Theorem atncvrN 39013

Description: Two atoms cannot satisfy the covering relation. (Contributed by NM, 7-Feb-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
atncvr.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
atncvr.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
atncvrN	⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑃𝐶𝑄)

Proof of Theorem atncvrN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2726	. . . 4 ⊢ (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
2		atncvr.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
3	1, 2	atn0 39006	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝑃 ≠ (0.‘𝐾))
4	3	3adant3 1129	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑃 ≠ (0.‘𝐾))
5		eqid 2726	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
6	5, 2	atbase 38987	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
7		eqid 2726	. . . . 5 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
8		atncvr.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
9	5, 7, 1, 8, 2	atcvreq0 39012	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃𝐶𝑄 ↔ 𝑃 = (0.‘𝐾)))
10	6, 9	syl3an2 1161	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃𝐶𝑄 ↔ 𝑃 = (0.‘𝐾)))
11	10	necon3bbid 2968	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑃𝐶𝑄 ↔ 𝑃 ≠ (0.‘𝐾)))
12	4, 11	mpbird 256	1 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑃𝐶𝑄)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1084   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2930   class class class wbr 5153  ‘cfv 6554  Basecbs 17213  lecple 17273  0.cp0 18448   ⋖ ccvr 38960  Atomscatm 38961  AtLatcal 38962

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-proset 18320  df-poset 18338  df-plt 18355  df-glb 18372  df-p0 18450  df-lat 18457  df-covers 38964  df-ats 38965  df-atl 38996

This theorem is referenced by: (None)