HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  atcvatlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem atcvatlem 31638
Description: Lemma for atcvati 31639. (Contributed by NM, 27-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
atoml.1 𝐴C
Assertion
Ref Expression
atcvatlem (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ (𝐴 ≠ 0𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶))) → (¬ 𝐵𝐴𝐴 ∈ HAtoms))

Proof of Theorem atcvatlem
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 atoml.1 . . . 4 𝐴C
21hatomici 31612 . . 3 (𝐴 ≠ 0 → ∃𝑥 ∈ HAtoms 𝑥𝐴)
3 nssne2 4046 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥𝐴 ∧ ¬ 𝐵𝐴) → 𝑥𝐵)
43adantrl 715 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥𝐴 ∧ (𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶) ∧ ¬ 𝐵𝐴)) → 𝑥𝐵)
5 atnemeq0 31630 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → (𝑥𝐵 ↔ (𝑥𝐵) = 0))
64, 5imbitrid 243 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → ((𝑥𝐴 ∧ (𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶) ∧ ¬ 𝐵𝐴)) → (𝑥𝐵) = 0))
7 atelch 31597 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ HAtoms → 𝑥C )
8 cvp 31628 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥C𝐵 ∈ HAtoms) → ((𝑥𝐵) = 0𝑥 (𝑥 𝐵)))
9 atelch 31597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐵 ∈ HAtoms → 𝐵C )
10 chjcom 30759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥C𝐵C ) → (𝑥 𝐵) = (𝐵 𝑥))
119, 10sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥C𝐵 ∈ HAtoms) → (𝑥 𝐵) = (𝐵 𝑥))
1211breq2d 5161 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥C𝐵 ∈ HAtoms) → (𝑥 (𝑥 𝐵) ↔ 𝑥 (𝐵 𝑥)))
138, 12bitrd 279 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥C𝐵 ∈ HAtoms) → ((𝑥𝐵) = 0𝑥 (𝐵 𝑥)))
147, 13sylan 581 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → ((𝑥𝐵) = 0𝑥 (𝐵 𝑥)))
156, 14sylibd 238 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → ((𝑥𝐴 ∧ (𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶) ∧ ¬ 𝐵𝐴)) → 𝑥 (𝐵 𝑥)))
1615ancoms 460 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) → ((𝑥𝐴 ∧ (𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶) ∧ ¬ 𝐵𝐴)) → 𝑥 (𝐵 𝑥)))
1716adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) → ((𝑥𝐴 ∧ (𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶) ∧ ¬ 𝐵𝐴)) → 𝑥 (𝐵 𝑥)))
1817imp 408 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶) ∧ ¬ 𝐵𝐴))) → 𝑥 (𝐵 𝑥))
19 chub1 30760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐵C𝑥C ) → 𝐵 ⊆ (𝐵 𝑥))
209, 7, 19syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) → 𝐵 ⊆ (𝐵 𝑥))
21203adant3 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → 𝐵 ⊆ (𝐵 𝑥))
2221adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((𝑥𝐴 ∧ ¬ 𝐵𝐴) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶))) → 𝐵 ⊆ (𝐵 𝑥))
23 pssss 4096 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶) → 𝐴 ⊆ (𝐵 𝐶))
24 sstr 3991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑥𝐴𝐴 ⊆ (𝐵 𝐶)) → 𝑥 ⊆ (𝐵 𝐶))
2523, 24sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑥𝐴𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶)) → 𝑥 ⊆ (𝐵 𝐶))
2625adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑥𝐴 ∧ ¬ 𝐵𝐴) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶)) → 𝑥 ⊆ (𝐵 𝐶))
2726adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((𝑥𝐴 ∧ ¬ 𝐵𝐴) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶))) → 𝑥 ⊆ (𝐵 𝐶))
28 incom 4202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐵𝑥) = (𝑥𝐵)
293, 5imbitrid 243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → ((𝑥𝐴 ∧ ¬ 𝐵𝐴) → (𝑥𝐵) = 0))
3029ancoms 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) → ((𝑥𝐴 ∧ ¬ 𝐵𝐴) → (𝑥𝐵) = 0))
31303adant3 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → ((𝑥𝐴 ∧ ¬ 𝐵𝐴) → (𝑥𝐵) = 0))
3231imp 408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ¬ 𝐵𝐴)) → (𝑥𝐵) = 0)
3328, 32eqtrid 2785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ¬ 𝐵𝐴)) → (𝐵𝑥) = 0)
3433adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((𝑥𝐴 ∧ ¬ 𝐵𝐴) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶))) → (𝐵𝑥) = 0)
35 atexch 31634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐵C𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → ((𝑥 ⊆ (𝐵 𝐶) ∧ (𝐵𝑥) = 0) → 𝐶 ⊆ (𝐵 𝑥)))
369, 35syl3an1 1164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → ((𝑥 ⊆ (𝐵 𝐶) ∧ (𝐵𝑥) = 0) → 𝐶 ⊆ (𝐵 𝑥)))
3736adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((𝑥𝐴 ∧ ¬ 𝐵𝐴) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶))) → ((𝑥 ⊆ (𝐵 𝐶) ∧ (𝐵𝑥) = 0) → 𝐶 ⊆ (𝐵 𝑥)))
3827, 34, 37mp2and 698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((𝑥𝐴 ∧ ¬ 𝐵𝐴) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶))) → 𝐶 ⊆ (𝐵 𝑥))
39 atelch 31597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐶 ∈ HAtoms → 𝐶C )
40 simp1 1137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐵C𝑥C𝐶C ) → 𝐵C )
41 simp3 1139 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐵C𝑥C𝐶C ) → 𝐶C )
42 chjcl 30610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐵C𝑥C ) → (𝐵 𝑥) ∈ C )
43423adant3 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐵C𝑥C𝐶C ) → (𝐵 𝑥) ∈ C )
4440, 41, 433jca 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐵C𝑥C𝐶C ) → (𝐵C𝐶C ∧ (𝐵 𝑥) ∈ C ))
459, 7, 39, 44syl3an 1161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (𝐵C𝐶C ∧ (𝐵 𝑥) ∈ C ))
46 chlub 30762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐵C𝐶C ∧ (𝐵 𝑥) ∈ C ) → ((𝐵 ⊆ (𝐵 𝑥) ∧ 𝐶 ⊆ (𝐵 𝑥)) ↔ (𝐵 𝐶) ⊆ (𝐵 𝑥)))
4745, 46syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → ((𝐵 ⊆ (𝐵 𝑥) ∧ 𝐶 ⊆ (𝐵 𝑥)) ↔ (𝐵 𝐶) ⊆ (𝐵 𝑥)))
4847adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((𝑥𝐴 ∧ ¬ 𝐵𝐴) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶))) → ((𝐵 ⊆ (𝐵 𝑥) ∧ 𝐶 ⊆ (𝐵 𝑥)) ↔ (𝐵 𝐶) ⊆ (𝐵 𝑥)))
4922, 38, 48mpbi2and 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((𝑥𝐴 ∧ ¬ 𝐵𝐴) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶))) → (𝐵 𝐶) ⊆ (𝐵 𝑥))
50 chub1 30760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐵C𝐶C ) → 𝐵 ⊆ (𝐵 𝐶))
51503adant2 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐵C𝑥C𝐶C ) → 𝐵 ⊆ (𝐵 𝐶))
5251, 26anim12i 614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐵C𝑥C𝐶C ) ∧ ((𝑥𝐴 ∧ ¬ 𝐵𝐴) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶))) → (𝐵 ⊆ (𝐵 𝐶) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐵 𝐶)))
53 chjcl 30610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐵C𝐶C ) → (𝐵 𝐶) ∈ C )
54533adant2 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐵C𝑥C𝐶C ) → (𝐵 𝐶) ∈ C )
55 chlub 30762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐵C𝑥C ∧ (𝐵 𝐶) ∈ C ) → ((𝐵 ⊆ (𝐵 𝐶) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐵 𝐶)) ↔ (𝐵 𝑥) ⊆ (𝐵 𝐶)))
5654, 55syld3an3 1410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐵C𝑥C𝐶C ) → ((𝐵 ⊆ (𝐵 𝐶) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐵 𝐶)) ↔ (𝐵 𝑥) ⊆ (𝐵 𝐶)))
5756adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐵C𝑥C𝐶C ) ∧ ((𝑥𝐴 ∧ ¬ 𝐵𝐴) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶))) → ((𝐵 ⊆ (𝐵 𝐶) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐵 𝐶)) ↔ (𝐵 𝑥) ⊆ (𝐵 𝐶)))
5852, 57mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐵C𝑥C𝐶C ) ∧ ((𝑥𝐴 ∧ ¬ 𝐵𝐴) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶))) → (𝐵 𝑥) ⊆ (𝐵 𝐶))
599, 7, 39, 58syl3anl 1416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((𝑥𝐴 ∧ ¬ 𝐵𝐴) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶))) → (𝐵 𝑥) ⊆ (𝐵 𝐶))
6049, 59eqssd 4000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((𝑥𝐴 ∧ ¬ 𝐵𝐴) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶))) → (𝐵 𝐶) = (𝐵 𝑥))
6160anassrs 469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶)) → (𝐵 𝐶) = (𝐵 𝑥))
6261psseq2d 4094 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶)) → (𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶) ↔ 𝐴 ⊊ (𝐵 𝑥)))
6362ex 414 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ¬ 𝐵𝐴)) → (𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶) → (𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶) ↔ 𝐴 ⊊ (𝐵 𝑥))))
6463ibd 269 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ¬ 𝐵𝐴)) → (𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶) → 𝐴 ⊊ (𝐵 𝑥)))
6564exp32 422 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (𝑥𝐴 → (¬ 𝐵𝐴 → (𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶) → 𝐴 ⊊ (𝐵 𝑥)))))
66653expa 1119 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (𝑥𝐴 → (¬ 𝐵𝐴 → (𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶) → 𝐴 ⊊ (𝐵 𝑥)))))
6766an32s 651 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) → (𝑥𝐴 → (¬ 𝐵𝐴 → (𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶) → 𝐴 ⊊ (𝐵 𝑥)))))
6867com34 91 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) → (𝑥𝐴 → (𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶) → (¬ 𝐵𝐴𝐴 ⊊ (𝐵 𝑥)))))
6968imp45 431 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶) ∧ ¬ 𝐵𝐴))) → 𝐴 ⊊ (𝐵 𝑥))
70 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐵C𝑥C ) → 𝑥C )
7170, 42jca 513 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐵C𝑥C ) → (𝑥C ∧ (𝐵 𝑥) ∈ C ))
729, 7, 71syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) → (𝑥C ∧ (𝐵 𝑥) ∈ C ))
73 cvnbtwn3 31541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥C ∧ (𝐵 𝑥) ∈ C𝐴C ) → (𝑥 (𝐵 𝑥) → ((𝑥𝐴𝐴 ⊊ (𝐵 𝑥)) → 𝐴 = 𝑥)))
741, 73mp3an3 1451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥C ∧ (𝐵 𝑥) ∈ C ) → (𝑥 (𝐵 𝑥) → ((𝑥𝐴𝐴 ⊊ (𝐵 𝑥)) → 𝐴 = 𝑥)))
7574exp4a 433 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥C ∧ (𝐵 𝑥) ∈ C ) → (𝑥 (𝐵 𝑥) → (𝑥𝐴 → (𝐴 ⊊ (𝐵 𝑥) → 𝐴 = 𝑥))))
7675com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥C ∧ (𝐵 𝑥) ∈ C ) → (𝑥𝐴 → (𝑥 (𝐵 𝑥) → (𝐴 ⊊ (𝐵 𝑥) → 𝐴 = 𝑥))))
7776imp4a 424 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥C ∧ (𝐵 𝑥) ∈ C ) → (𝑥𝐴 → ((𝑥 (𝐵 𝑥) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 𝑥)) → 𝐴 = 𝑥)))
7872, 77syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) → (𝑥𝐴 → ((𝑥 (𝐵 𝑥) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 𝑥)) → 𝐴 = 𝑥)))
7978adantlr 714 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) → (𝑥𝐴 → ((𝑥 (𝐵 𝑥) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 𝑥)) → 𝐴 = 𝑥)))
8079imp 408 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝑥 (𝐵 𝑥) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 𝑥)) → 𝐴 = 𝑥))
8180adantrr 716 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶) ∧ ¬ 𝐵𝐴))) → ((𝑥 (𝐵 𝑥) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 𝑥)) → 𝐴 = 𝑥))
8218, 69, 81mp2and 698 . . . . . . . . . 10 ((((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶) ∧ ¬ 𝐵𝐴))) → 𝐴 = 𝑥)
8382eleq1d 2819 . . . . . . . . 9 ((((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶) ∧ ¬ 𝐵𝐴))) → (𝐴 ∈ HAtoms ↔ 𝑥 ∈ HAtoms))
8483biimprcd 249 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ HAtoms → ((((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶) ∧ ¬ 𝐵𝐴))) → 𝐴 ∈ HAtoms))
8584exp4c 434 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ HAtoms → ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (𝑥 ∈ HAtoms → ((𝑥𝐴 ∧ (𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶) ∧ ¬ 𝐵𝐴)) → 𝐴 ∈ HAtoms))))
8685pm2.43b 55 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (𝑥 ∈ HAtoms → ((𝑥𝐴 ∧ (𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶) ∧ ¬ 𝐵𝐴)) → 𝐴 ∈ HAtoms)))
8786imp 408 . . . . 5 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) → ((𝑥𝐴 ∧ (𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶) ∧ ¬ 𝐵𝐴)) → 𝐴 ∈ HAtoms))
8887exp4d 435 . . . 4 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) → (𝑥𝐴 → (𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶) → (¬ 𝐵𝐴𝐴 ∈ HAtoms))))
8988rexlimdva 3156 . . 3 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (∃𝑥 ∈ HAtoms 𝑥𝐴 → (𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶) → (¬ 𝐵𝐴𝐴 ∈ HAtoms))))
902, 89syl5 34 . 2 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (𝐴 ≠ 0 → (𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶) → (¬ 𝐵𝐴𝐴 ∈ HAtoms))))
9190imp32 420 1 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ (𝐴 ≠ 0𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶))) → (¬ 𝐵𝐴𝐴 ∈ HAtoms))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2941  wrex 3071  cin 3948  wss 3949  wpss 3950   class class class wbr 5149  (class class class)co 7409   C cch 30182   chj 30186  0c0h 30188   ccv 30217  HAtomscat 30218
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cc 10430  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190  ax-hilex 30252  ax-hfvadd 30253  ax-hvcom 30254  ax-hvass 30255  ax-hv0cl 30256  ax-hvaddid 30257  ax-hfvmul 30258  ax-hvmulid 30259  ax-hvmulass 30260  ax-hvdistr1 30261  ax-hvdistr2 30262  ax-hvmul0 30263  ax-hfi 30332  ax-his1 30335  ax-his2 30336  ax-his3 30337  ax-his4 30338  ax-hcompl 30455
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-oadd 8470  df-omul 8471  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-acn 9937  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-lm 22733  df-haus 22819  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-cfil 24772  df-cau 24773  df-cmet 24774  df-grpo 29746  df-gid 29747  df-ginv 29748  df-gdiv 29749  df-ablo 29798  df-vc 29812  df-nv 29845  df-va 29848  df-ba 29849  df-sm 29850  df-0v 29851  df-vs 29852  df-nmcv 29853  df-ims 29854  df-dip 29954  df-ssp 29975  df-ph 30066  df-cbn 30116  df-hnorm 30221  df-hba 30222  df-hvsub 30224  df-hlim 30225  df-hcau 30226  df-sh 30460  df-ch 30474  df-oc 30505  df-ch0 30506  df-shs 30561  df-span 30562  df-chj 30563  df-chsup 30564  df-pjh 30648  df-cv 31532  df-at 31591
This theorem is referenced by:  atcvati  31639
  Copyright terms: Public domain W3C validator