HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  csmdsymi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem csmdsymi 31855
Description: Cross-symmetry implies M-symmetry. Theorem 1.9.1 of [MaedaMaeda] p. 3. (Contributed by NM, 24-Dec-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
csmdsym.1 𝐴C
csmdsym.2 𝐵C
Assertion
Ref Expression
csmdsymi ((∀𝑐C (𝑐 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝑐) ∧ 𝐴 𝑀 𝐵) → 𝐵 𝑀 𝐴)
Distinct variable group:   𝐵,𝑐
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑐)

Proof of Theorem csmdsymi
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 incom 4201 . . . . . 6 (𝐴𝐵) = (𝐵𝐴)
21sseq1i 4010 . . . . 5 ((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥 ↔ (𝐵𝐴) ⊆ 𝑥)
32biimpri 227 . . . 4 ((𝐵𝐴) ⊆ 𝑥 → (𝐴𝐵) ⊆ 𝑥)
4 csmdsym.2 . . . . . . . . . 10 𝐵C
5 chjcom 31027 . . . . . . . . . 10 ((𝑥C𝐵C ) → (𝑥 𝐵) = (𝐵 𝑥))
64, 5mpan2 688 . . . . . . . . 9 (𝑥C → (𝑥 𝐵) = (𝐵 𝑥))
76ineq1d 4211 . . . . . . . 8 (𝑥C → ((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) = ((𝐵 𝑥) ∩ 𝐴))
8 incom 4201 . . . . . . . 8 ((𝐵 𝑥) ∩ 𝐴) = (𝐴 ∩ (𝐵 𝑥))
97, 8eqtrdi 2787 . . . . . . 7 (𝑥C → ((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) = (𝐴 ∩ (𝐵 𝑥)))
109ad2antlr 724 . . . . . 6 ((((∀𝑐C (𝑐 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝑐) ∧ 𝐴 𝑀 𝐵) ∧ 𝑥C ) ∧ ((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥𝐴)) → ((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) = (𝐴 ∩ (𝐵 𝑥)))
114a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑥C𝐵C )
12 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑥C𝑥C )
13 csmdsym.1 . . . . . . . . . 10 𝐴C
1413a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑥C𝐴C )
1511, 12, 143jca 1127 . . . . . . . 8 (𝑥C → (𝐵C𝑥C𝐴C ))
1615ad2antlr 724 . . . . . . 7 ((((∀𝑐C (𝑐 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝑐) ∧ 𝐴 𝑀 𝐵) ∧ 𝑥C ) ∧ ((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥𝐴)) → (𝐵C𝑥C𝐴C ))
17 inss2 4229 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴𝐵) ⊆ 𝐵
18 ssid 4004 . . . . . . . . . . . . 13 𝐵𝐵
1917, 18pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴𝐵) ⊆ 𝐵𝐵𝐵)
20 sseq2 4008 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = if(𝑥C , 𝑥, 0) → ((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥 ↔ (𝐴𝐵) ⊆ if(𝑥C , 𝑥, 0)))
21 sseq1 4007 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = if(𝑥C , 𝑥, 0) → (𝑥𝐴 ↔ if(𝑥C , 𝑥, 0) ⊆ 𝐴))
2220, 21anbi12d 630 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = if(𝑥C , 𝑥, 0) → (((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥𝐴) ↔ ((𝐴𝐵) ⊆ if(𝑥C , 𝑥, 0) ∧ if(𝑥C , 𝑥, 0) ⊆ 𝐴)))
23223anbi2d 1440 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = if(𝑥C , 𝑥, 0) → ((𝐴 𝑀 𝐵 ∧ ((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥𝐴) ∧ ((𝐴𝐵) ⊆ 𝐵𝐵𝐵)) ↔ (𝐴 𝑀 𝐵 ∧ ((𝐴𝐵) ⊆ if(𝑥C , 𝑥, 0) ∧ if(𝑥C , 𝑥, 0) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝐴𝐵) ⊆ 𝐵𝐵𝐵))))
24 breq1 5151 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = if(𝑥C , 𝑥, 0) → (𝑥 𝑀 𝐵 ↔ if(𝑥C , 𝑥, 0) 𝑀 𝐵))
2523, 24imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = if(𝑥C , 𝑥, 0) → (((𝐴 𝑀 𝐵 ∧ ((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥𝐴) ∧ ((𝐴𝐵) ⊆ 𝐵𝐵𝐵)) → 𝑥 𝑀 𝐵) ↔ ((𝐴 𝑀 𝐵 ∧ ((𝐴𝐵) ⊆ if(𝑥C , 𝑥, 0) ∧ if(𝑥C , 𝑥, 0) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝐴𝐵) ⊆ 𝐵𝐵𝐵)) → if(𝑥C , 𝑥, 0) 𝑀 𝐵)))
26 h0elch 30776 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0C
2726elimel 4597 . . . . . . . . . . . . . . 15 if(𝑥C , 𝑥, 0) ∈ C
2813, 4, 27, 4mdslmd4i 31854 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 𝑀 𝐵 ∧ ((𝐴𝐵) ⊆ if(𝑥C , 𝑥, 0) ∧ if(𝑥C , 𝑥, 0) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝐴𝐵) ⊆ 𝐵𝐵𝐵)) → if(𝑥C , 𝑥, 0) 𝑀 𝐵)
2925, 28dedth 4586 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥C → ((𝐴 𝑀 𝐵 ∧ ((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥𝐴) ∧ ((𝐴𝐵) ⊆ 𝐵𝐵𝐵)) → 𝑥 𝑀 𝐵))
3029com12 32 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 𝑀 𝐵 ∧ ((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥𝐴) ∧ ((𝐴𝐵) ⊆ 𝐵𝐵𝐵)) → (𝑥C𝑥 𝑀 𝐵))
3119, 30mp3an3 1449 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 𝑀 𝐵 ∧ ((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥𝐴)) → (𝑥C𝑥 𝑀 𝐵))
3231imp 406 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 𝑀 𝐵 ∧ ((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥𝐴)) ∧ 𝑥C ) → 𝑥 𝑀 𝐵)
3332an32s 649 . . . . . . . . 9 (((𝐴 𝑀 𝐵𝑥C ) ∧ ((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥𝐴)) → 𝑥 𝑀 𝐵)
3433adantlll 715 . . . . . . . 8 ((((∀𝑐C (𝑐 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝑐) ∧ 𝐴 𝑀 𝐵) ∧ 𝑥C ) ∧ ((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥𝐴)) → 𝑥 𝑀 𝐵)
35 breq1 5151 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 = 𝑥 → (𝑐 𝑀 𝐵𝑥 𝑀 𝐵))
36 breq2 5152 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 = 𝑥 → (𝐵 𝑀* 𝑐𝐵 𝑀* 𝑥))
3735, 36imbi12d 344 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 = 𝑥 → ((𝑐 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝑐) ↔ (𝑥 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝑥)))
3837rspccva 3611 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑐C (𝑐 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝑐) ∧ 𝑥C ) → (𝑥 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝑥))
3938adantlr 712 . . . . . . . . 9 (((∀𝑐C (𝑐 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝑐) ∧ 𝐴 𝑀 𝐵) ∧ 𝑥C ) → (𝑥 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝑥))
4039adantr 480 . . . . . . . 8 ((((∀𝑐C (𝑐 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝑐) ∧ 𝐴 𝑀 𝐵) ∧ 𝑥C ) ∧ ((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥𝐴)) → (𝑥 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝑥))
4134, 40mpd 15 . . . . . . 7 ((((∀𝑐C (𝑐 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝑐) ∧ 𝐴 𝑀 𝐵) ∧ 𝑥C ) ∧ ((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥𝐴)) → 𝐵 𝑀* 𝑥)
42 simprr 770 . . . . . . 7 ((((∀𝑐C (𝑐 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝑐) ∧ 𝐴 𝑀 𝐵) ∧ 𝑥C ) ∧ ((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥𝐴)) → 𝑥𝐴)
43 dmdi 31823 . . . . . . 7 (((𝐵C𝑥C𝐴C ) ∧ (𝐵 𝑀* 𝑥𝑥𝐴)) → ((𝐴𝐵) ∨ 𝑥) = (𝐴 ∩ (𝐵 𝑥)))
4416, 41, 42, 43syl12anc 834 . . . . . 6 ((((∀𝑐C (𝑐 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝑐) ∧ 𝐴 𝑀 𝐵) ∧ 𝑥C ) ∧ ((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥𝐴)) → ((𝐴𝐵) ∨ 𝑥) = (𝐴 ∩ (𝐵 𝑥)))
4513, 4chincli 30981 . . . . . . . . 9 (𝐴𝐵) ∈ C
46 chjcom 31027 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝐵) ∈ C𝑥C ) → ((𝐴𝐵) ∨ 𝑥) = (𝑥 (𝐴𝐵)))
4745, 46mpan 687 . . . . . . . 8 (𝑥C → ((𝐴𝐵) ∨ 𝑥) = (𝑥 (𝐴𝐵)))
481oveq2i 7423 . . . . . . . 8 (𝑥 (𝐴𝐵)) = (𝑥 (𝐵𝐴))
4947, 48eqtrdi 2787 . . . . . . 7 (𝑥C → ((𝐴𝐵) ∨ 𝑥) = (𝑥 (𝐵𝐴)))
5049ad2antlr 724 . . . . . 6 ((((∀𝑐C (𝑐 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝑐) ∧ 𝐴 𝑀 𝐵) ∧ 𝑥C ) ∧ ((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥𝐴)) → ((𝐴𝐵) ∨ 𝑥) = (𝑥 (𝐵𝐴)))
5110, 44, 503eqtr2d 2777 . . . . 5 ((((∀𝑐C (𝑐 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝑐) ∧ 𝐴 𝑀 𝐵) ∧ 𝑥C ) ∧ ((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥𝐴)) → ((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) = (𝑥 (𝐵𝐴)))
5251ex 412 . . . 4 (((∀𝑐C (𝑐 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝑐) ∧ 𝐴 𝑀 𝐵) ∧ 𝑥C ) → (((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥𝐴) → ((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) = (𝑥 (𝐵𝐴))))
533, 52sylani 603 . . 3 (((∀𝑐C (𝑐 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝑐) ∧ 𝐴 𝑀 𝐵) ∧ 𝑥C ) → (((𝐵𝐴) ⊆ 𝑥𝑥𝐴) → ((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) = (𝑥 (𝐵𝐴))))
5453ralrimiva 3145 . 2 ((∀𝑐C (𝑐 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝑐) ∧ 𝐴 𝑀 𝐵) → ∀𝑥C (((𝐵𝐴) ⊆ 𝑥𝑥𝐴) → ((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) = (𝑥 (𝐵𝐴))))
554, 13mdsl2bi 31844 . 2 (𝐵 𝑀 𝐴 ↔ ∀𝑥C (((𝐵𝐴) ⊆ 𝑥𝑥𝐴) → ((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) = (𝑥 (𝐵𝐴))))
5654, 55sylibr 233 1 ((∀𝑐C (𝑐 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝑐) ∧ 𝐴 𝑀 𝐵) → 𝐵 𝑀 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  wral 3060  cin 3947  wss 3948  ifcif 4528   class class class wbr 5148  (class class class)co 7412   C cch 30450   chj 30454  0c0h 30456   𝑀 cmd 30487   𝑀* cdmd 30488
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9640  ax-cc 10434  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192  ax-addf 11193  ax-mulf 11194  ax-hilex 30520  ax-hfvadd 30521  ax-hvcom 30522  ax-hvass 30523  ax-hv0cl 30524  ax-hvaddid 30525  ax-hfvmul 30526  ax-hvmulid 30527  ax-hvmulass 30528  ax-hvdistr1 30529  ax-hvdistr2 30530  ax-hvmul0 30531  ax-hfi 30600  ax-his1 30603  ax-his2 30604  ax-his3 30605  ax-his4 30606  ax-hcompl 30723
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8151  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-2o 8471  df-oadd 8474  df-omul 8475  df-er 8707  df-map 8826  df-pm 8827  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9366  df-fi 9410  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9509  df-card 9938  df-acn 9941  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-xneg 13097  df-xadd 13098  df-xmul 13099  df-ioo 13333  df-ico 13335  df-icc 13336  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-fl 13762  df-seq 13972  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-clim 15437  df-rlim 15438  df-sum 15638  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-hom 17226  df-cco 17227  df-rest 17373  df-topn 17374  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-topgen 17394  df-pt 17395  df-prds 17398  df-xrs 17453  df-qtop 17458  df-imas 17459  df-xps 17461  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-submnd 18707  df-mulg 18988  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-psmet 21137  df-xmet 21138  df-met 21139  df-bl 21140  df-mopn 21141  df-fbas 21142  df-fg 21143  df-cnfld 21146  df-top 22617  df-topon 22634  df-topsp 22656  df-bases 22670  df-cld 22744  df-ntr 22745  df-cls 22746  df-nei 22823  df-cn 22952  df-cnp 22953  df-lm 22954  df-haus 23040  df-tx 23287  df-hmeo 23480  df-fil 23571  df-fm 23663  df-flim 23664  df-flf 23665  df-xms 24047  df-ms 24048  df-tms 24049  df-cfil 25004  df-cau 25005  df-cmet 25006  df-grpo 30014  df-gid 30015  df-ginv 30016  df-gdiv 30017  df-ablo 30066  df-vc 30080  df-nv 30113  df-va 30116  df-ba 30117  df-sm 30118  df-0v 30119  df-vs 30120  df-nmcv 30121  df-ims 30122  df-dip 30222  df-ssp 30243  df-ph 30334  df-cbn 30384  df-hnorm 30489  df-hba 30490  df-hvsub 30492  df-hlim 30493  df-hcau 30494  df-sh 30728  df-ch 30742  df-oc 30773  df-ch0 30774  df-shs 30829  df-chj 30831  df-md 31801  df-dmd 31802
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator