Theorem lmodnegadd 20753

Description: Distribute negation through addition of scalar products. (Contributed by NM, 9-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodnegadd.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmodnegadd.p	⊢ + = (+g‘𝑊)
lmodnegadd.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lmodnegadd.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑊)
lmodnegadd.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
lmodnegadd.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
lmodnegadd.i	⊢ 𝐼 = (invg‘𝑅)
lmodnegadd.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lmodnegadd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
lmodnegadd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐾)
lmodnegadd.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lmodnegadd.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lmodnegadd	⊢ (𝜑 → (𝑁‘((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌))) = (((𝐼‘𝐴) · 𝑋) + ((𝐼‘𝐵) · 𝑌)))

Proof of Theorem lmodnegadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodnegadd.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
2		lmodabl 20751	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Abel)
4		lmodnegadd.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
5		lmodnegadd.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
6		lmodnegadd.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
7		lmodnegadd.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
8		lmodnegadd.t	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
9		lmodnegadd.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
10	6, 7, 8, 9	lmodvscl 20720	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉)
11	1, 4, 5, 10	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉)
12		lmodnegadd.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐾)
13		lmodnegadd.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
14	6, 7, 8, 9	lmodvscl 20720	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝐵 · 𝑌) ∈ 𝑉)
15	1, 12, 13, 14	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝑌) ∈ 𝑉)
16		lmodnegadd.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑊)
17		lmodnegadd.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑊)
18	6, 16, 17	ablinvadd 19723	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Abel ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ (𝐵 · 𝑌) ∈ 𝑉) → (𝑁‘((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌))) = ((𝑁‘(𝐴 · 𝑋)) + (𝑁‘(𝐵 · 𝑌))))
19	3, 11, 15, 18	syl3anc 1370	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌))) = ((𝑁‘(𝐴 · 𝑋)) + (𝑁‘(𝐵 · 𝑌))))
20		lmodnegadd.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝑅)
21	6, 7, 8, 17, 9, 20, 1, 5, 4	lmodvsneg 20748	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝐴 · 𝑋)) = ((𝐼‘𝐴) · 𝑋))
22	6, 7, 8, 17, 9, 20, 1, 13, 12	lmodvsneg 20748	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝐵 · 𝑌)) = ((𝐼‘𝐵) · 𝑌))
23	21, 22	oveq12d 7430	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘(𝐴 · 𝑋)) + (𝑁‘(𝐵 · 𝑌))) = (((𝐼‘𝐴) · 𝑋) + ((𝐼‘𝐵) · 𝑌)))
24	19, 23	eqtrd 2771	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌))) = (((𝐼‘𝐴) · 𝑋) + ((𝐼‘𝐵) · 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  Basecbs 17151  +_gcplusg 17204  Scalarcsca 17207   ·_𝑠 cvsca 17208  inv_gcminusg 18862  Abelcabl 19697  LModclmod 20702

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-2 12282  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-plusg 17217  df-0g 17394  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-cmn 19698  df-abl 19699  df-mgp 20036  df-rng 20054  df-ur 20083  df-ring 20136  df-lmod 20704

This theorem is referenced by:  baerlem3lem1  41045