Theorem csmdsymi 31276

Description: Cross-symmetry implies M-symmetry. Theorem 1.9.1 of [MaedaMaeda] p. 3. (Contributed by NM, 24-Dec-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
csmdsym.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
csmdsym.2	⊢ 𝐵 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
csmdsymi	⊢ ((∀𝑐 ∈ Cℋ (𝑐 𝑀ℋ 𝐵 → 𝐵 𝑀ℋ* 𝑐) ∧ 𝐴 𝑀ℋ 𝐵) → 𝐵 𝑀ℋ 𝐴)

Distinct variable group:   𝐵,𝑐

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑐)

Proof of Theorem csmdsymi

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		incom 4161	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) = (𝐵 ∩ 𝐴)
2	1	sseq1i 3972	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥 ↔ (𝐵 ∩ 𝐴) ⊆ 𝑥)
3	2	biimpri 227	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∩ 𝐴) ⊆ 𝑥 → (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥)
4		csmdsym.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
5		chjcom 30448	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝑥 ∨ℋ 𝐵) = (𝐵 ∨ℋ 𝑥))
6	4, 5	mpan2 689	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → (𝑥 ∨ℋ 𝐵) = (𝐵 ∨ℋ 𝑥))
7	6	ineq1d 4171	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) = ((𝐵 ∨ℋ 𝑥) ∩ 𝐴))
8		incom 4161	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∨ℋ 𝑥) ∩ 𝐴) = (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝑥))
9	7, 8	eqtrdi 2792	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) = (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)))
10	9	ad2antlr 725	. . . . . 6 ⊢ ((((∀𝑐 ∈ Cℋ (𝑐 𝑀ℋ 𝐵 → 𝐵 𝑀ℋ* 𝑐) ∧ 𝐴 𝑀ℋ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴)) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) = (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)))
11	4	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → 𝐵 ∈ Cℋ )
12		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → 𝑥 ∈ Cℋ )
13		csmdsym.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
14	13	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → 𝐴 ∈ Cℋ )
15	11, 12, 14	3jca 1128	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → (𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ))
16	15	ad2antlr 725	. . . . . . 7 ⊢ ((((∀𝑐 ∈ Cℋ (𝑐 𝑀ℋ 𝐵 → 𝐵 𝑀ℋ* 𝑐) ∧ 𝐴 𝑀ℋ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴)) → (𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ))
17		inss2 4189	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵
18		ssid 3966	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐵 ⊆ 𝐵
19	17, 18	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐵)
20		sseq2 3970	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = if(𝑥 ∈ Cℋ , 𝑥, 0ℋ) → ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥 ↔ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ if(𝑥 ∈ Cℋ , 𝑥, 0ℋ)))
21		sseq1 3969	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = if(𝑥 ∈ Cℋ , 𝑥, 0ℋ) → (𝑥 ⊆ 𝐴 ↔ if(𝑥 ∈ Cℋ , 𝑥, 0ℋ) ⊆ 𝐴))
22	20, 21	anbi12d 631	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = if(𝑥 ∈ Cℋ , 𝑥, 0ℋ) → (((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) ↔ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ if(𝑥 ∈ Cℋ , 𝑥, 0ℋ) ∧ if(𝑥 ∈ Cℋ , 𝑥, 0ℋ) ⊆ 𝐴)))
23	22	3anbi2d 1441	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = if(𝑥 ∈ Cℋ , 𝑥, 0ℋ) → ((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐵)) ↔ (𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ if(𝑥 ∈ Cℋ , 𝑥, 0ℋ) ∧ if(𝑥 ∈ Cℋ , 𝑥, 0ℋ) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐵))))
24		breq1 5108	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = if(𝑥 ∈ Cℋ , 𝑥, 0ℋ) → (𝑥 𝑀ℋ 𝐵 ↔ if(𝑥 ∈ Cℋ , 𝑥, 0ℋ) 𝑀ℋ 𝐵))
25	23, 24	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = if(𝑥 ∈ Cℋ , 𝑥, 0ℋ) → (((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐵)) → 𝑥 𝑀ℋ 𝐵) ↔ ((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ if(𝑥 ∈ Cℋ , 𝑥, 0ℋ) ∧ if(𝑥 ∈ Cℋ , 𝑥, 0ℋ) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐵)) → if(𝑥 ∈ Cℋ , 𝑥, 0ℋ) 𝑀ℋ 𝐵)))
26		h0elch 30197	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0ℋ ∈ Cℋ
27	26	elimel 4555	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ if(𝑥 ∈ Cℋ , 𝑥, 0ℋ) ∈ Cℋ
28	13, 4, 27, 4	mdslmd4i 31275	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ if(𝑥 ∈ Cℋ , 𝑥, 0ℋ) ∧ if(𝑥 ∈ Cℋ , 𝑥, 0ℋ) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐵)) → if(𝑥 ∈ Cℋ , 𝑥, 0ℋ) 𝑀ℋ 𝐵)
29	25, 28	dedth 4544	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → ((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐵)) → 𝑥 𝑀ℋ 𝐵))
30	29	com12 32	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐵)) → (𝑥 ∈ Cℋ → 𝑥 𝑀ℋ 𝐵))
31	19, 30	mp3an3 1450	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴)) → (𝑥 ∈ Cℋ → 𝑥 𝑀ℋ 𝐵))
32	31	imp 407	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → 𝑥 𝑀ℋ 𝐵)
33	32	an32s 650	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴)) → 𝑥 𝑀ℋ 𝐵)
34	33	adantlll 716	. . . . . . . 8 ⊢ ((((∀𝑐 ∈ Cℋ (𝑐 𝑀ℋ 𝐵 → 𝐵 𝑀ℋ* 𝑐) ∧ 𝐴 𝑀ℋ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴)) → 𝑥 𝑀ℋ 𝐵)
35		breq1 5108	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑐 = 𝑥 → (𝑐 𝑀ℋ 𝐵 ↔ 𝑥 𝑀ℋ 𝐵))
36		breq2 5109	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑐 = 𝑥 → (𝐵 𝑀ℋ* 𝑐 ↔ 𝐵 𝑀ℋ* 𝑥))
37	35, 36	imbi12d 344	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑐 = 𝑥 → ((𝑐 𝑀ℋ 𝐵 → 𝐵 𝑀ℋ* 𝑐) ↔ (𝑥 𝑀ℋ 𝐵 → 𝐵 𝑀ℋ* 𝑥)))
38	37	rspccva 3580	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑐 ∈ Cℋ (𝑐 𝑀ℋ 𝐵 → 𝐵 𝑀ℋ* 𝑐) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (𝑥 𝑀ℋ 𝐵 → 𝐵 𝑀ℋ* 𝑥))
39	38	adantlr 713	. . . . . . . . 9 ⊢ (((∀𝑐 ∈ Cℋ (𝑐 𝑀ℋ 𝐵 → 𝐵 𝑀ℋ* 𝑐) ∧ 𝐴 𝑀ℋ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (𝑥 𝑀ℋ 𝐵 → 𝐵 𝑀ℋ* 𝑥))
40	39	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((((∀𝑐 ∈ Cℋ (𝑐 𝑀ℋ 𝐵 → 𝐵 𝑀ℋ* 𝑐) ∧ 𝐴 𝑀ℋ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴)) → (𝑥 𝑀ℋ 𝐵 → 𝐵 𝑀ℋ* 𝑥))
41	34, 40	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ ((((∀𝑐 ∈ Cℋ (𝑐 𝑀ℋ 𝐵 → 𝐵 𝑀ℋ* 𝑐) ∧ 𝐴 𝑀ℋ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴)) → 𝐵 𝑀ℋ* 𝑥)
42		simprr 771	. . . . . . 7 ⊢ ((((∀𝑐 ∈ Cℋ (𝑐 𝑀ℋ 𝐵 → 𝐵 𝑀ℋ* 𝑐) ∧ 𝐴 𝑀ℋ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴)) → 𝑥 ⊆ 𝐴)
43		dmdi 31244	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐵 𝑀ℋ* 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴)) → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑥) = (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)))
44	16, 41, 42, 43	syl12anc 835	. . . . . 6 ⊢ ((((∀𝑐 ∈ Cℋ (𝑐 𝑀ℋ 𝐵 → 𝐵 𝑀ℋ* 𝑐) ∧ 𝐴 𝑀ℋ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴)) → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑥) = (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)))
45	13, 4	chincli 30402	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ
46		chjcom 30448	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑥) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)))
47	45, 46	mpan 688	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑥) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)))
48	1	oveq2i 7368	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) = (𝑥 ∨ℋ (𝐵 ∩ 𝐴))
49	47, 48	eqtrdi 2792	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑥) = (𝑥 ∨ℋ (𝐵 ∩ 𝐴)))
50	49	ad2antlr 725	. . . . . 6 ⊢ ((((∀𝑐 ∈ Cℋ (𝑐 𝑀ℋ 𝐵 → 𝐵 𝑀ℋ* 𝑐) ∧ 𝐴 𝑀ℋ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴)) → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑥) = (𝑥 ∨ℋ (𝐵 ∩ 𝐴)))
51	10, 44, 50	3eqtr2d 2782	. . . . 5 ⊢ ((((∀𝑐 ∈ Cℋ (𝑐 𝑀ℋ 𝐵 → 𝐵 𝑀ℋ* 𝑐) ∧ 𝐴 𝑀ℋ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴)) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) = (𝑥 ∨ℋ (𝐵 ∩ 𝐴)))
52	51	ex 413	. . . 4 ⊢ (((∀𝑐 ∈ Cℋ (𝑐 𝑀ℋ 𝐵 → 𝐵 𝑀ℋ* 𝑐) ∧ 𝐴 𝑀ℋ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) = (𝑥 ∨ℋ (𝐵 ∩ 𝐴))))
53	3, 52	sylani 604	. . 3 ⊢ (((∀𝑐 ∈ Cℋ (𝑐 𝑀ℋ 𝐵 → 𝐵 𝑀ℋ* 𝑐) ∧ 𝐴 𝑀ℋ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (((𝐵 ∩ 𝐴) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) = (𝑥 ∨ℋ (𝐵 ∩ 𝐴))))
54	53	ralrimiva 3143	. 2 ⊢ ((∀𝑐 ∈ Cℋ (𝑐 𝑀ℋ 𝐵 → 𝐵 𝑀ℋ* 𝑐) ∧ 𝐴 𝑀ℋ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ Cℋ (((𝐵 ∩ 𝐴) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) = (𝑥 ∨ℋ (𝐵 ∩ 𝐴))))
55	4, 13	mdsl2bi 31265	. 2 ⊢ (𝐵 𝑀ℋ 𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ Cℋ (((𝐵 ∩ 𝐴) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) = (𝑥 ∨ℋ (𝐵 ∩ 𝐴))))
56	54, 55	sylibr 233	1 ⊢ ((∀𝑐 ∈ Cℋ (𝑐 𝑀ℋ 𝐵 → 𝐵 𝑀ℋ* 𝑐) ∧ 𝐴 𝑀ℋ 𝐵) → 𝐵 𝑀ℋ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064   ∩ cin 3909   ⊆ wss 3910  ifcif 4486   class class class wbr 5105  (class class class)co 7357   C_ℋ cch 29871   ∨_ℋ chj 29875  0_ℋc0h 29877   𝑀_ℋ cmd 29908   𝑀_ℋ^* cdmd 29909

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cc 10371  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131  ax-hilex 29941  ax-hfvadd 29942  ax-hvcom 29943  ax-hvass 29944  ax-hv0cl 29945  ax-hvaddid 29946  ax-hfvmul 29947  ax-hvmulid 29948  ax-hvmulass 29949  ax-hvdistr1 29950  ax-hvdistr2 29951  ax-hvmul0 29952  ax-hfi 30021  ax-his1 30024  ax-his2 30025  ax-his3 30026  ax-his4 30027  ax-hcompl 30144

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-oadd 8416  df-omul 8417  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-acn 9878  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-lm 22580  df-haus 22666  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cfil 24619  df-cau 24620  df-cmet 24621  df-grpo 29435  df-gid 29436  df-ginv 29437  df-gdiv 29438  df-ablo 29487  df-vc 29501  df-nv 29534  df-va 29537  df-ba 29538  df-sm 29539  df-0v 29540  df-vs 29541  df-nmcv 29542  df-ims 29543  df-dip 29643  df-ssp 29664  df-ph 29755  df-cbn 29805  df-hnorm 29910  df-hba 29911  df-hvsub 29913  df-hlim 29914  df-hcau 29915  df-sh 30149  df-ch 30163  df-oc 30194  df-ch0 30195  df-shs 30250  df-chj 30252  df-md 31222  df-dmd 31223

This theorem is referenced by: (None)