HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  atcvatlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem atcvatlem 30076
Description: Lemma for atcvati 30077. (Contributed by NM, 27-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
atoml.1 𝐴C
Assertion
Ref Expression
atcvatlem (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ (𝐴 ≠ 0𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶))) → (¬ 𝐵𝐴𝐴 ∈ HAtoms))

Proof of Theorem atcvatlem
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 atoml.1 . . . 4 𝐴C
21hatomici 30050 . . 3 (𝐴 ≠ 0 → ∃𝑥 ∈ HAtoms 𝑥𝐴)
3 nssne2 4032 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥𝐴 ∧ ¬ 𝐵𝐴) → 𝑥𝐵)
43adantrl 712 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥𝐴 ∧ (𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶) ∧ ¬ 𝐵𝐴)) → 𝑥𝐵)
5 atnemeq0 30068 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → (𝑥𝐵 ↔ (𝑥𝐵) = 0))
64, 5syl5ib 245 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → ((𝑥𝐴 ∧ (𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶) ∧ ¬ 𝐵𝐴)) → (𝑥𝐵) = 0))
7 atelch 30035 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ HAtoms → 𝑥C )
8 cvp 30066 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥C𝐵 ∈ HAtoms) → ((𝑥𝐵) = 0𝑥 (𝑥 𝐵)))
9 atelch 30035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐵 ∈ HAtoms → 𝐵C )
10 chjcom 29197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥C𝐵C ) → (𝑥 𝐵) = (𝐵 𝑥))
119, 10sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥C𝐵 ∈ HAtoms) → (𝑥 𝐵) = (𝐵 𝑥))
1211breq2d 5075 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥C𝐵 ∈ HAtoms) → (𝑥 (𝑥 𝐵) ↔ 𝑥 (𝐵 𝑥)))
138, 12bitrd 280 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥C𝐵 ∈ HAtoms) → ((𝑥𝐵) = 0𝑥 (𝐵 𝑥)))
147, 13sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → ((𝑥𝐵) = 0𝑥 (𝐵 𝑥)))
156, 14sylibd 240 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → ((𝑥𝐴 ∧ (𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶) ∧ ¬ 𝐵𝐴)) → 𝑥 (𝐵 𝑥)))
1615ancoms 459 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) → ((𝑥𝐴 ∧ (𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶) ∧ ¬ 𝐵𝐴)) → 𝑥 (𝐵 𝑥)))
1716adantlr 711 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) → ((𝑥𝐴 ∧ (𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶) ∧ ¬ 𝐵𝐴)) → 𝑥 (𝐵 𝑥)))
1817imp 407 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶) ∧ ¬ 𝐵𝐴))) → 𝑥 (𝐵 𝑥))
19 chub1 29198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐵C𝑥C ) → 𝐵 ⊆ (𝐵 𝑥))
209, 7, 19syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) → 𝐵 ⊆ (𝐵 𝑥))
21203adant3 1126 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → 𝐵 ⊆ (𝐵 𝑥))
2221adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((𝑥𝐴 ∧ ¬ 𝐵𝐴) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶))) → 𝐵 ⊆ (𝐵 𝑥))
23 pssss 4076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶) → 𝐴 ⊆ (𝐵 𝐶))
24 sstr 3979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑥𝐴𝐴 ⊆ (𝐵 𝐶)) → 𝑥 ⊆ (𝐵 𝐶))
2523, 24sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑥𝐴𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶)) → 𝑥 ⊆ (𝐵 𝐶))
2625adantlr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑥𝐴 ∧ ¬ 𝐵𝐴) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶)) → 𝑥 ⊆ (𝐵 𝐶))
2726adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((𝑥𝐴 ∧ ¬ 𝐵𝐴) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶))) → 𝑥 ⊆ (𝐵 𝐶))
28 incom 4182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐵𝑥) = (𝑥𝐵)
293, 5syl5ib 245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → ((𝑥𝐴 ∧ ¬ 𝐵𝐴) → (𝑥𝐵) = 0))
3029ancoms 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) → ((𝑥𝐴 ∧ ¬ 𝐵𝐴) → (𝑥𝐵) = 0))
31303adant3 1126 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → ((𝑥𝐴 ∧ ¬ 𝐵𝐴) → (𝑥𝐵) = 0))
3231imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ¬ 𝐵𝐴)) → (𝑥𝐵) = 0)
3328, 32syl5eq 2873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ¬ 𝐵𝐴)) → (𝐵𝑥) = 0)
3433adantrr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((𝑥𝐴 ∧ ¬ 𝐵𝐴) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶))) → (𝐵𝑥) = 0)
35 atexch 30072 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐵C𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → ((𝑥 ⊆ (𝐵 𝐶) ∧ (𝐵𝑥) = 0) → 𝐶 ⊆ (𝐵 𝑥)))
369, 35syl3an1 1157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → ((𝑥 ⊆ (𝐵 𝐶) ∧ (𝐵𝑥) = 0) → 𝐶 ⊆ (𝐵 𝑥)))
3736adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((𝑥𝐴 ∧ ¬ 𝐵𝐴) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶))) → ((𝑥 ⊆ (𝐵 𝐶) ∧ (𝐵𝑥) = 0) → 𝐶 ⊆ (𝐵 𝑥)))
3827, 34, 37mp2and 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((𝑥𝐴 ∧ ¬ 𝐵𝐴) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶))) → 𝐶 ⊆ (𝐵 𝑥))
39 atelch 30035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐶 ∈ HAtoms → 𝐶C )
40 simp1 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐵C𝑥C𝐶C ) → 𝐵C )
41 simp3 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐵C𝑥C𝐶C ) → 𝐶C )
42 chjcl 29048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐵C𝑥C ) → (𝐵 𝑥) ∈ C )
43423adant3 1126 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐵C𝑥C𝐶C ) → (𝐵 𝑥) ∈ C )
4440, 41, 433jca 1122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐵C𝑥C𝐶C ) → (𝐵C𝐶C ∧ (𝐵 𝑥) ∈ C ))
459, 7, 39, 44syl3an 1154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (𝐵C𝐶C ∧ (𝐵 𝑥) ∈ C ))
46 chlub 29200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐵C𝐶C ∧ (𝐵 𝑥) ∈ C ) → ((𝐵 ⊆ (𝐵 𝑥) ∧ 𝐶 ⊆ (𝐵 𝑥)) ↔ (𝐵 𝐶) ⊆ (𝐵 𝑥)))
4745, 46syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → ((𝐵 ⊆ (𝐵 𝑥) ∧ 𝐶 ⊆ (𝐵 𝑥)) ↔ (𝐵 𝐶) ⊆ (𝐵 𝑥)))
4847adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((𝑥𝐴 ∧ ¬ 𝐵𝐴) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶))) → ((𝐵 ⊆ (𝐵 𝑥) ∧ 𝐶 ⊆ (𝐵 𝑥)) ↔ (𝐵 𝐶) ⊆ (𝐵 𝑥)))
4922, 38, 48mpbi2and 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((𝑥𝐴 ∧ ¬ 𝐵𝐴) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶))) → (𝐵 𝐶) ⊆ (𝐵 𝑥))
50 chub1 29198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐵C𝐶C ) → 𝐵 ⊆ (𝐵 𝐶))
51503adant2 1125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐵C𝑥C𝐶C ) → 𝐵 ⊆ (𝐵 𝐶))
5251, 26anim12i 612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐵C𝑥C𝐶C ) ∧ ((𝑥𝐴 ∧ ¬ 𝐵𝐴) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶))) → (𝐵 ⊆ (𝐵 𝐶) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐵 𝐶)))
53 chjcl 29048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐵C𝐶C ) → (𝐵 𝐶) ∈ C )
54533adant2 1125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐵C𝑥C𝐶C ) → (𝐵 𝐶) ∈ C )
55 chlub 29200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐵C𝑥C ∧ (𝐵 𝐶) ∈ C ) → ((𝐵 ⊆ (𝐵 𝐶) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐵 𝐶)) ↔ (𝐵 𝑥) ⊆ (𝐵 𝐶)))
5654, 55syld3an3 1403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐵C𝑥C𝐶C ) → ((𝐵 ⊆ (𝐵 𝐶) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐵 𝐶)) ↔ (𝐵 𝑥) ⊆ (𝐵 𝐶)))
5756adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐵C𝑥C𝐶C ) ∧ ((𝑥𝐴 ∧ ¬ 𝐵𝐴) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶))) → ((𝐵 ⊆ (𝐵 𝐶) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐵 𝐶)) ↔ (𝐵 𝑥) ⊆ (𝐵 𝐶)))
5852, 57mpbid 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐵C𝑥C𝐶C ) ∧ ((𝑥𝐴 ∧ ¬ 𝐵𝐴) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶))) → (𝐵 𝑥) ⊆ (𝐵 𝐶))
599, 7, 39, 58syl3anl 1409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((𝑥𝐴 ∧ ¬ 𝐵𝐴) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶))) → (𝐵 𝑥) ⊆ (𝐵 𝐶))
6049, 59eqssd 3988 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((𝑥𝐴 ∧ ¬ 𝐵𝐴) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶))) → (𝐵 𝐶) = (𝐵 𝑥))
6160anassrs 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶)) → (𝐵 𝐶) = (𝐵 𝑥))
6261psseq2d 4074 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶)) → (𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶) ↔ 𝐴 ⊊ (𝐵 𝑥)))
6362ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ¬ 𝐵𝐴)) → (𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶) → (𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶) ↔ 𝐴 ⊊ (𝐵 𝑥))))
6463ibd 270 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ¬ 𝐵𝐴)) → (𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶) → 𝐴 ⊊ (𝐵 𝑥)))
6564exp32 421 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (𝑥𝐴 → (¬ 𝐵𝐴 → (𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶) → 𝐴 ⊊ (𝐵 𝑥)))))
66653expa 1112 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (𝑥𝐴 → (¬ 𝐵𝐴 → (𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶) → 𝐴 ⊊ (𝐵 𝑥)))))
6766an32s 648 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) → (𝑥𝐴 → (¬ 𝐵𝐴 → (𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶) → 𝐴 ⊊ (𝐵 𝑥)))))
6867com34 91 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) → (𝑥𝐴 → (𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶) → (¬ 𝐵𝐴𝐴 ⊊ (𝐵 𝑥)))))
6968imp45 430 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶) ∧ ¬ 𝐵𝐴))) → 𝐴 ⊊ (𝐵 𝑥))
70 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐵C𝑥C ) → 𝑥C )
7170, 42jca 512 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐵C𝑥C ) → (𝑥C ∧ (𝐵 𝑥) ∈ C ))
729, 7, 71syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) → (𝑥C ∧ (𝐵 𝑥) ∈ C ))
73 cvnbtwn3 29979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥C ∧ (𝐵 𝑥) ∈ C𝐴C ) → (𝑥 (𝐵 𝑥) → ((𝑥𝐴𝐴 ⊊ (𝐵 𝑥)) → 𝐴 = 𝑥)))
741, 73mp3an3 1443 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥C ∧ (𝐵 𝑥) ∈ C ) → (𝑥 (𝐵 𝑥) → ((𝑥𝐴𝐴 ⊊ (𝐵 𝑥)) → 𝐴 = 𝑥)))
7574exp4a 432 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥C ∧ (𝐵 𝑥) ∈ C ) → (𝑥 (𝐵 𝑥) → (𝑥𝐴 → (𝐴 ⊊ (𝐵 𝑥) → 𝐴 = 𝑥))))
7675com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥C ∧ (𝐵 𝑥) ∈ C ) → (𝑥𝐴 → (𝑥 (𝐵 𝑥) → (𝐴 ⊊ (𝐵 𝑥) → 𝐴 = 𝑥))))
7776imp4a 423 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥C ∧ (𝐵 𝑥) ∈ C ) → (𝑥𝐴 → ((𝑥 (𝐵 𝑥) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 𝑥)) → 𝐴 = 𝑥)))
7872, 77syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) → (𝑥𝐴 → ((𝑥 (𝐵 𝑥) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 𝑥)) → 𝐴 = 𝑥)))
7978adantlr 711 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) → (𝑥𝐴 → ((𝑥 (𝐵 𝑥) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 𝑥)) → 𝐴 = 𝑥)))
8079imp 407 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝑥 (𝐵 𝑥) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 𝑥)) → 𝐴 = 𝑥))
8180adantrr 713 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶) ∧ ¬ 𝐵𝐴))) → ((𝑥 (𝐵 𝑥) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 𝑥)) → 𝐴 = 𝑥))
8218, 69, 81mp2and 695 . . . . . . . . . 10 ((((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶) ∧ ¬ 𝐵𝐴))) → 𝐴 = 𝑥)
8382eleq1d 2902 . . . . . . . . 9 ((((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶) ∧ ¬ 𝐵𝐴))) → (𝐴 ∈ HAtoms ↔ 𝑥 ∈ HAtoms))
8483biimprcd 251 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ HAtoms → ((((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶) ∧ ¬ 𝐵𝐴))) → 𝐴 ∈ HAtoms))
8584exp4c 433 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ HAtoms → ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (𝑥 ∈ HAtoms → ((𝑥𝐴 ∧ (𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶) ∧ ¬ 𝐵𝐴)) → 𝐴 ∈ HAtoms))))
8685pm2.43b 55 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (𝑥 ∈ HAtoms → ((𝑥𝐴 ∧ (𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶) ∧ ¬ 𝐵𝐴)) → 𝐴 ∈ HAtoms)))
8786imp 407 . . . . 5 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) → ((𝑥𝐴 ∧ (𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶) ∧ ¬ 𝐵𝐴)) → 𝐴 ∈ HAtoms))
8887exp4d 434 . . . 4 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) → (𝑥𝐴 → (𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶) → (¬ 𝐵𝐴𝐴 ∈ HAtoms))))
8988rexlimdva 3289 . . 3 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (∃𝑥 ∈ HAtoms 𝑥𝐴 → (𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶) → (¬ 𝐵𝐴𝐴 ∈ HAtoms))))
902, 89syl5 34 . 2 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (𝐴 ≠ 0 → (𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶) → (¬ 𝐵𝐴𝐴 ∈ HAtoms))))
9190imp32 419 1 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ (𝐴 ≠ 0𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶))) → (¬ 𝐵𝐴𝐴 ∈ HAtoms))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  wne 3021  wrex 3144  cin 3939  wss 3940  wpss 3941   class class class wbr 5063  (class class class)co 7148   C cch 28620   chj 28624  0c0h 28626   ccv 28655  HAtomscat 28656
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-13 2385  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-inf2 9093  ax-cc 9846  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605  ax-mulf 10606  ax-hilex 28690  ax-hfvadd 28691  ax-hvcom 28692  ax-hvass 28693  ax-hv0cl 28694  ax-hvaddid 28695  ax-hfvmul 28696  ax-hvmulid 28697  ax-hvmulass 28698  ax-hvdistr1 28699  ax-hvdistr2 28700  ax-hvmul0 28701  ax-hfi 28770  ax-his1 28773  ax-his2 28774  ax-his3 28775  ax-his4 28776  ax-hcompl 28893
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-iin 4920  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6146  df-ord 6192  df-on 6193  df-lim 6194  df-suc 6195  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-isom 6361  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-of 7399  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-supp 7822  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-1o 8093  df-2o 8094  df-oadd 8097  df-omul 8098  df-er 8279  df-map 8398  df-pm 8399  df-ixp 8451  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-fin 8502  df-fsupp 8823  df-fi 8864  df-sup 8895  df-inf 8896  df-oi 8963  df-card 9357  df-acn 9360  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11628  df-2 11689  df-3 11690  df-4 11691  df-5 11692  df-6 11693  df-7 11694  df-8 11695  df-9 11696  df-n0 11887  df-z 11971  df-dec 12088  df-uz 12233  df-q 12338  df-rp 12380  df-xneg 12497  df-xadd 12498  df-xmul 12499  df-ioo 12732  df-ico 12734  df-icc 12735  df-fz 12883  df-fzo 13024  df-fl 13152  df-seq 13360  df-exp 13420  df-hash 13681  df-cj 14448  df-re 14449  df-im 14450  df-sqrt 14584  df-abs 14585  df-clim 14835  df-rlim 14836  df-sum 15033  df-struct 16475  df-ndx 16476  df-slot 16477  df-base 16479  df-sets 16480  df-ress 16481  df-plusg 16568  df-mulr 16569  df-starv 16570  df-sca 16571  df-vsca 16572  df-ip 16573  df-tset 16574  df-ple 16575  df-ds 16577  df-unif 16578  df-hom 16579  df-cco 16580  df-rest 16686  df-topn 16687  df-0g 16705  df-gsum 16706  df-topgen 16707  df-pt 16708  df-prds 16711  df-xrs 16765  df-qtop 16770  df-imas 16771  df-xps 16773  df-mre 16847  df-mrc 16848  df-acs 16850  df-mgm 17842  df-sgrp 17890  df-mnd 17901  df-submnd 17945  df-mulg 18155  df-cntz 18377  df-cmn 18828  df-psmet 20453  df-xmet 20454  df-met 20455  df-bl 20456  df-mopn 20457  df-fbas 20458  df-fg 20459  df-cnfld 20462  df-top 21418  df-topon 21435  df-topsp 21457  df-bases 21470  df-cld 21543  df-ntr 21544  df-cls 21545  df-nei 21622  df-cn 21751  df-cnp 21752  df-lm 21753  df-haus 21839  df-tx 22086  df-hmeo 22279  df-fil 22370  df-fm 22462  df-flim 22463  df-flf 22464  df-xms 22845  df-ms 22846  df-tms 22847  df-cfil 23773  df-cau 23774  df-cmet 23775  df-grpo 28184  df-gid 28185  df-ginv 28186  df-gdiv 28187  df-ablo 28236  df-vc 28250  df-nv 28283  df-va 28286  df-ba 28287  df-sm 28288  df-0v 28289  df-vs 28290  df-nmcv 28291  df-ims 28292  df-dip 28392  df-ssp 28413  df-ph 28504  df-cbn 28554  df-hnorm 28659  df-hba 28660  df-hvsub 28662  df-hlim 28663  df-hcau 28664  df-sh 28898  df-ch 28912  df-oc 28943  df-ch0 28944  df-shs 28999  df-span 29000  df-chj 29001  df-chsup 29002  df-pjh 29086  df-cv 29970  df-at 30029
This theorem is referenced by:  atcvati  30077
  Copyright terms: Public domain W3C validator