Theorem mddmd2 32293

Description: Relationship between modular pairs and dual-modular pairs. Lemma 1.2 of [MaedaMaeda] p. 1. (Contributed by NM, 21-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
mddmd2	⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → (∀𝑥 ∈ Cℋ 𝐴 𝑀ℋ 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ Cℋ 𝐴 𝑀ℋ* 𝑥))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem mddmd2

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 5099	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 𝑀ℋ 𝑥 ↔ 𝐴 𝑀ℋ 𝑦))
2	1	cbvralvw 3211	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ Cℋ 𝐴 𝑀ℋ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ Cℋ 𝐴 𝑀ℋ 𝑦)
3		mdbr 32278	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑦 ∈ Cℋ ) → (𝐴 𝑀ℋ 𝑦 ↔ ∀𝑥 ∈ Cℋ (𝑥 ⊆ 𝑦 → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝑦) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝑦)))))
4		chjcom 31490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (𝐴 ∨ℋ 𝑥) = (𝑥 ∨ℋ 𝐴))
5	4	ineq1d 4168	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∩ 𝑦) = ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝑦))
6		incom 4158	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∩ 𝑦) = (𝑦 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝑥))
7	5, 6	eqtr3di 2783	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝑦) = (𝑦 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝑥)))
8	7	adantlr 715	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑦 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝑦) = (𝑦 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝑥)))
9		chincl 31483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑦 ∈ Cℋ ) → (𝐴 ∩ 𝑦) ∈ Cℋ )
10		chjcom 31490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∩ 𝑦) ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → ((𝐴 ∩ 𝑦) ∨ℋ 𝑥) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝑦)))
11	9, 10	sylan 580	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑦 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → ((𝐴 ∩ 𝑦) ∨ℋ 𝑥) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝑦)))
12		incom 4158	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∩ 𝑦) = (𝑦 ∩ 𝐴)
13	12	oveq1i 7364	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝑦) ∨ℋ 𝑥) = ((𝑦 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝑥)
14	11, 13	eqtr3di 2783	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑦 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝑦)) = ((𝑦 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝑥))
15	8, 14	eqeq12d 2749	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑦 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝑦) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝑦)) ↔ (𝑦 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝑥)) = ((𝑦 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝑥)))
16		eqcom 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝑥)) = ((𝑦 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝑥) ↔ ((𝑦 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝑥) = (𝑦 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝑥)))
17	15, 16	bitrdi 287	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑦 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝑦) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝑦)) ↔ ((𝑦 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝑥) = (𝑦 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝑥))))
18	17	imbi2d 340	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑦 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → ((𝑥 ⊆ 𝑦 → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝑦) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝑦))) ↔ (𝑥 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝑥) = (𝑦 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝑥)))))
19	18	ralbidva 3154	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑦 ∈ Cℋ ) → (∀𝑥 ∈ Cℋ (𝑥 ⊆ 𝑦 → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝑦) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝑦))) ↔ ∀𝑥 ∈ Cℋ (𝑥 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝑥) = (𝑦 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝑥)))))
20	3, 19	bitrd 279	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑦 ∈ Cℋ ) → (𝐴 𝑀ℋ 𝑦 ↔ ∀𝑥 ∈ Cℋ (𝑥 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝑥) = (𝑦 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝑥)))))
21	20	ralbidva 3154	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → (∀𝑦 ∈ Cℋ 𝐴 𝑀ℋ 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ Cℋ ∀𝑥 ∈ Cℋ (𝑥 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝑥) = (𝑦 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝑥)))))
22	2, 21	bitrid 283	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → (∀𝑥 ∈ Cℋ 𝐴 𝑀ℋ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ Cℋ ∀𝑥 ∈ Cℋ (𝑥 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝑥) = (𝑦 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝑥)))))
23		ralcom 3261	. . 3 ⊢ (∀𝑦 ∈ Cℋ ∀𝑥 ∈ Cℋ (𝑥 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝑥) = (𝑦 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝑥))) ↔ ∀𝑥 ∈ Cℋ ∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑥 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝑥) = (𝑦 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝑥))))
24	22, 23	bitrdi 287	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → (∀𝑥 ∈ Cℋ 𝐴 𝑀ℋ 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ Cℋ ∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑥 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝑥) = (𝑦 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝑥)))))
25		dmdbr 32283	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (𝐴 𝑀ℋ* 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑥 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝑥) = (𝑦 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝑥)))))
26	25	ralbidva 3154	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → (∀𝑥 ∈ Cℋ 𝐴 𝑀ℋ* 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ Cℋ ∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑥 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝑥) = (𝑦 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝑥)))))
27	24, 26	bitr4d 282	1 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → (∀𝑥 ∈ Cℋ 𝐴 𝑀ℋ 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ Cℋ 𝐴 𝑀ℋ* 𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3048   ∩ cin 3897   ⊆ wss 3898   class class class wbr 5095  (class class class)co 7354   C_ℋ cch 30913   ∨_ℋ chj 30917   𝑀_ℋ cmd 30950   𝑀_ℋ^* cdmd 30951

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7676  ax-cnex 11071  ax-1cn 11073  ax-addcl 11075  ax-hilex 30983  ax-hfvadd 30984  ax-hv0cl 30987  ax-hfvmul 30989

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-om 7805  df-2nd 7930  df-frecs 8219  df-wrecs 8250  df-recs 8299  df-rdg 8337  df-map 8760  df-nn 12135  df-hlim 30956  df-sh 31191  df-ch 31205  df-chj 31294  df-md 32264  df-dmd 32265

This theorem is referenced by:  atmd  32383