβ€˜πΆ) Γ— (Baseβ€˜πΆ))
76a1i 11 . . . 4 (𝐢 ∈ Cat β†’ (Homf β€˜πΆ) Fn ((Baseβ€˜πΆ) Γ— (Baseβ€˜πΆ)))
8 fvexd 6906 . . . 4 (𝐢 ∈ Cat β†’ (Baseβ€˜πΆ) ∈ V)
97, 7, 8isssc 17769 . . 3 (𝐢 ∈ Cat β†’ ((Homf β€˜πΆ) βŠ†cat (Homf β€˜πΆ) ↔ ((Baseβ€˜πΆ) βŠ† (Baseβ€˜πΆ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΆ)(π‘₯(Homf β€˜πΆ)𝑦) βŠ† (π‘₯(Homf β€˜πΆ)𝑦))))
101, 3, 9mpbir2and 711 . 2 (𝐢 ∈ Cat β†’ (Homf β€˜πΆ) βŠ†cat (Homf β€˜πΆ))
11 eqid 2732 . . . . . 6 (Hom β€˜πΆ) = (Hom β€˜πΆ)
12 eqid 2732 . . . . . 6 (Idβ€˜πΆ) = (Idβ€˜πΆ)
13 simpl 483 . . . . . 6 ((𝐢 ∈ Cat ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ)) β†’ 𝐢 ∈ Cat)
14 simpr 485 . . . . . 6 ((𝐢 ∈ Cat ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ)) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ))
155, 11, 12, 13, 14catidcl 17628 . . . . 5 ((𝐢 ∈ Cat ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ)) β†’ ((Idβ€˜πΆ)β€˜π‘₯) ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)π‘₯))
164, 5, 11, 14, 14homfval 17638 . . . . 5 ((𝐢 ∈ Cat ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ)) β†’ (π‘₯(Homf β€˜πΆ)π‘₯) = (π‘₯(Hom β€˜πΆ)π‘₯))
1715, 16eleqtrrd 2836 . . . 4 ((𝐢 ∈ Cat ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ)) β†’ ((Idβ€˜πΆ)β€˜π‘₯) ∈ (π‘₯(Homf β€˜πΆ)π‘₯))
18 eqid 2732 . . . . . . . 8 (compβ€˜πΆ) = (compβ€˜πΆ)
1913adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝐢 ∈ Cat ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ))) β†’ 𝐢 ∈ Cat)
2019adantr 481 . . . . . . . 8 ((((𝐢 ∈ Cat ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Homf β€˜πΆ)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Homf β€˜πΆ)𝑧))) β†’ 𝐢 ∈ Cat)
2114adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝐢 ∈ Cat ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ))) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ))
2221adantr 481 . . . . . . . 8 ((((𝐢 ∈ Cat ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Homf β€˜πΆ)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Homf β€˜πΆ)𝑧))) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ))
23 simpl 483 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ))
2423adantl 482 . . . . . . . . 9 (((𝐢 ∈ Cat ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ))) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ))
2524adantr 481 . . . . . . . 8 ((((𝐢 ∈ Cat ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Homf β€˜πΆ)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Homf β€˜πΆ)𝑧))) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ))
26 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) β†’ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ))
2726adantl 482 . . . . . . . . 9 (((𝐢 ∈ Cat ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ))) β†’ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ))
2827adantr 481 . . . . . . . 8 ((((𝐢 ∈ Cat ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Homf β€˜πΆ)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Homf β€˜πΆ)𝑧))) β†’ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ))
294, 5, 11, 21, 24homfval 17638 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐢 ∈ Cat ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ))) β†’ (π‘₯(Homf β€˜πΆ)𝑦) = (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦))
3029eleq2d 2819 . . . . . . . . . . 11 (((𝐢 ∈ Cat ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ))) β†’ (𝑓 ∈ (π‘₯(Homf β€˜πΆ)𝑦) ↔ 𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦)))
3130biimpcd 248 . . . . . . . . . 10 (𝑓 ∈ (π‘₯(Homf β€˜πΆ)𝑦) β†’ (((𝐢 ∈ Cat ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ))) β†’ 𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦)))
3231adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝑓 ∈ (π‘₯(Homf β€˜πΆ)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Homf β€˜πΆ)𝑧)) β†’ (((𝐢 ∈ Cat ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ))) β†’ 𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦)))
3332impcom 408 . . . . . . . 8 ((((𝐢 ∈ Cat ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Homf β€˜πΆ)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Homf β€˜πΆ)𝑧))) β†’ 𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦))
344, 5, 11, 24, 27homfval 17638 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐢 ∈ Cat ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ))) β†’ (𝑦(Homf β€˜πΆ)𝑧) = (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧))
3534eleq2d 2819 . . . . . . . . . . 11 (((𝐢 ∈ Cat ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ))) β†’ (𝑔 ∈ (𝑦(Homf β€˜πΆ)𝑧) ↔ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))
3635biimpd 228 . . . . . . . . . 10 (((𝐢 ∈ Cat ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ))) β†’ (𝑔 ∈ (𝑦(Homf β€˜πΆ)𝑧) β†’ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))
3736adantld 491 . . . . . . . . 9 (((𝐢 ∈ Cat ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ))) β†’ ((𝑓 ∈ (π‘₯(Homf β€˜πΆ)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Homf β€˜πΆ)𝑧)) β†’ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))
3837imp 407 . . . . . . . 8 ((((𝐢 ∈ Cat ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Homf β€˜πΆ)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Homf β€˜πΆ)𝑧))) β†’ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧))
395, 11, 18, 20, 22, 25, 28, 33, 38catcocl 17631 . . . . . . 7 ((((𝐢 ∈ Cat ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Homf β€˜πΆ)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Homf β€˜πΆ)𝑧))) β†’ (𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑧))
404, 5, 11, 21, 27homfval 17638 . . . . . . . 8 (((𝐢 ∈ Cat ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ))) β†’ (π‘₯(Homf β€˜πΆ)𝑧) = (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑧))
4140adantr 481 . . . . . . 7 ((((𝐢 ∈ Cat ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Homf β€˜πΆ)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Homf β€˜πΆ)𝑧))) β†’ (π‘₯(Homf β€˜πΆ)𝑧) = (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑧))
4239, 41eleqtrrd 2836 . . . . . 6 ((((𝐢 ∈ Cat ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ))) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Homf β€˜πΆ)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Homf β€˜πΆ)𝑧))) β†’ (𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯(Homf β€˜πΆ)𝑧))
4342ralrimivva 3200 . . . . 5 (((𝐢 ∈ Cat ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ))) β†’ βˆ€π‘“ ∈ (π‘₯(Homf β€˜πΆ)𝑦)βˆ€π‘” ∈ (𝑦(Homf β€˜πΆ)𝑧)(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯(Homf β€˜πΆ)𝑧))
4443ralrimivva 3200 . . . 4 ((𝐢 ∈ Cat ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ)) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΆ)βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜πΆ)βˆ€π‘“ ∈ (π‘₯(Homf β€˜πΆ)𝑦)βˆ€π‘” ∈ (𝑦(Homf β€˜πΆ)𝑧)(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯(Homf β€˜πΆ)𝑧))
4517, 44jca 512 . . 3 ((𝐢 ∈ Cat ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ)) β†’ (((Idβ€˜πΆ)β€˜π‘₯) ∈ (π‘₯(Homf β€˜πΆ)π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΆ)βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜πΆ)βˆ€π‘“ ∈ (π‘₯(Homf β€˜πΆ)𝑦)βˆ€π‘” ∈ (𝑦(Homf β€˜πΆ)𝑧)(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯(Homf β€˜πΆ)𝑧)))
4645ralrimiva 3146 . 2 (𝐢 ∈ Cat β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ)(((Idβ€˜πΆ)β€˜π‘₯) ∈ (π‘₯(Homf β€˜πΆ)π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΆ)βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜πΆ)βˆ€π‘“ ∈ (π‘₯(Homf β€˜πΆ)𝑦)βˆ€π‘” ∈ (𝑦(Homf β€˜πΆ)𝑧)(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯(Homf β€˜πΆ)𝑧)))
47 id 22 . . 3 (𝐢 ∈ Cat β†’ 𝐢 ∈ Cat)
484, 12, 18, 47, 7issubc2 17788 . 2 (𝐢 ∈ Cat β†’ ((Homf β€˜πΆ) ∈ (Subcatβ€˜πΆ) ↔ ((Homf β€˜πΆ) βŠ†cat (Homf β€˜πΆ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ)(((Idβ€˜πΆ)β€˜π‘₯) ∈ (π‘₯(Homf β€˜πΆ)π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΆ)βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜πΆ)βˆ€π‘“ ∈ (π‘₯(Homf β€˜πΆ)𝑦)βˆ€π‘” ∈ (𝑦(Homf β€˜πΆ)𝑧)(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯(Homf β€˜πΆ)𝑧)))))
4910, 46, 48mpbir2and 711 1 (𝐢 ∈ Cat β†’ (Homf β€˜πΆ) ∈ (Subcatβ€˜πΆ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  Vcvv 3474   βŠ† wss 3948  βŸ¨cop 4634   class class class wbr 5148   Γ— cxp 5674   Fn wfn 6538  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  Basecbs 17146  Hom chom 17210  compcco 17211  Catccat 17610  Idccid 17611  Homf chomf 17612   βŠ†cat cssc 17756  Subcatcsubc 17758
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-cat 17614  df-cid 17615  df-homf 17616  df-ssc 17759  df-subc 17761
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator