Theorem lflnegcl 39538

Description: Closure of the negative of a functional. (This is specialized for the purpose of proving ldualgrp 39609, and we do not define a general operation here.) (Contributed by NM, 22-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lflnegcl.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lflnegcl.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
lflnegcl.i	⊢ 𝐼 = (invg‘𝑅)
lflnegcl.n	⊢ 𝑁 = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝐼‘(𝐺‘𝑥)))
lflnegcl.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lflnegcl.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lflnegcl.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
lflnegcl	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝐹)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝐼   𝑥,𝑅   𝑥,𝑉   𝑥,𝑊   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem lflnegcl

Dummy variables 𝑦 𝑘 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lflnegcl.w	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
2		lflnegcl.r	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
3	2	lmodring 20857	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
4	1, 3	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
5		ringgrp 20213	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
6	4, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
7	6	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → 𝑅 ∈ Grp)
8	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
9		lflnegcl.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
10	9	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → 𝐺 ∈ 𝐹)
11		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → 𝑥 ∈ 𝑉)
12		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
13		lflnegcl.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
14		lflnegcl.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
15	2, 12, 13, 14	lflcl 39527	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
16	8, 10, 11, 15	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
17		lflnegcl.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝑅)
18	12, 17	grpinvcl 18957	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝐺‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐼‘(𝐺‘𝑥)) ∈ (Base‘𝑅))
19	7, 16, 18	syl2anc 585	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝐼‘(𝐺‘𝑥)) ∈ (Base‘𝑅))
20		lflnegcl.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝐼‘(𝐺‘𝑥)))
21	19, 20	fmptd 7061	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁:𝑉⟶(Base‘𝑅))
22		ringabl 20256	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Abel)
23	4, 22	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Abel)
24	23	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) → 𝑅 ∈ Abel)
25	4	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) → 𝑅 ∈ Ring)
26		simpr1 1196	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) → 𝑘 ∈ (Base‘𝑅))
27	1	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) → 𝑊 ∈ LMod)
28	9	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) → 𝐺 ∈ 𝐹)
29		simpr2 1197	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) → 𝑦 ∈ 𝑉)
30	2, 12, 13, 14	lflcl 39527	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
31	27, 28, 29, 30	syl3anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) → (𝐺‘𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
32		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
33	12, 32	ringcl 20225	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑘(.r‘𝑅)(𝐺‘𝑦)) ∈ (Base‘𝑅))
34	25, 26, 31, 33	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) → (𝑘(.r‘𝑅)(𝐺‘𝑦)) ∈ (Base‘𝑅))
35		simpr3 1198	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) → 𝑧 ∈ 𝑉)
36	2, 12, 13, 14	lflcl 39527	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑧) ∈ (Base‘𝑅))
37	27, 28, 35, 36	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) → (𝐺‘𝑧) ∈ (Base‘𝑅))
38		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
39	12, 38, 17	ablinvadd 19776	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Abel ∧ (𝑘(.r‘𝑅)(𝐺‘𝑦)) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐺‘𝑧) ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐼‘((𝑘(.r‘𝑅)(𝐺‘𝑦))(+g‘𝑅)(𝐺‘𝑧))) = ((𝐼‘(𝑘(.r‘𝑅)(𝐺‘𝑦)))(+g‘𝑅)(𝐼‘(𝐺‘𝑧))))
40	24, 34, 37, 39	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) → (𝐼‘((𝑘(.r‘𝑅)(𝐺‘𝑦))(+g‘𝑅)(𝐺‘𝑧))) = ((𝐼‘(𝑘(.r‘𝑅)(𝐺‘𝑦)))(+g‘𝑅)(𝐼‘(𝐺‘𝑧))))
41		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
42		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
43	13, 41, 2, 42, 12, 38, 32, 14	lfli 39524	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) → (𝐺‘((𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)(+g‘𝑊)𝑧)) = ((𝑘(.r‘𝑅)(𝐺‘𝑦))(+g‘𝑅)(𝐺‘𝑧)))
44	27, 28, 26, 29, 35, 43	syl113anc 1385	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) → (𝐺‘((𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)(+g‘𝑊)𝑧)) = ((𝑘(.r‘𝑅)(𝐺‘𝑦))(+g‘𝑅)(𝐺‘𝑧)))
45	44	fveq2d 6839	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) → (𝐼‘(𝐺‘((𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)(+g‘𝑊)𝑧))) = (𝐼‘((𝑘(.r‘𝑅)(𝐺‘𝑦))(+g‘𝑅)(𝐺‘𝑧))))
46	12, 32, 17, 25, 26, 31	ringmneg2 20280	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) → (𝑘(.r‘𝑅)(𝐼‘(𝐺‘𝑦))) = (𝐼‘(𝑘(.r‘𝑅)(𝐺‘𝑦))))
47	46	oveq1d 7376	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) → ((𝑘(.r‘𝑅)(𝐼‘(𝐺‘𝑦)))(+g‘𝑅)(𝐼‘(𝐺‘𝑧))) = ((𝐼‘(𝑘(.r‘𝑅)(𝐺‘𝑦)))(+g‘𝑅)(𝐼‘(𝐺‘𝑧))))
48	40, 45, 47	3eqtr4d 2782	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) → (𝐼‘(𝐺‘((𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)(+g‘𝑊)𝑧))) = ((𝑘(.r‘𝑅)(𝐼‘(𝐺‘𝑦)))(+g‘𝑅)(𝐼‘(𝐺‘𝑧))))
49	13, 2, 42, 12	lmodvscl 20867	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑉)
50	27, 26, 29, 49	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) → (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑉)
51	13, 41	lmodvacl 20864	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → ((𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)(+g‘𝑊)𝑧) ∈ 𝑉)
52	27, 50, 35, 51	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) → ((𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)(+g‘𝑊)𝑧) ∈ 𝑉)
53		2fveq3 6840	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ((𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)(+g‘𝑊)𝑧) → (𝐼‘(𝐺‘𝑥)) = (𝐼‘(𝐺‘((𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)(+g‘𝑊)𝑧))))
54		fvex 6848	. . . . . 6 ⊢ (𝐼‘(𝐺‘((𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)(+g‘𝑊)𝑧))) ∈ V
55	53, 20, 54	fvmpt 6942	. . . . 5 ⊢ (((𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)(+g‘𝑊)𝑧) ∈ 𝑉 → (𝑁‘((𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)(+g‘𝑊)𝑧)) = (𝐼‘(𝐺‘((𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)(+g‘𝑊)𝑧))))
56	52, 55	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) → (𝑁‘((𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)(+g‘𝑊)𝑧)) = (𝐼‘(𝐺‘((𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)(+g‘𝑊)𝑧))))
57		2fveq3 6840	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐼‘(𝐺‘𝑥)) = (𝐼‘(𝐺‘𝑦)))
58		fvex 6848	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼‘(𝐺‘𝑦)) ∈ V
59	57, 20, 58	fvmpt 6942	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑉 → (𝑁‘𝑦) = (𝐼‘(𝐺‘𝑦)))
60	29, 59	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) → (𝑁‘𝑦) = (𝐼‘(𝐺‘𝑦)))
61	60	oveq2d 7377	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) → (𝑘(.r‘𝑅)(𝑁‘𝑦)) = (𝑘(.r‘𝑅)(𝐼‘(𝐺‘𝑦))))
62		2fveq3 6840	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝐼‘(𝐺‘𝑥)) = (𝐼‘(𝐺‘𝑧)))
63		fvex 6848	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼‘(𝐺‘𝑧)) ∈ V
64	62, 20, 63	fvmpt 6942	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑉 → (𝑁‘𝑧) = (𝐼‘(𝐺‘𝑧)))
65	35, 64	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) → (𝑁‘𝑧) = (𝐼‘(𝐺‘𝑧)))
66	61, 65	oveq12d 7379	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) → ((𝑘(.r‘𝑅)(𝑁‘𝑦))(+g‘𝑅)(𝑁‘𝑧)) = ((𝑘(.r‘𝑅)(𝐼‘(𝐺‘𝑦)))(+g‘𝑅)(𝐼‘(𝐺‘𝑧))))
67	48, 56, 66	3eqtr4d 2782	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) → (𝑁‘((𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)(+g‘𝑊)𝑧)) = ((𝑘(.r‘𝑅)(𝑁‘𝑦))(+g‘𝑅)(𝑁‘𝑧)))
68	67	ralrimivvva 3184	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ 𝑉 ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝑁‘((𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)(+g‘𝑊)𝑧)) = ((𝑘(.r‘𝑅)(𝑁‘𝑦))(+g‘𝑅)(𝑁‘𝑧)))
69	13, 41, 2, 42, 12, 38, 32, 14	islfl 39523	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑁 ∈ 𝐹 ↔ (𝑁:𝑉⟶(Base‘𝑅) ∧ ∀𝑘 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ 𝑉 ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝑁‘((𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)(+g‘𝑊)𝑧)) = ((𝑘(.r‘𝑅)(𝑁‘𝑦))(+g‘𝑅)(𝑁‘𝑧)))))
70	1, 69	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ 𝐹 ↔ (𝑁:𝑉⟶(Base‘𝑅) ∧ ∀𝑘 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ 𝑉 ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝑁‘((𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)(+g‘𝑊)𝑧)) = ((𝑘(.r‘𝑅)(𝑁‘𝑦))(+g‘𝑅)(𝑁‘𝑧)))))
71	21, 68, 70	mpbir2and 714	1 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052   ↦ cmpt 5167  ⟶wf 6489  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  Basecbs 17173  +_gcplusg 17214  ._rcmulr 17215  Scalarcsca 17217   ·_𝑠 cvsca 17218  Grpcgrp 18903  inv_gcminusg 18904  Abelcabl 19750  Ringcrg 20208  LModclmod 20849  LFnlclfn 39520

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-map 8769  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-nn 12169  df-2 12238  df-sets 17128  df-slot 17146  df-ndx 17158  df-base 17174  df-plusg 17227  df-0g 17398  df-mgm 18602  df-sgrp 18681  df-mnd 18697  df-grp 18906  df-minusg 18907  df-cmn 19751  df-abl 19752  df-mgp 20116  df-rng 20128  df-ur 20157  df-ring 20210  df-lmod 20851  df-lfl 39521

This theorem is referenced by:  ldualgrplem  39608