Theorem lflnegcl 39357

Description: Closure of the negative of a functional. (This is specialized for the purpose of proving ldualgrp 39428, and we do not define a general operation here.) (Contributed by NM, 22-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lflnegcl.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lflnegcl.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
lflnegcl.i	⊢ 𝐼 = (invg‘𝑅)
lflnegcl.n	⊢ 𝑁 = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝐼‘(𝐺‘𝑥)))
lflnegcl.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lflnegcl.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lflnegcl.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
lflnegcl	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝐹)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝐼   𝑥,𝑅   𝑥,𝑉   𝑥,𝑊   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem lflnegcl

Dummy variables 𝑦 𝑘 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lflnegcl.w	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
2		lflnegcl.r	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
3	2	lmodring 20821	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
4	1, 3	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
5		ringgrp 20175	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
6	4, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
7	6	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → 𝑅 ∈ Grp)
8	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
9		lflnegcl.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
10	9	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → 𝐺 ∈ 𝐹)
11		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → 𝑥 ∈ 𝑉)
12		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
13		lflnegcl.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
14		lflnegcl.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
15	2, 12, 13, 14	lflcl 39346	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
16	8, 10, 11, 15	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
17		lflnegcl.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝑅)
18	12, 17	grpinvcl 18919	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝐺‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐼‘(𝐺‘𝑥)) ∈ (Base‘𝑅))
19	7, 16, 18	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝐼‘(𝐺‘𝑥)) ∈ (Base‘𝑅))
20		lflnegcl.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝐼‘(𝐺‘𝑥)))
21	19, 20	fmptd 7059	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁:𝑉⟶(Base‘𝑅))
22		ringabl 20218	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Abel)
23	4, 22	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Abel)
24	23	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) → 𝑅 ∈ Abel)
25	4	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) → 𝑅 ∈ Ring)
26		simpr1 1195	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) → 𝑘 ∈ (Base‘𝑅))
27	1	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) → 𝑊 ∈ LMod)
28	9	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) → 𝐺 ∈ 𝐹)
29		simpr2 1196	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) → 𝑦 ∈ 𝑉)
30	2, 12, 13, 14	lflcl 39346	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
31	27, 28, 29, 30	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) → (𝐺‘𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
32		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
33	12, 32	ringcl 20187	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑘(.r‘𝑅)(𝐺‘𝑦)) ∈ (Base‘𝑅))
34	25, 26, 31, 33	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) → (𝑘(.r‘𝑅)(𝐺‘𝑦)) ∈ (Base‘𝑅))
35		simpr3 1197	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) → 𝑧 ∈ 𝑉)
36	2, 12, 13, 14	lflcl 39346	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑧) ∈ (Base‘𝑅))
37	27, 28, 35, 36	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) → (𝐺‘𝑧) ∈ (Base‘𝑅))
38		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
39	12, 38, 17	ablinvadd 19738	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Abel ∧ (𝑘(.r‘𝑅)(𝐺‘𝑦)) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐺‘𝑧) ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐼‘((𝑘(.r‘𝑅)(𝐺‘𝑦))(+g‘𝑅)(𝐺‘𝑧))) = ((𝐼‘(𝑘(.r‘𝑅)(𝐺‘𝑦)))(+g‘𝑅)(𝐼‘(𝐺‘𝑧))))
40	24, 34, 37, 39	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) → (𝐼‘((𝑘(.r‘𝑅)(𝐺‘𝑦))(+g‘𝑅)(𝐺‘𝑧))) = ((𝐼‘(𝑘(.r‘𝑅)(𝐺‘𝑦)))(+g‘𝑅)(𝐼‘(𝐺‘𝑧))))
41		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
42		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
43	13, 41, 2, 42, 12, 38, 32, 14	lfli 39343	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) → (𝐺‘((𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)(+g‘𝑊)𝑧)) = ((𝑘(.r‘𝑅)(𝐺‘𝑦))(+g‘𝑅)(𝐺‘𝑧)))
44	27, 28, 26, 29, 35, 43	syl113anc 1384	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) → (𝐺‘((𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)(+g‘𝑊)𝑧)) = ((𝑘(.r‘𝑅)(𝐺‘𝑦))(+g‘𝑅)(𝐺‘𝑧)))
45	44	fveq2d 6838	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) → (𝐼‘(𝐺‘((𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)(+g‘𝑊)𝑧))) = (𝐼‘((𝑘(.r‘𝑅)(𝐺‘𝑦))(+g‘𝑅)(𝐺‘𝑧))))
46	12, 32, 17, 25, 26, 31	ringmneg2 20242	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) → (𝑘(.r‘𝑅)(𝐼‘(𝐺‘𝑦))) = (𝐼‘(𝑘(.r‘𝑅)(𝐺‘𝑦))))
47	46	oveq1d 7373	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) → ((𝑘(.r‘𝑅)(𝐼‘(𝐺‘𝑦)))(+g‘𝑅)(𝐼‘(𝐺‘𝑧))) = ((𝐼‘(𝑘(.r‘𝑅)(𝐺‘𝑦)))(+g‘𝑅)(𝐼‘(𝐺‘𝑧))))
48	40, 45, 47	3eqtr4d 2781	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) → (𝐼‘(𝐺‘((𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)(+g‘𝑊)𝑧))) = ((𝑘(.r‘𝑅)(𝐼‘(𝐺‘𝑦)))(+g‘𝑅)(𝐼‘(𝐺‘𝑧))))
49	13, 2, 42, 12	lmodvscl 20831	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑉)
50	27, 26, 29, 49	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) → (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑉)
51	13, 41	lmodvacl 20828	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → ((𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)(+g‘𝑊)𝑧) ∈ 𝑉)
52	27, 50, 35, 51	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) → ((𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)(+g‘𝑊)𝑧) ∈ 𝑉)
53		2fveq3 6839	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ((𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)(+g‘𝑊)𝑧) → (𝐼‘(𝐺‘𝑥)) = (𝐼‘(𝐺‘((𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)(+g‘𝑊)𝑧))))
54		fvex 6847	. . . . . 6 ⊢ (𝐼‘(𝐺‘((𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)(+g‘𝑊)𝑧))) ∈ V
55	53, 20, 54	fvmpt 6941	. . . . 5 ⊢ (((𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)(+g‘𝑊)𝑧) ∈ 𝑉 → (𝑁‘((𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)(+g‘𝑊)𝑧)) = (𝐼‘(𝐺‘((𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)(+g‘𝑊)𝑧))))
56	52, 55	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) → (𝑁‘((𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)(+g‘𝑊)𝑧)) = (𝐼‘(𝐺‘((𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)(+g‘𝑊)𝑧))))
57		2fveq3 6839	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐼‘(𝐺‘𝑥)) = (𝐼‘(𝐺‘𝑦)))
58		fvex 6847	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼‘(𝐺‘𝑦)) ∈ V
59	57, 20, 58	fvmpt 6941	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑉 → (𝑁‘𝑦) = (𝐼‘(𝐺‘𝑦)))
60	29, 59	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) → (𝑁‘𝑦) = (𝐼‘(𝐺‘𝑦)))
61	60	oveq2d 7374	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) → (𝑘(.r‘𝑅)(𝑁‘𝑦)) = (𝑘(.r‘𝑅)(𝐼‘(𝐺‘𝑦))))
62		2fveq3 6839	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝐼‘(𝐺‘𝑥)) = (𝐼‘(𝐺‘𝑧)))
63		fvex 6847	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼‘(𝐺‘𝑧)) ∈ V
64	62, 20, 63	fvmpt 6941	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑉 → (𝑁‘𝑧) = (𝐼‘(𝐺‘𝑧)))
65	35, 64	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) → (𝑁‘𝑧) = (𝐼‘(𝐺‘𝑧)))
66	61, 65	oveq12d 7376	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) → ((𝑘(.r‘𝑅)(𝑁‘𝑦))(+g‘𝑅)(𝑁‘𝑧)) = ((𝑘(.r‘𝑅)(𝐼‘(𝐺‘𝑦)))(+g‘𝑅)(𝐼‘(𝐺‘𝑧))))
67	48, 56, 66	3eqtr4d 2781	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) → (𝑁‘((𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)(+g‘𝑊)𝑧)) = ((𝑘(.r‘𝑅)(𝑁‘𝑦))(+g‘𝑅)(𝑁‘𝑧)))
68	67	ralrimivvva 3182	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ 𝑉 ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝑁‘((𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)(+g‘𝑊)𝑧)) = ((𝑘(.r‘𝑅)(𝑁‘𝑦))(+g‘𝑅)(𝑁‘𝑧)))
69	13, 41, 2, 42, 12, 38, 32, 14	islfl 39342	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑁 ∈ 𝐹 ↔ (𝑁:𝑉⟶(Base‘𝑅) ∧ ∀𝑘 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ 𝑉 ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝑁‘((𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)(+g‘𝑊)𝑧)) = ((𝑘(.r‘𝑅)(𝑁‘𝑦))(+g‘𝑅)(𝑁‘𝑧)))))
70	1, 69	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ 𝐹 ↔ (𝑁:𝑉⟶(Base‘𝑅) ∧ ∀𝑘 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ 𝑉 ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝑁‘((𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)(+g‘𝑊)𝑧)) = ((𝑘(.r‘𝑅)(𝑁‘𝑦))(+g‘𝑅)(𝑁‘𝑧)))))
71	21, 68, 70	mpbir2and 713	1 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3051   ↦ cmpt 5179  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  Basecbs 17138  +_gcplusg 17179  ._rcmulr 17180  Scalarcsca 17182   ·_𝑠 cvsca 17183  Grpcgrp 18865  inv_gcminusg 18866  Abelcabl 19712  Ringcrg 20170  LModclmod 20813  LFnlclfn 39339

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-map 8767  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12148  df-2 12210  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-plusg 17192  df-0g 17363  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-grp 18868  df-minusg 18869  df-cmn 19713  df-abl 19714  df-mgp 20078  df-rng 20090  df-ur 20119  df-ring 20172  df-lmod 20815  df-lfl 39340

This theorem is referenced by:  ldualgrplem  39427