Theorem grpinvadd 18933

Description: The inverse of the group operation reverses the arguments. Lemma 2.2.1(d) of [Herstein] p. 55. (Contributed by NM, 27-Oct-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpinvadd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpinvadd.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
grpinvadd.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpinvadd	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑁‘(𝑋 + 𝑌)) = ((𝑁‘𝑌) + (𝑁‘𝑋)))

Proof of Theorem grpinvadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1136	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ Grp)
2		simp2 1137	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		simp3 1138	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
4		grpinvadd.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5		grpinvadd.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
6	4, 5	grpinvcl 18902	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑌) ∈ 𝐵)
7	6	3adant2 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑌) ∈ 𝐵)
8	4, 5	grpinvcl 18902	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)
9	8	3adant3 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)
10		grpinvadd.p	. . . . . 6 ⊢ + = (+g‘𝐺)
11	4, 10	grpcl 18856	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁‘𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵) → ((𝑁‘𝑌) + (𝑁‘𝑋)) ∈ 𝐵)
12	1, 7, 9, 11	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑁‘𝑌) + (𝑁‘𝑋)) ∈ 𝐵)
13	4, 10	grpass 18857	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑁‘𝑌) + (𝑁‘𝑋)) ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) + ((𝑁‘𝑌) + (𝑁‘𝑋))) = (𝑋 + (𝑌 + ((𝑁‘𝑌) + (𝑁‘𝑋)))))
14	1, 2, 3, 12, 13	syl13anc 1374	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 + 𝑌) + ((𝑁‘𝑌) + (𝑁‘𝑋))) = (𝑋 + (𝑌 + ((𝑁‘𝑌) + (𝑁‘𝑋)))))
15		eqid 2733	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
16	4, 10, 15, 5	grprinv 18905	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑌 + (𝑁‘𝑌)) = (0g‘𝐺))
17	16	3adant2 1131	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑌 + (𝑁‘𝑌)) = (0g‘𝐺))
18	17	oveq1d 7367	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑌 + (𝑁‘𝑌)) + (𝑁‘𝑋)) = ((0g‘𝐺) + (𝑁‘𝑋)))
19	4, 10	grpass 18857	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ (𝑁‘𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)) → ((𝑌 + (𝑁‘𝑌)) + (𝑁‘𝑋)) = (𝑌 + ((𝑁‘𝑌) + (𝑁‘𝑋))))
20	1, 3, 7, 9, 19	syl13anc 1374	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑌 + (𝑁‘𝑌)) + (𝑁‘𝑋)) = (𝑌 + ((𝑁‘𝑌) + (𝑁‘𝑋))))
21	4, 10, 15	grplid 18882	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵) → ((0g‘𝐺) + (𝑁‘𝑋)) = (𝑁‘𝑋))
22	1, 9, 21	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((0g‘𝐺) + (𝑁‘𝑋)) = (𝑁‘𝑋))
23	18, 20, 22	3eqtr3d 2776	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑌 + ((𝑁‘𝑌) + (𝑁‘𝑋))) = (𝑁‘𝑋))
24	23	oveq2d 7368	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + (𝑌 + ((𝑁‘𝑌) + (𝑁‘𝑋)))) = (𝑋 + (𝑁‘𝑋)))
25	4, 10, 15, 5	grprinv 18905	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 + (𝑁‘𝑋)) = (0g‘𝐺))
26	25	3adant3 1132	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + (𝑁‘𝑋)) = (0g‘𝐺))
27	14, 24, 26	3eqtrd 2772	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 + 𝑌) + ((𝑁‘𝑌) + (𝑁‘𝑋))) = (0g‘𝐺))
28	4, 10	grpcl 18856	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
29	4, 10, 15, 5	grpinvid1 18906	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑁‘𝑌) + (𝑁‘𝑋)) ∈ 𝐵) → ((𝑁‘(𝑋 + 𝑌)) = ((𝑁‘𝑌) + (𝑁‘𝑋)) ↔ ((𝑋 + 𝑌) + ((𝑁‘𝑌) + (𝑁‘𝑋))) = (0g‘𝐺)))
30	1, 28, 12, 29	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑁‘(𝑋 + 𝑌)) = ((𝑁‘𝑌) + (𝑁‘𝑋)) ↔ ((𝑋 + 𝑌) + ((𝑁‘𝑌) + (𝑁‘𝑋))) = (0g‘𝐺)))
31	27, 30	mpbird 257	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑁‘(𝑋 + 𝑌)) = ((𝑁‘𝑌) + (𝑁‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352  Basecbs 17122  +_gcplusg 17163  0_gc0g 17345  Grpcgrp 18848  inv_gcminusg 18849

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-0g 17347  df-mgm 18550  df-sgrp 18629  df-mnd 18645  df-grp 18851  df-minusg 18852

This theorem is referenced by:  grpinvsub  18937  mulgaddcomlem  19012  mulginvcom  19014  mulgdir  19021  eqger  19092  eqgcpbl  19096  invoppggim  19274  sylow2blem1  19534  lsmsubg  19568  ablinvadd  19721  ablsub2inv  19722  invghm  19747  rdivmuldivd  20333  dvrcan5  33210