Theorem atncvrN 37329

Description: Two atoms cannot satisfy the covering relation. (Contributed by NM, 7-Feb-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
atncvr.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
atncvr.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
atncvrN	⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑃𝐶𝑄)

Proof of Theorem atncvrN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
2		atncvr.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
3	1, 2	atn0 37322	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝑃 ≠ (0.‘𝐾))
4	3	3adant3 1131	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑃 ≠ (0.‘𝐾))
5		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
6	5, 2	atbase 37303	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
7		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
8		atncvr.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
9	5, 7, 1, 8, 2	atcvreq0 37328	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃𝐶𝑄 ↔ 𝑃 = (0.‘𝐾)))
10	6, 9	syl3an2 1163	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃𝐶𝑄 ↔ 𝑃 = (0.‘𝐾)))
11	10	necon3bbid 2981	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑃𝐶𝑄 ↔ 𝑃 ≠ (0.‘𝐾)))
12	4, 11	mpbird 256	1 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑃𝐶𝑄)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943   class class class wbr 5074  ‘cfv 6433  Basecbs 16912  lecple 16969  0.cp0 18141   ⋖ ccvr 37276  Atomscatm 37277  AtLatcal 37278

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-proset 18013  df-poset 18031  df-plt 18048  df-glb 18065  df-p0 18143  df-lat 18150  df-covers 37280  df-ats 37281  df-atl 37312

This theorem is referenced by: (None)