MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0ssc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0ssc 17728
Description: For any category 𝐢, the empty set is a subcategory subset of 𝐢. (Contributed by AV, 23-Apr-2020.)
Assertion
Ref Expression
0ssc (𝐢 ∈ Cat β†’ βˆ… βŠ†cat (Homf β€˜πΆ))

Proof of Theorem 0ssc
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0ss 4357 . . 3 βˆ… βŠ† (Baseβ€˜πΆ)
21a1i 11 . 2 (𝐢 ∈ Cat β†’ βˆ… βŠ† (Baseβ€˜πΆ))
3 ral0 4471 . . 3 βˆ€π‘₯ ∈ βˆ… βˆ€π‘¦ ∈ βˆ… (π‘₯βˆ…π‘¦) βŠ† (π‘₯(Homf β€˜πΆ)𝑦)
43a1i 11 . 2 (𝐢 ∈ Cat β†’ βˆ€π‘₯ ∈ βˆ… βˆ€π‘¦ ∈ βˆ… (π‘₯βˆ…π‘¦) βŠ† (π‘₯(Homf β€˜πΆ)𝑦))
5 f0 6724 . . . . . 6 βˆ…:βˆ…βŸΆβˆ…
6 ffn 6669 . . . . . 6 (βˆ…:βˆ…βŸΆβˆ… β†’ βˆ… Fn βˆ…)
75, 6ax-mp 5 . . . . 5 βˆ… Fn βˆ…
8 xp0 6111 . . . . . 6 (βˆ… Γ— βˆ…) = βˆ…
98fneq2i 6601 . . . . 5 (βˆ… Fn (βˆ… Γ— βˆ…) ↔ βˆ… Fn βˆ…)
107, 9mpbir 230 . . . 4 βˆ… Fn (βˆ… Γ— βˆ…)
1110a1i 11 . . 3 (𝐢 ∈ Cat β†’ βˆ… Fn (βˆ… Γ— βˆ…))
12 eqid 2733 . . . . 5 (Homf β€˜πΆ) = (Homf β€˜πΆ)
13 eqid 2733 . . . . 5 (Baseβ€˜πΆ) = (Baseβ€˜πΆ)
1412, 13homffn 17578 . . . 4 (Homf β€˜πΆ) Fn ((Baseβ€˜πΆ) Γ— (Baseβ€˜πΆ))
1514a1i 11 . . 3 (𝐢 ∈ Cat β†’ (Homf β€˜πΆ) Fn ((Baseβ€˜πΆ) Γ— (Baseβ€˜πΆ)))
16 fvexd 6858 . . 3 (𝐢 ∈ Cat β†’ (Baseβ€˜πΆ) ∈ V)
1711, 15, 16isssc 17708 . 2 (𝐢 ∈ Cat β†’ (βˆ… βŠ†cat (Homf β€˜πΆ) ↔ (βˆ… βŠ† (Baseβ€˜πΆ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ βˆ… βˆ€π‘¦ ∈ βˆ… (π‘₯βˆ…π‘¦) βŠ† (π‘₯(Homf β€˜πΆ)𝑦))))
182, 4, 17mpbir2and 712 1 (𝐢 ∈ Cat β†’ βˆ… βŠ†cat (Homf β€˜πΆ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  Vcvv 3444   βŠ† wss 3911  βˆ…c0 4283   class class class wbr 5106   Γ— cxp 5632   Fn wfn 6492  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17088  Catccat 17549  Homf chomf 17551   βŠ†cat cssc 17695
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-ixp 8839  df-homf 17555  df-ssc 17698
This theorem is referenced by:  0subcat  17729
  Copyright terms: Public domain W3C validator