Theorem dia0 41071

Description: The value of the partial isomorphism A at the lattice zero is the singleton of the identity translation i.e. the zero subspace. (Contributed by NM, 26-Nov-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
dia0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
dia0.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
dia0.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dia0.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
dia0	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐼‘ 0 ) = {( I ↾ 𝐵)})

Proof of Theorem dia0

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		hlatl 39378	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
3		dia0.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
4		dia0.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
5	3, 4	atl0cl 39321	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ AtLat → 0 ∈ 𝐵)
6	2, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 0 ∈ 𝐵)
7	6	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 0 ∈ 𝐵)
8		dia0.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
9	3, 8	lhpbase 40017	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ 𝐵)
10		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
11	3, 10, 4	atl0le 39322	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → 0 (le‘𝐾)𝑊)
12	2, 9, 11	syl2an 596	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 0 (le‘𝐾)𝑊)
13		eqid 2735	. . . 4 ⊢ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
14		eqid 2735	. . . 4 ⊢ ((trL‘𝐾)‘𝑊) = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
15		dia0.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
16	3, 10, 8, 13, 14, 15	diaval 41051	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ( 0 ∈ 𝐵 ∧ 0 (le‘𝐾)𝑊)) → (𝐼‘ 0 ) = {𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∣ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾) 0 })
17	1, 7, 12, 16	syl12anc 836	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐼‘ 0 ) = {𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∣ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾) 0 })
18	2	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → 𝐾 ∈ AtLat)
19	3, 8, 13, 14	trlcl 40183	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓) ∈ 𝐵)
20	3, 10, 4	atlle0 39323	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓) ∈ 𝐵) → ((((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾) 0 ↔ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓) = 0 ))
21	18, 19, 20	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → ((((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾) 0 ↔ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓) = 0 ))
22	3, 4, 8, 13, 14	trlid0b 40197	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → (𝑓 = ( I ↾ 𝐵) ↔ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓) = 0 ))
23	21, 22	bitr4d 282	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → ((((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾) 0 ↔ 𝑓 = ( I ↾ 𝐵)))
24	23	rabbidva 3422	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → {𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∣ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾) 0 } = {𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑓 = ( I ↾ 𝐵)})
25	3, 8, 13	idltrn 40169	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( I ↾ 𝐵) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
26		rabsn 4697	. . 3 ⊢ (( I ↾ 𝐵) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) → {𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑓 = ( I ↾ 𝐵)} = {( I ↾ 𝐵)})
27	25, 26	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → {𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑓 = ( I ↾ 𝐵)} = {( I ↾ 𝐵)})
28	17, 24, 27	3eqtrd 2774	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐼‘ 0 ) = {( I ↾ 𝐵)})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  {crab 3415  {csn 4601   class class class wbr 5119   I cid 5547   ↾ cres 5656  ‘cfv 6531  Basecbs 17228  lecple 17278  0.cp0 18433  AtLatcal 39282  HLchlt 39368  LHypclh 40003  LTrncltrn 40120  trLctrl 40177  DIsoAcdia 41047

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-map 8842  df-proset 18306  df-poset 18325  df-plt 18340  df-lub 18356  df-glb 18357  df-join 18358  df-meet 18359  df-p0 18435  df-p1 18436  df-lat 18442  df-clat 18509  df-oposet 39194  df-ol 39196  df-oml 39197  df-covers 39284  df-ats 39285  df-atl 39316  df-cvlat 39340  df-hlat 39369  df-lhyp 40007  df-laut 40008  df-ldil 40123  df-ltrn 40124  df-trl 40178  df-disoa 41048

This theorem is referenced by:  dib0  41183