Theorem mddmd2 32661

Description: Relationship between modular pairs and dual-modular pairs. Lemma 1.2 of [MaedaMaeda] p. 1. (Contributed by NM, 21-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
mddmd2	⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → (∀𝑥 ∈ Cℋ 𝐴 𝑀ℋ 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ Cℋ 𝐴 𝑀ℋ* 𝑥))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem mddmd2

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 5113	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 𝑀ℋ 𝑥 ↔ 𝐴 𝑀ℋ 𝑦))
2	1	cbvralvw 3243	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ Cℋ 𝐴 𝑀ℋ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ Cℋ 𝐴 𝑀ℋ 𝑦)
3		mdbr 32646	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑦 ∈ Cℋ ) → (𝐴 𝑀ℋ 𝑦 ↔ ∀𝑥 ∈ Cℋ (𝑥 ⊆ 𝑦 → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝑦) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝑦)))))
4		chjcom 31858	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (𝐴 ∨ℋ 𝑥) = (𝑥 ∨ℋ 𝐴))
5	4	ineq1d 4172	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∩ 𝑦) = ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝑦))
6		incom 4162	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∩ 𝑦) = (𝑦 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝑥))
7	5, 6	eqtr3di 2813	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝑦) = (𝑦 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝑥)))
8	7	adantlr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑦 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝑦) = (𝑦 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝑥)))
9		chincl 31851	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑦 ∈ Cℋ ) → (𝐴 ∩ 𝑦) ∈ Cℋ )
10		chjcom 31858	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∩ 𝑦) ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → ((𝐴 ∩ 𝑦) ∨ℋ 𝑥) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝑦)))
11	9, 10	sylan 591	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑦 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → ((𝐴 ∩ 𝑦) ∨ℋ 𝑥) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝑦)))
12		incom 4162	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∩ 𝑦) = (𝑦 ∩ 𝐴)
13	12	oveq1i 7420	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝑦) ∨ℋ 𝑥) = ((𝑦 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝑥)
14	11, 13	eqtr3di 2813	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑦 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝑦)) = ((𝑦 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝑥))
15	8, 14	eqeq12d 2779	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑦 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝑦) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝑦)) ↔ (𝑦 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝑥)) = ((𝑦 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝑥)))
16		eqcom 2770	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝑥)) = ((𝑦 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝑥) ↔ ((𝑦 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝑥) = (𝑦 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝑥)))
17	15, 16	bitrdi 290	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑦 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝑦) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝑦)) ↔ ((𝑦 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝑥) = (𝑦 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝑥))))
18	17	imbi2d 343	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑦 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → ((𝑥 ⊆ 𝑦 → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝑦) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝑦))) ↔ (𝑥 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝑥) = (𝑦 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝑥)))))
19	18	ralbidva 3186	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑦 ∈ Cℋ ) → (∀𝑥 ∈ Cℋ (𝑥 ⊆ 𝑦 → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝑦) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝑦))) ↔ ∀𝑥 ∈ Cℋ (𝑥 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝑥) = (𝑦 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝑥)))))
20	3, 19	bitrd 282	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑦 ∈ Cℋ ) → (𝐴 𝑀ℋ 𝑦 ↔ ∀𝑥 ∈ Cℋ (𝑥 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝑥) = (𝑦 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝑥)))))
21	20	ralbidva 3186	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → (∀𝑦 ∈ Cℋ 𝐴 𝑀ℋ 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ Cℋ ∀𝑥 ∈ Cℋ (𝑥 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝑥) = (𝑦 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝑥)))))
22	2, 21	bitrid 286	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → (∀𝑥 ∈ Cℋ 𝐴 𝑀ℋ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ Cℋ ∀𝑥 ∈ Cℋ (𝑥 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝑥) = (𝑦 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝑥)))))
23		ralcom 3293	. . 3 ⊢ (∀𝑦 ∈ Cℋ ∀𝑥 ∈ Cℋ (𝑥 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝑥) = (𝑦 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝑥))) ↔ ∀𝑥 ∈ Cℋ ∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑥 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝑥) = (𝑦 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝑥))))
24	22, 23	bitrdi 290	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → (∀𝑥 ∈ Cℋ 𝐴 𝑀ℋ 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ Cℋ ∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑥 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝑥) = (𝑦 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝑥)))))
25		dmdbr 32651	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (𝐴 𝑀ℋ* 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑥 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝑥) = (𝑦 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝑥)))))
26	25	ralbidva 3186	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → (∀𝑥 ∈ Cℋ 𝐴 𝑀ℋ* 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ Cℋ ∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑥 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝑥) = (𝑦 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝑥)))))
27	24, 26	bitr4d 285	1 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → (∀𝑥 ∈ Cℋ 𝐴 𝑀ℋ 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ Cℋ 𝐴 𝑀ℋ* 𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079   ∩ cin 3904   ⊆ wss 3905   class class class wbr 5109  (class class class)co 7410   C_ℋ cch 31281   ∨_ℋ chj 31285   𝑀_ℋ cmd 31318   𝑀_ℋ^* cdmd 31319

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-1cn 11153  ax-addcl 11155  ax-hilex 31351  ax-hfvadd 31352  ax-hv0cl 31355  ax-hfvmul 31357

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-map 8822  df-nn 12229  df-hlim 31324  df-sh 31559  df-ch 31573  df-chj 31662  df-md 32632  df-dmd 32633

This theorem is referenced by:  atmd  32751