Theorem csmdsymi 31339

Description: Cross-symmetry implies M-symmetry. Theorem 1.9.1 of [MaedaMaeda] p. 3. (Contributed by NM, 24-Dec-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
csmdsym.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
csmdsym.2	⊢ 𝐵 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
csmdsymi	⊢ ((∀𝑐 ∈ Cℋ (𝑐 𝑀ℋ 𝐵 → 𝐵 𝑀ℋ* 𝑐) ∧ 𝐴 𝑀ℋ 𝐵) → 𝐵 𝑀ℋ 𝐴)

Distinct variable group:   𝐵,𝑐

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑐)

Proof of Theorem csmdsymi

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		incom 4166	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) = (𝐵 ∩ 𝐴)
2	1	sseq1i 3975	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥 ↔ (𝐵 ∩ 𝐴) ⊆ 𝑥)
3	2	biimpri 227	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∩ 𝐴) ⊆ 𝑥 → (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥)
4		csmdsym.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
5		chjcom 30511	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝑥 ∨ℋ 𝐵) = (𝐵 ∨ℋ 𝑥))
6	4, 5	mpan2 689	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → (𝑥 ∨ℋ 𝐵) = (𝐵 ∨ℋ 𝑥))
7	6	ineq1d 4176	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) = ((𝐵 ∨ℋ 𝑥) ∩ 𝐴))
8		incom 4166	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∨ℋ 𝑥) ∩ 𝐴) = (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝑥))
9	7, 8	eqtrdi 2787	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) = (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)))
10	9	ad2antlr 725	. . . . . 6 ⊢ ((((∀𝑐 ∈ Cℋ (𝑐 𝑀ℋ 𝐵 → 𝐵 𝑀ℋ* 𝑐) ∧ 𝐴 𝑀ℋ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴)) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) = (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)))
11	4	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → 𝐵 ∈ Cℋ )
12		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → 𝑥 ∈ Cℋ )
13		csmdsym.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
14	13	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → 𝐴 ∈ Cℋ )
15	11, 12, 14	3jca 1128	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → (𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ))
16	15	ad2antlr 725	. . . . . . 7 ⊢ ((((∀𝑐 ∈ Cℋ (𝑐 𝑀ℋ 𝐵 → 𝐵 𝑀ℋ* 𝑐) ∧ 𝐴 𝑀ℋ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴)) → (𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ))
17		inss2 4194	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵
18		ssid 3969	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐵 ⊆ 𝐵
19	17, 18	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐵)
20		sseq2 3973	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = if(𝑥 ∈ Cℋ , 𝑥, 0ℋ) → ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥 ↔ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ if(𝑥 ∈ Cℋ , 𝑥, 0ℋ)))
21		sseq1 3972	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = if(𝑥 ∈ Cℋ , 𝑥, 0ℋ) → (𝑥 ⊆ 𝐴 ↔ if(𝑥 ∈ Cℋ , 𝑥, 0ℋ) ⊆ 𝐴))
22	20, 21	anbi12d 631	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = if(𝑥 ∈ Cℋ , 𝑥, 0ℋ) → (((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) ↔ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ if(𝑥 ∈ Cℋ , 𝑥, 0ℋ) ∧ if(𝑥 ∈ Cℋ , 𝑥, 0ℋ) ⊆ 𝐴)))
23	22	3anbi2d 1441	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = if(𝑥 ∈ Cℋ , 𝑥, 0ℋ) → ((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐵)) ↔ (𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ if(𝑥 ∈ Cℋ , 𝑥, 0ℋ) ∧ if(𝑥 ∈ Cℋ , 𝑥, 0ℋ) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐵))))
24		breq1 5113	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = if(𝑥 ∈ Cℋ , 𝑥, 0ℋ) → (𝑥 𝑀ℋ 𝐵 ↔ if(𝑥 ∈ Cℋ , 𝑥, 0ℋ) 𝑀ℋ 𝐵))
25	23, 24	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = if(𝑥 ∈ Cℋ , 𝑥, 0ℋ) → (((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐵)) → 𝑥 𝑀ℋ 𝐵) ↔ ((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ if(𝑥 ∈ Cℋ , 𝑥, 0ℋ) ∧ if(𝑥 ∈ Cℋ , 𝑥, 0ℋ) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐵)) → if(𝑥 ∈ Cℋ , 𝑥, 0ℋ) 𝑀ℋ 𝐵)))
26		h0elch 30260	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0ℋ ∈ Cℋ
27	26	elimel 4560	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ if(𝑥 ∈ Cℋ , 𝑥, 0ℋ) ∈ Cℋ
28	13, 4, 27, 4	mdslmd4i 31338	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ if(𝑥 ∈ Cℋ , 𝑥, 0ℋ) ∧ if(𝑥 ∈ Cℋ , 𝑥, 0ℋ) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐵)) → if(𝑥 ∈ Cℋ , 𝑥, 0ℋ) 𝑀ℋ 𝐵)
29	25, 28	dedth 4549	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → ((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐵)) → 𝑥 𝑀ℋ 𝐵))
30	29	com12 32	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐵)) → (𝑥 ∈ Cℋ → 𝑥 𝑀ℋ 𝐵))
31	19, 30	mp3an3 1450	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴)) → (𝑥 ∈ Cℋ → 𝑥 𝑀ℋ 𝐵))
32	31	imp 407	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → 𝑥 𝑀ℋ 𝐵)
33	32	an32s 650	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴)) → 𝑥 𝑀ℋ 𝐵)
34	33	adantlll 716	. . . . . . . 8 ⊢ ((((∀𝑐 ∈ Cℋ (𝑐 𝑀ℋ 𝐵 → 𝐵 𝑀ℋ* 𝑐) ∧ 𝐴 𝑀ℋ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴)) → 𝑥 𝑀ℋ 𝐵)
35		breq1 5113	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑐 = 𝑥 → (𝑐 𝑀ℋ 𝐵 ↔ 𝑥 𝑀ℋ 𝐵))
36		breq2 5114	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑐 = 𝑥 → (𝐵 𝑀ℋ* 𝑐 ↔ 𝐵 𝑀ℋ* 𝑥))
37	35, 36	imbi12d 344	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑐 = 𝑥 → ((𝑐 𝑀ℋ 𝐵 → 𝐵 𝑀ℋ* 𝑐) ↔ (𝑥 𝑀ℋ 𝐵 → 𝐵 𝑀ℋ* 𝑥)))
38	37	rspccva 3581	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑐 ∈ Cℋ (𝑐 𝑀ℋ 𝐵 → 𝐵 𝑀ℋ* 𝑐) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (𝑥 𝑀ℋ 𝐵 → 𝐵 𝑀ℋ* 𝑥))
39	38	adantlr 713	. . . . . . . . 9 ⊢ (((∀𝑐 ∈ Cℋ (𝑐 𝑀ℋ 𝐵 → 𝐵 𝑀ℋ* 𝑐) ∧ 𝐴 𝑀ℋ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (𝑥 𝑀ℋ 𝐵 → 𝐵 𝑀ℋ* 𝑥))
40	39	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((((∀𝑐 ∈ Cℋ (𝑐 𝑀ℋ 𝐵 → 𝐵 𝑀ℋ* 𝑐) ∧ 𝐴 𝑀ℋ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴)) → (𝑥 𝑀ℋ 𝐵 → 𝐵 𝑀ℋ* 𝑥))
41	34, 40	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ ((((∀𝑐 ∈ Cℋ (𝑐 𝑀ℋ 𝐵 → 𝐵 𝑀ℋ* 𝑐) ∧ 𝐴 𝑀ℋ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴)) → 𝐵 𝑀ℋ* 𝑥)
42		simprr 771	. . . . . . 7 ⊢ ((((∀𝑐 ∈ Cℋ (𝑐 𝑀ℋ 𝐵 → 𝐵 𝑀ℋ* 𝑐) ∧ 𝐴 𝑀ℋ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴)) → 𝑥 ⊆ 𝐴)
43		dmdi 31307	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐵 𝑀ℋ* 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴)) → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑥) = (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)))
44	16, 41, 42, 43	syl12anc 835	. . . . . 6 ⊢ ((((∀𝑐 ∈ Cℋ (𝑐 𝑀ℋ 𝐵 → 𝐵 𝑀ℋ* 𝑐) ∧ 𝐴 𝑀ℋ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴)) → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑥) = (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝑥)))
45	13, 4	chincli 30465	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ
46		chjcom 30511	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑥) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)))
47	45, 46	mpan 688	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑥) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)))
48	1	oveq2i 7373	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) = (𝑥 ∨ℋ (𝐵 ∩ 𝐴))
49	47, 48	eqtrdi 2787	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑥) = (𝑥 ∨ℋ (𝐵 ∩ 𝐴)))
50	49	ad2antlr 725	. . . . . 6 ⊢ ((((∀𝑐 ∈ Cℋ (𝑐 𝑀ℋ 𝐵 → 𝐵 𝑀ℋ* 𝑐) ∧ 𝐴 𝑀ℋ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴)) → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑥) = (𝑥 ∨ℋ (𝐵 ∩ 𝐴)))
51	10, 44, 50	3eqtr2d 2777	. . . . 5 ⊢ ((((∀𝑐 ∈ Cℋ (𝑐 𝑀ℋ 𝐵 → 𝐵 𝑀ℋ* 𝑐) ∧ 𝐴 𝑀ℋ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴)) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) = (𝑥 ∨ℋ (𝐵 ∩ 𝐴)))
52	51	ex 413	. . . 4 ⊢ (((∀𝑐 ∈ Cℋ (𝑐 𝑀ℋ 𝐵 → 𝐵 𝑀ℋ* 𝑐) ∧ 𝐴 𝑀ℋ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) = (𝑥 ∨ℋ (𝐵 ∩ 𝐴))))
53	3, 52	sylani 604	. . 3 ⊢ (((∀𝑐 ∈ Cℋ (𝑐 𝑀ℋ 𝐵 → 𝐵 𝑀ℋ* 𝑐) ∧ 𝐴 𝑀ℋ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (((𝐵 ∩ 𝐴) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) = (𝑥 ∨ℋ (𝐵 ∩ 𝐴))))
54	53	ralrimiva 3139	. 2 ⊢ ((∀𝑐 ∈ Cℋ (𝑐 𝑀ℋ 𝐵 → 𝐵 𝑀ℋ* 𝑐) ∧ 𝐴 𝑀ℋ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ Cℋ (((𝐵 ∩ 𝐴) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) = (𝑥 ∨ℋ (𝐵 ∩ 𝐴))))
55	4, 13	mdsl2bi 31328	. 2 ⊢ (𝐵 𝑀ℋ 𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ Cℋ (((𝐵 ∩ 𝐴) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) = (𝑥 ∨ℋ (𝐵 ∩ 𝐴))))
56	54, 55	sylibr 233	1 ⊢ ((∀𝑐 ∈ Cℋ (𝑐 𝑀ℋ 𝐵 → 𝐵 𝑀ℋ* 𝑐) ∧ 𝐴 𝑀ℋ 𝐵) → 𝐵 𝑀ℋ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3060   ∩ cin 3912   ⊆ wss 3913  ifcif 4491   class class class wbr 5110  (class class class)co 7362   C_ℋ cch 29934   ∨_ℋ chj 29938  0_ℋc0h 29940   𝑀_ℋ cmd 29971   𝑀_ℋ^* cdmd 29972

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9586  ax-cc 10380  ax-cnex 11116  ax-resscn 11117  ax-1cn 11118  ax-icn 11119  ax-addcl 11120  ax-addrcl 11121  ax-mulcl 11122  ax-mulrcl 11123  ax-mulcom 11124  ax-addass 11125  ax-mulass 11126  ax-distr 11127  ax-i2m1 11128  ax-1ne0 11129  ax-1rid 11130  ax-rnegex 11131  ax-rrecex 11132  ax-cnre 11133  ax-pre-lttri 11134  ax-pre-lttrn 11135  ax-pre-ltadd 11136  ax-pre-mulgt0 11137  ax-pre-sup 11138  ax-addf 11139  ax-mulf 11140  ax-hilex 30004  ax-hfvadd 30005  ax-hvcom 30006  ax-hvass 30007  ax-hv0cl 30008  ax-hvaddid 30009  ax-hfvmul 30010  ax-hvmulid 30011  ax-hvmulass 30012  ax-hvdistr1 30013  ax-hvdistr2 30014  ax-hvmul0 30015  ax-hfi 30084  ax-his1 30087  ax-his2 30088  ax-his3 30089  ax-his4 30090  ax-hcompl 30207

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3448  df-sbc 3743  df-csb 3859  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-oadd 8421  df-omul 8422  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-fi 9356  df-sup 9387  df-inf 9388  df-oi 9455  df-card 9884  df-acn 9887  df-pnf 11200  df-mnf 11201  df-xr 11202  df-ltxr 11203  df-le 11204  df-sub 11396  df-neg 11397  df-div 11822  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12423  df-z 12509  df-dec 12628  df-uz 12773  df-q 12883  df-rp 12925  df-xneg 13042  df-xadd 13043  df-xmul 13044  df-ioo 13278  df-ico 13280  df-icc 13281  df-fz 13435  df-fzo 13578  df-fl 13707  df-seq 13917  df-exp 13978  df-hash 14241  df-cj 14996  df-re 14997  df-im 14998  df-sqrt 15132  df-abs 15133  df-clim 15382  df-rlim 15383  df-sum 15583  df-struct 17030  df-sets 17047  df-slot 17065  df-ndx 17077  df-base 17095  df-ress 17124  df-plusg 17160  df-mulr 17161  df-starv 17162  df-sca 17163  df-vsca 17164  df-ip 17165  df-tset 17166  df-ple 17167  df-ds 17169  df-unif 17170  df-hom 17171  df-cco 17172  df-rest 17318  df-topn 17319  df-0g 17337  df-gsum 17338  df-topgen 17339  df-pt 17340  df-prds 17343  df-xrs 17398  df-qtop 17403  df-imas 17404  df-xps 17406  df-mre 17480  df-mrc 17481  df-acs 17483  df-mgm 18511  df-sgrp 18560  df-mnd 18571  df-submnd 18616  df-mulg 18887  df-cntz 19111  df-cmn 19578  df-psmet 20825  df-xmet 20826  df-met 20827  df-bl 20828  df-mopn 20829  df-fbas 20830  df-fg 20831  df-cnfld 20834  df-top 22280  df-topon 22297  df-topsp 22319  df-bases 22333  df-cld 22407  df-ntr 22408  df-cls 22409  df-nei 22486  df-cn 22615  df-cnp 22616  df-lm 22617  df-haus 22703  df-tx 22950  df-hmeo 23143  df-fil 23234  df-fm 23326  df-flim 23327  df-flf 23328  df-xms 23710  df-ms 23711  df-tms 23712  df-cfil 24656  df-cau 24657  df-cmet 24658  df-grpo 29498  df-gid 29499  df-ginv 29500  df-gdiv 29501  df-ablo 29550  df-vc 29564  df-nv 29597  df-va 29600  df-ba 29601  df-sm 29602  df-0v 29603  df-vs 29604  df-nmcv 29605  df-ims 29606  df-dip 29706  df-ssp 29727  df-ph 29818  df-cbn 29868  df-hnorm 29973  df-hba 29974  df-hvsub 29976  df-hlim 29977  df-hcau 29978  df-sh 30212  df-ch 30226  df-oc 30257  df-ch0 30258  df-shs 30313  df-chj 30315  df-md 31285  df-dmd 31286

This theorem is referenced by: (None)