HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  mddmd2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mddmd2 31540
Description: Relationship between modular pairs and dual-modular pairs. Lemma 1.2 of [MaedaMaeda] p. 1. (Contributed by NM, 21-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
mddmd2 (𝐴C → (∀𝑥C 𝐴 𝑀 𝑥 ↔ ∀𝑥C 𝐴 𝑀* 𝑥))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem mddmd2
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 5151 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 𝑀 𝑥𝐴 𝑀 𝑦))
21cbvralvw 3235 . . . 4 (∀𝑥C 𝐴 𝑀 𝑥 ↔ ∀𝑦C 𝐴 𝑀 𝑦)
3 mdbr 31525 . . . . . 6 ((𝐴C𝑦C ) → (𝐴 𝑀 𝑦 ↔ ∀𝑥C (𝑥𝑦 → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝑦) = (𝑥 (𝐴𝑦)))))
4 chjcom 30737 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴C𝑥C ) → (𝐴 𝑥) = (𝑥 𝐴))
54ineq1d 4210 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴C𝑥C ) → ((𝐴 𝑥) ∩ 𝑦) = ((𝑥 𝐴) ∩ 𝑦))
6 incom 4200 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 𝑥) ∩ 𝑦) = (𝑦 ∩ (𝐴 𝑥))
75, 6eqtr3di 2788 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴C𝑥C ) → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝑦) = (𝑦 ∩ (𝐴 𝑥)))
87adantlr 714 . . . . . . . . . 10 (((𝐴C𝑦C ) ∧ 𝑥C ) → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝑦) = (𝑦 ∩ (𝐴 𝑥)))
9 chincl 30730 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴C𝑦C ) → (𝐴𝑦) ∈ C )
10 chjcom 30737 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴𝑦) ∈ C𝑥C ) → ((𝐴𝑦) ∨ 𝑥) = (𝑥 (𝐴𝑦)))
119, 10sylan 581 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴C𝑦C ) ∧ 𝑥C ) → ((𝐴𝑦) ∨ 𝑥) = (𝑥 (𝐴𝑦)))
12 incom 4200 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴𝑦) = (𝑦𝐴)
1312oveq1i 7414 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑦) ∨ 𝑥) = ((𝑦𝐴) ∨ 𝑥)
1411, 13eqtr3di 2788 . . . . . . . . . 10 (((𝐴C𝑦C ) ∧ 𝑥C ) → (𝑥 (𝐴𝑦)) = ((𝑦𝐴) ∨ 𝑥))
158, 14eqeq12d 2749 . . . . . . . . 9 (((𝐴C𝑦C ) ∧ 𝑥C ) → (((𝑥 𝐴) ∩ 𝑦) = (𝑥 (𝐴𝑦)) ↔ (𝑦 ∩ (𝐴 𝑥)) = ((𝑦𝐴) ∨ 𝑥)))
16 eqcom 2740 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∩ (𝐴 𝑥)) = ((𝑦𝐴) ∨ 𝑥) ↔ ((𝑦𝐴) ∨ 𝑥) = (𝑦 ∩ (𝐴 𝑥)))
1715, 16bitrdi 287 . . . . . . . 8 (((𝐴C𝑦C ) ∧ 𝑥C ) → (((𝑥 𝐴) ∩ 𝑦) = (𝑥 (𝐴𝑦)) ↔ ((𝑦𝐴) ∨ 𝑥) = (𝑦 ∩ (𝐴 𝑥))))
1817imbi2d 341 . . . . . . 7 (((𝐴C𝑦C ) ∧ 𝑥C ) → ((𝑥𝑦 → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝑦) = (𝑥 (𝐴𝑦))) ↔ (𝑥𝑦 → ((𝑦𝐴) ∨ 𝑥) = (𝑦 ∩ (𝐴 𝑥)))))
1918ralbidva 3176 . . . . . 6 ((𝐴C𝑦C ) → (∀𝑥C (𝑥𝑦 → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝑦) = (𝑥 (𝐴𝑦))) ↔ ∀𝑥C (𝑥𝑦 → ((𝑦𝐴) ∨ 𝑥) = (𝑦 ∩ (𝐴 𝑥)))))
203, 19bitrd 279 . . . . 5 ((𝐴C𝑦C ) → (𝐴 𝑀 𝑦 ↔ ∀𝑥C (𝑥𝑦 → ((𝑦𝐴) ∨ 𝑥) = (𝑦 ∩ (𝐴 𝑥)))))
2120ralbidva 3176 . . . 4 (𝐴C → (∀𝑦C 𝐴 𝑀 𝑦 ↔ ∀𝑦C𝑥C (𝑥𝑦 → ((𝑦𝐴) ∨ 𝑥) = (𝑦 ∩ (𝐴 𝑥)))))
222, 21bitrid 283 . . 3 (𝐴C → (∀𝑥C 𝐴 𝑀 𝑥 ↔ ∀𝑦C𝑥C (𝑥𝑦 → ((𝑦𝐴) ∨ 𝑥) = (𝑦 ∩ (𝐴 𝑥)))))
23 ralcom 3287 . . 3 (∀𝑦C𝑥C (𝑥𝑦 → ((𝑦𝐴) ∨ 𝑥) = (𝑦 ∩ (𝐴 𝑥))) ↔ ∀𝑥C𝑦C (𝑥𝑦 → ((𝑦𝐴) ∨ 𝑥) = (𝑦 ∩ (𝐴 𝑥))))
2422, 23bitrdi 287 . 2 (𝐴C → (∀𝑥C 𝐴 𝑀 𝑥 ↔ ∀𝑥C𝑦C (𝑥𝑦 → ((𝑦𝐴) ∨ 𝑥) = (𝑦 ∩ (𝐴 𝑥)))))
25 dmdbr 31530 . . 3 ((𝐴C𝑥C ) → (𝐴 𝑀* 𝑥 ↔ ∀𝑦C (𝑥𝑦 → ((𝑦𝐴) ∨ 𝑥) = (𝑦 ∩ (𝐴 𝑥)))))
2625ralbidva 3176 . 2 (𝐴C → (∀𝑥C 𝐴 𝑀* 𝑥 ↔ ∀𝑥C𝑦C (𝑥𝑦 → ((𝑦𝐴) ∨ 𝑥) = (𝑦 ∩ (𝐴 𝑥)))))
2724, 26bitr4d 282 1 (𝐴C → (∀𝑥C 𝐴 𝑀 𝑥 ↔ ∀𝑥C 𝐴 𝑀* 𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wral 3062  cin 3946  wss 3947   class class class wbr 5147  (class class class)co 7404   C cch 30160   chj 30164   𝑀 cmd 30197   𝑀* cdmd 30198
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-cnex 11162  ax-1cn 11164  ax-addcl 11166  ax-hilex 30230  ax-hfvadd 30231  ax-hv0cl 30234  ax-hfvmul 30236
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7851  df-2nd 7971  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-map 8818  df-nn 12209  df-hlim 30203  df-sh 30438  df-ch 30452  df-chj 30541  df-md 31511  df-dmd 31512
This theorem is referenced by:  atmd  31630
  Copyright terms: Public domain W3C validator