Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lflnegcl Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lflnegcl 38458
Description: Closure of the negative of a functional. (This is specialized for the purpose of proving ldualgrp 38529, and we do not define a general operation here.) (Contributed by NM, 22-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lflnegcl.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lflnegcl.r 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘Š)
lflnegcl.i 𝐼 = (invgβ€˜π‘…)
lflnegcl.n 𝑁 = (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)))
lflnegcl.f 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
lflnegcl.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
lflnegcl.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
Assertion
Ref Expression
lflnegcl (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ 𝐹)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐺   π‘₯,𝐼   π‘₯,𝑅   π‘₯,𝑉   π‘₯,π‘Š   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐹(π‘₯)   𝑁(π‘₯)
Proof of Theorem lflnegcl
Dummy variables 𝑦 π‘˜ 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lflnegcl.w . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
2 lflnegcl.r . . . . . . . 8 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘Š)
32lmodring 20714 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝑅 ∈ Ring)
41, 3syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
5 ringgrp 20143 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ Grp)
64, 5syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Grp)
76adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ 𝑅 ∈ Grp)
81adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ π‘Š ∈ LMod)
9 lflnegcl.g . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
109adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
11 simpr 484 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ π‘₯ ∈ 𝑉)
12 eqid 2726 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
13 lflnegcl.v . . . . . 6 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
14 lflnegcl.f . . . . . 6 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
152, 12, 13, 14lflcl 38447 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
168, 10, 11, 15syl3anc 1368 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
17 lflnegcl.i . . . . 5 𝐼 = (invgβ€˜π‘…)
1812, 17grpinvcl 18917 . . . 4 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
197, 16, 18syl2anc 583 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
20 lflnegcl.n . . 3 𝑁 = (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)))
2119, 20fmptd 7109 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑁:π‘‰βŸΆ(Baseβ€˜π‘…))
22 ringabl 20180 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ Abel)
234, 22syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Abel)
2423adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ 𝑅 ∈ Abel)
254adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
26 simpr1 1191 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘…))
271adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ π‘Š ∈ LMod)
289adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
29 simpr2 1192 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ 𝑦 ∈ 𝑉)
302, 12, 13, 14lflcl 38447 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ (πΊβ€˜π‘¦) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
3127, 28, 29, 30syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ (πΊβ€˜π‘¦) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
32 eqid 2726 . . . . . . . 8 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
3312, 32ringcl 20155 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ (πΊβ€˜π‘¦) ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (π‘˜(.rβ€˜π‘…)(πΊβ€˜π‘¦)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
3425, 26, 31, 33syl3anc 1368 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ (π‘˜(.rβ€˜π‘…)(πΊβ€˜π‘¦)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
35 simpr3 1193 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ 𝑧 ∈ 𝑉)
362, 12, 13, 14lflcl 38447 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
3727, 28, 35, 36syl3anc 1368 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
38 eqid 2726 . . . . . . 7 (+gβ€˜π‘…) = (+gβ€˜π‘…)
3912, 38, 17ablinvadd 19727 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Abel ∧ (π‘˜(.rβ€˜π‘…)(πΊβ€˜π‘¦)) ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ (πΊβ€˜π‘§) ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (πΌβ€˜((π‘˜(.rβ€˜π‘…)(πΊβ€˜π‘¦))(+gβ€˜π‘…)(πΊβ€˜π‘§))) = ((πΌβ€˜(π‘˜(.rβ€˜π‘…)(πΊβ€˜π‘¦)))(+gβ€˜π‘…)(πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘§))))
4024, 34, 37, 39syl3anc 1368 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ (πΌβ€˜((π‘˜(.rβ€˜π‘…)(πΊβ€˜π‘¦))(+gβ€˜π‘…)(πΊβ€˜π‘§))) = ((πΌβ€˜(π‘˜(.rβ€˜π‘…)(πΊβ€˜π‘¦)))(+gβ€˜π‘…)(πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘§))))
41 eqid 2726 . . . . . . . 8 (+gβ€˜π‘Š) = (+gβ€˜π‘Š)
42 eqid 2726 . . . . . . . 8 ( ·𝑠 β€˜π‘Š) = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
4313, 41, 2, 42, 12, 38, 32, 14lfli 38444 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ (πΊβ€˜((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦)(+gβ€˜π‘Š)𝑧)) = ((π‘˜(.rβ€˜π‘…)(πΊβ€˜π‘¦))(+gβ€˜π‘…)(πΊβ€˜π‘§)))
4427, 28, 26, 29, 35, 43syl113anc 1379 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ (πΊβ€˜((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦)(+gβ€˜π‘Š)𝑧)) = ((π‘˜(.rβ€˜π‘…)(πΊβ€˜π‘¦))(+gβ€˜π‘…)(πΊβ€˜π‘§)))
4544fveq2d 6889 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ (πΌβ€˜(πΊβ€˜((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦)(+gβ€˜π‘Š)𝑧))) = (πΌβ€˜((π‘˜(.rβ€˜π‘…)(πΊβ€˜π‘¦))(+gβ€˜π‘…)(πΊβ€˜π‘§))))
4612, 32, 17, 25, 26, 31ringmneg2 20204 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ (π‘˜(.rβ€˜π‘…)(πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘¦))) = (πΌβ€˜(π‘˜(.rβ€˜π‘…)(πΊβ€˜π‘¦))))
4746oveq1d 7420 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ ((π‘˜(.rβ€˜π‘…)(πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘¦)))(+gβ€˜π‘…)(πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘§))) = ((πΌβ€˜(π‘˜(.rβ€˜π‘…)(πΊβ€˜π‘¦)))(+gβ€˜π‘…)(πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘§))))
4840, 45, 473eqtr4d 2776 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ (πΌβ€˜(πΊβ€˜((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦)(+gβ€˜π‘Š)𝑧))) = ((π‘˜(.rβ€˜π‘…)(πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘¦)))(+gβ€˜π‘…)(πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘§))))
4913, 2, 42, 12lmodvscl 20724 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦) ∈ 𝑉)
5027, 26, 29, 49syl3anc 1368 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦) ∈ 𝑉)
5113, 41lmodvacl 20721 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦) ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦)(+gβ€˜π‘Š)𝑧) ∈ 𝑉)
5227, 50, 35, 51syl3anc 1368 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦)(+gβ€˜π‘Š)𝑧) ∈ 𝑉)
53 2fveq3 6890 . . . . . 6 (π‘₯ = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦)(+gβ€˜π‘Š)𝑧) β†’ (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)) = (πΌβ€˜(πΊβ€˜((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦)(+gβ€˜π‘Š)𝑧))))
54 fvex 6898 . . . . . 6 (πΌβ€˜(πΊβ€˜((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦)(+gβ€˜π‘Š)𝑧))) ∈ V
5553, 20, 54fvmpt 6992 . . . . 5 (((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦)(+gβ€˜π‘Š)𝑧) ∈ 𝑉 β†’ (π‘β€˜((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦)(+gβ€˜π‘Š)𝑧)) = (πΌβ€˜(πΊβ€˜((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦)(+gβ€˜π‘Š)𝑧))))
5652, 55syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ (π‘β€˜((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦)(+gβ€˜π‘Š)𝑧)) = (πΌβ€˜(πΊβ€˜((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦)(+gβ€˜π‘Š)𝑧))))
57 2fveq3 6890 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)) = (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘¦)))
58 fvex 6898 . . . . . . . 8 (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘¦)) ∈ V
5957, 20, 58fvmpt 6992 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ 𝑉 β†’ (π‘β€˜π‘¦) = (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘¦)))
6029, 59syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ (π‘β€˜π‘¦) = (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘¦)))
6160oveq2d 7421 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ (π‘˜(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜π‘¦)) = (π‘˜(.rβ€˜π‘…)(πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘¦))))
62 2fveq3 6890 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)) = (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘§)))
63 fvex 6898 . . . . . . 7 (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) ∈ V
6462, 20, 63fvmpt 6992 . . . . . 6 (𝑧 ∈ 𝑉 β†’ (π‘β€˜π‘§) = (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘§)))
6535, 64syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ (π‘β€˜π‘§) = (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘§)))
6661, 65oveq12d 7423 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ ((π‘˜(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜π‘¦))(+gβ€˜π‘…)(π‘β€˜π‘§)) = ((π‘˜(.rβ€˜π‘…)(πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘¦)))(+gβ€˜π‘…)(πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘§))))
6748, 56, 663eqtr4d 2776 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ (π‘β€˜((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦)(+gβ€˜π‘Š)𝑧)) = ((π‘˜(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜π‘¦))(+gβ€˜π‘…)(π‘β€˜π‘§)))
6867ralrimivvva 3197 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘…)βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 (π‘β€˜((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦)(+gβ€˜π‘Š)𝑧)) = ((π‘˜(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜π‘¦))(+gβ€˜π‘…)(π‘β€˜π‘§)))
6913, 41, 2, 42, 12, 38, 32, 14islfl 38443 . . 3 (π‘Š ∈ LMod β†’ (𝑁 ∈ 𝐹 ↔ (𝑁:π‘‰βŸΆ(Baseβ€˜π‘…) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘…)βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 (π‘β€˜((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦)(+gβ€˜π‘Š)𝑧)) = ((π‘˜(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜π‘¦))(+gβ€˜π‘…)(π‘β€˜π‘§)))))
701, 69syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑁 ∈ 𝐹 ↔ (𝑁:π‘‰βŸΆ(Baseβ€˜π‘…) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘…)βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 (π‘β€˜((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦)(+gβ€˜π‘Š)𝑧)) = ((π‘˜(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜π‘¦))(+gβ€˜π‘…)(π‘β€˜π‘§)))))
7121, 68, 70mpbir2and 710 1 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ 𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055   ↦ cmpt 5224  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  +gcplusg 17206  .rcmulr 17207  Scalarcsca 17209   ·𝑠 cvsca 17210  Grpcgrp 18863  invgcminusg 18864  Abelcabl 19701  Ringcrg 20138  LModclmod 20706  LFnlclfn 38440
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-plusg 17219  df-0g 17396  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-lmod 20708  df-lfl 38441
This theorem is referenced by:  ldualgrplem  38528
  Copyright terms: Public domain W3C validator