Theorem grpsubadd 18663

Description: Relationship between group subtraction and addition. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpsubadd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpsubadd.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
grpsubadd.m	⊢ − = (-g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpsubadd	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 − 𝑌) = 𝑍 ↔ (𝑍 + 𝑌) = 𝑋))

Proof of Theorem grpsubadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpsubadd.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		grpsubadd.p	. . . . . . 7 ⊢ + = (+g‘𝐺)
3		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
4		grpsubadd.m	. . . . . . 7 ⊢ − = (-g‘𝐺)
5	1, 2, 3, 4	grpsubval 18625	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋 + ((invg‘𝐺)‘𝑌)))
6	5	3adant3 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋 + ((invg‘𝐺)‘𝑌)))
7	6	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋 + ((invg‘𝐺)‘𝑌)))
8	7	eqeq1d 2740	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 − 𝑌) = 𝑍 ↔ (𝑋 + ((invg‘𝐺)‘𝑌)) = 𝑍))
9		simpl 483	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝐺 ∈ Grp)
10		simpr1 1193	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
11	1, 3	grpinvcl 18627	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘𝑌) ∈ 𝐵)
12	11	3ad2antr2 1188	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((invg‘𝐺)‘𝑌) ∈ 𝐵)
13	1, 2	grpcl 18585	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑋 + ((invg‘𝐺)‘𝑌)) ∈ 𝐵)
14	9, 10, 12, 13	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 + ((invg‘𝐺)‘𝑌)) ∈ 𝐵)
15		simpr3 1195	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑍 ∈ 𝐵)
16		simpr2 1194	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
17	1, 2	grprcan 18613	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((𝑋 + ((invg‘𝐺)‘𝑌)) ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (((𝑋 + ((invg‘𝐺)‘𝑌)) + 𝑌) = (𝑍 + 𝑌) ↔ (𝑋 + ((invg‘𝐺)‘𝑌)) = 𝑍))
18	9, 14, 15, 16, 17	syl13anc 1371	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (((𝑋 + ((invg‘𝐺)‘𝑌)) + 𝑌) = (𝑍 + 𝑌) ↔ (𝑋 + ((invg‘𝐺)‘𝑌)) = 𝑍))
19	1, 2	grpass 18586	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + ((invg‘𝐺)‘𝑌)) + 𝑌) = (𝑋 + (((invg‘𝐺)‘𝑌) + 𝑌)))
20	9, 10, 12, 16, 19	syl13anc 1371	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + ((invg‘𝐺)‘𝑌)) + 𝑌) = (𝑋 + (((invg‘𝐺)‘𝑌) + 𝑌)))
21		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
22	1, 2, 21, 3	grplinv 18628	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (((invg‘𝐺)‘𝑌) + 𝑌) = (0g‘𝐺))
23	22	3ad2antr2 1188	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (((invg‘𝐺)‘𝑌) + 𝑌) = (0g‘𝐺))
24	23	oveq2d 7291	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 + (((invg‘𝐺)‘𝑌) + 𝑌)) = (𝑋 + (0g‘𝐺)))
25	1, 2, 21	grprid 18610	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 + (0g‘𝐺)) = 𝑋)
26	25	3ad2antr1 1187	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 + (0g‘𝐺)) = 𝑋)
27	20, 24, 26	3eqtrd 2782	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + ((invg‘𝐺)‘𝑌)) + 𝑌) = 𝑋)
28	27	eqeq1d 2740	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (((𝑋 + ((invg‘𝐺)‘𝑌)) + 𝑌) = (𝑍 + 𝑌) ↔ 𝑋 = (𝑍 + 𝑌)))
29	8, 18, 28	3bitr2d 307	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 − 𝑌) = 𝑍 ↔ 𝑋 = (𝑍 + 𝑌)))
30		eqcom 2745	. 2 ⊢ (𝑋 = (𝑍 + 𝑌) ↔ (𝑍 + 𝑌) = 𝑋)
31	29, 30	bitrdi 287	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 − 𝑌) = 𝑍 ↔ (𝑍 + 𝑌) = 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Basecbs 16912  +_gcplusg 16962  0_gc0g 17150  Grpcgrp 18577  inv_gcminusg 18578  -_gcsg 18579

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-0g 17152  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582

This theorem is referenced by:  grpsubsub4  18668  conjghm  18865  conjnmzb  18869  sylow3lem2  19233  ablsubadd  19413  ablsubsub23  19426  pgpfac1lem2  19678  pgpfac1lem4  19681  lspexch  20391  ipsubdir  20847  ipsubdi  20848  coe1subfv  21437  lindsunlem  31705  zlmodzxzsub  45696