Theorem grpsubadd 19002

Description: Relationship between group subtraction and addition. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpsubadd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpsubadd.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
grpsubadd.m	⊢ − = (-g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpsubadd	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 − 𝑌) = 𝑍 ↔ (𝑍 + 𝑌) = 𝑋))

Proof of Theorem grpsubadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpsubadd.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		grpsubadd.p	. . . . . . 7 ⊢ + = (+g‘𝐺)
3		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
4		grpsubadd.m	. . . . . . 7 ⊢ − = (-g‘𝐺)
5	1, 2, 3, 4	grpsubval 18959	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋 + ((invg‘𝐺)‘𝑌)))
6	5	3adant3 1138	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋 + ((invg‘𝐺)‘𝑌)))
7	6	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋 + ((invg‘𝐺)‘𝑌)))
8	7	eqeq1d 2742	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 − 𝑌) = 𝑍 ↔ (𝑋 + ((invg‘𝐺)‘𝑌)) = 𝑍))
9		simpl 483	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝐺 ∈ Grp)
10		simpr1 1201	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
11	1, 3	grpinvcl 18961	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘𝑌) ∈ 𝐵)
12	11	3ad2antr2 1196	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((invg‘𝐺)‘𝑌) ∈ 𝐵)
13	1, 2	grpcl 18915	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑋 + ((invg‘𝐺)‘𝑌)) ∈ 𝐵)
14	9, 10, 12, 13	syl3anc 1379	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 + ((invg‘𝐺)‘𝑌)) ∈ 𝐵)
15		simpr3 1203	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑍 ∈ 𝐵)
16		simpr2 1202	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
17	1, 2	grprcan 18947	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((𝑋 + ((invg‘𝐺)‘𝑌)) ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (((𝑋 + ((invg‘𝐺)‘𝑌)) + 𝑌) = (𝑍 + 𝑌) ↔ (𝑋 + ((invg‘𝐺)‘𝑌)) = 𝑍))
18	9, 14, 15, 16, 17	syl13anc 1380	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (((𝑋 + ((invg‘𝐺)‘𝑌)) + 𝑌) = (𝑍 + 𝑌) ↔ (𝑋 + ((invg‘𝐺)‘𝑌)) = 𝑍))
19	1, 2	grpass 18916	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + ((invg‘𝐺)‘𝑌)) + 𝑌) = (𝑋 + (((invg‘𝐺)‘𝑌) + 𝑌)))
20	9, 10, 12, 16, 19	syl13anc 1380	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + ((invg‘𝐺)‘𝑌)) + 𝑌) = (𝑋 + (((invg‘𝐺)‘𝑌) + 𝑌)))
21		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
22	1, 2, 21, 3	grplinv 18963	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (((invg‘𝐺)‘𝑌) + 𝑌) = (0g‘𝐺))
23	22	3ad2antr2 1196	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (((invg‘𝐺)‘𝑌) + 𝑌) = (0g‘𝐺))
24	23	oveq2d 7379	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 + (((invg‘𝐺)‘𝑌) + 𝑌)) = (𝑋 + (0g‘𝐺)))
25	1, 2, 21	grprid 18942	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 + (0g‘𝐺)) = 𝑋)
26	25	3ad2antr1 1195	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 + (0g‘𝐺)) = 𝑋)
27	20, 24, 26	3eqtrd 2779	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + ((invg‘𝐺)‘𝑌)) + 𝑌) = 𝑋)
28	27	eqeq1d 2742	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (((𝑋 + ((invg‘𝐺)‘𝑌)) + 𝑌) = (𝑍 + 𝑌) ↔ 𝑋 = (𝑍 + 𝑌)))
29	8, 18, 28	3bitr2d 308	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 − 𝑌) = 𝑍 ↔ 𝑋 = (𝑍 + 𝑌)))
30		eqcom 2747	. 2 ⊢ (𝑋 = (𝑍 + 𝑌) ↔ (𝑍 + 𝑌) = 𝑋)
31	29, 30	bitrdi 288	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 − 𝑌) = 𝑍 ↔ (𝑍 + 𝑌) = 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  Basecbs 17177  +_gcplusg 17218  0_gc0g 17400  Grpcgrp 18907  inv_gcminusg 18908  -_gcsg 18909

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-0g 17402  df-mgm 18606  df-sgrp 18685  df-mnd 18701  df-grp 18910  df-minusg 18911  df-sbg 18912

This theorem is referenced by:  grpsubsub4  19007  xpsgrpsub  19035  conjghm  19222  conjnmzb  19226  sylow3lem2  19601  ablsubadd  19782  ablsubsub23  19797  pgpfac1lem2  20050  pgpfac1lem4  20053  lspexch  21129  ipsubdir  21624  ipsubdi  21625  coe1subfv  22259  lindsunlem  33815  zlmodzxzsub  48858