Theorem dia0 41019

Description: The value of the partial isomorphism A at the lattice zero is the singleton of the identity translation i.e. the zero subspace. (Contributed by NM, 26-Nov-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
dia0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
dia0.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
dia0.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dia0.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
dia0	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐼‘ 0 ) = {( I ↾ 𝐵)})

Proof of Theorem dia0

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		hlatl 39326	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
3		dia0.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
4		dia0.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
5	3, 4	atl0cl 39269	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ AtLat → 0 ∈ 𝐵)
6	2, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 0 ∈ 𝐵)
7	6	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 0 ∈ 𝐵)
8		dia0.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
9	3, 8	lhpbase 39965	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ 𝐵)
10		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
11	3, 10, 4	atl0le 39270	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → 0 (le‘𝐾)𝑊)
12	2, 9, 11	syl2an 596	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 0 (le‘𝐾)𝑊)
13		eqid 2729	. . . 4 ⊢ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
14		eqid 2729	. . . 4 ⊢ ((trL‘𝐾)‘𝑊) = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
15		dia0.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
16	3, 10, 8, 13, 14, 15	diaval 40999	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ( 0 ∈ 𝐵 ∧ 0 (le‘𝐾)𝑊)) → (𝐼‘ 0 ) = {𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∣ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾) 0 })
17	1, 7, 12, 16	syl12anc 836	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐼‘ 0 ) = {𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∣ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾) 0 })
18	2	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → 𝐾 ∈ AtLat)
19	3, 8, 13, 14	trlcl 40131	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓) ∈ 𝐵)
20	3, 10, 4	atlle0 39271	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓) ∈ 𝐵) → ((((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾) 0 ↔ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓) = 0 ))
21	18, 19, 20	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → ((((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾) 0 ↔ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓) = 0 ))
22	3, 4, 8, 13, 14	trlid0b 40145	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → (𝑓 = ( I ↾ 𝐵) ↔ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓) = 0 ))
23	21, 22	bitr4d 282	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → ((((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾) 0 ↔ 𝑓 = ( I ↾ 𝐵)))
24	23	rabbidva 3409	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → {𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∣ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾) 0 } = {𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑓 = ( I ↾ 𝐵)})
25	3, 8, 13	idltrn 40117	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( I ↾ 𝐵) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
26		rabsn 4681	. . 3 ⊢ (( I ↾ 𝐵) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) → {𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑓 = ( I ↾ 𝐵)} = {( I ↾ 𝐵)})
27	25, 26	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → {𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑓 = ( I ↾ 𝐵)} = {( I ↾ 𝐵)})
28	17, 24, 27	3eqtrd 2768	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐼‘ 0 ) = {( I ↾ 𝐵)})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {crab 3402  {csn 4585   class class class wbr 5102   I cid 5525   ↾ cres 5633  ‘cfv 6499  Basecbs 17155  lecple 17203  0.cp0 18358  AtLatcal 39230  HLchlt 39316  LHypclh 39951  LTrncltrn 40068  trLctrl 40125  DIsoAcdia 40995

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-map 8778  df-proset 18231  df-poset 18250  df-plt 18265  df-lub 18281  df-glb 18282  df-join 18283  df-meet 18284  df-p0 18360  df-p1 18361  df-lat 18367  df-clat 18434  df-oposet 39142  df-ol 39144  df-oml 39145  df-covers 39232  df-ats 39233  df-atl 39264  df-cvlat 39288  df-hlat 39317  df-lhyp 39955  df-laut 39956  df-ldil 40071  df-ltrn 40072  df-trl 40126  df-disoa 40996

This theorem is referenced by:  dib0  41131