Theorem atcvat3i 32821

Description: A condition implying that a certain lattice element is an atom. Part of Lemma 3.2.20 of [PtakPulmannova] p. 68. (Contributed by NM, 2-Jul-2004.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
atcvat3.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
atcvat3i	⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (((¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ ¬ 𝐶 ⊆ 𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)) → (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ∈ HAtoms))

Proof of Theorem atcvat3i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		atcvat3.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
2		chcv1 32780	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (¬ 𝐶 ⊆ 𝐴 ↔ 𝐴 ⋖ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)))
3	1, 2	mpan 703	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ HAtoms → (¬ 𝐶 ⊆ 𝐴 ↔ 𝐴 ⋖ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)))
4	3	biimpa 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ HAtoms ∧ ¬ 𝐶 ⊆ 𝐴) → 𝐴 ⋖ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐶))
5	4	ad2ant2lr 761	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ (¬ 𝐶 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶))) → 𝐴 ⋖ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐶))
6		atelch 32769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ HAtoms → 𝐵 ∈ Cℋ )
7		atelch 32769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐶 ∈ HAtoms → 𝐶 ∈ Cℋ )
8	6, 7	anim12i 625	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ))
9		chjcom 31931	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → (𝐵 ∨ℋ 𝐶) = (𝐶 ∨ℋ 𝐵))
10	9	oveq2d 7435	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → (𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) = (𝐴 ∨ℋ (𝐶 ∨ℋ 𝐵)))
11		chjass 31958	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐵) = (𝐴 ∨ℋ (𝐶 ∨ℋ 𝐵)))
12	1, 11	mp3an1 1477	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐶 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐵) = (𝐴 ∨ℋ (𝐶 ∨ℋ 𝐵)))
13	12	ancoms 464	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐵) = (𝐴 ∨ℋ (𝐶 ∨ℋ 𝐵)))
14	10, 13	eqtr4d 2803	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → (𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) = ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐵))
15	14	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)) → (𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) = ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐵))
16		simpl 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → 𝐵 ∈ Cℋ )
17		chjcl 31782	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → (𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∈ Cℋ )
18	1, 17	mpan 703	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐶 ∈ Cℋ → (𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∈ Cℋ )
19	18	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → (𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∈ Cℋ )
20		chlej2 31936	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐵 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)) → ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐵) ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)))
21	20	ex 418	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∈ Cℋ ) → (𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶) → ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐵) ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐶))))
22	16, 19, 19, 21	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → (𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶) → ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐵) ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐶))))
23	22	imp 412	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)) → ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐵) ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)))
24	15, 23	eqsstrd 3972	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)) → (𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)))
25		chjidm 31945	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∈ Cℋ → ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)) = (𝐴 ∨ℋ 𝐶))
26	18, 25	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐶 ∈ Cℋ → ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)) = (𝐴 ∨ℋ 𝐶))
27	26	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)) → ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)) = (𝐴 ∨ℋ 𝐶))
28	24, 27	sseqtrd 3974	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)) → (𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶))
29		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → 𝐶 ∈ Cℋ )
30		chjcl 31782	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∈ Cℋ )
31		chub2 31933	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐶 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → 𝐶 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))
32	31	ancoms 464	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → 𝐶 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))
33		chlej2 31936	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐶 ∈ Cℋ ∧ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐶 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) → (𝐴 ∨ℋ 𝐶) ⊆ (𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)))
34	1, 33	mp3anl3 1486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐶 ∈ Cℋ ∧ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∈ Cℋ ) ∧ 𝐶 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) → (𝐴 ∨ℋ 𝐶) ⊆ (𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)))
35	29, 30, 32, 34	syl21anc 851	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → (𝐴 ∨ℋ 𝐶) ⊆ (𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)))
36	35	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)) → (𝐴 ∨ℋ 𝐶) ⊆ (𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)))
37	28, 36	eqssd 3955	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)) → (𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) = (𝐴 ∨ℋ 𝐶))
38	8, 37	sylan 592	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)) → (𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) = (𝐴 ∨ℋ 𝐶))
39	38	breq2d 5123	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)) → (𝐴 ⋖ℋ (𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ↔ 𝐴 ⋖ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)))
40	39	adantrl 729	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ (¬ 𝐶 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶))) → (𝐴 ⋖ℋ (𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ↔ 𝐴 ⋖ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)))
41	5, 40	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ (¬ 𝐶 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶))) → 𝐴 ⋖ℋ (𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)))
42	41	ex 418	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → ((¬ 𝐶 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)) → 𝐴 ⋖ℋ (𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))))
43	30, 1	jctil 529	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → (𝐴 ∈ Cℋ ∧ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∈ Cℋ ))
44	6, 7, 43	syl2an 608	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (𝐴 ∈ Cℋ ∧ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∈ Cℋ ))
45		cvexch 32799	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∈ Cℋ ) → ((𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ⋖ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ↔ 𝐴 ⋖ℋ (𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))))
46	44, 45	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → ((𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ⋖ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ↔ 𝐴 ⋖ℋ (𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))))
47	42, 46	sylibrd 262	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → ((¬ 𝐶 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)) → (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ⋖ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)))
48	47	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ¬ 𝐵 = 𝐶) → ((¬ 𝐶 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)) → (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ⋖ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)))
49		chincl 31924	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∈ Cℋ ) → (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ∈ Cℋ )
50	1, 30, 49	sylancr 599	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ∈ Cℋ )
51	6, 7, 50	syl2an 608	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ∈ Cℋ )
52		simpl 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → 𝐵 ∈ HAtoms)
53		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → 𝐶 ∈ HAtoms)
54		atcvat2 32814	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → ((¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ⋖ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) → (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ∈ HAtoms))
55	51, 52, 53, 54	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → ((¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ⋖ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) → (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ∈ HAtoms))
56	55	expdimp 458	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ¬ 𝐵 = 𝐶) → ((𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ⋖ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) → (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ∈ HAtoms))
57	48, 56	syld 48	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ¬ 𝐵 = 𝐶) → ((¬ 𝐶 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)) → (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ∈ HAtoms))
58	57	exp4b 436	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (¬ 𝐵 = 𝐶 → (¬ 𝐶 ⊆ 𝐴 → (𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶) → (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ∈ HAtoms))))
59	58	imp4c 429	1 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (((¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ ¬ 𝐶 ⊆ 𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)) → (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ∈ HAtoms))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ∩ cin 3905   ⊆ wss 3906   class class class wbr 5111  (class class class)co 7419   C_ℋ cch 31354   ∨_ℋ chj 31358   ⋖_ℋ ccv 31389  HAtomscat 31390

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-inf2 9617  ax-cc 10434  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194  ax-pre-sup 11195  ax-addf 11196  ax-mulf 11197  ax-hilex 31424  ax-hfvadd 31425  ax-hvcom 31426  ax-hvass 31427  ax-hv0cl 31428  ax-hvaddid 31429  ax-hfvmul 31430  ax-hvmulid 31431  ax-hvmulass 31432  ax-hvdistr1 31433  ax-hvdistr2 31434  ax-hvmul0 31435  ax-hfi 31504  ax-his1 31507  ax-his2 31508  ax-his3 31509  ax-his4 31510  ax-hcompl 31627

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7684  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-supp 8163  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-oadd 8463  df-omul 8464  df-er 8700  df-map 8832  df-pm 8833  df-ixp 8902  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-fsupp 9329  df-fi 9378  df-sup 9409  df-inf 9410  df-oi 9479  df-card 9941  df-acn 9944  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-div 11889  df-nn 12251  df-2 12320  df-3 12321  df-4 12322  df-5 12323  df-6 12324  df-7 12325  df-8 12326  df-9 12327  df-n0 12522  df-z 12609  df-dec 12730  df-uz 12881  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-ioo 13394  df-ico 13396  df-icc 13397  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-fl 13845  df-seq 14058  df-exp 14118  df-hash 14387  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313  df-clim 15565  df-rlim 15566  df-sum 15764  df-struct 17231  df-sets 17248  df-slot 17266  df-ndx 17278  df-base 17294  df-ress 17315  df-plusg 17347  df-mulr 17348  df-starv 17349  df-sca 17350  df-vsca 17351  df-ip 17352  df-tset 17353  df-ple 17354  df-ds 17356  df-unif 17357  df-hom 17358  df-cco 17359  df-rest 17499  df-topn 17500  df-0g 17518  df-gsum 17519  df-topgen 17520  df-pt 17521  df-prds 17524  df-xrs 17580  df-qtop 17585  df-imas 17586  df-xps 17588  df-mre 17662  df-mrc 17663  df-acs 17665  df-mgm 18722  df-sgrp 18811  df-mnd 18827  df-submnd 18881  df-mulg 19180  df-cntz 19433  df-cmn 19898  df-psmet 21566  df-xmet 21567  df-met 21568  df-bl 21569  df-mopn 21570  df-fbas 21571  df-fg 21572  df-cnfld 21575  df-top 23103  df-topon 23120  df-topsp 23142  df-bases 23155  df-cld 23228  df-ntr 23229  df-cls 23230  df-nei 23307  df-cn 23436  df-cnp 23437  df-lm 23438  df-haus 23524  df-tx 23772  df-hmeo 23965  df-fil 24056  df-fm 24148  df-flim 24149  df-flf 24150  df-xms 24530  df-ms 24531  df-tms 24532  df-cfil 25467  df-cau 25468  df-cmet 25469  df-grpo 30918  df-gid 30919  df-ginv 30920  df-gdiv 30921  df-ablo 30970  df-vc 30984  df-nv 31017  df-va 31020  df-ba 31021  df-sm 31022  df-0v 31023  df-vs 31024  df-nmcv 31025  df-ims 31026  df-dip 31126  df-ssp 31147  df-ph 31238  df-cbn 31288  df-hnorm 31393  df-hba 31394  df-hvsub 31396  df-hlim 31397  df-hcau 31398  df-sh 31632  df-ch 31646  df-oc 31677  df-ch0 31678  df-shs 31733  df-span 31734  df-chj 31735  df-chsup 31736  df-pjh 31820  df-cv 32704  df-at 32763

This theorem is used by:  atcvat4i  32822