MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  issubc2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem issubc2 17729
Description: Elementhood in the set of subcategories. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
issubc.h 𝐻 = (Homf β€˜πΆ)
issubc.i 1 = (Idβ€˜πΆ)
issubc.o Β· = (compβ€˜πΆ)
issubc.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ Cat)
issubc2.a (πœ‘ β†’ 𝐽 Fn (𝑆 Γ— 𝑆))
Assertion
Ref Expression
issubc2 (πœ‘ β†’ (𝐽 ∈ (Subcatβ€˜πΆ) ↔ (𝐽 βŠ†cat 𝐻 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (( 1 β€˜π‘₯) ∈ (π‘₯𝐽π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 βˆ€π‘“ ∈ (π‘₯𝐽𝑦)βˆ€π‘” ∈ (𝑦𝐽𝑧)(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ© Β· 𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯𝐽𝑧)))))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,π‘₯,𝑦,𝑧,𝐢   𝑓,𝐽,𝑔,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑆,𝑓,𝑔,π‘₯,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔)   Β· (π‘₯,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔)   1 (π‘₯,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔)   𝐻(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔)

Proof of Theorem issubc2
StepHypRef Expression
1 issubc.h . 2 𝐻 = (Homf β€˜πΆ)
2 issubc.i . 2 1 = (Idβ€˜πΆ)
3 issubc.o . 2 Β· = (compβ€˜πΆ)
4 issubc.c . 2 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ Cat)
5 issubc2.a . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐽 Fn (𝑆 Γ— 𝑆))
65fndmd 6612 . . . 4 (πœ‘ β†’ dom 𝐽 = (𝑆 Γ— 𝑆))
76dmeqd 5866 . . 3 (πœ‘ β†’ dom dom 𝐽 = dom (𝑆 Γ— 𝑆))
8 dmxpid 5890 . . 3 dom (𝑆 Γ— 𝑆) = 𝑆
97, 8eqtr2di 2794 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑆 = dom dom 𝐽)
101, 2, 3, 4, 9issubc 17728 1 (πœ‘ β†’ (𝐽 ∈ (Subcatβ€˜πΆ) ↔ (𝐽 βŠ†cat 𝐻 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (( 1 β€˜π‘₯) ∈ (π‘₯𝐽π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 βˆ€π‘“ ∈ (π‘₯𝐽𝑦)βˆ€π‘” ∈ (𝑦𝐽𝑧)(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ© Β· 𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯𝐽𝑧)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3065  βŸ¨cop 4597   class class class wbr 5110   Γ— cxp 5636  dom cdm 5638   Fn wfn 6496  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  compcco 17152  Catccat 17551  Idccid 17552  Homf chomf 17553   βŠ†cat cssc 17697  Subcatcsubc 17699
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-ssc 17700  df-subc 17702
This theorem is referenced by:  0subcat  17731  catsubcat  17732  subcidcl  17737  subccocl  17738  issubc3  17742  fullsubc  17743  rnghmsubcsetc  46349  rhmsubcsetc  46395  rhmsubcrngc  46401  srhmsubc  46448  rhmsubc  46462  srhmsubcALTV  46466  rhmsubcALTV  46480
  Copyright terms: Public domain W3C validator