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Theorem baerlem5alem2 40174
Description: Lemma for baerlem5a 40177. (Contributed by NM, 9-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
baerlem3.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
baerlem3.m = (-g𝑊)
baerlem3.o 0 = (0g𝑊)
baerlem3.s = (LSSum‘𝑊)
baerlem3.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
baerlem3.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
baerlem3.x (𝜑𝑋𝑉)
baerlem3.c (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
baerlem3.d (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
baerlem3.y (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
baerlem3.z (𝜑𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
baerlem3.p + = (+g𝑊)
baerlem3.t · = ( ·𝑠𝑊)
baerlem3.r 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
baerlem3.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
baerlem3.a = (+g𝑅)
baerlem3.l 𝐿 = (-g𝑅)
baerlem3.q 𝑄 = (0g𝑅)
baerlem3.i 𝐼 = (invg𝑅)
Assertion
Ref Expression
baerlem5alem2 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))}) = (((𝑁‘{(𝑋 𝑌)}) (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 𝑍)}) (𝑁‘{𝑌}))))

Proof of Theorem baerlem5alem2
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑑 𝑒 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 baerlem3.v . . . . . . 7 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 baerlem3.p . . . . . . 7 + = (+g𝑊)
3 baerlem3.m . . . . . . 7 = (-g𝑊)
4 baerlem3.w . . . . . . . . 9 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
5 lveclmod 20567 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
64, 5syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
7 lmodabl 20369 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
86, 7syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ Abel)
9 baerlem3.x . . . . . . 7 (𝜑𝑋𝑉)
10 baerlem3.y . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
1110eldifad 3922 . . . . . . 7 (𝜑𝑌𝑉)
12 baerlem3.z . . . . . . . 8 (𝜑𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
1312eldifad 3922 . . . . . . 7 (𝜑𝑍𝑉)
141, 2, 3, 8, 9, 11, 13ablsubsub4 19597 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑋 𝑌) 𝑍) = (𝑋 (𝑌 + 𝑍)))
1514sneqd 4598 . . . . 5 (𝜑 → {((𝑋 𝑌) 𝑍)} = {(𝑋 (𝑌 + 𝑍))})
1615fveq2d 6846 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{((𝑋 𝑌) 𝑍)}) = (𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))}))
171, 3lmodvsubcl 20367 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝑉)
186, 9, 11, 17syl3anc 1371 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 𝑌) ∈ 𝑉)
19 baerlem3.s . . . . . 6 = (LSSum‘𝑊)
20 baerlem3.n . . . . . 6 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
211, 3, 19, 20lspsntrim 20559 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝑉𝑍𝑉) → (𝑁‘{((𝑋 𝑌) 𝑍)}) ⊆ ((𝑁‘{(𝑋 𝑌)}) (𝑁‘{𝑍})))
226, 18, 13, 21syl3anc 1371 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{((𝑋 𝑌) 𝑍)}) ⊆ ((𝑁‘{(𝑋 𝑌)}) (𝑁‘{𝑍})))
2316, 22eqsstrrd 3983 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))}) ⊆ ((𝑁‘{(𝑋 𝑌)}) (𝑁‘{𝑍})))
241, 3, 8, 9, 13, 11ablsub32 19600 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑋 𝑍) 𝑌) = ((𝑋 𝑌) 𝑍))
2524, 14eqtrd 2776 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑋 𝑍) 𝑌) = (𝑋 (𝑌 + 𝑍)))
2625sneqd 4598 . . . . 5 (𝜑 → {((𝑋 𝑍) 𝑌)} = {(𝑋 (𝑌 + 𝑍))})
2726fveq2d 6846 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{((𝑋 𝑍) 𝑌)}) = (𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))}))
281, 3lmodvsubcl 20367 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑍𝑉) → (𝑋 𝑍) ∈ 𝑉)
296, 9, 13, 28syl3anc 1371 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 𝑍) ∈ 𝑉)
301, 3, 19, 20lspsntrim 20559 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑋 𝑍) ∈ 𝑉𝑌𝑉) → (𝑁‘{((𝑋 𝑍) 𝑌)}) ⊆ ((𝑁‘{(𝑋 𝑍)}) (𝑁‘{𝑌})))
316, 29, 11, 30syl3anc 1371 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{((𝑋 𝑍) 𝑌)}) ⊆ ((𝑁‘{(𝑋 𝑍)}) (𝑁‘{𝑌})))
3227, 31eqsstrrd 3983 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))}) ⊆ ((𝑁‘{(𝑋 𝑍)}) (𝑁‘{𝑌})))
3323, 32ssind 4192 . 2 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))}) ⊆ (((𝑁‘{(𝑋 𝑌)}) (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 𝑍)}) (𝑁‘{𝑌}))))
34 elin 3926 . . . . 5 (𝑗 ∈ (((𝑁‘{(𝑋 𝑌)}) (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 𝑍)}) (𝑁‘{𝑌}))) ↔ (𝑗 ∈ ((𝑁‘{(𝑋 𝑌)}) (𝑁‘{𝑍})) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑁‘{(𝑋 𝑍)}) (𝑁‘{𝑌}))))
35 baerlem3.r . . . . . . 7 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
36 baerlem3.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑅)
37 baerlem3.t . . . . . . 7 · = ( ·𝑠𝑊)
381, 2, 35, 36, 37, 19, 20, 6, 18, 13lsmspsn 20545 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑗 ∈ ((𝑁‘{(𝑋 𝑌)}) (𝑁‘{𝑍})) ↔ ∃𝑎𝐵𝑏𝐵 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍))))
391, 2, 35, 36, 37, 19, 20, 6, 29, 11lsmspsn 20545 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑗 ∈ ((𝑁‘{(𝑋 𝑍)}) (𝑁‘{𝑌})) ↔ ∃𝑑𝐵𝑒𝐵 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌))))
4038, 39anbi12d 631 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑗 ∈ ((𝑁‘{(𝑋 𝑌)}) (𝑁‘{𝑍})) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑁‘{(𝑋 𝑍)}) (𝑁‘{𝑌}))) ↔ (∃𝑎𝐵𝑏𝐵 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍)) ∧ ∃𝑑𝐵𝑒𝐵 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌)))))
4134, 40bitrid 282 . . . 4 (𝜑 → (𝑗 ∈ (((𝑁‘{(𝑋 𝑌)}) (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 𝑍)}) (𝑁‘{𝑌}))) ↔ (∃𝑎𝐵𝑏𝐵 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍)) ∧ ∃𝑑𝐵𝑒𝐵 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌)))))
42 baerlem3.o . . . . . . . . . . 11 0 = (0g𝑊)
43 simp11 1203 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑𝐵𝑒𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌))) → 𝜑)
4443, 4syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑𝐵𝑒𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌))) → 𝑊 ∈ LVec)
4543, 9syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑𝐵𝑒𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌))) → 𝑋𝑉)
46 baerlem3.c . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
4743, 46syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑𝐵𝑒𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌))) → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
48 baerlem3.d . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
4943, 48syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑𝐵𝑒𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌))) → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
5043, 10syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑𝐵𝑒𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌))) → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
5143, 12syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑𝐵𝑒𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌))) → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
52 baerlem3.a . . . . . . . . . . 11 = (+g𝑅)
53 baerlem3.l . . . . . . . . . . 11 𝐿 = (-g𝑅)
54 baerlem3.q . . . . . . . . . . 11 𝑄 = (0g𝑅)
55 baerlem3.i . . . . . . . . . . 11 𝐼 = (invg𝑅)
56 simp12l 1286 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑𝐵𝑒𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌))) → 𝑎𝐵)
57 simp12r 1287 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑𝐵𝑒𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌))) → 𝑏𝐵)
58 simp2l 1199 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑𝐵𝑒𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌))) → 𝑑𝐵)
59 simp2r 1200 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑𝐵𝑒𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌))) → 𝑒𝐵)
60 simp13 1205 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑𝐵𝑒𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌))) → 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍)))
61 simp3 1138 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑𝐵𝑒𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌))) → 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌)))
621, 3, 42, 19, 20, 44, 45, 47, 49, 50, 51, 2, 37, 35, 36, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61baerlem5alem1 40171 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑𝐵𝑒𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌))) → 𝑗 = (𝑎 · (𝑋 (𝑌 + 𝑍))))
6343, 6syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑𝐵𝑒𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌))) → 𝑊 ∈ LMod)
641, 2lmodvacl 20336 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉𝑍𝑉) → (𝑌 + 𝑍) ∈ 𝑉)
656, 11, 13, 64syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑌 + 𝑍) ∈ 𝑉)
661, 3lmodvsubcl 20367 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉 ∧ (𝑌 + 𝑍) ∈ 𝑉) → (𝑋 (𝑌 + 𝑍)) ∈ 𝑉)
676, 9, 65, 66syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑋 (𝑌 + 𝑍)) ∈ 𝑉)
6843, 67syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑𝐵𝑒𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌))) → (𝑋 (𝑌 + 𝑍)) ∈ 𝑉)
691, 37, 35, 36, 20, 63, 56, 68lspsneli 20462 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑𝐵𝑒𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌))) → (𝑎 · (𝑋 (𝑌 + 𝑍))) ∈ (𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))}))
7062, 69eqeltrd 2838 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑𝐵𝑒𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌))) → 𝑗 ∈ (𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))}))
71703exp 1119 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍))) → ((𝑑𝐵𝑒𝐵) → (𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌)) → 𝑗 ∈ (𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))}))))
7271rexlimdvv 3204 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍))) → (∃𝑑𝐵𝑒𝐵 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌)) → 𝑗 ∈ (𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))})))
73723exp 1119 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑎𝐵𝑏𝐵) → (𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍)) → (∃𝑑𝐵𝑒𝐵 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌)) → 𝑗 ∈ (𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))})))))
7473rexlimdvv 3204 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑎𝐵𝑏𝐵 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍)) → (∃𝑑𝐵𝑒𝐵 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌)) → 𝑗 ∈ (𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))}))))
7574impd 411 . . . 4 (𝜑 → ((∃𝑎𝐵𝑏𝐵 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍)) ∧ ∃𝑑𝐵𝑒𝐵 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌))) → 𝑗 ∈ (𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))})))
7641, 75sylbid 239 . . 3 (𝜑 → (𝑗 ∈ (((𝑁‘{(𝑋 𝑌)}) (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 𝑍)}) (𝑁‘{𝑌}))) → 𝑗 ∈ (𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))})))
7776ssrdv 3950 . 2 (𝜑 → (((𝑁‘{(𝑋 𝑌)}) (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 𝑍)}) (𝑁‘{𝑌}))) ⊆ (𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))}))
7833, 77eqssd 3961 1 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))}) = (((𝑁‘{(𝑋 𝑌)}) (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 𝑍)}) (𝑁‘{𝑌}))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wrex 3073  cdif 3907  cin 3909  wss 3910  {csn 4586  {cpr 4588  cfv 6496  (class class class)co 7357  Basecbs 17083  +gcplusg 17133  Scalarcsca 17136   ·𝑠 cvsca 17137  0gc0g 17321  invgcminusg 18749  -gcsg 18750  LSSumclsm 19416  Abelcabl 19563  LModclmod 20322  LSpanclspn 20432  LVecclvec 20563
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-tpos 8157  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-0g 17323  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-subg 18925  df-cntz 19097  df-lsm 19418  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-oppr 20049  df-dvdsr 20070  df-unit 20071  df-invr 20101  df-drng 20187  df-lmod 20324  df-lss 20393  df-lsp 20433  df-lvec 20564
This theorem is referenced by:  baerlem5a  40177
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