MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  issubc2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem issubc2 17829
Description: Elementhood in the set of subcategories. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
issubc.h 𝐻 = (Homf β€˜πΆ)
issubc.i 1 = (Idβ€˜πΆ)
issubc.o Β· = (compβ€˜πΆ)
issubc.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ Cat)
issubc2.a (πœ‘ β†’ 𝐽 Fn (𝑆 Γ— 𝑆))
Assertion
Ref Expression
issubc2 (πœ‘ β†’ (𝐽 ∈ (Subcatβ€˜πΆ) ↔ (𝐽 βŠ†cat 𝐻 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (( 1 β€˜π‘₯) ∈ (π‘₯𝐽π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 βˆ€π‘“ ∈ (π‘₯𝐽𝑦)βˆ€π‘” ∈ (𝑦𝐽𝑧)(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ© Β· 𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯𝐽𝑧)))))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,π‘₯,𝑦,𝑧,𝐢   𝑓,𝐽,𝑔,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑆,𝑓,𝑔,π‘₯,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔)   Β· (π‘₯,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔)   1 (π‘₯,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔)   𝐻(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔)

Proof of Theorem issubc2
StepHypRef Expression
1 issubc.h . 2 𝐻 = (Homf β€˜πΆ)
2 issubc.i . 2 1 = (Idβ€˜πΆ)
3 issubc.o . 2 Β· = (compβ€˜πΆ)
4 issubc.c . 2 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ Cat)
5 issubc2.a . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐽 Fn (𝑆 Γ— 𝑆))
65fndmd 6664 . . . 4 (πœ‘ β†’ dom 𝐽 = (𝑆 Γ— 𝑆))
76dmeqd 5912 . . 3 (πœ‘ β†’ dom dom 𝐽 = dom (𝑆 Γ— 𝑆))
8 dmxpid 5936 . . 3 dom (𝑆 Γ— 𝑆) = 𝑆
97, 8eqtr2di 2785 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑆 = dom dom 𝐽)
101, 2, 3, 4, 9issubc 17828 1 (πœ‘ β†’ (𝐽 ∈ (Subcatβ€˜πΆ) ↔ (𝐽 βŠ†cat 𝐻 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (( 1 β€˜π‘₯) ∈ (π‘₯𝐽π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 βˆ€π‘“ ∈ (π‘₯𝐽𝑦)βˆ€π‘” ∈ (𝑦𝐽𝑧)(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ© Β· 𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯𝐽𝑧)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3058  βŸ¨cop 4638   class class class wbr 5152   Γ— cxp 5680  dom cdm 5682   Fn wfn 6548  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  compcco 17252  Catccat 17651  Idccid 17652  Homf chomf 17653   βŠ†cat cssc 17797  Subcatcsubc 17799
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-pm 8854  df-ixp 8923  df-ssc 17800  df-subc 17802
This theorem is referenced by:  0subcat  17831  catsubcat  17832  subcidcl  17837  subccocl  17838  issubc3  17842  fullsubc  17843  rnghmsubcsetc  20573  rhmsubcsetc  20602  rhmsubcrngc  20608  srhmsubc  20620  rhmsubc  20629  rhmsubcALTV  47425  srhmsubcALTV  47465
  Copyright terms: Public domain W3C validator