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Theorem baerlem5alem2 41694
Description: Lemma for baerlem5a 41697. (Contributed by NM, 9-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
baerlem3.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
baerlem3.m = (-g𝑊)
baerlem3.o 0 = (0g𝑊)
baerlem3.s = (LSSum‘𝑊)
baerlem3.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
baerlem3.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
baerlem3.x (𝜑𝑋𝑉)
baerlem3.c (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
baerlem3.d (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
baerlem3.y (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
baerlem3.z (𝜑𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
baerlem3.p + = (+g𝑊)
baerlem3.t · = ( ·𝑠𝑊)
baerlem3.r 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
baerlem3.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
baerlem3.a = (+g𝑅)
baerlem3.l 𝐿 = (-g𝑅)
baerlem3.q 𝑄 = (0g𝑅)
baerlem3.i 𝐼 = (invg𝑅)
Assertion
Ref Expression
baerlem5alem2 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))}) = (((𝑁‘{(𝑋 𝑌)}) (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 𝑍)}) (𝑁‘{𝑌}))))

Proof of Theorem baerlem5alem2
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑑 𝑒 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 baerlem3.v . . . . . . 7 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 baerlem3.p . . . . . . 7 + = (+g𝑊)
3 baerlem3.m . . . . . . 7 = (-g𝑊)
4 baerlem3.w . . . . . . . . 9 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
5 lveclmod 21123 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
64, 5syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
7 lmodabl 20924 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
86, 7syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ Abel)
9 baerlem3.x . . . . . . 7 (𝜑𝑋𝑉)
10 baerlem3.y . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
1110eldifad 3975 . . . . . . 7 (𝜑𝑌𝑉)
12 baerlem3.z . . . . . . . 8 (𝜑𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
1312eldifad 3975 . . . . . . 7 (𝜑𝑍𝑉)
141, 2, 3, 8, 9, 11, 13ablsubsub4 19851 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑋 𝑌) 𝑍) = (𝑋 (𝑌 + 𝑍)))
1514sneqd 4643 . . . . 5 (𝜑 → {((𝑋 𝑌) 𝑍)} = {(𝑋 (𝑌 + 𝑍))})
1615fveq2d 6911 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{((𝑋 𝑌) 𝑍)}) = (𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))}))
171, 3lmodvsubcl 20922 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝑉)
186, 9, 11, 17syl3anc 1370 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 𝑌) ∈ 𝑉)
19 baerlem3.s . . . . . 6 = (LSSum‘𝑊)
20 baerlem3.n . . . . . 6 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
211, 3, 19, 20lspsntrim 21115 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝑉𝑍𝑉) → (𝑁‘{((𝑋 𝑌) 𝑍)}) ⊆ ((𝑁‘{(𝑋 𝑌)}) (𝑁‘{𝑍})))
226, 18, 13, 21syl3anc 1370 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{((𝑋 𝑌) 𝑍)}) ⊆ ((𝑁‘{(𝑋 𝑌)}) (𝑁‘{𝑍})))
2316, 22eqsstrrd 4035 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))}) ⊆ ((𝑁‘{(𝑋 𝑌)}) (𝑁‘{𝑍})))
241, 3, 8, 9, 13, 11ablsub32 19854 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑋 𝑍) 𝑌) = ((𝑋 𝑌) 𝑍))
2524, 14eqtrd 2775 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑋 𝑍) 𝑌) = (𝑋 (𝑌 + 𝑍)))
2625sneqd 4643 . . . . 5 (𝜑 → {((𝑋 𝑍) 𝑌)} = {(𝑋 (𝑌 + 𝑍))})
2726fveq2d 6911 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{((𝑋 𝑍) 𝑌)}) = (𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))}))
281, 3lmodvsubcl 20922 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑍𝑉) → (𝑋 𝑍) ∈ 𝑉)
296, 9, 13, 28syl3anc 1370 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 𝑍) ∈ 𝑉)
301, 3, 19, 20lspsntrim 21115 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑋 𝑍) ∈ 𝑉𝑌𝑉) → (𝑁‘{((𝑋 𝑍) 𝑌)}) ⊆ ((𝑁‘{(𝑋 𝑍)}) (𝑁‘{𝑌})))
316, 29, 11, 30syl3anc 1370 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{((𝑋 𝑍) 𝑌)}) ⊆ ((𝑁‘{(𝑋 𝑍)}) (𝑁‘{𝑌})))
3227, 31eqsstrrd 4035 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))}) ⊆ ((𝑁‘{(𝑋 𝑍)}) (𝑁‘{𝑌})))
3323, 32ssind 4249 . 2 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))}) ⊆ (((𝑁‘{(𝑋 𝑌)}) (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 𝑍)}) (𝑁‘{𝑌}))))
34 elin 3979 . . . . 5 (𝑗 ∈ (((𝑁‘{(𝑋 𝑌)}) (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 𝑍)}) (𝑁‘{𝑌}))) ↔ (𝑗 ∈ ((𝑁‘{(𝑋 𝑌)}) (𝑁‘{𝑍})) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑁‘{(𝑋 𝑍)}) (𝑁‘{𝑌}))))
35 baerlem3.r . . . . . . 7 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
36 baerlem3.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑅)
37 baerlem3.t . . . . . . 7 · = ( ·𝑠𝑊)
381, 2, 35, 36, 37, 19, 20, 6, 18, 13lsmspsn 21101 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑗 ∈ ((𝑁‘{(𝑋 𝑌)}) (𝑁‘{𝑍})) ↔ ∃𝑎𝐵𝑏𝐵 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍))))
391, 2, 35, 36, 37, 19, 20, 6, 29, 11lsmspsn 21101 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑗 ∈ ((𝑁‘{(𝑋 𝑍)}) (𝑁‘{𝑌})) ↔ ∃𝑑𝐵𝑒𝐵 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌))))
4038, 39anbi12d 632 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑗 ∈ ((𝑁‘{(𝑋 𝑌)}) (𝑁‘{𝑍})) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑁‘{(𝑋 𝑍)}) (𝑁‘{𝑌}))) ↔ (∃𝑎𝐵𝑏𝐵 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍)) ∧ ∃𝑑𝐵𝑒𝐵 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌)))))
4134, 40bitrid 283 . . . 4 (𝜑 → (𝑗 ∈ (((𝑁‘{(𝑋 𝑌)}) (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 𝑍)}) (𝑁‘{𝑌}))) ↔ (∃𝑎𝐵𝑏𝐵 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍)) ∧ ∃𝑑𝐵𝑒𝐵 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌)))))
42 baerlem3.o . . . . . . . . . . 11 0 = (0g𝑊)
43 simp11 1202 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑𝐵𝑒𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌))) → 𝜑)
4443, 4syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑𝐵𝑒𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌))) → 𝑊 ∈ LVec)
4543, 9syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑𝐵𝑒𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌))) → 𝑋𝑉)
46 baerlem3.c . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
4743, 46syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑𝐵𝑒𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌))) → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
48 baerlem3.d . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
4943, 48syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑𝐵𝑒𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌))) → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
5043, 10syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑𝐵𝑒𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌))) → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
5143, 12syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑𝐵𝑒𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌))) → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
52 baerlem3.a . . . . . . . . . . 11 = (+g𝑅)
53 baerlem3.l . . . . . . . . . . 11 𝐿 = (-g𝑅)
54 baerlem3.q . . . . . . . . . . 11 𝑄 = (0g𝑅)
55 baerlem3.i . . . . . . . . . . 11 𝐼 = (invg𝑅)
56 simp12l 1285 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑𝐵𝑒𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌))) → 𝑎𝐵)
57 simp12r 1286 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑𝐵𝑒𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌))) → 𝑏𝐵)
58 simp2l 1198 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑𝐵𝑒𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌))) → 𝑑𝐵)
59 simp2r 1199 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑𝐵𝑒𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌))) → 𝑒𝐵)
60 simp13 1204 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑𝐵𝑒𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌))) → 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍)))
61 simp3 1137 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑𝐵𝑒𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌))) → 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌)))
621, 3, 42, 19, 20, 44, 45, 47, 49, 50, 51, 2, 37, 35, 36, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61baerlem5alem1 41691 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑𝐵𝑒𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌))) → 𝑗 = (𝑎 · (𝑋 (𝑌 + 𝑍))))
6343, 6syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑𝐵𝑒𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌))) → 𝑊 ∈ LMod)
641, 2lmodvacl 20890 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉𝑍𝑉) → (𝑌 + 𝑍) ∈ 𝑉)
656, 11, 13, 64syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑌 + 𝑍) ∈ 𝑉)
661, 3lmodvsubcl 20922 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉 ∧ (𝑌 + 𝑍) ∈ 𝑉) → (𝑋 (𝑌 + 𝑍)) ∈ 𝑉)
676, 9, 65, 66syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑋 (𝑌 + 𝑍)) ∈ 𝑉)
6843, 67syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑𝐵𝑒𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌))) → (𝑋 (𝑌 + 𝑍)) ∈ 𝑉)
691, 37, 35, 36, 20, 63, 56, 68ellspsni 21017 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑𝐵𝑒𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌))) → (𝑎 · (𝑋 (𝑌 + 𝑍))) ∈ (𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))}))
7062, 69eqeltrd 2839 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑𝐵𝑒𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌))) → 𝑗 ∈ (𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))}))
71703exp 1118 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍))) → ((𝑑𝐵𝑒𝐵) → (𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌)) → 𝑗 ∈ (𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))}))))
7271rexlimdvv 3210 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍))) → (∃𝑑𝐵𝑒𝐵 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌)) → 𝑗 ∈ (𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))})))
73723exp 1118 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑎𝐵𝑏𝐵) → (𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍)) → (∃𝑑𝐵𝑒𝐵 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌)) → 𝑗 ∈ (𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))})))))
7473rexlimdvv 3210 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑎𝐵𝑏𝐵 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍)) → (∃𝑑𝐵𝑒𝐵 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌)) → 𝑗 ∈ (𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))}))))
7574impd 410 . . . 4 (𝜑 → ((∃𝑎𝐵𝑏𝐵 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍)) ∧ ∃𝑑𝐵𝑒𝐵 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌))) → 𝑗 ∈ (𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))})))
7641, 75sylbid 240 . . 3 (𝜑 → (𝑗 ∈ (((𝑁‘{(𝑋 𝑌)}) (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 𝑍)}) (𝑁‘{𝑌}))) → 𝑗 ∈ (𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))})))
7776ssrdv 4001 . 2 (𝜑 → (((𝑁‘{(𝑋 𝑌)}) (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 𝑍)}) (𝑁‘{𝑌}))) ⊆ (𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))}))
7833, 77eqssd 4013 1 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))}) = (((𝑁‘{(𝑋 𝑌)}) (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 𝑍)}) (𝑁‘{𝑌}))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wrex 3068  cdif 3960  cin 3962  wss 3963  {csn 4631  {cpr 4633  cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  +gcplusg 17298  Scalarcsca 17301   ·𝑠 cvsca 17302  0gc0g 17486  invgcminusg 18965  -gcsg 18966  LSSumclsm 19667  Abelcabl 19814  LModclmod 20875  LSpanclspn 20987  LVecclvec 21119
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-subg 19154  df-cntz 19348  df-lsm 19669  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-oppr 20351  df-dvdsr 20374  df-unit 20375  df-invr 20405  df-drng 20748  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-lsp 20988  df-lvec 21120
This theorem is referenced by:  baerlem5a  41697
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