MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgdi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulgdi 19788
Description: Group multiple of a sum. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgdi.b ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
mulgdi.m ยท = (.gโ€˜๐บ)
mulgdi.p + = (+gโ€˜๐บ)
Assertion
Ref Expression
mulgdi ((๐บ โˆˆ Abel โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘€ ยท (๐‘‹ + ๐‘Œ)) = ((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (๐‘€ ยท ๐‘Œ)))

Proof of Theorem mulgdi
StepHypRef Expression
1 ablcmn 19749 . . . 4 (๐บ โˆˆ Abel โ†’ ๐บ โˆˆ CMnd)
21ad2antrr 724 . . 3 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐บ โˆˆ CMnd)
3 simpr 483 . . 3 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•0)
4 simplr2 1213 . . 3 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
5 simplr3 1214 . . 3 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)
6 mulgdi.b . . . 4 ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
7 mulgdi.m . . . 4 ยท = (.gโ€˜๐บ)
8 mulgdi.p . . . 4 + = (+gโ€˜๐บ)
96, 7, 8mulgnn0di 19787 . . 3 ((๐บ โˆˆ CMnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘€ ยท (๐‘‹ + ๐‘Œ)) = ((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (๐‘€ ยท ๐‘Œ)))
102, 3, 4, 5, 9syl13anc 1369 . 2 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€ ยท (๐‘‹ + ๐‘Œ)) = ((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (๐‘€ ยท ๐‘Œ)))
111ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐บ โˆˆ CMnd)
12 simpr 483 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ -๐‘€ โˆˆ โ„•0)
13 simpr2 1192 . . . . . . . 8 ((๐บ โˆˆ Abel โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
1413adantr 479 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
15 simpr3 1193 . . . . . . . 8 ((๐บ โˆˆ Abel โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)
1615adantr 479 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)
176, 7, 8mulgnn0di 19787 . . . . . . 7 ((๐บ โˆˆ CMnd โˆง (-๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (-๐‘€ ยท (๐‘‹ + ๐‘Œ)) = ((-๐‘€ ยท ๐‘‹) + (-๐‘€ ยท ๐‘Œ)))
1811, 12, 14, 16, 17syl13anc 1369 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (-๐‘€ ยท (๐‘‹ + ๐‘Œ)) = ((-๐‘€ ยท ๐‘‹) + (-๐‘€ ยท ๐‘Œ)))
19 ablgrp 19747 . . . . . . . . 9 (๐บ โˆˆ Abel โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
2019adantr 479 . . . . . . . 8 ((๐บ โˆˆ Abel โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
21 simpr1 1191 . . . . . . . 8 ((๐บ โˆˆ Abel โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
226, 8grpcl 18905 . . . . . . . . 9 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‹ + ๐‘Œ) โˆˆ ๐ต)
2320, 13, 15, 22syl3anc 1368 . . . . . . . 8 ((๐บ โˆˆ Abel โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘‹ + ๐‘Œ) โˆˆ ๐ต)
24 eqid 2728 . . . . . . . . 9 (invgโ€˜๐บ) = (invgโ€˜๐บ)
256, 7, 24mulgneg 19054 . . . . . . . 8 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘‹ + ๐‘Œ) โˆˆ ๐ต) โ†’ (-๐‘€ ยท (๐‘‹ + ๐‘Œ)) = ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘€ ยท (๐‘‹ + ๐‘Œ))))
2620, 21, 23, 25syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((๐บ โˆˆ Abel โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (-๐‘€ ยท (๐‘‹ + ๐‘Œ)) = ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘€ ยท (๐‘‹ + ๐‘Œ))))
2726adantr 479 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (-๐‘€ ยท (๐‘‹ + ๐‘Œ)) = ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘€ ยท (๐‘‹ + ๐‘Œ))))
286, 7, 24mulgneg 19054 . . . . . . . . 9 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (-๐‘€ ยท ๐‘‹) = ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘€ ยท ๐‘‹)))
2920, 21, 13, 28syl3anc 1368 . . . . . . . 8 ((๐บ โˆˆ Abel โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (-๐‘€ ยท ๐‘‹) = ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘€ ยท ๐‘‹)))
306, 7, 24mulgneg 19054 . . . . . . . . 9 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ (-๐‘€ ยท ๐‘Œ) = ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘€ ยท ๐‘Œ)))
3120, 21, 15, 30syl3anc 1368 . . . . . . . 8 ((๐บ โˆˆ Abel โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (-๐‘€ ยท ๐‘Œ) = ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘€ ยท ๐‘Œ)))
3229, 31oveq12d 7444 . . . . . . 7 ((๐บ โˆˆ Abel โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((-๐‘€ ยท ๐‘‹) + (-๐‘€ ยท ๐‘Œ)) = (((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘€ ยท ๐‘‹)) + ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘€ ยท ๐‘Œ))))
3332adantr 479 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((-๐‘€ ยท ๐‘‹) + (-๐‘€ ยท ๐‘Œ)) = (((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘€ ยท ๐‘‹)) + ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘€ ยท ๐‘Œ))))
3418, 27, 333eqtr3d 2776 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘€ ยท (๐‘‹ + ๐‘Œ))) = (((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘€ ยท ๐‘‹)) + ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘€ ยท ๐‘Œ))))
35 simpl 481 . . . . . . 7 ((๐บ โˆˆ Abel โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐บ โˆˆ Abel)
366, 7mulgcl 19053 . . . . . . . 8 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
3720, 21, 13, 36syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((๐บ โˆˆ Abel โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
386, 7mulgcl 19053 . . . . . . . 8 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘Œ) โˆˆ ๐ต)
3920, 21, 15, 38syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((๐บ โˆˆ Abel โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘Œ) โˆˆ ๐ต)
406, 8, 24ablinvadd 19769 . . . . . . 7 ((๐บ โˆˆ Abel โˆง (๐‘€ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘€ ยท ๐‘Œ) โˆˆ ๐ต) โ†’ ((invgโ€˜๐บ)โ€˜((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (๐‘€ ยท ๐‘Œ))) = (((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘€ ยท ๐‘‹)) + ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘€ ยท ๐‘Œ))))
4135, 37, 39, 40syl3anc 1368 . . . . . 6 ((๐บ โˆˆ Abel โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((invgโ€˜๐บ)โ€˜((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (๐‘€ ยท ๐‘Œ))) = (((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘€ ยท ๐‘‹)) + ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘€ ยท ๐‘Œ))))
4241adantr 479 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((invgโ€˜๐บ)โ€˜((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (๐‘€ ยท ๐‘Œ))) = (((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘€ ยท ๐‘‹)) + ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘€ ยท ๐‘Œ))))
4334, 42eqtr4d 2771 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘€ ยท (๐‘‹ + ๐‘Œ))) = ((invgโ€˜๐บ)โ€˜((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (๐‘€ ยท ๐‘Œ))))
4443fveq2d 6906 . . 3 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((invgโ€˜๐บ)โ€˜((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘€ ยท (๐‘‹ + ๐‘Œ)))) = ((invgโ€˜๐บ)โ€˜((invgโ€˜๐บ)โ€˜((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (๐‘€ ยท ๐‘Œ)))))
456, 7mulgcl 19053 . . . . . 6 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘‹ + ๐‘Œ) โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘€ ยท (๐‘‹ + ๐‘Œ)) โˆˆ ๐ต)
4620, 21, 23, 45syl3anc 1368 . . . . 5 ((๐บ โˆˆ Abel โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘€ ยท (๐‘‹ + ๐‘Œ)) โˆˆ ๐ต)
4746adantr 479 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€ ยท (๐‘‹ + ๐‘Œ)) โˆˆ ๐ต)
486, 24grpinvinv 18969 . . . 4 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ ยท (๐‘‹ + ๐‘Œ)) โˆˆ ๐ต) โ†’ ((invgโ€˜๐บ)โ€˜((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘€ ยท (๐‘‹ + ๐‘Œ)))) = (๐‘€ ยท (๐‘‹ + ๐‘Œ)))
4920, 47, 48syl2an2r 683 . . 3 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((invgโ€˜๐บ)โ€˜((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘€ ยท (๐‘‹ + ๐‘Œ)))) = (๐‘€ ยท (๐‘‹ + ๐‘Œ)))
506, 8grpcl 18905 . . . . . 6 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘€ ยท ๐‘Œ) โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (๐‘€ ยท ๐‘Œ)) โˆˆ ๐ต)
5120, 37, 39, 50syl3anc 1368 . . . . 5 ((๐บ โˆˆ Abel โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (๐‘€ ยท ๐‘Œ)) โˆˆ ๐ต)
5251adantr 479 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (๐‘€ ยท ๐‘Œ)) โˆˆ ๐ต)
536, 24grpinvinv 18969 . . . 4 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (๐‘€ ยท ๐‘Œ)) โˆˆ ๐ต) โ†’ ((invgโ€˜๐บ)โ€˜((invgโ€˜๐บ)โ€˜((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (๐‘€ ยท ๐‘Œ)))) = ((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (๐‘€ ยท ๐‘Œ)))
5420, 52, 53syl2an2r 683 . . 3 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((invgโ€˜๐บ)โ€˜((invgโ€˜๐บ)โ€˜((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (๐‘€ ยท ๐‘Œ)))) = ((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (๐‘€ ยท ๐‘Œ)))
5544, 49, 543eqtr3d 2776 . 2 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€ ยท (๐‘‹ + ๐‘Œ)) = ((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (๐‘€ ยท ๐‘Œ)))
56 elznn0 12611 . . . 4 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†” (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆจ -๐‘€ โˆˆ โ„•0)))
5756simprbi 495 . . 3 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆจ -๐‘€ โˆˆ โ„•0))
5821, 57syl 17 . 2 ((๐บ โˆˆ Abel โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆจ -๐‘€ โˆˆ โ„•0))
5910, 55, 58mpjaodan 956 1 ((๐บ โˆˆ Abel โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘€ ยท (๐‘‹ + ๐‘Œ)) = ((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (๐‘€ ยท ๐‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   โˆจ wo 845   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โ€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  โ„cr 11145  -cneg 11483  โ„•0cn0 12510  โ„คcz 12596  Basecbs 17187  +gcplusg 17240  Grpcgrp 18897  invgcminusg 18898  .gcmg 19030  CMndccmn 19742  Abelcabl 19743
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-seq 14007  df-0g 17430  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-mulg 19031  df-cmn 19744  df-abl 19745
This theorem is referenced by:  mulgghm  19790  mulgsubdi  19791  odadd1  19810  odadd2  19811  oddvdssubg  19817  pgpfac1lem3a  20040  pgpfac1lem3  20041  zlmlmod  21459
  Copyright terms: Public domain W3C validator