Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lflnegcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lflnegcl 37537
Description: Closure of the negative of a functional. (This is specialized for the purpose of proving ldualgrp 37608, and we do not define a general operation here.) (Contributed by NM, 22-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lflnegcl.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lflnegcl.r 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
lflnegcl.i 𝐼 = (invg𝑅)
lflnegcl.n 𝑁 = (𝑥𝑉 ↦ (𝐼‘(𝐺𝑥)))
lflnegcl.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lflnegcl.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
lflnegcl.g (𝜑𝐺𝐹)
Assertion
Ref Expression
lflnegcl (𝜑𝑁𝐹)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝐼   𝑥,𝑅   𝑥,𝑉   𝑥,𝑊   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem lflnegcl
Dummy variables 𝑦 𝑘 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lflnegcl.w . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
2 lflnegcl.r . . . . . . . 8 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
32lmodring 20330 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
41, 3syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
5 ringgrp 19969 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
64, 5syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
76adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑉) → 𝑅 ∈ Grp)
81adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
9 lflnegcl.g . . . . . 6 (𝜑𝐺𝐹)
109adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑉) → 𝐺𝐹)
11 simpr 485 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑉) → 𝑥𝑉)
12 eqid 2736 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
13 lflnegcl.v . . . . . 6 𝑉 = (Base‘𝑊)
14 lflnegcl.f . . . . . 6 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
152, 12, 13, 14lflcl 37526 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹𝑥𝑉) → (𝐺𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
168, 10, 11, 15syl3anc 1371 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑉) → (𝐺𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
17 lflnegcl.i . . . . 5 𝐼 = (invg𝑅)
1812, 17grpinvcl 18798 . . . 4 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝐺𝑥) ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐼‘(𝐺𝑥)) ∈ (Base‘𝑅))
197, 16, 18syl2anc 584 . . 3 ((𝜑𝑥𝑉) → (𝐼‘(𝐺𝑥)) ∈ (Base‘𝑅))
20 lflnegcl.n . . 3 𝑁 = (𝑥𝑉 ↦ (𝐼‘(𝐺𝑥)))
2119, 20fmptd 7062 . 2 (𝜑𝑁:𝑉⟶(Base‘𝑅))
22 ringabl 20002 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Abel)
234, 22syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ Abel)
2423adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦𝑉𝑧𝑉)) → 𝑅 ∈ Abel)
254adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦𝑉𝑧𝑉)) → 𝑅 ∈ Ring)
26 simpr1 1194 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦𝑉𝑧𝑉)) → 𝑘 ∈ (Base‘𝑅))
271adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦𝑉𝑧𝑉)) → 𝑊 ∈ LMod)
289adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦𝑉𝑧𝑉)) → 𝐺𝐹)
29 simpr2 1195 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦𝑉𝑧𝑉)) → 𝑦𝑉)
302, 12, 13, 14lflcl 37526 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹𝑦𝑉) → (𝐺𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
3127, 28, 29, 30syl3anc 1371 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦𝑉𝑧𝑉)) → (𝐺𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
32 eqid 2736 . . . . . . . 8 (.r𝑅) = (.r𝑅)
3312, 32ringcl 19981 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐺𝑦) ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑘(.r𝑅)(𝐺𝑦)) ∈ (Base‘𝑅))
3425, 26, 31, 33syl3anc 1371 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦𝑉𝑧𝑉)) → (𝑘(.r𝑅)(𝐺𝑦)) ∈ (Base‘𝑅))
35 simpr3 1196 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦𝑉𝑧𝑉)) → 𝑧𝑉)
362, 12, 13, 14lflcl 37526 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹𝑧𝑉) → (𝐺𝑧) ∈ (Base‘𝑅))
3727, 28, 35, 36syl3anc 1371 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦𝑉𝑧𝑉)) → (𝐺𝑧) ∈ (Base‘𝑅))
38 eqid 2736 . . . . . . 7 (+g𝑅) = (+g𝑅)
3912, 38, 17ablinvadd 19588 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Abel ∧ (𝑘(.r𝑅)(𝐺𝑦)) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐺𝑧) ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐼‘((𝑘(.r𝑅)(𝐺𝑦))(+g𝑅)(𝐺𝑧))) = ((𝐼‘(𝑘(.r𝑅)(𝐺𝑦)))(+g𝑅)(𝐼‘(𝐺𝑧))))
4024, 34, 37, 39syl3anc 1371 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦𝑉𝑧𝑉)) → (𝐼‘((𝑘(.r𝑅)(𝐺𝑦))(+g𝑅)(𝐺𝑧))) = ((𝐼‘(𝑘(.r𝑅)(𝐺𝑦)))(+g𝑅)(𝐼‘(𝐺𝑧))))
41 eqid 2736 . . . . . . . 8 (+g𝑊) = (+g𝑊)
42 eqid 2736 . . . . . . . 8 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
4313, 41, 2, 42, 12, 38, 32, 14lfli 37523 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦𝑉𝑧𝑉)) → (𝐺‘((𝑘( ·𝑠𝑊)𝑦)(+g𝑊)𝑧)) = ((𝑘(.r𝑅)(𝐺𝑦))(+g𝑅)(𝐺𝑧)))
4427, 28, 26, 29, 35, 43syl113anc 1382 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦𝑉𝑧𝑉)) → (𝐺‘((𝑘( ·𝑠𝑊)𝑦)(+g𝑊)𝑧)) = ((𝑘(.r𝑅)(𝐺𝑦))(+g𝑅)(𝐺𝑧)))
4544fveq2d 6846 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦𝑉𝑧𝑉)) → (𝐼‘(𝐺‘((𝑘( ·𝑠𝑊)𝑦)(+g𝑊)𝑧))) = (𝐼‘((𝑘(.r𝑅)(𝐺𝑦))(+g𝑅)(𝐺𝑧))))
4612, 32, 17, 25, 26, 31ringmneg2 20021 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦𝑉𝑧𝑉)) → (𝑘(.r𝑅)(𝐼‘(𝐺𝑦))) = (𝐼‘(𝑘(.r𝑅)(𝐺𝑦))))
4746oveq1d 7372 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦𝑉𝑧𝑉)) → ((𝑘(.r𝑅)(𝐼‘(𝐺𝑦)))(+g𝑅)(𝐼‘(𝐺𝑧))) = ((𝐼‘(𝑘(.r𝑅)(𝐺𝑦)))(+g𝑅)(𝐼‘(𝐺𝑧))))
4840, 45, 473eqtr4d 2786 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦𝑉𝑧𝑉)) → (𝐼‘(𝐺‘((𝑘( ·𝑠𝑊)𝑦)(+g𝑊)𝑧))) = ((𝑘(.r𝑅)(𝐼‘(𝐺𝑦)))(+g𝑅)(𝐼‘(𝐺𝑧))))
4913, 2, 42, 12lmodvscl 20339 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦𝑉) → (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ 𝑉)
5027, 26, 29, 49syl3anc 1371 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦𝑉𝑧𝑉)) → (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ 𝑉)
5113, 41lmodvacl 20336 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ 𝑉𝑧𝑉) → ((𝑘( ·𝑠𝑊)𝑦)(+g𝑊)𝑧) ∈ 𝑉)
5227, 50, 35, 51syl3anc 1371 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦𝑉𝑧𝑉)) → ((𝑘( ·𝑠𝑊)𝑦)(+g𝑊)𝑧) ∈ 𝑉)
53 2fveq3 6847 . . . . . 6 (𝑥 = ((𝑘( ·𝑠𝑊)𝑦)(+g𝑊)𝑧) → (𝐼‘(𝐺𝑥)) = (𝐼‘(𝐺‘((𝑘( ·𝑠𝑊)𝑦)(+g𝑊)𝑧))))
54 fvex 6855 . . . . . 6 (𝐼‘(𝐺‘((𝑘( ·𝑠𝑊)𝑦)(+g𝑊)𝑧))) ∈ V
5553, 20, 54fvmpt 6948 . . . . 5 (((𝑘( ·𝑠𝑊)𝑦)(+g𝑊)𝑧) ∈ 𝑉 → (𝑁‘((𝑘( ·𝑠𝑊)𝑦)(+g𝑊)𝑧)) = (𝐼‘(𝐺‘((𝑘( ·𝑠𝑊)𝑦)(+g𝑊)𝑧))))
5652, 55syl 17 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦𝑉𝑧𝑉)) → (𝑁‘((𝑘( ·𝑠𝑊)𝑦)(+g𝑊)𝑧)) = (𝐼‘(𝐺‘((𝑘( ·𝑠𝑊)𝑦)(+g𝑊)𝑧))))
57 2fveq3 6847 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (𝐼‘(𝐺𝑥)) = (𝐼‘(𝐺𝑦)))
58 fvex 6855 . . . . . . . 8 (𝐼‘(𝐺𝑦)) ∈ V
5957, 20, 58fvmpt 6948 . . . . . . 7 (𝑦𝑉 → (𝑁𝑦) = (𝐼‘(𝐺𝑦)))
6029, 59syl 17 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦𝑉𝑧𝑉)) → (𝑁𝑦) = (𝐼‘(𝐺𝑦)))
6160oveq2d 7373 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦𝑉𝑧𝑉)) → (𝑘(.r𝑅)(𝑁𝑦)) = (𝑘(.r𝑅)(𝐼‘(𝐺𝑦))))
62 2fveq3 6847 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑧 → (𝐼‘(𝐺𝑥)) = (𝐼‘(𝐺𝑧)))
63 fvex 6855 . . . . . . 7 (𝐼‘(𝐺𝑧)) ∈ V
6462, 20, 63fvmpt 6948 . . . . . 6 (𝑧𝑉 → (𝑁𝑧) = (𝐼‘(𝐺𝑧)))
6535, 64syl 17 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦𝑉𝑧𝑉)) → (𝑁𝑧) = (𝐼‘(𝐺𝑧)))
6661, 65oveq12d 7375 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦𝑉𝑧𝑉)) → ((𝑘(.r𝑅)(𝑁𝑦))(+g𝑅)(𝑁𝑧)) = ((𝑘(.r𝑅)(𝐼‘(𝐺𝑦)))(+g𝑅)(𝐼‘(𝐺𝑧))))
6748, 56, 663eqtr4d 2786 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦𝑉𝑧𝑉)) → (𝑁‘((𝑘( ·𝑠𝑊)𝑦)(+g𝑊)𝑧)) = ((𝑘(.r𝑅)(𝑁𝑦))(+g𝑅)(𝑁𝑧)))
6867ralrimivvva 3200 . 2 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦𝑉𝑧𝑉 (𝑁‘((𝑘( ·𝑠𝑊)𝑦)(+g𝑊)𝑧)) = ((𝑘(.r𝑅)(𝑁𝑦))(+g𝑅)(𝑁𝑧)))
6913, 41, 2, 42, 12, 38, 32, 14islfl 37522 . . 3 (𝑊 ∈ LMod → (𝑁𝐹 ↔ (𝑁:𝑉⟶(Base‘𝑅) ∧ ∀𝑘 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦𝑉𝑧𝑉 (𝑁‘((𝑘( ·𝑠𝑊)𝑦)(+g𝑊)𝑧)) = ((𝑘(.r𝑅)(𝑁𝑦))(+g𝑅)(𝑁𝑧)))))
701, 69syl 17 . 2 (𝜑 → (𝑁𝐹 ↔ (𝑁:𝑉⟶(Base‘𝑅) ∧ ∀𝑘 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦𝑉𝑧𝑉 (𝑁‘((𝑘( ·𝑠𝑊)𝑦)(+g𝑊)𝑧)) = ((𝑘(.r𝑅)(𝑁𝑦))(+g𝑅)(𝑁𝑧)))))
7121, 68, 70mpbir2and 711 1 (𝜑𝑁𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064  cmpt 5188  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  Basecbs 17083  +gcplusg 17133  .rcmulr 17134  Scalarcsca 17136   ·𝑠 cvsca 17137  Grpcgrp 18748  invgcminusg 18749  Abelcabl 19563  Ringcrg 19964  LModclmod 20322  LFnlclfn 37519
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-plusg 17146  df-0g 17323  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-lmod 20324  df-lfl 37520
This theorem is referenced by:  ldualgrplem  37607
  Copyright terms: Public domain W3C validator