MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0ssc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0ssc 17816
Description: For any category 𝐢, the empty set is a subcategory subset of 𝐢. (Contributed by AV, 23-Apr-2020.)
Assertion
Ref Expression
0ssc (𝐢 ∈ Cat β†’ βˆ… βŠ†cat (Homf β€˜πΆ))

Proof of Theorem 0ssc
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0ss 4392 . . 3 βˆ… βŠ† (Baseβ€˜πΆ)
21a1i 11 . 2 (𝐢 ∈ Cat β†’ βˆ… βŠ† (Baseβ€˜πΆ))
3 ral0 4508 . . 3 βˆ€π‘₯ ∈ βˆ… βˆ€π‘¦ ∈ βˆ… (π‘₯βˆ…π‘¦) βŠ† (π‘₯(Homf β€˜πΆ)𝑦)
43a1i 11 . 2 (𝐢 ∈ Cat β†’ βˆ€π‘₯ ∈ βˆ… βˆ€π‘¦ ∈ βˆ… (π‘₯βˆ…π‘¦) βŠ† (π‘₯(Homf β€˜πΆ)𝑦))
5 f0 6772 . . . . . 6 βˆ…:βˆ…βŸΆβˆ…
6 ffn 6716 . . . . . 6 (βˆ…:βˆ…βŸΆβˆ… β†’ βˆ… Fn βˆ…)
75, 6ax-mp 5 . . . . 5 βˆ… Fn βˆ…
8 xp0 6156 . . . . . 6 (βˆ… Γ— βˆ…) = βˆ…
98fneq2i 6646 . . . . 5 (βˆ… Fn (βˆ… Γ— βˆ…) ↔ βˆ… Fn βˆ…)
107, 9mpbir 230 . . . 4 βˆ… Fn (βˆ… Γ— βˆ…)
1110a1i 11 . . 3 (𝐢 ∈ Cat β†’ βˆ… Fn (βˆ… Γ— βˆ…))
12 eqid 2728 . . . . 5 (Homf β€˜πΆ) = (Homf β€˜πΆ)
13 eqid 2728 . . . . 5 (Baseβ€˜πΆ) = (Baseβ€˜πΆ)
1412, 13homffn 17666 . . . 4 (Homf β€˜πΆ) Fn ((Baseβ€˜πΆ) Γ— (Baseβ€˜πΆ))
1514a1i 11 . . 3 (𝐢 ∈ Cat β†’ (Homf β€˜πΆ) Fn ((Baseβ€˜πΆ) Γ— (Baseβ€˜πΆ)))
16 fvexd 6906 . . 3 (𝐢 ∈ Cat β†’ (Baseβ€˜πΆ) ∈ V)
1711, 15, 16isssc 17796 . 2 (𝐢 ∈ Cat β†’ (βˆ… βŠ†cat (Homf β€˜πΆ) ↔ (βˆ… βŠ† (Baseβ€˜πΆ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ βˆ… βˆ€π‘¦ ∈ βˆ… (π‘₯βˆ…π‘¦) βŠ† (π‘₯(Homf β€˜πΆ)𝑦))))
182, 4, 17mpbir2and 712 1 (𝐢 ∈ Cat β†’ βˆ… βŠ†cat (Homf β€˜πΆ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∈ wcel 2099  βˆ€wral 3057  Vcvv 3470   βŠ† wss 3945  βˆ…c0 4318   class class class wbr 5142   Γ— cxp 5670   Fn wfn 6537  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  Basecbs 17173  Catccat 17637  Homf chomf 17639   βŠ†cat cssc 17783
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-ixp 8910  df-homf 17643  df-ssc 17786
This theorem is referenced by:  0subcat  17817
  Copyright terms: Public domain W3C validator