MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgdi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulgdi 19612
Description: Group multiple of a sum. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgdi.b ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
mulgdi.m ยท = (.gโ€˜๐บ)
mulgdi.p + = (+gโ€˜๐บ)
Assertion
Ref Expression
mulgdi ((๐บ โˆˆ Abel โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘€ ยท (๐‘‹ + ๐‘Œ)) = ((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (๐‘€ ยท ๐‘Œ)))

Proof of Theorem mulgdi
StepHypRef Expression
1 ablcmn 19576 . . . 4 (๐บ โˆˆ Abel โ†’ ๐บ โˆˆ CMnd)
21ad2antrr 725 . . 3 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐บ โˆˆ CMnd)
3 simpr 486 . . 3 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•0)
4 simplr2 1217 . . 3 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
5 simplr3 1218 . . 3 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)
6 mulgdi.b . . . 4 ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
7 mulgdi.m . . . 4 ยท = (.gโ€˜๐บ)
8 mulgdi.p . . . 4 + = (+gโ€˜๐บ)
96, 7, 8mulgnn0di 19611 . . 3 ((๐บ โˆˆ CMnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘€ ยท (๐‘‹ + ๐‘Œ)) = ((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (๐‘€ ยท ๐‘Œ)))
102, 3, 4, 5, 9syl13anc 1373 . 2 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€ ยท (๐‘‹ + ๐‘Œ)) = ((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (๐‘€ ยท ๐‘Œ)))
111ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐บ โˆˆ CMnd)
12 simpr 486 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ -๐‘€ โˆˆ โ„•0)
13 simpr2 1196 . . . . . . . 8 ((๐บ โˆˆ Abel โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
1413adantr 482 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
15 simpr3 1197 . . . . . . . 8 ((๐บ โˆˆ Abel โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)
1615adantr 482 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)
176, 7, 8mulgnn0di 19611 . . . . . . 7 ((๐บ โˆˆ CMnd โˆง (-๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (-๐‘€ ยท (๐‘‹ + ๐‘Œ)) = ((-๐‘€ ยท ๐‘‹) + (-๐‘€ ยท ๐‘Œ)))
1811, 12, 14, 16, 17syl13anc 1373 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (-๐‘€ ยท (๐‘‹ + ๐‘Œ)) = ((-๐‘€ ยท ๐‘‹) + (-๐‘€ ยท ๐‘Œ)))
19 ablgrp 19574 . . . . . . . . 9 (๐บ โˆˆ Abel โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
2019adantr 482 . . . . . . . 8 ((๐บ โˆˆ Abel โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
21 simpr1 1195 . . . . . . . 8 ((๐บ โˆˆ Abel โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
226, 8grpcl 18763 . . . . . . . . 9 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‹ + ๐‘Œ) โˆˆ ๐ต)
2320, 13, 15, 22syl3anc 1372 . . . . . . . 8 ((๐บ โˆˆ Abel โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘‹ + ๐‘Œ) โˆˆ ๐ต)
24 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (invgโ€˜๐บ) = (invgโ€˜๐บ)
256, 7, 24mulgneg 18901 . . . . . . . 8 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘‹ + ๐‘Œ) โˆˆ ๐ต) โ†’ (-๐‘€ ยท (๐‘‹ + ๐‘Œ)) = ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘€ ยท (๐‘‹ + ๐‘Œ))))
2620, 21, 23, 25syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((๐บ โˆˆ Abel โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (-๐‘€ ยท (๐‘‹ + ๐‘Œ)) = ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘€ ยท (๐‘‹ + ๐‘Œ))))
2726adantr 482 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (-๐‘€ ยท (๐‘‹ + ๐‘Œ)) = ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘€ ยท (๐‘‹ + ๐‘Œ))))
286, 7, 24mulgneg 18901 . . . . . . . . 9 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (-๐‘€ ยท ๐‘‹) = ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘€ ยท ๐‘‹)))
2920, 21, 13, 28syl3anc 1372 . . . . . . . 8 ((๐บ โˆˆ Abel โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (-๐‘€ ยท ๐‘‹) = ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘€ ยท ๐‘‹)))
306, 7, 24mulgneg 18901 . . . . . . . . 9 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ (-๐‘€ ยท ๐‘Œ) = ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘€ ยท ๐‘Œ)))
3120, 21, 15, 30syl3anc 1372 . . . . . . . 8 ((๐บ โˆˆ Abel โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (-๐‘€ ยท ๐‘Œ) = ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘€ ยท ๐‘Œ)))
3229, 31oveq12d 7380 . . . . . . 7 ((๐บ โˆˆ Abel โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((-๐‘€ ยท ๐‘‹) + (-๐‘€ ยท ๐‘Œ)) = (((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘€ ยท ๐‘‹)) + ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘€ ยท ๐‘Œ))))
3332adantr 482 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((-๐‘€ ยท ๐‘‹) + (-๐‘€ ยท ๐‘Œ)) = (((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘€ ยท ๐‘‹)) + ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘€ ยท ๐‘Œ))))
3418, 27, 333eqtr3d 2785 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘€ ยท (๐‘‹ + ๐‘Œ))) = (((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘€ ยท ๐‘‹)) + ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘€ ยท ๐‘Œ))))
35 simpl 484 . . . . . . 7 ((๐บ โˆˆ Abel โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐บ โˆˆ Abel)
366, 7mulgcl 18900 . . . . . . . 8 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
3720, 21, 13, 36syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((๐บ โˆˆ Abel โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
386, 7mulgcl 18900 . . . . . . . 8 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘Œ) โˆˆ ๐ต)
3920, 21, 15, 38syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((๐บ โˆˆ Abel โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘Œ) โˆˆ ๐ต)
406, 8, 24ablinvadd 19595 . . . . . . 7 ((๐บ โˆˆ Abel โˆง (๐‘€ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘€ ยท ๐‘Œ) โˆˆ ๐ต) โ†’ ((invgโ€˜๐บ)โ€˜((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (๐‘€ ยท ๐‘Œ))) = (((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘€ ยท ๐‘‹)) + ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘€ ยท ๐‘Œ))))
4135, 37, 39, 40syl3anc 1372 . . . . . 6 ((๐บ โˆˆ Abel โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((invgโ€˜๐บ)โ€˜((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (๐‘€ ยท ๐‘Œ))) = (((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘€ ยท ๐‘‹)) + ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘€ ยท ๐‘Œ))))
4241adantr 482 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((invgโ€˜๐บ)โ€˜((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (๐‘€ ยท ๐‘Œ))) = (((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘€ ยท ๐‘‹)) + ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘€ ยท ๐‘Œ))))
4334, 42eqtr4d 2780 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘€ ยท (๐‘‹ + ๐‘Œ))) = ((invgโ€˜๐บ)โ€˜((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (๐‘€ ยท ๐‘Œ))))
4443fveq2d 6851 . . 3 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((invgโ€˜๐บ)โ€˜((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘€ ยท (๐‘‹ + ๐‘Œ)))) = ((invgโ€˜๐บ)โ€˜((invgโ€˜๐บ)โ€˜((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (๐‘€ ยท ๐‘Œ)))))
456, 7mulgcl 18900 . . . . . 6 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘‹ + ๐‘Œ) โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘€ ยท (๐‘‹ + ๐‘Œ)) โˆˆ ๐ต)
4620, 21, 23, 45syl3anc 1372 . . . . 5 ((๐บ โˆˆ Abel โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘€ ยท (๐‘‹ + ๐‘Œ)) โˆˆ ๐ต)
4746adantr 482 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€ ยท (๐‘‹ + ๐‘Œ)) โˆˆ ๐ต)
486, 24grpinvinv 18821 . . . 4 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ ยท (๐‘‹ + ๐‘Œ)) โˆˆ ๐ต) โ†’ ((invgโ€˜๐บ)โ€˜((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘€ ยท (๐‘‹ + ๐‘Œ)))) = (๐‘€ ยท (๐‘‹ + ๐‘Œ)))
4920, 47, 48syl2an2r 684 . . 3 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((invgโ€˜๐บ)โ€˜((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘€ ยท (๐‘‹ + ๐‘Œ)))) = (๐‘€ ยท (๐‘‹ + ๐‘Œ)))
506, 8grpcl 18763 . . . . . 6 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘€ ยท ๐‘Œ) โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (๐‘€ ยท ๐‘Œ)) โˆˆ ๐ต)
5120, 37, 39, 50syl3anc 1372 . . . . 5 ((๐บ โˆˆ Abel โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (๐‘€ ยท ๐‘Œ)) โˆˆ ๐ต)
5251adantr 482 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (๐‘€ ยท ๐‘Œ)) โˆˆ ๐ต)
536, 24grpinvinv 18821 . . . 4 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (๐‘€ ยท ๐‘Œ)) โˆˆ ๐ต) โ†’ ((invgโ€˜๐บ)โ€˜((invgโ€˜๐บ)โ€˜((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (๐‘€ ยท ๐‘Œ)))) = ((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (๐‘€ ยท ๐‘Œ)))
5420, 52, 53syl2an2r 684 . . 3 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((invgโ€˜๐บ)โ€˜((invgโ€˜๐บ)โ€˜((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (๐‘€ ยท ๐‘Œ)))) = ((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (๐‘€ ยท ๐‘Œ)))
5544, 49, 543eqtr3d 2785 . 2 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€ ยท (๐‘‹ + ๐‘Œ)) = ((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (๐‘€ ยท ๐‘Œ)))
56 elznn0 12521 . . . 4 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†” (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆจ -๐‘€ โˆˆ โ„•0)))
5756simprbi 498 . . 3 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆจ -๐‘€ โˆˆ โ„•0))
5821, 57syl 17 . 2 ((๐บ โˆˆ Abel โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆจ -๐‘€ โˆˆ โ„•0))
5910, 55, 58mpjaodan 958 1 ((๐บ โˆˆ Abel โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘€ ยท (๐‘‹ + ๐‘Œ)) = ((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (๐‘€ ยท ๐‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  โ„cr 11057  -cneg 11393  โ„•0cn0 12420  โ„คcz 12506  Basecbs 17090  +gcplusg 17140  Grpcgrp 18755  invgcminusg 18756  .gcmg 18879  CMndccmn 19569  Abelcabl 19570
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-seq 13914  df-0g 17330  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-mulg 18880  df-cmn 19571  df-abl 19572
This theorem is referenced by:  mulgghm  19614  mulgsubdi  19615  odadd1  19633  odadd2  19634  oddvdssubg  19640  pgpfac1lem3a  19862  pgpfac1lem3  19863  zlmlmod  20943
  Copyright terms: Public domain W3C validator