HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  csmdsymi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem csmdsymi 31625
Description: Cross-symmetry implies M-symmetry. Theorem 1.9.1 of [MaedaMaeda] p. 3. (Contributed by NM, 24-Dec-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
csmdsym.1 𝐴C
csmdsym.2 𝐵C
Assertion
Ref Expression
csmdsymi ((∀𝑐C (𝑐 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝑐) ∧ 𝐴 𝑀 𝐵) → 𝐵 𝑀 𝐴)
Distinct variable group:   𝐵,𝑐
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑐)

Proof of Theorem csmdsymi
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 incom 4201 . . . . . 6 (𝐴𝐵) = (𝐵𝐴)
21sseq1i 4010 . . . . 5 ((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥 ↔ (𝐵𝐴) ⊆ 𝑥)
32biimpri 227 . . . 4 ((𝐵𝐴) ⊆ 𝑥 → (𝐴𝐵) ⊆ 𝑥)
4 csmdsym.2 . . . . . . . . . 10 𝐵C
5 chjcom 30797 . . . . . . . . . 10 ((𝑥C𝐵C ) → (𝑥 𝐵) = (𝐵 𝑥))
64, 5mpan2 689 . . . . . . . . 9 (𝑥C → (𝑥 𝐵) = (𝐵 𝑥))
76ineq1d 4211 . . . . . . . 8 (𝑥C → ((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) = ((𝐵 𝑥) ∩ 𝐴))
8 incom 4201 . . . . . . . 8 ((𝐵 𝑥) ∩ 𝐴) = (𝐴 ∩ (𝐵 𝑥))
97, 8eqtrdi 2788 . . . . . . 7 (𝑥C → ((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) = (𝐴 ∩ (𝐵 𝑥)))
109ad2antlr 725 . . . . . 6 ((((∀𝑐C (𝑐 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝑐) ∧ 𝐴 𝑀 𝐵) ∧ 𝑥C ) ∧ ((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥𝐴)) → ((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) = (𝐴 ∩ (𝐵 𝑥)))
114a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑥C𝐵C )
12 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑥C𝑥C )
13 csmdsym.1 . . . . . . . . . 10 𝐴C
1413a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑥C𝐴C )
1511, 12, 143jca 1128 . . . . . . . 8 (𝑥C → (𝐵C𝑥C𝐴C ))
1615ad2antlr 725 . . . . . . 7 ((((∀𝑐C (𝑐 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝑐) ∧ 𝐴 𝑀 𝐵) ∧ 𝑥C ) ∧ ((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥𝐴)) → (𝐵C𝑥C𝐴C ))
17 inss2 4229 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴𝐵) ⊆ 𝐵
18 ssid 4004 . . . . . . . . . . . . 13 𝐵𝐵
1917, 18pm3.2i 471 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴𝐵) ⊆ 𝐵𝐵𝐵)
20 sseq2 4008 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = if(𝑥C , 𝑥, 0) → ((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥 ↔ (𝐴𝐵) ⊆ if(𝑥C , 𝑥, 0)))
21 sseq1 4007 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = if(𝑥C , 𝑥, 0) → (𝑥𝐴 ↔ if(𝑥C , 𝑥, 0) ⊆ 𝐴))
2220, 21anbi12d 631 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = if(𝑥C , 𝑥, 0) → (((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥𝐴) ↔ ((𝐴𝐵) ⊆ if(𝑥C , 𝑥, 0) ∧ if(𝑥C , 𝑥, 0) ⊆ 𝐴)))
23223anbi2d 1441 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = if(𝑥C , 𝑥, 0) → ((𝐴 𝑀 𝐵 ∧ ((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥𝐴) ∧ ((𝐴𝐵) ⊆ 𝐵𝐵𝐵)) ↔ (𝐴 𝑀 𝐵 ∧ ((𝐴𝐵) ⊆ if(𝑥C , 𝑥, 0) ∧ if(𝑥C , 𝑥, 0) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝐴𝐵) ⊆ 𝐵𝐵𝐵))))
24 breq1 5151 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = if(𝑥C , 𝑥, 0) → (𝑥 𝑀 𝐵 ↔ if(𝑥C , 𝑥, 0) 𝑀 𝐵))
2523, 24imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = if(𝑥C , 𝑥, 0) → (((𝐴 𝑀 𝐵 ∧ ((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥𝐴) ∧ ((𝐴𝐵) ⊆ 𝐵𝐵𝐵)) → 𝑥 𝑀 𝐵) ↔ ((𝐴 𝑀 𝐵 ∧ ((𝐴𝐵) ⊆ if(𝑥C , 𝑥, 0) ∧ if(𝑥C , 𝑥, 0) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝐴𝐵) ⊆ 𝐵𝐵𝐵)) → if(𝑥C , 𝑥, 0) 𝑀 𝐵)))
26 h0elch 30546 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0C
2726elimel 4597 . . . . . . . . . . . . . . 15 if(𝑥C , 𝑥, 0) ∈ C
2813, 4, 27, 4mdslmd4i 31624 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 𝑀 𝐵 ∧ ((𝐴𝐵) ⊆ if(𝑥C , 𝑥, 0) ∧ if(𝑥C , 𝑥, 0) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝐴𝐵) ⊆ 𝐵𝐵𝐵)) → if(𝑥C , 𝑥, 0) 𝑀 𝐵)
2925, 28dedth 4586 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥C → ((𝐴 𝑀 𝐵 ∧ ((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥𝐴) ∧ ((𝐴𝐵) ⊆ 𝐵𝐵𝐵)) → 𝑥 𝑀 𝐵))
3029com12 32 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 𝑀 𝐵 ∧ ((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥𝐴) ∧ ((𝐴𝐵) ⊆ 𝐵𝐵𝐵)) → (𝑥C𝑥 𝑀 𝐵))
3119, 30mp3an3 1450 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 𝑀 𝐵 ∧ ((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥𝐴)) → (𝑥C𝑥 𝑀 𝐵))
3231imp 407 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 𝑀 𝐵 ∧ ((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥𝐴)) ∧ 𝑥C ) → 𝑥 𝑀 𝐵)
3332an32s 650 . . . . . . . . 9 (((𝐴 𝑀 𝐵𝑥C ) ∧ ((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥𝐴)) → 𝑥 𝑀 𝐵)
3433adantlll 716 . . . . . . . 8 ((((∀𝑐C (𝑐 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝑐) ∧ 𝐴 𝑀 𝐵) ∧ 𝑥C ) ∧ ((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥𝐴)) → 𝑥 𝑀 𝐵)
35 breq1 5151 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 = 𝑥 → (𝑐 𝑀 𝐵𝑥 𝑀 𝐵))
36 breq2 5152 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 = 𝑥 → (𝐵 𝑀* 𝑐𝐵 𝑀* 𝑥))
3735, 36imbi12d 344 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 = 𝑥 → ((𝑐 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝑐) ↔ (𝑥 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝑥)))
3837rspccva 3611 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑐C (𝑐 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝑐) ∧ 𝑥C ) → (𝑥 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝑥))
3938adantlr 713 . . . . . . . . 9 (((∀𝑐C (𝑐 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝑐) ∧ 𝐴 𝑀 𝐵) ∧ 𝑥C ) → (𝑥 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝑥))
4039adantr 481 . . . . . . . 8 ((((∀𝑐C (𝑐 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝑐) ∧ 𝐴 𝑀 𝐵) ∧ 𝑥C ) ∧ ((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥𝐴)) → (𝑥 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝑥))
4134, 40mpd 15 . . . . . . 7 ((((∀𝑐C (𝑐 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝑐) ∧ 𝐴 𝑀 𝐵) ∧ 𝑥C ) ∧ ((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥𝐴)) → 𝐵 𝑀* 𝑥)
42 simprr 771 . . . . . . 7 ((((∀𝑐C (𝑐 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝑐) ∧ 𝐴 𝑀 𝐵) ∧ 𝑥C ) ∧ ((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥𝐴)) → 𝑥𝐴)
43 dmdi 31593 . . . . . . 7 (((𝐵C𝑥C𝐴C ) ∧ (𝐵 𝑀* 𝑥𝑥𝐴)) → ((𝐴𝐵) ∨ 𝑥) = (𝐴 ∩ (𝐵 𝑥)))
4416, 41, 42, 43syl12anc 835 . . . . . 6 ((((∀𝑐C (𝑐 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝑐) ∧ 𝐴 𝑀 𝐵) ∧ 𝑥C ) ∧ ((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥𝐴)) → ((𝐴𝐵) ∨ 𝑥) = (𝐴 ∩ (𝐵 𝑥)))
4513, 4chincli 30751 . . . . . . . . 9 (𝐴𝐵) ∈ C
46 chjcom 30797 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝐵) ∈ C𝑥C ) → ((𝐴𝐵) ∨ 𝑥) = (𝑥 (𝐴𝐵)))
4745, 46mpan 688 . . . . . . . 8 (𝑥C → ((𝐴𝐵) ∨ 𝑥) = (𝑥 (𝐴𝐵)))
481oveq2i 7422 . . . . . . . 8 (𝑥 (𝐴𝐵)) = (𝑥 (𝐵𝐴))
4947, 48eqtrdi 2788 . . . . . . 7 (𝑥C → ((𝐴𝐵) ∨ 𝑥) = (𝑥 (𝐵𝐴)))
5049ad2antlr 725 . . . . . 6 ((((∀𝑐C (𝑐 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝑐) ∧ 𝐴 𝑀 𝐵) ∧ 𝑥C ) ∧ ((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥𝐴)) → ((𝐴𝐵) ∨ 𝑥) = (𝑥 (𝐵𝐴)))
5110, 44, 503eqtr2d 2778 . . . . 5 ((((∀𝑐C (𝑐 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝑐) ∧ 𝐴 𝑀 𝐵) ∧ 𝑥C ) ∧ ((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥𝐴)) → ((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) = (𝑥 (𝐵𝐴)))
5251ex 413 . . . 4 (((∀𝑐C (𝑐 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝑐) ∧ 𝐴 𝑀 𝐵) ∧ 𝑥C ) → (((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥𝐴) → ((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) = (𝑥 (𝐵𝐴))))
533, 52sylani 604 . . 3 (((∀𝑐C (𝑐 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝑐) ∧ 𝐴 𝑀 𝐵) ∧ 𝑥C ) → (((𝐵𝐴) ⊆ 𝑥𝑥𝐴) → ((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) = (𝑥 (𝐵𝐴))))
5453ralrimiva 3146 . 2 ((∀𝑐C (𝑐 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝑐) ∧ 𝐴 𝑀 𝐵) → ∀𝑥C (((𝐵𝐴) ⊆ 𝑥𝑥𝐴) → ((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) = (𝑥 (𝐵𝐴))))
554, 13mdsl2bi 31614 . 2 (𝐵 𝑀 𝐴 ↔ ∀𝑥C (((𝐵𝐴) ⊆ 𝑥𝑥𝐴) → ((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) = (𝑥 (𝐵𝐴))))
5654, 55sylibr 233 1 ((∀𝑐C (𝑐 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝑐) ∧ 𝐴 𝑀 𝐵) → 𝐵 𝑀 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3061  cin 3947  wss 3948  ifcif 4528   class class class wbr 5148  (class class class)co 7411   C cch 30220   chj 30224  0c0h 30226   𝑀 cmd 30257   𝑀* cdmd 30258
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cc 10432  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192  ax-hilex 30290  ax-hfvadd 30291  ax-hvcom 30292  ax-hvass 30293  ax-hv0cl 30294  ax-hvaddid 30295  ax-hfvmul 30296  ax-hvmulid 30297  ax-hvmulass 30298  ax-hvdistr1 30299  ax-hvdistr2 30300  ax-hvmul0 30301  ax-hfi 30370  ax-his1 30373  ax-his2 30374  ax-his3 30375  ax-his4 30376  ax-hcompl 30493
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-omul 8473  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-acn 9939  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-z 12561  df-dec 12680  df-uz 12825  df-q 12935  df-rp 12977  df-xneg 13094  df-xadd 13095  df-xmul 13096  df-ioo 13330  df-ico 13332  df-icc 13333  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-fl 13759  df-seq 13969  df-exp 14030  df-hash 14293  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-clim 15434  df-rlim 15435  df-sum 15635  df-struct 17082  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-mulr 17213  df-starv 17214  df-sca 17215  df-vsca 17216  df-ip 17217  df-tset 17218  df-ple 17219  df-ds 17221  df-unif 17222  df-hom 17223  df-cco 17224  df-rest 17370  df-topn 17371  df-0g 17389  df-gsum 17390  df-topgen 17391  df-pt 17392  df-prds 17395  df-xrs 17450  df-qtop 17455  df-imas 17456  df-xps 17458  df-mre 17532  df-mrc 17533  df-acs 17535  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-submnd 18674  df-mulg 18953  df-cntz 19183  df-cmn 19652  df-psmet 20942  df-xmet 20943  df-met 20944  df-bl 20945  df-mopn 20946  df-fbas 20947  df-fg 20948  df-cnfld 20951  df-top 22403  df-topon 22420  df-topsp 22442  df-bases 22456  df-cld 22530  df-ntr 22531  df-cls 22532  df-nei 22609  df-cn 22738  df-cnp 22739  df-lm 22740  df-haus 22826  df-tx 23073  df-hmeo 23266  df-fil 23357  df-fm 23449  df-flim 23450  df-flf 23451  df-xms 23833  df-ms 23834  df-tms 23835  df-cfil 24779  df-cau 24780  df-cmet 24781  df-grpo 29784  df-gid 29785  df-ginv 29786  df-gdiv 29787  df-ablo 29836  df-vc 29850  df-nv 29883  df-va 29886  df-ba 29887  df-sm 29888  df-0v 29889  df-vs 29890  df-nmcv 29891  df-ims 29892  df-dip 29992  df-ssp 30013  df-ph 30104  df-cbn 30154  df-hnorm 30259  df-hba 30260  df-hvsub 30262  df-hlim 30263  df-hcau 30264  df-sh 30498  df-ch 30512  df-oc 30543  df-ch0 30544  df-shs 30599  df-chj 30601  df-md 31571  df-dmd 31572
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator