MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgdi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulgdi 18546
Description: Group multiple of a sum. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgdi.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgdi.m · = (.g𝐺)
mulgdi.p + = (+g𝐺)
Assertion
Ref Expression
mulgdi ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑀 · (𝑋 + 𝑌)) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌)))

Proof of Theorem mulgdi
StepHypRef Expression
1 ablcmn 18513 . . . 4 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ CMnd)
21ad2antrr 718 . . 3 (((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝐺 ∈ CMnd)
3 simpr 478 . . 3 (((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℕ0)
4 simplr2 1278 . . 3 (((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑋𝐵)
5 simplr3 1280 . . 3 (((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑌𝐵)
6 mulgdi.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐺)
7 mulgdi.m . . . 4 · = (.g𝐺)
8 mulgdi.p . . . 4 + = (+g𝐺)
96, 7, 8mulgnn0di 18545 . . 3 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑀 · (𝑋 + 𝑌)) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌)))
102, 3, 4, 5, 9syl13anc 1492 . 2 (((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 · (𝑋 + 𝑌)) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌)))
111ad2antrr 718 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → 𝐺 ∈ CMnd)
12 simpr 478 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → -𝑀 ∈ ℕ0)
13 simpr2 1251 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝑋𝐵)
1413adantr 473 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑋𝐵)
15 simpr3 1253 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝑌𝐵)
1615adantr 473 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑌𝐵)
176, 7, 8mulgnn0di 18545 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (-𝑀 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (-𝑀 · (𝑋 + 𝑌)) = ((-𝑀 · 𝑋) + (-𝑀 · 𝑌)))
1811, 12, 14, 16, 17syl13anc 1492 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → (-𝑀 · (𝑋 + 𝑌)) = ((-𝑀 · 𝑋) + (-𝑀 · 𝑌)))
19 ablgrp 18512 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
2019adantr 473 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝐺 ∈ Grp)
21 simpr1 1249 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝑀 ∈ ℤ)
226, 8grpcl 17745 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
2320, 13, 15, 22syl3anc 1491 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
24 eqid 2800 . . . . . . . . 9 (invg𝐺) = (invg𝐺)
256, 7, 24mulgneg 17874 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵) → (-𝑀 · (𝑋 + 𝑌)) = ((invg𝐺)‘(𝑀 · (𝑋 + 𝑌))))
2620, 21, 23, 25syl3anc 1491 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (-𝑀 · (𝑋 + 𝑌)) = ((invg𝐺)‘(𝑀 · (𝑋 + 𝑌))))
2726adantr 473 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → (-𝑀 · (𝑋 + 𝑌)) = ((invg𝐺)‘(𝑀 · (𝑋 + 𝑌))))
286, 7, 24mulgneg 17874 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (-𝑀 · 𝑋) = ((invg𝐺)‘(𝑀 · 𝑋)))
2920, 21, 13, 28syl3anc 1491 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (-𝑀 · 𝑋) = ((invg𝐺)‘(𝑀 · 𝑋)))
306, 7, 24mulgneg 17874 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑌𝐵) → (-𝑀 · 𝑌) = ((invg𝐺)‘(𝑀 · 𝑌)))
3120, 21, 15, 30syl3anc 1491 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (-𝑀 · 𝑌) = ((invg𝐺)‘(𝑀 · 𝑌)))
3229, 31oveq12d 6897 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ((-𝑀 · 𝑋) + (-𝑀 · 𝑌)) = (((invg𝐺)‘(𝑀 · 𝑋)) + ((invg𝐺)‘(𝑀 · 𝑌))))
3332adantr 473 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → ((-𝑀 · 𝑋) + (-𝑀 · 𝑌)) = (((invg𝐺)‘(𝑀 · 𝑋)) + ((invg𝐺)‘(𝑀 · 𝑌))))
3418, 27, 333eqtr3d 2842 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → ((invg𝐺)‘(𝑀 · (𝑋 + 𝑌))) = (((invg𝐺)‘(𝑀 · 𝑋)) + ((invg𝐺)‘(𝑀 · 𝑌))))
35 simpl 475 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝐺 ∈ Abel)
366, 7mulgcl 17873 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵)
3720, 21, 13, 36syl3anc 1491 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵)
386, 7mulgcl 17873 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑌𝐵) → (𝑀 · 𝑌) ∈ 𝐵)
3920, 21, 15, 38syl3anc 1491 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑀 · 𝑌) ∈ 𝐵)
406, 8, 24ablinvadd 18529 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑌) ∈ 𝐵) → ((invg𝐺)‘((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌))) = (((invg𝐺)‘(𝑀 · 𝑋)) + ((invg𝐺)‘(𝑀 · 𝑌))))
4135, 37, 39, 40syl3anc 1491 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ((invg𝐺)‘((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌))) = (((invg𝐺)‘(𝑀 · 𝑋)) + ((invg𝐺)‘(𝑀 · 𝑌))))
4241adantr 473 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → ((invg𝐺)‘((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌))) = (((invg𝐺)‘(𝑀 · 𝑋)) + ((invg𝐺)‘(𝑀 · 𝑌))))
4334, 42eqtr4d 2837 . . . 4 (((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → ((invg𝐺)‘(𝑀 · (𝑋 + 𝑌))) = ((invg𝐺)‘((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌))))
4443fveq2d 6416 . . 3 (((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → ((invg𝐺)‘((invg𝐺)‘(𝑀 · (𝑋 + 𝑌)))) = ((invg𝐺)‘((invg𝐺)‘((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌)))))
4519ad2antrr 718 . . . 4 (((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → 𝐺 ∈ Grp)
466, 7mulgcl 17873 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑀 · (𝑋 + 𝑌)) ∈ 𝐵)
4720, 21, 23, 46syl3anc 1491 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑀 · (𝑋 + 𝑌)) ∈ 𝐵)
4847adantr 473 . . . 4 (((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 · (𝑋 + 𝑌)) ∈ 𝐵)
496, 24grpinvinv 17797 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 · (𝑋 + 𝑌)) ∈ 𝐵) → ((invg𝐺)‘((invg𝐺)‘(𝑀 · (𝑋 + 𝑌)))) = (𝑀 · (𝑋 + 𝑌)))
5045, 48, 49syl2anc 580 . . 3 (((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → ((invg𝐺)‘((invg𝐺)‘(𝑀 · (𝑋 + 𝑌)))) = (𝑀 · (𝑋 + 𝑌)))
516, 8grpcl 17745 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑌) ∈ 𝐵) → ((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌)) ∈ 𝐵)
5220, 37, 39, 51syl3anc 1491 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌)) ∈ 𝐵)
5352adantr 473 . . . 4 (((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌)) ∈ 𝐵)
546, 24grpinvinv 17797 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌)) ∈ 𝐵) → ((invg𝐺)‘((invg𝐺)‘((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌)))) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌)))
5545, 53, 54syl2anc 580 . . 3 (((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → ((invg𝐺)‘((invg𝐺)‘((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌)))) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌)))
5644, 50, 553eqtr3d 2842 . 2 (((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 · (𝑋 + 𝑌)) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌)))
57 elznn0 11680 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ ↔ (𝑀 ∈ ℝ ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∨ -𝑀 ∈ ℕ0)))
5857simprbi 491 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℕ0 ∨ -𝑀 ∈ ℕ0))
5921, 58syl 17 . 2 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑀 ∈ ℕ0 ∨ -𝑀 ∈ ℕ0))
6010, 56, 59mpjaodan 982 1 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑀 · (𝑋 + 𝑌)) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 385  wo 874  w3a 1108   = wceq 1653  wcel 2157  cfv 6102  (class class class)co 6879  cr 10224  -cneg 10558  0cn0 11579  cz 11665  Basecbs 16183  +gcplusg 16266  Grpcgrp 17737  invgcminusg 17738  .gcmg 17855  CMndccmn 18507  Abelcabl 18508
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2378  ax-ext 2778  ax-rep 4965  ax-sep 4976  ax-nul 4984  ax-pow 5036  ax-pr 5098  ax-un 7184  ax-inf2 8789  ax-cnex 10281  ax-resscn 10282  ax-1cn 10283  ax-icn 10284  ax-addcl 10285  ax-addrcl 10286  ax-mulcl 10287  ax-mulrcl 10288  ax-mulcom 10289  ax-addass 10290  ax-mulass 10291  ax-distr 10292  ax-i2m1 10293  ax-1ne0 10294  ax-1rid 10295  ax-rnegex 10296  ax-rrecex 10297  ax-cnre 10298  ax-pre-lttri 10299  ax-pre-lttrn 10300  ax-pre-ltadd 10301  ax-pre-mulgt0 10302
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2592  df-eu 2610  df-clab 2787  df-cleq 2793  df-clel 2796  df-nfc 2931  df-ne 2973  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3388  df-sbc 3635  df-csb 3730  df-dif 3773  df-un 3775  df-in 3777  df-ss 3784  df-pss 3786  df-nul 4117  df-if 4279  df-pw 4352  df-sn 4370  df-pr 4372  df-tp 4374  df-op 4376  df-uni 4630  df-iun 4713  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5221  df-eprel 5226  df-po 5234  df-so 5235  df-fr 5272  df-we 5274  df-xp 5319  df-rel 5320  df-cnv 5321  df-co 5322  df-dm 5323  df-rn 5324  df-res 5325  df-ima 5326  df-pred 5899  df-ord 5945  df-on 5946  df-lim 5947  df-suc 5948  df-iota 6065  df-fun 6104  df-fn 6105  df-f 6106  df-f1 6107  df-fo 6108  df-f1o 6109  df-fv 6110  df-riota 6840  df-ov 6882  df-oprab 6883  df-mpt2 6884  df-om 7301  df-1st 7402  df-2nd 7403  df-wrecs 7646  df-recs 7708  df-rdg 7746  df-er 7983  df-en 8197  df-dom 8198  df-sdom 8199  df-pnf 10366  df-mnf 10367  df-xr 10368  df-ltxr 10369  df-le 10370  df-sub 10559  df-neg 10560  df-nn 11314  df-n0 11580  df-z 11666  df-uz 11930  df-fz 12580  df-fzo 12720  df-seq 13055  df-0g 16416  df-mgm 17556  df-sgrp 17598  df-mnd 17609  df-grp 17740  df-minusg 17741  df-mulg 17856  df-cmn 18509  df-abl 18510
This theorem is referenced by:  mulgghm  18548  mulgsubdi  18549  odadd1  18565  odadd2  18566  oddvdssubg  18572  pgpfac1lem3a  18790  pgpfac1lem3  18791  zlmlmod  20192
  Copyright terms: Public domain W3C validator