Theorem atn0 35467

Description: An atom is not zero. (atne0 29780 analog.) (Contributed by NM, 5-Nov-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
atne0.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
atne0.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
atn0	⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝑃 ≠ 0 )

Proof of Theorem atn0

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2778	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2		eqid 2778	. . . 4 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
3		atne0.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
4		atne0.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5	1, 2, 3, 4	isat3 35466	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ AtLat → (𝑃 ∈ 𝐴 ↔ (𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑃 ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)(𝑥(le‘𝐾)𝑃 → (𝑥 = 𝑃 ∨ 𝑥 = 0 )))))
6		simp2 1128	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑃 ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)(𝑥(le‘𝐾)𝑃 → (𝑥 = 𝑃 ∨ 𝑥 = 0 ))) → 𝑃 ≠ 0 )
7	5, 6	syl6bi 245	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ AtLat → (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ≠ 0 ))
8	7	imp 397	1 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝑃 ≠ 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   ∨ wo 836   ∧ w3a 1071   = wceq 1601   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2969  ∀wral 3090   class class class wbr 4888  ‘cfv 6137  Basecbs 16259  lecple 16349  0.cp0 17427  Atomscatm 35422  AtLatcal 35423

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4674  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-id 5263  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-plt 17348  df-glb 17365  df-p0 17429  df-covers 35425  df-ats 35426  df-atl 35457

This theorem is referenced by:  atncvrN  35474  atnle  35476  atlatmstc  35478  intnatN  35566  atcvrneN  35589  atcvrj2b  35591  2llnm3N  35728  pmapjat1  36012  lhpocnle  36175  lhpmatb  36190  lhp2atnle  36192  trlatn0  36331  ltrnnidn  36333  trlnidatb  36336  cdlemg33c  36867  cdlemg33e  36869  dihatexv  37497