Theorem atn0 39892

Description: An atom is not zero. (atne0 32504 analog.) (Contributed by NM, 5-Nov-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
atne0.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
atne0.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
atn0	⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝑃 ≠ 0 )

Proof of Theorem atn0

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
3		atne0.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
4		atne0.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5	1, 2, 3, 4	isat3 39891	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ AtLat → (𝑃 ∈ 𝐴 ↔ (𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑃 ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)(𝑥(le‘𝐾)𝑃 → (𝑥 = 𝑃 ∨ 𝑥 = 0 )))))
6		simp2 1149	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑃 ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)(𝑥(le‘𝐾)𝑃 → (𝑥 = 𝑃 ∨ 𝑥 = 0 ))) → 𝑃 ≠ 0 )
7	5, 6	biimtrdi 255	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ AtLat → (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ≠ 0 ))
8	7	imp 410	1 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝑃 ≠ 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∨ wo 858   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  ∀wral 3075   class class class wbr 5097  ‘cfv 6515  Basecbs 17235  lecple 17283  0.cp0 18443  Atomscatm 39847  AtLatcal 39848

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7712

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-id 5538  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-riota 7347  df-plt 18350  df-glb 18367  df-p0 18445  df-covers 39850  df-ats 39851  df-atl 39882

This theorem is referenced by:  atncvrN  39899  atnle  39901  atlatmstc  39903  intnatN  39991  atcvrneN  40014  atcvrj2b  40016  2llnm3N  40153  pmapjat1  40437  lhpocnle  40600  lhpmatb  40615  lhp2atnle  40617  trlatn0  40756  ltrnnidn  40758  trlnidatb  40761  cdlemg33c  41292  cdlemg33e  41294  dihatexv  41922