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Theorem boxcutc 8184
Description: The relative complement of a box set restricted on one axis. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
boxcutc ((𝑋𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐶𝐵) → (X𝑘𝐴 𝐵X𝑘𝐴 if(𝑘 = 𝑋, 𝐶, 𝐵)) = X𝑘𝐴 if(𝑘 = 𝑋, (𝐵𝐶), 𝐵))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑋
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem boxcutc
Dummy variables 𝑙 𝑚 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldifi 3931 . . 3 (𝑧 ∈ (X𝑘𝐴 𝐵X𝑘𝐴 if(𝑘 = 𝑋, 𝐶, 𝐵)) → 𝑧X𝑘𝐴 𝐵)
21adantl 469 . 2 (((𝑋𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐶𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (X𝑘𝐴 𝐵X𝑘𝐴 if(𝑘 = 𝑋, 𝐶, 𝐵))) → 𝑧X𝑘𝐴 𝐵)
3 sseq1 3823 . . . . . 6 ((𝐵𝐶) = if(𝑘 = 𝑋, (𝐵𝐶), 𝐵) → ((𝐵𝐶) ⊆ 𝐵 ↔ if(𝑘 = 𝑋, (𝐵𝐶), 𝐵) ⊆ 𝐵))
4 sseq1 3823 . . . . . 6 (𝐵 = if(𝑘 = 𝑋, (𝐵𝐶), 𝐵) → (𝐵𝐵 ↔ if(𝑘 = 𝑋, (𝐵𝐶), 𝐵) ⊆ 𝐵))
5 difss 3936 . . . . . 6 (𝐵𝐶) ⊆ 𝐵
6 ssid 3820 . . . . . 6 𝐵𝐵
73, 4, 5, 6keephyp 4348 . . . . 5 if(𝑘 = 𝑋, (𝐵𝐶), 𝐵) ⊆ 𝐵
87rgenw 3112 . . . 4 𝑘𝐴 if(𝑘 = 𝑋, (𝐵𝐶), 𝐵) ⊆ 𝐵
9 ss2ixp 8154 . . . 4 (∀𝑘𝐴 if(𝑘 = 𝑋, (𝐵𝐶), 𝐵) ⊆ 𝐵X𝑘𝐴 if(𝑘 = 𝑋, (𝐵𝐶), 𝐵) ⊆ X𝑘𝐴 𝐵)
108, 9mp1i 13 . . 3 ((𝑋𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐶𝐵) → X𝑘𝐴 if(𝑘 = 𝑋, (𝐵𝐶), 𝐵) ⊆ X𝑘𝐴 𝐵)
1110sselda 3798 . 2 (((𝑋𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐶𝐵) ∧ 𝑧X𝑘𝐴 if(𝑘 = 𝑋, (𝐵𝐶), 𝐵)) → 𝑧X𝑘𝐴 𝐵)
12 ixpfn 8147 . . . . . . . . 9 (𝑧X𝑘𝐴 𝐵𝑧 Fn 𝐴)
1312adantl 469 . . . . . . . 8 (((𝑋𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐶𝐵) ∧ 𝑧X𝑘𝐴 𝐵) → 𝑧 Fn 𝐴)
1413biantrurd 524 . . . . . . 7 (((𝑋𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐶𝐵) ∧ 𝑧X𝑘𝐴 𝐵) → (∀𝑘𝐴 (𝑧𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝑋, 𝐶, 𝐵) ↔ (𝑧 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑧𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝑋, 𝐶, 𝐵))))
15 vex 3394 . . . . . . . 8 𝑧 ∈ V
1615elixp 8148 . . . . . . 7 (𝑧X𝑘𝐴 if(𝑘 = 𝑋, 𝐶, 𝐵) ↔ (𝑧 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑧𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝑋, 𝐶, 𝐵)))
1714, 16syl6rbbr 281 . . . . . 6 (((𝑋𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐶𝐵) ∧ 𝑧X𝑘𝐴 𝐵) → (𝑧X𝑘𝐴 if(𝑘 = 𝑋, 𝐶, 𝐵) ↔ ∀𝑘𝐴 (𝑧𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝑋, 𝐶, 𝐵)))
1817notbid 309 . . . . 5 (((𝑋𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐶𝐵) ∧ 𝑧X𝑘𝐴 𝐵) → (¬ 𝑧X𝑘𝐴 if(𝑘 = 𝑋, 𝐶, 𝐵) ↔ ¬ ∀𝑘𝐴 (𝑧𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝑋, 𝐶, 𝐵)))
19 rexnal 3182 . . . . . 6 (∃𝑘𝐴 ¬ (𝑧𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝑋, 𝐶, 𝐵) ↔ ¬ ∀𝑘𝐴 (𝑧𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝑋, 𝐶, 𝐵))
20 eleq2 2874 . . . . . . . . . 10 ((𝑚 / 𝑘𝐵𝑚 / 𝑘𝐶) = if(𝑚 = 𝑋, (𝑚 / 𝑘𝐵𝑚 / 𝑘𝐶), 𝑚 / 𝑘𝐵) → ((𝑧𝑚) ∈ (𝑚 / 𝑘𝐵𝑚 / 𝑘𝐶) ↔ (𝑧𝑚) ∈ if(𝑚 = 𝑋, (𝑚 / 𝑘𝐵𝑚 / 𝑘𝐶), 𝑚 / 𝑘𝐵)))
21 eleq2 2874 . . . . . . . . . 10 (𝑚 / 𝑘𝐵 = if(𝑚 = 𝑋, (𝑚 / 𝑘𝐵𝑚 / 𝑘𝐶), 𝑚 / 𝑘𝐵) → ((𝑧𝑚) ∈ 𝑚 / 𝑘𝐵 ↔ (𝑧𝑚) ∈ if(𝑚 = 𝑋, (𝑚 / 𝑘𝐵𝑚 / 𝑘𝐶), 𝑚 / 𝑘𝐵)))
22 eleq2 2874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑙 / 𝑘𝐶 = if(𝑙 = 𝑋, 𝑙 / 𝑘𝐶, 𝑙 / 𝑘𝐵) → ((𝑧𝑙) ∈ 𝑙 / 𝑘𝐶 ↔ (𝑧𝑙) ∈ if(𝑙 = 𝑋, 𝑙 / 𝑘𝐶, 𝑙 / 𝑘𝐵)))
23 eleq2 2874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑙 / 𝑘𝐵 = if(𝑙 = 𝑋, 𝑙 / 𝑘𝐶, 𝑙 / 𝑘𝐵) → ((𝑧𝑙) ∈ 𝑙 / 𝑘𝐵 ↔ (𝑧𝑙) ∈ if(𝑙 = 𝑋, 𝑙 / 𝑘𝐶, 𝑙 / 𝑘𝐵)))
24 simpl 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑋𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐶𝐵) → 𝑋𝐴)
2515elixp 8148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑧X𝑘𝐴 𝐵 ↔ (𝑧 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑧𝑘) ∈ 𝐵))
2625simprbi 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑧X𝑘𝐴 𝐵 → ∀𝑘𝐴 (𝑧𝑘) ∈ 𝐵)
27 nfv 2005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 𝑙(𝑧𝑘) ∈ 𝐵
28 nfcsb1v 3744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 𝑘𝑙 / 𝑘𝐵
2928nfel2 2965 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 𝑘(𝑧𝑙) ∈ 𝑙 / 𝑘𝐵
30 fveq2 6404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑘 = 𝑙 → (𝑧𝑘) = (𝑧𝑙))
31 csbeq1a 3737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑘 = 𝑙𝐵 = 𝑙 / 𝑘𝐵)
3230, 31eleq12d 2879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑘 = 𝑙 → ((𝑧𝑘) ∈ 𝐵 ↔ (𝑧𝑙) ∈ 𝑙 / 𝑘𝐵))
3327, 29, 32cbvral 3356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (∀𝑘𝐴 (𝑧𝑘) ∈ 𝐵 ↔ ∀𝑙𝐴 (𝑧𝑙) ∈ 𝑙 / 𝑘𝐵)
3426, 33sylib 209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑧X𝑘𝐴 𝐵 → ∀𝑙𝐴 (𝑧𝑙) ∈ 𝑙 / 𝑘𝐵)
35 fveq2 6404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑙 = 𝑋 → (𝑧𝑙) = (𝑧𝑋))
36 csbeq1 3731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑙 = 𝑋𝑙 / 𝑘𝐵 = 𝑋 / 𝑘𝐵)
3735, 36eleq12d 2879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑙 = 𝑋 → ((𝑧𝑙) ∈ 𝑙 / 𝑘𝐵 ↔ (𝑧𝑋) ∈ 𝑋 / 𝑘𝐵))
3837rspcva 3500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑋𝐴 ∧ ∀𝑙𝐴 (𝑧𝑙) ∈ 𝑙 / 𝑘𝐵) → (𝑧𝑋) ∈ 𝑋 / 𝑘𝐵)
3924, 34, 38syl2an 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑋𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐶𝐵) ∧ 𝑧X𝑘𝐴 𝐵) → (𝑧𝑋) ∈ 𝑋 / 𝑘𝐵)
40 neldif 3934 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑧𝑋) ∈ 𝑋 / 𝑘𝐵 ∧ ¬ (𝑧𝑋) ∈ (𝑋 / 𝑘𝐵𝑋 / 𝑘𝐶)) → (𝑧𝑋) ∈ 𝑋 / 𝑘𝐶)
4139, 40sylan 571 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑋𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐶𝐵) ∧ 𝑧X𝑘𝐴 𝐵) ∧ ¬ (𝑧𝑋) ∈ (𝑋 / 𝑘𝐵𝑋 / 𝑘𝐶)) → (𝑧𝑋) ∈ 𝑋 / 𝑘𝐶)
4241adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝑋𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐶𝐵) ∧ 𝑧X𝑘𝐴 𝐵) ∧ ¬ (𝑧𝑋) ∈ (𝑋 / 𝑘𝐵𝑋 / 𝑘𝐶)) ∧ 𝑙𝐴) → (𝑧𝑋) ∈ 𝑋 / 𝑘𝐶)
43 csbeq1 3731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑙 = 𝑋𝑙 / 𝑘𝐶 = 𝑋 / 𝑘𝐶)
4435, 43eleq12d 2879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑙 = 𝑋 → ((𝑧𝑙) ∈ 𝑙 / 𝑘𝐶 ↔ (𝑧𝑋) ∈ 𝑋 / 𝑘𝐶))
4542, 44syl5ibrcom 238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝑋𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐶𝐵) ∧ 𝑧X𝑘𝐴 𝐵) ∧ ¬ (𝑧𝑋) ∈ (𝑋 / 𝑘𝐵𝑋 / 𝑘𝐶)) ∧ 𝑙𝐴) → (𝑙 = 𝑋 → (𝑧𝑙) ∈ 𝑙 / 𝑘𝐶))
4645imp 395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝑋𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐶𝐵) ∧ 𝑧X𝑘𝐴 𝐵) ∧ ¬ (𝑧𝑋) ∈ (𝑋 / 𝑘𝐵𝑋 / 𝑘𝐶)) ∧ 𝑙𝐴) ∧ 𝑙 = 𝑋) → (𝑧𝑙) ∈ 𝑙 / 𝑘𝐶)
4734ad2antlr 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑋𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐶𝐵) ∧ 𝑧X𝑘𝐴 𝐵) ∧ ¬ (𝑧𝑋) ∈ (𝑋 / 𝑘𝐵𝑋 / 𝑘𝐶)) → ∀𝑙𝐴 (𝑧𝑙) ∈ 𝑙 / 𝑘𝐵)
4847r19.21bi 3120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝑋𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐶𝐵) ∧ 𝑧X𝑘𝐴 𝐵) ∧ ¬ (𝑧𝑋) ∈ (𝑋 / 𝑘𝐵𝑋 / 𝑘𝐶)) ∧ 𝑙𝐴) → (𝑧𝑙) ∈ 𝑙 / 𝑘𝐵)
4948adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝑋𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐶𝐵) ∧ 𝑧X𝑘𝐴 𝐵) ∧ ¬ (𝑧𝑋) ∈ (𝑋 / 𝑘𝐵𝑋 / 𝑘𝐶)) ∧ 𝑙𝐴) ∧ ¬ 𝑙 = 𝑋) → (𝑧𝑙) ∈ 𝑙 / 𝑘𝐵)
5022, 23, 46, 49ifbothda 4316 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝑋𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐶𝐵) ∧ 𝑧X𝑘𝐴 𝐵) ∧ ¬ (𝑧𝑋) ∈ (𝑋 / 𝑘𝐵𝑋 / 𝑘𝐶)) ∧ 𝑙𝐴) → (𝑧𝑙) ∈ if(𝑙 = 𝑋, 𝑙 / 𝑘𝐶, 𝑙 / 𝑘𝐵))
5150ralrimiva 3154 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑋𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐶𝐵) ∧ 𝑧X𝑘𝐴 𝐵) ∧ ¬ (𝑧𝑋) ∈ (𝑋 / 𝑘𝐵𝑋 / 𝑘𝐶)) → ∀𝑙𝐴 (𝑧𝑙) ∈ if(𝑙 = 𝑋, 𝑙 / 𝑘𝐶, 𝑙 / 𝑘𝐵))
52 dfral2 3181 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (∀𝑙𝐴 (𝑧𝑙) ∈ if(𝑙 = 𝑋, 𝑙 / 𝑘𝐶, 𝑙 / 𝑘𝐵) ↔ ¬ ∃𝑙𝐴 ¬ (𝑧𝑙) ∈ if(𝑙 = 𝑋, 𝑙 / 𝑘𝐶, 𝑙 / 𝑘𝐵))
5351, 52sylib 209 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑋𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐶𝐵) ∧ 𝑧X𝑘𝐴 𝐵) ∧ ¬ (𝑧𝑋) ∈ (𝑋 / 𝑘𝐵𝑋 / 𝑘𝐶)) → ¬ ∃𝑙𝐴 ¬ (𝑧𝑙) ∈ if(𝑙 = 𝑋, 𝑙 / 𝑘𝐶, 𝑙 / 𝑘𝐵))
5453ex 399 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑋𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐶𝐵) ∧ 𝑧X𝑘𝐴 𝐵) → (¬ (𝑧𝑋) ∈ (𝑋 / 𝑘𝐵𝑋 / 𝑘𝐶) → ¬ ∃𝑙𝐴 ¬ (𝑧𝑙) ∈ if(𝑙 = 𝑋, 𝑙 / 𝑘𝐶, 𝑙 / 𝑘𝐵)))
5554con4d 115 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑋𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐶𝐵) ∧ 𝑧X𝑘𝐴 𝐵) → (∃𝑙𝐴 ¬ (𝑧𝑙) ∈ if(𝑙 = 𝑋, 𝑙 / 𝑘𝐶, 𝑙 / 𝑘𝐵) → (𝑧𝑋) ∈ (𝑋 / 𝑘𝐵𝑋 / 𝑘𝐶)))
5655imp 395 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑋𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐶𝐵) ∧ 𝑧X𝑘𝐴 𝐵) ∧ ∃𝑙𝐴 ¬ (𝑧𝑙) ∈ if(𝑙 = 𝑋, 𝑙 / 𝑘𝐶, 𝑙 / 𝑘𝐵)) → (𝑧𝑋) ∈ (𝑋 / 𝑘𝐵𝑋 / 𝑘𝐶))
5756adantr 468 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑋𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐶𝐵) ∧ 𝑧X𝑘𝐴 𝐵) ∧ ∃𝑙𝐴 ¬ (𝑧𝑙) ∈ if(𝑙 = 𝑋, 𝑙 / 𝑘𝐶, 𝑙 / 𝑘𝐵)) ∧ 𝑚𝐴) → (𝑧𝑋) ∈ (𝑋 / 𝑘𝐵𝑋 / 𝑘𝐶))
58 fveq2 6404 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 = 𝑋 → (𝑧𝑚) = (𝑧𝑋))
59 csbeq1 3731 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 = 𝑋𝑚 / 𝑘𝐵 = 𝑋 / 𝑘𝐵)
60 csbeq1 3731 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 = 𝑋𝑚 / 𝑘𝐶 = 𝑋 / 𝑘𝐶)
6159, 60difeq12d 3928 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 = 𝑋 → (𝑚 / 𝑘𝐵𝑚 / 𝑘𝐶) = (𝑋 / 𝑘𝐵𝑋 / 𝑘𝐶))
6258, 61eleq12d 2879 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = 𝑋 → ((𝑧𝑚) ∈ (𝑚 / 𝑘𝐵𝑚 / 𝑘𝐶) ↔ (𝑧𝑋) ∈ (𝑋 / 𝑘𝐵𝑋 / 𝑘𝐶)))
6357, 62syl5ibrcom 238 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑋𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐶𝐵) ∧ 𝑧X𝑘𝐴 𝐵) ∧ ∃𝑙𝐴 ¬ (𝑧𝑙) ∈ if(𝑙 = 𝑋, 𝑙 / 𝑘𝐶, 𝑙 / 𝑘𝐵)) ∧ 𝑚𝐴) → (𝑚 = 𝑋 → (𝑧𝑚) ∈ (𝑚 / 𝑘𝐵𝑚 / 𝑘𝐶)))
6463imp 395 . . . . . . . . . 10 ((((((𝑋𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐶𝐵) ∧ 𝑧X𝑘𝐴 𝐵) ∧ ∃𝑙𝐴 ¬ (𝑧𝑙) ∈ if(𝑙 = 𝑋, 𝑙 / 𝑘𝐶, 𝑙 / 𝑘𝐵)) ∧ 𝑚𝐴) ∧ 𝑚 = 𝑋) → (𝑧𝑚) ∈ (𝑚 / 𝑘𝐵𝑚 / 𝑘𝐶))
65 nfv 2005 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑚(𝑧𝑘) ∈ 𝐵
66 nfcsb1v 3744 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑘𝑚 / 𝑘𝐵
6766nfel2 2965 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑘(𝑧𝑚) ∈ 𝑚 / 𝑘𝐵
68 fveq2 6404 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 𝑚 → (𝑧𝑘) = (𝑧𝑚))
69 csbeq1a 3737 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 𝑚𝐵 = 𝑚 / 𝑘𝐵)
7068, 69eleq12d 2879 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 𝑚 → ((𝑧𝑘) ∈ 𝐵 ↔ (𝑧𝑚) ∈ 𝑚 / 𝑘𝐵))
7165, 67, 70cbvral 3356 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑘𝐴 (𝑧𝑘) ∈ 𝐵 ↔ ∀𝑚𝐴 (𝑧𝑚) ∈ 𝑚 / 𝑘𝐵)
7226, 71sylib 209 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧X𝑘𝐴 𝐵 → ∀𝑚𝐴 (𝑧𝑚) ∈ 𝑚 / 𝑘𝐵)
7372ad2antlr 709 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑋𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐶𝐵) ∧ 𝑧X𝑘𝐴 𝐵) ∧ ∃𝑙𝐴 ¬ (𝑧𝑙) ∈ if(𝑙 = 𝑋, 𝑙 / 𝑘𝐶, 𝑙 / 𝑘𝐵)) → ∀𝑚𝐴 (𝑧𝑚) ∈ 𝑚 / 𝑘𝐵)
7473r19.21bi 3120 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑋𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐶𝐵) ∧ 𝑧X𝑘𝐴 𝐵) ∧ ∃𝑙𝐴 ¬ (𝑧𝑙) ∈ if(𝑙 = 𝑋, 𝑙 / 𝑘𝐶, 𝑙 / 𝑘𝐵)) ∧ 𝑚𝐴) → (𝑧𝑚) ∈ 𝑚 / 𝑘𝐵)
7574adantr 468 . . . . . . . . . 10 ((((((𝑋𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐶𝐵) ∧ 𝑧X𝑘𝐴 𝐵) ∧ ∃𝑙𝐴 ¬ (𝑧𝑙) ∈ if(𝑙 = 𝑋, 𝑙 / 𝑘𝐶, 𝑙 / 𝑘𝐵)) ∧ 𝑚𝐴) ∧ ¬ 𝑚 = 𝑋) → (𝑧𝑚) ∈ 𝑚 / 𝑘𝐵)
7620, 21, 64, 75ifbothda 4316 . . . . . . . . 9 (((((𝑋𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐶𝐵) ∧ 𝑧X𝑘𝐴 𝐵) ∧ ∃𝑙𝐴 ¬ (𝑧𝑙) ∈ if(𝑙 = 𝑋, 𝑙 / 𝑘𝐶, 𝑙 / 𝑘𝐵)) ∧ 𝑚𝐴) → (𝑧𝑚) ∈ if(𝑚 = 𝑋, (𝑚 / 𝑘𝐵𝑚 / 𝑘𝐶), 𝑚 / 𝑘𝐵))
7776ralrimiva 3154 . . . . . . . 8 ((((𝑋𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐶𝐵) ∧ 𝑧X𝑘𝐴 𝐵) ∧ ∃𝑙𝐴 ¬ (𝑧𝑙) ∈ if(𝑙 = 𝑋, 𝑙 / 𝑘𝐶, 𝑙 / 𝑘𝐵)) → ∀𝑚𝐴 (𝑧𝑚) ∈ if(𝑚 = 𝑋, (𝑚 / 𝑘𝐵𝑚 / 𝑘𝐶), 𝑚 / 𝑘𝐵))
78 simpll 774 . . . . . . . . 9 (((𝑋𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐶𝐵) ∧ 𝑧X𝑘𝐴 𝐵) → 𝑋𝐴)
79 iftrue 4285 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 = 𝑋 → if(𝑚 = 𝑋, (𝑚 / 𝑘𝐵𝑚 / 𝑘𝐶), 𝑚 / 𝑘𝐵) = (𝑚 / 𝑘𝐵𝑚 / 𝑘𝐶))
8079, 61eqtrd 2840 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 = 𝑋 → if(𝑚 = 𝑋, (𝑚 / 𝑘𝐵𝑚 / 𝑘𝐶), 𝑚 / 𝑘𝐵) = (𝑋 / 𝑘𝐵𝑋 / 𝑘𝐶))
8158, 80eleq12d 2879 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = 𝑋 → ((𝑧𝑚) ∈ if(𝑚 = 𝑋, (𝑚 / 𝑘𝐵𝑚 / 𝑘𝐶), 𝑚 / 𝑘𝐵) ↔ (𝑧𝑋) ∈ (𝑋 / 𝑘𝐵𝑋 / 𝑘𝐶)))
8281rspcva 3500 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋𝐴 ∧ ∀𝑚𝐴 (𝑧𝑚) ∈ if(𝑚 = 𝑋, (𝑚 / 𝑘𝐵𝑚 / 𝑘𝐶), 𝑚 / 𝑘𝐵)) → (𝑧𝑋) ∈ (𝑋 / 𝑘𝐵𝑋 / 𝑘𝐶))
8378, 82sylan 571 . . . . . . . . . 10 ((((𝑋𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐶𝐵) ∧ 𝑧X𝑘𝐴 𝐵) ∧ ∀𝑚𝐴 (𝑧𝑚) ∈ if(𝑚 = 𝑋, (𝑚 / 𝑘𝐵𝑚 / 𝑘𝐶), 𝑚 / 𝑘𝐵)) → (𝑧𝑋) ∈ (𝑋 / 𝑘𝐵𝑋 / 𝑘𝐶))
8483eldifbd 3782 . . . . . . . . 9 ((((𝑋𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐶𝐵) ∧ 𝑧X𝑘𝐴 𝐵) ∧ ∀𝑚𝐴 (𝑧𝑚) ∈ if(𝑚 = 𝑋, (𝑚 / 𝑘𝐵𝑚 / 𝑘𝐶), 𝑚 / 𝑘𝐵)) → ¬ (𝑧𝑋) ∈ 𝑋 / 𝑘𝐶)
85 iftrue 4285 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑙 = 𝑋 → if(𝑙 = 𝑋, 𝑙 / 𝑘𝐶, 𝑙 / 𝑘𝐵) = 𝑙 / 𝑘𝐶)
8685, 43eqtrd 2840 . . . . . . . . . . . 12 (𝑙 = 𝑋 → if(𝑙 = 𝑋, 𝑙 / 𝑘𝐶, 𝑙 / 𝑘𝐵) = 𝑋 / 𝑘𝐶)
8735, 86eleq12d 2879 . . . . . . . . . . 11 (𝑙 = 𝑋 → ((𝑧𝑙) ∈ if(𝑙 = 𝑋, 𝑙 / 𝑘𝐶, 𝑙 / 𝑘𝐵) ↔ (𝑧𝑋) ∈ 𝑋 / 𝑘𝐶))
8887notbid 309 . . . . . . . . . 10 (𝑙 = 𝑋 → (¬ (𝑧𝑙) ∈ if(𝑙 = 𝑋, 𝑙 / 𝑘𝐶, 𝑙 / 𝑘𝐵) ↔ ¬ (𝑧𝑋) ∈ 𝑋 / 𝑘𝐶))
8988rspcev 3502 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝐴 ∧ ¬ (𝑧𝑋) ∈ 𝑋 / 𝑘𝐶) → ∃𝑙𝐴 ¬ (𝑧𝑙) ∈ if(𝑙 = 𝑋, 𝑙 / 𝑘𝐶, 𝑙 / 𝑘𝐵))
9078, 84, 89syl2an2r 667 . . . . . . . 8 ((((𝑋𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐶𝐵) ∧ 𝑧X𝑘𝐴 𝐵) ∧ ∀𝑚𝐴 (𝑧𝑚) ∈ if(𝑚 = 𝑋, (𝑚 / 𝑘𝐵𝑚 / 𝑘𝐶), 𝑚 / 𝑘𝐵)) → ∃𝑙𝐴 ¬ (𝑧𝑙) ∈ if(𝑙 = 𝑋, 𝑙 / 𝑘𝐶, 𝑙 / 𝑘𝐵))
9177, 90impbida 826 . . . . . . 7 (((𝑋𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐶𝐵) ∧ 𝑧X𝑘𝐴 𝐵) → (∃𝑙𝐴 ¬ (𝑧𝑙) ∈ if(𝑙 = 𝑋, 𝑙 / 𝑘𝐶, 𝑙 / 𝑘𝐵) ↔ ∀𝑚𝐴 (𝑧𝑚) ∈ if(𝑚 = 𝑋, (𝑚 / 𝑘𝐵𝑚 / 𝑘𝐶), 𝑚 / 𝑘𝐵)))
92 nfv 2005 . . . . . . . 8 𝑙 ¬ (𝑧𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝑋, 𝐶, 𝐵)
93 nfv 2005 . . . . . . . . . . 11 𝑘 𝑙 = 𝑋
94 nfcsb1v 3744 . . . . . . . . . . 11 𝑘𝑙 / 𝑘𝐶
9593, 94, 28nfif 4308 . . . . . . . . . 10 𝑘if(𝑙 = 𝑋, 𝑙 / 𝑘𝐶, 𝑙 / 𝑘𝐵)
9695nfel2 2965 . . . . . . . . 9 𝑘(𝑧𝑙) ∈ if(𝑙 = 𝑋, 𝑙 / 𝑘𝐶, 𝑙 / 𝑘𝐵)
9796nfn 1944 . . . . . . . 8 𝑘 ¬ (𝑧𝑙) ∈ if(𝑙 = 𝑋, 𝑙 / 𝑘𝐶, 𝑙 / 𝑘𝐵)
98 eqeq1 2810 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑙 → (𝑘 = 𝑋𝑙 = 𝑋))
99 csbeq1a 3737 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑙𝐶 = 𝑙 / 𝑘𝐶)
10098, 99, 31ifbieq12d 4306 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑙 → if(𝑘 = 𝑋, 𝐶, 𝐵) = if(𝑙 = 𝑋, 𝑙 / 𝑘𝐶, 𝑙 / 𝑘𝐵))
10130, 100eleq12d 2879 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑙 → ((𝑧𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝑋, 𝐶, 𝐵) ↔ (𝑧𝑙) ∈ if(𝑙 = 𝑋, 𝑙 / 𝑘𝐶, 𝑙 / 𝑘𝐵)))
102101notbid 309 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑙 → (¬ (𝑧𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝑋, 𝐶, 𝐵) ↔ ¬ (𝑧𝑙) ∈ if(𝑙 = 𝑋, 𝑙 / 𝑘𝐶, 𝑙 / 𝑘𝐵)))
10392, 97, 102cbvrex 3357 . . . . . . 7 (∃𝑘𝐴 ¬ (𝑧𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝑋, 𝐶, 𝐵) ↔ ∃𝑙𝐴 ¬ (𝑧𝑙) ∈ if(𝑙 = 𝑋, 𝑙 / 𝑘𝐶, 𝑙 / 𝑘𝐵))
104 nfv 2005 . . . . . . . 8 𝑚(𝑧𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝑋, (𝐵𝐶), 𝐵)
105 nfv 2005 . . . . . . . . . 10 𝑘 𝑚 = 𝑋
106 nfcsb1v 3744 . . . . . . . . . . 11 𝑘𝑚 / 𝑘𝐶
10766, 106nfdif 3930 . . . . . . . . . 10 𝑘(𝑚 / 𝑘𝐵𝑚 / 𝑘𝐶)
108105, 107, 66nfif 4308 . . . . . . . . 9 𝑘if(𝑚 = 𝑋, (𝑚 / 𝑘𝐵𝑚 / 𝑘𝐶), 𝑚 / 𝑘𝐵)
109108nfel2 2965 . . . . . . . 8 𝑘(𝑧𝑚) ∈ if(𝑚 = 𝑋, (𝑚 / 𝑘𝐵𝑚 / 𝑘𝐶), 𝑚 / 𝑘𝐵)
110 eqeq1 2810 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑚 → (𝑘 = 𝑋𝑚 = 𝑋))
111 csbeq1a 3737 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑚𝐶 = 𝑚 / 𝑘𝐶)
11269, 111difeq12d 3928 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑚 → (𝐵𝐶) = (𝑚 / 𝑘𝐵𝑚 / 𝑘𝐶))
113110, 112, 69ifbieq12d 4306 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑚 → if(𝑘 = 𝑋, (𝐵𝐶), 𝐵) = if(𝑚 = 𝑋, (𝑚 / 𝑘𝐵𝑚 / 𝑘𝐶), 𝑚 / 𝑘𝐵))
11468, 113eleq12d 2879 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑚 → ((𝑧𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝑋, (𝐵𝐶), 𝐵) ↔ (𝑧𝑚) ∈ if(𝑚 = 𝑋, (𝑚 / 𝑘𝐵𝑚 / 𝑘𝐶), 𝑚 / 𝑘𝐵)))
115104, 109, 114cbvral 3356 . . . . . . 7 (∀𝑘𝐴 (𝑧𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝑋, (𝐵𝐶), 𝐵) ↔ ∀𝑚𝐴 (𝑧𝑚) ∈ if(𝑚 = 𝑋, (𝑚 / 𝑘𝐵𝑚 / 𝑘𝐶), 𝑚 / 𝑘𝐵))
11691, 103, 1153bitr4g 305 . . . . . 6 (((𝑋𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐶𝐵) ∧ 𝑧X𝑘𝐴 𝐵) → (∃𝑘𝐴 ¬ (𝑧𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝑋, 𝐶, 𝐵) ↔ ∀𝑘𝐴 (𝑧𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝑋, (𝐵𝐶), 𝐵)))
11719, 116syl5bbr 276 . . . . 5 (((𝑋𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐶𝐵) ∧ 𝑧X𝑘𝐴 𝐵) → (¬ ∀𝑘𝐴 (𝑧𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝑋, 𝐶, 𝐵) ↔ ∀𝑘𝐴 (𝑧𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝑋, (𝐵𝐶), 𝐵)))
11818, 117bitrd 270 . . . 4 (((𝑋𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐶𝐵) ∧ 𝑧X𝑘𝐴 𝐵) → (¬ 𝑧X𝑘𝐴 if(𝑘 = 𝑋, 𝐶, 𝐵) ↔ ∀𝑘𝐴 (𝑧𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝑋, (𝐵𝐶), 𝐵)))
119 ibar 520 . . . . 5 (𝑧X𝑘𝐴 𝐵 → (¬ 𝑧X𝑘𝐴 if(𝑘 = 𝑋, 𝐶, 𝐵) ↔ (𝑧X𝑘𝐴 𝐵 ∧ ¬ 𝑧X𝑘𝐴 if(𝑘 = 𝑋, 𝐶, 𝐵))))
120119adantl 469 . . . 4 (((𝑋𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐶𝐵) ∧ 𝑧X𝑘𝐴 𝐵) → (¬ 𝑧X𝑘𝐴 if(𝑘 = 𝑋, 𝐶, 𝐵) ↔ (𝑧X𝑘𝐴 𝐵 ∧ ¬ 𝑧X𝑘𝐴 if(𝑘 = 𝑋, 𝐶, 𝐵))))
12113biantrurd 524 . . . 4 (((𝑋𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐶𝐵) ∧ 𝑧X𝑘𝐴 𝐵) → (∀𝑘𝐴 (𝑧𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝑋, (𝐵𝐶), 𝐵) ↔ (𝑧 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑧𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝑋, (𝐵𝐶), 𝐵))))
122118, 120, 1213bitr3d 300 . . 3 (((𝑋𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐶𝐵) ∧ 𝑧X𝑘𝐴 𝐵) → ((𝑧X𝑘𝐴 𝐵 ∧ ¬ 𝑧X𝑘𝐴 if(𝑘 = 𝑋, 𝐶, 𝐵)) ↔ (𝑧 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑧𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝑋, (𝐵𝐶), 𝐵))))
123 eldif 3779 . . 3 (𝑧 ∈ (X𝑘𝐴 𝐵X𝑘𝐴 if(𝑘 = 𝑋, 𝐶, 𝐵)) ↔ (𝑧X𝑘𝐴 𝐵 ∧ ¬ 𝑧X𝑘𝐴 if(𝑘 = 𝑋, 𝐶, 𝐵)))
12415elixp 8148 . . 3 (𝑧X𝑘𝐴 if(𝑘 = 𝑋, (𝐵𝐶), 𝐵) ↔ (𝑧 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑧𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝑋, (𝐵𝐶), 𝐵)))
125122, 123, 1243bitr4g 305 . 2 (((𝑋𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐶𝐵) ∧ 𝑧X𝑘𝐴 𝐵) → (𝑧 ∈ (X𝑘𝐴 𝐵X𝑘𝐴 if(𝑘 = 𝑋, 𝐶, 𝐵)) ↔ 𝑧X𝑘𝐴 if(𝑘 = 𝑋, (𝐵𝐶), 𝐵)))
1262, 11, 125eqrdav 2805 1 ((𝑋𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐶𝐵) → (X𝑘𝐴 𝐵X𝑘𝐴 if(𝑘 = 𝑋, 𝐶, 𝐵)) = X𝑘𝐴 if(𝑘 = 𝑋, (𝐵𝐶), 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384   = wceq 1637  wcel 2156  wral 3096  wrex 3097  csb 3728  cdif 3766  wss 3769  ifcif 4279   Fn wfn 6092  cfv 6097  Xcixp 8141
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ral 3101  df-rex 3102  df-rab 3105  df-v 3393  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-nul 4117  df-if 4280  df-sn 4371  df-pr 4373  df-op 4377  df-uni 4631  df-br 4845  df-opab 4907  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-iota 6060  df-fun 6099  df-fn 6100  df-fv 6105  df-ixp 8142
This theorem is referenced by:  ptcld  21627
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