MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgdi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulgdi 19605
Description: Group multiple of a sum. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgdi.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgdi.m · = (.g𝐺)
mulgdi.p + = (+g𝐺)
Assertion
Ref Expression
mulgdi ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑀 · (𝑋 + 𝑌)) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌)))

Proof of Theorem mulgdi
StepHypRef Expression
1 ablcmn 19569 . . . 4 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ CMnd)
21ad2antrr 724 . . 3 (((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝐺 ∈ CMnd)
3 simpr 485 . . 3 (((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℕ0)
4 simplr2 1216 . . 3 (((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑋𝐵)
5 simplr3 1217 . . 3 (((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑌𝐵)
6 mulgdi.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐺)
7 mulgdi.m . . . 4 · = (.g𝐺)
8 mulgdi.p . . . 4 + = (+g𝐺)
96, 7, 8mulgnn0di 19604 . . 3 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑀 · (𝑋 + 𝑌)) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌)))
102, 3, 4, 5, 9syl13anc 1372 . 2 (((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 · (𝑋 + 𝑌)) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌)))
111ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → 𝐺 ∈ CMnd)
12 simpr 485 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → -𝑀 ∈ ℕ0)
13 simpr2 1195 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝑋𝐵)
1413adantr 481 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑋𝐵)
15 simpr3 1196 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝑌𝐵)
1615adantr 481 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑌𝐵)
176, 7, 8mulgnn0di 19604 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (-𝑀 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (-𝑀 · (𝑋 + 𝑌)) = ((-𝑀 · 𝑋) + (-𝑀 · 𝑌)))
1811, 12, 14, 16, 17syl13anc 1372 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → (-𝑀 · (𝑋 + 𝑌)) = ((-𝑀 · 𝑋) + (-𝑀 · 𝑌)))
19 ablgrp 19567 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
2019adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝐺 ∈ Grp)
21 simpr1 1194 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝑀 ∈ ℤ)
226, 8grpcl 18756 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
2320, 13, 15, 22syl3anc 1371 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
24 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (invg𝐺) = (invg𝐺)
256, 7, 24mulgneg 18894 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵) → (-𝑀 · (𝑋 + 𝑌)) = ((invg𝐺)‘(𝑀 · (𝑋 + 𝑌))))
2620, 21, 23, 25syl3anc 1371 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (-𝑀 · (𝑋 + 𝑌)) = ((invg𝐺)‘(𝑀 · (𝑋 + 𝑌))))
2726adantr 481 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → (-𝑀 · (𝑋 + 𝑌)) = ((invg𝐺)‘(𝑀 · (𝑋 + 𝑌))))
286, 7, 24mulgneg 18894 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (-𝑀 · 𝑋) = ((invg𝐺)‘(𝑀 · 𝑋)))
2920, 21, 13, 28syl3anc 1371 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (-𝑀 · 𝑋) = ((invg𝐺)‘(𝑀 · 𝑋)))
306, 7, 24mulgneg 18894 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑌𝐵) → (-𝑀 · 𝑌) = ((invg𝐺)‘(𝑀 · 𝑌)))
3120, 21, 15, 30syl3anc 1371 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (-𝑀 · 𝑌) = ((invg𝐺)‘(𝑀 · 𝑌)))
3229, 31oveq12d 7375 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ((-𝑀 · 𝑋) + (-𝑀 · 𝑌)) = (((invg𝐺)‘(𝑀 · 𝑋)) + ((invg𝐺)‘(𝑀 · 𝑌))))
3332adantr 481 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → ((-𝑀 · 𝑋) + (-𝑀 · 𝑌)) = (((invg𝐺)‘(𝑀 · 𝑋)) + ((invg𝐺)‘(𝑀 · 𝑌))))
3418, 27, 333eqtr3d 2784 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → ((invg𝐺)‘(𝑀 · (𝑋 + 𝑌))) = (((invg𝐺)‘(𝑀 · 𝑋)) + ((invg𝐺)‘(𝑀 · 𝑌))))
35 simpl 483 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝐺 ∈ Abel)
366, 7mulgcl 18893 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵)
3720, 21, 13, 36syl3anc 1371 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵)
386, 7mulgcl 18893 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑌𝐵) → (𝑀 · 𝑌) ∈ 𝐵)
3920, 21, 15, 38syl3anc 1371 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑀 · 𝑌) ∈ 𝐵)
406, 8, 24ablinvadd 19588 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑌) ∈ 𝐵) → ((invg𝐺)‘((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌))) = (((invg𝐺)‘(𝑀 · 𝑋)) + ((invg𝐺)‘(𝑀 · 𝑌))))
4135, 37, 39, 40syl3anc 1371 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ((invg𝐺)‘((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌))) = (((invg𝐺)‘(𝑀 · 𝑋)) + ((invg𝐺)‘(𝑀 · 𝑌))))
4241adantr 481 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → ((invg𝐺)‘((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌))) = (((invg𝐺)‘(𝑀 · 𝑋)) + ((invg𝐺)‘(𝑀 · 𝑌))))
4334, 42eqtr4d 2779 . . . 4 (((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → ((invg𝐺)‘(𝑀 · (𝑋 + 𝑌))) = ((invg𝐺)‘((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌))))
4443fveq2d 6846 . . 3 (((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → ((invg𝐺)‘((invg𝐺)‘(𝑀 · (𝑋 + 𝑌)))) = ((invg𝐺)‘((invg𝐺)‘((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌)))))
456, 7mulgcl 18893 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑀 · (𝑋 + 𝑌)) ∈ 𝐵)
4620, 21, 23, 45syl3anc 1371 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑀 · (𝑋 + 𝑌)) ∈ 𝐵)
4746adantr 481 . . . 4 (((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 · (𝑋 + 𝑌)) ∈ 𝐵)
486, 24grpinvinv 18814 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 · (𝑋 + 𝑌)) ∈ 𝐵) → ((invg𝐺)‘((invg𝐺)‘(𝑀 · (𝑋 + 𝑌)))) = (𝑀 · (𝑋 + 𝑌)))
4920, 47, 48syl2an2r 683 . . 3 (((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → ((invg𝐺)‘((invg𝐺)‘(𝑀 · (𝑋 + 𝑌)))) = (𝑀 · (𝑋 + 𝑌)))
506, 8grpcl 18756 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑌) ∈ 𝐵) → ((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌)) ∈ 𝐵)
5120, 37, 39, 50syl3anc 1371 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌)) ∈ 𝐵)
5251adantr 481 . . . 4 (((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌)) ∈ 𝐵)
536, 24grpinvinv 18814 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌)) ∈ 𝐵) → ((invg𝐺)‘((invg𝐺)‘((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌)))) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌)))
5420, 52, 53syl2an2r 683 . . 3 (((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → ((invg𝐺)‘((invg𝐺)‘((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌)))) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌)))
5544, 49, 543eqtr3d 2784 . 2 (((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 · (𝑋 + 𝑌)) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌)))
56 elznn0 12514 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ ↔ (𝑀 ∈ ℝ ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∨ -𝑀 ∈ ℕ0)))
5756simprbi 497 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℕ0 ∨ -𝑀 ∈ ℕ0))
5821, 57syl 17 . 2 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑀 ∈ ℕ0 ∨ -𝑀 ∈ ℕ0))
5910, 55, 58mpjaodan 957 1 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑀 · (𝑋 + 𝑌)) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wo 845  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  cfv 6496  (class class class)co 7357  cr 11050  -cneg 11386  0cn0 12413  cz 12499  Basecbs 17083  +gcplusg 17133  Grpcgrp 18748  invgcminusg 18749  .gcmg 18872  CMndccmn 19562  Abelcabl 19563
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-0g 17323  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-mulg 18873  df-cmn 19564  df-abl 19565
This theorem is referenced by:  mulgghm  19607  mulgsubdi  19608  odadd1  19626  odadd2  19627  oddvdssubg  19633  pgpfac1lem3a  19855  pgpfac1lem3  19856  zlmlmod  20927
  Copyright terms: Public domain W3C validator