MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  issubc2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem issubc2 17792
Description: Elementhood in the set of subcategories. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
issubc.h 𝐻 = (Homf β€˜πΆ)
issubc.i 1 = (Idβ€˜πΆ)
issubc.o Β· = (compβ€˜πΆ)
issubc.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ Cat)
issubc2.a (πœ‘ β†’ 𝐽 Fn (𝑆 Γ— 𝑆))
Assertion
Ref Expression
issubc2 (πœ‘ β†’ (𝐽 ∈ (Subcatβ€˜πΆ) ↔ (𝐽 βŠ†cat 𝐻 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (( 1 β€˜π‘₯) ∈ (π‘₯𝐽π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 βˆ€π‘“ ∈ (π‘₯𝐽𝑦)βˆ€π‘” ∈ (𝑦𝐽𝑧)(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ© Β· 𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯𝐽𝑧)))))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,π‘₯,𝑦,𝑧,𝐢   𝑓,𝐽,𝑔,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑆,𝑓,𝑔,π‘₯,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔)   Β· (π‘₯,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔)   1 (π‘₯,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔)   𝐻(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔)

Proof of Theorem issubc2
StepHypRef Expression
1 issubc.h . 2 𝐻 = (Homf β€˜πΆ)
2 issubc.i . 2 1 = (Idβ€˜πΆ)
3 issubc.o . 2 Β· = (compβ€˜πΆ)
4 issubc.c . 2 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ Cat)
5 issubc2.a . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐽 Fn (𝑆 Γ— 𝑆))
65fndmd 6647 . . . 4 (πœ‘ β†’ dom 𝐽 = (𝑆 Γ— 𝑆))
76dmeqd 5898 . . 3 (πœ‘ β†’ dom dom 𝐽 = dom (𝑆 Γ— 𝑆))
8 dmxpid 5922 . . 3 dom (𝑆 Γ— 𝑆) = 𝑆
97, 8eqtr2di 2783 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑆 = dom dom 𝐽)
101, 2, 3, 4, 9issubc 17791 1 (πœ‘ β†’ (𝐽 ∈ (Subcatβ€˜πΆ) ↔ (𝐽 βŠ†cat 𝐻 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (( 1 β€˜π‘₯) ∈ (π‘₯𝐽π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 βˆ€π‘“ ∈ (π‘₯𝐽𝑦)βˆ€π‘” ∈ (𝑦𝐽𝑧)(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ© Β· 𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯𝐽𝑧)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  βŸ¨cop 4629   class class class wbr 5141   Γ— cxp 5667  dom cdm 5669   Fn wfn 6531  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  compcco 17215  Catccat 17614  Idccid 17615  Homf chomf 17616   βŠ†cat cssc 17760  Subcatcsubc 17762
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-ssc 17763  df-subc 17765
This theorem is referenced by:  0subcat  17794  catsubcat  17795  subcidcl  17800  subccocl  17801  issubc3  17805  fullsubc  17806  rnghmsubcsetc  20526  rhmsubcsetc  20555  rhmsubcrngc  20561  srhmsubc  20573  rhmsubc  20582  rhmsubcALTV  47217  srhmsubcALTV  47257
  Copyright terms: Public domain W3C validator