Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  atncvrN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem atncvrN 36511
 Description: Two atoms cannot satisfy the covering relation. (Contributed by NM, 7-Feb-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
atncvr.c 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
atncvr.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
atncvrN ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → ¬ 𝑃𝐶𝑄)

Proof of Theorem atncvrN
StepHypRef Expression
1 eqid 2824 . . . 4 (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
2 atncvr.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
31, 2atn0 36504 . . 3 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃𝐴) → 𝑃 ≠ (0.‘𝐾))
433adant3 1129 . 2 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → 𝑃 ≠ (0.‘𝐾))
5 eqid 2824 . . . . 5 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
65, 2atbase 36485 . . . 4 (𝑃𝐴𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
7 eqid 2824 . . . . 5 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
8 atncvr.c . . . . 5 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
95, 7, 1, 8, 2atcvreq0 36510 . . . 4 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑄𝐴) → (𝑃𝐶𝑄𝑃 = (0.‘𝐾)))
106, 9syl3an2 1161 . . 3 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃𝐶𝑄𝑃 = (0.‘𝐾)))
1110necon3bbid 3050 . 2 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (¬ 𝑃𝐶𝑄𝑃 ≠ (0.‘𝐾)))
124, 11mpbird 260 1 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → ¬ 𝑃𝐶𝑄)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   ≠ wne 3013   class class class wbr 5047  ‘cfv 6336  Basecbs 16472  lecple 16561  0.cp0 17636   ⋖ ccvr 36458  Atomscatm 36459  AtLatcal 36460 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5171  ax-sep 5184  ax-nul 5191  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7444 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-op 4555  df-uni 4820  df-iun 4902  df-br 5048  df-opab 5110  df-mpt 5128  df-id 5441  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7096  df-proset 17527  df-poset 17545  df-plt 17557  df-glb 17574  df-p0 17638  df-lat 17645  df-covers 36462  df-ats 36463  df-atl 36494 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator