Theorem atcvatlem 32980

Description: Lemma for atcvati 32981. (Contributed by NM, 27-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
atoml.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
atcvatlem	⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ (𝐴 ≠ 0ℋ ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) → (¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 → 𝐴 ∈ HAtoms))

Proof of Theorem atcvatlem

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		atoml.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
2	1	hatomici 32954	. . 3 ⊢ (𝐴 ≠ 0ℋ → ∃𝑥 ∈ HAtoms 𝑥 ⊆ 𝐴)
3		nssne2 3994	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝑥 ≠ 𝐵)
4	3	adantrl 729	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ (𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → 𝑥 ≠ 𝐵)
5		atnemeq0 32972	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → (𝑥 ≠ 𝐵 ↔ (𝑥 ∩ 𝐵) = 0ℋ))
6	4, 5	imbitrid 247	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ (𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → (𝑥 ∩ 𝐵) = 0ℋ))
7		atelch 32939	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ HAtoms → 𝑥 ∈ Cℋ )
8		cvp 32970	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → ((𝑥 ∩ 𝐵) = 0ℋ ↔ 𝑥 ⋖ℋ (𝑥 ∨ℋ 𝐵)))
9		atelch 32939	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐵 ∈ HAtoms → 𝐵 ∈ Cℋ )
10		chjcom 32101	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝑥 ∨ℋ 𝐵) = (𝐵 ∨ℋ 𝑥))
11	9, 10	sylan2 605	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → (𝑥 ∨ℋ 𝐵) = (𝐵 ∨ℋ 𝑥))
12	11	breq2d 5115	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → (𝑥 ⋖ℋ (𝑥 ∨ℋ 𝐵) ↔ 𝑥 ⋖ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)))
13	8, 12	bitrd 282	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → ((𝑥 ∩ 𝐵) = 0ℋ ↔ 𝑥 ⋖ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)))
14	7, 13	sylan 592	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → ((𝑥 ∩ 𝐵) = 0ℋ ↔ 𝑥 ⋖ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)))
15	6, 14	sylibd 242	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ (𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → 𝑥 ⋖ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)))
16	15	ancoms 464	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) → ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ (𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → 𝑥 ⋖ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)))
17	16	adantlr 728	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) → ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ (𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → 𝑥 ⋖ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)))
18	17	imp 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ (𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴))) → 𝑥 ⋖ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑥))
19		chub1 32102	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → 𝐵 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝑥))
20	9, 7, 19	syl2an 608	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) → 𝐵 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝑥))
21	20	3adant3 1150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → 𝐵 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝑥))
22	21	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) → 𝐵 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝑥))
23		pssss 4046	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) → 𝐴 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))
24		sstr 3939	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) → 𝑥 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))
25	23, 24	sylan2 605	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) → 𝑥 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))
26	25	adantlr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) → 𝑥 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))
27	26	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) → 𝑥 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))
28		incom 4155	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝐵 ∩ 𝑥) = (𝑥 ∩ 𝐵)
29	3, 5	imbitrid 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝑥 ∩ 𝐵) = 0ℋ))
30	29	ancoms 464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) → ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝑥 ∩ 𝐵) = 0ℋ))
31	30	3adant3 1150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝑥 ∩ 𝐵) = 0ℋ))
32	31	imp 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → (𝑥 ∩ 𝐵) = 0ℋ)
33	28, 32	eqtrid 2808	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → (𝐵 ∩ 𝑥) = 0ℋ)
34	33	adantrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) → (𝐵 ∩ 𝑥) = 0ℋ)
35		atexch 32976	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → ((𝑥 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∧ (𝐵 ∩ 𝑥) = 0ℋ) → 𝐶 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)))
36	9, 35	syl3an1 1181	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → ((𝑥 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∧ (𝐵 ∩ 𝑥) = 0ℋ) → 𝐶 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)))
37	36	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) → ((𝑥 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∧ (𝐵 ∩ 𝑥) = 0ℋ) → 𝐶 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)))
38	27, 34, 37	mp2and 712	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) → 𝐶 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝑥))
39		atelch 32939	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝐶 ∈ HAtoms → 𝐶 ∈ Cℋ )
40		simp1 1154	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → 𝐵 ∈ Cℋ )
41		simp3 1156	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → 𝐶 ∈ Cℋ )
42		chjcl 31952	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (𝐵 ∨ℋ 𝑥) ∈ Cℋ )
43	42	3adant3 1150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → (𝐵 ∨ℋ 𝑥) ∈ Cℋ )
44	40, 41, 43	3jca 1146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → (𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ∧ (𝐵 ∨ℋ 𝑥) ∈ Cℋ ))
45	9, 7, 39, 44	syl3an 1178	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ∧ (𝐵 ∨ℋ 𝑥) ∈ Cℋ ))
46		chlub 32104	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ∧ (𝐵 ∨ℋ 𝑥) ∈ Cℋ ) → ((𝐵 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝑥) ∧ 𝐶 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)) ↔ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)))
47	45, 46	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → ((𝐵 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝑥) ∧ 𝐶 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)) ↔ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)))
48	47	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) → ((𝐵 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝑥) ∧ 𝐶 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)) ↔ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)))
49	22, 38, 48	mpbi2and 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) → (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝑥))
50		chub1 32102	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → 𝐵 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))
51	50	3adant2 1149	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → 𝐵 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))
52	51, 26	anim12i 625	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) → (𝐵 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)))
53		chjcl 31952	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∈ Cℋ )
54	53	3adant2 1149	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∈ Cℋ )
55		chlub 32104	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ∧ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∈ Cℋ ) → ((𝐵 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ↔ (𝐵 ∨ℋ 𝑥) ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)))
56	54, 55	syld3an3 1436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → ((𝐵 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ↔ (𝐵 ∨ℋ 𝑥) ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)))
57	56	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) → ((𝐵 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ↔ (𝐵 ∨ℋ 𝑥) ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)))
58	52, 57	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) → (𝐵 ∨ℋ 𝑥) ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))
59	9, 7, 39, 58	syl3anl 1442	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) → (𝐵 ∨ℋ 𝑥) ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))
60	49, 59	eqssd 3948	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) → (𝐵 ∨ℋ 𝐶) = (𝐵 ∨ℋ 𝑥))
61	60	anassrs 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴)) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) → (𝐵 ∨ℋ 𝐶) = (𝐵 ∨ℋ 𝑥))
62	61	psseq2d 4044	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴)) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) → (𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ↔ 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)))
63	62	ex 418	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → (𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) → (𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ↔ 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝑥))))
64	63	ibd 272	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → (𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) → 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)))
65	64	exp32 426	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (𝑥 ⊆ 𝐴 → (¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 → (𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) → 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)))))
66	65	3expa 1136	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (𝑥 ⊆ 𝐴 → (¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 → (𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) → 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)))))
67	66	an32s 665	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) → (𝑥 ⊆ 𝐴 → (¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 → (𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) → 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)))))
68	67	com34 92	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) → (𝑥 ⊆ 𝐴 → (𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) → (¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 → 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)))))
69	68	imp45 435	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ (𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴))) → 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝑥))
70		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → 𝑥 ∈ Cℋ )
71	70, 42	jca 521	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (𝑥 ∈ Cℋ ∧ (𝐵 ∨ℋ 𝑥) ∈ Cℋ ))
72	9, 7, 71	syl2an 608	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) → (𝑥 ∈ Cℋ ∧ (𝐵 ∨ℋ 𝑥) ∈ Cℋ ))
73		cvnbtwn3 32883	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ (𝐵 ∨ℋ 𝑥) ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → (𝑥 ⋖ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑥) → ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)) → 𝐴 = 𝑥)))
74	1, 73	mp3an3 1479	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ (𝐵 ∨ℋ 𝑥) ∈ Cℋ ) → (𝑥 ⋖ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑥) → ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)) → 𝐴 = 𝑥)))
75	74	exp4a 437	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ (𝐵 ∨ℋ 𝑥) ∈ Cℋ ) → (𝑥 ⋖ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑥) → (𝑥 ⊆ 𝐴 → (𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝑥) → 𝐴 = 𝑥))))
76	75	com23 87	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ (𝐵 ∨ℋ 𝑥) ∈ Cℋ ) → (𝑥 ⊆ 𝐴 → (𝑥 ⋖ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑥) → (𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝑥) → 𝐴 = 𝑥))))
77	76	imp4a 428	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ (𝐵 ∨ℋ 𝑥) ∈ Cℋ ) → (𝑥 ⊆ 𝐴 → ((𝑥 ⋖ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑥) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)) → 𝐴 = 𝑥)))
78	72, 77	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) → (𝑥 ⊆ 𝐴 → ((𝑥 ⋖ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑥) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)) → 𝐴 = 𝑥)))
79	78	adantlr 728	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) → (𝑥 ⊆ 𝐴 → ((𝑥 ⋖ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑥) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)) → 𝐴 = 𝑥)))
80	79	imp 412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) → ((𝑥 ⋖ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑥) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)) → 𝐴 = 𝑥))
81	80	adantrr 730	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ (𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴))) → ((𝑥 ⋖ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑥) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)) → 𝐴 = 𝑥))
82	18, 69, 81	mp2and 712	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ (𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴))) → 𝐴 = 𝑥)
83	82	eleq1d 2846	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ (𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴))) → (𝐴 ∈ HAtoms ↔ 𝑥 ∈ HAtoms))
84	83	biimprcd 253	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ HAtoms → ((((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ (𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴))) → 𝐴 ∈ HAtoms))
85	84	exp4c 438	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ HAtoms → ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (𝑥 ∈ HAtoms → ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ (𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → 𝐴 ∈ HAtoms))))
86	85	pm2.43b 56	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (𝑥 ∈ HAtoms → ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ (𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → 𝐴 ∈ HAtoms)))
87	86	imp 412	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) → ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ (𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → 𝐴 ∈ HAtoms))
88	87	exp4d 439	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) → (𝑥 ⊆ 𝐴 → (𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) → (¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 → 𝐴 ∈ HAtoms))))
89	88	rexlimdva 3164	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (∃𝑥 ∈ HAtoms 𝑥 ⊆ 𝐴 → (𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) → (¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 → 𝐴 ∈ HAtoms))))
90	2, 89	syl5 35	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (𝐴 ≠ 0ℋ → (𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) → (¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 → 𝐴 ∈ HAtoms))))
91	90	imp32 424	1 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ (𝐴 ≠ 0ℋ ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) → (¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 → 𝐴 ∈ HAtoms))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∃wrex 3087   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899   ⊊ wpss 3900   class class class wbr 5103  (class class class)co 7418   C_ℋ cch 31524   ∨_ℋ chj 31528  0_ℋc0h 31530   ⋖_ℋ ccv 31559  HAtomscat 31560

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-inf2 9635  ax-cc 10506  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270  ax-pre-sup 11271  ax-addf 11272  ax-mulf 11273  ax-hilex 31594  ax-hfvadd 31595  ax-hvcom 31596  ax-hvass 31597  ax-hv0cl 31598  ax-hvaddid 31599  ax-hfvmul 31600  ax-hvmulid 31601  ax-hvmulass 31602  ax-hvdistr1 31603  ax-hvdistr2 31604  ax-hvmul0 31605  ax-hfi 31674  ax-his1 31677  ax-his2 31678  ax-his3 31679  ax-his4 31680  ax-hcompl 31797

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-of 7691  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8171  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-2o 8470  df-oadd 8473  df-omul 8474  df-er 8710  df-map 8842  df-pm 8843  df-ixp 8919  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-fsupp 9347  df-fi 9396  df-sup 9427  df-inf 9428  df-oi 9497  df-card 10013  df-acn 10016  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-div 11967  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-4 12400  df-5 12401  df-6 12402  df-7 12403  df-8 12404  df-9 12405  df-n0 12600  df-z 12687  df-dec 12808  df-uz 12959  df-q 13069  df-rp 13114  df-xneg 13234  df-xadd 13235  df-xmul 13236  df-ioo 13473  df-ico 13475  df-icc 13476  df-fz 13633  df-fzo 13782  df-fl 13925  df-seq 14138  df-exp 14198  df-hash 14468  df-cj 15259  df-re 15260  df-im 15261  df-sqrt 15395  df-abs 15396  df-clim 15648  df-rlim 15649  df-sum 15847  df-struct 17318  df-sets 17335  df-slot 17353  df-ndx 17365  df-base 17381  df-ress 17402  df-plusg 17434  df-mulr 17435  df-starv 17436  df-sca 17437  df-vsca 17438  df-ip 17439  df-tset 17440  df-ple 17441  df-ds 17443  df-unif 17444  df-hom 17445  df-cco 17446  df-rest 17586  df-topn 17587  df-0g 17605  df-gsum 17606  df-topgen 17607  df-pt 17608  df-prds 17611  df-xrs 17667  df-qtop 17672  df-imas 17673  df-xps 17675  df-mre 17749  df-mrc 17750  df-acs 17752  df-mgm 18809  df-sgrp 18901  df-mnd 18917  df-submnd 18972  df-mulg 19271  df-cntz 19524  df-cmn 19989  df-psmet 21663  df-xmet 21664  df-met 21665  df-bl 21666  df-mopn 21667  df-fbas 21668  df-fg 21669  df-cnfld 21672  df-top 23205  df-topon 23222  df-topsp 23244  df-bases 23257  df-cld 23330  df-ntr 23331  df-cls 23332  df-nei 23409  df-cn 23538  df-cnp 23539  df-lm 23540  df-haus 23626  df-tx 23874  df-hmeo 24067  df-fil 24158  df-fm 24250  df-flim 24251  df-flf 24252  df-xms 24632  df-ms 24633  df-tms 24634  df-cfil 25569  df-cau 25570  df-cmet 25571  df-grpo 31088  df-gid 31089  df-ginv 31090  df-gdiv 31091  df-ablo 31140  df-vc 31154  df-nv 31187  df-va 31190  df-ba 31191  df-sm 31192  df-0v 31193  df-vs 31194  df-nmcv 31195  df-ims 31196  df-dip 31296  df-ssp 31317  df-ph 31408  df-cbn 31458  df-hnorm 31563  df-hba 31564  df-hvsub 31566  df-hlim 31567  df-hcau 31568  df-sh 31802  df-ch 31816  df-oc 31847  df-ch0 31848  df-shs 31903  df-span 31904  df-chj 31905  df-chsup 31906  df-pjh 31990  df-cv 32874  df-at 32933

This theorem is used by:  atcvati  32981