Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  atncvrN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem atncvrN 39220
Description: Two atoms cannot satisfy the covering relation. (Contributed by NM, 7-Feb-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
atncvr.c 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
atncvr.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
atncvrN ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → ¬ 𝑃𝐶𝑄)

Proof of Theorem atncvrN
StepHypRef Expression
1 eqid 2734 . . . 4 (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
2 atncvr.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
31, 2atn0 39213 . . 3 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃𝐴) → 𝑃 ≠ (0.‘𝐾))
433adant3 1132 . 2 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → 𝑃 ≠ (0.‘𝐾))
5 eqid 2734 . . . . 5 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
65, 2atbase 39194 . . . 4 (𝑃𝐴𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
7 eqid 2734 . . . . 5 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
8 atncvr.c . . . . 5 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
95, 7, 1, 8, 2atcvreq0 39219 . . . 4 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑄𝐴) → (𝑃𝐶𝑄𝑃 = (0.‘𝐾)))
106, 9syl3an2 1164 . . 3 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃𝐶𝑄𝑃 = (0.‘𝐾)))
1110necon3bbid 2980 . 2 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (¬ 𝑃𝐶𝑄𝑃 ≠ (0.‘𝐾)))
124, 11mpbird 257 1 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → ¬ 𝑃𝐶𝑄)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  w3a 1087   = wceq 1537  wcel 2103  wne 2942   class class class wbr 5169  cfv 6572  Basecbs 17253  lecple 17313  0.cp0 18488  ccvr 39167  Atomscatm 39168  AtLatcal 39169
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2105  ax-9 2113  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2705  ax-rep 5306  ax-sep 5320  ax-nul 5327  ax-pow 5386  ax-pr 5450  ax-un 7766
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2890  df-ne 2943  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3383  df-reu 3384  df-rab 3439  df-v 3484  df-sbc 3799  df-csb 3916  df-dif 3973  df-un 3975  df-in 3977  df-ss 3987  df-nul 4348  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5021  df-br 5170  df-opab 5232  df-mpt 5253  df-id 5597  df-xp 5705  df-rel 5706  df-cnv 5707  df-co 5708  df-dm 5709  df-rn 5710  df-res 5711  df-ima 5712  df-iota 6524  df-fun 6574  df-fn 6575  df-f 6576  df-f1 6577  df-fo 6578  df-f1o 6579  df-fv 6580  df-riota 7401  df-proset 18360  df-poset 18378  df-plt 18395  df-glb 18412  df-p0 18490  df-lat 18497  df-covers 39171  df-ats 39172  df-atl 39203
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator