Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lflnegcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lflnegcl 35034
Description: Closure of the negative of a functional. (This is specialized for the purpose of proving ldualgrp 35105, and we do not define a general operation here.) (Contributed by NM, 22-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lflnegcl.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lflnegcl.r 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
lflnegcl.i 𝐼 = (invg𝑅)
lflnegcl.n 𝑁 = (𝑥𝑉 ↦ (𝐼‘(𝐺𝑥)))
lflnegcl.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lflnegcl.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
lflnegcl.g (𝜑𝐺𝐹)
Assertion
Ref Expression
lflnegcl (𝜑𝑁𝐹)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝐼   𝑥,𝑅   𝑥,𝑉   𝑥,𝑊   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem lflnegcl
Dummy variables 𝑦 𝑘 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lflnegcl.w . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
2 lflnegcl.r . . . . . . . 8 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
32lmodring 19143 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
41, 3syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
5 ringgrp 18822 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
64, 5syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
76adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑉) → 𝑅 ∈ Grp)
81adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
9 lflnegcl.g . . . . . 6 (𝜑𝐺𝐹)
109adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑉) → 𝐺𝐹)
11 simpr 477 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑉) → 𝑥𝑉)
12 eqid 2765 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
13 lflnegcl.v . . . . . 6 𝑉 = (Base‘𝑊)
14 lflnegcl.f . . . . . 6 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
152, 12, 13, 14lflcl 35023 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹𝑥𝑉) → (𝐺𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
168, 10, 11, 15syl3anc 1490 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑉) → (𝐺𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
17 lflnegcl.i . . . . 5 𝐼 = (invg𝑅)
1812, 17grpinvcl 17737 . . . 4 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝐺𝑥) ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐼‘(𝐺𝑥)) ∈ (Base‘𝑅))
197, 16, 18syl2anc 579 . . 3 ((𝜑𝑥𝑉) → (𝐼‘(𝐺𝑥)) ∈ (Base‘𝑅))
20 lflnegcl.n . . 3 𝑁 = (𝑥𝑉 ↦ (𝐼‘(𝐺𝑥)))
2119, 20fmptd 6576 . 2 (𝜑𝑁:𝑉⟶(Base‘𝑅))
22 ringabl 18850 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Abel)
234, 22syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ Abel)
2423adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦𝑉𝑧𝑉)) → 𝑅 ∈ Abel)
254adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦𝑉𝑧𝑉)) → 𝑅 ∈ Ring)
26 simpr1 1248 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦𝑉𝑧𝑉)) → 𝑘 ∈ (Base‘𝑅))
271adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦𝑉𝑧𝑉)) → 𝑊 ∈ LMod)
289adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦𝑉𝑧𝑉)) → 𝐺𝐹)
29 simpr2 1250 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦𝑉𝑧𝑉)) → 𝑦𝑉)
302, 12, 13, 14lflcl 35023 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹𝑦𝑉) → (𝐺𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
3127, 28, 29, 30syl3anc 1490 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦𝑉𝑧𝑉)) → (𝐺𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
32 eqid 2765 . . . . . . . 8 (.r𝑅) = (.r𝑅)
3312, 32ringcl 18831 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐺𝑦) ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑘(.r𝑅)(𝐺𝑦)) ∈ (Base‘𝑅))
3425, 26, 31, 33syl3anc 1490 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦𝑉𝑧𝑉)) → (𝑘(.r𝑅)(𝐺𝑦)) ∈ (Base‘𝑅))
35 simpr3 1252 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦𝑉𝑧𝑉)) → 𝑧𝑉)
362, 12, 13, 14lflcl 35023 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹𝑧𝑉) → (𝐺𝑧) ∈ (Base‘𝑅))
3727, 28, 35, 36syl3anc 1490 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦𝑉𝑧𝑉)) → (𝐺𝑧) ∈ (Base‘𝑅))
38 eqid 2765 . . . . . . 7 (+g𝑅) = (+g𝑅)
3912, 38, 17ablinvadd 18484 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Abel ∧ (𝑘(.r𝑅)(𝐺𝑦)) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐺𝑧) ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐼‘((𝑘(.r𝑅)(𝐺𝑦))(+g𝑅)(𝐺𝑧))) = ((𝐼‘(𝑘(.r𝑅)(𝐺𝑦)))(+g𝑅)(𝐼‘(𝐺𝑧))))
4024, 34, 37, 39syl3anc 1490 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦𝑉𝑧𝑉)) → (𝐼‘((𝑘(.r𝑅)(𝐺𝑦))(+g𝑅)(𝐺𝑧))) = ((𝐼‘(𝑘(.r𝑅)(𝐺𝑦)))(+g𝑅)(𝐼‘(𝐺𝑧))))
41 eqid 2765 . . . . . . . 8 (+g𝑊) = (+g𝑊)
42 eqid 2765 . . . . . . . 8 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
4313, 41, 2, 42, 12, 38, 32, 14lfli 35020 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦𝑉𝑧𝑉)) → (𝐺‘((𝑘( ·𝑠𝑊)𝑦)(+g𝑊)𝑧)) = ((𝑘(.r𝑅)(𝐺𝑦))(+g𝑅)(𝐺𝑧)))
4427, 28, 26, 29, 35, 43syl113anc 1501 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦𝑉𝑧𝑉)) → (𝐺‘((𝑘( ·𝑠𝑊)𝑦)(+g𝑊)𝑧)) = ((𝑘(.r𝑅)(𝐺𝑦))(+g𝑅)(𝐺𝑧)))
4544fveq2d 6381 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦𝑉𝑧𝑉)) → (𝐼‘(𝐺‘((𝑘( ·𝑠𝑊)𝑦)(+g𝑊)𝑧))) = (𝐼‘((𝑘(.r𝑅)(𝐺𝑦))(+g𝑅)(𝐺𝑧))))
4612, 32, 17, 25, 26, 31ringmneg2 18867 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦𝑉𝑧𝑉)) → (𝑘(.r𝑅)(𝐼‘(𝐺𝑦))) = (𝐼‘(𝑘(.r𝑅)(𝐺𝑦))))
4746oveq1d 6859 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦𝑉𝑧𝑉)) → ((𝑘(.r𝑅)(𝐼‘(𝐺𝑦)))(+g𝑅)(𝐼‘(𝐺𝑧))) = ((𝐼‘(𝑘(.r𝑅)(𝐺𝑦)))(+g𝑅)(𝐼‘(𝐺𝑧))))
4840, 45, 473eqtr4d 2809 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦𝑉𝑧𝑉)) → (𝐼‘(𝐺‘((𝑘( ·𝑠𝑊)𝑦)(+g𝑊)𝑧))) = ((𝑘(.r𝑅)(𝐼‘(𝐺𝑦)))(+g𝑅)(𝐼‘(𝐺𝑧))))
4913, 2, 42, 12lmodvscl 19152 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦𝑉) → (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ 𝑉)
5027, 26, 29, 49syl3anc 1490 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦𝑉𝑧𝑉)) → (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ 𝑉)
5113, 41lmodvacl 19149 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ 𝑉𝑧𝑉) → ((𝑘( ·𝑠𝑊)𝑦)(+g𝑊)𝑧) ∈ 𝑉)
5227, 50, 35, 51syl3anc 1490 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦𝑉𝑧𝑉)) → ((𝑘( ·𝑠𝑊)𝑦)(+g𝑊)𝑧) ∈ 𝑉)
53 2fveq3 6382 . . . . . 6 (𝑥 = ((𝑘( ·𝑠𝑊)𝑦)(+g𝑊)𝑧) → (𝐼‘(𝐺𝑥)) = (𝐼‘(𝐺‘((𝑘( ·𝑠𝑊)𝑦)(+g𝑊)𝑧))))
54 fvex 6390 . . . . . 6 (𝐼‘(𝐺‘((𝑘( ·𝑠𝑊)𝑦)(+g𝑊)𝑧))) ∈ V
5553, 20, 54fvmpt 6473 . . . . 5 (((𝑘( ·𝑠𝑊)𝑦)(+g𝑊)𝑧) ∈ 𝑉 → (𝑁‘((𝑘( ·𝑠𝑊)𝑦)(+g𝑊)𝑧)) = (𝐼‘(𝐺‘((𝑘( ·𝑠𝑊)𝑦)(+g𝑊)𝑧))))
5652, 55syl 17 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦𝑉𝑧𝑉)) → (𝑁‘((𝑘( ·𝑠𝑊)𝑦)(+g𝑊)𝑧)) = (𝐼‘(𝐺‘((𝑘( ·𝑠𝑊)𝑦)(+g𝑊)𝑧))))
57 2fveq3 6382 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (𝐼‘(𝐺𝑥)) = (𝐼‘(𝐺𝑦)))
58 fvex 6390 . . . . . . . 8 (𝐼‘(𝐺𝑦)) ∈ V
5957, 20, 58fvmpt 6473 . . . . . . 7 (𝑦𝑉 → (𝑁𝑦) = (𝐼‘(𝐺𝑦)))
6029, 59syl 17 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦𝑉𝑧𝑉)) → (𝑁𝑦) = (𝐼‘(𝐺𝑦)))
6160oveq2d 6860 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦𝑉𝑧𝑉)) → (𝑘(.r𝑅)(𝑁𝑦)) = (𝑘(.r𝑅)(𝐼‘(𝐺𝑦))))
62 2fveq3 6382 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑧 → (𝐼‘(𝐺𝑥)) = (𝐼‘(𝐺𝑧)))
63 fvex 6390 . . . . . . 7 (𝐼‘(𝐺𝑧)) ∈ V
6462, 20, 63fvmpt 6473 . . . . . 6 (𝑧𝑉 → (𝑁𝑧) = (𝐼‘(𝐺𝑧)))
6535, 64syl 17 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦𝑉𝑧𝑉)) → (𝑁𝑧) = (𝐼‘(𝐺𝑧)))
6661, 65oveq12d 6862 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦𝑉𝑧𝑉)) → ((𝑘(.r𝑅)(𝑁𝑦))(+g𝑅)(𝑁𝑧)) = ((𝑘(.r𝑅)(𝐼‘(𝐺𝑦)))(+g𝑅)(𝐼‘(𝐺𝑧))))
6748, 56, 663eqtr4d 2809 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦𝑉𝑧𝑉)) → (𝑁‘((𝑘( ·𝑠𝑊)𝑦)(+g𝑊)𝑧)) = ((𝑘(.r𝑅)(𝑁𝑦))(+g𝑅)(𝑁𝑧)))
6867ralrimivvva 3119 . 2 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦𝑉𝑧𝑉 (𝑁‘((𝑘( ·𝑠𝑊)𝑦)(+g𝑊)𝑧)) = ((𝑘(.r𝑅)(𝑁𝑦))(+g𝑅)(𝑁𝑧)))
6913, 41, 2, 42, 12, 38, 32, 14islfl 35019 . . 3 (𝑊 ∈ LMod → (𝑁𝐹 ↔ (𝑁:𝑉⟶(Base‘𝑅) ∧ ∀𝑘 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦𝑉𝑧𝑉 (𝑁‘((𝑘( ·𝑠𝑊)𝑦)(+g𝑊)𝑧)) = ((𝑘(.r𝑅)(𝑁𝑦))(+g𝑅)(𝑁𝑧)))))
701, 69syl 17 . 2 (𝜑 → (𝑁𝐹 ↔ (𝑁:𝑉⟶(Base‘𝑅) ∧ ∀𝑘 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦𝑉𝑧𝑉 (𝑁‘((𝑘( ·𝑠𝑊)𝑦)(+g𝑊)𝑧)) = ((𝑘(.r𝑅)(𝑁𝑦))(+g𝑅)(𝑁𝑧)))))
7121, 68, 70mpbir2and 704 1 (𝜑𝑁𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wral 3055  cmpt 4890  wf 6066  cfv 6070  (class class class)co 6844  Basecbs 16133  +gcplusg 16217  .rcmulr 16218  Scalarcsca 16220   ·𝑠 cvsca 16221  Grpcgrp 17692  invgcminusg 17693  Abelcabl 18463  Ringcrg 18817  LModclmod 19135  LFnlclfn 35016
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4932  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7149  ax-cnex 10247  ax-resscn 10248  ax-1cn 10249  ax-icn 10250  ax-addcl 10251  ax-addrcl 10252  ax-mulcl 10253  ax-mulrcl 10254  ax-mulcom 10255  ax-addass 10256  ax-mulass 10257  ax-distr 10258  ax-i2m1 10259  ax-1ne0 10260  ax-1rid 10261  ax-rnegex 10262  ax-rrecex 10263  ax-cnre 10264  ax-pre-lttri 10265  ax-pre-lttrn 10266  ax-pre-ltadd 10267  ax-pre-mulgt0 10268
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-uni 4597  df-iun 4680  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-tr 4914  df-id 5187  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-we 5240  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-pred 5867  df-ord 5913  df-on 5914  df-lim 5915  df-suc 5916  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-riota 6805  df-ov 6847  df-oprab 6848  df-mpt2 6849  df-om 7266  df-wrecs 7612  df-recs 7674  df-rdg 7712  df-er 7949  df-map 8064  df-en 8163  df-dom 8164  df-sdom 8165  df-pnf 10332  df-mnf 10333  df-xr 10334  df-ltxr 10335  df-le 10336  df-sub 10524  df-neg 10525  df-nn 11277  df-2 11337  df-ndx 16136  df-slot 16137  df-base 16139  df-sets 16140  df-plusg 16230  df-0g 16371  df-mgm 17511  df-sgrp 17553  df-mnd 17564  df-grp 17695  df-minusg 17696  df-cmn 18464  df-abl 18465  df-mgp 18760  df-ur 18772  df-ring 18819  df-lmod 19137  df-lfl 35017
This theorem is referenced by:  ldualgrplem  35104
  Copyright terms: Public domain W3C validator