Theorem ablsub4 19796

Description: Commutative/associative subtraction law for Abelian groups. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablsubadd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablsubadd.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
ablsubadd.m	⊢ − = (-g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
ablsub4	⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) − (𝑍 + 𝑊)) = ((𝑋 − 𝑍) + (𝑌 − 𝑊)))

Proof of Theorem ablsub4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ablgrp 19771	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
2	1	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → 𝐺 ∈ Grp)
3		simp2l 1200	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
4		simp2r 1201	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
5		ablsubadd.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
6		ablsubadd.p	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝐺)
7	5, 6	grpcl 18929	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
8	2, 3, 4, 7	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
9		simp3l 1202	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → 𝑍 ∈ 𝐵)
10		simp3r 1203	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → 𝑊 ∈ 𝐵)
11	5, 6	grpcl 18929	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → (𝑍 + 𝑊) ∈ 𝐵)
12	2, 9, 10, 11	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → (𝑍 + 𝑊) ∈ 𝐵)
13		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
14		ablsubadd.m	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝐺)
15	5, 6, 13, 14	grpsubval 18973	. . 3 ⊢ (((𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑍 + 𝑊) ∈ 𝐵) → ((𝑋 + 𝑌) − (𝑍 + 𝑊)) = ((𝑋 + 𝑌) + ((invg‘𝐺)‘(𝑍 + 𝑊))))
16	8, 12, 15	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) − (𝑍 + 𝑊)) = ((𝑋 + 𝑌) + ((invg‘𝐺)‘(𝑍 + 𝑊))))
17		ablcmn 19773	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ CMnd)
18	17	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → 𝐺 ∈ CMnd)
19		simp2 1137	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵))
20	5, 13	grpinvcl 18975	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘𝑍) ∈ 𝐵)
21	2, 9, 20	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → ((invg‘𝐺)‘𝑍) ∈ 𝐵)
22	5, 13	grpinvcl 18975	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘𝑊) ∈ 𝐵)
23	2, 10, 22	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → ((invg‘𝐺)‘𝑊) ∈ 𝐵)
24	5, 6	cmn4 19787	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (((invg‘𝐺)‘𝑍) ∈ 𝐵 ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑊) ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) + (((invg‘𝐺)‘𝑍) + ((invg‘𝐺)‘𝑊))) = ((𝑋 + ((invg‘𝐺)‘𝑍)) + (𝑌 + ((invg‘𝐺)‘𝑊))))
25	18, 19, 21, 23, 24	syl112anc 1376	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) + (((invg‘𝐺)‘𝑍) + ((invg‘𝐺)‘𝑊))) = ((𝑋 + ((invg‘𝐺)‘𝑍)) + (𝑌 + ((invg‘𝐺)‘𝑊))))
26		simp1 1136	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → 𝐺 ∈ Abel)
27	5, 6, 13	ablinvadd 19793	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘(𝑍 + 𝑊)) = (((invg‘𝐺)‘𝑍) + ((invg‘𝐺)‘𝑊)))
28	26, 9, 10, 27	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → ((invg‘𝐺)‘(𝑍 + 𝑊)) = (((invg‘𝐺)‘𝑍) + ((invg‘𝐺)‘𝑊)))
29	28	oveq2d 7426	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) + ((invg‘𝐺)‘(𝑍 + 𝑊))) = ((𝑋 + 𝑌) + (((invg‘𝐺)‘𝑍) + ((invg‘𝐺)‘𝑊))))
30	5, 6, 13, 14	grpsubval 18973	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑍) = (𝑋 + ((invg‘𝐺)‘𝑍)))
31	3, 9, 30	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → (𝑋 − 𝑍) = (𝑋 + ((invg‘𝐺)‘𝑍)))
32	5, 6, 13, 14	grpsubval 18973	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → (𝑌 − 𝑊) = (𝑌 + ((invg‘𝐺)‘𝑊)))
33	4, 10, 32	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → (𝑌 − 𝑊) = (𝑌 + ((invg‘𝐺)‘𝑊)))
34	31, 33	oveq12d 7428	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 − 𝑍) + (𝑌 − 𝑊)) = ((𝑋 + ((invg‘𝐺)‘𝑍)) + (𝑌 + ((invg‘𝐺)‘𝑊))))
35	25, 29, 34	3eqtr4d 2781	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) + ((invg‘𝐺)‘(𝑍 + 𝑊))) = ((𝑋 − 𝑍) + (𝑌 − 𝑊)))
36	16, 35	eqtrd 2771	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) − (𝑍 + 𝑊)) = ((𝑋 − 𝑍) + (𝑌 − 𝑊)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17233  +_gcplusg 17276  Grpcgrp 18921  inv_gcminusg 18922  -_gcsg 18923  CMndccmn 19766  Abelcabl 19767

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-id 5553  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-0g 17460  df-mgm 18623  df-sgrp 18702  df-mnd 18718  df-grp 18924  df-minusg 18925  df-sbg 18926  df-cmn 19768  df-abl 19769

This theorem is referenced by:  abladdsub4  19797  ablpnpcan  19805  mdetuni0  22564  minveclem2  25383  rlocaddval  33268  q1pdir  33617  baerlem3lem1  41731