MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmodnegadd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmodnegadd 19612
Description: Distribute negation through addition of scalar products. (Contributed by NM, 9-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodnegadd.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmodnegadd.p + = (+g𝑊)
lmodnegadd.t · = ( ·𝑠𝑊)
lmodnegadd.n 𝑁 = (invg𝑊)
lmodnegadd.r 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
lmodnegadd.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
lmodnegadd.i 𝐼 = (invg𝑅)
lmodnegadd.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
lmodnegadd.a (𝜑𝐴𝐾)
lmodnegadd.b (𝜑𝐵𝐾)
lmodnegadd.x (𝜑𝑋𝑉)
lmodnegadd.y (𝜑𝑌𝑉)
Assertion
Ref Expression
lmodnegadd (𝜑 → (𝑁‘((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌))) = (((𝐼𝐴) · 𝑋) + ((𝐼𝐵) · 𝑌)))

Proof of Theorem lmodnegadd
StepHypRef Expression
1 lmodnegadd.w . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
2 lmodabl 19610 . . . 4 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
31, 2syl 17 . . 3 (𝜑𝑊 ∈ Abel)
4 lmodnegadd.a . . . 4 (𝜑𝐴𝐾)
5 lmodnegadd.x . . . 4 (𝜑𝑋𝑉)
6 lmodnegadd.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑊)
7 lmodnegadd.r . . . . 5 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
8 lmodnegadd.t . . . . 5 · = ( ·𝑠𝑊)
9 lmodnegadd.k . . . . 5 𝐾 = (Base‘𝑅)
106, 7, 8, 9lmodvscl 19580 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝐾𝑋𝑉) → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉)
111, 4, 5, 10syl3anc 1363 . . 3 (𝜑 → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉)
12 lmodnegadd.b . . . 4 (𝜑𝐵𝐾)
13 lmodnegadd.y . . . 4 (𝜑𝑌𝑉)
146, 7, 8, 9lmodvscl 19580 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵𝐾𝑌𝑉) → (𝐵 · 𝑌) ∈ 𝑉)
151, 12, 13, 14syl3anc 1363 . . 3 (𝜑 → (𝐵 · 𝑌) ∈ 𝑉)
16 lmodnegadd.p . . . 4 + = (+g𝑊)
17 lmodnegadd.n . . . 4 𝑁 = (invg𝑊)
186, 16, 17ablinvadd 18859 . . 3 ((𝑊 ∈ Abel ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ (𝐵 · 𝑌) ∈ 𝑉) → (𝑁‘((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌))) = ((𝑁‘(𝐴 · 𝑋)) + (𝑁‘(𝐵 · 𝑌))))
193, 11, 15, 18syl3anc 1363 . 2 (𝜑 → (𝑁‘((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌))) = ((𝑁‘(𝐴 · 𝑋)) + (𝑁‘(𝐵 · 𝑌))))
20 lmodnegadd.i . . . 4 𝐼 = (invg𝑅)
216, 7, 8, 17, 9, 20, 1, 5, 4lmodvsneg 19607 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘(𝐴 · 𝑋)) = ((𝐼𝐴) · 𝑋))
226, 7, 8, 17, 9, 20, 1, 13, 12lmodvsneg 19607 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘(𝐵 · 𝑌)) = ((𝐼𝐵) · 𝑌))
2321, 22oveq12d 7163 . 2 (𝜑 → ((𝑁‘(𝐴 · 𝑋)) + (𝑁‘(𝐵 · 𝑌))) = (((𝐼𝐴) · 𝑋) + ((𝐼𝐵) · 𝑌)))
2419, 23eqtrd 2853 1 (𝜑 → (𝑁‘((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌))) = (((𝐼𝐴) · 𝑋) + ((𝐼𝐵) · 𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1528  wcel 2105  cfv 6348  (class class class)co 7145  Basecbs 16471  +gcplusg 16553  Scalarcsca 16556   ·𝑠 cvsca 16557  invgcminusg 18042  Abelcabl 18836  LModclmod 19563
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-plusg 16566  df-0g 16703  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-grp 18044  df-minusg 18045  df-cmn 18837  df-abl 18838  df-mgp 19169  df-ur 19181  df-ring 19228  df-lmod 19565
This theorem is referenced by:  baerlem3lem1  38723
  Copyright terms: Public domain W3C validator