Theorem ablsub4 19829

Description: Commutative/associative subtraction law for Abelian groups. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablsubadd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablsubadd.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
ablsubadd.m	⊢ − = (-g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
ablsub4	⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) − (𝑍 + 𝑊)) = ((𝑋 − 𝑍) + (𝑌 − 𝑊)))

Proof of Theorem ablsub4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ablgrp 19804	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
2	1	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → 𝐺 ∈ Grp)
3		simp2l 1199	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
4		simp2r 1200	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
5		ablsubadd.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
6		ablsubadd.p	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝐺)
7	5, 6	grpcl 18960	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
8	2, 3, 4, 7	syl3anc 1372	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
9		simp3l 1201	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → 𝑍 ∈ 𝐵)
10		simp3r 1202	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → 𝑊 ∈ 𝐵)
11	5, 6	grpcl 18960	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → (𝑍 + 𝑊) ∈ 𝐵)
12	2, 9, 10, 11	syl3anc 1372	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → (𝑍 + 𝑊) ∈ 𝐵)
13		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
14		ablsubadd.m	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝐺)
15	5, 6, 13, 14	grpsubval 19004	. . 3 ⊢ (((𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑍 + 𝑊) ∈ 𝐵) → ((𝑋 + 𝑌) − (𝑍 + 𝑊)) = ((𝑋 + 𝑌) + ((invg‘𝐺)‘(𝑍 + 𝑊))))
16	8, 12, 15	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) − (𝑍 + 𝑊)) = ((𝑋 + 𝑌) + ((invg‘𝐺)‘(𝑍 + 𝑊))))
17		ablcmn 19806	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ CMnd)
18	17	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → 𝐺 ∈ CMnd)
19		simp2 1137	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵))
20	5, 13	grpinvcl 19006	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘𝑍) ∈ 𝐵)
21	2, 9, 20	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → ((invg‘𝐺)‘𝑍) ∈ 𝐵)
22	5, 13	grpinvcl 19006	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘𝑊) ∈ 𝐵)
23	2, 10, 22	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → ((invg‘𝐺)‘𝑊) ∈ 𝐵)
24	5, 6	cmn4 19820	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (((invg‘𝐺)‘𝑍) ∈ 𝐵 ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑊) ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) + (((invg‘𝐺)‘𝑍) + ((invg‘𝐺)‘𝑊))) = ((𝑋 + ((invg‘𝐺)‘𝑍)) + (𝑌 + ((invg‘𝐺)‘𝑊))))
25	18, 19, 21, 23, 24	syl112anc 1375	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) + (((invg‘𝐺)‘𝑍) + ((invg‘𝐺)‘𝑊))) = ((𝑋 + ((invg‘𝐺)‘𝑍)) + (𝑌 + ((invg‘𝐺)‘𝑊))))
26		simp1 1136	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → 𝐺 ∈ Abel)
27	5, 6, 13	ablinvadd 19826	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘(𝑍 + 𝑊)) = (((invg‘𝐺)‘𝑍) + ((invg‘𝐺)‘𝑊)))
28	26, 9, 10, 27	syl3anc 1372	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → ((invg‘𝐺)‘(𝑍 + 𝑊)) = (((invg‘𝐺)‘𝑍) + ((invg‘𝐺)‘𝑊)))
29	28	oveq2d 7448	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) + ((invg‘𝐺)‘(𝑍 + 𝑊))) = ((𝑋 + 𝑌) + (((invg‘𝐺)‘𝑍) + ((invg‘𝐺)‘𝑊))))
30	5, 6, 13, 14	grpsubval 19004	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑍) = (𝑋 + ((invg‘𝐺)‘𝑍)))
31	3, 9, 30	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → (𝑋 − 𝑍) = (𝑋 + ((invg‘𝐺)‘𝑍)))
32	5, 6, 13, 14	grpsubval 19004	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → (𝑌 − 𝑊) = (𝑌 + ((invg‘𝐺)‘𝑊)))
33	4, 10, 32	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → (𝑌 − 𝑊) = (𝑌 + ((invg‘𝐺)‘𝑊)))
34	31, 33	oveq12d 7450	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 − 𝑍) + (𝑌 − 𝑊)) = ((𝑋 + ((invg‘𝐺)‘𝑍)) + (𝑌 + ((invg‘𝐺)‘𝑊))))
35	25, 29, 34	3eqtr4d 2786	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) + ((invg‘𝐺)‘(𝑍 + 𝑊))) = ((𝑋 − 𝑍) + (𝑌 − 𝑊)))
36	16, 35	eqtrd 2776	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) − (𝑍 + 𝑊)) = ((𝑋 − 𝑍) + (𝑌 − 𝑊)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432  Basecbs 17248  +_gcplusg 17298  Grpcgrp 18952  inv_gcminusg 18953  -_gcsg 18954  CMndccmn 19799  Abelcabl 19800

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-0g 17487  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-grp 18955  df-minusg 18956  df-sbg 18957  df-cmn 19801  df-abl 19802

This theorem is referenced by:  abladdsub4  19830  ablpnpcan  19838  mdetuni0  22628  minveclem2  25461  rlocaddval  33273  q1pdir  33624  baerlem3lem1  41710