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Theorem ptcld 23108
Description: A closed box in the product topology. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ptcld.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
ptcld.f (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢Top)
ptcld.c ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐢 ∈ (Clsdβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)))
Assertion
Ref Expression
ptcld (πœ‘ β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝐴 𝐢 ∈ (Clsdβ€˜(∏tβ€˜πΉ)))
Distinct variable groups:   πœ‘,π‘˜   𝐴,π‘˜   π‘˜,𝐹   π‘˜,𝑉
Allowed substitution hint:   𝐢(π‘˜)
Proof of Theorem ptcld
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ptcld.c . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐢 ∈ (Clsdβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)))
2 eqid 2732 . . . . . 6 βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜)
32cldss 22524 . . . . 5 (𝐢 ∈ (Clsdβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) β†’ 𝐢 βŠ† βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜))
41, 3syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐢 βŠ† βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜))
54ralrimiva 3146 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 𝐢 βŠ† βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜))
6 boxriin 8930 . . 3 (βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 𝐢 βŠ† βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝐴 𝐢 = (Xπ‘˜ ∈ 𝐴 βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) ∩ ∩ π‘₯ ∈ 𝐴 Xπ‘˜ ∈ 𝐴 if(π‘˜ = π‘₯, 𝐢, βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜))))
75, 6syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝐴 𝐢 = (Xπ‘˜ ∈ 𝐴 βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) ∩ ∩ π‘₯ ∈ 𝐴 Xπ‘˜ ∈ 𝐴 if(π‘˜ = π‘₯, 𝐢, βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜))))
8 ptcld.a . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
9 ptcld.f . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢Top)
10 eqid 2732 . . . . . 6 (∏tβ€˜πΉ) = (∏tβ€˜πΉ)
1110ptuni 23089 . . . . 5 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top) β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝐴 βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) = βˆͺ (∏tβ€˜πΉ))
128, 9, 11syl2anc 584 . . . 4 (πœ‘ β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝐴 βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) = βˆͺ (∏tβ€˜πΉ))
1312ineq1d 4210 . . 3 (πœ‘ β†’ (Xπ‘˜ ∈ 𝐴 βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) ∩ ∩ π‘₯ ∈ 𝐴 Xπ‘˜ ∈ 𝐴 if(π‘˜ = π‘₯, 𝐢, βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜))) = (βˆͺ (∏tβ€˜πΉ) ∩ ∩ π‘₯ ∈ 𝐴 Xπ‘˜ ∈ 𝐴 if(π‘˜ = π‘₯, 𝐢, βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜))))
14 pttop 23077 . . . . 5 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top) β†’ (∏tβ€˜πΉ) ∈ Top)
158, 9, 14syl2anc 584 . . . 4 (πœ‘ β†’ (∏tβ€˜πΉ) ∈ Top)
16 sseq1 4006 . . . . . . . . . . 11 (𝐢 = if(π‘˜ = π‘₯, 𝐢, βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜)) β†’ (𝐢 βŠ† βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) ↔ if(π‘˜ = π‘₯, 𝐢, βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜)))
17 sseq1 4006 . . . . . . . . . . 11 (βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) = if(π‘˜ = π‘₯, 𝐢, βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜)) β†’ (βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) βŠ† βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) ↔ if(π‘˜ = π‘₯, 𝐢, βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜)))
18 simpl 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝐢 βŠ† βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) ∧ π‘˜ = π‘₯) β†’ 𝐢 βŠ† βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜))
19 ssidd 4004 . . . . . . . . . . 11 ((𝐢 βŠ† βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) ∧ Β¬ π‘˜ = π‘₯) β†’ βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) βŠ† βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜))
2016, 17, 18, 19ifbothda 4565 . . . . . . . . . 10 (𝐢 βŠ† βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) β†’ if(π‘˜ = π‘₯, 𝐢, βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜))
2120ralimi 3083 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 𝐢 βŠ† βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 if(π‘˜ = π‘₯, 𝐢, βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜))
22 ss2ixp 8900 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 if(π‘˜ = π‘₯, 𝐢, βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝐴 if(π‘˜ = π‘₯, 𝐢, βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜)) βŠ† Xπ‘˜ ∈ 𝐴 βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜))
235, 21, 223syl 18 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝐴 if(π‘˜ = π‘₯, 𝐢, βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜)) βŠ† Xπ‘˜ ∈ 𝐴 βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜))
2423adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝐴 if(π‘˜ = π‘₯, 𝐢, βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜)) βŠ† Xπ‘˜ ∈ 𝐴 βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜))
2512adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝐴 βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) = βˆͺ (∏tβ€˜πΉ))
2624, 25sseqtrd 4021 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝐴 if(π‘˜ = π‘₯, 𝐢, βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ (∏tβ€˜πΉ))
2712eqcomd 2738 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ) = Xπ‘˜ ∈ 𝐴 βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜))
2827difeq1d 4120 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (βˆͺ (∏tβ€˜πΉ) βˆ– Xπ‘˜ ∈ 𝐴 if(π‘˜ = π‘₯, 𝐢, βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜))) = (Xπ‘˜ ∈ 𝐴 βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) βˆ– Xπ‘˜ ∈ 𝐴 if(π‘˜ = π‘₯, 𝐢, βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜))))
2928adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (βˆͺ (∏tβ€˜πΉ) βˆ– Xπ‘˜ ∈ 𝐴 if(π‘˜ = π‘₯, 𝐢, βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜))) = (Xπ‘˜ ∈ 𝐴 βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) βˆ– Xπ‘˜ ∈ 𝐴 if(π‘˜ = π‘₯, 𝐢, βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜))))
30 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
315adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 𝐢 βŠ† βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜))
32 boxcutc 8931 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 𝐢 βŠ† βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜)) β†’ (Xπ‘˜ ∈ 𝐴 βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) βˆ– Xπ‘˜ ∈ 𝐴 if(π‘˜ = π‘₯, 𝐢, βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜))) = Xπ‘˜ ∈ 𝐴 if(π‘˜ = π‘₯, (βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) βˆ– 𝐢), βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜)))
3330, 31, 32syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (Xπ‘˜ ∈ 𝐴 βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) βˆ– Xπ‘˜ ∈ 𝐴 if(π‘˜ = π‘₯, 𝐢, βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜))) = Xπ‘˜ ∈ 𝐴 if(π‘˜ = π‘₯, (βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) βˆ– 𝐢), βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜)))
34 ixpeq2 8901 . . . . . . . . . 10 (βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 if(π‘˜ = π‘₯, (βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) βˆ– 𝐢), βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜)) = if(π‘˜ = π‘₯, (βˆͺ (πΉβ€˜π‘₯) βˆ– ⦋π‘₯ / π‘˜β¦ŒπΆ), βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜)) β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝐴 if(π‘˜ = π‘₯, (βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) βˆ– 𝐢), βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜)) = Xπ‘˜ ∈ 𝐴 if(π‘˜ = π‘₯, (βˆͺ (πΉβ€˜π‘₯) βˆ– ⦋π‘₯ / π‘˜β¦ŒπΆ), βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜)))
35 fveq2 6888 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ = π‘₯ β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘₯))
3635unieqd 4921 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ = π‘₯ β†’ βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘₯))
37 csbeq1a 3906 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ = π‘₯ β†’ 𝐢 = ⦋π‘₯ / π‘˜β¦ŒπΆ)
3836, 37difeq12d 4122 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = π‘₯ β†’ (βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) βˆ– 𝐢) = (βˆͺ (πΉβ€˜π‘₯) βˆ– ⦋π‘₯ / π‘˜β¦ŒπΆ))
3938adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ∧ π‘˜ = π‘₯) β†’ (βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) βˆ– 𝐢) = (βˆͺ (πΉβ€˜π‘₯) βˆ– ⦋π‘₯ / π‘˜β¦ŒπΆ))
4039ifeq1da 4558 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ 𝐴 β†’ if(π‘˜ = π‘₯, (βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) βˆ– 𝐢), βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜)) = if(π‘˜ = π‘₯, (βˆͺ (πΉβ€˜π‘₯) βˆ– ⦋π‘₯ / π‘˜β¦ŒπΆ), βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜)))
4134, 40mprg 3067 . . . . . . . . 9 Xπ‘˜ ∈ 𝐴 if(π‘˜ = π‘₯, (βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) βˆ– 𝐢), βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜)) = Xπ‘˜ ∈ 𝐴 if(π‘˜ = π‘₯, (βˆͺ (πΉβ€˜π‘₯) βˆ– ⦋π‘₯ / π‘˜β¦ŒπΆ), βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜))
4241a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝐴 if(π‘˜ = π‘₯, (βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) βˆ– 𝐢), βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜)) = Xπ‘˜ ∈ 𝐴 if(π‘˜ = π‘₯, (βˆͺ (πΉβ€˜π‘₯) βˆ– ⦋π‘₯ / π‘˜β¦ŒπΆ), βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜)))
4329, 33, 423eqtrd 2776 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (βˆͺ (∏tβ€˜πΉ) βˆ– Xπ‘˜ ∈ 𝐴 if(π‘˜ = π‘₯, 𝐢, βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜))) = Xπ‘˜ ∈ 𝐴 if(π‘˜ = π‘₯, (βˆͺ (πΉβ€˜π‘₯) βˆ– ⦋π‘₯ / π‘˜β¦ŒπΆ), βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜)))
448adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
459adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐹:𝐴⟢Top)
461ralrimiva 3146 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 𝐢 ∈ (Clsdβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)))
47 nfv 1917 . . . . . . . . . . . 12 β„²π‘₯ 𝐢 ∈ (Clsdβ€˜(πΉβ€˜π‘˜))
48 nfcsb1v 3917 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘˜β¦‹π‘₯ / π‘˜β¦ŒπΆ
4948nfel1 2919 . . . . . . . . . . . 12 β„²π‘˜β¦‹π‘₯ / π‘˜β¦ŒπΆ ∈ (Clsdβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))
50 2fveq3 6893 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ = π‘₯ β†’ (Clsdβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = (Clsdβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
5137, 50eleq12d 2827 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = π‘₯ β†’ (𝐢 ∈ (Clsdβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) ↔ ⦋π‘₯ / π‘˜β¦ŒπΆ ∈ (Clsdβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))))
5247, 49, 51cbvralw 3303 . . . . . . . . . . 11 (βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 𝐢 ∈ (Clsdβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 ⦋π‘₯ / π‘˜β¦ŒπΆ ∈ (Clsdβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
5346, 52sylib 217 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 ⦋π‘₯ / π‘˜β¦ŒπΆ ∈ (Clsdβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
5453r19.21bi 3248 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ⦋π‘₯ / π‘˜β¦ŒπΆ ∈ (Clsdβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
55 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 βˆͺ (πΉβ€˜π‘₯) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘₯)
5655cldopn 22526 . . . . . . . . 9 (⦋π‘₯ / π‘˜β¦ŒπΆ ∈ (Clsdβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) β†’ (βˆͺ (πΉβ€˜π‘₯) βˆ– ⦋π‘₯ / π‘˜β¦ŒπΆ) ∈ (πΉβ€˜π‘₯))
5754, 56syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (βˆͺ (πΉβ€˜π‘₯) βˆ– ⦋π‘₯ / π‘˜β¦ŒπΆ) ∈ (πΉβ€˜π‘₯))
5844, 45, 57ptopn2 23079 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝐴 if(π‘˜ = π‘₯, (βˆͺ (πΉβ€˜π‘₯) βˆ– ⦋π‘₯ / π‘˜β¦ŒπΆ), βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜)) ∈ (∏tβ€˜πΉ))
5943, 58eqeltrd 2833 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (βˆͺ (∏tβ€˜πΉ) βˆ– Xπ‘˜ ∈ 𝐴 if(π‘˜ = π‘₯, 𝐢, βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜))) ∈ (∏tβ€˜πΉ))
60 eqid 2732 . . . . . . . . 9 βˆͺ (∏tβ€˜πΉ) = βˆͺ (∏tβ€˜πΉ)
6160iscld 22522 . . . . . . . 8 ((∏tβ€˜πΉ) ∈ Top β†’ (Xπ‘˜ ∈ 𝐴 if(π‘˜ = π‘₯, 𝐢, βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜)) ∈ (Clsdβ€˜(∏tβ€˜πΉ)) ↔ (Xπ‘˜ ∈ 𝐴 if(π‘˜ = π‘₯, 𝐢, βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ (∏tβ€˜πΉ) ∧ (βˆͺ (∏tβ€˜πΉ) βˆ– Xπ‘˜ ∈ 𝐴 if(π‘˜ = π‘₯, 𝐢, βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜))) ∈ (∏tβ€˜πΉ))))
6215, 61syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (Xπ‘˜ ∈ 𝐴 if(π‘˜ = π‘₯, 𝐢, βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜)) ∈ (Clsdβ€˜(∏tβ€˜πΉ)) ↔ (Xπ‘˜ ∈ 𝐴 if(π‘˜ = π‘₯, 𝐢, βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ (∏tβ€˜πΉ) ∧ (βˆͺ (∏tβ€˜πΉ) βˆ– Xπ‘˜ ∈ 𝐴 if(π‘˜ = π‘₯, 𝐢, βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜))) ∈ (∏tβ€˜πΉ))))
6362adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (Xπ‘˜ ∈ 𝐴 if(π‘˜ = π‘₯, 𝐢, βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜)) ∈ (Clsdβ€˜(∏tβ€˜πΉ)) ↔ (Xπ‘˜ ∈ 𝐴 if(π‘˜ = π‘₯, 𝐢, βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ (∏tβ€˜πΉ) ∧ (βˆͺ (∏tβ€˜πΉ) βˆ– Xπ‘˜ ∈ 𝐴 if(π‘˜ = π‘₯, 𝐢, βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜))) ∈ (∏tβ€˜πΉ))))
6426, 59, 63mpbir2and 711 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝐴 if(π‘˜ = π‘₯, 𝐢, βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜)) ∈ (Clsdβ€˜(∏tβ€˜πΉ)))
6564ralrimiva 3146 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 Xπ‘˜ ∈ 𝐴 if(π‘˜ = π‘₯, 𝐢, βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜)) ∈ (Clsdβ€˜(∏tβ€˜πΉ)))
6660riincld 22539 . . . 4 (((∏tβ€˜πΉ) ∈ Top ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 Xπ‘˜ ∈ 𝐴 if(π‘˜ = π‘₯, 𝐢, βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜)) ∈ (Clsdβ€˜(∏tβ€˜πΉ))) β†’ (βˆͺ (∏tβ€˜πΉ) ∩ ∩ π‘₯ ∈ 𝐴 Xπ‘˜ ∈ 𝐴 if(π‘˜ = π‘₯, 𝐢, βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜))) ∈ (Clsdβ€˜(∏tβ€˜πΉ)))
6715, 65, 66syl2anc 584 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆͺ (∏tβ€˜πΉ) ∩ ∩ π‘₯ ∈ 𝐴 Xπ‘˜ ∈ 𝐴 if(π‘˜ = π‘₯, 𝐢, βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜))) ∈ (Clsdβ€˜(∏tβ€˜πΉ)))
6813, 67eqeltrd 2833 . 2 (πœ‘ β†’ (Xπ‘˜ ∈ 𝐴 βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) ∩ ∩ π‘₯ ∈ 𝐴 Xπ‘˜ ∈ 𝐴 if(π‘˜ = π‘₯, 𝐢, βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜))) ∈ (Clsdβ€˜(∏tβ€˜πΉ)))
697, 68eqeltrd 2833 1 (πœ‘ β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝐴 𝐢 ∈ (Clsdβ€˜(∏tβ€˜πΉ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  β¦‹csb 3892   βˆ– cdif 3944   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  ifcif 4527  βˆͺ cuni 4907  βˆ© ciin 4997  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  Xcixp 8887  βˆtcpt 17380  Topctop 22386  Clsdccld 22511
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-om 7852  df-1o 8462  df-er 8699  df-ixp 8888  df-en 8936  df-fin 8939  df-fi 9402  df-topgen 17385  df-pt 17386  df-top 22387  df-bases 22440  df-cld 22514
This theorem is referenced by:  ptcldmpt  23109
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