Theorem grpinvadd 17964

Description: The inverse of the group operation reverses the arguments. Lemma 2.2.1(d) of [Herstein] p. 55. (Contributed by NM, 27-Oct-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpinvadd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpinvadd.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
grpinvadd.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpinvadd	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑁‘(𝑋 + 𝑌)) = ((𝑁‘𝑌) + (𝑁‘𝑋)))

Proof of Theorem grpinvadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1116	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ Grp)
2		simp2 1117	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		simp3 1118	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
4		grpinvadd.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5		grpinvadd.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
6	4, 5	grpinvcl 17938	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑌) ∈ 𝐵)
7	6	3adant2 1111	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑌) ∈ 𝐵)
8	4, 5	grpinvcl 17938	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)
9	8	3adant3 1112	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)
10		grpinvadd.p	. . . . . 6 ⊢ + = (+g‘𝐺)
11	4, 10	grpcl 17899	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁‘𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵) → ((𝑁‘𝑌) + (𝑁‘𝑋)) ∈ 𝐵)
12	1, 7, 9, 11	syl3anc 1351	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑁‘𝑌) + (𝑁‘𝑋)) ∈ 𝐵)
13	4, 10	grpass 17900	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑁‘𝑌) + (𝑁‘𝑋)) ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) + ((𝑁‘𝑌) + (𝑁‘𝑋))) = (𝑋 + (𝑌 + ((𝑁‘𝑌) + (𝑁‘𝑋)))))
14	1, 2, 3, 12, 13	syl13anc 1352	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 + 𝑌) + ((𝑁‘𝑌) + (𝑁‘𝑋))) = (𝑋 + (𝑌 + ((𝑁‘𝑌) + (𝑁‘𝑋)))))
15		eqid 2778	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
16	4, 10, 15, 5	grprinv 17940	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑌 + (𝑁‘𝑌)) = (0g‘𝐺))
17	16	3adant2 1111	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑌 + (𝑁‘𝑌)) = (0g‘𝐺))
18	17	oveq1d 6991	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑌 + (𝑁‘𝑌)) + (𝑁‘𝑋)) = ((0g‘𝐺) + (𝑁‘𝑋)))
19	4, 10	grpass 17900	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ (𝑁‘𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)) → ((𝑌 + (𝑁‘𝑌)) + (𝑁‘𝑋)) = (𝑌 + ((𝑁‘𝑌) + (𝑁‘𝑋))))
20	1, 3, 7, 9, 19	syl13anc 1352	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑌 + (𝑁‘𝑌)) + (𝑁‘𝑋)) = (𝑌 + ((𝑁‘𝑌) + (𝑁‘𝑋))))
21	4, 10, 15	grplid 17921	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵) → ((0g‘𝐺) + (𝑁‘𝑋)) = (𝑁‘𝑋))
22	1, 9, 21	syl2anc 576	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((0g‘𝐺) + (𝑁‘𝑋)) = (𝑁‘𝑋))
23	18, 20, 22	3eqtr3d 2822	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑌 + ((𝑁‘𝑌) + (𝑁‘𝑋))) = (𝑁‘𝑋))
24	23	oveq2d 6992	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + (𝑌 + ((𝑁‘𝑌) + (𝑁‘𝑋)))) = (𝑋 + (𝑁‘𝑋)))
25	4, 10, 15, 5	grprinv 17940	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 + (𝑁‘𝑋)) = (0g‘𝐺))
26	25	3adant3 1112	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + (𝑁‘𝑋)) = (0g‘𝐺))
27	14, 24, 26	3eqtrd 2818	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 + 𝑌) + ((𝑁‘𝑌) + (𝑁‘𝑋))) = (0g‘𝐺))
28	4, 10	grpcl 17899	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
29	4, 10, 15, 5	grpinvid1 17941	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑁‘𝑌) + (𝑁‘𝑋)) ∈ 𝐵) → ((𝑁‘(𝑋 + 𝑌)) = ((𝑁‘𝑌) + (𝑁‘𝑋)) ↔ ((𝑋 + 𝑌) + ((𝑁‘𝑌) + (𝑁‘𝑋))) = (0g‘𝐺)))
30	1, 28, 12, 29	syl3anc 1351	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑁‘(𝑋 + 𝑌)) = ((𝑁‘𝑌) + (𝑁‘𝑋)) ↔ ((𝑋 + 𝑌) + ((𝑁‘𝑌) + (𝑁‘𝑋))) = (0g‘𝐺)))
31	27, 30	mpbird 249	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑁‘(𝑋 + 𝑌)) = ((𝑁‘𝑌) + (𝑁‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ w3a 1068   = wceq 1507   ∈ wcel 2050  ‘cfv 6188  (class class class)co 6976  Basecbs 16339  +_gcplusg 16421  0_gc0g 16569  Grpcgrp 17891  inv_gcminusg 17892

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3682  df-dif 3832  df-un 3834  df-in 3836  df-ss 3843  df-nul 4179  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-op 4448  df-uni 4713  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-id 5312  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-fv 6196  df-riota 6937  df-ov 6979  df-0g 16571  df-mgm 17710  df-sgrp 17752  df-mnd 17763  df-grp 17894  df-minusg 17895

This theorem is referenced by:  grpinvsub  17968  mulgaddcomlem  18034  mulginvcom  18036  mulgdir  18043  eqger  18113  eqgcpbl  18117  invoppggim  18259  sylow2blem1  18506  lsmsubg  18540  ablinvadd  18688  ablsub2inv  18689  invghm  18712  rdivmuldivd  30547  dvrcan5  30549