Theorem lflnegcl 39951

Description: Closure of the negative of a functional. (This is specialized for the purpose of proving ldualgrp 40022, and we do not define a general operation here.) (Contributed by NM, 22-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lflnegcl.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lflnegcl.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
lflnegcl.i	⊢ 𝐼 = (invg‘𝑅)
lflnegcl.n	⊢ 𝑁 = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝐼‘(𝐺‘𝑥)))
lflnegcl.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lflnegcl.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lflnegcl.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
lflnegcl	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝐹)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝐼   𝑥,𝑅   𝑥,𝑉   𝑥,𝑊   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem lflnegcl

Dummy variables 𝑦 𝑘 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lflnegcl.w	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
2		lflnegcl.r	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
3	2	lmodring 21055	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
4	1, 3	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
5		ringgrp 20380	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
6	4, 5	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
7	6	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → 𝑅 ∈ Grp)
8	1	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
9		lflnegcl.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
10	9	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → 𝐺 ∈ 𝐹)
11		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → 𝑥 ∈ 𝑉)
12		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
13		lflnegcl.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
14		lflnegcl.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
15	2, 12, 13, 14	lflcl 39940	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
16	8, 10, 11, 15	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
17		lflnegcl.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝑅)
18	12, 17	grpinvcl 19114	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝐺‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐼‘(𝐺‘𝑥)) ∈ (Base‘𝑅))
19	7, 16, 18	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝐼‘(𝐺‘𝑥)) ∈ (Base‘𝑅))
20		lflnegcl.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝐼‘(𝐺‘𝑥)))
21	19, 20	fmptd 7108	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁:𝑉⟶(Base‘𝑅))
22		ringabl 20425	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Abel)
23	4, 22	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Abel)
24	23	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) → 𝑅 ∈ Abel)
25	4	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) → 𝑅 ∈ Ring)
26		simpr1 1213	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) → 𝑘 ∈ (Base‘𝑅))
27	1	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) → 𝑊 ∈ LMod)
28	9	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) → 𝐺 ∈ 𝐹)
29		simpr2 1214	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) → 𝑦 ∈ 𝑉)
30	2, 12, 13, 14	lflcl 39940	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
31	27, 28, 29, 30	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) → (𝐺‘𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
32		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
33	12, 32	ringcl 20392	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑘(.r‘𝑅)(𝐺‘𝑦)) ∈ (Base‘𝑅))
34	25, 26, 31, 33	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) → (𝑘(.r‘𝑅)(𝐺‘𝑦)) ∈ (Base‘𝑅))
35		simpr3 1215	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) → 𝑧 ∈ 𝑉)
36	2, 12, 13, 14	lflcl 39940	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑧) ∈ (Base‘𝑅))
37	27, 28, 35, 36	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) → (𝐺‘𝑧) ∈ (Base‘𝑅))
38		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
39	12, 38, 17	ablinvadd 19937	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Abel ∧ (𝑘(.r‘𝑅)(𝐺‘𝑦)) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐺‘𝑧) ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐼‘((𝑘(.r‘𝑅)(𝐺‘𝑦))(+g‘𝑅)(𝐺‘𝑧))) = ((𝐼‘(𝑘(.r‘𝑅)(𝐺‘𝑦)))(+g‘𝑅)(𝐼‘(𝐺‘𝑧))))
40	24, 34, 37, 39	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) → (𝐼‘((𝑘(.r‘𝑅)(𝐺‘𝑦))(+g‘𝑅)(𝐺‘𝑧))) = ((𝐼‘(𝑘(.r‘𝑅)(𝐺‘𝑦)))(+g‘𝑅)(𝐼‘(𝐺‘𝑧))))
41		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
42		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
43	13, 41, 2, 42, 12, 38, 32, 14	lfli 39937	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) → (𝐺‘((𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)(+g‘𝑊)𝑧)) = ((𝑘(.r‘𝑅)(𝐺‘𝑦))(+g‘𝑅)(𝐺‘𝑧)))
44	27, 28, 26, 29, 35, 43	syl113anc 1409	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) → (𝐺‘((𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)(+g‘𝑊)𝑧)) = ((𝑘(.r‘𝑅)(𝐺‘𝑦))(+g‘𝑅)(𝐺‘𝑧)))
45	44	fveq2d 6883	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) → (𝐼‘(𝐺‘((𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)(+g‘𝑊)𝑧))) = (𝐼‘((𝑘(.r‘𝑅)(𝐺‘𝑦))(+g‘𝑅)(𝐺‘𝑧))))
46	12, 32, 17, 25, 26, 31	ringmneg2 20450	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) → (𝑘(.r‘𝑅)(𝐼‘(𝐺‘𝑦))) = (𝐼‘(𝑘(.r‘𝑅)(𝐺‘𝑦))))
47	46	oveq1d 7429	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) → ((𝑘(.r‘𝑅)(𝐼‘(𝐺‘𝑦)))(+g‘𝑅)(𝐼‘(𝐺‘𝑧))) = ((𝐼‘(𝑘(.r‘𝑅)(𝐺‘𝑦)))(+g‘𝑅)(𝐼‘(𝐺‘𝑧))))
48	40, 45, 47	3eqtr4d 2805	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) → (𝐼‘(𝐺‘((𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)(+g‘𝑊)𝑧))) = ((𝑘(.r‘𝑅)(𝐼‘(𝐺‘𝑦)))(+g‘𝑅)(𝐼‘(𝐺‘𝑧))))
49	13, 2, 42, 12	lmodvscl 21065	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑉)
50	27, 26, 29, 49	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) → (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑉)
51	13, 41	lmodvacl 21062	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → ((𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)(+g‘𝑊)𝑧) ∈ 𝑉)
52	27, 50, 35, 51	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) → ((𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)(+g‘𝑊)𝑧) ∈ 𝑉)
53		2fveq3 6884	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ((𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)(+g‘𝑊)𝑧) → (𝐼‘(𝐺‘𝑥)) = (𝐼‘(𝐺‘((𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)(+g‘𝑊)𝑧))))
54		fvex 6892	. . . . . 6 ⊢ (𝐼‘(𝐺‘((𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)(+g‘𝑊)𝑧))) ∈ V
55	53, 20, 54	fvmpt 6987	. . . . 5 ⊢ (((𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)(+g‘𝑊)𝑧) ∈ 𝑉 → (𝑁‘((𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)(+g‘𝑊)𝑧)) = (𝐼‘(𝐺‘((𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)(+g‘𝑊)𝑧))))
56	52, 55	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) → (𝑁‘((𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)(+g‘𝑊)𝑧)) = (𝐼‘(𝐺‘((𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)(+g‘𝑊)𝑧))))
57		2fveq3 6884	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐼‘(𝐺‘𝑥)) = (𝐼‘(𝐺‘𝑦)))
58		fvex 6892	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼‘(𝐺‘𝑦)) ∈ V
59	57, 20, 58	fvmpt 6987	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑉 → (𝑁‘𝑦) = (𝐼‘(𝐺‘𝑦)))
60	29, 59	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) → (𝑁‘𝑦) = (𝐼‘(𝐺‘𝑦)))
61	60	oveq2d 7430	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) → (𝑘(.r‘𝑅)(𝑁‘𝑦)) = (𝑘(.r‘𝑅)(𝐼‘(𝐺‘𝑦))))
62		2fveq3 6884	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝐼‘(𝐺‘𝑥)) = (𝐼‘(𝐺‘𝑧)))
63		fvex 6892	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼‘(𝐺‘𝑧)) ∈ V
64	62, 20, 63	fvmpt 6987	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑉 → (𝑁‘𝑧) = (𝐼‘(𝐺‘𝑧)))
65	35, 64	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) → (𝑁‘𝑧) = (𝐼‘(𝐺‘𝑧)))
66	61, 65	oveq12d 7432	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) → ((𝑘(.r‘𝑅)(𝑁‘𝑦))(+g‘𝑅)(𝑁‘𝑧)) = ((𝑘(.r‘𝑅)(𝐼‘(𝐺‘𝑦)))(+g‘𝑅)(𝐼‘(𝐺‘𝑧))))
67	48, 56, 66	3eqtr4d 2805	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) → (𝑁‘((𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)(+g‘𝑊)𝑧)) = ((𝑘(.r‘𝑅)(𝑁‘𝑦))(+g‘𝑅)(𝑁‘𝑧)))
68	67	ralrimivvva 3208	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ 𝑉 ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝑁‘((𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)(+g‘𝑊)𝑧)) = ((𝑘(.r‘𝑅)(𝑁‘𝑦))(+g‘𝑅)(𝑁‘𝑧)))
69	13, 41, 2, 42, 12, 38, 32, 14	islfl 39936	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑁 ∈ 𝐹 ↔ (𝑁:𝑉⟶(Base‘𝑅) ∧ ∀𝑘 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ 𝑉 ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝑁‘((𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)(+g‘𝑊)𝑧)) = ((𝑘(.r‘𝑅)(𝑁‘𝑦))(+g‘𝑅)(𝑁‘𝑧)))))
70	1, 69	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ 𝐹 ↔ (𝑁:𝑉⟶(Base‘𝑅) ∧ ∀𝑘 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ 𝑉 ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝑁‘((𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)(+g‘𝑊)𝑧)) = ((𝑘(.r‘𝑅)(𝑁‘𝑦))(+g‘𝑅)(𝑁‘𝑧)))))
71	21, 68, 70	mpbir2and 726	1 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝐹)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076   ↦ cmpt 5186  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  Basecbs 17304  +_gcplusg 17345  ._rcmulr 17346  Scalarcsca 17348   ·_𝑠 cvsca 17349  Grpcgrp 19060  inv_gcminusg 19061  Abelcabl 19911  Ringcrg 20375  LModclmod 21047  LFnlclfn 39933

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-er 8699  df-map 8831  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-sets 17259  df-slot 17277  df-ndx 17289  df-base 17305  df-plusg 17358  df-0g 17529  df-mgm 18733  df-sgrp 18824  df-mnd 18840  df-grp 19063  df-minusg 19064  df-cmn 19912  df-abl 19913  df-mgp 20277  df-rng 20291  df-ur 20324  df-ring 20377  df-lmod 21049  df-lfl 39934

This theorem is used by:  ldualgrplem  40021