Theorem baerlem5alem2 42587

Description: Lemma for baerlem5a 42590. (Contributed by NM, 9-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
baerlem3.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
baerlem3.m	⊢ − = (-g‘𝑊)
baerlem3.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
baerlem3.s	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
baerlem3.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
baerlem3.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
baerlem3.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
baerlem3.c	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
baerlem3.d	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
baerlem3.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
baerlem3.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
baerlem3.p	⊢ + = (+g‘𝑊)
baerlem3.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
baerlem3.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
baerlem3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
baerlem3.a	⊢ ⨣ = (+g‘𝑅)
baerlem3.l	⊢ 𝐿 = (-g‘𝑅)
baerlem3.q	⊢ 𝑄 = (0g‘𝑅)
baerlem3.i	⊢ 𝐼 = (invg‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
baerlem5alem2	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + 𝑍))}) = (((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)}) ⊕ (𝑁‘{𝑌}))))

Proof of Theorem baerlem5alem2

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑑 𝑒 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		baerlem3.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		baerlem3.p	. . . . . . 7 ⊢ + = (+g‘𝑊)
3		baerlem3.m	. . . . . . 7 ⊢ − = (-g‘𝑊)
4		baerlem3.w	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
5		lveclmod 21293	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
6	4, 5	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
7		lmodabl 21096	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
8	6, 7	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Abel)
9		baerlem3.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
10		baerlem3.y	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
11	10	eldifad 3911	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
12		baerlem3.z	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
13	12	eldifad 3911	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
14	1, 2, 3, 8, 9, 11, 13	ablsubsub4 19948	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 𝑌) − 𝑍) = (𝑋 − (𝑌 + 𝑍)))
15	14	sneqd 4596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {((𝑋 − 𝑌) − 𝑍)} = {(𝑋 − (𝑌 + 𝑍))})
16	15	fveq2d 6883	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{((𝑋 − 𝑌) − 𝑍)}) = (𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + 𝑍))}))
17	1, 3	lmodvsubcl 21094	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝑉)
18	6, 9, 11, 17	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝑉)
19		baerlem3.s	. . . . . 6 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
20		baerlem3.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
21	1, 3, 19, 20	lspsntrim 21285	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{((𝑋 − 𝑌) − 𝑍)}) ⊆ ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})))
22	6, 18, 13, 21	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{((𝑋 − 𝑌) − 𝑍)}) ⊆ ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})))
23	16, 22	eqsstrrd 3966	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + 𝑍))}) ⊆ ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})))
24	1, 3, 8, 9, 13, 11	ablsub32 19951	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 𝑍) − 𝑌) = ((𝑋 − 𝑌) − 𝑍))
25	24, 14	eqtrd 2795	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 𝑍) − 𝑌) = (𝑋 − (𝑌 + 𝑍)))
26	25	sneqd 4596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {((𝑋 − 𝑍) − 𝑌)} = {(𝑋 − (𝑌 + 𝑍))})
27	26	fveq2d 6883	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{((𝑋 − 𝑍) − 𝑌)}) = (𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + 𝑍))}))
28	1, 3	lmodvsubcl 21094	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑋 − 𝑍) ∈ 𝑉)
29	6, 9, 13, 28	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑍) ∈ 𝑉)
30	1, 3, 19, 20	lspsntrim 21285	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑋 − 𝑍) ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{((𝑋 − 𝑍) − 𝑌)}) ⊆ ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)}) ⊕ (𝑁‘{𝑌})))
31	6, 29, 11, 30	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{((𝑋 − 𝑍) − 𝑌)}) ⊆ ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)}) ⊕ (𝑁‘{𝑌})))
32	27, 31	eqsstrrd 3966	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + 𝑍))}) ⊆ ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)}) ⊕ (𝑁‘{𝑌})))
33	23, 32	ssind 4186	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + 𝑍))}) ⊆ (((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)}) ⊕ (𝑁‘{𝑌}))))
34		elin 3915	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ (((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)}) ⊕ (𝑁‘{𝑌}))) ↔ (𝑗 ∈ ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)}) ⊕ (𝑁‘{𝑌}))))
35		baerlem3.r	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
36		baerlem3.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
37		baerlem3.t	. . . . . . 7 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
38	1, 2, 35, 36, 37, 19, 20, 6, 18, 13	lsmspsn 21271	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐵 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍))))
39	1, 2, 35, 36, 37, 19, 20, 6, 29, 11	lsmspsn 21271	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)}) ⊕ (𝑁‘{𝑌})) ↔ ∃𝑑 ∈ 𝐵 ∃𝑒 ∈ 𝐵 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌))))
40	38, 39	anbi12d 644	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑗 ∈ ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)}) ⊕ (𝑁‘{𝑌}))) ↔ (∃𝑎 ∈ 𝐵 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍)) ∧ ∃𝑑 ∈ 𝐵 ∃𝑒 ∈ 𝐵 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌)))))
41	34, 40	bitrid 286	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ (((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)}) ⊕ (𝑁‘{𝑌}))) ↔ (∃𝑎 ∈ 𝐵 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍)) ∧ ∃𝑑 ∈ 𝐵 ∃𝑒 ∈ 𝐵 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌)))))
42		baerlem3.o	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
43		simp11 1222	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌))) → 𝜑)
44	43, 4	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌))) → 𝑊 ∈ LVec)
45	43, 9	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌))) → 𝑋 ∈ 𝑉)
46		baerlem3.c	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
47	43, 46	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌))) → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
48		baerlem3.d	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
49	43, 48	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌))) → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
50	43, 10	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌))) → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
51	43, 12	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌))) → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
52		baerlem3.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ⨣ = (+g‘𝑅)
53		baerlem3.l	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐿 = (-g‘𝑅)
54		baerlem3.q	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑄 = (0g‘𝑅)
55		baerlem3.i	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝑅)
56		simp12l 1305	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌))) → 𝑎 ∈ 𝐵)
57		simp12r 1306	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌))) → 𝑏 ∈ 𝐵)
58		simp2l 1218	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌))) → 𝑑 ∈ 𝐵)
59		simp2r 1219	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌))) → 𝑒 ∈ 𝐵)
60		simp13 1224	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌))) → 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍)))
61		simp3 1156	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌))) → 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌)))
62	1, 3, 42, 19, 20, 44, 45, 47, 49, 50, 51, 2, 37, 35, 36, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61	baerlem5alem1 42584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌))) → 𝑗 = (𝑎 · (𝑋 − (𝑌 + 𝑍))))
63	43, 6	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌))) → 𝑊 ∈ LMod)
64	1, 2	lmodvacl 21062	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑌 + 𝑍) ∈ 𝑉)
65	6, 11, 13, 64	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑌 + 𝑍) ∈ 𝑉)
66	1, 3	lmodvsubcl 21094	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑌 + 𝑍) ∈ 𝑉) → (𝑋 − (𝑌 + 𝑍)) ∈ 𝑉)
67	6, 9, 65, 66	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − (𝑌 + 𝑍)) ∈ 𝑉)
68	43, 67	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌))) → (𝑋 − (𝑌 + 𝑍)) ∈ 𝑉)
69	1, 37, 35, 36, 20, 63, 56, 68	ellspsni 21188	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌))) → (𝑎 · (𝑋 − (𝑌 + 𝑍))) ∈ (𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + 𝑍))}))
70	62, 69	eqeltrd 2860	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌))) → 𝑗 ∈ (𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + 𝑍))}))
71	70	3exp 1137	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍))) → ((𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) → (𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌)) → 𝑗 ∈ (𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + 𝑍))}))))
72	71	rexlimdvv 3218	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍))) → (∃𝑑 ∈ 𝐵 ∃𝑒 ∈ 𝐵 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌)) → 𝑗 ∈ (𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + 𝑍))})))
73	72	3exp 1137	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍)) → (∃𝑑 ∈ 𝐵 ∃𝑒 ∈ 𝐵 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌)) → 𝑗 ∈ (𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + 𝑍))})))))
74	73	rexlimdvv 3218	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑎 ∈ 𝐵 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍)) → (∃𝑑 ∈ 𝐵 ∃𝑒 ∈ 𝐵 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌)) → 𝑗 ∈ (𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + 𝑍))}))))
75	74	impd 416	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((∃𝑎 ∈ 𝐵 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍)) ∧ ∃𝑑 ∈ 𝐵 ∃𝑒 ∈ 𝐵 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌))) → 𝑗 ∈ (𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + 𝑍))})))
76	41, 75	sylbid 243	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ (((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)}) ⊕ (𝑁‘{𝑌}))) → 𝑗 ∈ (𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + 𝑍))})))
77	76	ssrdv 3937	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)}) ⊕ (𝑁‘{𝑌}))) ⊆ (𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + 𝑍))}))
78	33, 77	eqssd 3948	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + 𝑍))}) = (((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)}) ⊕ (𝑁‘{𝑌}))))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∃wrex 3086   ∖ cdif 3896   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  {csn 4584  {cpr 4586  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  Basecbs 17304  +_gcplusg 17345  Scalarcsca 17348   ·_𝑠 cvsca 17349  0_gc0g 17527  inv_gcminusg 19061  -_gcsg 19062  LSSumclsm 19764  Abelcabl 19911  LModclmod 21047  LSpanclspn 21158  LVecclvec 21289

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-tpos 8225  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-sets 17259  df-slot 17277  df-ndx 17289  df-base 17305  df-ress 17326  df-plusg 17358  df-mulr 17359  df-0g 17529  df-mgm 18733  df-sgrp 18824  df-mnd 18840  df-submnd 18895  df-grp 19063  df-minusg 19064  df-sbg 19065  df-subg 19249  df-cntz 19447  df-lsm 19766  df-cmn 19912  df-abl 19913  df-mgp 20277  df-rng 20291  df-ur 20324  df-ring 20377  df-oppr 20481  df-dvdsr 20501  df-unit 20502  df-invr 20532  df-drng 20895  df-lmod 21049  df-lss 21119  df-lsp 21159  df-lvec 21290

This theorem is used by:  baerlem5a  42590