HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  atcvatlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem atcvatlem 32404
Description: Lemma for atcvati 32405. (Contributed by NM, 27-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
atoml.1 𝐴C
Assertion
Ref Expression
atcvatlem (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ (𝐴 ≠ 0𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶))) → (¬ 𝐵𝐴𝐴 ∈ HAtoms))

Proof of Theorem atcvatlem
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 atoml.1 . . . 4 𝐴C
21hatomici 32378 . . 3 (𝐴 ≠ 0 → ∃𝑥 ∈ HAtoms 𝑥𝐴)
3 nssne2 4047 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥𝐴 ∧ ¬ 𝐵𝐴) → 𝑥𝐵)
43adantrl 716 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥𝐴 ∧ (𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶) ∧ ¬ 𝐵𝐴)) → 𝑥𝐵)
5 atnemeq0 32396 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → (𝑥𝐵 ↔ (𝑥𝐵) = 0))
64, 5imbitrid 244 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → ((𝑥𝐴 ∧ (𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶) ∧ ¬ 𝐵𝐴)) → (𝑥𝐵) = 0))
7 atelch 32363 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ HAtoms → 𝑥C )
8 cvp 32394 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥C𝐵 ∈ HAtoms) → ((𝑥𝐵) = 0𝑥 (𝑥 𝐵)))
9 atelch 32363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐵 ∈ HAtoms → 𝐵C )
10 chjcom 31525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥C𝐵C ) → (𝑥 𝐵) = (𝐵 𝑥))
119, 10sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥C𝐵 ∈ HAtoms) → (𝑥 𝐵) = (𝐵 𝑥))
1211breq2d 5155 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥C𝐵 ∈ HAtoms) → (𝑥 (𝑥 𝐵) ↔ 𝑥 (𝐵 𝑥)))
138, 12bitrd 279 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥C𝐵 ∈ HAtoms) → ((𝑥𝐵) = 0𝑥 (𝐵 𝑥)))
147, 13sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → ((𝑥𝐵) = 0𝑥 (𝐵 𝑥)))
156, 14sylibd 239 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → ((𝑥𝐴 ∧ (𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶) ∧ ¬ 𝐵𝐴)) → 𝑥 (𝐵 𝑥)))
1615ancoms 458 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) → ((𝑥𝐴 ∧ (𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶) ∧ ¬ 𝐵𝐴)) → 𝑥 (𝐵 𝑥)))
1716adantlr 715 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) → ((𝑥𝐴 ∧ (𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶) ∧ ¬ 𝐵𝐴)) → 𝑥 (𝐵 𝑥)))
1817imp 406 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶) ∧ ¬ 𝐵𝐴))) → 𝑥 (𝐵 𝑥))
19 chub1 31526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐵C𝑥C ) → 𝐵 ⊆ (𝐵 𝑥))
209, 7, 19syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) → 𝐵 ⊆ (𝐵 𝑥))
21203adant3 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → 𝐵 ⊆ (𝐵 𝑥))
2221adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((𝑥𝐴 ∧ ¬ 𝐵𝐴) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶))) → 𝐵 ⊆ (𝐵 𝑥))
23 pssss 4098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶) → 𝐴 ⊆ (𝐵 𝐶))
24 sstr 3992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑥𝐴𝐴 ⊆ (𝐵 𝐶)) → 𝑥 ⊆ (𝐵 𝐶))
2523, 24sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑥𝐴𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶)) → 𝑥 ⊆ (𝐵 𝐶))
2625adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑥𝐴 ∧ ¬ 𝐵𝐴) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶)) → 𝑥 ⊆ (𝐵 𝐶))
2726adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((𝑥𝐴 ∧ ¬ 𝐵𝐴) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶))) → 𝑥 ⊆ (𝐵 𝐶))
28 incom 4209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐵𝑥) = (𝑥𝐵)
293, 5imbitrid 244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → ((𝑥𝐴 ∧ ¬ 𝐵𝐴) → (𝑥𝐵) = 0))
3029ancoms 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) → ((𝑥𝐴 ∧ ¬ 𝐵𝐴) → (𝑥𝐵) = 0))
31303adant3 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → ((𝑥𝐴 ∧ ¬ 𝐵𝐴) → (𝑥𝐵) = 0))
3231imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ¬ 𝐵𝐴)) → (𝑥𝐵) = 0)
3328, 32eqtrid 2789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ¬ 𝐵𝐴)) → (𝐵𝑥) = 0)
3433adantrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((𝑥𝐴 ∧ ¬ 𝐵𝐴) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶))) → (𝐵𝑥) = 0)
35 atexch 32400 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐵C𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → ((𝑥 ⊆ (𝐵 𝐶) ∧ (𝐵𝑥) = 0) → 𝐶 ⊆ (𝐵 𝑥)))
369, 35syl3an1 1164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → ((𝑥 ⊆ (𝐵 𝐶) ∧ (𝐵𝑥) = 0) → 𝐶 ⊆ (𝐵 𝑥)))
3736adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((𝑥𝐴 ∧ ¬ 𝐵𝐴) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶))) → ((𝑥 ⊆ (𝐵 𝐶) ∧ (𝐵𝑥) = 0) → 𝐶 ⊆ (𝐵 𝑥)))
3827, 34, 37mp2and 699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((𝑥𝐴 ∧ ¬ 𝐵𝐴) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶))) → 𝐶 ⊆ (𝐵 𝑥))
39 atelch 32363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐶 ∈ HAtoms → 𝐶C )
40 simp1 1137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐵C𝑥C𝐶C ) → 𝐵C )
41 simp3 1139 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐵C𝑥C𝐶C ) → 𝐶C )
42 chjcl 31376 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐵C𝑥C ) → (𝐵 𝑥) ∈ C )
43423adant3 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐵C𝑥C𝐶C ) → (𝐵 𝑥) ∈ C )
4440, 41, 433jca 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐵C𝑥C𝐶C ) → (𝐵C𝐶C ∧ (𝐵 𝑥) ∈ C ))
459, 7, 39, 44syl3an 1161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (𝐵C𝐶C ∧ (𝐵 𝑥) ∈ C ))
46 chlub 31528 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐵C𝐶C ∧ (𝐵 𝑥) ∈ C ) → ((𝐵 ⊆ (𝐵 𝑥) ∧ 𝐶 ⊆ (𝐵 𝑥)) ↔ (𝐵 𝐶) ⊆ (𝐵 𝑥)))
4745, 46syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → ((𝐵 ⊆ (𝐵 𝑥) ∧ 𝐶 ⊆ (𝐵 𝑥)) ↔ (𝐵 𝐶) ⊆ (𝐵 𝑥)))
4847adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((𝑥𝐴 ∧ ¬ 𝐵𝐴) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶))) → ((𝐵 ⊆ (𝐵 𝑥) ∧ 𝐶 ⊆ (𝐵 𝑥)) ↔ (𝐵 𝐶) ⊆ (𝐵 𝑥)))
4922, 38, 48mpbi2and 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((𝑥𝐴 ∧ ¬ 𝐵𝐴) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶))) → (𝐵 𝐶) ⊆ (𝐵 𝑥))
50 chub1 31526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐵C𝐶C ) → 𝐵 ⊆ (𝐵 𝐶))
51503adant2 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐵C𝑥C𝐶C ) → 𝐵 ⊆ (𝐵 𝐶))
5251, 26anim12i 613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐵C𝑥C𝐶C ) ∧ ((𝑥𝐴 ∧ ¬ 𝐵𝐴) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶))) → (𝐵 ⊆ (𝐵 𝐶) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐵 𝐶)))
53 chjcl 31376 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐵C𝐶C ) → (𝐵 𝐶) ∈ C )
54533adant2 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐵C𝑥C𝐶C ) → (𝐵 𝐶) ∈ C )
55 chlub 31528 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐵C𝑥C ∧ (𝐵 𝐶) ∈ C ) → ((𝐵 ⊆ (𝐵 𝐶) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐵 𝐶)) ↔ (𝐵 𝑥) ⊆ (𝐵 𝐶)))
5654, 55syld3an3 1411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐵C𝑥C𝐶C ) → ((𝐵 ⊆ (𝐵 𝐶) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐵 𝐶)) ↔ (𝐵 𝑥) ⊆ (𝐵 𝐶)))
5756adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐵C𝑥C𝐶C ) ∧ ((𝑥𝐴 ∧ ¬ 𝐵𝐴) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶))) → ((𝐵 ⊆ (𝐵 𝐶) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐵 𝐶)) ↔ (𝐵 𝑥) ⊆ (𝐵 𝐶)))
5852, 57mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐵C𝑥C𝐶C ) ∧ ((𝑥𝐴 ∧ ¬ 𝐵𝐴) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶))) → (𝐵 𝑥) ⊆ (𝐵 𝐶))
599, 7, 39, 58syl3anl 1417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((𝑥𝐴 ∧ ¬ 𝐵𝐴) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶))) → (𝐵 𝑥) ⊆ (𝐵 𝐶))
6049, 59eqssd 4001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((𝑥𝐴 ∧ ¬ 𝐵𝐴) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶))) → (𝐵 𝐶) = (𝐵 𝑥))
6160anassrs 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶)) → (𝐵 𝐶) = (𝐵 𝑥))
6261psseq2d 4096 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶)) → (𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶) ↔ 𝐴 ⊊ (𝐵 𝑥)))
6362ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ¬ 𝐵𝐴)) → (𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶) → (𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶) ↔ 𝐴 ⊊ (𝐵 𝑥))))
6463ibd 269 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ¬ 𝐵𝐴)) → (𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶) → 𝐴 ⊊ (𝐵 𝑥)))
6564exp32 420 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (𝑥𝐴 → (¬ 𝐵𝐴 → (𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶) → 𝐴 ⊊ (𝐵 𝑥)))))
66653expa 1119 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (𝑥𝐴 → (¬ 𝐵𝐴 → (𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶) → 𝐴 ⊊ (𝐵 𝑥)))))
6766an32s 652 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) → (𝑥𝐴 → (¬ 𝐵𝐴 → (𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶) → 𝐴 ⊊ (𝐵 𝑥)))))
6867com34 91 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) → (𝑥𝐴 → (𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶) → (¬ 𝐵𝐴𝐴 ⊊ (𝐵 𝑥)))))
6968imp45 429 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶) ∧ ¬ 𝐵𝐴))) → 𝐴 ⊊ (𝐵 𝑥))
70 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐵C𝑥C ) → 𝑥C )
7170, 42jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐵C𝑥C ) → (𝑥C ∧ (𝐵 𝑥) ∈ C ))
729, 7, 71syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) → (𝑥C ∧ (𝐵 𝑥) ∈ C ))
73 cvnbtwn3 32307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥C ∧ (𝐵 𝑥) ∈ C𝐴C ) → (𝑥 (𝐵 𝑥) → ((𝑥𝐴𝐴 ⊊ (𝐵 𝑥)) → 𝐴 = 𝑥)))
741, 73mp3an3 1452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥C ∧ (𝐵 𝑥) ∈ C ) → (𝑥 (𝐵 𝑥) → ((𝑥𝐴𝐴 ⊊ (𝐵 𝑥)) → 𝐴 = 𝑥)))
7574exp4a 431 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥C ∧ (𝐵 𝑥) ∈ C ) → (𝑥 (𝐵 𝑥) → (𝑥𝐴 → (𝐴 ⊊ (𝐵 𝑥) → 𝐴 = 𝑥))))
7675com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥C ∧ (𝐵 𝑥) ∈ C ) → (𝑥𝐴 → (𝑥 (𝐵 𝑥) → (𝐴 ⊊ (𝐵 𝑥) → 𝐴 = 𝑥))))
7776imp4a 422 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥C ∧ (𝐵 𝑥) ∈ C ) → (𝑥𝐴 → ((𝑥 (𝐵 𝑥) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 𝑥)) → 𝐴 = 𝑥)))
7872, 77syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) → (𝑥𝐴 → ((𝑥 (𝐵 𝑥) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 𝑥)) → 𝐴 = 𝑥)))
7978adantlr 715 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) → (𝑥𝐴 → ((𝑥 (𝐵 𝑥) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 𝑥)) → 𝐴 = 𝑥)))
8079imp 406 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝑥 (𝐵 𝑥) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 𝑥)) → 𝐴 = 𝑥))
8180adantrr 717 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶) ∧ ¬ 𝐵𝐴))) → ((𝑥 (𝐵 𝑥) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 𝑥)) → 𝐴 = 𝑥))
8218, 69, 81mp2and 699 . . . . . . . . . 10 ((((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶) ∧ ¬ 𝐵𝐴))) → 𝐴 = 𝑥)
8382eleq1d 2826 . . . . . . . . 9 ((((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶) ∧ ¬ 𝐵𝐴))) → (𝐴 ∈ HAtoms ↔ 𝑥 ∈ HAtoms))
8483biimprcd 250 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ HAtoms → ((((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶) ∧ ¬ 𝐵𝐴))) → 𝐴 ∈ HAtoms))
8584exp4c 432 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ HAtoms → ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (𝑥 ∈ HAtoms → ((𝑥𝐴 ∧ (𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶) ∧ ¬ 𝐵𝐴)) → 𝐴 ∈ HAtoms))))
8685pm2.43b 55 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (𝑥 ∈ HAtoms → ((𝑥𝐴 ∧ (𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶) ∧ ¬ 𝐵𝐴)) → 𝐴 ∈ HAtoms)))
8786imp 406 . . . . 5 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) → ((𝑥𝐴 ∧ (𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶) ∧ ¬ 𝐵𝐴)) → 𝐴 ∈ HAtoms))
8887exp4d 433 . . . 4 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) → (𝑥𝐴 → (𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶) → (¬ 𝐵𝐴𝐴 ∈ HAtoms))))
8988rexlimdva 3155 . . 3 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (∃𝑥 ∈ HAtoms 𝑥𝐴 → (𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶) → (¬ 𝐵𝐴𝐴 ∈ HAtoms))))
902, 89syl5 34 . 2 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (𝐴 ≠ 0 → (𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶) → (¬ 𝐵𝐴𝐴 ∈ HAtoms))))
9190imp32 418 1 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ (𝐴 ≠ 0𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶))) → (¬ 𝐵𝐴𝐴 ∈ HAtoms))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wrex 3070  cin 3950  wss 3951  wpss 3952   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431   C cch 30948   chj 30952  0c0h 30954   ccv 30983  HAtomscat 30984
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cc 10475  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234  ax-mulf 11235  ax-hilex 31018  ax-hfvadd 31019  ax-hvcom 31020  ax-hvass 31021  ax-hv0cl 31022  ax-hvaddid 31023  ax-hfvmul 31024  ax-hvmulid 31025  ax-hvmulass 31026  ax-hvdistr1 31027  ax-hvdistr2 31028  ax-hvmul0 31029  ax-hfi 31098  ax-his1 31101  ax-his2 31102  ax-his3 31103  ax-his4 31104  ax-hcompl 31221
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-omul 8511  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-acn 9982  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-lm 23237  df-haus 23323  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cfil 25289  df-cau 25290  df-cmet 25291  df-grpo 30512  df-gid 30513  df-ginv 30514  df-gdiv 30515  df-ablo 30564  df-vc 30578  df-nv 30611  df-va 30614  df-ba 30615  df-sm 30616  df-0v 30617  df-vs 30618  df-nmcv 30619  df-ims 30620  df-dip 30720  df-ssp 30741  df-ph 30832  df-cbn 30882  df-hnorm 30987  df-hba 30988  df-hvsub 30990  df-hlim 30991  df-hcau 30992  df-sh 31226  df-ch 31240  df-oc 31271  df-ch0 31272  df-shs 31327  df-span 31328  df-chj 31329  df-chsup 31330  df-pjh 31414  df-cv 32298  df-at 32357
This theorem is referenced by:  atcvati  32405
  Copyright terms: Public domain W3C validator