Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lflnegcl Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lflnegcl 38587
Description: Closure of the negative of a functional. (This is specialized for the purpose of proving ldualgrp 38658, and we do not define a general operation here.) (Contributed by NM, 22-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lflnegcl.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lflnegcl.r 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘Š)
lflnegcl.i 𝐼 = (invgβ€˜π‘…)
lflnegcl.n 𝑁 = (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)))
lflnegcl.f 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
lflnegcl.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
lflnegcl.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
Assertion
Ref Expression
lflnegcl (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ 𝐹)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐺   π‘₯,𝐼   π‘₯,𝑅   π‘₯,𝑉   π‘₯,π‘Š   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐹(π‘₯)   𝑁(π‘₯)
Proof of Theorem lflnegcl
Dummy variables 𝑦 π‘˜ 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lflnegcl.w . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
2 lflnegcl.r . . . . . . . 8 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘Š)
32lmodring 20765 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝑅 ∈ Ring)
41, 3syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
5 ringgrp 20192 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ Grp)
64, 5syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Grp)
76adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ 𝑅 ∈ Grp)
81adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ π‘Š ∈ LMod)
9 lflnegcl.g . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
109adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
11 simpr 483 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ π‘₯ ∈ 𝑉)
12 eqid 2728 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
13 lflnegcl.v . . . . . 6 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
14 lflnegcl.f . . . . . 6 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
152, 12, 13, 14lflcl 38576 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
168, 10, 11, 15syl3anc 1368 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
17 lflnegcl.i . . . . 5 𝐼 = (invgβ€˜π‘…)
1812, 17grpinvcl 18958 . . . 4 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
197, 16, 18syl2anc 582 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
20 lflnegcl.n . . 3 𝑁 = (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)))
2119, 20fmptd 7129 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑁:π‘‰βŸΆ(Baseβ€˜π‘…))
22 ringabl 20231 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ Abel)
234, 22syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Abel)
2423adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ 𝑅 ∈ Abel)
254adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
26 simpr1 1191 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘…))
271adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ π‘Š ∈ LMod)
289adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
29 simpr2 1192 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ 𝑦 ∈ 𝑉)
302, 12, 13, 14lflcl 38576 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ (πΊβ€˜π‘¦) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
3127, 28, 29, 30syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ (πΊβ€˜π‘¦) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
32 eqid 2728 . . . . . . . 8 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
3312, 32ringcl 20204 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ (πΊβ€˜π‘¦) ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (π‘˜(.rβ€˜π‘…)(πΊβ€˜π‘¦)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
3425, 26, 31, 33syl3anc 1368 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ (π‘˜(.rβ€˜π‘…)(πΊβ€˜π‘¦)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
35 simpr3 1193 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ 𝑧 ∈ 𝑉)
362, 12, 13, 14lflcl 38576 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
3727, 28, 35, 36syl3anc 1368 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
38 eqid 2728 . . . . . . 7 (+gβ€˜π‘…) = (+gβ€˜π‘…)
3912, 38, 17ablinvadd 19776 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Abel ∧ (π‘˜(.rβ€˜π‘…)(πΊβ€˜π‘¦)) ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ (πΊβ€˜π‘§) ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (πΌβ€˜((π‘˜(.rβ€˜π‘…)(πΊβ€˜π‘¦))(+gβ€˜π‘…)(πΊβ€˜π‘§))) = ((πΌβ€˜(π‘˜(.rβ€˜π‘…)(πΊβ€˜π‘¦)))(+gβ€˜π‘…)(πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘§))))
4024, 34, 37, 39syl3anc 1368 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ (πΌβ€˜((π‘˜(.rβ€˜π‘…)(πΊβ€˜π‘¦))(+gβ€˜π‘…)(πΊβ€˜π‘§))) = ((πΌβ€˜(π‘˜(.rβ€˜π‘…)(πΊβ€˜π‘¦)))(+gβ€˜π‘…)(πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘§))))
41 eqid 2728 . . . . . . . 8 (+gβ€˜π‘Š) = (+gβ€˜π‘Š)
42 eqid 2728 . . . . . . . 8 ( ·𝑠 β€˜π‘Š) = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
4313, 41, 2, 42, 12, 38, 32, 14lfli 38573 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ (πΊβ€˜((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦)(+gβ€˜π‘Š)𝑧)) = ((π‘˜(.rβ€˜π‘…)(πΊβ€˜π‘¦))(+gβ€˜π‘…)(πΊβ€˜π‘§)))
4427, 28, 26, 29, 35, 43syl113anc 1379 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ (πΊβ€˜((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦)(+gβ€˜π‘Š)𝑧)) = ((π‘˜(.rβ€˜π‘…)(πΊβ€˜π‘¦))(+gβ€˜π‘…)(πΊβ€˜π‘§)))
4544fveq2d 6906 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ (πΌβ€˜(πΊβ€˜((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦)(+gβ€˜π‘Š)𝑧))) = (πΌβ€˜((π‘˜(.rβ€˜π‘…)(πΊβ€˜π‘¦))(+gβ€˜π‘…)(πΊβ€˜π‘§))))
4612, 32, 17, 25, 26, 31ringmneg2 20255 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ (π‘˜(.rβ€˜π‘…)(πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘¦))) = (πΌβ€˜(π‘˜(.rβ€˜π‘…)(πΊβ€˜π‘¦))))
4746oveq1d 7441 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ ((π‘˜(.rβ€˜π‘…)(πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘¦)))(+gβ€˜π‘…)(πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘§))) = ((πΌβ€˜(π‘˜(.rβ€˜π‘…)(πΊβ€˜π‘¦)))(+gβ€˜π‘…)(πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘§))))
4840, 45, 473eqtr4d 2778 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ (πΌβ€˜(πΊβ€˜((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦)(+gβ€˜π‘Š)𝑧))) = ((π‘˜(.rβ€˜π‘…)(πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘¦)))(+gβ€˜π‘…)(πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘§))))
4913, 2, 42, 12lmodvscl 20775 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦) ∈ 𝑉)
5027, 26, 29, 49syl3anc 1368 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦) ∈ 𝑉)
5113, 41lmodvacl 20772 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦) ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦)(+gβ€˜π‘Š)𝑧) ∈ 𝑉)
5227, 50, 35, 51syl3anc 1368 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦)(+gβ€˜π‘Š)𝑧) ∈ 𝑉)
53 2fveq3 6907 . . . . . 6 (π‘₯ = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦)(+gβ€˜π‘Š)𝑧) β†’ (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)) = (πΌβ€˜(πΊβ€˜((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦)(+gβ€˜π‘Š)𝑧))))
54 fvex 6915 . . . . . 6 (πΌβ€˜(πΊβ€˜((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦)(+gβ€˜π‘Š)𝑧))) ∈ V
5553, 20, 54fvmpt 7010 . . . . 5 (((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦)(+gβ€˜π‘Š)𝑧) ∈ 𝑉 β†’ (π‘β€˜((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦)(+gβ€˜π‘Š)𝑧)) = (πΌβ€˜(πΊβ€˜((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦)(+gβ€˜π‘Š)𝑧))))
5652, 55syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ (π‘β€˜((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦)(+gβ€˜π‘Š)𝑧)) = (πΌβ€˜(πΊβ€˜((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦)(+gβ€˜π‘Š)𝑧))))
57 2fveq3 6907 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)) = (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘¦)))
58 fvex 6915 . . . . . . . 8 (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘¦)) ∈ V
5957, 20, 58fvmpt 7010 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ 𝑉 β†’ (π‘β€˜π‘¦) = (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘¦)))
6029, 59syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ (π‘β€˜π‘¦) = (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘¦)))
6160oveq2d 7442 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ (π‘˜(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜π‘¦)) = (π‘˜(.rβ€˜π‘…)(πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘¦))))
62 2fveq3 6907 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)) = (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘§)))
63 fvex 6915 . . . . . . 7 (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) ∈ V
6462, 20, 63fvmpt 7010 . . . . . 6 (𝑧 ∈ 𝑉 β†’ (π‘β€˜π‘§) = (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘§)))
6535, 64syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ (π‘β€˜π‘§) = (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘§)))
6661, 65oveq12d 7444 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ ((π‘˜(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜π‘¦))(+gβ€˜π‘…)(π‘β€˜π‘§)) = ((π‘˜(.rβ€˜π‘…)(πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘¦)))(+gβ€˜π‘…)(πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘§))))
6748, 56, 663eqtr4d 2778 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ (π‘β€˜((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦)(+gβ€˜π‘Š)𝑧)) = ((π‘˜(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜π‘¦))(+gβ€˜π‘…)(π‘β€˜π‘§)))
6867ralrimivvva 3201 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘…)βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 (π‘β€˜((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦)(+gβ€˜π‘Š)𝑧)) = ((π‘˜(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜π‘¦))(+gβ€˜π‘…)(π‘β€˜π‘§)))
6913, 41, 2, 42, 12, 38, 32, 14islfl 38572 . . 3 (π‘Š ∈ LMod β†’ (𝑁 ∈ 𝐹 ↔ (𝑁:π‘‰βŸΆ(Baseβ€˜π‘…) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘…)βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 (π‘β€˜((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦)(+gβ€˜π‘Š)𝑧)) = ((π‘˜(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜π‘¦))(+gβ€˜π‘…)(π‘β€˜π‘§)))))
701, 69syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑁 ∈ 𝐹 ↔ (𝑁:π‘‰βŸΆ(Baseβ€˜π‘…) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘…)βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 (π‘β€˜((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦)(+gβ€˜π‘Š)𝑧)) = ((π‘˜(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜π‘¦))(+gβ€˜π‘…)(π‘β€˜π‘§)))))
7121, 68, 70mpbir2and 711 1 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ 𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3058   ↦ cmpt 5235  βŸΆwf 6549  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  Basecbs 17189  +gcplusg 17242  .rcmulr 17243  Scalarcsca 17245   ·𝑠 cvsca 17246  Grpcgrp 18904  invgcminusg 18905  Abelcabl 19750  Ringcrg 20187  LModclmod 20757  LFnlclfn 38569
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-er 8733  df-map 8855  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-nn 12253  df-2 12315  df-sets 17142  df-slot 17160  df-ndx 17172  df-base 17190  df-plusg 17255  df-0g 17432  df-mgm 18609  df-sgrp 18688  df-mnd 18704  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-cmn 19751  df-abl 19752  df-mgp 20089  df-rng 20107  df-ur 20136  df-ring 20189  df-lmod 20759  df-lfl 38570
This theorem is referenced by:  ldualgrplem  38657
  Copyright terms: Public domain W3C validator