Theorem csmdsymi 30597

Description: Cross-symmetry implies M-symmetry. Theorem 1.9.1 of [MaedaMaeda] p. 3. (Contributed by NM, 24-Dec-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
csmdsym.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
csmdsym.2	⊢ 𝐵 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
csmdsymi	⊢ ((∀𝑐 ∈ Cℋ (𝑐 𝑀ℋ 𝐵 → 𝐵 𝑀ℋ* 𝑐) ∧ 𝐴 𝑀ℋ 𝐵) → 𝐵 𝑀ℋ 𝐴)

Distinct variable group:   𝐵,𝑐

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑐)

Proof of Theorem csmdsymi

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		incom 4131	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) = (𝐵 ∩ 𝐴)
2	1	sseq1i 3945	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥 ↔ (𝐵 ∩ 𝐴) ⊆ 𝑥)
3	2	biimpri 227	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∩ 𝐴) ⊆ 𝑥 → (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥)
4		csmdsym.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
5		chjcom 29769	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝑥 ∨ℋ 𝐵) = (𝐵 ∨ℋ 𝑥))
6	4, 5	mpan2 687	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → (𝑥 ∨ℋ 𝐵) = (𝐵 ∨ℋ 𝑥))
7	6	ineq1d 4142	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) = ((𝐵 ∨ℋ 𝑥) ∩ 𝐴))
8		incom 4131	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∨ℋ 𝑥) ∩ 𝐴) = (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝑥))
9	7, 8	eqtrdi 2795	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) = (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)))
10	9	ad2antlr 723	. . . . . 6 ⊢ ((((∀𝑐 ∈ Cℋ (𝑐 𝑀ℋ 𝐵 → 𝐵 𝑀ℋ* 𝑐) ∧ 𝐴 𝑀ℋ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴)) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) = (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)))
11	4	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → 𝐵 ∈ Cℋ )
12		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → 𝑥 ∈ Cℋ )
13		csmdsym.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
14	13	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → 𝐴 ∈ Cℋ )
15	11, 12, 14	3jca 1126	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → (𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ))
16	15	ad2antlr 723	. . . . . . 7 ⊢ ((((∀𝑐 ∈ Cℋ (𝑐 𝑀ℋ 𝐵 → 𝐵 𝑀ℋ* 𝑐) ∧ 𝐴 𝑀ℋ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴)) → (𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ))
17		inss2 4160	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵
18		ssid 3939	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐵 ⊆ 𝐵
19	17, 18	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐵)
20		sseq2 3943	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = if(𝑥 ∈ Cℋ , 𝑥, 0ℋ) → ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥 ↔ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ if(𝑥 ∈ Cℋ , 𝑥, 0ℋ)))
21		sseq1 3942	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = if(𝑥 ∈ Cℋ , 𝑥, 0ℋ) → (𝑥 ⊆ 𝐴 ↔ if(𝑥 ∈ Cℋ , 𝑥, 0ℋ) ⊆ 𝐴))
22	20, 21	anbi12d 630	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = if(𝑥 ∈ Cℋ , 𝑥, 0ℋ) → (((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) ↔ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ if(𝑥 ∈ Cℋ , 𝑥, 0ℋ) ∧ if(𝑥 ∈ Cℋ , 𝑥, 0ℋ) ⊆ 𝐴)))
23	22	3anbi2d 1439	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = if(𝑥 ∈ Cℋ , 𝑥, 0ℋ) → ((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐵)) ↔ (𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ if(𝑥 ∈ Cℋ , 𝑥, 0ℋ) ∧ if(𝑥 ∈ Cℋ , 𝑥, 0ℋ) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐵))))
24		breq1 5073	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = if(𝑥 ∈ Cℋ , 𝑥, 0ℋ) → (𝑥 𝑀ℋ 𝐵 ↔ if(𝑥 ∈ Cℋ , 𝑥, 0ℋ) 𝑀ℋ 𝐵))
25	23, 24	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = if(𝑥 ∈ Cℋ , 𝑥, 0ℋ) → (((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐵)) → 𝑥 𝑀ℋ 𝐵) ↔ ((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ if(𝑥 ∈ Cℋ , 𝑥, 0ℋ) ∧ if(𝑥 ∈ Cℋ , 𝑥, 0ℋ) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐵)) → if(𝑥 ∈ Cℋ , 𝑥, 0ℋ) 𝑀ℋ 𝐵)))
26		h0elch 29518	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0ℋ ∈ Cℋ
27	26	elimel 4525	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ if(𝑥 ∈ Cℋ , 𝑥, 0ℋ) ∈ Cℋ
28	13, 4, 27, 4	mdslmd4i 30596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ if(𝑥 ∈ Cℋ , 𝑥, 0ℋ) ∧ if(𝑥 ∈ Cℋ , 𝑥, 0ℋ) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐵)) → if(𝑥 ∈ Cℋ , 𝑥, 0ℋ) 𝑀ℋ 𝐵)
29	25, 28	dedth 4514	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → ((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐵)) → 𝑥 𝑀ℋ 𝐵))
30	29	com12 32	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐵)) → (𝑥 ∈ Cℋ → 𝑥 𝑀ℋ 𝐵))
31	19, 30	mp3an3 1448	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴)) → (𝑥 ∈ Cℋ → 𝑥 𝑀ℋ 𝐵))
32	31	imp 406	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → 𝑥 𝑀ℋ 𝐵)
33	32	an32s 648	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴)) → 𝑥 𝑀ℋ 𝐵)
34	33	adantlll 714	. . . . . . . 8 ⊢ ((((∀𝑐 ∈ Cℋ (𝑐 𝑀ℋ 𝐵 → 𝐵 𝑀ℋ* 𝑐) ∧ 𝐴 𝑀ℋ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴)) → 𝑥 𝑀ℋ 𝐵)
35		breq1 5073	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑐 = 𝑥 → (𝑐 𝑀ℋ 𝐵 ↔ 𝑥 𝑀ℋ 𝐵))
36		breq2 5074	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑐 = 𝑥 → (𝐵 𝑀ℋ* 𝑐 ↔ 𝐵 𝑀ℋ* 𝑥))
37	35, 36	imbi12d 344	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑐 = 𝑥 → ((𝑐 𝑀ℋ 𝐵 → 𝐵 𝑀ℋ* 𝑐) ↔ (𝑥 𝑀ℋ 𝐵 → 𝐵 𝑀ℋ* 𝑥)))
38	37	rspccva 3551	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑐 ∈ Cℋ (𝑐 𝑀ℋ 𝐵 → 𝐵 𝑀ℋ* 𝑐) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (𝑥 𝑀ℋ 𝐵 → 𝐵 𝑀ℋ* 𝑥))
39	38	adantlr 711	. . . . . . . . 9 ⊢ (((∀𝑐 ∈ Cℋ (𝑐 𝑀ℋ 𝐵 → 𝐵 𝑀ℋ* 𝑐) ∧ 𝐴 𝑀ℋ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (𝑥 𝑀ℋ 𝐵 → 𝐵 𝑀ℋ* 𝑥))
40	39	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((∀𝑐 ∈ Cℋ (𝑐 𝑀ℋ 𝐵 → 𝐵 𝑀ℋ* 𝑐) ∧ 𝐴 𝑀ℋ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴)) → (𝑥 𝑀ℋ 𝐵 → 𝐵 𝑀ℋ* 𝑥))
41	34, 40	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ ((((∀𝑐 ∈ Cℋ (𝑐 𝑀ℋ 𝐵 → 𝐵 𝑀ℋ* 𝑐) ∧ 𝐴 𝑀ℋ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴)) → 𝐵 𝑀ℋ* 𝑥)
42		simprr 769	. . . . . . 7 ⊢ ((((∀𝑐 ∈ Cℋ (𝑐 𝑀ℋ 𝐵 → 𝐵 𝑀ℋ* 𝑐) ∧ 𝐴 𝑀ℋ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴)) → 𝑥 ⊆ 𝐴)
43		dmdi 30565	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐵 𝑀ℋ* 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴)) → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑥) = (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)))
44	16, 41, 42, 43	syl12anc 833	. . . . . 6 ⊢ ((((∀𝑐 ∈ Cℋ (𝑐 𝑀ℋ 𝐵 → 𝐵 𝑀ℋ* 𝑐) ∧ 𝐴 𝑀ℋ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴)) → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑥) = (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)))
45	13, 4	chincli 29723	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ
46		chjcom 29769	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑥) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)))
47	45, 46	mpan 686	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑥) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)))
48	1	oveq2i 7266	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) = (𝑥 ∨ℋ (𝐵 ∩ 𝐴))
49	47, 48	eqtrdi 2795	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑥) = (𝑥 ∨ℋ (𝐵 ∩ 𝐴)))
50	49	ad2antlr 723	. . . . . 6 ⊢ ((((∀𝑐 ∈ Cℋ (𝑐 𝑀ℋ 𝐵 → 𝐵 𝑀ℋ* 𝑐) ∧ 𝐴 𝑀ℋ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴)) → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑥) = (𝑥 ∨ℋ (𝐵 ∩ 𝐴)))
51	10, 44, 50	3eqtr2d 2784	. . . . 5 ⊢ ((((∀𝑐 ∈ Cℋ (𝑐 𝑀ℋ 𝐵 → 𝐵 𝑀ℋ* 𝑐) ∧ 𝐴 𝑀ℋ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴)) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) = (𝑥 ∨ℋ (𝐵 ∩ 𝐴)))
52	51	ex 412	. . . 4 ⊢ (((∀𝑐 ∈ Cℋ (𝑐 𝑀ℋ 𝐵 → 𝐵 𝑀ℋ* 𝑐) ∧ 𝐴 𝑀ℋ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) = (𝑥 ∨ℋ (𝐵 ∩ 𝐴))))
53	3, 52	sylani 603	. . 3 ⊢ (((∀𝑐 ∈ Cℋ (𝑐 𝑀ℋ 𝐵 → 𝐵 𝑀ℋ* 𝑐) ∧ 𝐴 𝑀ℋ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (((𝐵 ∩ 𝐴) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) = (𝑥 ∨ℋ (𝐵 ∩ 𝐴))))
54	53	ralrimiva 3107	. 2 ⊢ ((∀𝑐 ∈ Cℋ (𝑐 𝑀ℋ 𝐵 → 𝐵 𝑀ℋ* 𝑐) ∧ 𝐴 𝑀ℋ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ Cℋ (((𝐵 ∩ 𝐴) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) = (𝑥 ∨ℋ (𝐵 ∩ 𝐴))))
55	4, 13	mdsl2bi 30586	. 2 ⊢ (𝐵 𝑀ℋ 𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ Cℋ (((𝐵 ∩ 𝐴) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) = (𝑥 ∨ℋ (𝐵 ∩ 𝐴))))
56	54, 55	sylibr 233	1 ⊢ ((∀𝑐 ∈ Cℋ (𝑐 𝑀ℋ 𝐵 → 𝐵 𝑀ℋ* 𝑐) ∧ 𝐴 𝑀ℋ 𝐵) → 𝐵 𝑀ℋ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063   ∩ cin 3882   ⊆ wss 3883  ifcif 4456   class class class wbr 5070  (class class class)co 7255   C_ℋ cch 29192   ∨_ℋ chj 29196  0_ℋc0h 29198   𝑀_ℋ cmd 29229   𝑀_ℋ^* cdmd 29230

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cc 10122  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880  ax-addf 10881  ax-mulf 10882  ax-hilex 29262  ax-hfvadd 29263  ax-hvcom 29264  ax-hvass 29265  ax-hv0cl 29266  ax-hvaddid 29267  ax-hfvmul 29268  ax-hvmulid 29269  ax-hvmulass 29270  ax-hvdistr1 29271  ax-hvdistr2 29272  ax-hvmul0 29273  ax-hfi 29342  ax-his1 29345  ax-his2 29346  ax-his3 29347  ax-his4 29348  ax-hcompl 29465

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-oadd 8271  df-omul 8272  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-fi 9100  df-sup 9131  df-inf 9132  df-oi 9199  df-card 9628  df-acn 9631  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-xneg 12777  df-xadd 12778  df-xmul 12779  df-ioo 13012  df-ico 13014  df-icc 13015  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-fl 13440  df-seq 13650  df-exp 13711  df-hash 13973  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-clim 15125  df-rlim 15126  df-sum 15326  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-starv 16903  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-unif 16911  df-hom 16912  df-cco 16913  df-rest 17050  df-topn 17051  df-0g 17069  df-gsum 17070  df-topgen 17071  df-pt 17072  df-prds 17075  df-xrs 17130  df-qtop 17135  df-imas 17136  df-xps 17138  df-mre 17212  df-mrc 17213  df-acs 17215  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-submnd 18346  df-mulg 18616  df-cntz 18838  df-cmn 19303  df-psmet 20502  df-xmet 20503  df-met 20504  df-bl 20505  df-mopn 20506  df-fbas 20507  df-fg 20508  df-cnfld 20511  df-top 21951  df-topon 21968  df-topsp 21990  df-bases 22004  df-cld 22078  df-ntr 22079  df-cls 22080  df-nei 22157  df-cn 22286  df-cnp 22287  df-lm 22288  df-haus 22374  df-tx 22621  df-hmeo 22814  df-fil 22905  df-fm 22997  df-flim 22998  df-flf 22999  df-xms 23381  df-ms 23382  df-tms 23383  df-cfil 24324  df-cau 24325  df-cmet 24326  df-grpo 28756  df-gid 28757  df-ginv 28758  df-gdiv 28759  df-ablo 28808  df-vc 28822  df-nv 28855  df-va 28858  df-ba 28859  df-sm 28860  df-0v 28861  df-vs 28862  df-nmcv 28863  df-ims 28864  df-dip 28964  df-ssp 28985  df-ph 29076  df-cbn 29126  df-hnorm 29231  df-hba 29232  df-hvsub 29234  df-hlim 29235  df-hcau 29236  df-sh 29470  df-ch 29484  df-oc 29515  df-ch0 29516  df-shs 29571  df-chj 29573  df-md 30543  df-dmd 30544

This theorem is referenced by: (None)