HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  dmdbr5ati Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dmdbr5ati 31942
Description: Dual modular pair property in terms of atoms. (Contributed by NM, 14-Jan-2005.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
sumdmdi.1 𝐴C
sumdmdi.2 𝐵C
Assertion
Ref Expression
dmdbr5ati (𝐴 𝑀* 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵) → 𝑥 ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem dmdbr5ati
StepHypRef Expression
1 sumdmdi.1 . . . . . . 7 𝐴C
2 sumdmdi.2 . . . . . . 7 𝐵C
3 dmdi4 31827 . . . . . . 7 ((𝐴C𝐵C𝑥C ) → (𝐴 𝑀* 𝐵 → ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵)))
41, 2, 3mp3an12 1449 . . . . . 6 (𝑥C → (𝐴 𝑀* 𝐵 → ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵)))
5 atelch 31864 . . . . . 6 (𝑥 ∈ HAtoms → 𝑥C )
64, 5syl11 33 . . . . 5 (𝐴 𝑀* 𝐵 → (𝑥 ∈ HAtoms → ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵)))
76a1dd 50 . . . 4 (𝐴 𝑀* 𝐵 → (𝑥 ∈ HAtoms → (𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵) → ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵))))
87ralrimiv 3143 . . 3 (𝐴 𝑀* 𝐵 → ∀𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵) → ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵)))
9 chjcom 31026 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐵C𝑥C ) → (𝐵 𝑥) = (𝑥 𝐵))
102, 5, 9sylancr 585 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ HAtoms → (𝐵 𝑥) = (𝑥 𝐵))
1110ineq1d 4210 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ HAtoms → ((𝐵 𝑥) ∩ (𝐵 𝐴)) = ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐵 𝐴)))
121, 2chjcomi 30988 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 𝐵) = (𝐵 𝐴)
1312ineq2i 4208 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) = ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐵 𝐴))
1411, 13eqtr4di 2788 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ HAtoms → ((𝐵 𝑥) ∩ (𝐵 𝐴)) = ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)))
1514adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ HAtoms ∧ ¬ 𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)) → ((𝐵 𝑥) ∩ (𝐵 𝐴)) = ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)))
1612sseq2i 4010 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵) ↔ 𝑥 ⊆ (𝐵 𝐴))
1716notbii 319 . . . . . . . . . . . 12 𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵) ↔ ¬ 𝑥 ⊆ (𝐵 𝐴))
182, 1atabs2i 31922 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ HAtoms → (¬ 𝑥 ⊆ (𝐵 𝐴) → ((𝐵 𝑥) ∩ (𝐵 𝐴)) = 𝐵))
1918imp 405 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ HAtoms ∧ ¬ 𝑥 ⊆ (𝐵 𝐴)) → ((𝐵 𝑥) ∩ (𝐵 𝐴)) = 𝐵)
2017, 19sylan2b 592 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ HAtoms ∧ ¬ 𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)) → ((𝐵 𝑥) ∩ (𝐵 𝐴)) = 𝐵)
2115, 20eqtr3d 2772 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ HAtoms ∧ ¬ 𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)) → ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) = 𝐵)
22 chjcl 30877 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥C𝐵C ) → (𝑥 𝐵) ∈ C )
235, 2, 22sylancl 584 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ HAtoms → (𝑥 𝐵) ∈ C )
24 chincl 31019 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 𝐵) ∈ C𝐴C ) → ((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∈ C )
2523, 1, 24sylancl 584 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ HAtoms → ((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∈ C )
26 chub2 31028 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵C ∧ ((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∈ C ) → 𝐵 ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵))
272, 25, 26sylancr 585 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ HAtoms → 𝐵 ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵))
2827adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ HAtoms ∧ ¬ 𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)) → 𝐵 ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵))
2921, 28eqsstrd 4019 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ HAtoms ∧ ¬ 𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)) → ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵))
3029ex 411 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ HAtoms → (¬ 𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵) → ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵)))
3130biantrud 530 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ HAtoms → ((𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵) → ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵)) ↔ ((𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵) → ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵)) ∧ (¬ 𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵) → ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵)))))
32 pm4.83 1021 . . . . . . 7 (((𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵) → ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵)) ∧ (¬ 𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵) → ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵))) ↔ ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵))
3331, 32bitrdi 286 . . . . . 6 (𝑥 ∈ HAtoms → ((𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵) → ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵)) ↔ ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵)))
3433ralbiia 3089 . . . . 5 (∀𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵) → ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵)) ↔ ∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵))
351, 2sumdmdlem2 31939 . . . . 5 (∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐴 𝐵))
3634, 35sylbi 216 . . . 4 (∀𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵) → ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵)) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐴 𝐵))
371, 2sumdmdi 31940 . . . 4 ((𝐴 + 𝐵) = (𝐴 𝐵) ↔ 𝐴 𝑀* 𝐵)
3836, 37sylib 217 . . 3 (∀𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵) → ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵)) → 𝐴 𝑀* 𝐵)
398, 38impbii 208 . 2 (𝐴 𝑀* 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵) → ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵)))
402, 1chub2i 30990 . . . . . . . . . . . . 13 𝐵 ⊆ (𝐴 𝐵)
4140biantru 528 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵) ↔ (𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 𝐵)))
421, 2chjcli 30977 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 𝐵) ∈ C
43 chlub 31029 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥C𝐵C ∧ (𝐴 𝐵) ∈ C ) → ((𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 𝐵)) ↔ (𝑥 𝐵) ⊆ (𝐴 𝐵)))
442, 42, 43mp3an23 1451 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥C → ((𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 𝐵)) ↔ (𝑥 𝐵) ⊆ (𝐴 𝐵)))
4541, 44bitrid 282 . . . . . . . . . . 11 (𝑥C → (𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵) ↔ (𝑥 𝐵) ⊆ (𝐴 𝐵)))
46 ssid 4003 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 𝐵) ⊆ (𝑥 𝐵)
4746biantrur 529 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 𝐵) ⊆ (𝐴 𝐵) ↔ ((𝑥 𝐵) ⊆ (𝑥 𝐵) ∧ (𝑥 𝐵) ⊆ (𝐴 𝐵)))
48 ssin 4229 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 𝐵) ⊆ (𝑥 𝐵) ∧ (𝑥 𝐵) ⊆ (𝐴 𝐵)) ↔ (𝑥 𝐵) ⊆ ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)))
4947, 48bitri 274 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 𝐵) ⊆ (𝐴 𝐵) ↔ (𝑥 𝐵) ⊆ ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)))
5045, 49bitrdi 286 . . . . . . . . . 10 (𝑥C → (𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵) ↔ (𝑥 𝐵) ⊆ ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵))))
5150biimpa 475 . . . . . . . . 9 ((𝑥C𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)) → (𝑥 𝐵) ⊆ ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)))
52 inss1 4227 . . . . . . . . 9 ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (𝑥 𝐵)
5351, 52jctil 518 . . . . . . . 8 ((𝑥C𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)) → (((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (𝑥 𝐵) ∧ (𝑥 𝐵) ⊆ ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵))))
54 eqss 3996 . . . . . . . 8 (((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) = (𝑥 𝐵) ↔ (((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (𝑥 𝐵) ∧ (𝑥 𝐵) ⊆ ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵))))
5553, 54sylibr 233 . . . . . . 7 ((𝑥C𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)) → ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) = (𝑥 𝐵))
5655sseq1d 4012 . . . . . 6 ((𝑥C𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)) → (((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) ↔ (𝑥 𝐵) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵)))
572, 22mpan2 687 . . . . . . . . . . 11 (𝑥C → (𝑥 𝐵) ∈ C )
5857, 1, 24sylancl 584 . . . . . . . . . 10 (𝑥C → ((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∈ C )
592, 58, 26sylancr 585 . . . . . . . . 9 (𝑥C𝐵 ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵))
6059biantrud 530 . . . . . . . 8 (𝑥C → (𝑥 ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) ↔ (𝑥 ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) ∧ 𝐵 ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵))))
61 chjcl 30877 . . . . . . . . . 10 ((((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∈ C𝐵C ) → (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) ∈ C )
6258, 2, 61sylancl 584 . . . . . . . . 9 (𝑥C → (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) ∈ C )
63 chlub 31029 . . . . . . . . . 10 ((𝑥C𝐵C ∧ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) ∈ C ) → ((𝑥 ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) ∧ 𝐵 ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵)) ↔ (𝑥 𝐵) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵)))
642, 63mp3an2 1447 . . . . . . . . 9 ((𝑥C ∧ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) ∈ C ) → ((𝑥 ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) ∧ 𝐵 ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵)) ↔ (𝑥 𝐵) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵)))
6562, 64mpdan 683 . . . . . . . 8 (𝑥C → ((𝑥 ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) ∧ 𝐵 ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵)) ↔ (𝑥 𝐵) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵)))
6660, 65bitrd 278 . . . . . . 7 (𝑥C → (𝑥 ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) ↔ (𝑥 𝐵) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵)))
6766adantr 479 . . . . . 6 ((𝑥C𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)) → (𝑥 ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) ↔ (𝑥 𝐵) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵)))
6856, 67bitr4d 281 . . . . 5 ((𝑥C𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)) → (((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) ↔ 𝑥 ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵)))
6968pm5.74da 800 . . . 4 (𝑥C → ((𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵) → ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵)) ↔ (𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵) → 𝑥 ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵))))
705, 69syl 17 . . 3 (𝑥 ∈ HAtoms → ((𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵) → ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵)) ↔ (𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵) → 𝑥 ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵))))
7170ralbiia 3089 . 2 (∀𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵) → ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵)) ↔ ∀𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵) → 𝑥 ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵)))
7239, 71bitri 274 1 (𝐴 𝑀* 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵) → 𝑥 ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1539  wcel 2104  wral 3059  cin 3946  wss 3947   class class class wbr 5147  (class class class)co 7411   C cch 30449   + cph 30451   chj 30453  HAtomscat 30485   𝑀* cdmd 30487
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cc 10432  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192  ax-hilex 30519  ax-hfvadd 30520  ax-hvcom 30521  ax-hvass 30522  ax-hv0cl 30523  ax-hvaddid 30524  ax-hfvmul 30525  ax-hvmulid 30526  ax-hvmulass 30527  ax-hvdistr1 30528  ax-hvdistr2 30529  ax-hvmul0 30530  ax-hfi 30599  ax-his1 30602  ax-his2 30603  ax-his3 30604  ax-his4 30605  ax-hcompl 30722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-omul 8473  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-acn 9939  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ioo 13332  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-rest 17372  df-topn 17373  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-topgen 17393  df-pt 17394  df-prds 17397  df-xrs 17452  df-qtop 17457  df-imas 17458  df-xps 17460  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-mulg 18987  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-fbas 21141  df-fg 21142  df-cnfld 21145  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-cld 22743  df-ntr 22744  df-cls 22745  df-nei 22822  df-cn 22951  df-cnp 22952  df-lm 22953  df-haus 23039  df-tx 23286  df-hmeo 23479  df-fil 23570  df-fm 23662  df-flim 23663  df-flf 23664  df-xms 24046  df-ms 24047  df-tms 24048  df-cfil 25003  df-cau 25004  df-cmet 25005  df-grpo 30013  df-gid 30014  df-ginv 30015  df-gdiv 30016  df-ablo 30065  df-vc 30079  df-nv 30112  df-va 30115  df-ba 30116  df-sm 30117  df-0v 30118  df-vs 30119  df-nmcv 30120  df-ims 30121  df-dip 30221  df-ssp 30242  df-ph 30333  df-cbn 30383  df-hnorm 30488  df-hba 30489  df-hvsub 30491  df-hlim 30492  df-hcau 30493  df-sh 30727  df-ch 30741  df-oc 30772  df-ch0 30773  df-shs 30828  df-span 30829  df-chj 30830  df-chsup 30831  df-pjh 30915  df-cv 31799  df-md 31800  df-dmd 31801  df-at 31858
This theorem is referenced by:  dmdbr6ati  31943  dmdbr7ati  31944
  Copyright terms: Public domain W3C validator