Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  atn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem atn0 36516
Description: An atom is not zero. (atne0 30126 analog.) (Contributed by NM, 5-Nov-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
atne0.z 0 = (0.‘𝐾)
atne0.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
atn0 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃𝐴) → 𝑃0 )

Proof of Theorem atn0
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2824 . . . 4 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2 eqid 2824 . . . 4 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
3 atne0.z . . . 4 0 = (0.‘𝐾)
4 atne0.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
51, 2, 3, 4isat3 36515 . . 3 (𝐾 ∈ AtLat → (𝑃𝐴 ↔ (𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑃0 ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)(𝑥(le‘𝐾)𝑃 → (𝑥 = 𝑃𝑥 = 0 )))))
6 simp2 1134 . . 3 ((𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑃0 ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)(𝑥(le‘𝐾)𝑃 → (𝑥 = 𝑃𝑥 = 0 ))) → 𝑃0 )
75, 6syl6bi 256 . 2 (𝐾 ∈ AtLat → (𝑃𝐴𝑃0 ))
87imp 410 1 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃𝐴) → 𝑃0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  wo 844  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3014  wral 3133   class class class wbr 5053  cfv 6344  Basecbs 16481  lecple 16570  0.cp0 17645  Atomscatm 36471  AtLatcal 36472
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7452
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-op 4557  df-uni 4826  df-iun 4908  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-id 5448  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-riota 7104  df-plt 17566  df-glb 17583  df-p0 17647  df-covers 36474  df-ats 36475  df-atl 36506
This theorem is referenced by:  atncvrN  36523  atnle  36525  atlatmstc  36527  intnatN  36615  atcvrneN  36638  atcvrj2b  36640  2llnm3N  36777  pmapjat1  37061  lhpocnle  37224  lhpmatb  37239  lhp2atnle  37241  trlatn0  37380  ltrnnidn  37382  trlnidatb  37385  cdlemg33c  37916  cdlemg33e  37918  dihatexv  38546
  Copyright terms: Public domain W3C validator