Theorem baerlem5alem2 41910

Description: Lemma for baerlem5a 41913. (Contributed by NM, 9-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
baerlem3.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
baerlem3.m	⊢ − = (-g‘𝑊)
baerlem3.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
baerlem3.s	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
baerlem3.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
baerlem3.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
baerlem3.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
baerlem3.c	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
baerlem3.d	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
baerlem3.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
baerlem3.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
baerlem3.p	⊢ + = (+g‘𝑊)
baerlem3.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
baerlem3.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
baerlem3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
baerlem3.a	⊢ ⨣ = (+g‘𝑅)
baerlem3.l	⊢ 𝐿 = (-g‘𝑅)
baerlem3.q	⊢ 𝑄 = (0g‘𝑅)
baerlem3.i	⊢ 𝐼 = (invg‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
baerlem5alem2	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + 𝑍))}) = (((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)}) ⊕ (𝑁‘{𝑌}))))

Proof of Theorem baerlem5alem2

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑑 𝑒 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		baerlem3.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		baerlem3.p	. . . . . . 7 ⊢ + = (+g‘𝑊)
3		baerlem3.m	. . . . . . 7 ⊢ − = (-g‘𝑊)
4		baerlem3.w	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
5		lveclmod 21056	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
7		lmodabl 20858	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
8	6, 7	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Abel)
9		baerlem3.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
10		baerlem3.y	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
11	10	eldifad 3911	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
12		baerlem3.z	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
13	12	eldifad 3911	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
14	1, 2, 3, 8, 9, 11, 13	ablsubsub4 19745	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 𝑌) − 𝑍) = (𝑋 − (𝑌 + 𝑍)))
15	14	sneqd 4590	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {((𝑋 − 𝑌) − 𝑍)} = {(𝑋 − (𝑌 + 𝑍))})
16	15	fveq2d 6836	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{((𝑋 − 𝑌) − 𝑍)}) = (𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + 𝑍))}))
17	1, 3	lmodvsubcl 20856	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝑉)
18	6, 9, 11, 17	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝑉)
19		baerlem3.s	. . . . . 6 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
20		baerlem3.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
21	1, 3, 19, 20	lspsntrim 21048	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{((𝑋 − 𝑌) − 𝑍)}) ⊆ ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})))
22	6, 18, 13, 21	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{((𝑋 − 𝑌) − 𝑍)}) ⊆ ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})))
23	16, 22	eqsstrrd 3967	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + 𝑍))}) ⊆ ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})))
24	1, 3, 8, 9, 13, 11	ablsub32 19748	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 𝑍) − 𝑌) = ((𝑋 − 𝑌) − 𝑍))
25	24, 14	eqtrd 2769	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 𝑍) − 𝑌) = (𝑋 − (𝑌 + 𝑍)))
26	25	sneqd 4590	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {((𝑋 − 𝑍) − 𝑌)} = {(𝑋 − (𝑌 + 𝑍))})
27	26	fveq2d 6836	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{((𝑋 − 𝑍) − 𝑌)}) = (𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + 𝑍))}))
28	1, 3	lmodvsubcl 20856	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑋 − 𝑍) ∈ 𝑉)
29	6, 9, 13, 28	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑍) ∈ 𝑉)
30	1, 3, 19, 20	lspsntrim 21048	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑋 − 𝑍) ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{((𝑋 − 𝑍) − 𝑌)}) ⊆ ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)}) ⊕ (𝑁‘{𝑌})))
31	6, 29, 11, 30	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{((𝑋 − 𝑍) − 𝑌)}) ⊆ ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)}) ⊕ (𝑁‘{𝑌})))
32	27, 31	eqsstrrd 3967	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + 𝑍))}) ⊆ ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)}) ⊕ (𝑁‘{𝑌})))
33	23, 32	ssind 4191	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + 𝑍))}) ⊆ (((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)}) ⊕ (𝑁‘{𝑌}))))
34		elin 3915	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ (((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)}) ⊕ (𝑁‘{𝑌}))) ↔ (𝑗 ∈ ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)}) ⊕ (𝑁‘{𝑌}))))
35		baerlem3.r	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
36		baerlem3.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
37		baerlem3.t	. . . . . . 7 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
38	1, 2, 35, 36, 37, 19, 20, 6, 18, 13	lsmspsn 21034	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐵 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍))))
39	1, 2, 35, 36, 37, 19, 20, 6, 29, 11	lsmspsn 21034	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)}) ⊕ (𝑁‘{𝑌})) ↔ ∃𝑑 ∈ 𝐵 ∃𝑒 ∈ 𝐵 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌))))
40	38, 39	anbi12d 632	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑗 ∈ ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)}) ⊕ (𝑁‘{𝑌}))) ↔ (∃𝑎 ∈ 𝐵 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍)) ∧ ∃𝑑 ∈ 𝐵 ∃𝑒 ∈ 𝐵 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌)))))
41	34, 40	bitrid 283	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ (((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)}) ⊕ (𝑁‘{𝑌}))) ↔ (∃𝑎 ∈ 𝐵 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍)) ∧ ∃𝑑 ∈ 𝐵 ∃𝑒 ∈ 𝐵 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌)))))
42		baerlem3.o	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
43		simp11 1204	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌))) → 𝜑)
44	43, 4	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌))) → 𝑊 ∈ LVec)
45	43, 9	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌))) → 𝑋 ∈ 𝑉)
46		baerlem3.c	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
47	43, 46	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌))) → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
48		baerlem3.d	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
49	43, 48	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌))) → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
50	43, 10	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌))) → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
51	43, 12	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌))) → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
52		baerlem3.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ⨣ = (+g‘𝑅)
53		baerlem3.l	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐿 = (-g‘𝑅)
54		baerlem3.q	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑄 = (0g‘𝑅)
55		baerlem3.i	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝑅)
56		simp12l 1287	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌))) → 𝑎 ∈ 𝐵)
57		simp12r 1288	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌))) → 𝑏 ∈ 𝐵)
58		simp2l 1200	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌))) → 𝑑 ∈ 𝐵)
59		simp2r 1201	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌))) → 𝑒 ∈ 𝐵)
60		simp13 1206	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌))) → 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍)))
61		simp3 1138	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌))) → 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌)))
62	1, 3, 42, 19, 20, 44, 45, 47, 49, 50, 51, 2, 37, 35, 36, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61	baerlem5alem1 41907	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌))) → 𝑗 = (𝑎 · (𝑋 − (𝑌 + 𝑍))))
63	43, 6	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌))) → 𝑊 ∈ LMod)
64	1, 2	lmodvacl 20824	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑌 + 𝑍) ∈ 𝑉)
65	6, 11, 13, 64	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑌 + 𝑍) ∈ 𝑉)
66	1, 3	lmodvsubcl 20856	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑌 + 𝑍) ∈ 𝑉) → (𝑋 − (𝑌 + 𝑍)) ∈ 𝑉)
67	6, 9, 65, 66	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − (𝑌 + 𝑍)) ∈ 𝑉)
68	43, 67	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌))) → (𝑋 − (𝑌 + 𝑍)) ∈ 𝑉)
69	1, 37, 35, 36, 20, 63, 56, 68	ellspsni 20950	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌))) → (𝑎 · (𝑋 − (𝑌 + 𝑍))) ∈ (𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + 𝑍))}))
70	62, 69	eqeltrd 2834	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌))) → 𝑗 ∈ (𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + 𝑍))}))
71	70	3exp 1119	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍))) → ((𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) → (𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌)) → 𝑗 ∈ (𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + 𝑍))}))))
72	71	rexlimdvv 3190	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍))) → (∃𝑑 ∈ 𝐵 ∃𝑒 ∈ 𝐵 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌)) → 𝑗 ∈ (𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + 𝑍))})))
73	72	3exp 1119	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍)) → (∃𝑑 ∈ 𝐵 ∃𝑒 ∈ 𝐵 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌)) → 𝑗 ∈ (𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + 𝑍))})))))
74	73	rexlimdvv 3190	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑎 ∈ 𝐵 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍)) → (∃𝑑 ∈ 𝐵 ∃𝑒 ∈ 𝐵 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌)) → 𝑗 ∈ (𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + 𝑍))}))))
75	74	impd 410	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((∃𝑎 ∈ 𝐵 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍)) ∧ ∃𝑑 ∈ 𝐵 ∃𝑒 ∈ 𝐵 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌))) → 𝑗 ∈ (𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + 𝑍))})))
76	41, 75	sylbid 240	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ (((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)}) ⊕ (𝑁‘{𝑌}))) → 𝑗 ∈ (𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + 𝑍))})))
77	76	ssrdv 3937	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)}) ⊕ (𝑁‘{𝑌}))) ⊆ (𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + 𝑍))}))
78	33, 77	eqssd 3949	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + 𝑍))}) = (((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)}) ⊕ (𝑁‘{𝑌}))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930  ∃wrex 3058   ∖ cdif 3896   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  {csn 4578  {cpr 4580  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  Basecbs 17134  +_gcplusg 17175  Scalarcsca 17178   ·_𝑠 cvsca 17179  0_gc0g 17357  inv_gcminusg 18862  -_gcsg 18863  LSSumclsm 19561  Abelcabl 19708  LModclmod 20809  LSpanclspn 20920  LVecclvec 21052

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-tpos 8166  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-sets 17089  df-slot 17107  df-ndx 17119  df-base 17135  df-ress 17156  df-plusg 17188  df-mulr 17189  df-0g 17359  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-submnd 18707  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-subg 19051  df-cntz 19244  df-lsm 19563  df-cmn 19709  df-abl 19710  df-mgp 20074  df-rng 20086  df-ur 20115  df-ring 20168  df-oppr 20271  df-dvdsr 20291  df-unit 20292  df-invr 20322  df-drng 20662  df-lmod 20811  df-lss 20881  df-lsp 20921  df-lvec 21053

This theorem is referenced by:  baerlem5a  41913