MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0ssc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0ssc 17788
Description: For any category 𝐢, the empty set is a subcategory subset of 𝐢. (Contributed by AV, 23-Apr-2020.)
Assertion
Ref Expression
0ssc (𝐢 ∈ Cat β†’ βˆ… βŠ†cat (Homf β€˜πΆ))

Proof of Theorem 0ssc
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0ss 4389 . . 3 βˆ… βŠ† (Baseβ€˜πΆ)
21a1i 11 . 2 (𝐢 ∈ Cat β†’ βˆ… βŠ† (Baseβ€˜πΆ))
3 ral0 4505 . . 3 βˆ€π‘₯ ∈ βˆ… βˆ€π‘¦ ∈ βˆ… (π‘₯βˆ…π‘¦) βŠ† (π‘₯(Homf β€˜πΆ)𝑦)
43a1i 11 . 2 (𝐢 ∈ Cat β†’ βˆ€π‘₯ ∈ βˆ… βˆ€π‘¦ ∈ βˆ… (π‘₯βˆ…π‘¦) βŠ† (π‘₯(Homf β€˜πΆ)𝑦))
5 f0 6763 . . . . . 6 βˆ…:βˆ…βŸΆβˆ…
6 ffn 6708 . . . . . 6 (βˆ…:βˆ…βŸΆβˆ… β†’ βˆ… Fn βˆ…)
75, 6ax-mp 5 . . . . 5 βˆ… Fn βˆ…
8 xp0 6148 . . . . . 6 (βˆ… Γ— βˆ…) = βˆ…
98fneq2i 6638 . . . . 5 (βˆ… Fn (βˆ… Γ— βˆ…) ↔ βˆ… Fn βˆ…)
107, 9mpbir 230 . . . 4 βˆ… Fn (βˆ… Γ— βˆ…)
1110a1i 11 . . 3 (𝐢 ∈ Cat β†’ βˆ… Fn (βˆ… Γ— βˆ…))
12 eqid 2724 . . . . 5 (Homf β€˜πΆ) = (Homf β€˜πΆ)
13 eqid 2724 . . . . 5 (Baseβ€˜πΆ) = (Baseβ€˜πΆ)
1412, 13homffn 17638 . . . 4 (Homf β€˜πΆ) Fn ((Baseβ€˜πΆ) Γ— (Baseβ€˜πΆ))
1514a1i 11 . . 3 (𝐢 ∈ Cat β†’ (Homf β€˜πΆ) Fn ((Baseβ€˜πΆ) Γ— (Baseβ€˜πΆ)))
16 fvexd 6897 . . 3 (𝐢 ∈ Cat β†’ (Baseβ€˜πΆ) ∈ V)
1711, 15, 16isssc 17768 . 2 (𝐢 ∈ Cat β†’ (βˆ… βŠ†cat (Homf β€˜πΆ) ↔ (βˆ… βŠ† (Baseβ€˜πΆ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ βˆ… βˆ€π‘¦ ∈ βˆ… (π‘₯βˆ…π‘¦) βŠ† (π‘₯(Homf β€˜πΆ)𝑦))))
182, 4, 17mpbir2and 710 1 (𝐢 ∈ Cat β†’ βˆ… βŠ†cat (Homf β€˜πΆ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3053  Vcvv 3466   βŠ† wss 3941  βˆ…c0 4315   class class class wbr 5139   Γ— cxp 5665   Fn wfn 6529  βŸΆwf 6530  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  Basecbs 17145  Catccat 17609  Homf chomf 17611   βŠ†cat cssc 17755
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-ixp 8889  df-homf 17615  df-ssc 17758
This theorem is referenced by:  0subcat  17789
  Copyright terms: Public domain W3C validator