Theorem csmdsymi 30415

Description: Cross-symmetry implies M-symmetry. Theorem 1.9.1 of [MaedaMaeda] p. 3. (Contributed by NM, 24-Dec-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
csmdsym.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
csmdsym.2	⊢ 𝐵 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
csmdsymi	⊢ ((∀𝑐 ∈ Cℋ (𝑐 𝑀ℋ 𝐵 → 𝐵 𝑀ℋ* 𝑐) ∧ 𝐴 𝑀ℋ 𝐵) → 𝐵 𝑀ℋ 𝐴)

Distinct variable group:   𝐵,𝑐

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑐)

Proof of Theorem csmdsymi

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		incom 4115	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) = (𝐵 ∩ 𝐴)
2	1	sseq1i 3929	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥 ↔ (𝐵 ∩ 𝐴) ⊆ 𝑥)
3	2	biimpri 231	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∩ 𝐴) ⊆ 𝑥 → (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥)
4		csmdsym.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
5		chjcom 29587	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝑥 ∨ℋ 𝐵) = (𝐵 ∨ℋ 𝑥))
6	4, 5	mpan2 691	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → (𝑥 ∨ℋ 𝐵) = (𝐵 ∨ℋ 𝑥))
7	6	ineq1d 4126	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) = ((𝐵 ∨ℋ 𝑥) ∩ 𝐴))
8		incom 4115	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∨ℋ 𝑥) ∩ 𝐴) = (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝑥))
9	7, 8	eqtrdi 2794	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) = (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)))
10	9	ad2antlr 727	. . . . . 6 ⊢ ((((∀𝑐 ∈ Cℋ (𝑐 𝑀ℋ 𝐵 → 𝐵 𝑀ℋ* 𝑐) ∧ 𝐴 𝑀ℋ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴)) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) = (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)))
11	4	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → 𝐵 ∈ Cℋ )
12		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → 𝑥 ∈ Cℋ )
13		csmdsym.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
14	13	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → 𝐴 ∈ Cℋ )
15	11, 12, 14	3jca 1130	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → (𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ))
16	15	ad2antlr 727	. . . . . . 7 ⊢ ((((∀𝑐 ∈ Cℋ (𝑐 𝑀ℋ 𝐵 → 𝐵 𝑀ℋ* 𝑐) ∧ 𝐴 𝑀ℋ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴)) → (𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ))
17		inss2 4144	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵
18		ssid 3923	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐵 ⊆ 𝐵
19	17, 18	pm3.2i 474	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐵)
20		sseq2 3927	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = if(𝑥 ∈ Cℋ , 𝑥, 0ℋ) → ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥 ↔ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ if(𝑥 ∈ Cℋ , 𝑥, 0ℋ)))
21		sseq1 3926	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = if(𝑥 ∈ Cℋ , 𝑥, 0ℋ) → (𝑥 ⊆ 𝐴 ↔ if(𝑥 ∈ Cℋ , 𝑥, 0ℋ) ⊆ 𝐴))
22	20, 21	anbi12d 634	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = if(𝑥 ∈ Cℋ , 𝑥, 0ℋ) → (((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) ↔ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ if(𝑥 ∈ Cℋ , 𝑥, 0ℋ) ∧ if(𝑥 ∈ Cℋ , 𝑥, 0ℋ) ⊆ 𝐴)))
23	22	3anbi2d 1443	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = if(𝑥 ∈ Cℋ , 𝑥, 0ℋ) → ((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐵)) ↔ (𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ if(𝑥 ∈ Cℋ , 𝑥, 0ℋ) ∧ if(𝑥 ∈ Cℋ , 𝑥, 0ℋ) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐵))))
24		breq1 5056	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = if(𝑥 ∈ Cℋ , 𝑥, 0ℋ) → (𝑥 𝑀ℋ 𝐵 ↔ if(𝑥 ∈ Cℋ , 𝑥, 0ℋ) 𝑀ℋ 𝐵))
25	23, 24	imbi12d 348	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = if(𝑥 ∈ Cℋ , 𝑥, 0ℋ) → (((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐵)) → 𝑥 𝑀ℋ 𝐵) ↔ ((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ if(𝑥 ∈ Cℋ , 𝑥, 0ℋ) ∧ if(𝑥 ∈ Cℋ , 𝑥, 0ℋ) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐵)) → if(𝑥 ∈ Cℋ , 𝑥, 0ℋ) 𝑀ℋ 𝐵)))
26		h0elch 29336	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0ℋ ∈ Cℋ
27	26	elimel 4508	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ if(𝑥 ∈ Cℋ , 𝑥, 0ℋ) ∈ Cℋ
28	13, 4, 27, 4	mdslmd4i 30414	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ if(𝑥 ∈ Cℋ , 𝑥, 0ℋ) ∧ if(𝑥 ∈ Cℋ , 𝑥, 0ℋ) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐵)) → if(𝑥 ∈ Cℋ , 𝑥, 0ℋ) 𝑀ℋ 𝐵)
29	25, 28	dedth 4497	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → ((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐵)) → 𝑥 𝑀ℋ 𝐵))
30	29	com12 32	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐵)) → (𝑥 ∈ Cℋ → 𝑥 𝑀ℋ 𝐵))
31	19, 30	mp3an3 1452	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴)) → (𝑥 ∈ Cℋ → 𝑥 𝑀ℋ 𝐵))
32	31	imp 410	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → 𝑥 𝑀ℋ 𝐵)
33	32	an32s 652	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴)) → 𝑥 𝑀ℋ 𝐵)
34	33	adantlll 718	. . . . . . . 8 ⊢ ((((∀𝑐 ∈ Cℋ (𝑐 𝑀ℋ 𝐵 → 𝐵 𝑀ℋ* 𝑐) ∧ 𝐴 𝑀ℋ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴)) → 𝑥 𝑀ℋ 𝐵)
35		breq1 5056	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑐 = 𝑥 → (𝑐 𝑀ℋ 𝐵 ↔ 𝑥 𝑀ℋ 𝐵))
36		breq2 5057	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑐 = 𝑥 → (𝐵 𝑀ℋ* 𝑐 ↔ 𝐵 𝑀ℋ* 𝑥))
37	35, 36	imbi12d 348	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑐 = 𝑥 → ((𝑐 𝑀ℋ 𝐵 → 𝐵 𝑀ℋ* 𝑐) ↔ (𝑥 𝑀ℋ 𝐵 → 𝐵 𝑀ℋ* 𝑥)))
38	37	rspccva 3536	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑐 ∈ Cℋ (𝑐 𝑀ℋ 𝐵 → 𝐵 𝑀ℋ* 𝑐) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (𝑥 𝑀ℋ 𝐵 → 𝐵 𝑀ℋ* 𝑥))
39	38	adantlr 715	. . . . . . . . 9 ⊢ (((∀𝑐 ∈ Cℋ (𝑐 𝑀ℋ 𝐵 → 𝐵 𝑀ℋ* 𝑐) ∧ 𝐴 𝑀ℋ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (𝑥 𝑀ℋ 𝐵 → 𝐵 𝑀ℋ* 𝑥))
40	39	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((((∀𝑐 ∈ Cℋ (𝑐 𝑀ℋ 𝐵 → 𝐵 𝑀ℋ* 𝑐) ∧ 𝐴 𝑀ℋ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴)) → (𝑥 𝑀ℋ 𝐵 → 𝐵 𝑀ℋ* 𝑥))
41	34, 40	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ ((((∀𝑐 ∈ Cℋ (𝑐 𝑀ℋ 𝐵 → 𝐵 𝑀ℋ* 𝑐) ∧ 𝐴 𝑀ℋ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴)) → 𝐵 𝑀ℋ* 𝑥)
42		simprr 773	. . . . . . 7 ⊢ ((((∀𝑐 ∈ Cℋ (𝑐 𝑀ℋ 𝐵 → 𝐵 𝑀ℋ* 𝑐) ∧ 𝐴 𝑀ℋ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴)) → 𝑥 ⊆ 𝐴)
43		dmdi 30383	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐵 𝑀ℋ* 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴)) → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑥) = (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)))
44	16, 41, 42, 43	syl12anc 837	. . . . . 6 ⊢ ((((∀𝑐 ∈ Cℋ (𝑐 𝑀ℋ 𝐵 → 𝐵 𝑀ℋ* 𝑐) ∧ 𝐴 𝑀ℋ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴)) → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑥) = (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)))
45	13, 4	chincli 29541	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ
46		chjcom 29587	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑥) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)))
47	45, 46	mpan 690	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑥) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)))
48	1	oveq2i 7224	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) = (𝑥 ∨ℋ (𝐵 ∩ 𝐴))
49	47, 48	eqtrdi 2794	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑥) = (𝑥 ∨ℋ (𝐵 ∩ 𝐴)))
50	49	ad2antlr 727	. . . . . 6 ⊢ ((((∀𝑐 ∈ Cℋ (𝑐 𝑀ℋ 𝐵 → 𝐵 𝑀ℋ* 𝑐) ∧ 𝐴 𝑀ℋ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴)) → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑥) = (𝑥 ∨ℋ (𝐵 ∩ 𝐴)))
51	10, 44, 50	3eqtr2d 2783	. . . . 5 ⊢ ((((∀𝑐 ∈ Cℋ (𝑐 𝑀ℋ 𝐵 → 𝐵 𝑀ℋ* 𝑐) ∧ 𝐴 𝑀ℋ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴)) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) = (𝑥 ∨ℋ (𝐵 ∩ 𝐴)))
52	51	ex 416	. . . 4 ⊢ (((∀𝑐 ∈ Cℋ (𝑐 𝑀ℋ 𝐵 → 𝐵 𝑀ℋ* 𝑐) ∧ 𝐴 𝑀ℋ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) = (𝑥 ∨ℋ (𝐵 ∩ 𝐴))))
53	3, 52	sylani 607	. . 3 ⊢ (((∀𝑐 ∈ Cℋ (𝑐 𝑀ℋ 𝐵 → 𝐵 𝑀ℋ* 𝑐) ∧ 𝐴 𝑀ℋ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (((𝐵 ∩ 𝐴) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) = (𝑥 ∨ℋ (𝐵 ∩ 𝐴))))
54	53	ralrimiva 3105	. 2 ⊢ ((∀𝑐 ∈ Cℋ (𝑐 𝑀ℋ 𝐵 → 𝐵 𝑀ℋ* 𝑐) ∧ 𝐴 𝑀ℋ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ Cℋ (((𝐵 ∩ 𝐴) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) = (𝑥 ∨ℋ (𝐵 ∩ 𝐴))))
55	4, 13	mdsl2bi 30404	. 2 ⊢ (𝐵 𝑀ℋ 𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ Cℋ (((𝐵 ∩ 𝐴) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) = (𝑥 ∨ℋ (𝐵 ∩ 𝐴))))
56	54, 55	sylibr 237	1 ⊢ ((∀𝑐 ∈ Cℋ (𝑐 𝑀ℋ 𝐵 → 𝐵 𝑀ℋ* 𝑐) ∧ 𝐴 𝑀ℋ 𝐵) → 𝐵 𝑀ℋ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1089   = wceq 1543   ∈ wcel 2110  ∀wral 3061   ∩ cin 3865   ⊆ wss 3866  ifcif 4439   class class class wbr 5053  (class class class)co 7213   C_ℋ cch 29010   ∨_ℋ chj 29014  0_ℋc0h 29016   𝑀_ℋ cmd 29047   𝑀_ℋ^* cdmd 29048

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-inf2 9256  ax-cc 10049  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807  ax-addf 10808  ax-mulf 10809  ax-hilex 29080  ax-hfvadd 29081  ax-hvcom 29082  ax-hvass 29083  ax-hv0cl 29084  ax-hvaddid 29085  ax-hfvmul 29086  ax-hvmulid 29087  ax-hvmulass 29088  ax-hvdistr1 29089  ax-hvdistr2 29090  ax-hvmul0 29091  ax-hfi 29160  ax-his1 29163  ax-his2 29164  ax-his3 29165  ax-his4 29166  ax-hcompl 29283

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-iin 4907  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-isom 6389  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-of 7469  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-supp 7904  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-2o 8203  df-oadd 8206  df-omul 8207  df-er 8391  df-map 8510  df-pm 8511  df-ixp 8579  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-fsupp 8986  df-fi 9027  df-sup 9058  df-inf 9059  df-oi 9126  df-card 9555  df-acn 9558  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-4 11895  df-5 11896  df-6 11897  df-7 11898  df-8 11899  df-9 11900  df-n0 12091  df-z 12177  df-dec 12294  df-uz 12439  df-q 12545  df-rp 12587  df-xneg 12704  df-xadd 12705  df-xmul 12706  df-ioo 12939  df-ico 12941  df-icc 12942  df-fz 13096  df-fzo 13239  df-fl 13367  df-seq 13575  df-exp 13636  df-hash 13897  df-cj 14662  df-re 14663  df-im 14664  df-sqrt 14798  df-abs 14799  df-clim 15049  df-rlim 15050  df-sum 15250  df-struct 16700  df-sets 16717  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-ress 16785  df-plusg 16815  df-mulr 16816  df-starv 16817  df-sca 16818  df-vsca 16819  df-ip 16820  df-tset 16821  df-ple 16822  df-ds 16824  df-unif 16825  df-hom 16826  df-cco 16827  df-rest 16927  df-topn 16928  df-0g 16946  df-gsum 16947  df-topgen 16948  df-pt 16949  df-prds 16952  df-xrs 17007  df-qtop 17012  df-imas 17013  df-xps 17015  df-mre 17089  df-mrc 17090  df-acs 17092  df-mgm 18114  df-sgrp 18163  df-mnd 18174  df-submnd 18219  df-mulg 18489  df-cntz 18711  df-cmn 19172  df-psmet 20355  df-xmet 20356  df-met 20357  df-bl 20358  df-mopn 20359  df-fbas 20360  df-fg 20361  df-cnfld 20364  df-top 21791  df-topon 21808  df-topsp 21830  df-bases 21843  df-cld 21916  df-ntr 21917  df-cls 21918  df-nei 21995  df-cn 22124  df-cnp 22125  df-lm 22126  df-haus 22212  df-tx 22459  df-hmeo 22652  df-fil 22743  df-fm 22835  df-flim 22836  df-flf 22837  df-xms 23218  df-ms 23219  df-tms 23220  df-cfil 24152  df-cau 24153  df-cmet 24154  df-grpo 28574  df-gid 28575  df-ginv 28576  df-gdiv 28577  df-ablo 28626  df-vc 28640  df-nv 28673  df-va 28676  df-ba 28677  df-sm 28678  df-0v 28679  df-vs 28680  df-nmcv 28681  df-ims 28682  df-dip 28782  df-ssp 28803  df-ph 28894  df-cbn 28944  df-hnorm 29049  df-hba 29050  df-hvsub 29052  df-hlim 29053  df-hcau 29054  df-sh 29288  df-ch 29302  df-oc 29333  df-ch0 29334  df-shs 29389  df-chj 29391  df-md 30361  df-dmd 30362

This theorem is referenced by: (None)