Theorem mulgdi 19927

Description: Group multiple of a sum. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgdi.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgdi.m	⊢ · = (.g‘𝐺)
mulgdi.p	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mulgdi	⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑀 · (𝑋 + 𝑌)) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌)))

Proof of Theorem mulgdi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ablcmn 19888	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ CMnd)
2	1	ad2antrr 739	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝐺 ∈ CMnd)
3		simpr 490	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℕ0)
4		simplr2 1235	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ 𝐵)
5		simplr3 1236	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑌 ∈ 𝐵)
6		mulgdi.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
7		mulgdi.m	. . . 4 ⊢ · = (.g‘𝐺)
8		mulgdi.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐺)
9	6, 7, 8	mulgnn0di 19926	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑀 · (𝑋 + 𝑌)) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌)))
10	2, 3, 4, 5, 9	syl13anc 1399	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 · (𝑋 + 𝑌)) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌)))
11	1	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → 𝐺 ∈ CMnd)
12		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → -𝑀 ∈ ℕ0)
13		simpr2 1214	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
14	13	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ 𝐵)
15		simpr3 1215	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
16	15	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑌 ∈ 𝐵)
17	6, 7, 8	mulgnn0di 19926	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (-𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (-𝑀 · (𝑋 + 𝑌)) = ((-𝑀 · 𝑋) + (-𝑀 · 𝑌)))
18	11, 12, 14, 16, 17	syl13anc 1399	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → (-𝑀 · (𝑋 + 𝑌)) = ((-𝑀 · 𝑋) + (-𝑀 · 𝑌)))
19		ablgrp 19886	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
20	19	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝐺 ∈ Grp)
21		simpr1 1213	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑀 ∈ ℤ)
22	6, 8	grpcl 19039	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
23	20, 13, 15, 22	syl3anc 1398	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
24		eqid 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
25	6, 7, 24	mulgneg 19189	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵) → (-𝑀 · (𝑋 + 𝑌)) = ((invg‘𝐺)‘(𝑀 · (𝑋 + 𝑌))))
26	20, 21, 23, 25	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (-𝑀 · (𝑋 + 𝑌)) = ((invg‘𝐺)‘(𝑀 · (𝑋 + 𝑌))))
27	26	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → (-𝑀 · (𝑋 + 𝑌)) = ((invg‘𝐺)‘(𝑀 · (𝑋 + 𝑌))))
28	6, 7, 24	mulgneg 19189	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (-𝑀 · 𝑋) = ((invg‘𝐺)‘(𝑀 · 𝑋)))
29	20, 21, 13, 28	syl3anc 1398	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (-𝑀 · 𝑋) = ((invg‘𝐺)‘(𝑀 · 𝑋)))
30	6, 7, 24	mulgneg 19189	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (-𝑀 · 𝑌) = ((invg‘𝐺)‘(𝑀 · 𝑌)))
31	20, 21, 15, 30	syl3anc 1398	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (-𝑀 · 𝑌) = ((invg‘𝐺)‘(𝑀 · 𝑌)))
32	29, 31	oveq12d 7441	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((-𝑀 · 𝑋) + (-𝑀 · 𝑌)) = (((invg‘𝐺)‘(𝑀 · 𝑋)) + ((invg‘𝐺)‘(𝑀 · 𝑌))))
33	32	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → ((-𝑀 · 𝑋) + (-𝑀 · 𝑌)) = (((invg‘𝐺)‘(𝑀 · 𝑋)) + ((invg‘𝐺)‘(𝑀 · 𝑌))))
34	18, 27, 33	3eqtr3d 2809	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → ((invg‘𝐺)‘(𝑀 · (𝑋 + 𝑌))) = (((invg‘𝐺)‘(𝑀 · 𝑋)) + ((invg‘𝐺)‘(𝑀 · 𝑌))))
35		simpl 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝐺 ∈ Abel)
36	6, 7	mulgcl 19188	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵)
37	20, 21, 13, 36	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵)
38	6, 7	mulgcl 19188	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑀 · 𝑌) ∈ 𝐵)
39	20, 21, 15, 38	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑀 · 𝑌) ∈ 𝐵)
40	6, 8, 24	ablinvadd 19908	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑌) ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌))) = (((invg‘𝐺)‘(𝑀 · 𝑋)) + ((invg‘𝐺)‘(𝑀 · 𝑌))))
41	35, 37, 39, 40	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((invg‘𝐺)‘((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌))) = (((invg‘𝐺)‘(𝑀 · 𝑋)) + ((invg‘𝐺)‘(𝑀 · 𝑌))))
42	41	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → ((invg‘𝐺)‘((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌))) = (((invg‘𝐺)‘(𝑀 · 𝑋)) + ((invg‘𝐺)‘(𝑀 · 𝑌))))
43	34, 42	eqtr4d 2804	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → ((invg‘𝐺)‘(𝑀 · (𝑋 + 𝑌))) = ((invg‘𝐺)‘((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌))))
44	43	fveq2d 6892	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → ((invg‘𝐺)‘((invg‘𝐺)‘(𝑀 · (𝑋 + 𝑌)))) = ((invg‘𝐺)‘((invg‘𝐺)‘((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌)))))
45	6, 7	mulgcl 19188	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑀 · (𝑋 + 𝑌)) ∈ 𝐵)
46	20, 21, 23, 45	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑀 · (𝑋 + 𝑌)) ∈ 𝐵)
47	46	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 · (𝑋 + 𝑌)) ∈ 𝐵)
48	6, 24	grpinvinv 19103	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 · (𝑋 + 𝑌)) ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘((invg‘𝐺)‘(𝑀 · (𝑋 + 𝑌)))) = (𝑀 · (𝑋 + 𝑌)))
49	20, 47, 48	syl2an2r 698	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → ((invg‘𝐺)‘((invg‘𝐺)‘(𝑀 · (𝑋 + 𝑌)))) = (𝑀 · (𝑋 + 𝑌)))
50	6, 8	grpcl 19039	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑌) ∈ 𝐵) → ((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌)) ∈ 𝐵)
51	20, 37, 39, 50	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌)) ∈ 𝐵)
52	51	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌)) ∈ 𝐵)
53	6, 24	grpinvinv 19103	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌)) ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘((invg‘𝐺)‘((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌)))) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌)))
54	20, 52, 53	syl2an2r 698	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → ((invg‘𝐺)‘((invg‘𝐺)‘((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌)))) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌)))
55	44, 49, 54	3eqtr3d 2809	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 · (𝑋 + 𝑌)) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌)))
56		elznn0 12624	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ ↔ (𝑀 ∈ ℝ ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∨ -𝑀 ∈ ℕ0)))
57	56	simprbi 503	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℕ0 ∨ -𝑀 ∈ ℕ0))
58	21, 57	syl 18	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑀 ∈ ℕ0 ∨ -𝑀 ∈ ℕ0))
59	10, 55, 58	mpjaodan 973	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑀 · (𝑋 + 𝑌)) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  ℝcr 11117  -cneg 11460  ℕ₀cn0 12522  ℤcz 12609  Basecbs 17294  +_gcplusg 17335  Grpcgrp 19031  inv_gcminusg 19032  ._gcmg 19164  CMndccmn 19881  Abelcabl 19882

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12881  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-seq 14058  df-0g 17519  df-mgm 18723  df-sgrp 18806  df-mnd 18822  df-grp 19034  df-minusg 19035  df-mulg 19165  df-cmn 19883  df-abl 19884

This theorem is used by:  mulgghm  19929  mulgsubdi  19930  odadd1  19949  odadd2  19950  oddvdssubg  19956  pgpfac1lem3a  20179  pgpfac1lem3  20180  zlmlmod  21709