Theorem atcvatlem 32413

Description: Lemma for atcvati 32414. (Contributed by NM, 27-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
atoml.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
atcvatlem	⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ (𝐴 ≠ 0ℋ ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) → (¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 → 𝐴 ∈ HAtoms))

Proof of Theorem atcvatlem

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		atoml.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
2	1	hatomici 32387	. . 3 ⊢ (𝐴 ≠ 0ℋ → ∃𝑥 ∈ HAtoms 𝑥 ⊆ 𝐴)
3		nssne2 4058	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝑥 ≠ 𝐵)
4	3	adantrl 716	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ (𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → 𝑥 ≠ 𝐵)
5		atnemeq0 32405	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → (𝑥 ≠ 𝐵 ↔ (𝑥 ∩ 𝐵) = 0ℋ))
6	4, 5	imbitrid 244	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ (𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → (𝑥 ∩ 𝐵) = 0ℋ))
7		atelch 32372	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ HAtoms → 𝑥 ∈ Cℋ )
8		cvp 32403	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → ((𝑥 ∩ 𝐵) = 0ℋ ↔ 𝑥 ⋖ℋ (𝑥 ∨ℋ 𝐵)))
9		atelch 32372	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐵 ∈ HAtoms → 𝐵 ∈ Cℋ )
10		chjcom 31534	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝑥 ∨ℋ 𝐵) = (𝐵 ∨ℋ 𝑥))
11	9, 10	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → (𝑥 ∨ℋ 𝐵) = (𝐵 ∨ℋ 𝑥))
12	11	breq2d 5159	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → (𝑥 ⋖ℋ (𝑥 ∨ℋ 𝐵) ↔ 𝑥 ⋖ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)))
13	8, 12	bitrd 279	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → ((𝑥 ∩ 𝐵) = 0ℋ ↔ 𝑥 ⋖ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)))
14	7, 13	sylan 580	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → ((𝑥 ∩ 𝐵) = 0ℋ ↔ 𝑥 ⋖ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)))
15	6, 14	sylibd 239	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ (𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → 𝑥 ⋖ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)))
16	15	ancoms 458	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) → ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ (𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → 𝑥 ⋖ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)))
17	16	adantlr 715	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) → ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ (𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → 𝑥 ⋖ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)))
18	17	imp 406	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ (𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴))) → 𝑥 ⋖ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑥))
19		chub1 31535	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → 𝐵 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝑥))
20	9, 7, 19	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) → 𝐵 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝑥))
21	20	3adant3 1131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → 𝐵 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝑥))
22	21	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) → 𝐵 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝑥))
23		pssss 4107	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) → 𝐴 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))
24		sstr 4003	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) → 𝑥 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))
25	23, 24	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) → 𝑥 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))
26	25	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) → 𝑥 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))
27	26	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) → 𝑥 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))
28		incom 4216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝐵 ∩ 𝑥) = (𝑥 ∩ 𝐵)
29	3, 5	imbitrid 244	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝑥 ∩ 𝐵) = 0ℋ))
30	29	ancoms 458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) → ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝑥 ∩ 𝐵) = 0ℋ))
31	30	3adant3 1131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝑥 ∩ 𝐵) = 0ℋ))
32	31	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → (𝑥 ∩ 𝐵) = 0ℋ)
33	28, 32	eqtrid 2786	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → (𝐵 ∩ 𝑥) = 0ℋ)
34	33	adantrr 717	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) → (𝐵 ∩ 𝑥) = 0ℋ)
35		atexch 32409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → ((𝑥 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∧ (𝐵 ∩ 𝑥) = 0ℋ) → 𝐶 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)))
36	9, 35	syl3an1 1162	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → ((𝑥 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∧ (𝐵 ∩ 𝑥) = 0ℋ) → 𝐶 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)))
37	36	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) → ((𝑥 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∧ (𝐵 ∩ 𝑥) = 0ℋ) → 𝐶 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)))
38	27, 34, 37	mp2and 699	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) → 𝐶 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝑥))
39		atelch 32372	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝐶 ∈ HAtoms → 𝐶 ∈ Cℋ )
40		simp1 1135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → 𝐵 ∈ Cℋ )
41		simp3 1137	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → 𝐶 ∈ Cℋ )
42		chjcl 31385	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (𝐵 ∨ℋ 𝑥) ∈ Cℋ )
43	42	3adant3 1131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → (𝐵 ∨ℋ 𝑥) ∈ Cℋ )
44	40, 41, 43	3jca 1127	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → (𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ∧ (𝐵 ∨ℋ 𝑥) ∈ Cℋ ))
45	9, 7, 39, 44	syl3an 1159	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ∧ (𝐵 ∨ℋ 𝑥) ∈ Cℋ ))
46		chlub 31537	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ∧ (𝐵 ∨ℋ 𝑥) ∈ Cℋ ) → ((𝐵 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝑥) ∧ 𝐶 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)) ↔ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)))
47	45, 46	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → ((𝐵 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝑥) ∧ 𝐶 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)) ↔ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)))
48	47	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) → ((𝐵 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝑥) ∧ 𝐶 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)) ↔ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)))
49	22, 38, 48	mpbi2and 712	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) → (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝑥))
50		chub1 31535	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → 𝐵 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))
51	50	3adant2 1130	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → 𝐵 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))
52	51, 26	anim12i 613	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) → (𝐵 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)))
53		chjcl 31385	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∈ Cℋ )
54	53	3adant2 1130	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∈ Cℋ )
55		chlub 31537	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ∧ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∈ Cℋ ) → ((𝐵 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ↔ (𝐵 ∨ℋ 𝑥) ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)))
56	54, 55	syld3an3 1408	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → ((𝐵 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ↔ (𝐵 ∨ℋ 𝑥) ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)))
57	56	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) → ((𝐵 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ↔ (𝐵 ∨ℋ 𝑥) ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)))
58	52, 57	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) → (𝐵 ∨ℋ 𝑥) ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))
59	9, 7, 39, 58	syl3anl 1414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) → (𝐵 ∨ℋ 𝑥) ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))
60	49, 59	eqssd 4012	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) → (𝐵 ∨ℋ 𝐶) = (𝐵 ∨ℋ 𝑥))
61	60	anassrs 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴)) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) → (𝐵 ∨ℋ 𝐶) = (𝐵 ∨ℋ 𝑥))
62	61	psseq2d 4105	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴)) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) → (𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ↔ 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)))
63	62	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → (𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) → (𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ↔ 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝑥))))
64	63	ibd 269	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → (𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) → 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)))
65	64	exp32 420	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (𝑥 ⊆ 𝐴 → (¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 → (𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) → 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)))))
66	65	3expa 1117	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (𝑥 ⊆ 𝐴 → (¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 → (𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) → 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)))))
67	66	an32s 652	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) → (𝑥 ⊆ 𝐴 → (¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 → (𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) → 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)))))
68	67	com34 91	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) → (𝑥 ⊆ 𝐴 → (𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) → (¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 → 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)))))
69	68	imp45 429	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ (𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴))) → 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝑥))
70		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → 𝑥 ∈ Cℋ )
71	70, 42	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (𝑥 ∈ Cℋ ∧ (𝐵 ∨ℋ 𝑥) ∈ Cℋ ))
72	9, 7, 71	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) → (𝑥 ∈ Cℋ ∧ (𝐵 ∨ℋ 𝑥) ∈ Cℋ ))
73		cvnbtwn3 32316	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ (𝐵 ∨ℋ 𝑥) ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → (𝑥 ⋖ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑥) → ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)) → 𝐴 = 𝑥)))
74	1, 73	mp3an3 1449	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ (𝐵 ∨ℋ 𝑥) ∈ Cℋ ) → (𝑥 ⋖ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑥) → ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)) → 𝐴 = 𝑥)))
75	74	exp4a 431	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ (𝐵 ∨ℋ 𝑥) ∈ Cℋ ) → (𝑥 ⋖ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑥) → (𝑥 ⊆ 𝐴 → (𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝑥) → 𝐴 = 𝑥))))
76	75	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ (𝐵 ∨ℋ 𝑥) ∈ Cℋ ) → (𝑥 ⊆ 𝐴 → (𝑥 ⋖ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑥) → (𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝑥) → 𝐴 = 𝑥))))
77	76	imp4a 422	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ (𝐵 ∨ℋ 𝑥) ∈ Cℋ ) → (𝑥 ⊆ 𝐴 → ((𝑥 ⋖ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑥) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)) → 𝐴 = 𝑥)))
78	72, 77	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) → (𝑥 ⊆ 𝐴 → ((𝑥 ⋖ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑥) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)) → 𝐴 = 𝑥)))
79	78	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) → (𝑥 ⊆ 𝐴 → ((𝑥 ⋖ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑥) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)) → 𝐴 = 𝑥)))
80	79	imp 406	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) → ((𝑥 ⋖ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑥) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)) → 𝐴 = 𝑥))
81	80	adantrr 717	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ (𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴))) → ((𝑥 ⋖ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑥) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)) → 𝐴 = 𝑥))
82	18, 69, 81	mp2and 699	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ (𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴))) → 𝐴 = 𝑥)
83	82	eleq1d 2823	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ (𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴))) → (𝐴 ∈ HAtoms ↔ 𝑥 ∈ HAtoms))
84	83	biimprcd 250	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ HAtoms → ((((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ (𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴))) → 𝐴 ∈ HAtoms))
85	84	exp4c 432	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ HAtoms → ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (𝑥 ∈ HAtoms → ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ (𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → 𝐴 ∈ HAtoms))))
86	85	pm2.43b 55	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (𝑥 ∈ HAtoms → ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ (𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → 𝐴 ∈ HAtoms)))
87	86	imp 406	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) → ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ (𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → 𝐴 ∈ HAtoms))
88	87	exp4d 433	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) → (𝑥 ⊆ 𝐴 → (𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) → (¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 → 𝐴 ∈ HAtoms))))
89	88	rexlimdva 3152	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (∃𝑥 ∈ HAtoms 𝑥 ⊆ 𝐴 → (𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) → (¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 → 𝐴 ∈ HAtoms))))
90	2, 89	syl5 34	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (𝐴 ≠ 0ℋ → (𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) → (¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 → 𝐴 ∈ HAtoms))))
91	90	imp32 418	1 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ (𝐴 ≠ 0ℋ ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) → (¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 → 𝐴 ∈ HAtoms))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1536   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2937  ∃wrex 3067   ∩ cin 3961   ⊆ wss 3962   ⊊ wpss 3963   class class class wbr 5147  (class class class)co 7430   C_ℋ cch 30957   ∨_ℋ chj 30961  0_ℋc0h 30963   ⋖_ℋ ccv 30992  HAtomscat 30993

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cc 10472  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230  ax-addf 11231  ax-mulf 11232  ax-hilex 31027  ax-hfvadd 31028  ax-hvcom 31029  ax-hvass 31030  ax-hv0cl 31031  ax-hvaddid 31032  ax-hfvmul 31033  ax-hvmulid 31034  ax-hvmulass 31035  ax-hvdistr1 31036  ax-hvdistr2 31037  ax-hvmul0 31038  ax-hfi 31107  ax-his1 31110  ax-his2 31111  ax-his3 31112  ax-his4 31113  ax-hcompl 31230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-oadd 8508  df-omul 8509  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-fi 9448  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-card 9976  df-acn 9979  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-xmul 13153  df-ioo 13387  df-ico 13389  df-icc 13390  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-seq 14039  df-exp 14099  df-hash 14366  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-clim 15520  df-rlim 15521  df-sum 15719  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-submnd 18809  df-mulg 19098  df-cntz 19347  df-cmn 19814  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-met 21375  df-bl 21376  df-mopn 21377  df-fbas 21378  df-fg 21379  df-cnfld 21382  df-top 22915  df-topon 22932  df-topsp 22954  df-bases 22968  df-cld 23042  df-ntr 23043  df-cls 23044  df-nei 23121  df-cn 23250  df-cnp 23251  df-lm 23252  df-haus 23338  df-tx 23585  df-hmeo 23778  df-fil 23869  df-fm 23961  df-flim 23962  df-flf 23963  df-xms 24345  df-ms 24346  df-tms 24347  df-cfil 25302  df-cau 25303  df-cmet 25304  df-grpo 30521  df-gid 30522  df-ginv 30523  df-gdiv 30524  df-ablo 30573  df-vc 30587  df-nv 30620  df-va 30623  df-ba 30624  df-sm 30625  df-0v 30626  df-vs 30627  df-nmcv 30628  df-ims 30629  df-dip 30729  df-ssp 30750  df-ph 30841  df-cbn 30891  df-hnorm 30996  df-hba 30997  df-hvsub 30999  df-hlim 31000  df-hcau 31001  df-sh 31235  df-ch 31249  df-oc 31280  df-ch0 31281  df-shs 31336  df-span 31337  df-chj 31338  df-chsup 31339  df-pjh 31423  df-cv 32307  df-at 32366

This theorem is referenced by:  atcvati  32414