Theorem atn0 39768

Description: An atom is not zero. (atne0 32431 analog.) (Contributed by NM, 5-Nov-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
atne0.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
atne0.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
atn0	⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝑃 ≠ 0 )

Proof of Theorem atn0

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
3		atne0.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
4		atne0.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5	1, 2, 3, 4	isat3 39767	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ AtLat → (𝑃 ∈ 𝐴 ↔ (𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑃 ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)(𝑥(le‘𝐾)𝑃 → (𝑥 = 𝑃 ∨ 𝑥 = 0 )))))
6		simp2 1138	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑃 ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)(𝑥(le‘𝐾)𝑃 → (𝑥 = 𝑃 ∨ 𝑥 = 0 ))) → 𝑃 ≠ 0 )
7	5, 6	biimtrdi 253	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ AtLat → (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ≠ 0 ))
8	7	imp 406	1 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝑃 ≠ 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052   class class class wbr 5086  ‘cfv 6492  Basecbs 17170  lecple 17218  0.cp0 18378  Atomscatm 39723  AtLatcal 39724

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-plt 18285  df-glb 18302  df-p0 18380  df-covers 39726  df-ats 39727  df-atl 39758

This theorem is referenced by:  atncvrN  39775  atnle  39777  atlatmstc  39779  intnatN  39867  atcvrneN  39890  atcvrj2b  39892  2llnm3N  40029  pmapjat1  40313  lhpocnle  40476  lhpmatb  40491  lhp2atnle  40493  trlatn0  40632  ltrnnidn  40634  trlnidatb  40637  cdlemg33c  41168  cdlemg33e  41170  dihatexv  41798