Theorem atcvatlem 32866

Description: Lemma for atcvati 32867. (Contributed by NM, 27-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
atoml.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
atcvatlem	⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ (𝐴 ≠ 0ℋ ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) → (¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 → 𝐴 ∈ HAtoms))

Proof of Theorem atcvatlem

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		atoml.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
2	1	hatomici 32840	. . 3 ⊢ (𝐴 ≠ 0ℋ → ∃𝑥 ∈ HAtoms 𝑥 ⊆ 𝐴)
3		nssne2 3994	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝑥 ≠ 𝐵)
4	3	adantrl 729	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ (𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → 𝑥 ≠ 𝐵)
5		atnemeq0 32858	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → (𝑥 ≠ 𝐵 ↔ (𝑥 ∩ 𝐵) = 0ℋ))
6	4, 5	imbitrid 247	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ (𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → (𝑥 ∩ 𝐵) = 0ℋ))
7		atelch 32825	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ HAtoms → 𝑥 ∈ Cℋ )
8		cvp 32856	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → ((𝑥 ∩ 𝐵) = 0ℋ ↔ 𝑥 ⋖ℋ (𝑥 ∨ℋ 𝐵)))
9		atelch 32825	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐵 ∈ HAtoms → 𝐵 ∈ Cℋ )
10		chjcom 31987	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝑥 ∨ℋ 𝐵) = (𝐵 ∨ℋ 𝑥))
11	9, 10	sylan2 605	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → (𝑥 ∨ℋ 𝐵) = (𝐵 ∨ℋ 𝑥))
12	11	breq2d 5115	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → (𝑥 ⋖ℋ (𝑥 ∨ℋ 𝐵) ↔ 𝑥 ⋖ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)))
13	8, 12	bitrd 282	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → ((𝑥 ∩ 𝐵) = 0ℋ ↔ 𝑥 ⋖ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)))
14	7, 13	sylan 592	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → ((𝑥 ∩ 𝐵) = 0ℋ ↔ 𝑥 ⋖ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)))
15	6, 14	sylibd 242	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ (𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → 𝑥 ⋖ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)))
16	15	ancoms 464	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) → ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ (𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → 𝑥 ⋖ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)))
17	16	adantlr 728	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) → ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ (𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → 𝑥 ⋖ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)))
18	17	imp 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ (𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴))) → 𝑥 ⋖ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑥))
19		chub1 31988	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → 𝐵 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝑥))
20	9, 7, 19	syl2an 608	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) → 𝐵 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝑥))
21	20	3adant3 1150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → 𝐵 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝑥))
22	21	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) → 𝐵 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝑥))
23		pssss 4046	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) → 𝐴 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))
24		sstr 3939	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) → 𝑥 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))
25	23, 24	sylan2 605	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) → 𝑥 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))
26	25	adantlr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) → 𝑥 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))
27	26	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) → 𝑥 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))
28		incom 4155	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝐵 ∩ 𝑥) = (𝑥 ∩ 𝐵)
29	3, 5	imbitrid 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝑥 ∩ 𝐵) = 0ℋ))
30	29	ancoms 464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) → ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝑥 ∩ 𝐵) = 0ℋ))
31	30	3adant3 1150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝑥 ∩ 𝐵) = 0ℋ))
32	31	imp 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → (𝑥 ∩ 𝐵) = 0ℋ)
33	28, 32	eqtrid 2807	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → (𝐵 ∩ 𝑥) = 0ℋ)
34	33	adantrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) → (𝐵 ∩ 𝑥) = 0ℋ)
35		atexch 32862	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → ((𝑥 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∧ (𝐵 ∩ 𝑥) = 0ℋ) → 𝐶 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)))
36	9, 35	syl3an1 1181	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → ((𝑥 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∧ (𝐵 ∩ 𝑥) = 0ℋ) → 𝐶 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)))
37	36	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) → ((𝑥 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∧ (𝐵 ∩ 𝑥) = 0ℋ) → 𝐶 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)))
38	27, 34, 37	mp2and 712	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) → 𝐶 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝑥))
39		atelch 32825	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝐶 ∈ HAtoms → 𝐶 ∈ Cℋ )
40		simp1 1154	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → 𝐵 ∈ Cℋ )
41		simp3 1156	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → 𝐶 ∈ Cℋ )
42		chjcl 31838	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (𝐵 ∨ℋ 𝑥) ∈ Cℋ )
43	42	3adant3 1150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → (𝐵 ∨ℋ 𝑥) ∈ Cℋ )
44	40, 41, 43	3jca 1146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → (𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ∧ (𝐵 ∨ℋ 𝑥) ∈ Cℋ ))
45	9, 7, 39, 44	syl3an 1178	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ∧ (𝐵 ∨ℋ 𝑥) ∈ Cℋ ))
46		chlub 31990	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ∧ (𝐵 ∨ℋ 𝑥) ∈ Cℋ ) → ((𝐵 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝑥) ∧ 𝐶 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)) ↔ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)))
47	45, 46	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → ((𝐵 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝑥) ∧ 𝐶 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)) ↔ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)))
48	47	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) → ((𝐵 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝑥) ∧ 𝐶 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)) ↔ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)))
49	22, 38, 48	mpbi2and 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) → (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝑥))
50		chub1 31988	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → 𝐵 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))
51	50	3adant2 1149	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → 𝐵 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))
52	51, 26	anim12i 625	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) → (𝐵 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)))
53		chjcl 31838	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∈ Cℋ )
54	53	3adant2 1149	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∈ Cℋ )
55		chlub 31990	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ∧ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∈ Cℋ ) → ((𝐵 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ↔ (𝐵 ∨ℋ 𝑥) ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)))
56	54, 55	syld3an3 1436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → ((𝐵 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ↔ (𝐵 ∨ℋ 𝑥) ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)))
57	56	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) → ((𝐵 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ↔ (𝐵 ∨ℋ 𝑥) ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)))
58	52, 57	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) → (𝐵 ∨ℋ 𝑥) ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))
59	9, 7, 39, 58	syl3anl 1442	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) → (𝐵 ∨ℋ 𝑥) ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))
60	49, 59	eqssd 3948	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) → (𝐵 ∨ℋ 𝐶) = (𝐵 ∨ℋ 𝑥))
61	60	anassrs 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴)) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) → (𝐵 ∨ℋ 𝐶) = (𝐵 ∨ℋ 𝑥))
62	61	psseq2d 4044	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴)) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) → (𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ↔ 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)))
63	62	ex 418	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → (𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) → (𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ↔ 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝑥))))
64	63	ibd 272	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → (𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) → 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)))
65	64	exp32 426	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (𝑥 ⊆ 𝐴 → (¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 → (𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) → 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)))))
66	65	3expa 1136	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (𝑥 ⊆ 𝐴 → (¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 → (𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) → 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)))))
67	66	an32s 665	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) → (𝑥 ⊆ 𝐴 → (¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 → (𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) → 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)))))
68	67	com34 92	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) → (𝑥 ⊆ 𝐴 → (𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) → (¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 → 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)))))
69	68	imp45 435	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ (𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴))) → 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝑥))
70		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → 𝑥 ∈ Cℋ )
71	70, 42	jca 521	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (𝑥 ∈ Cℋ ∧ (𝐵 ∨ℋ 𝑥) ∈ Cℋ ))
72	9, 7, 71	syl2an 608	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) → (𝑥 ∈ Cℋ ∧ (𝐵 ∨ℋ 𝑥) ∈ Cℋ ))
73		cvnbtwn3 32769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ (𝐵 ∨ℋ 𝑥) ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → (𝑥 ⋖ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑥) → ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)) → 𝐴 = 𝑥)))
74	1, 73	mp3an3 1479	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ (𝐵 ∨ℋ 𝑥) ∈ Cℋ ) → (𝑥 ⋖ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑥) → ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)) → 𝐴 = 𝑥)))
75	74	exp4a 437	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ (𝐵 ∨ℋ 𝑥) ∈ Cℋ ) → (𝑥 ⋖ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑥) → (𝑥 ⊆ 𝐴 → (𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝑥) → 𝐴 = 𝑥))))
76	75	com23 87	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ (𝐵 ∨ℋ 𝑥) ∈ Cℋ ) → (𝑥 ⊆ 𝐴 → (𝑥 ⋖ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑥) → (𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝑥) → 𝐴 = 𝑥))))
77	76	imp4a 428	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ (𝐵 ∨ℋ 𝑥) ∈ Cℋ ) → (𝑥 ⊆ 𝐴 → ((𝑥 ⋖ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑥) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)) → 𝐴 = 𝑥)))
78	72, 77	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) → (𝑥 ⊆ 𝐴 → ((𝑥 ⋖ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑥) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)) → 𝐴 = 𝑥)))
79	78	adantlr 728	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) → (𝑥 ⊆ 𝐴 → ((𝑥 ⋖ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑥) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)) → 𝐴 = 𝑥)))
80	79	imp 412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) → ((𝑥 ⋖ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑥) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)) → 𝐴 = 𝑥))
81	80	adantrr 730	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ (𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴))) → ((𝑥 ⋖ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑥) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)) → 𝐴 = 𝑥))
82	18, 69, 81	mp2and 712	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ (𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴))) → 𝐴 = 𝑥)
83	82	eleq1d 2845	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ (𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴))) → (𝐴 ∈ HAtoms ↔ 𝑥 ∈ HAtoms))
84	83	biimprcd 253	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ HAtoms → ((((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ (𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴))) → 𝐴 ∈ HAtoms))
85	84	exp4c 438	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ HAtoms → ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (𝑥 ∈ HAtoms → ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ (𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → 𝐴 ∈ HAtoms))))
86	85	pm2.43b 56	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (𝑥 ∈ HAtoms → ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ (𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → 𝐴 ∈ HAtoms)))
87	86	imp 412	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) → ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ (𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → 𝐴 ∈ HAtoms))
88	87	exp4d 439	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) → (𝑥 ⊆ 𝐴 → (𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) → (¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 → 𝐴 ∈ HAtoms))))
89	88	rexlimdva 3163	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (∃𝑥 ∈ HAtoms 𝑥 ⊆ 𝐴 → (𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) → (¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 → 𝐴 ∈ HAtoms))))
90	2, 89	syl5 35	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (𝐴 ≠ 0ℋ → (𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) → (¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 → 𝐴 ∈ HAtoms))))
91	90	imp32 424	1 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ (𝐴 ≠ 0ℋ ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) → (¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 → 𝐴 ∈ HAtoms))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∃wrex 3086   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899   ⊊ wpss 3900   class class class wbr 5103  (class class class)co 7413   C_ℋ cch 31410   ∨_ℋ chj 31414  0_ℋc0h 31416   ⋖_ℋ ccv 31445  HAtomscat 31446

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-inf2 9620  ax-cc 10437  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202  ax-addf 11203  ax-mulf 11204  ax-hilex 31480  ax-hfvadd 31481  ax-hvcom 31482  ax-hvass 31483  ax-hv0cl 31484  ax-hvaddid 31485  ax-hfvmul 31486  ax-hvmulid 31487  ax-hvmulass 31488  ax-hvdistr1 31489  ax-hvdistr2 31490  ax-hvmul0 31491  ax-hfi 31560  ax-his1 31563  ax-his2 31564  ax-his3 31565  ax-his4 31566  ax-hcompl 31683

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7678  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-oadd 8459  df-omul 8460  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8905  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-fi 9381  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-card 9944  df-acn 9947  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-div 11896  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12737  df-uz 12888  df-q 12998  df-rp 13043  df-xneg 13163  df-xadd 13164  df-xmul 13165  df-ioo 13402  df-ico 13404  df-icc 13405  df-fz 13562  df-fzo 13710  df-fl 13853  df-seq 14066  df-exp 14126  df-hash 14395  df-cj 15186  df-re 15187  df-im 15188  df-sqrt 15322  df-abs 15323  df-clim 15575  df-rlim 15576  df-sum 15774  df-struct 17239  df-sets 17256  df-slot 17274  df-ndx 17286  df-base 17302  df-ress 17323  df-plusg 17355  df-mulr 17356  df-starv 17357  df-sca 17358  df-vsca 17359  df-ip 17360  df-tset 17361  df-ple 17362  df-ds 17364  df-unif 17365  df-hom 17366  df-cco 17367  df-rest 17507  df-topn 17508  df-0g 17526  df-gsum 17527  df-topgen 17528  df-pt 17529  df-prds 17532  df-xrs 17588  df-qtop 17593  df-imas 17594  df-xps 17596  df-mre 17670  df-mrc 17671  df-acs 17673  df-mgm 18730  df-sgrp 18821  df-mnd 18837  df-submnd 18892  df-mulg 19191  df-cntz 19444  df-cmn 19909  df-psmet 21577  df-xmet 21578  df-met 21579  df-bl 21580  df-mopn 21581  df-fbas 21582  df-fg 21583  df-cnfld 21586  df-top 23119  df-topon 23136  df-topsp 23158  df-bases 23171  df-cld 23244  df-ntr 23245  df-cls 23246  df-nei 23323  df-cn 23452  df-cnp 23453  df-lm 23454  df-haus 23540  df-tx 23788  df-hmeo 23981  df-fil 24072  df-fm 24164  df-flim 24165  df-flf 24166  df-xms 24546  df-ms 24547  df-tms 24548  df-cfil 25483  df-cau 25484  df-cmet 25485  df-grpo 30974  df-gid 30975  df-ginv 30976  df-gdiv 30977  df-ablo 31026  df-vc 31040  df-nv 31073  df-va 31076  df-ba 31077  df-sm 31078  df-0v 31079  df-vs 31080  df-nmcv 31081  df-ims 31082  df-dip 31182  df-ssp 31203  df-ph 31294  df-cbn 31344  df-hnorm 31449  df-hba 31450  df-hvsub 31452  df-hlim 31453  df-hcau 31454  df-sh 31688  df-ch 31702  df-oc 31733  df-ch0 31734  df-shs 31789  df-span 31790  df-chj 31791  df-chsup 31792  df-pjh 31876  df-cv 32760  df-at 32819

This theorem is used by:  atcvati  32867