Theorem grpsubadd 17944

Description: Relationship between group subtraction and addition. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpsubadd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpsubadd.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
grpsubadd.m	⊢ − = (-g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpsubadd	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 − 𝑌) = 𝑍 ↔ (𝑍 + 𝑌) = 𝑋))

Proof of Theorem grpsubadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpsubadd.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		grpsubadd.p	. . . . . . 7 ⊢ + = (+g‘𝐺)
3		eqid 2794	. . . . . . 7 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
4		grpsubadd.m	. . . . . . 7 ⊢ − = (-g‘𝐺)
5	1, 2, 3, 4	grpsubval 17906	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋 + ((invg‘𝐺)‘𝑌)))
6	5	3adant3 1125	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋 + ((invg‘𝐺)‘𝑌)))
7	6	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋 + ((invg‘𝐺)‘𝑌)))
8	7	eqeq1d 2796	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 − 𝑌) = 𝑍 ↔ (𝑋 + ((invg‘𝐺)‘𝑌)) = 𝑍))
9		simpl 483	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝐺 ∈ Grp)
10		simpr1 1187	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
11	1, 3	grpinvcl 17908	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘𝑌) ∈ 𝐵)
12	11	3ad2antr2 1182	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((invg‘𝐺)‘𝑌) ∈ 𝐵)
13	1, 2	grpcl 17869	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑋 + ((invg‘𝐺)‘𝑌)) ∈ 𝐵)
14	9, 10, 12, 13	syl3anc 1364	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 + ((invg‘𝐺)‘𝑌)) ∈ 𝐵)
15		simpr3 1189	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑍 ∈ 𝐵)
16		simpr2 1188	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
17	1, 2	grprcan 17894	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((𝑋 + ((invg‘𝐺)‘𝑌)) ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (((𝑋 + ((invg‘𝐺)‘𝑌)) + 𝑌) = (𝑍 + 𝑌) ↔ (𝑋 + ((invg‘𝐺)‘𝑌)) = 𝑍))
18	9, 14, 15, 16, 17	syl13anc 1365	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (((𝑋 + ((invg‘𝐺)‘𝑌)) + 𝑌) = (𝑍 + 𝑌) ↔ (𝑋 + ((invg‘𝐺)‘𝑌)) = 𝑍))
19	1, 2	grpass 17870	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + ((invg‘𝐺)‘𝑌)) + 𝑌) = (𝑋 + (((invg‘𝐺)‘𝑌) + 𝑌)))
20	9, 10, 12, 16, 19	syl13anc 1365	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + ((invg‘𝐺)‘𝑌)) + 𝑌) = (𝑋 + (((invg‘𝐺)‘𝑌) + 𝑌)))
21		eqid 2794	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
22	1, 2, 21, 3	grplinv 17909	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (((invg‘𝐺)‘𝑌) + 𝑌) = (0g‘𝐺))
23	22	3ad2antr2 1182	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (((invg‘𝐺)‘𝑌) + 𝑌) = (0g‘𝐺))
24	23	oveq2d 7035	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 + (((invg‘𝐺)‘𝑌) + 𝑌)) = (𝑋 + (0g‘𝐺)))
25	1, 2, 21	grprid 17892	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 + (0g‘𝐺)) = 𝑋)
26	25	3ad2antr1 1181	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 + (0g‘𝐺)) = 𝑋)
27	20, 24, 26	3eqtrd 2834	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + ((invg‘𝐺)‘𝑌)) + 𝑌) = 𝑋)
28	27	eqeq1d 2796	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (((𝑋 + ((invg‘𝐺)‘𝑌)) + 𝑌) = (𝑍 + 𝑌) ↔ 𝑋 = (𝑍 + 𝑌)))
29	8, 18, 28	3bitr2d 308	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 − 𝑌) = 𝑍 ↔ 𝑋 = (𝑍 + 𝑌)))
30		eqcom 2801	. 2 ⊢ (𝑋 = (𝑍 + 𝑌) ↔ (𝑍 + 𝑌) = 𝑋)
31	29, 30	syl6bb 288	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 − 𝑌) = 𝑍 ↔ (𝑍 + 𝑌) = 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1080   = wceq 1522   ∈ wcel 2080  ‘cfv 6228  (class class class)co 7019  Basecbs 16312  +_gcplusg 16394  0_gc0g 16542  Grpcgrp 17861  inv_gcminusg 17862  -_gcsg 17863

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1778  ax-4 1792  ax-5 1889  ax-6 1948  ax-7 1993  ax-8 2082  ax-9 2090  ax-10 2111  ax-11 2125  ax-12 2140  ax-13 2343  ax-ext 2768  ax-sep 5097  ax-nul 5104  ax-pow 5160  ax-pr 5224  ax-un 7322

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1763  df-nf 1767  df-sb 2042  df-mo 2575  df-eu 2611  df-clab 2775  df-cleq 2787  df-clel 2862  df-nfc 2934  df-ne 2984  df-ral 3109  df-rex 3110  df-reu 3111  df-rmo 3112  df-rab 3113  df-v 3438  df-sbc 3708  df-csb 3814  df-dif 3864  df-un 3866  df-in 3868  df-ss 3876  df-nul 4214  df-if 4384  df-pw 4457  df-sn 4475  df-pr 4477  df-op 4481  df-uni 4748  df-iun 4829  df-br 4965  df-opab 5027  df-mpt 5044  df-id 5351  df-xp 5452  df-rel 5453  df-cnv 5454  df-co 5455  df-dm 5456  df-rn 5457  df-res 5458  df-ima 5459  df-iota 6192  df-fun 6230  df-fn 6231  df-f 6232  df-fv 6236  df-riota 6980  df-ov 7022  df-oprab 7023  df-mpo 7024  df-1st 7548  df-2nd 7549  df-0g 16544  df-mgm 17681  df-sgrp 17723  df-mnd 17734  df-grp 17864  df-minusg 17865  df-sbg 17866

This theorem is referenced by:  grpsubsub4  17949  conjghm  18130  conjnmzb  18134  sylow3lem2  18483  ablsubadd  18657  ablsubsub23  18670  pgpfac1lem2  18914  pgpfac1lem4  18917  lspexch  19591  coe1subfv  20117  ipsubdir  20468  ipsubdi  20469  lindsunlem  30616  zlmodzxzsub  43900