Theorem boxcutc 8224

Description: The relative complement of a box set restricted on one axis. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
boxcutc	⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ⊆ 𝐵) → (X𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∖ X𝑘 ∈ 𝐴 if(𝑘 = 𝑋, 𝐶, 𝐵)) = X𝑘 ∈ 𝐴 if(𝑘 = 𝑋, (𝐵 ∖ 𝐶), 𝐵))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑋

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem boxcutc

Dummy variables 𝑙 𝑚 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifi 3961	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ (X𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∖ X𝑘 ∈ 𝐴 if(𝑘 = 𝑋, 𝐶, 𝐵)) → 𝑧 ∈ X𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
2	1	adantl 475	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (X𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∖ X𝑘 ∈ 𝐴 if(𝑘 = 𝑋, 𝐶, 𝐵))) → 𝑧 ∈ X𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
3		sseq1 3851	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∖ 𝐶) = if(𝑘 = 𝑋, (𝐵 ∖ 𝐶), 𝐵) → ((𝐵 ∖ 𝐶) ⊆ 𝐵 ↔ if(𝑘 = 𝑋, (𝐵 ∖ 𝐶), 𝐵) ⊆ 𝐵))
4		sseq1 3851	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = if(𝑘 = 𝑋, (𝐵 ∖ 𝐶), 𝐵) → (𝐵 ⊆ 𝐵 ↔ if(𝑘 = 𝑋, (𝐵 ∖ 𝐶), 𝐵) ⊆ 𝐵))
5		difss 3966	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∖ 𝐶) ⊆ 𝐵
6		ssid 3848	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ⊆ 𝐵
7	3, 4, 5, 6	keephyp 4377	. . . . 5 ⊢ if(𝑘 = 𝑋, (𝐵 ∖ 𝐶), 𝐵) ⊆ 𝐵
8	7	rgenw 3133	. . . 4 ⊢ ∀𝑘 ∈ 𝐴 if(𝑘 = 𝑋, (𝐵 ∖ 𝐶), 𝐵) ⊆ 𝐵
9		ss2ixp 8194	. . . 4 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝐴 if(𝑘 = 𝑋, (𝐵 ∖ 𝐶), 𝐵) ⊆ 𝐵 → X𝑘 ∈ 𝐴 if(𝑘 = 𝑋, (𝐵 ∖ 𝐶), 𝐵) ⊆ X𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
10	8, 9	mp1i 13	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ⊆ 𝐵) → X𝑘 ∈ 𝐴 if(𝑘 = 𝑋, (𝐵 ∖ 𝐶), 𝐵) ⊆ X𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
11	10	sselda 3827	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ X𝑘 ∈ 𝐴 if(𝑘 = 𝑋, (𝐵 ∖ 𝐶), 𝐵)) → 𝑧 ∈ X𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
12		ixpfn 8187	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ X𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 → 𝑧 Fn 𝐴)
13	12	adantl 475	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ X𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) → 𝑧 Fn 𝐴)
14	13	biantrurd 528	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ X𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) → (∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑧‘𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝑋, 𝐶, 𝐵) ↔ (𝑧 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑧‘𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝑋, 𝐶, 𝐵))))
15		vex 3417	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑧 ∈ V
16	15	elixp 8188	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ X𝑘 ∈ 𝐴 if(𝑘 = 𝑋, 𝐶, 𝐵) ↔ (𝑧 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑧‘𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝑋, 𝐶, 𝐵)))
17	14, 16	syl6rbbr 282	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ X𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) → (𝑧 ∈ X𝑘 ∈ 𝐴 if(𝑘 = 𝑋, 𝐶, 𝐵) ↔ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑧‘𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝑋, 𝐶, 𝐵)))
18	17	notbid 310	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ X𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) → (¬ 𝑧 ∈ X𝑘 ∈ 𝐴 if(𝑘 = 𝑋, 𝐶, 𝐵) ↔ ¬ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑧‘𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝑋, 𝐶, 𝐵)))
19		rexnal 3203	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑘 ∈ 𝐴 ¬ (𝑧‘𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝑋, 𝐶, 𝐵) ↔ ¬ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑧‘𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝑋, 𝐶, 𝐵))
20		eleq2 2895	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵 ∖ ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶) = if(𝑚 = 𝑋, (⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵 ∖ ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶), ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵) → ((𝑧‘𝑚) ∈ (⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵 ∖ ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶) ↔ (𝑧‘𝑚) ∈ if(𝑚 = 𝑋, (⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵 ∖ ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶), ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵)))
21		eleq2 2895	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵 = if(𝑚 = 𝑋, (⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵 ∖ ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶), ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵) → ((𝑧‘𝑚) ∈ ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵 ↔ (𝑧‘𝑚) ∈ if(𝑚 = 𝑋, (⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵 ∖ ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶), ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵)))
22		eleq2 2895	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐶 = if(𝑙 = 𝑋, ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐶, ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵) → ((𝑧‘𝑙) ∈ ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐶 ↔ (𝑧‘𝑙) ∈ if(𝑙 = 𝑋, ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐶, ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵)))
23		eleq2 2895	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵 = if(𝑙 = 𝑋, ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐶, ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵) → ((𝑧‘𝑙) ∈ ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵 ↔ (𝑧‘𝑙) ∈ if(𝑙 = 𝑋, ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐶, ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵)))
24		simpl 476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ⊆ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐴)
25	15	elixp 8188	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑧 ∈ X𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ↔ (𝑧 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑧‘𝑘) ∈ 𝐵))
26	25	simprbi 492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑧 ∈ X𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑧‘𝑘) ∈ 𝐵)
27		nfv 2013	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ Ⅎ𝑙(𝑧‘𝑘) ∈ 𝐵
28		nfcsb1v 3773	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵
29	28	nfel2 2986	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑧‘𝑙) ∈ ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵
30		fveq2 6437	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → (𝑧‘𝑘) = (𝑧‘𝑙))
31		csbeq1a 3766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → 𝐵 = ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵)
32	30, 31	eleq12d 2900	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → ((𝑧‘𝑘) ∈ 𝐵 ↔ (𝑧‘𝑙) ∈ ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵))
33	27, 29, 32	cbvral 3379	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑧‘𝑘) ∈ 𝐵 ↔ ∀𝑙 ∈ 𝐴 (𝑧‘𝑙) ∈ ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵)
34	26, 33	sylib 210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑧 ∈ X𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 → ∀𝑙 ∈ 𝐴 (𝑧‘𝑙) ∈ ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵)
35		fveq2 6437	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑙 = 𝑋 → (𝑧‘𝑙) = (𝑧‘𝑋))
36		csbeq1 3760	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑙 = 𝑋 → ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵 = ⦋𝑋 / 𝑘⦌𝐵)
37	35, 36	eleq12d 2900	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑙 = 𝑋 → ((𝑧‘𝑙) ∈ ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵 ↔ (𝑧‘𝑋) ∈ ⦋𝑋 / 𝑘⦌𝐵))
38	37	rspcva 3524	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑙 ∈ 𝐴 (𝑧‘𝑙) ∈ ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵) → (𝑧‘𝑋) ∈ ⦋𝑋 / 𝑘⦌𝐵)
39	24, 34, 38	syl2an 589	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ X𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) → (𝑧‘𝑋) ∈ ⦋𝑋 / 𝑘⦌𝐵)
40		neldif 3964	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑧‘𝑋) ∈ ⦋𝑋 / 𝑘⦌𝐵 ∧ ¬ (𝑧‘𝑋) ∈ (⦋𝑋 / 𝑘⦌𝐵 ∖ ⦋𝑋 / 𝑘⦌𝐶)) → (𝑧‘𝑋) ∈ ⦋𝑋 / 𝑘⦌𝐶)
41	39, 40	sylan 575	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ X𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ∧ ¬ (𝑧‘𝑋) ∈ (⦋𝑋 / 𝑘⦌𝐵 ∖ ⦋𝑋 / 𝑘⦌𝐶)) → (𝑧‘𝑋) ∈ ⦋𝑋 / 𝑘⦌𝐶)
42	41	adantr 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ X𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ∧ ¬ (𝑧‘𝑋) ∈ (⦋𝑋 / 𝑘⦌𝐵 ∖ ⦋𝑋 / 𝑘⦌𝐶)) ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) → (𝑧‘𝑋) ∈ ⦋𝑋 / 𝑘⦌𝐶)
43		csbeq1 3760	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑙 = 𝑋 → ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐶 = ⦋𝑋 / 𝑘⦌𝐶)
44	35, 43	eleq12d 2900	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑙 = 𝑋 → ((𝑧‘𝑙) ∈ ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐶 ↔ (𝑧‘𝑋) ∈ ⦋𝑋 / 𝑘⦌𝐶))
45	42, 44	syl5ibrcom 239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ X𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ∧ ¬ (𝑧‘𝑋) ∈ (⦋𝑋 / 𝑘⦌𝐵 ∖ ⦋𝑋 / 𝑘⦌𝐶)) ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) → (𝑙 = 𝑋 → (𝑧‘𝑙) ∈ ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐶))
46	45	imp 397	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ X𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ∧ ¬ (𝑧‘𝑋) ∈ (⦋𝑋 / 𝑘⦌𝐵 ∖ ⦋𝑋 / 𝑘⦌𝐶)) ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) ∧ 𝑙 = 𝑋) → (𝑧‘𝑙) ∈ ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐶)
47	34	ad2antlr 718	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ X𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ∧ ¬ (𝑧‘𝑋) ∈ (⦋𝑋 / 𝑘⦌𝐵 ∖ ⦋𝑋 / 𝑘⦌𝐶)) → ∀𝑙 ∈ 𝐴 (𝑧‘𝑙) ∈ ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵)
48	47	r19.21bi 3141	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ X𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ∧ ¬ (𝑧‘𝑋) ∈ (⦋𝑋 / 𝑘⦌𝐵 ∖ ⦋𝑋 / 𝑘⦌𝐶)) ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) → (𝑧‘𝑙) ∈ ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵)
49	48	adantr 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ X𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ∧ ¬ (𝑧‘𝑋) ∈ (⦋𝑋 / 𝑘⦌𝐵 ∖ ⦋𝑋 / 𝑘⦌𝐶)) ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑙 = 𝑋) → (𝑧‘𝑙) ∈ ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵)
50	22, 23, 46, 49	ifbothda 4345	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ X𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ∧ ¬ (𝑧‘𝑋) ∈ (⦋𝑋 / 𝑘⦌𝐵 ∖ ⦋𝑋 / 𝑘⦌𝐶)) ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) → (𝑧‘𝑙) ∈ if(𝑙 = 𝑋, ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐶, ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵))
51	50	ralrimiva 3175	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ X𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ∧ ¬ (𝑧‘𝑋) ∈ (⦋𝑋 / 𝑘⦌𝐵 ∖ ⦋𝑋 / 𝑘⦌𝐶)) → ∀𝑙 ∈ 𝐴 (𝑧‘𝑙) ∈ if(𝑙 = 𝑋, ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐶, ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵))
52		dfral2 3202	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (∀𝑙 ∈ 𝐴 (𝑧‘𝑙) ∈ if(𝑙 = 𝑋, ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐶, ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵) ↔ ¬ ∃𝑙 ∈ 𝐴 ¬ (𝑧‘𝑙) ∈ if(𝑙 = 𝑋, ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐶, ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵))
53	51, 52	sylib 210	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ X𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ∧ ¬ (𝑧‘𝑋) ∈ (⦋𝑋 / 𝑘⦌𝐵 ∖ ⦋𝑋 / 𝑘⦌𝐶)) → ¬ ∃𝑙 ∈ 𝐴 ¬ (𝑧‘𝑙) ∈ if(𝑙 = 𝑋, ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐶, ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵))
54	53	ex 403	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ X𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) → (¬ (𝑧‘𝑋) ∈ (⦋𝑋 / 𝑘⦌𝐵 ∖ ⦋𝑋 / 𝑘⦌𝐶) → ¬ ∃𝑙 ∈ 𝐴 ¬ (𝑧‘𝑙) ∈ if(𝑙 = 𝑋, ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐶, ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵)))
55	54	con4d 115	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ X𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) → (∃𝑙 ∈ 𝐴 ¬ (𝑧‘𝑙) ∈ if(𝑙 = 𝑋, ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐶, ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵) → (𝑧‘𝑋) ∈ (⦋𝑋 / 𝑘⦌𝐵 ∖ ⦋𝑋 / 𝑘⦌𝐶)))
56	55	imp 397	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ X𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐴 ¬ (𝑧‘𝑙) ∈ if(𝑙 = 𝑋, ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐶, ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵)) → (𝑧‘𝑋) ∈ (⦋𝑋 / 𝑘⦌𝐵 ∖ ⦋𝑋 / 𝑘⦌𝐶))
57	56	adantr 474	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ X𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐴 ¬ (𝑧‘𝑙) ∈ if(𝑙 = 𝑋, ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐶, ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → (𝑧‘𝑋) ∈ (⦋𝑋 / 𝑘⦌𝐵 ∖ ⦋𝑋 / 𝑘⦌𝐶))
58		fveq2 6437	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 = 𝑋 → (𝑧‘𝑚) = (𝑧‘𝑋))
59		csbeq1 3760	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 = 𝑋 → ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵 = ⦋𝑋 / 𝑘⦌𝐵)
60		csbeq1 3760	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 = 𝑋 → ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶 = ⦋𝑋 / 𝑘⦌𝐶)
61	59, 60	difeq12d 3958	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 = 𝑋 → (⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵 ∖ ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶) = (⦋𝑋 / 𝑘⦌𝐵 ∖ ⦋𝑋 / 𝑘⦌𝐶))
62	58, 61	eleq12d 2900	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 = 𝑋 → ((𝑧‘𝑚) ∈ (⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵 ∖ ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶) ↔ (𝑧‘𝑋) ∈ (⦋𝑋 / 𝑘⦌𝐵 ∖ ⦋𝑋 / 𝑘⦌𝐶)))
63	57, 62	syl5ibrcom 239	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ X𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐴 ¬ (𝑧‘𝑙) ∈ if(𝑙 = 𝑋, ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐶, ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → (𝑚 = 𝑋 → (𝑧‘𝑚) ∈ (⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵 ∖ ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶)))
64	63	imp 397	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ X𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐴 ¬ (𝑧‘𝑙) ∈ if(𝑙 = 𝑋, ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐶, ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) ∧ 𝑚 = 𝑋) → (𝑧‘𝑚) ∈ (⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵 ∖ ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶))
65		nfv 2013	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑚(𝑧‘𝑘) ∈ 𝐵
66		nfcsb1v 3773	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵
67	66	nfel2 2986	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑧‘𝑚) ∈ ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵
68		fveq2 6437	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝑧‘𝑘) = (𝑧‘𝑚))
69		csbeq1a 3766	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → 𝐵 = ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵)
70	68, 69	eleq12d 2900	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → ((𝑧‘𝑘) ∈ 𝐵 ↔ (𝑧‘𝑚) ∈ ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵))
71	65, 67, 70	cbvral 3379	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑧‘𝑘) ∈ 𝐵 ↔ ∀𝑚 ∈ 𝐴 (𝑧‘𝑚) ∈ ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵)
72	26, 71	sylib 210	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ X𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 → ∀𝑚 ∈ 𝐴 (𝑧‘𝑚) ∈ ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵)
73	72	ad2antlr 718	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ X𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐴 ¬ (𝑧‘𝑙) ∈ if(𝑙 = 𝑋, ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐶, ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵)) → ∀𝑚 ∈ 𝐴 (𝑧‘𝑚) ∈ ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵)
74	73	r19.21bi 3141	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ X𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐴 ¬ (𝑧‘𝑙) ∈ if(𝑙 = 𝑋, ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐶, ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → (𝑧‘𝑚) ∈ ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵)
75	74	adantr 474	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ X𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐴 ¬ (𝑧‘𝑙) ∈ if(𝑙 = 𝑋, ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐶, ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑚 = 𝑋) → (𝑧‘𝑚) ∈ ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵)
76	20, 21, 64, 75	ifbothda 4345	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ X𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐴 ¬ (𝑧‘𝑙) ∈ if(𝑙 = 𝑋, ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐶, ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵)) ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → (𝑧‘𝑚) ∈ if(𝑚 = 𝑋, (⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵 ∖ ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶), ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵))
77	76	ralrimiva 3175	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ X𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐴 ¬ (𝑧‘𝑙) ∈ if(𝑙 = 𝑋, ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐶, ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵)) → ∀𝑚 ∈ 𝐴 (𝑧‘𝑚) ∈ if(𝑚 = 𝑋, (⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵 ∖ ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶), ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵))
78		simpll 783	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ X𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐴)
79		iftrue 4314	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 = 𝑋 → if(𝑚 = 𝑋, (⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵 ∖ ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶), ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵) = (⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵 ∖ ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶))
80	79, 61	eqtrd 2861	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 = 𝑋 → if(𝑚 = 𝑋, (⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵 ∖ ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶), ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵) = (⦋𝑋 / 𝑘⦌𝐵 ∖ ⦋𝑋 / 𝑘⦌𝐶))
81	58, 80	eleq12d 2900	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 = 𝑋 → ((𝑧‘𝑚) ∈ if(𝑚 = 𝑋, (⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵 ∖ ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶), ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵) ↔ (𝑧‘𝑋) ∈ (⦋𝑋 / 𝑘⦌𝐵 ∖ ⦋𝑋 / 𝑘⦌𝐶)))
82	81	rspcva 3524	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑚 ∈ 𝐴 (𝑧‘𝑚) ∈ if(𝑚 = 𝑋, (⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵 ∖ ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶), ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵)) → (𝑧‘𝑋) ∈ (⦋𝑋 / 𝑘⦌𝐵 ∖ ⦋𝑋 / 𝑘⦌𝐶))
83	78, 82	sylan 575	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ X𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ∧ ∀𝑚 ∈ 𝐴 (𝑧‘𝑚) ∈ if(𝑚 = 𝑋, (⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵 ∖ ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶), ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵)) → (𝑧‘𝑋) ∈ (⦋𝑋 / 𝑘⦌𝐵 ∖ ⦋𝑋 / 𝑘⦌𝐶))
84	83	eldifbd 3811	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ X𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ∧ ∀𝑚 ∈ 𝐴 (𝑧‘𝑚) ∈ if(𝑚 = 𝑋, (⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵 ∖ ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶), ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵)) → ¬ (𝑧‘𝑋) ∈ ⦋𝑋 / 𝑘⦌𝐶)
85		iftrue 4314	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑙 = 𝑋 → if(𝑙 = 𝑋, ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐶, ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵) = ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐶)
86	85, 43	eqtrd 2861	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑙 = 𝑋 → if(𝑙 = 𝑋, ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐶, ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵) = ⦋𝑋 / 𝑘⦌𝐶)
87	35, 86	eleq12d 2900	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑙 = 𝑋 → ((𝑧‘𝑙) ∈ if(𝑙 = 𝑋, ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐶, ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵) ↔ (𝑧‘𝑋) ∈ ⦋𝑋 / 𝑘⦌𝐶))
88	87	notbid 310	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑙 = 𝑋 → (¬ (𝑧‘𝑙) ∈ if(𝑙 = 𝑋, ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐶, ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵) ↔ ¬ (𝑧‘𝑋) ∈ ⦋𝑋 / 𝑘⦌𝐶))
89	88	rspcev 3526	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝑧‘𝑋) ∈ ⦋𝑋 / 𝑘⦌𝐶) → ∃𝑙 ∈ 𝐴 ¬ (𝑧‘𝑙) ∈ if(𝑙 = 𝑋, ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐶, ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵))
90	78, 84, 89	syl2an2r 675	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ X𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ∧ ∀𝑚 ∈ 𝐴 (𝑧‘𝑚) ∈ if(𝑚 = 𝑋, (⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵 ∖ ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶), ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵)) → ∃𝑙 ∈ 𝐴 ¬ (𝑧‘𝑙) ∈ if(𝑙 = 𝑋, ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐶, ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵))
91	77, 90	impbida 835	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ X𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) → (∃𝑙 ∈ 𝐴 ¬ (𝑧‘𝑙) ∈ if(𝑙 = 𝑋, ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐶, ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵) ↔ ∀𝑚 ∈ 𝐴 (𝑧‘𝑚) ∈ if(𝑚 = 𝑋, (⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵 ∖ ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶), ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵)))
92		nfv 2013	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑙 ¬ (𝑧‘𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝑋, 𝐶, 𝐵)
93		nfv 2013	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑙 = 𝑋
94		nfcsb1v 3773	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐶
95	93, 94, 28	nfif 4337	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘if(𝑙 = 𝑋, ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐶, ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵)
96	95	nfel2 2986	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑧‘𝑙) ∈ if(𝑙 = 𝑋, ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐶, ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵)
97	96	nfn 1957	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘 ¬ (𝑧‘𝑙) ∈ if(𝑙 = 𝑋, ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐶, ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵)
98		eqeq1 2829	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → (𝑘 = 𝑋 ↔ 𝑙 = 𝑋))
99		csbeq1a 3766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → 𝐶 = ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐶)
100	98, 99, 31	ifbieq12d 4335	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → if(𝑘 = 𝑋, 𝐶, 𝐵) = if(𝑙 = 𝑋, ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐶, ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵))
101	30, 100	eleq12d 2900	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → ((𝑧‘𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝑋, 𝐶, 𝐵) ↔ (𝑧‘𝑙) ∈ if(𝑙 = 𝑋, ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐶, ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵)))
102	101	notbid 310	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → (¬ (𝑧‘𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝑋, 𝐶, 𝐵) ↔ ¬ (𝑧‘𝑙) ∈ if(𝑙 = 𝑋, ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐶, ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵)))
103	92, 97, 102	cbvrex 3380	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑘 ∈ 𝐴 ¬ (𝑧‘𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝑋, 𝐶, 𝐵) ↔ ∃𝑙 ∈ 𝐴 ¬ (𝑧‘𝑙) ∈ if(𝑙 = 𝑋, ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐶, ⦋𝑙 / 𝑘⦌𝐵))
104		nfv 2013	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑚(𝑧‘𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝑋, (𝐵 ∖ 𝐶), 𝐵)
105		nfv 2013	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑚 = 𝑋
106		nfcsb1v 3773	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶
107	66, 106	nfdif 3960	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘(⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵 ∖ ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶)
108	105, 107, 66	nfif 4337	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘if(𝑚 = 𝑋, (⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵 ∖ ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶), ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵)
109	108	nfel2 2986	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑧‘𝑚) ∈ if(𝑚 = 𝑋, (⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵 ∖ ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶), ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵)
110		eqeq1 2829	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝑘 = 𝑋 ↔ 𝑚 = 𝑋))
111		csbeq1a 3766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → 𝐶 = ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶)
112	69, 111	difeq12d 3958	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝐵 ∖ 𝐶) = (⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵 ∖ ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶))
113	110, 112, 69	ifbieq12d 4335	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → if(𝑘 = 𝑋, (𝐵 ∖ 𝐶), 𝐵) = if(𝑚 = 𝑋, (⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵 ∖ ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶), ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵))
114	68, 113	eleq12d 2900	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → ((𝑧‘𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝑋, (𝐵 ∖ 𝐶), 𝐵) ↔ (𝑧‘𝑚) ∈ if(𝑚 = 𝑋, (⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵 ∖ ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶), ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵)))
115	104, 109, 114	cbvral 3379	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑧‘𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝑋, (𝐵 ∖ 𝐶), 𝐵) ↔ ∀𝑚 ∈ 𝐴 (𝑧‘𝑚) ∈ if(𝑚 = 𝑋, (⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵 ∖ ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶), ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵))
116	91, 103, 115	3bitr4g 306	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ X𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) → (∃𝑘 ∈ 𝐴 ¬ (𝑧‘𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝑋, 𝐶, 𝐵) ↔ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑧‘𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝑋, (𝐵 ∖ 𝐶), 𝐵)))
117	19, 116	syl5bbr 277	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ X𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) → (¬ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑧‘𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝑋, 𝐶, 𝐵) ↔ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑧‘𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝑋, (𝐵 ∖ 𝐶), 𝐵)))
118	18, 117	bitrd 271	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ X𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) → (¬ 𝑧 ∈ X𝑘 ∈ 𝐴 if(𝑘 = 𝑋, 𝐶, 𝐵) ↔ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑧‘𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝑋, (𝐵 ∖ 𝐶), 𝐵)))
119		ibar 524	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ X𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 → (¬ 𝑧 ∈ X𝑘 ∈ 𝐴 if(𝑘 = 𝑋, 𝐶, 𝐵) ↔ (𝑧 ∈ X𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ ¬ 𝑧 ∈ X𝑘 ∈ 𝐴 if(𝑘 = 𝑋, 𝐶, 𝐵))))
120	119	adantl 475	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ X𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) → (¬ 𝑧 ∈ X𝑘 ∈ 𝐴 if(𝑘 = 𝑋, 𝐶, 𝐵) ↔ (𝑧 ∈ X𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ ¬ 𝑧 ∈ X𝑘 ∈ 𝐴 if(𝑘 = 𝑋, 𝐶, 𝐵))))
121	13	biantrurd 528	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ X𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) → (∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑧‘𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝑋, (𝐵 ∖ 𝐶), 𝐵) ↔ (𝑧 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑧‘𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝑋, (𝐵 ∖ 𝐶), 𝐵))))
122	118, 120, 121	3bitr3d 301	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ X𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) → ((𝑧 ∈ X𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ ¬ 𝑧 ∈ X𝑘 ∈ 𝐴 if(𝑘 = 𝑋, 𝐶, 𝐵)) ↔ (𝑧 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑧‘𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝑋, (𝐵 ∖ 𝐶), 𝐵))))
123		eldif 3808	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ (X𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∖ X𝑘 ∈ 𝐴 if(𝑘 = 𝑋, 𝐶, 𝐵)) ↔ (𝑧 ∈ X𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ ¬ 𝑧 ∈ X𝑘 ∈ 𝐴 if(𝑘 = 𝑋, 𝐶, 𝐵)))
124	15	elixp 8188	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ X𝑘 ∈ 𝐴 if(𝑘 = 𝑋, (𝐵 ∖ 𝐶), 𝐵) ↔ (𝑧 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑧‘𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝑋, (𝐵 ∖ 𝐶), 𝐵)))
125	122, 123, 124	3bitr4g 306	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ X𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) → (𝑧 ∈ (X𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∖ X𝑘 ∈ 𝐴 if(𝑘 = 𝑋, 𝐶, 𝐵)) ↔ 𝑧 ∈ X𝑘 ∈ 𝐴 if(𝑘 = 𝑋, (𝐵 ∖ 𝐶), 𝐵)))
126	2, 11, 125	eqrdav 2824	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ⊆ 𝐵) → (X𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∖ X𝑘 ∈ 𝐴 if(𝑘 = 𝑋, 𝐶, 𝐵)) = X𝑘 ∈ 𝐴 if(𝑘 = 𝑋, (𝐵 ∖ 𝐶), 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   = wceq 1656   ∈ wcel 2164  ∀wral 3117  ∃wrex 3118  ⦋csb 3757   ∖ cdif 3795   ⊆ wss 3798  ifcif 4308   Fn wfn 6122  ‘cfv 6127  Xcixp 8181

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ral 3122  df-rex 3123  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-nul 4147  df-if 4309  df-sn 4400  df-pr 4402  df-op 4406  df-uni 4661  df-br 4876  df-opab 4938  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-fv 6135  df-ixp 8182

This theorem is referenced by:  ptcld  21794