Theorem ablnnncan1 19842

Description: Cancellation law for group subtraction. (nnncan1 11546 analog.) (Contributed by NM, 7-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablnncan.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablnncan.m	⊢ − = (-g‘𝐺)
ablnncan.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
ablnncan.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
ablnncan.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
ablsub32.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ablnnncan1	⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 𝑌) − (𝑋 − 𝑍)) = (𝑍 − 𝑌))

Proof of Theorem ablnnncan1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ablnncan.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		ablnncan.m	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝐺)
3		ablnncan.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
4		ablnncan.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
5		ablnncan.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
6		ablgrp 19804	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
7	3, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
8		ablsub32.z	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
9	1, 2	grpsubcl 19039	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑍) ∈ 𝐵)
10	7, 4, 8, 9	syl3anc 1372	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑍) ∈ 𝐵)
11	1, 2, 3, 4, 5, 10	ablsub32 19840	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 𝑌) − (𝑋 − 𝑍)) = ((𝑋 − (𝑋 − 𝑍)) − 𝑌))
12	1, 2, 3, 4, 8	ablnncan 19839	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − (𝑋 − 𝑍)) = 𝑍)
13	12	oveq1d 7447	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − (𝑋 − 𝑍)) − 𝑌) = (𝑍 − 𝑌))
14	11, 13	eqtrd 2776	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 𝑌) − (𝑋 − 𝑍)) = (𝑍 − 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432  Basecbs 17248  Grpcgrp 18952  -_gcsg 18954  Abelcabl 19800

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-0g 17487  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-grp 18955  df-minusg 18956  df-sbg 18957  df-cmn 19801  df-abl 19802

This theorem is referenced by:  minveclem2  25461  ply1divmo  26176  baerlem3lem2  41713