Theorem mddmd2 32380

Description: Relationship between modular pairs and dual-modular pairs. Lemma 1.2 of [MaedaMaeda] p. 1. (Contributed by NM, 21-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
mddmd2	⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → (∀𝑥 ∈ Cℋ 𝐴 𝑀ℋ 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ Cℋ 𝐴 𝑀ℋ* 𝑥))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem mddmd2

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 5089	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 𝑀ℋ 𝑥 ↔ 𝐴 𝑀ℋ 𝑦))
2	1	cbvralvw 3215	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ Cℋ 𝐴 𝑀ℋ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ Cℋ 𝐴 𝑀ℋ 𝑦)
3		mdbr 32365	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑦 ∈ Cℋ ) → (𝐴 𝑀ℋ 𝑦 ↔ ∀𝑥 ∈ Cℋ (𝑥 ⊆ 𝑦 → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝑦) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝑦)))))
4		chjcom 31577	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (𝐴 ∨ℋ 𝑥) = (𝑥 ∨ℋ 𝐴))
5	4	ineq1d 4159	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∩ 𝑦) = ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝑦))
6		incom 4149	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∩ 𝑦) = (𝑦 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝑥))
7	5, 6	eqtr3di 2786	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝑦) = (𝑦 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝑥)))
8	7	adantlr 716	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑦 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝑦) = (𝑦 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝑥)))
9		chincl 31570	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑦 ∈ Cℋ ) → (𝐴 ∩ 𝑦) ∈ Cℋ )
10		chjcom 31577	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∩ 𝑦) ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → ((𝐴 ∩ 𝑦) ∨ℋ 𝑥) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝑦)))
11	9, 10	sylan 581	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑦 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → ((𝐴 ∩ 𝑦) ∨ℋ 𝑥) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝑦)))
12		incom 4149	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∩ 𝑦) = (𝑦 ∩ 𝐴)
13	12	oveq1i 7377	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝑦) ∨ℋ 𝑥) = ((𝑦 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝑥)
14	11, 13	eqtr3di 2786	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑦 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝑦)) = ((𝑦 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝑥))
15	8, 14	eqeq12d 2752	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑦 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝑦) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝑦)) ↔ (𝑦 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝑥)) = ((𝑦 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝑥)))
16		eqcom 2743	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝑥)) = ((𝑦 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝑥) ↔ ((𝑦 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝑥) = (𝑦 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝑥)))
17	15, 16	bitrdi 287	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑦 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝑦) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝑦)) ↔ ((𝑦 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝑥) = (𝑦 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝑥))))
18	17	imbi2d 340	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑦 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → ((𝑥 ⊆ 𝑦 → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝑦) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝑦))) ↔ (𝑥 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝑥) = (𝑦 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝑥)))))
19	18	ralbidva 3158	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑦 ∈ Cℋ ) → (∀𝑥 ∈ Cℋ (𝑥 ⊆ 𝑦 → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝑦) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝑦))) ↔ ∀𝑥 ∈ Cℋ (𝑥 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝑥) = (𝑦 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝑥)))))
20	3, 19	bitrd 279	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑦 ∈ Cℋ ) → (𝐴 𝑀ℋ 𝑦 ↔ ∀𝑥 ∈ Cℋ (𝑥 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝑥) = (𝑦 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝑥)))))
21	20	ralbidva 3158	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → (∀𝑦 ∈ Cℋ 𝐴 𝑀ℋ 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ Cℋ ∀𝑥 ∈ Cℋ (𝑥 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝑥) = (𝑦 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝑥)))))
22	2, 21	bitrid 283	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → (∀𝑥 ∈ Cℋ 𝐴 𝑀ℋ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ Cℋ ∀𝑥 ∈ Cℋ (𝑥 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝑥) = (𝑦 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝑥)))))
23		ralcom 3265	. . 3 ⊢ (∀𝑦 ∈ Cℋ ∀𝑥 ∈ Cℋ (𝑥 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝑥) = (𝑦 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝑥))) ↔ ∀𝑥 ∈ Cℋ ∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑥 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝑥) = (𝑦 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝑥))))
24	22, 23	bitrdi 287	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → (∀𝑥 ∈ Cℋ 𝐴 𝑀ℋ 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ Cℋ ∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑥 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝑥) = (𝑦 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝑥)))))
25		dmdbr 32370	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (𝐴 𝑀ℋ* 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑥 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝑥) = (𝑦 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝑥)))))
26	25	ralbidva 3158	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → (∀𝑥 ∈ Cℋ 𝐴 𝑀ℋ* 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ Cℋ ∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑥 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝑥) = (𝑦 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝑥)))))
27	24, 26	bitr4d 282	1 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → (∀𝑥 ∈ Cℋ 𝐴 𝑀ℋ 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ Cℋ 𝐴 𝑀ℋ* 𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3051   ∩ cin 3888   ⊆ wss 3889   class class class wbr 5085  (class class class)co 7367   C_ℋ cch 31000   ∨_ℋ chj 31004   𝑀_ℋ cmd 31037   𝑀_ℋ^* cdmd 31038

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-1cn 11096  ax-addcl 11098  ax-hilex 31070  ax-hfvadd 31071  ax-hv0cl 31074  ax-hfvmul 31076

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-map 8775  df-nn 12175  df-hlim 31043  df-sh 31278  df-ch 31292  df-chj 31381  df-md 32351  df-dmd 32352

This theorem is referenced by:  atmd  32470