Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dia0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dia0 37211
Description: The value of the partial isomorphism A at the lattice zero is the singleton of the identity translation i.e. the zero subspace. (Contributed by NM, 26-Nov-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
dia0.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
dia0.z 0 = (0.‘𝐾)
dia0.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dia0.i 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
dia0 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝐼0 ) = {( I ↾ 𝐵)})

Proof of Theorem dia0
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 22 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 hlatl 35519 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
3 dia0.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐾)
4 dia0.z . . . . . 6 0 = (0.‘𝐾)
53, 4atl0cl 35462 . . . . 5 (𝐾 ∈ AtLat → 0𝐵)
62, 5syl 17 . . . 4 (𝐾 ∈ HL → 0𝐵)
76adantr 474 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 0𝐵)
8 dia0.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
93, 8lhpbase 36157 . . . 4 (𝑊𝐻𝑊𝐵)
10 eqid 2778 . . . . 5 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
113, 10, 4atl0le 35463 . . . 4 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑊𝐵) → 0 (le‘𝐾)𝑊)
122, 9, 11syl2an 589 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 0 (le‘𝐾)𝑊)
13 eqid 2778 . . . 4 ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
14 eqid 2778 . . . 4 ((trL‘𝐾)‘𝑊) = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
15 dia0.i . . . 4 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
163, 10, 8, 13, 14, 15diaval 37191 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ( 0𝐵0 (le‘𝐾)𝑊)) → (𝐼0 ) = {𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∣ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾) 0 })
171, 7, 12, 16syl12anc 827 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝐼0 ) = {𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∣ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾) 0 })
182ad2antrr 716 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → 𝐾 ∈ AtLat)
193, 8, 13, 14trlcl 36323 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓) ∈ 𝐵)
203, 10, 4atlle0 35464 . . . . 5 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓) ∈ 𝐵) → ((((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾) 0 ↔ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓) = 0 ))
2118, 19, 20syl2anc 579 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → ((((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾) 0 ↔ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓) = 0 ))
223, 4, 8, 13, 14trlid0b 36337 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → (𝑓 = ( I ↾ 𝐵) ↔ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓) = 0 ))
2321, 22bitr4d 274 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → ((((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾) 0𝑓 = ( I ↾ 𝐵)))
2423rabbidva 3385 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → {𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∣ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾) 0 } = {𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑓 = ( I ↾ 𝐵)})
253, 8, 13idltrn 36309 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ( I ↾ 𝐵) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
26 rabsn 4488 . . 3 (( I ↾ 𝐵) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) → {𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑓 = ( I ↾ 𝐵)} = {( I ↾ 𝐵)})
2725, 26syl 17 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → {𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑓 = ( I ↾ 𝐵)} = {( I ↾ 𝐵)})
2817, 24, 273eqtrd 2818 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝐼0 ) = {( I ↾ 𝐵)})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386   = wceq 1601  wcel 2107  {crab 3094  {csn 4398   class class class wbr 4888   I cid 5262  cres 5359  cfv 6137  Basecbs 16259  lecple 16349  0.cp0 17427  AtLatcal 35423  HLchlt 35509  LHypclh 36143  LTrncltrn 36260  trLctrl 36317  DIsoAcdia 37187
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4674  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-id 5263  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-map 8144  df-proset 17318  df-poset 17336  df-plt 17348  df-lub 17364  df-glb 17365  df-join 17366  df-meet 17367  df-p0 17429  df-p1 17430  df-lat 17436  df-clat 17498  df-oposet 35335  df-ol 35337  df-oml 35338  df-covers 35425  df-ats 35426  df-atl 35457  df-cvlat 35481  df-hlat 35510  df-lhyp 36147  df-laut 36148  df-ldil 36263  df-ltrn 36264  df-trl 36318  df-disoa 37188
This theorem is referenced by:  dib0  37323
  Copyright terms: Public domain W3C validator