HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  dmdbr5ati Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dmdbr5ati 31072
Description: Dual modular pair property in terms of atoms. (Contributed by NM, 14-Jan-2005.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
sumdmdi.1 𝐴C
sumdmdi.2 𝐵C
Assertion
Ref Expression
dmdbr5ati (𝐴 𝑀* 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵) → 𝑥 ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem dmdbr5ati
StepHypRef Expression
1 sumdmdi.1 . . . . . . 7 𝐴C
2 sumdmdi.2 . . . . . . 7 𝐵C
3 dmdi4 30957 . . . . . . 7 ((𝐴C𝐵C𝑥C ) → (𝐴 𝑀* 𝐵 → ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵)))
41, 2, 3mp3an12 1450 . . . . . 6 (𝑥C → (𝐴 𝑀* 𝐵 → ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵)))
5 atelch 30994 . . . . . 6 (𝑥 ∈ HAtoms → 𝑥C )
64, 5syl11 33 . . . . 5 (𝐴 𝑀* 𝐵 → (𝑥 ∈ HAtoms → ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵)))
76a1dd 50 . . . 4 (𝐴 𝑀* 𝐵 → (𝑥 ∈ HAtoms → (𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵) → ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵))))
87ralrimiv 3138 . . 3 (𝐴 𝑀* 𝐵 → ∀𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵) → ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵)))
9 chjcom 30156 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐵C𝑥C ) → (𝐵 𝑥) = (𝑥 𝐵))
102, 5, 9sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ HAtoms → (𝐵 𝑥) = (𝑥 𝐵))
1110ineq1d 4158 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ HAtoms → ((𝐵 𝑥) ∩ (𝐵 𝐴)) = ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐵 𝐴)))
121, 2chjcomi 30118 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 𝐵) = (𝐵 𝐴)
1312ineq2i 4156 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) = ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐵 𝐴))
1411, 13eqtr4di 2794 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ HAtoms → ((𝐵 𝑥) ∩ (𝐵 𝐴)) = ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)))
1514adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ HAtoms ∧ ¬ 𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)) → ((𝐵 𝑥) ∩ (𝐵 𝐴)) = ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)))
1612sseq2i 3961 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵) ↔ 𝑥 ⊆ (𝐵 𝐴))
1716notbii 319 . . . . . . . . . . . 12 𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵) ↔ ¬ 𝑥 ⊆ (𝐵 𝐴))
182, 1atabs2i 31052 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ HAtoms → (¬ 𝑥 ⊆ (𝐵 𝐴) → ((𝐵 𝑥) ∩ (𝐵 𝐴)) = 𝐵))
1918imp 407 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ HAtoms ∧ ¬ 𝑥 ⊆ (𝐵 𝐴)) → ((𝐵 𝑥) ∩ (𝐵 𝐴)) = 𝐵)
2017, 19sylan2b 594 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ HAtoms ∧ ¬ 𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)) → ((𝐵 𝑥) ∩ (𝐵 𝐴)) = 𝐵)
2115, 20eqtr3d 2778 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ HAtoms ∧ ¬ 𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)) → ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) = 𝐵)
22 chjcl 30007 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥C𝐵C ) → (𝑥 𝐵) ∈ C )
235, 2, 22sylancl 586 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ HAtoms → (𝑥 𝐵) ∈ C )
24 chincl 30149 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 𝐵) ∈ C𝐴C ) → ((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∈ C )
2523, 1, 24sylancl 586 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ HAtoms → ((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∈ C )
26 chub2 30158 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵C ∧ ((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∈ C ) → 𝐵 ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵))
272, 25, 26sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ HAtoms → 𝐵 ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵))
2827adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ HAtoms ∧ ¬ 𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)) → 𝐵 ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵))
2921, 28eqsstrd 3970 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ HAtoms ∧ ¬ 𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)) → ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵))
3029ex 413 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ HAtoms → (¬ 𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵) → ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵)))
3130biantrud 532 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ HAtoms → ((𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵) → ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵)) ↔ ((𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵) → ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵)) ∧ (¬ 𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵) → ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵)))))
32 pm4.83 1022 . . . . . . 7 (((𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵) → ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵)) ∧ (¬ 𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵) → ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵))) ↔ ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵))
3331, 32bitrdi 286 . . . . . 6 (𝑥 ∈ HAtoms → ((𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵) → ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵)) ↔ ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵)))
3433ralbiia 3090 . . . . 5 (∀𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵) → ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵)) ↔ ∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵))
351, 2sumdmdlem2 31069 . . . . 5 (∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐴 𝐵))
3634, 35sylbi 216 . . . 4 (∀𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵) → ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵)) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐴 𝐵))
371, 2sumdmdi 31070 . . . 4 ((𝐴 + 𝐵) = (𝐴 𝐵) ↔ 𝐴 𝑀* 𝐵)
3836, 37sylib 217 . . 3 (∀𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵) → ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵)) → 𝐴 𝑀* 𝐵)
398, 38impbii 208 . 2 (𝐴 𝑀* 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵) → ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵)))
402, 1chub2i 30120 . . . . . . . . . . . . 13 𝐵 ⊆ (𝐴 𝐵)
4140biantru 530 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵) ↔ (𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 𝐵)))
421, 2chjcli 30107 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 𝐵) ∈ C
43 chlub 30159 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥C𝐵C ∧ (𝐴 𝐵) ∈ C ) → ((𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 𝐵)) ↔ (𝑥 𝐵) ⊆ (𝐴 𝐵)))
442, 42, 43mp3an23 1452 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥C → ((𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 𝐵)) ↔ (𝑥 𝐵) ⊆ (𝐴 𝐵)))
4541, 44bitrid 282 . . . . . . . . . . 11 (𝑥C → (𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵) ↔ (𝑥 𝐵) ⊆ (𝐴 𝐵)))
46 ssid 3954 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 𝐵) ⊆ (𝑥 𝐵)
4746biantrur 531 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 𝐵) ⊆ (𝐴 𝐵) ↔ ((𝑥 𝐵) ⊆ (𝑥 𝐵) ∧ (𝑥 𝐵) ⊆ (𝐴 𝐵)))
48 ssin 4177 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 𝐵) ⊆ (𝑥 𝐵) ∧ (𝑥 𝐵) ⊆ (𝐴 𝐵)) ↔ (𝑥 𝐵) ⊆ ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)))
4947, 48bitri 274 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 𝐵) ⊆ (𝐴 𝐵) ↔ (𝑥 𝐵) ⊆ ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)))
5045, 49bitrdi 286 . . . . . . . . . 10 (𝑥C → (𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵) ↔ (𝑥 𝐵) ⊆ ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵))))
5150biimpa 477 . . . . . . . . 9 ((𝑥C𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)) → (𝑥 𝐵) ⊆ ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)))
52 inss1 4175 . . . . . . . . 9 ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (𝑥 𝐵)
5351, 52jctil 520 . . . . . . . 8 ((𝑥C𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)) → (((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (𝑥 𝐵) ∧ (𝑥 𝐵) ⊆ ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵))))
54 eqss 3947 . . . . . . . 8 (((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) = (𝑥 𝐵) ↔ (((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (𝑥 𝐵) ∧ (𝑥 𝐵) ⊆ ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵))))
5553, 54sylibr 233 . . . . . . 7 ((𝑥C𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)) → ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) = (𝑥 𝐵))
5655sseq1d 3963 . . . . . 6 ((𝑥C𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)) → (((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) ↔ (𝑥 𝐵) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵)))
572, 22mpan2 688 . . . . . . . . . . 11 (𝑥C → (𝑥 𝐵) ∈ C )
5857, 1, 24sylancl 586 . . . . . . . . . 10 (𝑥C → ((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∈ C )
592, 58, 26sylancr 587 . . . . . . . . 9 (𝑥C𝐵 ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵))
6059biantrud 532 . . . . . . . 8 (𝑥C → (𝑥 ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) ↔ (𝑥 ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) ∧ 𝐵 ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵))))
61 chjcl 30007 . . . . . . . . . 10 ((((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∈ C𝐵C ) → (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) ∈ C )
6258, 2, 61sylancl 586 . . . . . . . . 9 (𝑥C → (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) ∈ C )
63 chlub 30159 . . . . . . . . . 10 ((𝑥C𝐵C ∧ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) ∈ C ) → ((𝑥 ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) ∧ 𝐵 ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵)) ↔ (𝑥 𝐵) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵)))
642, 63mp3an2 1448 . . . . . . . . 9 ((𝑥C ∧ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) ∈ C ) → ((𝑥 ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) ∧ 𝐵 ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵)) ↔ (𝑥 𝐵) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵)))
6562, 64mpdan 684 . . . . . . . 8 (𝑥C → ((𝑥 ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) ∧ 𝐵 ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵)) ↔ (𝑥 𝐵) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵)))
6660, 65bitrd 278 . . . . . . 7 (𝑥C → (𝑥 ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) ↔ (𝑥 𝐵) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵)))
6766adantr 481 . . . . . 6 ((𝑥C𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)) → (𝑥 ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) ↔ (𝑥 𝐵) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵)))
6856, 67bitr4d 281 . . . . 5 ((𝑥C𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)) → (((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) ↔ 𝑥 ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵)))
6968pm5.74da 801 . . . 4 (𝑥C → ((𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵) → ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵)) ↔ (𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵) → 𝑥 ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵))))
705, 69syl 17 . . 3 (𝑥 ∈ HAtoms → ((𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵) → ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵)) ↔ (𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵) → 𝑥 ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵))))
7170ralbiia 3090 . 2 (∀𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵) → ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵)) ↔ ∀𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵) → 𝑥 ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵)))
7239, 71bitri 274 1 (𝐴 𝑀* 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵) → 𝑥 ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1540  wcel 2105  wral 3061  cin 3897  wss 3898   class class class wbr 5092  (class class class)co 7337   C cch 29579   + cph 29581   chj 29583  HAtomscat 29615   𝑀* cdmd 29617
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5229  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-inf2 9498  ax-cc 10292  ax-cnex 11028  ax-resscn 11029  ax-1cn 11030  ax-icn 11031  ax-addcl 11032  ax-addrcl 11033  ax-mulcl 11034  ax-mulrcl 11035  ax-mulcom 11036  ax-addass 11037  ax-mulass 11038  ax-distr 11039  ax-i2m1 11040  ax-1ne0 11041  ax-1rid 11042  ax-rnegex 11043  ax-rrecex 11044  ax-cnre 11045  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047  ax-pre-ltadd 11048  ax-pre-mulgt0 11049  ax-pre-sup 11050  ax-addf 11051  ax-mulf 11052  ax-hilex 29649  ax-hfvadd 29650  ax-hvcom 29651  ax-hvass 29652  ax-hv0cl 29653  ax-hvaddid 29654  ax-hfvmul 29655  ax-hvmulid 29656  ax-hvmulass 29657  ax-hvdistr1 29658  ax-hvdistr2 29659  ax-hvmul0 29660  ax-hfi 29729  ax-his1 29732  ax-his2 29733  ax-his3 29734  ax-his4 29735  ax-hcompl 29852
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4853  df-int 4895  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6238  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-isom 6488  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-of 7595  df-om 7781  df-1st 7899  df-2nd 7900  df-supp 8048  df-frecs 8167  df-wrecs 8198  df-recs 8272  df-rdg 8311  df-1o 8367  df-2o 8368  df-oadd 8371  df-omul 8372  df-er 8569  df-map 8688  df-pm 8689  df-ixp 8757  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-fin 8808  df-fsupp 9227  df-fi 9268  df-sup 9299  df-inf 9300  df-oi 9367  df-card 9796  df-acn 9799  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-xr 11114  df-ltxr 11115  df-le 11116  df-sub 11308  df-neg 11309  df-div 11734  df-nn 12075  df-2 12137  df-3 12138  df-4 12139  df-5 12140  df-6 12141  df-7 12142  df-8 12143  df-9 12144  df-n0 12335  df-z 12421  df-dec 12539  df-uz 12684  df-q 12790  df-rp 12832  df-xneg 12949  df-xadd 12950  df-xmul 12951  df-ioo 13184  df-ico 13186  df-icc 13187  df-fz 13341  df-fzo 13484  df-fl 13613  df-seq 13823  df-exp 13884  df-hash 14146  df-cj 14909  df-re 14910  df-im 14911  df-sqrt 15045  df-abs 15046  df-clim 15296  df-rlim 15297  df-sum 15497  df-struct 16945  df-sets 16962  df-slot 16980  df-ndx 16992  df-base 17010  df-ress 17039  df-plusg 17072  df-mulr 17073  df-starv 17074  df-sca 17075  df-vsca 17076  df-ip 17077  df-tset 17078  df-ple 17079  df-ds 17081  df-unif 17082  df-hom 17083  df-cco 17084  df-rest 17230  df-topn 17231  df-0g 17249  df-gsum 17250  df-topgen 17251  df-pt 17252  df-prds 17255  df-xrs 17310  df-qtop 17315  df-imas 17316  df-xps 17318  df-mre 17392  df-mrc 17393  df-acs 17395  df-mgm 18423  df-sgrp 18472  df-mnd 18483  df-submnd 18528  df-mulg 18797  df-cntz 19019  df-cmn 19483  df-psmet 20695  df-xmet 20696  df-met 20697  df-bl 20698  df-mopn 20699  df-fbas 20700  df-fg 20701  df-cnfld 20704  df-top 22149  df-topon 22166  df-topsp 22188  df-bases 22202  df-cld 22276  df-ntr 22277  df-cls 22278  df-nei 22355  df-cn 22484  df-cnp 22485  df-lm 22486  df-haus 22572  df-tx 22819  df-hmeo 23012  df-fil 23103  df-fm 23195  df-flim 23196  df-flf 23197  df-xms 23579  df-ms 23580  df-tms 23581  df-cfil 24525  df-cau 24526  df-cmet 24527  df-grpo 29143  df-gid 29144  df-ginv 29145  df-gdiv 29146  df-ablo 29195  df-vc 29209  df-nv 29242  df-va 29245  df-ba 29246  df-sm 29247  df-0v 29248  df-vs 29249  df-nmcv 29250  df-ims 29251  df-dip 29351  df-ssp 29372  df-ph 29463  df-cbn 29513  df-hnorm 29618  df-hba 29619  df-hvsub 29621  df-hlim 29622  df-hcau 29623  df-sh 29857  df-ch 29871  df-oc 29902  df-ch0 29903  df-shs 29958  df-span 29959  df-chj 29960  df-chsup 29961  df-pjh 30045  df-cv 30929  df-md 30930  df-dmd 30931  df-at 30988
This theorem is referenced by:  dmdbr6ati  31073  dmdbr7ati  31074
  Copyright terms: Public domain W3C validator