MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  issubc2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem issubc2 17785
Description: Elementhood in the set of subcategories. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
issubc.h 𝐻 = (Homf β€˜πΆ)
issubc.i 1 = (Idβ€˜πΆ)
issubc.o Β· = (compβ€˜πΆ)
issubc.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ Cat)
issubc2.a (πœ‘ β†’ 𝐽 Fn (𝑆 Γ— 𝑆))
Assertion
Ref Expression
issubc2 (πœ‘ β†’ (𝐽 ∈ (Subcatβ€˜πΆ) ↔ (𝐽 βŠ†cat 𝐻 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (( 1 β€˜π‘₯) ∈ (π‘₯𝐽π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 βˆ€π‘“ ∈ (π‘₯𝐽𝑦)βˆ€π‘” ∈ (𝑦𝐽𝑧)(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ© Β· 𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯𝐽𝑧)))))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,π‘₯,𝑦,𝑧,𝐢   𝑓,𝐽,𝑔,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑆,𝑓,𝑔,π‘₯,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔)   Β· (π‘₯,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔)   1 (π‘₯,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔)   𝐻(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔)

Proof of Theorem issubc2
StepHypRef Expression
1 issubc.h . 2 𝐻 = (Homf β€˜πΆ)
2 issubc.i . 2 1 = (Idβ€˜πΆ)
3 issubc.o . 2 Β· = (compβ€˜πΆ)
4 issubc.c . 2 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ Cat)
5 issubc2.a . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐽 Fn (𝑆 Γ— 𝑆))
65fndmd 6654 . . . 4 (πœ‘ β†’ dom 𝐽 = (𝑆 Γ— 𝑆))
76dmeqd 5905 . . 3 (πœ‘ β†’ dom dom 𝐽 = dom (𝑆 Γ— 𝑆))
8 dmxpid 5929 . . 3 dom (𝑆 Γ— 𝑆) = 𝑆
97, 8eqtr2di 2789 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑆 = dom dom 𝐽)
101, 2, 3, 4, 9issubc 17784 1 (πœ‘ β†’ (𝐽 ∈ (Subcatβ€˜πΆ) ↔ (𝐽 βŠ†cat 𝐻 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (( 1 β€˜π‘₯) ∈ (π‘₯𝐽π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 βˆ€π‘“ ∈ (π‘₯𝐽𝑦)βˆ€π‘” ∈ (𝑦𝐽𝑧)(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ© Β· 𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯𝐽𝑧)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  βŸ¨cop 4634   class class class wbr 5148   Γ— cxp 5674  dom cdm 5676   Fn wfn 6538  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  compcco 17208  Catccat 17607  Idccid 17608  Homf chomf 17609   βŠ†cat cssc 17753  Subcatcsubc 17755
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-ssc 17756  df-subc 17758
This theorem is referenced by:  0subcat  17787  catsubcat  17788  subcidcl  17793  subccocl  17794  issubc3  17798  fullsubc  17799  rnghmsubcsetc  46865  rhmsubcsetc  46911  rhmsubcrngc  46917  srhmsubc  46964  rhmsubc  46978  srhmsubcALTV  46982  rhmsubcALTV  46996
  Copyright terms: Public domain W3C validator