Theorem mddmd2 32367

Description: Relationship between modular pairs and dual-modular pairs. Lemma 1.2 of [MaedaMaeda] p. 1. (Contributed by NM, 21-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
mddmd2	⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → (∀𝑥 ∈ Cℋ 𝐴 𝑀ℋ 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ Cℋ 𝐴 𝑀ℋ* 𝑥))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem mddmd2

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 5103	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 𝑀ℋ 𝑥 ↔ 𝐴 𝑀ℋ 𝑦))
2	1	cbvralvw 3215	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ Cℋ 𝐴 𝑀ℋ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ Cℋ 𝐴 𝑀ℋ 𝑦)
3		mdbr 32352	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑦 ∈ Cℋ ) → (𝐴 𝑀ℋ 𝑦 ↔ ∀𝑥 ∈ Cℋ (𝑥 ⊆ 𝑦 → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝑦) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝑦)))))
4		chjcom 31564	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (𝐴 ∨ℋ 𝑥) = (𝑥 ∨ℋ 𝐴))
5	4	ineq1d 4172	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∩ 𝑦) = ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝑦))
6		incom 4162	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∩ 𝑦) = (𝑦 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝑥))
7	5, 6	eqtr3di 2787	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝑦) = (𝑦 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝑥)))
8	7	adantlr 716	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑦 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝑦) = (𝑦 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝑥)))
9		chincl 31557	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑦 ∈ Cℋ ) → (𝐴 ∩ 𝑦) ∈ Cℋ )
10		chjcom 31564	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∩ 𝑦) ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → ((𝐴 ∩ 𝑦) ∨ℋ 𝑥) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝑦)))
11	9, 10	sylan 581	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑦 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → ((𝐴 ∩ 𝑦) ∨ℋ 𝑥) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝑦)))
12		incom 4162	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∩ 𝑦) = (𝑦 ∩ 𝐴)
13	12	oveq1i 7370	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝑦) ∨ℋ 𝑥) = ((𝑦 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝑥)
14	11, 13	eqtr3di 2787	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑦 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝑦)) = ((𝑦 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝑥))
15	8, 14	eqeq12d 2753	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑦 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝑦) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝑦)) ↔ (𝑦 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝑥)) = ((𝑦 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝑥)))
16		eqcom 2744	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝑥)) = ((𝑦 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝑥) ↔ ((𝑦 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝑥) = (𝑦 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝑥)))
17	15, 16	bitrdi 287	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑦 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝑦) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝑦)) ↔ ((𝑦 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝑥) = (𝑦 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝑥))))
18	17	imbi2d 340	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑦 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → ((𝑥 ⊆ 𝑦 → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝑦) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝑦))) ↔ (𝑥 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝑥) = (𝑦 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝑥)))))
19	18	ralbidva 3158	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑦 ∈ Cℋ ) → (∀𝑥 ∈ Cℋ (𝑥 ⊆ 𝑦 → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝑦) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝑦))) ↔ ∀𝑥 ∈ Cℋ (𝑥 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝑥) = (𝑦 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝑥)))))
20	3, 19	bitrd 279	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑦 ∈ Cℋ ) → (𝐴 𝑀ℋ 𝑦 ↔ ∀𝑥 ∈ Cℋ (𝑥 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝑥) = (𝑦 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝑥)))))
21	20	ralbidva 3158	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → (∀𝑦 ∈ Cℋ 𝐴 𝑀ℋ 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ Cℋ ∀𝑥 ∈ Cℋ (𝑥 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝑥) = (𝑦 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝑥)))))
22	2, 21	bitrid 283	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → (∀𝑥 ∈ Cℋ 𝐴 𝑀ℋ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ Cℋ ∀𝑥 ∈ Cℋ (𝑥 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝑥) = (𝑦 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝑥)))))
23		ralcom 3265	. . 3 ⊢ (∀𝑦 ∈ Cℋ ∀𝑥 ∈ Cℋ (𝑥 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝑥) = (𝑦 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝑥))) ↔ ∀𝑥 ∈ Cℋ ∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑥 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝑥) = (𝑦 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝑥))))
24	22, 23	bitrdi 287	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → (∀𝑥 ∈ Cℋ 𝐴 𝑀ℋ 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ Cℋ ∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑥 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝑥) = (𝑦 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝑥)))))
25		dmdbr 32357	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (𝐴 𝑀ℋ* 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑥 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝑥) = (𝑦 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝑥)))))
26	25	ralbidva 3158	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → (∀𝑥 ∈ Cℋ 𝐴 𝑀ℋ* 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ Cℋ ∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑥 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝑥) = (𝑦 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝑥)))))
27	24, 26	bitr4d 282	1 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → (∀𝑥 ∈ Cℋ 𝐴 𝑀ℋ 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ Cℋ 𝐴 𝑀ℋ* 𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052   ∩ cin 3901   ⊆ wss 3902   class class class wbr 5099  (class class class)co 7360   C_ℋ cch 30987   ∨_ℋ chj 30991   𝑀_ℋ cmd 31024   𝑀_ℋ^* cdmd 31025

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-1cn 11088  ax-addcl 11090  ax-hilex 31057  ax-hfvadd 31058  ax-hv0cl 31061  ax-hfvmul 31063

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-map 8769  df-nn 12150  df-hlim 31030  df-sh 31265  df-ch 31279  df-chj 31368  df-md 32338  df-dmd 32339

This theorem is referenced by:  atmd  32457