Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lflnegcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lflnegcl 37583
Description: Closure of the negative of a functional. (This is specialized for the purpose of proving ldualgrp 37654, and we do not define a general operation here.) (Contributed by NM, 22-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lflnegcl.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lflnegcl.r 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘Š)
lflnegcl.i 𝐼 = (invgβ€˜π‘…)
lflnegcl.n 𝑁 = (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)))
lflnegcl.f 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
lflnegcl.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
lflnegcl.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
Assertion
Ref Expression
lflnegcl (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ 𝐹)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐺   π‘₯,𝐼   π‘₯,𝑅   π‘₯,𝑉   π‘₯,π‘Š   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐹(π‘₯)   𝑁(π‘₯)

Proof of Theorem lflnegcl
Dummy variables 𝑦 π‘˜ 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lflnegcl.w . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
2 lflnegcl.r . . . . . . . 8 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘Š)
32lmodring 20344 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝑅 ∈ Ring)
41, 3syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
5 ringgrp 19974 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ Grp)
64, 5syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Grp)
76adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ 𝑅 ∈ Grp)
81adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ π‘Š ∈ LMod)
9 lflnegcl.g . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
109adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
11 simpr 486 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ π‘₯ ∈ 𝑉)
12 eqid 2733 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
13 lflnegcl.v . . . . . 6 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
14 lflnegcl.f . . . . . 6 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
152, 12, 13, 14lflcl 37572 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
168, 10, 11, 15syl3anc 1372 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
17 lflnegcl.i . . . . 5 𝐼 = (invgβ€˜π‘…)
1812, 17grpinvcl 18803 . . . 4 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
197, 16, 18syl2anc 585 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
20 lflnegcl.n . . 3 𝑁 = (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)))
2119, 20fmptd 7063 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑁:π‘‰βŸΆ(Baseβ€˜π‘…))
22 ringabl 20007 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ Abel)
234, 22syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Abel)
2423adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ 𝑅 ∈ Abel)
254adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
26 simpr1 1195 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘…))
271adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ π‘Š ∈ LMod)
289adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
29 simpr2 1196 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ 𝑦 ∈ 𝑉)
302, 12, 13, 14lflcl 37572 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ (πΊβ€˜π‘¦) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
3127, 28, 29, 30syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ (πΊβ€˜π‘¦) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
32 eqid 2733 . . . . . . . 8 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
3312, 32ringcl 19986 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ (πΊβ€˜π‘¦) ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (π‘˜(.rβ€˜π‘…)(πΊβ€˜π‘¦)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
3425, 26, 31, 33syl3anc 1372 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ (π‘˜(.rβ€˜π‘…)(πΊβ€˜π‘¦)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
35 simpr3 1197 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ 𝑧 ∈ 𝑉)
362, 12, 13, 14lflcl 37572 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
3727, 28, 35, 36syl3anc 1372 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
38 eqid 2733 . . . . . . 7 (+gβ€˜π‘…) = (+gβ€˜π‘…)
3912, 38, 17ablinvadd 19593 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Abel ∧ (π‘˜(.rβ€˜π‘…)(πΊβ€˜π‘¦)) ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ (πΊβ€˜π‘§) ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (πΌβ€˜((π‘˜(.rβ€˜π‘…)(πΊβ€˜π‘¦))(+gβ€˜π‘…)(πΊβ€˜π‘§))) = ((πΌβ€˜(π‘˜(.rβ€˜π‘…)(πΊβ€˜π‘¦)))(+gβ€˜π‘…)(πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘§))))
4024, 34, 37, 39syl3anc 1372 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ (πΌβ€˜((π‘˜(.rβ€˜π‘…)(πΊβ€˜π‘¦))(+gβ€˜π‘…)(πΊβ€˜π‘§))) = ((πΌβ€˜(π‘˜(.rβ€˜π‘…)(πΊβ€˜π‘¦)))(+gβ€˜π‘…)(πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘§))))
41 eqid 2733 . . . . . . . 8 (+gβ€˜π‘Š) = (+gβ€˜π‘Š)
42 eqid 2733 . . . . . . . 8 ( ·𝑠 β€˜π‘Š) = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
4313, 41, 2, 42, 12, 38, 32, 14lfli 37569 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ (πΊβ€˜((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦)(+gβ€˜π‘Š)𝑧)) = ((π‘˜(.rβ€˜π‘…)(πΊβ€˜π‘¦))(+gβ€˜π‘…)(πΊβ€˜π‘§)))
4427, 28, 26, 29, 35, 43syl113anc 1383 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ (πΊβ€˜((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦)(+gβ€˜π‘Š)𝑧)) = ((π‘˜(.rβ€˜π‘…)(πΊβ€˜π‘¦))(+gβ€˜π‘…)(πΊβ€˜π‘§)))
4544fveq2d 6847 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ (πΌβ€˜(πΊβ€˜((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦)(+gβ€˜π‘Š)𝑧))) = (πΌβ€˜((π‘˜(.rβ€˜π‘…)(πΊβ€˜π‘¦))(+gβ€˜π‘…)(πΊβ€˜π‘§))))
4612, 32, 17, 25, 26, 31ringmneg2 20026 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ (π‘˜(.rβ€˜π‘…)(πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘¦))) = (πΌβ€˜(π‘˜(.rβ€˜π‘…)(πΊβ€˜π‘¦))))
4746oveq1d 7373 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ ((π‘˜(.rβ€˜π‘…)(πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘¦)))(+gβ€˜π‘…)(πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘§))) = ((πΌβ€˜(π‘˜(.rβ€˜π‘…)(πΊβ€˜π‘¦)))(+gβ€˜π‘…)(πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘§))))
4840, 45, 473eqtr4d 2783 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ (πΌβ€˜(πΊβ€˜((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦)(+gβ€˜π‘Š)𝑧))) = ((π‘˜(.rβ€˜π‘…)(πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘¦)))(+gβ€˜π‘…)(πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘§))))
4913, 2, 42, 12lmodvscl 20354 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦) ∈ 𝑉)
5027, 26, 29, 49syl3anc 1372 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦) ∈ 𝑉)
5113, 41lmodvacl 20351 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦) ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦)(+gβ€˜π‘Š)𝑧) ∈ 𝑉)
5227, 50, 35, 51syl3anc 1372 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦)(+gβ€˜π‘Š)𝑧) ∈ 𝑉)
53 2fveq3 6848 . . . . . 6 (π‘₯ = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦)(+gβ€˜π‘Š)𝑧) β†’ (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)) = (πΌβ€˜(πΊβ€˜((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦)(+gβ€˜π‘Š)𝑧))))
54 fvex 6856 . . . . . 6 (πΌβ€˜(πΊβ€˜((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦)(+gβ€˜π‘Š)𝑧))) ∈ V
5553, 20, 54fvmpt 6949 . . . . 5 (((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦)(+gβ€˜π‘Š)𝑧) ∈ 𝑉 β†’ (π‘β€˜((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦)(+gβ€˜π‘Š)𝑧)) = (πΌβ€˜(πΊβ€˜((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦)(+gβ€˜π‘Š)𝑧))))
5652, 55syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ (π‘β€˜((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦)(+gβ€˜π‘Š)𝑧)) = (πΌβ€˜(πΊβ€˜((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦)(+gβ€˜π‘Š)𝑧))))
57 2fveq3 6848 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)) = (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘¦)))
58 fvex 6856 . . . . . . . 8 (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘¦)) ∈ V
5957, 20, 58fvmpt 6949 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ 𝑉 β†’ (π‘β€˜π‘¦) = (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘¦)))
6029, 59syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ (π‘β€˜π‘¦) = (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘¦)))
6160oveq2d 7374 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ (π‘˜(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜π‘¦)) = (π‘˜(.rβ€˜π‘…)(πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘¦))))
62 2fveq3 6848 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)) = (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘§)))
63 fvex 6856 . . . . . . 7 (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) ∈ V
6462, 20, 63fvmpt 6949 . . . . . 6 (𝑧 ∈ 𝑉 β†’ (π‘β€˜π‘§) = (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘§)))
6535, 64syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ (π‘β€˜π‘§) = (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘§)))
6661, 65oveq12d 7376 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ ((π‘˜(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜π‘¦))(+gβ€˜π‘…)(π‘β€˜π‘§)) = ((π‘˜(.rβ€˜π‘…)(πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘¦)))(+gβ€˜π‘…)(πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘§))))
6748, 56, 663eqtr4d 2783 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ (π‘β€˜((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦)(+gβ€˜π‘Š)𝑧)) = ((π‘˜(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜π‘¦))(+gβ€˜π‘…)(π‘β€˜π‘§)))
6867ralrimivvva 3197 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘…)βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 (π‘β€˜((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦)(+gβ€˜π‘Š)𝑧)) = ((π‘˜(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜π‘¦))(+gβ€˜π‘…)(π‘β€˜π‘§)))
6913, 41, 2, 42, 12, 38, 32, 14islfl 37568 . . 3 (π‘Š ∈ LMod β†’ (𝑁 ∈ 𝐹 ↔ (𝑁:π‘‰βŸΆ(Baseβ€˜π‘…) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘…)βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 (π‘β€˜((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦)(+gβ€˜π‘Š)𝑧)) = ((π‘˜(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜π‘¦))(+gβ€˜π‘…)(π‘β€˜π‘§)))))
701, 69syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑁 ∈ 𝐹 ↔ (𝑁:π‘‰βŸΆ(Baseβ€˜π‘…) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘…)βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 (π‘β€˜((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦)(+gβ€˜π‘Š)𝑧)) = ((π‘˜(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜π‘¦))(+gβ€˜π‘…)(π‘β€˜π‘§)))))
7121, 68, 70mpbir2and 712 1 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ 𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061   ↦ cmpt 5189  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17088  +gcplusg 17138  .rcmulr 17139  Scalarcsca 17141   ·𝑠 cvsca 17142  Grpcgrp 18753  invgcminusg 18754  Abelcabl 19568  Ringcrg 19969  LModclmod 20336  LFnlclfn 37565
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-map 8770  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-plusg 17151  df-0g 17328  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-grp 18756  df-minusg 18757  df-cmn 19569  df-abl 19570  df-mgp 19902  df-ur 19919  df-ring 19971  df-lmod 20338  df-lfl 37566
This theorem is referenced by:  ldualgrplem  37653
  Copyright terms: Public domain W3C validator