Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lflnegcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lflnegcl 35604
Description: Closure of the negative of a functional. (This is specialized for the purpose of proving ldualgrp 35675, and we do not define a general operation here.) (Contributed by NM, 22-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lflnegcl.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lflnegcl.r 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
lflnegcl.i 𝐼 = (invg𝑅)
lflnegcl.n 𝑁 = (𝑥𝑉 ↦ (𝐼‘(𝐺𝑥)))
lflnegcl.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lflnegcl.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
lflnegcl.g (𝜑𝐺𝐹)
Assertion
Ref Expression
lflnegcl (𝜑𝑁𝐹)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝐼   𝑥,𝑅   𝑥,𝑉   𝑥,𝑊   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem lflnegcl
Dummy variables 𝑦 𝑘 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lflnegcl.w . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
2 lflnegcl.r . . . . . . . 8 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
32lmodring 19354 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
41, 3syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
5 ringgrp 19015 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
64, 5syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
76adantr 473 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑉) → 𝑅 ∈ Grp)
81adantr 473 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
9 lflnegcl.g . . . . . 6 (𝜑𝐺𝐹)
109adantr 473 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑉) → 𝐺𝐹)
11 simpr 477 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑉) → 𝑥𝑉)
12 eqid 2772 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
13 lflnegcl.v . . . . . 6 𝑉 = (Base‘𝑊)
14 lflnegcl.f . . . . . 6 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
152, 12, 13, 14lflcl 35593 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹𝑥𝑉) → (𝐺𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
168, 10, 11, 15syl3anc 1351 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑉) → (𝐺𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
17 lflnegcl.i . . . . 5 𝐼 = (invg𝑅)
1812, 17grpinvcl 17928 . . . 4 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝐺𝑥) ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐼‘(𝐺𝑥)) ∈ (Base‘𝑅))
197, 16, 18syl2anc 576 . . 3 ((𝜑𝑥𝑉) → (𝐼‘(𝐺𝑥)) ∈ (Base‘𝑅))
20 lflnegcl.n . . 3 𝑁 = (𝑥𝑉 ↦ (𝐼‘(𝐺𝑥)))
2119, 20fmptd 6695 . 2 (𝜑𝑁:𝑉⟶(Base‘𝑅))
22 ringabl 19043 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Abel)
234, 22syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ Abel)
2423adantr 473 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦𝑉𝑧𝑉)) → 𝑅 ∈ Abel)
254adantr 473 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦𝑉𝑧𝑉)) → 𝑅 ∈ Ring)
26 simpr1 1174 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦𝑉𝑧𝑉)) → 𝑘 ∈ (Base‘𝑅))
271adantr 473 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦𝑉𝑧𝑉)) → 𝑊 ∈ LMod)
289adantr 473 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦𝑉𝑧𝑉)) → 𝐺𝐹)
29 simpr2 1175 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦𝑉𝑧𝑉)) → 𝑦𝑉)
302, 12, 13, 14lflcl 35593 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹𝑦𝑉) → (𝐺𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
3127, 28, 29, 30syl3anc 1351 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦𝑉𝑧𝑉)) → (𝐺𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
32 eqid 2772 . . . . . . . 8 (.r𝑅) = (.r𝑅)
3312, 32ringcl 19024 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐺𝑦) ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑘(.r𝑅)(𝐺𝑦)) ∈ (Base‘𝑅))
3425, 26, 31, 33syl3anc 1351 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦𝑉𝑧𝑉)) → (𝑘(.r𝑅)(𝐺𝑦)) ∈ (Base‘𝑅))
35 simpr3 1176 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦𝑉𝑧𝑉)) → 𝑧𝑉)
362, 12, 13, 14lflcl 35593 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹𝑧𝑉) → (𝐺𝑧) ∈ (Base‘𝑅))
3727, 28, 35, 36syl3anc 1351 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦𝑉𝑧𝑉)) → (𝐺𝑧) ∈ (Base‘𝑅))
38 eqid 2772 . . . . . . 7 (+g𝑅) = (+g𝑅)
3912, 38, 17ablinvadd 18678 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Abel ∧ (𝑘(.r𝑅)(𝐺𝑦)) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐺𝑧) ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐼‘((𝑘(.r𝑅)(𝐺𝑦))(+g𝑅)(𝐺𝑧))) = ((𝐼‘(𝑘(.r𝑅)(𝐺𝑦)))(+g𝑅)(𝐼‘(𝐺𝑧))))
4024, 34, 37, 39syl3anc 1351 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦𝑉𝑧𝑉)) → (𝐼‘((𝑘(.r𝑅)(𝐺𝑦))(+g𝑅)(𝐺𝑧))) = ((𝐼‘(𝑘(.r𝑅)(𝐺𝑦)))(+g𝑅)(𝐼‘(𝐺𝑧))))
41 eqid 2772 . . . . . . . 8 (+g𝑊) = (+g𝑊)
42 eqid 2772 . . . . . . . 8 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
4313, 41, 2, 42, 12, 38, 32, 14lfli 35590 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦𝑉𝑧𝑉)) → (𝐺‘((𝑘( ·𝑠𝑊)𝑦)(+g𝑊)𝑧)) = ((𝑘(.r𝑅)(𝐺𝑦))(+g𝑅)(𝐺𝑧)))
4427, 28, 26, 29, 35, 43syl113anc 1362 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦𝑉𝑧𝑉)) → (𝐺‘((𝑘( ·𝑠𝑊)𝑦)(+g𝑊)𝑧)) = ((𝑘(.r𝑅)(𝐺𝑦))(+g𝑅)(𝐺𝑧)))
4544fveq2d 6497 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦𝑉𝑧𝑉)) → (𝐼‘(𝐺‘((𝑘( ·𝑠𝑊)𝑦)(+g𝑊)𝑧))) = (𝐼‘((𝑘(.r𝑅)(𝐺𝑦))(+g𝑅)(𝐺𝑧))))
4612, 32, 17, 25, 26, 31ringmneg2 19060 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦𝑉𝑧𝑉)) → (𝑘(.r𝑅)(𝐼‘(𝐺𝑦))) = (𝐼‘(𝑘(.r𝑅)(𝐺𝑦))))
4746oveq1d 6985 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦𝑉𝑧𝑉)) → ((𝑘(.r𝑅)(𝐼‘(𝐺𝑦)))(+g𝑅)(𝐼‘(𝐺𝑧))) = ((𝐼‘(𝑘(.r𝑅)(𝐺𝑦)))(+g𝑅)(𝐼‘(𝐺𝑧))))
4840, 45, 473eqtr4d 2818 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦𝑉𝑧𝑉)) → (𝐼‘(𝐺‘((𝑘( ·𝑠𝑊)𝑦)(+g𝑊)𝑧))) = ((𝑘(.r𝑅)(𝐼‘(𝐺𝑦)))(+g𝑅)(𝐼‘(𝐺𝑧))))
4913, 2, 42, 12lmodvscl 19363 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦𝑉) → (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ 𝑉)
5027, 26, 29, 49syl3anc 1351 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦𝑉𝑧𝑉)) → (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ 𝑉)
5113, 41lmodvacl 19360 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ 𝑉𝑧𝑉) → ((𝑘( ·𝑠𝑊)𝑦)(+g𝑊)𝑧) ∈ 𝑉)
5227, 50, 35, 51syl3anc 1351 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦𝑉𝑧𝑉)) → ((𝑘( ·𝑠𝑊)𝑦)(+g𝑊)𝑧) ∈ 𝑉)
53 2fveq3 6498 . . . . . 6 (𝑥 = ((𝑘( ·𝑠𝑊)𝑦)(+g𝑊)𝑧) → (𝐼‘(𝐺𝑥)) = (𝐼‘(𝐺‘((𝑘( ·𝑠𝑊)𝑦)(+g𝑊)𝑧))))
54 fvex 6506 . . . . . 6 (𝐼‘(𝐺‘((𝑘( ·𝑠𝑊)𝑦)(+g𝑊)𝑧))) ∈ V
5553, 20, 54fvmpt 6589 . . . . 5 (((𝑘( ·𝑠𝑊)𝑦)(+g𝑊)𝑧) ∈ 𝑉 → (𝑁‘((𝑘( ·𝑠𝑊)𝑦)(+g𝑊)𝑧)) = (𝐼‘(𝐺‘((𝑘( ·𝑠𝑊)𝑦)(+g𝑊)𝑧))))
5652, 55syl 17 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦𝑉𝑧𝑉)) → (𝑁‘((𝑘( ·𝑠𝑊)𝑦)(+g𝑊)𝑧)) = (𝐼‘(𝐺‘((𝑘( ·𝑠𝑊)𝑦)(+g𝑊)𝑧))))
57 2fveq3 6498 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (𝐼‘(𝐺𝑥)) = (𝐼‘(𝐺𝑦)))
58 fvex 6506 . . . . . . . 8 (𝐼‘(𝐺𝑦)) ∈ V
5957, 20, 58fvmpt 6589 . . . . . . 7 (𝑦𝑉 → (𝑁𝑦) = (𝐼‘(𝐺𝑦)))
6029, 59syl 17 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦𝑉𝑧𝑉)) → (𝑁𝑦) = (𝐼‘(𝐺𝑦)))
6160oveq2d 6986 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦𝑉𝑧𝑉)) → (𝑘(.r𝑅)(𝑁𝑦)) = (𝑘(.r𝑅)(𝐼‘(𝐺𝑦))))
62 2fveq3 6498 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑧 → (𝐼‘(𝐺𝑥)) = (𝐼‘(𝐺𝑧)))
63 fvex 6506 . . . . . . 7 (𝐼‘(𝐺𝑧)) ∈ V
6462, 20, 63fvmpt 6589 . . . . . 6 (𝑧𝑉 → (𝑁𝑧) = (𝐼‘(𝐺𝑧)))
6535, 64syl 17 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦𝑉𝑧𝑉)) → (𝑁𝑧) = (𝐼‘(𝐺𝑧)))
6661, 65oveq12d 6988 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦𝑉𝑧𝑉)) → ((𝑘(.r𝑅)(𝑁𝑦))(+g𝑅)(𝑁𝑧)) = ((𝑘(.r𝑅)(𝐼‘(𝐺𝑦)))(+g𝑅)(𝐼‘(𝐺𝑧))))
6748, 56, 663eqtr4d 2818 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦𝑉𝑧𝑉)) → (𝑁‘((𝑘( ·𝑠𝑊)𝑦)(+g𝑊)𝑧)) = ((𝑘(.r𝑅)(𝑁𝑦))(+g𝑅)(𝑁𝑧)))
6867ralrimivvva 3136 . 2 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦𝑉𝑧𝑉 (𝑁‘((𝑘( ·𝑠𝑊)𝑦)(+g𝑊)𝑧)) = ((𝑘(.r𝑅)(𝑁𝑦))(+g𝑅)(𝑁𝑧)))
6913, 41, 2, 42, 12, 38, 32, 14islfl 35589 . . 3 (𝑊 ∈ LMod → (𝑁𝐹 ↔ (𝑁:𝑉⟶(Base‘𝑅) ∧ ∀𝑘 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦𝑉𝑧𝑉 (𝑁‘((𝑘( ·𝑠𝑊)𝑦)(+g𝑊)𝑧)) = ((𝑘(.r𝑅)(𝑁𝑦))(+g𝑅)(𝑁𝑧)))))
701, 69syl 17 . 2 (𝜑 → (𝑁𝐹 ↔ (𝑁:𝑉⟶(Base‘𝑅) ∧ ∀𝑘 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦𝑉𝑧𝑉 (𝑁‘((𝑘( ·𝑠𝑊)𝑦)(+g𝑊)𝑧)) = ((𝑘(.r𝑅)(𝑁𝑦))(+g𝑅)(𝑁𝑧)))))
7121, 68, 70mpbir2and 700 1 (𝜑𝑁𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 387  w3a 1068   = wceq 1507  wcel 2048  wral 3082  cmpt 5002  wf 6178  cfv 6182  (class class class)co 6970  Basecbs 16329  +gcplusg 16411  .rcmulr 16412  Scalarcsca 16414   ·𝑠 cvsca 16415  Grpcgrp 17881  invgcminusg 17882  Abelcabl 18657  Ringcrg 19010  LModclmod 19346  LFnlclfn 35586
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2745  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-cnex 10383  ax-resscn 10384  ax-1cn 10385  ax-icn 10386  ax-addcl 10387  ax-addrcl 10388  ax-mulcl 10389  ax-mulrcl 10390  ax-mulcom 10391  ax-addass 10392  ax-mulass 10393  ax-distr 10394  ax-i2m1 10395  ax-1ne0 10396  ax-1rid 10397  ax-rnegex 10398  ax-rrecex 10399  ax-cnre 10400  ax-pre-lttri 10401  ax-pre-lttrn 10402  ax-pre-ltadd 10403  ax-pre-mulgt0 10404
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2754  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rmo 3090  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3678  df-csb 3783  df-dif 3828  df-un 3830  df-in 3832  df-ss 3839  df-pss 3841  df-nul 4174  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-iun 4788  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5305  df-eprel 5310  df-po 5319  df-so 5320  df-fr 5359  df-we 5361  df-xp 5406  df-rel 5407  df-cnv 5408  df-co 5409  df-dm 5410  df-rn 5411  df-res 5412  df-ima 5413  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-om 7391  df-wrecs 7743  df-recs 7805  df-rdg 7843  df-er 8081  df-map 8200  df-en 8299  df-dom 8300  df-sdom 8301  df-pnf 10468  df-mnf 10469  df-xr 10470  df-ltxr 10471  df-le 10472  df-sub 10664  df-neg 10665  df-nn 11432  df-2 11496  df-ndx 16332  df-slot 16333  df-base 16335  df-sets 16336  df-plusg 16424  df-0g 16561  df-mgm 17700  df-sgrp 17742  df-mnd 17753  df-grp 17884  df-minusg 17885  df-cmn 18658  df-abl 18659  df-mgp 18953  df-ur 18965  df-ring 19012  df-lmod 19348  df-lfl 35587
This theorem is referenced by:  ldualgrplem  35674
  Copyright terms: Public domain W3C validator