Theorem baerlem5alem2 41713

Description: Lemma for baerlem5a 41716. (Contributed by NM, 9-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
baerlem3.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
baerlem3.m	⊢ − = (-g‘𝑊)
baerlem3.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
baerlem3.s	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
baerlem3.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
baerlem3.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
baerlem3.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
baerlem3.c	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
baerlem3.d	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
baerlem3.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
baerlem3.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
baerlem3.p	⊢ + = (+g‘𝑊)
baerlem3.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
baerlem3.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
baerlem3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
baerlem3.a	⊢ ⨣ = (+g‘𝑅)
baerlem3.l	⊢ 𝐿 = (-g‘𝑅)
baerlem3.q	⊢ 𝑄 = (0g‘𝑅)
baerlem3.i	⊢ 𝐼 = (invg‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
baerlem5alem2	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + 𝑍))}) = (((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)}) ⊕ (𝑁‘{𝑌}))))

Proof of Theorem baerlem5alem2

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑑 𝑒 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		baerlem3.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		baerlem3.p	. . . . . . 7 ⊢ + = (+g‘𝑊)
3		baerlem3.m	. . . . . . 7 ⊢ − = (-g‘𝑊)
4		baerlem3.w	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
5		lveclmod 21105	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
7		lmodabl 20907	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
8	6, 7	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Abel)
9		baerlem3.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
10		baerlem3.y	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
11	10	eldifad 3963	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
12		baerlem3.z	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
13	12	eldifad 3963	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
14	1, 2, 3, 8, 9, 11, 13	ablsubsub4 19836	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 𝑌) − 𝑍) = (𝑋 − (𝑌 + 𝑍)))
15	14	sneqd 4638	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {((𝑋 − 𝑌) − 𝑍)} = {(𝑋 − (𝑌 + 𝑍))})
16	15	fveq2d 6910	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{((𝑋 − 𝑌) − 𝑍)}) = (𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + 𝑍))}))
17	1, 3	lmodvsubcl 20905	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝑉)
18	6, 9, 11, 17	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝑉)
19		baerlem3.s	. . . . . 6 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
20		baerlem3.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
21	1, 3, 19, 20	lspsntrim 21097	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{((𝑋 − 𝑌) − 𝑍)}) ⊆ ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})))
22	6, 18, 13, 21	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{((𝑋 − 𝑌) − 𝑍)}) ⊆ ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})))
23	16, 22	eqsstrrd 4019	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + 𝑍))}) ⊆ ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})))
24	1, 3, 8, 9, 13, 11	ablsub32 19839	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 𝑍) − 𝑌) = ((𝑋 − 𝑌) − 𝑍))
25	24, 14	eqtrd 2777	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 𝑍) − 𝑌) = (𝑋 − (𝑌 + 𝑍)))
26	25	sneqd 4638	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {((𝑋 − 𝑍) − 𝑌)} = {(𝑋 − (𝑌 + 𝑍))})
27	26	fveq2d 6910	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{((𝑋 − 𝑍) − 𝑌)}) = (𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + 𝑍))}))
28	1, 3	lmodvsubcl 20905	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑋 − 𝑍) ∈ 𝑉)
29	6, 9, 13, 28	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑍) ∈ 𝑉)
30	1, 3, 19, 20	lspsntrim 21097	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑋 − 𝑍) ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{((𝑋 − 𝑍) − 𝑌)}) ⊆ ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)}) ⊕ (𝑁‘{𝑌})))
31	6, 29, 11, 30	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{((𝑋 − 𝑍) − 𝑌)}) ⊆ ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)}) ⊕ (𝑁‘{𝑌})))
32	27, 31	eqsstrrd 4019	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + 𝑍))}) ⊆ ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)}) ⊕ (𝑁‘{𝑌})))
33	23, 32	ssind 4241	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + 𝑍))}) ⊆ (((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)}) ⊕ (𝑁‘{𝑌}))))
34		elin 3967	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ (((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)}) ⊕ (𝑁‘{𝑌}))) ↔ (𝑗 ∈ ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)}) ⊕ (𝑁‘{𝑌}))))
35		baerlem3.r	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
36		baerlem3.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
37		baerlem3.t	. . . . . . 7 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
38	1, 2, 35, 36, 37, 19, 20, 6, 18, 13	lsmspsn 21083	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐵 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍))))
39	1, 2, 35, 36, 37, 19, 20, 6, 29, 11	lsmspsn 21083	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)}) ⊕ (𝑁‘{𝑌})) ↔ ∃𝑑 ∈ 𝐵 ∃𝑒 ∈ 𝐵 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌))))
40	38, 39	anbi12d 632	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑗 ∈ ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)}) ⊕ (𝑁‘{𝑌}))) ↔ (∃𝑎 ∈ 𝐵 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍)) ∧ ∃𝑑 ∈ 𝐵 ∃𝑒 ∈ 𝐵 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌)))))
41	34, 40	bitrid 283	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ (((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)}) ⊕ (𝑁‘{𝑌}))) ↔ (∃𝑎 ∈ 𝐵 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍)) ∧ ∃𝑑 ∈ 𝐵 ∃𝑒 ∈ 𝐵 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌)))))
42		baerlem3.o	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
43		simp11 1204	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌))) → 𝜑)
44	43, 4	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌))) → 𝑊 ∈ LVec)
45	43, 9	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌))) → 𝑋 ∈ 𝑉)
46		baerlem3.c	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
47	43, 46	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌))) → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
48		baerlem3.d	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
49	43, 48	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌))) → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
50	43, 10	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌))) → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
51	43, 12	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌))) → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
52		baerlem3.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ⨣ = (+g‘𝑅)
53		baerlem3.l	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐿 = (-g‘𝑅)
54		baerlem3.q	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑄 = (0g‘𝑅)
55		baerlem3.i	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝑅)
56		simp12l 1287	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌))) → 𝑎 ∈ 𝐵)
57		simp12r 1288	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌))) → 𝑏 ∈ 𝐵)
58		simp2l 1200	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌))) → 𝑑 ∈ 𝐵)
59		simp2r 1201	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌))) → 𝑒 ∈ 𝐵)
60		simp13 1206	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌))) → 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍)))
61		simp3 1139	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌))) → 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌)))
62	1, 3, 42, 19, 20, 44, 45, 47, 49, 50, 51, 2, 37, 35, 36, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61	baerlem5alem1 41710	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌))) → 𝑗 = (𝑎 · (𝑋 − (𝑌 + 𝑍))))
63	43, 6	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌))) → 𝑊 ∈ LMod)
64	1, 2	lmodvacl 20873	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑌 + 𝑍) ∈ 𝑉)
65	6, 11, 13, 64	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑌 + 𝑍) ∈ 𝑉)
66	1, 3	lmodvsubcl 20905	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑌 + 𝑍) ∈ 𝑉) → (𝑋 − (𝑌 + 𝑍)) ∈ 𝑉)
67	6, 9, 65, 66	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − (𝑌 + 𝑍)) ∈ 𝑉)
68	43, 67	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌))) → (𝑋 − (𝑌 + 𝑍)) ∈ 𝑉)
69	1, 37, 35, 36, 20, 63, 56, 68	ellspsni 20999	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌))) → (𝑎 · (𝑋 − (𝑌 + 𝑍))) ∈ (𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + 𝑍))}))
70	62, 69	eqeltrd 2841	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌))) → 𝑗 ∈ (𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + 𝑍))}))
71	70	3exp 1120	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍))) → ((𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) → (𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌)) → 𝑗 ∈ (𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + 𝑍))}))))
72	71	rexlimdvv 3212	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍))) → (∃𝑑 ∈ 𝐵 ∃𝑒 ∈ 𝐵 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌)) → 𝑗 ∈ (𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + 𝑍))})))
73	72	3exp 1120	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍)) → (∃𝑑 ∈ 𝐵 ∃𝑒 ∈ 𝐵 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌)) → 𝑗 ∈ (𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + 𝑍))})))))
74	73	rexlimdvv 3212	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑎 ∈ 𝐵 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍)) → (∃𝑑 ∈ 𝐵 ∃𝑒 ∈ 𝐵 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌)) → 𝑗 ∈ (𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + 𝑍))}))))
75	74	impd 410	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((∃𝑎 ∈ 𝐵 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍)) ∧ ∃𝑑 ∈ 𝐵 ∃𝑒 ∈ 𝐵 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌))) → 𝑗 ∈ (𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + 𝑍))})))
76	41, 75	sylbid 240	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ (((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)}) ⊕ (𝑁‘{𝑌}))) → 𝑗 ∈ (𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + 𝑍))})))
77	76	ssrdv 3989	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)}) ⊕ (𝑁‘{𝑌}))) ⊆ (𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + 𝑍))}))
78	33, 77	eqssd 4001	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + 𝑍))}) = (((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)}) ⊕ (𝑁‘{𝑌}))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  ∃wrex 3070   ∖ cdif 3948   ∩ cin 3950   ⊆ wss 3951  {csn 4626  {cpr 4628  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  +_gcplusg 17297  Scalarcsca 17300   ·_𝑠 cvsca 17301  0_gc0g 17484  inv_gcminusg 18952  -_gcsg 18953  LSSumclsm 19652  Abelcabl 19799  LModclmod 20858  LSpanclspn 20969  LVecclvec 21101

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-subg 19141  df-cntz 19335  df-lsm 19654  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358  df-invr 20388  df-drng 20731  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-lsp 20970  df-lvec 21102

This theorem is referenced by:  baerlem5a  41716