Theorem mulgdi 19763

Description: Group multiple of a sum. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgdi.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgdi.m	⊢ · = (.g‘𝐺)
mulgdi.p	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mulgdi	⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑀 · (𝑋 + 𝑌)) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌)))

Proof of Theorem mulgdi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ablcmn 19724	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ CMnd)
2	1	ad2antrr 726	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝐺 ∈ CMnd)
3		simpr 484	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℕ0)
4		simplr2 1217	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ 𝐵)
5		simplr3 1218	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑌 ∈ 𝐵)
6		mulgdi.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
7		mulgdi.m	. . . 4 ⊢ · = (.g‘𝐺)
8		mulgdi.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐺)
9	6, 7, 8	mulgnn0di 19762	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑀 · (𝑋 + 𝑌)) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌)))
10	2, 3, 4, 5, 9	syl13anc 1374	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 · (𝑋 + 𝑌)) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌)))
11	1	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → 𝐺 ∈ CMnd)
12		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → -𝑀 ∈ ℕ0)
13		simpr2 1196	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
14	13	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ 𝐵)
15		simpr3 1197	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
16	15	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑌 ∈ 𝐵)
17	6, 7, 8	mulgnn0di 19762	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (-𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (-𝑀 · (𝑋 + 𝑌)) = ((-𝑀 · 𝑋) + (-𝑀 · 𝑌)))
18	11, 12, 14, 16, 17	syl13anc 1374	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → (-𝑀 · (𝑋 + 𝑌)) = ((-𝑀 · 𝑋) + (-𝑀 · 𝑌)))
19		ablgrp 19722	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
20	19	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝐺 ∈ Grp)
21		simpr1 1195	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑀 ∈ ℤ)
22	6, 8	grpcl 18880	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
23	20, 13, 15, 22	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
24		eqid 2730	. . . . . . . . 9 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
25	6, 7, 24	mulgneg 19031	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵) → (-𝑀 · (𝑋 + 𝑌)) = ((invg‘𝐺)‘(𝑀 · (𝑋 + 𝑌))))
26	20, 21, 23, 25	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (-𝑀 · (𝑋 + 𝑌)) = ((invg‘𝐺)‘(𝑀 · (𝑋 + 𝑌))))
27	26	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → (-𝑀 · (𝑋 + 𝑌)) = ((invg‘𝐺)‘(𝑀 · (𝑋 + 𝑌))))
28	6, 7, 24	mulgneg 19031	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (-𝑀 · 𝑋) = ((invg‘𝐺)‘(𝑀 · 𝑋)))
29	20, 21, 13, 28	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (-𝑀 · 𝑋) = ((invg‘𝐺)‘(𝑀 · 𝑋)))
30	6, 7, 24	mulgneg 19031	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (-𝑀 · 𝑌) = ((invg‘𝐺)‘(𝑀 · 𝑌)))
31	20, 21, 15, 30	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (-𝑀 · 𝑌) = ((invg‘𝐺)‘(𝑀 · 𝑌)))
32	29, 31	oveq12d 7408	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((-𝑀 · 𝑋) + (-𝑀 · 𝑌)) = (((invg‘𝐺)‘(𝑀 · 𝑋)) + ((invg‘𝐺)‘(𝑀 · 𝑌))))
33	32	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → ((-𝑀 · 𝑋) + (-𝑀 · 𝑌)) = (((invg‘𝐺)‘(𝑀 · 𝑋)) + ((invg‘𝐺)‘(𝑀 · 𝑌))))
34	18, 27, 33	3eqtr3d 2773	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → ((invg‘𝐺)‘(𝑀 · (𝑋 + 𝑌))) = (((invg‘𝐺)‘(𝑀 · 𝑋)) + ((invg‘𝐺)‘(𝑀 · 𝑌))))
35		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝐺 ∈ Abel)
36	6, 7	mulgcl 19030	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵)
37	20, 21, 13, 36	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵)
38	6, 7	mulgcl 19030	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑀 · 𝑌) ∈ 𝐵)
39	20, 21, 15, 38	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑀 · 𝑌) ∈ 𝐵)
40	6, 8, 24	ablinvadd 19744	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑌) ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌))) = (((invg‘𝐺)‘(𝑀 · 𝑋)) + ((invg‘𝐺)‘(𝑀 · 𝑌))))
41	35, 37, 39, 40	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((invg‘𝐺)‘((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌))) = (((invg‘𝐺)‘(𝑀 · 𝑋)) + ((invg‘𝐺)‘(𝑀 · 𝑌))))
42	41	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → ((invg‘𝐺)‘((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌))) = (((invg‘𝐺)‘(𝑀 · 𝑋)) + ((invg‘𝐺)‘(𝑀 · 𝑌))))
43	34, 42	eqtr4d 2768	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → ((invg‘𝐺)‘(𝑀 · (𝑋 + 𝑌))) = ((invg‘𝐺)‘((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌))))
44	43	fveq2d 6865	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → ((invg‘𝐺)‘((invg‘𝐺)‘(𝑀 · (𝑋 + 𝑌)))) = ((invg‘𝐺)‘((invg‘𝐺)‘((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌)))))
45	6, 7	mulgcl 19030	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑀 · (𝑋 + 𝑌)) ∈ 𝐵)
46	20, 21, 23, 45	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑀 · (𝑋 + 𝑌)) ∈ 𝐵)
47	46	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 · (𝑋 + 𝑌)) ∈ 𝐵)
48	6, 24	grpinvinv 18944	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 · (𝑋 + 𝑌)) ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘((invg‘𝐺)‘(𝑀 · (𝑋 + 𝑌)))) = (𝑀 · (𝑋 + 𝑌)))
49	20, 47, 48	syl2an2r 685	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → ((invg‘𝐺)‘((invg‘𝐺)‘(𝑀 · (𝑋 + 𝑌)))) = (𝑀 · (𝑋 + 𝑌)))
50	6, 8	grpcl 18880	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑌) ∈ 𝐵) → ((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌)) ∈ 𝐵)
51	20, 37, 39, 50	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌)) ∈ 𝐵)
52	51	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌)) ∈ 𝐵)
53	6, 24	grpinvinv 18944	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌)) ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘((invg‘𝐺)‘((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌)))) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌)))
54	20, 52, 53	syl2an2r 685	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → ((invg‘𝐺)‘((invg‘𝐺)‘((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌)))) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌)))
55	44, 49, 54	3eqtr3d 2773	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 · (𝑋 + 𝑌)) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌)))
56		elznn0 12551	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ ↔ (𝑀 ∈ ℝ ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∨ -𝑀 ∈ ℕ0)))
57	56	simprbi 496	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℕ0 ∨ -𝑀 ∈ ℕ0))
58	21, 57	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑀 ∈ ℕ0 ∨ -𝑀 ∈ ℕ0))
59	10, 55, 58	mpjaodan 960	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑀 · (𝑋 + 𝑌)) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ℝcr 11074  -cneg 11413  ℕ₀cn0 12449  ℤcz 12536  Basecbs 17186  +_gcplusg 17227  Grpcgrp 18872  inv_gcminusg 18873  ._gcmg 19006  CMndccmn 19717  Abelcabl 19718

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-seq 13974  df-0g 17411  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-grp 18875  df-minusg 18876  df-mulg 19007  df-cmn 19719  df-abl 19720

This theorem is referenced by:  mulgghm  19765  mulgsubdi  19766  odadd1  19785  odadd2  19786  oddvdssubg  19792  pgpfac1lem3a  20015  pgpfac1lem3  20016  zlmlmod  21439