Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  atn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem atn0 37816
Description: An atom is not zero. (atne0 31329 analog.) (Contributed by NM, 5-Nov-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
atne0.z 0 = (0.β€˜πΎ)
atne0.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
atn0 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ 𝑃 β‰  0 )

Proof of Theorem atn0
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . . 4 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
2 eqid 2733 . . . 4 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
3 atne0.z . . . 4 0 = (0.β€˜πΎ)
4 atne0.a . . . 4 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
51, 2, 3, 4isat3 37815 . . 3 (𝐾 ∈ AtLat β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ↔ (𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑃 β‰  0 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ)(π‘₯(leβ€˜πΎ)𝑃 β†’ (π‘₯ = 𝑃 ∨ π‘₯ = 0 )))))
6 simp2 1138 . . 3 ((𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑃 β‰  0 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ)(π‘₯(leβ€˜πΎ)𝑃 β†’ (π‘₯ = 𝑃 ∨ π‘₯ = 0 ))) β†’ 𝑃 β‰  0 )
75, 6syl6bi 253 . 2 (𝐾 ∈ AtLat β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 β†’ 𝑃 β‰  0 ))
87imp 408 1 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ 𝑃 β‰  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061   class class class wbr 5106  β€˜cfv 6497  Basecbs 17088  lecple 17145  0.cp0 18317  Atomscatm 37771  AtLatcal 37772
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-plt 18224  df-glb 18241  df-p0 18319  df-covers 37774  df-ats 37775  df-atl 37806
This theorem is referenced by:  atncvrN  37823  atnle  37825  atlatmstc  37827  intnatN  37916  atcvrneN  37939  atcvrj2b  37941  2llnm3N  38078  pmapjat1  38362  lhpocnle  38525  lhpmatb  38540  lhp2atnle  38542  trlatn0  38681  ltrnnidn  38683  trlnidatb  38686  cdlemg33c  39217  cdlemg33e  39219  dihatexv  39847
  Copyright terms: Public domain W3C validator