MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ptcld Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ptcld 23117
Description: A closed box in the product topology. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ptcld.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
ptcld.f (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢Top)
ptcld.c ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐢 ∈ (Clsdβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)))
Assertion
Ref Expression
ptcld (πœ‘ β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝐴 𝐢 ∈ (Clsdβ€˜(∏tβ€˜πΉ)))
Distinct variable groups:   πœ‘,π‘˜   𝐴,π‘˜   π‘˜,𝐹   π‘˜,𝑉
Allowed substitution hint:   𝐢(π‘˜)
Proof of Theorem ptcld
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ptcld.c . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐢 ∈ (Clsdβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)))
2 eqid 2733 . . . . . 6 βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜)
32cldss 22533 . . . . 5 (𝐢 ∈ (Clsdβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) β†’ 𝐢 βŠ† βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜))
41, 3syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐢 βŠ† βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜))
54ralrimiva 3147 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 𝐢 βŠ† βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜))
6 boxriin 8934 . . 3 (βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 𝐢 βŠ† βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝐴 𝐢 = (Xπ‘˜ ∈ 𝐴 βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) ∩ ∩ π‘₯ ∈ 𝐴 Xπ‘˜ ∈ 𝐴 if(π‘˜ = π‘₯, 𝐢, βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜))))
75, 6syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝐴 𝐢 = (Xπ‘˜ ∈ 𝐴 βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) ∩ ∩ π‘₯ ∈ 𝐴 Xπ‘˜ ∈ 𝐴 if(π‘˜ = π‘₯, 𝐢, βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜))))
8 ptcld.a . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
9 ptcld.f . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢Top)
10 eqid 2733 . . . . . 6 (∏tβ€˜πΉ) = (∏tβ€˜πΉ)
1110ptuni 23098 . . . . 5 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top) β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝐴 βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) = βˆͺ (∏tβ€˜πΉ))
128, 9, 11syl2anc 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝐴 βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) = βˆͺ (∏tβ€˜πΉ))
1312ineq1d 4212 . . 3 (πœ‘ β†’ (Xπ‘˜ ∈ 𝐴 βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) ∩ ∩ π‘₯ ∈ 𝐴 Xπ‘˜ ∈ 𝐴 if(π‘˜ = π‘₯, 𝐢, βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜))) = (βˆͺ (∏tβ€˜πΉ) ∩ ∩ π‘₯ ∈ 𝐴 Xπ‘˜ ∈ 𝐴 if(π‘˜ = π‘₯, 𝐢, βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜))))
14 pttop 23086 . . . . 5 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top) β†’ (∏tβ€˜πΉ) ∈ Top)
158, 9, 14syl2anc 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ (∏tβ€˜πΉ) ∈ Top)
16 sseq1 4008 . . . . . . . . . . 11 (𝐢 = if(π‘˜ = π‘₯, 𝐢, βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜)) β†’ (𝐢 βŠ† βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) ↔ if(π‘˜ = π‘₯, 𝐢, βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜)))
17 sseq1 4008 . . . . . . . . . . 11 (βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) = if(π‘˜ = π‘₯, 𝐢, βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜)) β†’ (βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) βŠ† βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) ↔ if(π‘˜ = π‘₯, 𝐢, βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜)))
18 simpl 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝐢 βŠ† βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) ∧ π‘˜ = π‘₯) β†’ 𝐢 βŠ† βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜))
19 ssidd 4006 . . . . . . . . . . 11 ((𝐢 βŠ† βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) ∧ Β¬ π‘˜ = π‘₯) β†’ βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) βŠ† βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜))
2016, 17, 18, 19ifbothda 4567 . . . . . . . . . 10 (𝐢 βŠ† βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) β†’ if(π‘˜ = π‘₯, 𝐢, βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜))
2120ralimi 3084 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 𝐢 βŠ† βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 if(π‘˜ = π‘₯, 𝐢, βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜))
22 ss2ixp 8904 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 if(π‘˜ = π‘₯, 𝐢, βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝐴 if(π‘˜ = π‘₯, 𝐢, βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜)) βŠ† Xπ‘˜ ∈ 𝐴 βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜))
235, 21, 223syl 18 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝐴 if(π‘˜ = π‘₯, 𝐢, βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜)) βŠ† Xπ‘˜ ∈ 𝐴 βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜))
2423adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝐴 if(π‘˜ = π‘₯, 𝐢, βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜)) βŠ† Xπ‘˜ ∈ 𝐴 βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜))
2512adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝐴 βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) = βˆͺ (∏tβ€˜πΉ))
2624, 25sseqtrd 4023 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝐴 if(π‘˜ = π‘₯, 𝐢, βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ (∏tβ€˜πΉ))
2712eqcomd 2739 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ βˆͺ (∏tβ€˜πΉ) = Xπ‘˜ ∈ 𝐴 βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜))
2827difeq1d 4122 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (βˆͺ (∏tβ€˜πΉ) βˆ– Xπ‘˜ ∈ 𝐴 if(π‘˜ = π‘₯, 𝐢, βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜))) = (Xπ‘˜ ∈ 𝐴 βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) βˆ– Xπ‘˜ ∈ 𝐴 if(π‘˜ = π‘₯, 𝐢, βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜))))
2928adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (βˆͺ (∏tβ€˜πΉ) βˆ– Xπ‘˜ ∈ 𝐴 if(π‘˜ = π‘₯, 𝐢, βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜))) = (Xπ‘˜ ∈ 𝐴 βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) βˆ– Xπ‘˜ ∈ 𝐴 if(π‘˜ = π‘₯, 𝐢, βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜))))
30 simpr 486 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
315adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 𝐢 βŠ† βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜))
32 boxcutc 8935 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 𝐢 βŠ† βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜)) β†’ (Xπ‘˜ ∈ 𝐴 βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) βˆ– Xπ‘˜ ∈ 𝐴 if(π‘˜ = π‘₯, 𝐢, βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜))) = Xπ‘˜ ∈ 𝐴 if(π‘˜ = π‘₯, (βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) βˆ– 𝐢), βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜)))
3330, 31, 32syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (Xπ‘˜ ∈ 𝐴 βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) βˆ– Xπ‘˜ ∈ 𝐴 if(π‘˜ = π‘₯, 𝐢, βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜))) = Xπ‘˜ ∈ 𝐴 if(π‘˜ = π‘₯, (βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) βˆ– 𝐢), βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜)))
34 ixpeq2 8905 . . . . . . . . . 10 (βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 if(π‘˜ = π‘₯, (βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) βˆ– 𝐢), βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜)) = if(π‘˜ = π‘₯, (βˆͺ (πΉβ€˜π‘₯) βˆ– ⦋π‘₯ / π‘˜β¦ŒπΆ), βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜)) β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝐴 if(π‘˜ = π‘₯, (βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) βˆ– 𝐢), βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜)) = Xπ‘˜ ∈ 𝐴 if(π‘˜ = π‘₯, (βˆͺ (πΉβ€˜π‘₯) βˆ– ⦋π‘₯ / π‘˜β¦ŒπΆ), βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜)))
35 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ = π‘₯ β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘₯))
3635unieqd 4923 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ = π‘₯ β†’ βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘₯))
37 csbeq1a 3908 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ = π‘₯ β†’ 𝐢 = ⦋π‘₯ / π‘˜β¦ŒπΆ)
3836, 37difeq12d 4124 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = π‘₯ β†’ (βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) βˆ– 𝐢) = (βˆͺ (πΉβ€˜π‘₯) βˆ– ⦋π‘₯ / π‘˜β¦ŒπΆ))
3938adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ∧ π‘˜ = π‘₯) β†’ (βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) βˆ– 𝐢) = (βˆͺ (πΉβ€˜π‘₯) βˆ– ⦋π‘₯ / π‘˜β¦ŒπΆ))
4039ifeq1da 4560 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ 𝐴 β†’ if(π‘˜ = π‘₯, (βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) βˆ– 𝐢), βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜)) = if(π‘˜ = π‘₯, (βˆͺ (πΉβ€˜π‘₯) βˆ– ⦋π‘₯ / π‘˜β¦ŒπΆ), βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜)))
4134, 40mprg 3068 . . . . . . . . 9 Xπ‘˜ ∈ 𝐴 if(π‘˜ = π‘₯, (βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) βˆ– 𝐢), βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜)) = Xπ‘˜ ∈ 𝐴 if(π‘˜ = π‘₯, (βˆͺ (πΉβ€˜π‘₯) βˆ– ⦋π‘₯ / π‘˜β¦ŒπΆ), βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜))
4241a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝐴 if(π‘˜ = π‘₯, (βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) βˆ– 𝐢), βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜)) = Xπ‘˜ ∈ 𝐴 if(π‘˜ = π‘₯, (βˆͺ (πΉβ€˜π‘₯) βˆ– ⦋π‘₯ / π‘˜β¦ŒπΆ), βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜)))
4329, 33, 423eqtrd 2777 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (βˆͺ (∏tβ€˜πΉ) βˆ– Xπ‘˜ ∈ 𝐴 if(π‘˜ = π‘₯, 𝐢, βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜))) = Xπ‘˜ ∈ 𝐴 if(π‘˜ = π‘₯, (βˆͺ (πΉβ€˜π‘₯) βˆ– ⦋π‘₯ / π‘˜β¦ŒπΆ), βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜)))
448adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
459adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐹:𝐴⟢Top)
461ralrimiva 3147 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 𝐢 ∈ (Clsdβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)))
47 nfv 1918 . . . . . . . . . . . 12 β„²π‘₯ 𝐢 ∈ (Clsdβ€˜(πΉβ€˜π‘˜))
48 nfcsb1v 3919 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘˜β¦‹π‘₯ / π‘˜β¦ŒπΆ
4948nfel1 2920 . . . . . . . . . . . 12 β„²π‘˜β¦‹π‘₯ / π‘˜β¦ŒπΆ ∈ (Clsdβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))
50 2fveq3 6897 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ = π‘₯ β†’ (Clsdβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = (Clsdβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
5137, 50eleq12d 2828 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = π‘₯ β†’ (𝐢 ∈ (Clsdβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) ↔ ⦋π‘₯ / π‘˜β¦ŒπΆ ∈ (Clsdβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))))
5247, 49, 51cbvralw 3304 . . . . . . . . . . 11 (βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 𝐢 ∈ (Clsdβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 ⦋π‘₯ / π‘˜β¦ŒπΆ ∈ (Clsdβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
5346, 52sylib 217 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 ⦋π‘₯ / π‘˜β¦ŒπΆ ∈ (Clsdβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
5453r19.21bi 3249 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ⦋π‘₯ / π‘˜β¦ŒπΆ ∈ (Clsdβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
55 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 βˆͺ (πΉβ€˜π‘₯) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘₯)
5655cldopn 22535 . . . . . . . . 9 (⦋π‘₯ / π‘˜β¦ŒπΆ ∈ (Clsdβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) β†’ (βˆͺ (πΉβ€˜π‘₯) βˆ– ⦋π‘₯ / π‘˜β¦ŒπΆ) ∈ (πΉβ€˜π‘₯))
5754, 56syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (βˆͺ (πΉβ€˜π‘₯) βˆ– ⦋π‘₯ / π‘˜β¦ŒπΆ) ∈ (πΉβ€˜π‘₯))
5844, 45, 57ptopn2 23088 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝐴 if(π‘˜ = π‘₯, (βˆͺ (πΉβ€˜π‘₯) βˆ– ⦋π‘₯ / π‘˜β¦ŒπΆ), βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜)) ∈ (∏tβ€˜πΉ))
5943, 58eqeltrd 2834 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (βˆͺ (∏tβ€˜πΉ) βˆ– Xπ‘˜ ∈ 𝐴 if(π‘˜ = π‘₯, 𝐢, βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜))) ∈ (∏tβ€˜πΉ))
60 eqid 2733 . . . . . . . . 9 βˆͺ (∏tβ€˜πΉ) = βˆͺ (∏tβ€˜πΉ)
6160iscld 22531 . . . . . . . 8 ((∏tβ€˜πΉ) ∈ Top β†’ (Xπ‘˜ ∈ 𝐴 if(π‘˜ = π‘₯, 𝐢, βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜)) ∈ (Clsdβ€˜(∏tβ€˜πΉ)) ↔ (Xπ‘˜ ∈ 𝐴 if(π‘˜ = π‘₯, 𝐢, βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ (∏tβ€˜πΉ) ∧ (βˆͺ (∏tβ€˜πΉ) βˆ– Xπ‘˜ ∈ 𝐴 if(π‘˜ = π‘₯, 𝐢, βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜))) ∈ (∏tβ€˜πΉ))))
6215, 61syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (Xπ‘˜ ∈ 𝐴 if(π‘˜ = π‘₯, 𝐢, βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜)) ∈ (Clsdβ€˜(∏tβ€˜πΉ)) ↔ (Xπ‘˜ ∈ 𝐴 if(π‘˜ = π‘₯, 𝐢, βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ (∏tβ€˜πΉ) ∧ (βˆͺ (∏tβ€˜πΉ) βˆ– Xπ‘˜ ∈ 𝐴 if(π‘˜ = π‘₯, 𝐢, βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜))) ∈ (∏tβ€˜πΉ))))
6362adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (Xπ‘˜ ∈ 𝐴 if(π‘˜ = π‘₯, 𝐢, βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜)) ∈ (Clsdβ€˜(∏tβ€˜πΉ)) ↔ (Xπ‘˜ ∈ 𝐴 if(π‘˜ = π‘₯, 𝐢, βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ (∏tβ€˜πΉ) ∧ (βˆͺ (∏tβ€˜πΉ) βˆ– Xπ‘˜ ∈ 𝐴 if(π‘˜ = π‘₯, 𝐢, βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜))) ∈ (∏tβ€˜πΉ))))
6426, 59, 63mpbir2and 712 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝐴 if(π‘˜ = π‘₯, 𝐢, βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜)) ∈ (Clsdβ€˜(∏tβ€˜πΉ)))
6564ralrimiva 3147 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 Xπ‘˜ ∈ 𝐴 if(π‘˜ = π‘₯, 𝐢, βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜)) ∈ (Clsdβ€˜(∏tβ€˜πΉ)))
6660riincld 22548 . . . 4 (((∏tβ€˜πΉ) ∈ Top ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 Xπ‘˜ ∈ 𝐴 if(π‘˜ = π‘₯, 𝐢, βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜)) ∈ (Clsdβ€˜(∏tβ€˜πΉ))) β†’ (βˆͺ (∏tβ€˜πΉ) ∩ ∩ π‘₯ ∈ 𝐴 Xπ‘˜ ∈ 𝐴 if(π‘˜ = π‘₯, 𝐢, βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜))) ∈ (Clsdβ€˜(∏tβ€˜πΉ)))
6715, 65, 66syl2anc 585 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆͺ (∏tβ€˜πΉ) ∩ ∩ π‘₯ ∈ 𝐴 Xπ‘˜ ∈ 𝐴 if(π‘˜ = π‘₯, 𝐢, βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜))) ∈ (Clsdβ€˜(∏tβ€˜πΉ)))
6813, 67eqeltrd 2834 . 2 (πœ‘ β†’ (Xπ‘˜ ∈ 𝐴 βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) ∩ ∩ π‘₯ ∈ 𝐴 Xπ‘˜ ∈ 𝐴 if(π‘˜ = π‘₯, 𝐢, βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜))) ∈ (Clsdβ€˜(∏tβ€˜πΉ)))
697, 68eqeltrd 2834 1 (πœ‘ β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝐴 𝐢 ∈ (Clsdβ€˜(∏tβ€˜πΉ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  β¦‹csb 3894   βˆ– cdif 3946   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  ifcif 4529  βˆͺ cuni 4909  βˆ© ciin 4999  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  Xcixp 8891  βˆtcpt 17384  Topctop 22395  Clsdccld 22520
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-om 7856  df-1o 8466  df-er 8703  df-ixp 8892  df-en 8940  df-fin 8943  df-fi 9406  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-top 22396  df-bases 22449  df-cld 22523
This theorem is referenced by:  ptcldmpt  23118
  Copyright terms: Public domain W3C validator