Theorem atncvrN 39273

Description: Two atoms cannot satisfy the covering relation. (Contributed by NM, 7-Feb-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
atncvr.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
atncvr.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
atncvrN	⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑃𝐶𝑄)

Proof of Theorem atncvrN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
2		atncvr.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
3	1, 2	atn0 39266	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝑃 ≠ (0.‘𝐾))
4	3	3adant3 1132	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑃 ≠ (0.‘𝐾))
5		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
6	5, 2	atbase 39247	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
7		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
8		atncvr.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
9	5, 7, 1, 8, 2	atcvreq0 39272	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃𝐶𝑄 ↔ 𝑃 = (0.‘𝐾)))
10	6, 9	syl3an2 1164	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃𝐶𝑄 ↔ 𝑃 = (0.‘𝐾)))
11	10	necon3bbid 2984	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑃𝐶𝑄 ↔ 𝑃 ≠ (0.‘𝐾)))
12	4, 11	mpbird 257	1 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑃𝐶𝑄)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946   class class class wbr 5166  ‘cfv 6575  Basecbs 17260  lecple 17320  0.cp0 18495   ⋖ ccvr 39220  Atomscatm 39221  AtLatcal 39222

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7772

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6527  df-fun 6577  df-fn 6578  df-f 6579  df-f1 6580  df-fo 6581  df-f1o 6582  df-fv 6583  df-riota 7406  df-proset 18367  df-poset 18385  df-plt 18402  df-glb 18419  df-p0 18497  df-lat 18504  df-covers 39224  df-ats 39225  df-atl 39256

This theorem is referenced by: (None)