Theorem mulgdi 19807

Description: Group multiple of a sum. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgdi.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgdi.m	⊢ · = (.g‘𝐺)
mulgdi.p	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mulgdi	⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑀 · (𝑋 + 𝑌)) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌)))

Proof of Theorem mulgdi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ablcmn 19768	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ CMnd)
2	1	ad2antrr 726	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝐺 ∈ CMnd)
3		simpr 484	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℕ0)
4		simplr2 1217	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ 𝐵)
5		simplr3 1218	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑌 ∈ 𝐵)
6		mulgdi.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
7		mulgdi.m	. . . 4 ⊢ · = (.g‘𝐺)
8		mulgdi.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐺)
9	6, 7, 8	mulgnn0di 19806	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑀 · (𝑋 + 𝑌)) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌)))
10	2, 3, 4, 5, 9	syl13anc 1374	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 · (𝑋 + 𝑌)) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌)))
11	1	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → 𝐺 ∈ CMnd)
12		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → -𝑀 ∈ ℕ0)
13		simpr2 1196	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
14	13	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ 𝐵)
15		simpr3 1197	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
16	15	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑌 ∈ 𝐵)
17	6, 7, 8	mulgnn0di 19806	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (-𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (-𝑀 · (𝑋 + 𝑌)) = ((-𝑀 · 𝑋) + (-𝑀 · 𝑌)))
18	11, 12, 14, 16, 17	syl13anc 1374	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → (-𝑀 · (𝑋 + 𝑌)) = ((-𝑀 · 𝑋) + (-𝑀 · 𝑌)))
19		ablgrp 19766	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
20	19	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝐺 ∈ Grp)
21		simpr1 1195	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑀 ∈ ℤ)
22	6, 8	grpcl 18924	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
23	20, 13, 15, 22	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
24		eqid 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
25	6, 7, 24	mulgneg 19075	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵) → (-𝑀 · (𝑋 + 𝑌)) = ((invg‘𝐺)‘(𝑀 · (𝑋 + 𝑌))))
26	20, 21, 23, 25	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (-𝑀 · (𝑋 + 𝑌)) = ((invg‘𝐺)‘(𝑀 · (𝑋 + 𝑌))))
27	26	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → (-𝑀 · (𝑋 + 𝑌)) = ((invg‘𝐺)‘(𝑀 · (𝑋 + 𝑌))))
28	6, 7, 24	mulgneg 19075	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (-𝑀 · 𝑋) = ((invg‘𝐺)‘(𝑀 · 𝑋)))
29	20, 21, 13, 28	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (-𝑀 · 𝑋) = ((invg‘𝐺)‘(𝑀 · 𝑋)))
30	6, 7, 24	mulgneg 19075	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (-𝑀 · 𝑌) = ((invg‘𝐺)‘(𝑀 · 𝑌)))
31	20, 21, 15, 30	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (-𝑀 · 𝑌) = ((invg‘𝐺)‘(𝑀 · 𝑌)))
32	29, 31	oveq12d 7423	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((-𝑀 · 𝑋) + (-𝑀 · 𝑌)) = (((invg‘𝐺)‘(𝑀 · 𝑋)) + ((invg‘𝐺)‘(𝑀 · 𝑌))))
33	32	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → ((-𝑀 · 𝑋) + (-𝑀 · 𝑌)) = (((invg‘𝐺)‘(𝑀 · 𝑋)) + ((invg‘𝐺)‘(𝑀 · 𝑌))))
34	18, 27, 33	3eqtr3d 2778	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → ((invg‘𝐺)‘(𝑀 · (𝑋 + 𝑌))) = (((invg‘𝐺)‘(𝑀 · 𝑋)) + ((invg‘𝐺)‘(𝑀 · 𝑌))))
35		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝐺 ∈ Abel)
36	6, 7	mulgcl 19074	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵)
37	20, 21, 13, 36	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵)
38	6, 7	mulgcl 19074	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑀 · 𝑌) ∈ 𝐵)
39	20, 21, 15, 38	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑀 · 𝑌) ∈ 𝐵)
40	6, 8, 24	ablinvadd 19788	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑌) ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌))) = (((invg‘𝐺)‘(𝑀 · 𝑋)) + ((invg‘𝐺)‘(𝑀 · 𝑌))))
41	35, 37, 39, 40	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((invg‘𝐺)‘((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌))) = (((invg‘𝐺)‘(𝑀 · 𝑋)) + ((invg‘𝐺)‘(𝑀 · 𝑌))))
42	41	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → ((invg‘𝐺)‘((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌))) = (((invg‘𝐺)‘(𝑀 · 𝑋)) + ((invg‘𝐺)‘(𝑀 · 𝑌))))
43	34, 42	eqtr4d 2773	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → ((invg‘𝐺)‘(𝑀 · (𝑋 + 𝑌))) = ((invg‘𝐺)‘((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌))))
44	43	fveq2d 6880	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → ((invg‘𝐺)‘((invg‘𝐺)‘(𝑀 · (𝑋 + 𝑌)))) = ((invg‘𝐺)‘((invg‘𝐺)‘((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌)))))
45	6, 7	mulgcl 19074	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑀 · (𝑋 + 𝑌)) ∈ 𝐵)
46	20, 21, 23, 45	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑀 · (𝑋 + 𝑌)) ∈ 𝐵)
47	46	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 · (𝑋 + 𝑌)) ∈ 𝐵)
48	6, 24	grpinvinv 18988	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 · (𝑋 + 𝑌)) ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘((invg‘𝐺)‘(𝑀 · (𝑋 + 𝑌)))) = (𝑀 · (𝑋 + 𝑌)))
49	20, 47, 48	syl2an2r 685	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → ((invg‘𝐺)‘((invg‘𝐺)‘(𝑀 · (𝑋 + 𝑌)))) = (𝑀 · (𝑋 + 𝑌)))
50	6, 8	grpcl 18924	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑌) ∈ 𝐵) → ((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌)) ∈ 𝐵)
51	20, 37, 39, 50	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌)) ∈ 𝐵)
52	51	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌)) ∈ 𝐵)
53	6, 24	grpinvinv 18988	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌)) ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘((invg‘𝐺)‘((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌)))) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌)))
54	20, 52, 53	syl2an2r 685	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → ((invg‘𝐺)‘((invg‘𝐺)‘((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌)))) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌)))
55	44, 49, 54	3eqtr3d 2778	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 · (𝑋 + 𝑌)) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌)))
56		elznn0 12603	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ ↔ (𝑀 ∈ ℝ ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∨ -𝑀 ∈ ℕ0)))
57	56	simprbi 496	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℕ0 ∨ -𝑀 ∈ ℕ0))
58	21, 57	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑀 ∈ ℕ0 ∨ -𝑀 ∈ ℕ0))
59	10, 55, 58	mpjaodan 960	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑀 · (𝑋 + 𝑌)) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  ℝcr 11128  -cneg 11467  ℕ₀cn0 12501  ℤcz 12588  Basecbs 17228  +_gcplusg 17271  Grpcgrp 18916  inv_gcminusg 18917  ._gcmg 19050  CMndccmn 19761  Abelcabl 19762

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13525  df-fzo 13672  df-seq 14020  df-0g 17455  df-mgm 18618  df-sgrp 18697  df-mnd 18713  df-grp 18919  df-minusg 18920  df-mulg 19051  df-cmn 19763  df-abl 19764

This theorem is referenced by:  mulgghm  19809  mulgsubdi  19810  odadd1  19829  odadd2  19830  oddvdssubg  19836  pgpfac1lem3a  20059  pgpfac1lem3  20060  zlmlmod  21483