Theorem baerlem5alem2 42087

Description: Lemma for baerlem5a 42090. (Contributed by NM, 9-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
baerlem3.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
baerlem3.m	⊢ − = (-g‘𝑊)
baerlem3.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
baerlem3.s	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
baerlem3.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
baerlem3.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
baerlem3.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
baerlem3.c	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
baerlem3.d	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
baerlem3.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
baerlem3.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
baerlem3.p	⊢ + = (+g‘𝑊)
baerlem3.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
baerlem3.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
baerlem3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
baerlem3.a	⊢ ⨣ = (+g‘𝑅)
baerlem3.l	⊢ 𝐿 = (-g‘𝑅)
baerlem3.q	⊢ 𝑄 = (0g‘𝑅)
baerlem3.i	⊢ 𝐼 = (invg‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
baerlem5alem2	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + 𝑍))}) = (((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)}) ⊕ (𝑁‘{𝑌}))))

Proof of Theorem baerlem5alem2

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑑 𝑒 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		baerlem3.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		baerlem3.p	. . . . . . 7 ⊢ + = (+g‘𝑊)
3		baerlem3.m	. . . . . . 7 ⊢ − = (-g‘𝑊)
4		baerlem3.w	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
5		lveclmod 21070	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
7		lmodabl 20872	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
8	6, 7	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Abel)
9		baerlem3.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
10		baerlem3.y	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
11	10	eldifad 3915	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
12		baerlem3.z	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
13	12	eldifad 3915	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
14	1, 2, 3, 8, 9, 11, 13	ablsubsub4 19759	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 𝑌) − 𝑍) = (𝑋 − (𝑌 + 𝑍)))
15	14	sneqd 4594	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {((𝑋 − 𝑌) − 𝑍)} = {(𝑋 − (𝑌 + 𝑍))})
16	15	fveq2d 6846	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{((𝑋 − 𝑌) − 𝑍)}) = (𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + 𝑍))}))
17	1, 3	lmodvsubcl 20870	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝑉)
18	6, 9, 11, 17	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝑉)
19		baerlem3.s	. . . . . 6 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
20		baerlem3.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
21	1, 3, 19, 20	lspsntrim 21062	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{((𝑋 − 𝑌) − 𝑍)}) ⊆ ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})))
22	6, 18, 13, 21	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{((𝑋 − 𝑌) − 𝑍)}) ⊆ ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})))
23	16, 22	eqsstrrd 3971	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + 𝑍))}) ⊆ ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})))
24	1, 3, 8, 9, 13, 11	ablsub32 19762	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 𝑍) − 𝑌) = ((𝑋 − 𝑌) − 𝑍))
25	24, 14	eqtrd 2772	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 𝑍) − 𝑌) = (𝑋 − (𝑌 + 𝑍)))
26	25	sneqd 4594	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {((𝑋 − 𝑍) − 𝑌)} = {(𝑋 − (𝑌 + 𝑍))})
27	26	fveq2d 6846	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{((𝑋 − 𝑍) − 𝑌)}) = (𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + 𝑍))}))
28	1, 3	lmodvsubcl 20870	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑋 − 𝑍) ∈ 𝑉)
29	6, 9, 13, 28	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑍) ∈ 𝑉)
30	1, 3, 19, 20	lspsntrim 21062	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑋 − 𝑍) ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{((𝑋 − 𝑍) − 𝑌)}) ⊆ ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)}) ⊕ (𝑁‘{𝑌})))
31	6, 29, 11, 30	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{((𝑋 − 𝑍) − 𝑌)}) ⊆ ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)}) ⊕ (𝑁‘{𝑌})))
32	27, 31	eqsstrrd 3971	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + 𝑍))}) ⊆ ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)}) ⊕ (𝑁‘{𝑌})))
33	23, 32	ssind 4195	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + 𝑍))}) ⊆ (((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)}) ⊕ (𝑁‘{𝑌}))))
34		elin 3919	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ (((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)}) ⊕ (𝑁‘{𝑌}))) ↔ (𝑗 ∈ ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)}) ⊕ (𝑁‘{𝑌}))))
35		baerlem3.r	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
36		baerlem3.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
37		baerlem3.t	. . . . . . 7 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
38	1, 2, 35, 36, 37, 19, 20, 6, 18, 13	lsmspsn 21048	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐵 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍))))
39	1, 2, 35, 36, 37, 19, 20, 6, 29, 11	lsmspsn 21048	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)}) ⊕ (𝑁‘{𝑌})) ↔ ∃𝑑 ∈ 𝐵 ∃𝑒 ∈ 𝐵 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌))))
40	38, 39	anbi12d 633	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑗 ∈ ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)}) ⊕ (𝑁‘{𝑌}))) ↔ (∃𝑎 ∈ 𝐵 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍)) ∧ ∃𝑑 ∈ 𝐵 ∃𝑒 ∈ 𝐵 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌)))))
41	34, 40	bitrid 283	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ (((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)}) ⊕ (𝑁‘{𝑌}))) ↔ (∃𝑎 ∈ 𝐵 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍)) ∧ ∃𝑑 ∈ 𝐵 ∃𝑒 ∈ 𝐵 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌)))))
42		baerlem3.o	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
43		simp11 1205	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌))) → 𝜑)
44	43, 4	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌))) → 𝑊 ∈ LVec)
45	43, 9	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌))) → 𝑋 ∈ 𝑉)
46		baerlem3.c	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
47	43, 46	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌))) → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
48		baerlem3.d	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
49	43, 48	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌))) → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
50	43, 10	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌))) → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
51	43, 12	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌))) → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
52		baerlem3.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ⨣ = (+g‘𝑅)
53		baerlem3.l	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐿 = (-g‘𝑅)
54		baerlem3.q	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑄 = (0g‘𝑅)
55		baerlem3.i	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝑅)
56		simp12l 1288	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌))) → 𝑎 ∈ 𝐵)
57		simp12r 1289	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌))) → 𝑏 ∈ 𝐵)
58		simp2l 1201	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌))) → 𝑑 ∈ 𝐵)
59		simp2r 1202	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌))) → 𝑒 ∈ 𝐵)
60		simp13 1207	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌))) → 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍)))
61		simp3 1139	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌))) → 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌)))
62	1, 3, 42, 19, 20, 44, 45, 47, 49, 50, 51, 2, 37, 35, 36, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61	baerlem5alem1 42084	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌))) → 𝑗 = (𝑎 · (𝑋 − (𝑌 + 𝑍))))
63	43, 6	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌))) → 𝑊 ∈ LMod)
64	1, 2	lmodvacl 20838	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑌 + 𝑍) ∈ 𝑉)
65	6, 11, 13, 64	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑌 + 𝑍) ∈ 𝑉)
66	1, 3	lmodvsubcl 20870	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑌 + 𝑍) ∈ 𝑉) → (𝑋 − (𝑌 + 𝑍)) ∈ 𝑉)
67	6, 9, 65, 66	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − (𝑌 + 𝑍)) ∈ 𝑉)
68	43, 67	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌))) → (𝑋 − (𝑌 + 𝑍)) ∈ 𝑉)
69	1, 37, 35, 36, 20, 63, 56, 68	ellspsni 20964	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌))) → (𝑎 · (𝑋 − (𝑌 + 𝑍))) ∈ (𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + 𝑍))}))
70	62, 69	eqeltrd 2837	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌))) → 𝑗 ∈ (𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + 𝑍))}))
71	70	3exp 1120	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍))) → ((𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) → (𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌)) → 𝑗 ∈ (𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + 𝑍))}))))
72	71	rexlimdvv 3194	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍))) → (∃𝑑 ∈ 𝐵 ∃𝑒 ∈ 𝐵 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌)) → 𝑗 ∈ (𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + 𝑍))})))
73	72	3exp 1120	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍)) → (∃𝑑 ∈ 𝐵 ∃𝑒 ∈ 𝐵 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌)) → 𝑗 ∈ (𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + 𝑍))})))))
74	73	rexlimdvv 3194	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑎 ∈ 𝐵 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍)) → (∃𝑑 ∈ 𝐵 ∃𝑒 ∈ 𝐵 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌)) → 𝑗 ∈ (𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + 𝑍))}))))
75	74	impd 410	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((∃𝑎 ∈ 𝐵 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍)) ∧ ∃𝑑 ∈ 𝐵 ∃𝑒 ∈ 𝐵 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌))) → 𝑗 ∈ (𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + 𝑍))})))
76	41, 75	sylbid 240	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ (((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)}) ⊕ (𝑁‘{𝑌}))) → 𝑗 ∈ (𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + 𝑍))})))
77	76	ssrdv 3941	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)}) ⊕ (𝑁‘{𝑌}))) ⊆ (𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + 𝑍))}))
78	33, 77	eqssd 3953	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + 𝑍))}) = (((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)}) ⊕ (𝑁‘{𝑌}))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∃wrex 3062   ∖ cdif 3900   ∩ cin 3902   ⊆ wss 3903  {csn 4582  {cpr 4584  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  Basecbs 17148  +_gcplusg 17189  Scalarcsca 17192   ·_𝑠 cvsca 17193  0_gc0g 17371  inv_gcminusg 18876  -_gcsg 18877  LSSumclsm 19575  Abelcabl 19722  LModclmod 20823  LSpanclspn 20934  LVecclvec 21066

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-tpos 8178  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-0g 17373  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-submnd 18721  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-sbg 18880  df-subg 19065  df-cntz 19258  df-lsm 19577  df-cmn 19723  df-abl 19724  df-mgp 20088  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-oppr 20285  df-dvdsr 20305  df-unit 20306  df-invr 20336  df-drng 20676  df-lmod 20825  df-lss 20895  df-lsp 20935  df-lvec 21067

This theorem is referenced by:  baerlem5a  42090