Theorem grpinvadd 18634

Description: The inverse of the group operation reverses the arguments. Lemma 2.2.1(d) of [Herstein] p. 55. (Contributed by NM, 27-Oct-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpinvadd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpinvadd.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
grpinvadd.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpinvadd	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑁‘(𝑋 + 𝑌)) = ((𝑁‘𝑌) + (𝑁‘𝑋)))

Proof of Theorem grpinvadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1134	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ Grp)
2		simp2 1135	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		simp3 1136	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
4		grpinvadd.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5		grpinvadd.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
6	4, 5	grpinvcl 18608	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑌) ∈ 𝐵)
7	6	3adant2 1129	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑌) ∈ 𝐵)
8	4, 5	grpinvcl 18608	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)
9	8	3adant3 1130	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)
10		grpinvadd.p	. . . . . 6 ⊢ + = (+g‘𝐺)
11	4, 10	grpcl 18566	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁‘𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵) → ((𝑁‘𝑌) + (𝑁‘𝑋)) ∈ 𝐵)
12	1, 7, 9, 11	syl3anc 1369	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑁‘𝑌) + (𝑁‘𝑋)) ∈ 𝐵)
13	4, 10	grpass 18567	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑁‘𝑌) + (𝑁‘𝑋)) ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) + ((𝑁‘𝑌) + (𝑁‘𝑋))) = (𝑋 + (𝑌 + ((𝑁‘𝑌) + (𝑁‘𝑋)))))
14	1, 2, 3, 12, 13	syl13anc 1370	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 + 𝑌) + ((𝑁‘𝑌) + (𝑁‘𝑋))) = (𝑋 + (𝑌 + ((𝑁‘𝑌) + (𝑁‘𝑋)))))
15		eqid 2739	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
16	4, 10, 15, 5	grprinv 18610	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑌 + (𝑁‘𝑌)) = (0g‘𝐺))
17	16	3adant2 1129	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑌 + (𝑁‘𝑌)) = (0g‘𝐺))
18	17	oveq1d 7283	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑌 + (𝑁‘𝑌)) + (𝑁‘𝑋)) = ((0g‘𝐺) + (𝑁‘𝑋)))
19	4, 10	grpass 18567	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ (𝑁‘𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)) → ((𝑌 + (𝑁‘𝑌)) + (𝑁‘𝑋)) = (𝑌 + ((𝑁‘𝑌) + (𝑁‘𝑋))))
20	1, 3, 7, 9, 19	syl13anc 1370	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑌 + (𝑁‘𝑌)) + (𝑁‘𝑋)) = (𝑌 + ((𝑁‘𝑌) + (𝑁‘𝑋))))
21	4, 10, 15	grplid 18590	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵) → ((0g‘𝐺) + (𝑁‘𝑋)) = (𝑁‘𝑋))
22	1, 9, 21	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((0g‘𝐺) + (𝑁‘𝑋)) = (𝑁‘𝑋))
23	18, 20, 22	3eqtr3d 2787	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑌 + ((𝑁‘𝑌) + (𝑁‘𝑋))) = (𝑁‘𝑋))
24	23	oveq2d 7284	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + (𝑌 + ((𝑁‘𝑌) + (𝑁‘𝑋)))) = (𝑋 + (𝑁‘𝑋)))
25	4, 10, 15, 5	grprinv 18610	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 + (𝑁‘𝑋)) = (0g‘𝐺))
26	25	3adant3 1130	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + (𝑁‘𝑋)) = (0g‘𝐺))
27	14, 24, 26	3eqtrd 2783	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 + 𝑌) + ((𝑁‘𝑌) + (𝑁‘𝑋))) = (0g‘𝐺))
28	4, 10	grpcl 18566	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
29	4, 10, 15, 5	grpinvid1 18611	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑁‘𝑌) + (𝑁‘𝑋)) ∈ 𝐵) → ((𝑁‘(𝑋 + 𝑌)) = ((𝑁‘𝑌) + (𝑁‘𝑋)) ↔ ((𝑋 + 𝑌) + ((𝑁‘𝑌) + (𝑁‘𝑋))) = (0g‘𝐺)))
30	1, 28, 12, 29	syl3anc 1369	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑁‘(𝑋 + 𝑌)) = ((𝑁‘𝑌) + (𝑁‘𝑋)) ↔ ((𝑋 + 𝑌) + ((𝑁‘𝑌) + (𝑁‘𝑋))) = (0g‘𝐺)))
31	27, 30	mpbird 256	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑁‘(𝑋 + 𝑌)) = ((𝑁‘𝑌) + (𝑁‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1085   = wceq 1541   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6430  (class class class)co 7268  Basecbs 16893  +_gcplusg 16943  0_gc0g 17131  Grpcgrp 18558  inv_gcminusg 18559

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rmo 3073  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4845  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-id 5488  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-fv 6438  df-riota 7225  df-ov 7271  df-0g 17133  df-mgm 18307  df-sgrp 18356  df-mnd 18367  df-grp 18561  df-minusg 18562

This theorem is referenced by:  grpinvsub  18638  mulgaddcomlem  18707  mulginvcom  18709  mulgdir  18716  eqger  18787  eqgcpbl  18791  invoppggim  18948  sylow2blem1  19206  lsmsubg  19240  ablinvadd  19392  ablsub2inv  19393  invghm  19416  rdivmuldivd  31467  dvrcan5  31469