Theorem lmodnegadd 20862

Description: Distribute negation through addition of scalar products. (Contributed by NM, 9-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodnegadd.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmodnegadd.p	⊢ + = (+g‘𝑊)
lmodnegadd.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lmodnegadd.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑊)
lmodnegadd.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
lmodnegadd.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
lmodnegadd.i	⊢ 𝐼 = (invg‘𝑅)
lmodnegadd.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lmodnegadd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
lmodnegadd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐾)
lmodnegadd.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lmodnegadd.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lmodnegadd	⊢ (𝜑 → (𝑁‘((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌))) = (((𝐼‘𝐴) · 𝑋) + ((𝐼‘𝐵) · 𝑌)))

Proof of Theorem lmodnegadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodnegadd.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
2		lmodabl 20860	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Abel)
4		lmodnegadd.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
5		lmodnegadd.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
6		lmodnegadd.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
7		lmodnegadd.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
8		lmodnegadd.t	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
9		lmodnegadd.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
10	6, 7, 8, 9	lmodvscl 20829	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉)
11	1, 4, 5, 10	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉)
12		lmodnegadd.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐾)
13		lmodnegadd.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
14	6, 7, 8, 9	lmodvscl 20829	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝐵 · 𝑌) ∈ 𝑉)
15	1, 12, 13, 14	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝑌) ∈ 𝑉)
16		lmodnegadd.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑊)
17		lmodnegadd.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑊)
18	6, 16, 17	ablinvadd 19736	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Abel ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ (𝐵 · 𝑌) ∈ 𝑉) → (𝑁‘((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌))) = ((𝑁‘(𝐴 · 𝑋)) + (𝑁‘(𝐵 · 𝑌))))
19	3, 11, 15, 18	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌))) = ((𝑁‘(𝐴 · 𝑋)) + (𝑁‘(𝐵 · 𝑌))))
20		lmodnegadd.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝑅)
21	6, 7, 8, 17, 9, 20, 1, 5, 4	lmodvsneg 20857	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝐴 · 𝑋)) = ((𝐼‘𝐴) · 𝑋))
22	6, 7, 8, 17, 9, 20, 1, 13, 12	lmodvsneg 20857	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝐵 · 𝑌)) = ((𝐼‘𝐵) · 𝑌))
23	21, 22	oveq12d 7376	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘(𝐴 · 𝑋)) + (𝑁‘(𝐵 · 𝑌))) = (((𝐼‘𝐴) · 𝑋) + ((𝐼‘𝐵) · 𝑌)))
24	19, 23	eqtrd 2771	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌))) = (((𝐼‘𝐴) · 𝑋) + ((𝐼‘𝐵) · 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  Basecbs 17136  +_gcplusg 17177  Scalarcsca 17180   ·_𝑠 cvsca 17181  inv_gcminusg 18864  Abelcabl 19710  LModclmod 20811

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-plusg 17190  df-0g 17361  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-cmn 19711  df-abl 19712  df-mgp 20076  df-rng 20088  df-ur 20117  df-ring 20170  df-lmod 20813

This theorem is referenced by:  baerlem3lem1  41967