Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  atn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem atn0 37737
Description: An atom is not zero. (atne0 31173 analog.) (Contributed by NM, 5-Nov-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
atne0.z 0 = (0.‘𝐾)
atne0.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
atn0 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃𝐴) → 𝑃0 )

Proof of Theorem atn0
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2736 . . . 4 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2 eqid 2736 . . . 4 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
3 atne0.z . . . 4 0 = (0.‘𝐾)
4 atne0.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
51, 2, 3, 4isat3 37736 . . 3 (𝐾 ∈ AtLat → (𝑃𝐴 ↔ (𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑃0 ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)(𝑥(le‘𝐾)𝑃 → (𝑥 = 𝑃𝑥 = 0 )))))
6 simp2 1137 . . 3 ((𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑃0 ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)(𝑥(le‘𝐾)𝑃 → (𝑥 = 𝑃𝑥 = 0 ))) → 𝑃0 )
75, 6syl6bi 252 . 2 (𝐾 ∈ AtLat → (𝑃𝐴𝑃0 ))
87imp 407 1 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃𝐴) → 𝑃0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wo 845  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2941  wral 3062   class class class wbr 5103  cfv 6493  Basecbs 17075  lecple 17132  0.cp0 18304  Atomscatm 37692  AtLatcal 37693
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7668
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-id 5529  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7309  df-plt 18211  df-glb 18228  df-p0 18306  df-covers 37695  df-ats 37696  df-atl 37727
This theorem is referenced by:  atncvrN  37744  atnle  37746  atlatmstc  37748  intnatN  37837  atcvrneN  37860  atcvrj2b  37862  2llnm3N  37999  pmapjat1  38283  lhpocnle  38446  lhpmatb  38461  lhp2atnle  38463  trlatn0  38602  ltrnnidn  38604  trlnidatb  38607  cdlemg33c  39138  cdlemg33e  39140  dihatexv  39768
  Copyright terms: Public domain W3C validator