Theorem lmodnegadd 20168

Description: Distribute negation through addition of scalar products. (Contributed by NM, 9-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodnegadd.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmodnegadd.p	⊢ + = (+g‘𝑊)
lmodnegadd.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lmodnegadd.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑊)
lmodnegadd.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
lmodnegadd.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
lmodnegadd.i	⊢ 𝐼 = (invg‘𝑅)
lmodnegadd.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lmodnegadd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
lmodnegadd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐾)
lmodnegadd.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lmodnegadd.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lmodnegadd	⊢ (𝜑 → (𝑁‘((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌))) = (((𝐼‘𝐴) · 𝑋) + ((𝐼‘𝐵) · 𝑌)))

Proof of Theorem lmodnegadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodnegadd.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
2		lmodabl 20166	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Abel)
4		lmodnegadd.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
5		lmodnegadd.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
6		lmodnegadd.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
7		lmodnegadd.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
8		lmodnegadd.t	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
9		lmodnegadd.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
10	6, 7, 8, 9	lmodvscl 20136	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉)
11	1, 4, 5, 10	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉)
12		lmodnegadd.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐾)
13		lmodnegadd.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
14	6, 7, 8, 9	lmodvscl 20136	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝐵 · 𝑌) ∈ 𝑉)
15	1, 12, 13, 14	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝑌) ∈ 𝑉)
16		lmodnegadd.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑊)
17		lmodnegadd.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑊)
18	6, 16, 17	ablinvadd 19407	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Abel ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ (𝐵 · 𝑌) ∈ 𝑉) → (𝑁‘((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌))) = ((𝑁‘(𝐴 · 𝑋)) + (𝑁‘(𝐵 · 𝑌))))
19	3, 11, 15, 18	syl3anc 1370	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌))) = ((𝑁‘(𝐴 · 𝑋)) + (𝑁‘(𝐵 · 𝑌))))
20		lmodnegadd.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝑅)
21	6, 7, 8, 17, 9, 20, 1, 5, 4	lmodvsneg 20163	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝐴 · 𝑋)) = ((𝐼‘𝐴) · 𝑋))
22	6, 7, 8, 17, 9, 20, 1, 13, 12	lmodvsneg 20163	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝐵 · 𝑌)) = ((𝐼‘𝐵) · 𝑌))
23	21, 22	oveq12d 7287	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘(𝐴 · 𝑋)) + (𝑁‘(𝐵 · 𝑌))) = (((𝐼‘𝐴) · 𝑋) + ((𝐼‘𝐵) · 𝑌)))
24	19, 23	eqtrd 2780	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌))) = (((𝐼‘𝐴) · 𝑋) + ((𝐼‘𝐵) · 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2110  ‘cfv 6431  (class class class)co 7269  Basecbs 16908  +_gcplusg 16958  Scalarcsca 16961   ·_𝑠 cvsca 16962  inv_gcminusg 18574  Abelcabl 19383  LModclmod 20119

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7580  ax-cnex 10926  ax-resscn 10927  ax-1cn 10928  ax-icn 10929  ax-addcl 10930  ax-addrcl 10931  ax-mulcl 10932  ax-mulrcl 10933  ax-mulcom 10934  ax-addass 10935  ax-mulass 10936  ax-distr 10937  ax-i2m1 10938  ax-1ne0 10939  ax-1rid 10940  ax-rnegex 10941  ax-rrecex 10942  ax-cnre 10943  ax-pre-lttri 10944  ax-pre-lttrn 10945  ax-pre-ltadd 10946  ax-pre-mulgt0 10947

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6200  df-ord 6267  df-on 6268  df-lim 6269  df-suc 6270  df-iota 6389  df-fun 6433  df-fn 6434  df-f 6435  df-f1 6436  df-fo 6437  df-f1o 6438  df-fv 6439  df-riota 7226  df-ov 7272  df-oprab 7273  df-mpo 7274  df-om 7705  df-2nd 7823  df-frecs 8086  df-wrecs 8117  df-recs 8191  df-rdg 8230  df-er 8479  df-en 8715  df-dom 8716  df-sdom 8717  df-pnf 11010  df-mnf 11011  df-xr 11012  df-ltxr 11013  df-le 11014  df-sub 11205  df-neg 11206  df-nn 11972  df-2 12034  df-sets 16861  df-slot 16879  df-ndx 16891  df-base 16909  df-plusg 16971  df-0g 17148  df-mgm 18322  df-sgrp 18371  df-mnd 18382  df-grp 18576  df-minusg 18577  df-cmn 19384  df-abl 19385  df-mgp 19717  df-ur 19734  df-ring 19781  df-lmod 20121

This theorem is referenced by:  baerlem3lem1  39715