Theorem atcvatlem 30648

Description: Lemma for atcvati 30649. (Contributed by NM, 27-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
atoml.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
atcvatlem	⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ (𝐴 ≠ 0ℋ ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) → (¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 → 𝐴 ∈ HAtoms))

Proof of Theorem atcvatlem

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		atoml.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
2	1	hatomici 30622	. . 3 ⊢ (𝐴 ≠ 0ℋ → ∃𝑥 ∈ HAtoms 𝑥 ⊆ 𝐴)
3		nssne2 3978	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝑥 ≠ 𝐵)
4	3	adantrl 712	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ (𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → 𝑥 ≠ 𝐵)
5		atnemeq0 30640	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → (𝑥 ≠ 𝐵 ↔ (𝑥 ∩ 𝐵) = 0ℋ))
6	4, 5	syl5ib 243	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ (𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → (𝑥 ∩ 𝐵) = 0ℋ))
7		atelch 30607	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ HAtoms → 𝑥 ∈ Cℋ )
8		cvp 30638	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → ((𝑥 ∩ 𝐵) = 0ℋ ↔ 𝑥 ⋖ℋ (𝑥 ∨ℋ 𝐵)))
9		atelch 30607	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐵 ∈ HAtoms → 𝐵 ∈ Cℋ )
10		chjcom 29769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝑥 ∨ℋ 𝐵) = (𝐵 ∨ℋ 𝑥))
11	9, 10	sylan2 592	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → (𝑥 ∨ℋ 𝐵) = (𝐵 ∨ℋ 𝑥))
12	11	breq2d 5082	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → (𝑥 ⋖ℋ (𝑥 ∨ℋ 𝐵) ↔ 𝑥 ⋖ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)))
13	8, 12	bitrd 278	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → ((𝑥 ∩ 𝐵) = 0ℋ ↔ 𝑥 ⋖ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)))
14	7, 13	sylan 579	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → ((𝑥 ∩ 𝐵) = 0ℋ ↔ 𝑥 ⋖ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)))
15	6, 14	sylibd 238	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ (𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → 𝑥 ⋖ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)))
16	15	ancoms 458	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) → ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ (𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → 𝑥 ⋖ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)))
17	16	adantlr 711	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) → ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ (𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → 𝑥 ⋖ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)))
18	17	imp 406	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ (𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴))) → 𝑥 ⋖ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑥))
19		chub1 29770	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → 𝐵 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝑥))
20	9, 7, 19	syl2an 595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) → 𝐵 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝑥))
21	20	3adant3 1130	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → 𝐵 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝑥))
22	21	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) → 𝐵 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝑥))
23		pssss 4026	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) → 𝐴 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))
24		sstr 3925	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) → 𝑥 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))
25	23, 24	sylan2 592	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) → 𝑥 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))
26	25	adantlr 711	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) → 𝑥 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))
27	26	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) → 𝑥 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))
28		incom 4131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝐵 ∩ 𝑥) = (𝑥 ∩ 𝐵)
29	3, 5	syl5ib 243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝑥 ∩ 𝐵) = 0ℋ))
30	29	ancoms 458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) → ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝑥 ∩ 𝐵) = 0ℋ))
31	30	3adant3 1130	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝑥 ∩ 𝐵) = 0ℋ))
32	31	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → (𝑥 ∩ 𝐵) = 0ℋ)
33	28, 32	syl5eq 2791	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → (𝐵 ∩ 𝑥) = 0ℋ)
34	33	adantrr 713	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) → (𝐵 ∩ 𝑥) = 0ℋ)
35		atexch 30644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → ((𝑥 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∧ (𝐵 ∩ 𝑥) = 0ℋ) → 𝐶 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)))
36	9, 35	syl3an1 1161	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → ((𝑥 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∧ (𝐵 ∩ 𝑥) = 0ℋ) → 𝐶 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)))
37	36	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) → ((𝑥 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∧ (𝐵 ∩ 𝑥) = 0ℋ) → 𝐶 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)))
38	27, 34, 37	mp2and 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) → 𝐶 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝑥))
39		atelch 30607	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝐶 ∈ HAtoms → 𝐶 ∈ Cℋ )
40		simp1 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → 𝐵 ∈ Cℋ )
41		simp3 1136	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → 𝐶 ∈ Cℋ )
42		chjcl 29620	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (𝐵 ∨ℋ 𝑥) ∈ Cℋ )
43	42	3adant3 1130	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → (𝐵 ∨ℋ 𝑥) ∈ Cℋ )
44	40, 41, 43	3jca 1126	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → (𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ∧ (𝐵 ∨ℋ 𝑥) ∈ Cℋ ))
45	9, 7, 39, 44	syl3an 1158	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ∧ (𝐵 ∨ℋ 𝑥) ∈ Cℋ ))
46		chlub 29772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ∧ (𝐵 ∨ℋ 𝑥) ∈ Cℋ ) → ((𝐵 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝑥) ∧ 𝐶 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)) ↔ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)))
47	45, 46	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → ((𝐵 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝑥) ∧ 𝐶 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)) ↔ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)))
48	47	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) → ((𝐵 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝑥) ∧ 𝐶 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)) ↔ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)))
49	22, 38, 48	mpbi2and 708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) → (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝑥))
50		chub1 29770	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → 𝐵 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))
51	50	3adant2 1129	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → 𝐵 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))
52	51, 26	anim12i 612	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) → (𝐵 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)))
53		chjcl 29620	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∈ Cℋ )
54	53	3adant2 1129	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∈ Cℋ )
55		chlub 29772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ∧ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∈ Cℋ ) → ((𝐵 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ↔ (𝐵 ∨ℋ 𝑥) ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)))
56	54, 55	syld3an3 1407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → ((𝐵 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ↔ (𝐵 ∨ℋ 𝑥) ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)))
57	56	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) → ((𝐵 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ↔ (𝐵 ∨ℋ 𝑥) ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)))
58	52, 57	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) → (𝐵 ∨ℋ 𝑥) ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))
59	9, 7, 39, 58	syl3anl 1413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) → (𝐵 ∨ℋ 𝑥) ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))
60	49, 59	eqssd 3934	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) → (𝐵 ∨ℋ 𝐶) = (𝐵 ∨ℋ 𝑥))
61	60	anassrs 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴)) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) → (𝐵 ∨ℋ 𝐶) = (𝐵 ∨ℋ 𝑥))
62	61	psseq2d 4024	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴)) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) → (𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ↔ 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)))
63	62	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → (𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) → (𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ↔ 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝑥))))
64	63	ibd 268	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → (𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) → 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)))
65	64	exp32 420	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (𝑥 ⊆ 𝐴 → (¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 → (𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) → 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)))))
66	65	3expa 1116	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (𝑥 ⊆ 𝐴 → (¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 → (𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) → 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)))))
67	66	an32s 648	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) → (𝑥 ⊆ 𝐴 → (¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 → (𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) → 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)))))
68	67	com34 91	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) → (𝑥 ⊆ 𝐴 → (𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) → (¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 → 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)))))
69	68	imp45 429	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ (𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴))) → 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝑥))
70		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → 𝑥 ∈ Cℋ )
71	70, 42	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (𝑥 ∈ Cℋ ∧ (𝐵 ∨ℋ 𝑥) ∈ Cℋ ))
72	9, 7, 71	syl2an 595	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) → (𝑥 ∈ Cℋ ∧ (𝐵 ∨ℋ 𝑥) ∈ Cℋ ))
73		cvnbtwn3 30551	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ (𝐵 ∨ℋ 𝑥) ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → (𝑥 ⋖ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑥) → ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)) → 𝐴 = 𝑥)))
74	1, 73	mp3an3 1448	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ (𝐵 ∨ℋ 𝑥) ∈ Cℋ ) → (𝑥 ⋖ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑥) → ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)) → 𝐴 = 𝑥)))
75	74	exp4a 431	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ (𝐵 ∨ℋ 𝑥) ∈ Cℋ ) → (𝑥 ⋖ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑥) → (𝑥 ⊆ 𝐴 → (𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝑥) → 𝐴 = 𝑥))))
76	75	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ (𝐵 ∨ℋ 𝑥) ∈ Cℋ ) → (𝑥 ⊆ 𝐴 → (𝑥 ⋖ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑥) → (𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝑥) → 𝐴 = 𝑥))))
77	76	imp4a 422	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ (𝐵 ∨ℋ 𝑥) ∈ Cℋ ) → (𝑥 ⊆ 𝐴 → ((𝑥 ⋖ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑥) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)) → 𝐴 = 𝑥)))
78	72, 77	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) → (𝑥 ⊆ 𝐴 → ((𝑥 ⋖ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑥) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)) → 𝐴 = 𝑥)))
79	78	adantlr 711	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) → (𝑥 ⊆ 𝐴 → ((𝑥 ⋖ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑥) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)) → 𝐴 = 𝑥)))
80	79	imp 406	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) → ((𝑥 ⋖ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑥) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)) → 𝐴 = 𝑥))
81	80	adantrr 713	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ (𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴))) → ((𝑥 ⋖ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑥) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)) → 𝐴 = 𝑥))
82	18, 69, 81	mp2and 695	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ (𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴))) → 𝐴 = 𝑥)
83	82	eleq1d 2823	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ (𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴))) → (𝐴 ∈ HAtoms ↔ 𝑥 ∈ HAtoms))
84	83	biimprcd 249	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ HAtoms → ((((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ (𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴))) → 𝐴 ∈ HAtoms))
85	84	exp4c 432	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ HAtoms → ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (𝑥 ∈ HAtoms → ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ (𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → 𝐴 ∈ HAtoms))))
86	85	pm2.43b 55	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (𝑥 ∈ HAtoms → ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ (𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → 𝐴 ∈ HAtoms)))
87	86	imp 406	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) → ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ (𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → 𝐴 ∈ HAtoms))
88	87	exp4d 433	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) → (𝑥 ⊆ 𝐴 → (𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) → (¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 → 𝐴 ∈ HAtoms))))
89	88	rexlimdva 3212	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (∃𝑥 ∈ HAtoms 𝑥 ⊆ 𝐴 → (𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) → (¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 → 𝐴 ∈ HAtoms))))
90	2, 89	syl5 34	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (𝐴 ≠ 0ℋ → (𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) → (¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 → 𝐴 ∈ HAtoms))))
91	90	imp32 418	1 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ (𝐴 ≠ 0ℋ ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) → (¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 → 𝐴 ∈ HAtoms))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∃wrex 3064   ∩ cin 3882   ⊆ wss 3883   ⊊ wpss 3884   class class class wbr 5070  (class class class)co 7255   C_ℋ cch 29192   ∨_ℋ chj 29196  0_ℋc0h 29198   ⋖_ℋ ccv 29227  HAtomscat 29228

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cc 10122  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880  ax-addf 10881  ax-mulf 10882  ax-hilex 29262  ax-hfvadd 29263  ax-hvcom 29264  ax-hvass 29265  ax-hv0cl 29266  ax-hvaddid 29267  ax-hfvmul 29268  ax-hvmulid 29269  ax-hvmulass 29270  ax-hvdistr1 29271  ax-hvdistr2 29272  ax-hvmul0 29273  ax-hfi 29342  ax-his1 29345  ax-his2 29346  ax-his3 29347  ax-his4 29348  ax-hcompl 29465

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-oadd 8271  df-omul 8272  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-fi 9100  df-sup 9131  df-inf 9132  df-oi 9199  df-card 9628  df-acn 9631  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-xneg 12777  df-xadd 12778  df-xmul 12779  df-ioo 13012  df-ico 13014  df-icc 13015  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-fl 13440  df-seq 13650  df-exp 13711  df-hash 13973  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-clim 15125  df-rlim 15126  df-sum 15326  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-starv 16903  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-unif 16911  df-hom 16912  df-cco 16913  df-rest 17050  df-topn 17051  df-0g 17069  df-gsum 17070  df-topgen 17071  df-pt 17072  df-prds 17075  df-xrs 17130  df-qtop 17135  df-imas 17136  df-xps 17138  df-mre 17212  df-mrc 17213  df-acs 17215  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-submnd 18346  df-mulg 18616  df-cntz 18838  df-cmn 19303  df-psmet 20502  df-xmet 20503  df-met 20504  df-bl 20505  df-mopn 20506  df-fbas 20507  df-fg 20508  df-cnfld 20511  df-top 21951  df-topon 21968  df-topsp 21990  df-bases 22004  df-cld 22078  df-ntr 22079  df-cls 22080  df-nei 22157  df-cn 22286  df-cnp 22287  df-lm 22288  df-haus 22374  df-tx 22621  df-hmeo 22814  df-fil 22905  df-fm 22997  df-flim 22998  df-flf 22999  df-xms 23381  df-ms 23382  df-tms 23383  df-cfil 24324  df-cau 24325  df-cmet 24326  df-grpo 28756  df-gid 28757  df-ginv 28758  df-gdiv 28759  df-ablo 28808  df-vc 28822  df-nv 28855  df-va 28858  df-ba 28859  df-sm 28860  df-0v 28861  df-vs 28862  df-nmcv 28863  df-ims 28864  df-dip 28964  df-ssp 28985  df-ph 29076  df-cbn 29126  df-hnorm 29231  df-hba 29232  df-hvsub 29234  df-hlim 29235  df-hcau 29236  df-sh 29470  df-ch 29484  df-oc 29515  df-ch0 29516  df-shs 29571  df-span 29572  df-chj 29573  df-chsup 29574  df-pjh 29658  df-cv 30542  df-at 30601

This theorem is referenced by:  atcvati  30649