Theorem atn0 39939

Description: An atom is not zero. (atne0 32602 analog.) (Contributed by NM, 5-Nov-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
atne0.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
atne0.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
atn0	⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝑃 ≠ 0 )

Proof of Theorem atn0

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
3		atne0.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
4		atne0.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5	1, 2, 3, 4	isat3 39938	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ AtLat → (𝑃 ∈ 𝐴 ↔ (𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑃 ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)(𝑥(le‘𝐾)𝑃 → (𝑥 = 𝑃 ∨ 𝑥 = 0 )))))
6		simp2 1153	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑃 ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)(𝑥(le‘𝐾)𝑃 → (𝑥 = 𝑃 ∨ 𝑥 = 0 ))) → 𝑃 ≠ 0 )
7	5, 6	biimtrdi 256	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ AtLat → (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ≠ 0 ))
8	7	imp 411	1 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝑃 ≠ 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∨ wo 860   ∧ w3a 1101   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960  ∀wral 3079   class class class wbr 5104  ‘cfv 6525  Basecbs 17257  lecple 17305  0.cp0 18465  Atomscatm 39894  AtLatcal 39895

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5231  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-plt 18372  df-glb 18389  df-p0 18467  df-covers 39897  df-ats 39898  df-atl 39929

This theorem is referenced by:  atncvrN  39946  atnle  39948  atlatmstc  39950  intnatN  40038  atcvrneN  40061  atcvrj2b  40063  2llnm3N  40200  pmapjat1  40484  lhpocnle  40647  lhpmatb  40662  lhp2atnle  40664  trlatn0  40803  ltrnnidn  40805  trlnidatb  40808  cdlemg33c  41339  cdlemg33e  41341  dihatexv  41969