Theorem mddmd2 32238

Description: Relationship between modular pairs and dual-modular pairs. Lemma 1.2 of [MaedaMaeda] p. 1. (Contributed by NM, 21-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
mddmd2	⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → (∀𝑥 ∈ Cℋ 𝐴 𝑀ℋ 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ Cℋ 𝐴 𝑀ℋ* 𝑥))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem mddmd2

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 5111	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 𝑀ℋ 𝑥 ↔ 𝐴 𝑀ℋ 𝑦))
2	1	cbvralvw 3215	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ Cℋ 𝐴 𝑀ℋ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ Cℋ 𝐴 𝑀ℋ 𝑦)
3		mdbr 32223	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑦 ∈ Cℋ ) → (𝐴 𝑀ℋ 𝑦 ↔ ∀𝑥 ∈ Cℋ (𝑥 ⊆ 𝑦 → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝑦) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝑦)))))
4		chjcom 31435	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (𝐴 ∨ℋ 𝑥) = (𝑥 ∨ℋ 𝐴))
5	4	ineq1d 4182	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∩ 𝑦) = ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝑦))
6		incom 4172	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∩ 𝑦) = (𝑦 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝑥))
7	5, 6	eqtr3di 2779	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝑦) = (𝑦 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝑥)))
8	7	adantlr 715	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑦 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝑦) = (𝑦 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝑥)))
9		chincl 31428	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑦 ∈ Cℋ ) → (𝐴 ∩ 𝑦) ∈ Cℋ )
10		chjcom 31435	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∩ 𝑦) ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → ((𝐴 ∩ 𝑦) ∨ℋ 𝑥) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝑦)))
11	9, 10	sylan 580	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑦 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → ((𝐴 ∩ 𝑦) ∨ℋ 𝑥) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝑦)))
12		incom 4172	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∩ 𝑦) = (𝑦 ∩ 𝐴)
13	12	oveq1i 7397	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝑦) ∨ℋ 𝑥) = ((𝑦 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝑥)
14	11, 13	eqtr3di 2779	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑦 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝑦)) = ((𝑦 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝑥))
15	8, 14	eqeq12d 2745	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑦 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝑦) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝑦)) ↔ (𝑦 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝑥)) = ((𝑦 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝑥)))
16		eqcom 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝑥)) = ((𝑦 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝑥) ↔ ((𝑦 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝑥) = (𝑦 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝑥)))
17	15, 16	bitrdi 287	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑦 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝑦) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝑦)) ↔ ((𝑦 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝑥) = (𝑦 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝑥))))
18	17	imbi2d 340	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑦 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → ((𝑥 ⊆ 𝑦 → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝑦) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝑦))) ↔ (𝑥 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝑥) = (𝑦 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝑥)))))
19	18	ralbidva 3154	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑦 ∈ Cℋ ) → (∀𝑥 ∈ Cℋ (𝑥 ⊆ 𝑦 → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝑦) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝑦))) ↔ ∀𝑥 ∈ Cℋ (𝑥 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝑥) = (𝑦 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝑥)))))
20	3, 19	bitrd 279	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑦 ∈ Cℋ ) → (𝐴 𝑀ℋ 𝑦 ↔ ∀𝑥 ∈ Cℋ (𝑥 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝑥) = (𝑦 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝑥)))))
21	20	ralbidva 3154	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → (∀𝑦 ∈ Cℋ 𝐴 𝑀ℋ 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ Cℋ ∀𝑥 ∈ Cℋ (𝑥 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝑥) = (𝑦 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝑥)))))
22	2, 21	bitrid 283	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → (∀𝑥 ∈ Cℋ 𝐴 𝑀ℋ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ Cℋ ∀𝑥 ∈ Cℋ (𝑥 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝑥) = (𝑦 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝑥)))))
23		ralcom 3265	. . 3 ⊢ (∀𝑦 ∈ Cℋ ∀𝑥 ∈ Cℋ (𝑥 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝑥) = (𝑦 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝑥))) ↔ ∀𝑥 ∈ Cℋ ∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑥 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝑥) = (𝑦 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝑥))))
24	22, 23	bitrdi 287	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → (∀𝑥 ∈ Cℋ 𝐴 𝑀ℋ 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ Cℋ ∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑥 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝑥) = (𝑦 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝑥)))))
25		dmdbr 32228	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (𝐴 𝑀ℋ* 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑥 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝑥) = (𝑦 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝑥)))))
26	25	ralbidva 3154	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → (∀𝑥 ∈ Cℋ 𝐴 𝑀ℋ* 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ Cℋ ∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑥 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝑥) = (𝑦 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝑥)))))
27	24, 26	bitr4d 282	1 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → (∀𝑥 ∈ Cℋ 𝐴 𝑀ℋ 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ Cℋ 𝐴 𝑀ℋ* 𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044   ∩ cin 3913   ⊆ wss 3914   class class class wbr 5107  (class class class)co 7387   C_ℋ cch 30858   ∨_ℋ chj 30862   𝑀_ℋ cmd 30895   𝑀_ℋ^* cdmd 30896

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-1cn 11126  ax-addcl 11128  ax-hilex 30928  ax-hfvadd 30929  ax-hv0cl 30932  ax-hfvmul 30934

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-map 8801  df-nn 12187  df-hlim 30901  df-sh 31136  df-ch 31150  df-chj 31239  df-md 32209  df-dmd 32210

This theorem is referenced by:  atmd  32328