Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lflnegcl Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lflnegcl 37933
Description: Closure of the negative of a functional. (This is specialized for the purpose of proving ldualgrp 38004, and we do not define a general operation here.) (Contributed by NM, 22-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lflnegcl.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lflnegcl.r 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘Š)
lflnegcl.i 𝐼 = (invgβ€˜π‘…)
lflnegcl.n 𝑁 = (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)))
lflnegcl.f 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
lflnegcl.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
lflnegcl.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
Assertion
Ref Expression
lflnegcl (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ 𝐹)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐺   π‘₯,𝐼   π‘₯,𝑅   π‘₯,𝑉   π‘₯,π‘Š   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐹(π‘₯)   𝑁(π‘₯)
Proof of Theorem lflnegcl
Dummy variables 𝑦 π‘˜ 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lflnegcl.w . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
2 lflnegcl.r . . . . . . . 8 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘Š)
32lmodring 20471 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝑅 ∈ Ring)
41, 3syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
5 ringgrp 20054 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ Grp)
64, 5syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Grp)
76adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ 𝑅 ∈ Grp)
81adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ π‘Š ∈ LMod)
9 lflnegcl.g . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
109adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
11 simpr 485 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ π‘₯ ∈ 𝑉)
12 eqid 2732 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
13 lflnegcl.v . . . . . 6 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
14 lflnegcl.f . . . . . 6 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
152, 12, 13, 14lflcl 37922 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
168, 10, 11, 15syl3anc 1371 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
17 lflnegcl.i . . . . 5 𝐼 = (invgβ€˜π‘…)
1812, 17grpinvcl 18868 . . . 4 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
197, 16, 18syl2anc 584 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
20 lflnegcl.n . . 3 𝑁 = (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)))
2119, 20fmptd 7110 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑁:π‘‰βŸΆ(Baseβ€˜π‘…))
22 ringabl 20091 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ Abel)
234, 22syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Abel)
2423adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ 𝑅 ∈ Abel)
254adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
26 simpr1 1194 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘…))
271adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ π‘Š ∈ LMod)
289adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
29 simpr2 1195 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ 𝑦 ∈ 𝑉)
302, 12, 13, 14lflcl 37922 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ (πΊβ€˜π‘¦) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
3127, 28, 29, 30syl3anc 1371 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ (πΊβ€˜π‘¦) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
32 eqid 2732 . . . . . . . 8 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
3312, 32ringcl 20066 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ (πΊβ€˜π‘¦) ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (π‘˜(.rβ€˜π‘…)(πΊβ€˜π‘¦)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
3425, 26, 31, 33syl3anc 1371 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ (π‘˜(.rβ€˜π‘…)(πΊβ€˜π‘¦)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
35 simpr3 1196 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ 𝑧 ∈ 𝑉)
362, 12, 13, 14lflcl 37922 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
3727, 28, 35, 36syl3anc 1371 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
38 eqid 2732 . . . . . . 7 (+gβ€˜π‘…) = (+gβ€˜π‘…)
3912, 38, 17ablinvadd 19669 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Abel ∧ (π‘˜(.rβ€˜π‘…)(πΊβ€˜π‘¦)) ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ (πΊβ€˜π‘§) ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (πΌβ€˜((π‘˜(.rβ€˜π‘…)(πΊβ€˜π‘¦))(+gβ€˜π‘…)(πΊβ€˜π‘§))) = ((πΌβ€˜(π‘˜(.rβ€˜π‘…)(πΊβ€˜π‘¦)))(+gβ€˜π‘…)(πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘§))))
4024, 34, 37, 39syl3anc 1371 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ (πΌβ€˜((π‘˜(.rβ€˜π‘…)(πΊβ€˜π‘¦))(+gβ€˜π‘…)(πΊβ€˜π‘§))) = ((πΌβ€˜(π‘˜(.rβ€˜π‘…)(πΊβ€˜π‘¦)))(+gβ€˜π‘…)(πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘§))))
41 eqid 2732 . . . . . . . 8 (+gβ€˜π‘Š) = (+gβ€˜π‘Š)
42 eqid 2732 . . . . . . . 8 ( ·𝑠 β€˜π‘Š) = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
4313, 41, 2, 42, 12, 38, 32, 14lfli 37919 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ (πΊβ€˜((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦)(+gβ€˜π‘Š)𝑧)) = ((π‘˜(.rβ€˜π‘…)(πΊβ€˜π‘¦))(+gβ€˜π‘…)(πΊβ€˜π‘§)))
4427, 28, 26, 29, 35, 43syl113anc 1382 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ (πΊβ€˜((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦)(+gβ€˜π‘Š)𝑧)) = ((π‘˜(.rβ€˜π‘…)(πΊβ€˜π‘¦))(+gβ€˜π‘…)(πΊβ€˜π‘§)))
4544fveq2d 6892 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ (πΌβ€˜(πΊβ€˜((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦)(+gβ€˜π‘Š)𝑧))) = (πΌβ€˜((π‘˜(.rβ€˜π‘…)(πΊβ€˜π‘¦))(+gβ€˜π‘…)(πΊβ€˜π‘§))))
4612, 32, 17, 25, 26, 31ringmneg2 20110 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ (π‘˜(.rβ€˜π‘…)(πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘¦))) = (πΌβ€˜(π‘˜(.rβ€˜π‘…)(πΊβ€˜π‘¦))))
4746oveq1d 7420 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ ((π‘˜(.rβ€˜π‘…)(πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘¦)))(+gβ€˜π‘…)(πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘§))) = ((πΌβ€˜(π‘˜(.rβ€˜π‘…)(πΊβ€˜π‘¦)))(+gβ€˜π‘…)(πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘§))))
4840, 45, 473eqtr4d 2782 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ (πΌβ€˜(πΊβ€˜((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦)(+gβ€˜π‘Š)𝑧))) = ((π‘˜(.rβ€˜π‘…)(πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘¦)))(+gβ€˜π‘…)(πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘§))))
4913, 2, 42, 12lmodvscl 20481 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦) ∈ 𝑉)
5027, 26, 29, 49syl3anc 1371 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦) ∈ 𝑉)
5113, 41lmodvacl 20478 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦) ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦)(+gβ€˜π‘Š)𝑧) ∈ 𝑉)
5227, 50, 35, 51syl3anc 1371 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦)(+gβ€˜π‘Š)𝑧) ∈ 𝑉)
53 2fveq3 6893 . . . . . 6 (π‘₯ = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦)(+gβ€˜π‘Š)𝑧) β†’ (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)) = (πΌβ€˜(πΊβ€˜((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦)(+gβ€˜π‘Š)𝑧))))
54 fvex 6901 . . . . . 6 (πΌβ€˜(πΊβ€˜((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦)(+gβ€˜π‘Š)𝑧))) ∈ V
5553, 20, 54fvmpt 6995 . . . . 5 (((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦)(+gβ€˜π‘Š)𝑧) ∈ 𝑉 β†’ (π‘β€˜((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦)(+gβ€˜π‘Š)𝑧)) = (πΌβ€˜(πΊβ€˜((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦)(+gβ€˜π‘Š)𝑧))))
5652, 55syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ (π‘β€˜((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦)(+gβ€˜π‘Š)𝑧)) = (πΌβ€˜(πΊβ€˜((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦)(+gβ€˜π‘Š)𝑧))))
57 2fveq3 6893 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)) = (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘¦)))
58 fvex 6901 . . . . . . . 8 (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘¦)) ∈ V
5957, 20, 58fvmpt 6995 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ 𝑉 β†’ (π‘β€˜π‘¦) = (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘¦)))
6029, 59syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ (π‘β€˜π‘¦) = (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘¦)))
6160oveq2d 7421 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ (π‘˜(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜π‘¦)) = (π‘˜(.rβ€˜π‘…)(πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘¦))))
62 2fveq3 6893 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)) = (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘§)))
63 fvex 6901 . . . . . . 7 (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) ∈ V
6462, 20, 63fvmpt 6995 . . . . . 6 (𝑧 ∈ 𝑉 β†’ (π‘β€˜π‘§) = (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘§)))
6535, 64syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ (π‘β€˜π‘§) = (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘§)))
6661, 65oveq12d 7423 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ ((π‘˜(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜π‘¦))(+gβ€˜π‘…)(π‘β€˜π‘§)) = ((π‘˜(.rβ€˜π‘…)(πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘¦)))(+gβ€˜π‘…)(πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘§))))
6748, 56, 663eqtr4d 2782 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ (π‘β€˜((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦)(+gβ€˜π‘Š)𝑧)) = ((π‘˜(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜π‘¦))(+gβ€˜π‘…)(π‘β€˜π‘§)))
6867ralrimivvva 3203 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘…)βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 (π‘β€˜((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦)(+gβ€˜π‘Š)𝑧)) = ((π‘˜(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜π‘¦))(+gβ€˜π‘…)(π‘β€˜π‘§)))
6913, 41, 2, 42, 12, 38, 32, 14islfl 37918 . . 3 (π‘Š ∈ LMod β†’ (𝑁 ∈ 𝐹 ↔ (𝑁:π‘‰βŸΆ(Baseβ€˜π‘…) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘…)βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 (π‘β€˜((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦)(+gβ€˜π‘Š)𝑧)) = ((π‘˜(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜π‘¦))(+gβ€˜π‘…)(π‘β€˜π‘§)))))
701, 69syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑁 ∈ 𝐹 ↔ (𝑁:π‘‰βŸΆ(Baseβ€˜π‘…) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘…)βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 (π‘β€˜((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦)(+gβ€˜π‘Š)𝑧)) = ((π‘˜(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜π‘¦))(+gβ€˜π‘…)(π‘β€˜π‘§)))))
7121, 68, 70mpbir2and 711 1 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ 𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061   ↦ cmpt 5230  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140  +gcplusg 17193  .rcmulr 17194  Scalarcsca 17196   ·𝑠 cvsca 17197  Grpcgrp 18815  invgcminusg 18816  Abelcabl 19643  Ringcrg 20049  LModclmod 20463  LFnlclfn 37915
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-plusg 17206  df-0g 17383  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-lmod 20465  df-lfl 37916
This theorem is referenced by:  ldualgrplem  38003
  Copyright terms: Public domain W3C validator