HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  atcvat3i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem atcvat3i 31380
Description: A condition implying that a certain lattice element is an atom. Part of Lemma 3.2.20 of [PtakPulmannova] p. 68. (Contributed by NM, 2-Jul-2004.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
atcvat3.1 𝐴C
Assertion
Ref Expression
atcvat3i ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (((¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ ¬ 𝐶𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶)) → (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ∈ HAtoms))

Proof of Theorem atcvat3i
StepHypRef Expression
1 atcvat3.1 . . . . . . . . . . 11 𝐴C
2 chcv1 31339 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴C𝐶 ∈ HAtoms) → (¬ 𝐶𝐴𝐴 (𝐴 𝐶)))
31, 2mpan 689 . . . . . . . . . 10 (𝐶 ∈ HAtoms → (¬ 𝐶𝐴𝐴 (𝐴 𝐶)))
43biimpa 478 . . . . . . . . 9 ((𝐶 ∈ HAtoms ∧ ¬ 𝐶𝐴) → 𝐴 (𝐴 𝐶))
54ad2ant2lr 747 . . . . . . . 8 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ (¬ 𝐶𝐴𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶))) → 𝐴 (𝐴 𝐶))
6 atelch 31328 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ∈ HAtoms → 𝐵C )
7 atelch 31328 . . . . . . . . . . . 12 (𝐶 ∈ HAtoms → 𝐶C )
86, 7anim12i 614 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (𝐵C𝐶C ))
9 chjcom 30490 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐵C𝐶C ) → (𝐵 𝐶) = (𝐶 𝐵))
109oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐵C𝐶C ) → (𝐴 (𝐵 𝐶)) = (𝐴 (𝐶 𝐵)))
11 chjass 30517 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴C𝐶C𝐵C ) → ((𝐴 𝐶) ∨ 𝐵) = (𝐴 (𝐶 𝐵)))
121, 11mp3an1 1449 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐶C𝐵C ) → ((𝐴 𝐶) ∨ 𝐵) = (𝐴 (𝐶 𝐵)))
1312ancoms 460 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐵C𝐶C ) → ((𝐴 𝐶) ∨ 𝐵) = (𝐴 (𝐶 𝐵)))
1410, 13eqtr4d 2780 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐵C𝐶C ) → (𝐴 (𝐵 𝐶)) = ((𝐴 𝐶) ∨ 𝐵))
1514adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐵C𝐶C ) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶)) → (𝐴 (𝐵 𝐶)) = ((𝐴 𝐶) ∨ 𝐵))
16 simpl 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐵C𝐶C ) → 𝐵C )
17 chjcl 30341 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴C𝐶C ) → (𝐴 𝐶) ∈ C )
181, 17mpan 689 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐶C → (𝐴 𝐶) ∈ C )
1918adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐵C𝐶C ) → (𝐴 𝐶) ∈ C )
20 chlej2 30495 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐵C ∧ (𝐴 𝐶) ∈ C ∧ (𝐴 𝐶) ∈ C ) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶)) → ((𝐴 𝐶) ∨ 𝐵) ⊆ ((𝐴 𝐶) ∨ (𝐴 𝐶)))
2120ex 414 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐵C ∧ (𝐴 𝐶) ∈ C ∧ (𝐴 𝐶) ∈ C ) → (𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶) → ((𝐴 𝐶) ∨ 𝐵) ⊆ ((𝐴 𝐶) ∨ (𝐴 𝐶))))
2216, 19, 19, 21syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐵C𝐶C ) → (𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶) → ((𝐴 𝐶) ∨ 𝐵) ⊆ ((𝐴 𝐶) ∨ (𝐴 𝐶))))
2322imp 408 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐵C𝐶C ) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶)) → ((𝐴 𝐶) ∨ 𝐵) ⊆ ((𝐴 𝐶) ∨ (𝐴 𝐶)))
2415, 23eqsstrd 3987 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵C𝐶C ) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶)) → (𝐴 (𝐵 𝐶)) ⊆ ((𝐴 𝐶) ∨ (𝐴 𝐶)))
25 chjidm 30504 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 𝐶) ∈ C → ((𝐴 𝐶) ∨ (𝐴 𝐶)) = (𝐴 𝐶))
2618, 25syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐶C → ((𝐴 𝐶) ∨ (𝐴 𝐶)) = (𝐴 𝐶))
2726ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵C𝐶C ) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶)) → ((𝐴 𝐶) ∨ (𝐴 𝐶)) = (𝐴 𝐶))
2824, 27sseqtrd 3989 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵C𝐶C ) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶)) → (𝐴 (𝐵 𝐶)) ⊆ (𝐴 𝐶))
29 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵C𝐶C ) → 𝐶C )
30 chjcl 30341 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵C𝐶C ) → (𝐵 𝐶) ∈ C )
31 chub2 30492 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐶C𝐵C ) → 𝐶 ⊆ (𝐵 𝐶))
3231ancoms 460 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵C𝐶C ) → 𝐶 ⊆ (𝐵 𝐶))
33 chlej2 30495 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐶C ∧ (𝐵 𝐶) ∈ C𝐴C ) ∧ 𝐶 ⊆ (𝐵 𝐶)) → (𝐴 𝐶) ⊆ (𝐴 (𝐵 𝐶)))
341, 33mp3anl3 1458 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐶C ∧ (𝐵 𝐶) ∈ C ) ∧ 𝐶 ⊆ (𝐵 𝐶)) → (𝐴 𝐶) ⊆ (𝐴 (𝐵 𝐶)))
3529, 30, 32, 34syl21anc 837 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵C𝐶C ) → (𝐴 𝐶) ⊆ (𝐴 (𝐵 𝐶)))
3635adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵C𝐶C ) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶)) → (𝐴 𝐶) ⊆ (𝐴 (𝐵 𝐶)))
3728, 36eqssd 3966 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵C𝐶C ) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶)) → (𝐴 (𝐵 𝐶)) = (𝐴 𝐶))
388, 37sylan 581 . . . . . . . . . 10 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶)) → (𝐴 (𝐵 𝐶)) = (𝐴 𝐶))
3938breq2d 5122 . . . . . . . . 9 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶)) → (𝐴 (𝐴 (𝐵 𝐶)) ↔ 𝐴 (𝐴 𝐶)))
4039adantrl 715 . . . . . . . 8 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ (¬ 𝐶𝐴𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶))) → (𝐴 (𝐴 (𝐵 𝐶)) ↔ 𝐴 (𝐴 𝐶)))
415, 40mpbird 257 . . . . . . 7 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ (¬ 𝐶𝐴𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶))) → 𝐴 (𝐴 (𝐵 𝐶)))
4241ex 414 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → ((¬ 𝐶𝐴𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶)) → 𝐴 (𝐴 (𝐵 𝐶))))
4330, 1jctil 521 . . . . . . . 8 ((𝐵C𝐶C ) → (𝐴C ∧ (𝐵 𝐶) ∈ C ))
446, 7, 43syl2an 597 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (𝐴C ∧ (𝐵 𝐶) ∈ C ))
45 cvexch 31358 . . . . . . 7 ((𝐴C ∧ (𝐵 𝐶) ∈ C ) → ((𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ⋖ (𝐵 𝐶) ↔ 𝐴 (𝐴 (𝐵 𝐶))))
4644, 45syl 17 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → ((𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ⋖ (𝐵 𝐶) ↔ 𝐴 (𝐴 (𝐵 𝐶))))
4742, 46sylibrd 259 . . . . 5 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → ((¬ 𝐶𝐴𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶)) → (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ⋖ (𝐵 𝐶)))
4847adantr 482 . . . 4 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ¬ 𝐵 = 𝐶) → ((¬ 𝐶𝐴𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶)) → (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ⋖ (𝐵 𝐶)))
49 chincl 30483 . . . . . . . 8 ((𝐴C ∧ (𝐵 𝐶) ∈ C ) → (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ∈ C )
501, 30, 49sylancr 588 . . . . . . 7 ((𝐵C𝐶C ) → (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ∈ C )
516, 7, 50syl2an 597 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ∈ C )
52 simpl 484 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → 𝐵 ∈ HAtoms)
53 simpr 486 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → 𝐶 ∈ HAtoms)
54 atcvat2 31373 . . . . . 6 (((𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ∈ C𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → ((¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ⋖ (𝐵 𝐶)) → (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ∈ HAtoms))
5551, 52, 53, 54syl3anc 1372 . . . . 5 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → ((¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ⋖ (𝐵 𝐶)) → (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ∈ HAtoms))
5655expdimp 454 . . . 4 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ¬ 𝐵 = 𝐶) → ((𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ⋖ (𝐵 𝐶) → (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ∈ HAtoms))
5748, 56syld 47 . . 3 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ¬ 𝐵 = 𝐶) → ((¬ 𝐶𝐴𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶)) → (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ∈ HAtoms))
5857exp4b 432 . 2 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (¬ 𝐵 = 𝐶 → (¬ 𝐶𝐴 → (𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶) → (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ∈ HAtoms))))
5958imp4c 425 1 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (((¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ ¬ 𝐶𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶)) → (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ∈ HAtoms))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  cin 3914  wss 3915   class class class wbr 5110  (class class class)co 7362   C cch 29913   chj 29917   ccv 29948  HAtomscat 29949
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cc 10378  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137  ax-mulf 11138  ax-hilex 29983  ax-hfvadd 29984  ax-hvcom 29985  ax-hvass 29986  ax-hv0cl 29987  ax-hvaddid 29988  ax-hfvmul 29989  ax-hvmulid 29990  ax-hvmulass 29991  ax-hvdistr1 29992  ax-hvdistr2 29993  ax-hvmul0 29994  ax-hfi 30063  ax-his1 30066  ax-his2 30067  ax-his3 30068  ax-his4 30069  ax-hcompl 30186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-oadd 8421  df-omul 8422  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-card 9882  df-acn 9885  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ioo 13275  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-sum 15578  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-hom 17164  df-cco 17165  df-rest 17311  df-topn 17312  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-topgen 17332  df-pt 17333  df-prds 17336  df-xrs 17391  df-qtop 17396  df-imas 17397  df-xps 17399  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-submnd 18609  df-mulg 18880  df-cntz 19104  df-cmn 19571  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-lm 22596  df-haus 22682  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cfil 24635  df-cau 24636  df-cmet 24637  df-grpo 29477  df-gid 29478  df-ginv 29479  df-gdiv 29480  df-ablo 29529  df-vc 29543  df-nv 29576  df-va 29579  df-ba 29580  df-sm 29581  df-0v 29582  df-vs 29583  df-nmcv 29584  df-ims 29585  df-dip 29685  df-ssp 29706  df-ph 29797  df-cbn 29847  df-hnorm 29952  df-hba 29953  df-hvsub 29955  df-hlim 29956  df-hcau 29957  df-sh 30191  df-ch 30205  df-oc 30236  df-ch0 30237  df-shs 30292  df-span 30293  df-chj 30294  df-chsup 30295  df-pjh 30379  df-cv 31263  df-at 31322
This theorem is referenced by:  atcvat4i  31381
  Copyright terms: Public domain W3C validator