Theorem mdexchi 32310

Description: An exchange lemma for modular pairs. Lemma 1.6 of [MaedaMaeda] p. 2. (Contributed by NM, 22-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdexch.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
mdexch.2	⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
mdexch.3	⊢ 𝐶 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
mdexchi	⊢ ((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐶 𝑀ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ 𝐴) → ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) 𝑀ℋ 𝐵 ∧ ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝐴 ∩ 𝐵)))

Proof of Theorem mdexchi

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mdexch.3	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐶 ∈ Cℋ
2		mdexch.1	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
3		chjass 31508	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐶 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝑥) = (𝐶 ∨ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝑥)))
4	1, 2, 3	mp3an12 1453	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝑥) = (𝐶 ∨ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝑥)))
5	1, 2	chjcli 31432	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∈ Cℋ
6		chjcom 31481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ (𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∈ Cℋ ) → (𝑥 ∨ℋ (𝐶 ∨ℋ 𝐴)) = ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝑥))
7	5, 6	mpan2 691	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → (𝑥 ∨ℋ (𝐶 ∨ℋ 𝐴)) = ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝑥))
8		chjcl 31332	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∈ Cℋ )
9	2, 8	mpan 690	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → (𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∈ Cℋ )
10		chjcom 31481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ 𝐶) = (𝐶 ∨ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝑥)))
11	9, 1, 10	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ 𝐶) = (𝐶 ∨ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝑥)))
12	4, 7, 11	3eqtr4d 2776	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → (𝑥 ∨ℋ (𝐶 ∨ℋ 𝐴)) = ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ 𝐶))
13	12	ineq1d 4169	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → ((𝑥 ∨ℋ (𝐶 ∨ℋ 𝐴)) ∩ 𝐵) = (((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐵))
14		inass 4178	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ 𝐶) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ∩ 𝐵) = (((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ 𝐶) ∩ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐵))
15		incom 4159	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐵) = (𝐵 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
16		mdexch.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
17	2, 16	chjcomi 31443	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) = (𝐵 ∨ℋ 𝐴)
18	17	ineq2i 4167	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐵 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = (𝐵 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐴))
19	16, 2	chabs2i 31494	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐵 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐴)) = 𝐵
20	18, 19	eqtri 2754	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐵 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = 𝐵
21	15, 20	eqtri 2754	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐵) = 𝐵
22	21	ineq2i 4167	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ 𝐶) ∩ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐵)) = (((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐵)
23	14, 22	eqtri 2754	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ 𝐶) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ∩ 𝐵) = (((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐵)
24	13, 23	eqtr4di 2784	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → ((𝑥 ∨ℋ (𝐶 ∨ℋ 𝐴)) ∩ 𝐵) = ((((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ 𝐶) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ∩ 𝐵))
25	24	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐶 𝑀ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ 𝐴)) → ((𝑥 ∨ℋ (𝐶 ∨ℋ 𝐴)) ∩ 𝐵) = ((((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ 𝐶) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ∩ 𝐵))
26		chlej2 31486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) → (𝐴 ∨ℋ 𝑥) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
27	26	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → (𝑥 ⊆ 𝐵 → (𝐴 ∨ℋ 𝑥) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
28	16, 2, 27	mp3an23 1455	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → (𝑥 ⊆ 𝐵 → (𝐴 ∨ℋ 𝑥) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
29	2, 16	chjcli 31432	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∈ Cℋ
30		mdi 32270	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐶 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∈ Cℋ ) ∧ (𝐶 𝑀ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝐴 ∨ℋ 𝑥) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) → (((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ 𝐶) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))
31	30	exp32 420	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐶 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∈ Cℋ ) → (𝐶 𝑀ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → (((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ 𝐶) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))))
32	1, 29, 31	mp3an12 1453	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∈ Cℋ → (𝐶 𝑀ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → (((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ 𝐶) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))))
33	9, 32	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → (𝐶 𝑀ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → (((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ 𝐶) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))))
34	33	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → (𝐶 𝑀ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → (((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ 𝐶) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))))
35	28, 34	syld 47	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → (𝑥 ⊆ 𝐵 → (𝐶 𝑀ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → (((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ 𝐶) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))))
36	35	imp31 417	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐶 𝑀ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → (((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ 𝐶) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))
37	36	adantrr 717	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐶 𝑀ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ 𝐴)) → (((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ 𝐶) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))
38	1, 29	chincli 31435	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ∈ Cℋ
39		chlej2 31486	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∈ Cℋ ) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ 𝐴) → ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ 𝐴))
40	39	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∈ Cℋ ) → ((𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ 𝐴 → ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ 𝐴)))
41	38, 2, 40	mp3an12 1453	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∈ Cℋ → ((𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ 𝐴 → ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ 𝐴)))
42	9, 41	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → ((𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ 𝐴 → ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ 𝐴)))
43	42	imp 406	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ 𝐴) → ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ 𝐴))
44		chjcom 31481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ 𝐴) = (𝐴 ∨ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝑥)))
45	9, 2, 44	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ 𝐴) = (𝐴 ∨ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝑥)))
46	2	chjidmi 31496	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 ∨ℋ 𝐴) = 𝐴
47	46	oveq1i 7356	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝑥) = (𝐴 ∨ℋ 𝑥)
48		chjass 31508	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → ((𝐴 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝑥) = (𝐴 ∨ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝑥)))
49	2, 2, 48	mp3an12 1453	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → ((𝐴 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝑥) = (𝐴 ∨ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝑥)))
50		chjcom 31481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (𝐴 ∨ℋ 𝑥) = (𝑥 ∨ℋ 𝐴))
51	2, 50	mpan 690	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → (𝐴 ∨ℋ 𝑥) = (𝑥 ∨ℋ 𝐴))
52	47, 49, 51	3eqtr3a 2790	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → (𝐴 ∨ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝑥)) = (𝑥 ∨ℋ 𝐴))
53	45, 52	eqtrd 2766	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ 𝐴) = (𝑥 ∨ℋ 𝐴))
54	53	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ 𝐴) → ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ 𝐴) = (𝑥 ∨ℋ 𝐴))
55	43, 54	sseqtrd 3971	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ 𝐴) → ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) ⊆ (𝑥 ∨ℋ 𝐴))
56	55	ad2ant2rl 749	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐶 𝑀ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ 𝐴)) → ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) ⊆ (𝑥 ∨ℋ 𝐴))
57	37, 56	eqsstrd 3969	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐶 𝑀ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ 𝐴)) → (((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ 𝐶) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (𝑥 ∨ℋ 𝐴))
58	57	ssrind 4194	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐶 𝑀ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ 𝐴)) → ((((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ 𝐶) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ∩ 𝐵) ⊆ ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵))
59	25, 58	eqsstrd 3969	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐶 𝑀ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ 𝐴)) → ((𝑥 ∨ℋ (𝐶 ∨ℋ 𝐴)) ∩ 𝐵) ⊆ ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵))
60	59	adantrl 716	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ (𝐶 𝑀ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ 𝐴))) → ((𝑥 ∨ℋ (𝐶 ∨ℋ 𝐴)) ∩ 𝐵) ⊆ ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵))
61		mdi 32270	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵)) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)))
62	61	exp32 420	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (𝐴 𝑀ℋ 𝐵 → (𝑥 ⊆ 𝐵 → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)))))
63	2, 16, 62	mp3an12 1453	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → (𝐴 𝑀ℋ 𝐵 → (𝑥 ⊆ 𝐵 → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)))))
64	63	com23 86	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → (𝑥 ⊆ 𝐵 → (𝐴 𝑀ℋ 𝐵 → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)))))
65	64	imp31 417	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐴 𝑀ℋ 𝐵) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)))
66	2, 1	chub2i 31445	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐴 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝐴)
67		ssrin 4192	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝐴) → (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵))
68	66, 67	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵)
69	2, 16	chincli 31435	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ
70	5, 16	chincli 31435	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) ∈ Cℋ
71		chlej2 31486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ ∧ ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵)) → (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ (𝑥 ∨ℋ ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵)))
72	71	ex 412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ ∧ ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) → (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ (𝑥 ∨ℋ ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵))))
73	69, 70, 72	mp3an12 1453	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) → (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ (𝑥 ∨ℋ ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵))))
74	68, 73	mpi 20	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ (𝑥 ∨ℋ ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵)))
75	74	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐴 𝑀ℋ 𝐵) → (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ (𝑥 ∨ℋ ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵)))
76	65, 75	eqsstrd 3969	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐴 𝑀ℋ 𝐵) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 ∨ℋ ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵)))
77	76	adantrr 717	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ (𝐶 𝑀ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ 𝐴))) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 ∨ℋ ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵)))
78	60, 77	sstrd 3945	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ (𝐶 𝑀ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ 𝐴))) → ((𝑥 ∨ℋ (𝐶 ∨ℋ 𝐴)) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 ∨ℋ ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵)))
79	78	exp31 419	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → (𝑥 ⊆ 𝐵 → ((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ (𝐶 𝑀ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ 𝐴)) → ((𝑥 ∨ℋ (𝐶 ∨ℋ 𝐴)) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 ∨ℋ ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵)))))
80	79	com3r 87	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ (𝐶 𝑀ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ 𝐴)) → (𝑥 ∈ Cℋ → (𝑥 ⊆ 𝐵 → ((𝑥 ∨ℋ (𝐶 ∨ℋ 𝐴)) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 ∨ℋ ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵)))))
81	80	3impb 1114	. . . 4 ⊢ ((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐶 𝑀ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ 𝐴) → (𝑥 ∈ Cℋ → (𝑥 ⊆ 𝐵 → ((𝑥 ∨ℋ (𝐶 ∨ℋ 𝐴)) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 ∨ℋ ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵)))))
82	81	ralrimiv 3123	. . 3 ⊢ ((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐶 𝑀ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ 𝐴) → ∀𝑥 ∈ Cℋ (𝑥 ⊆ 𝐵 → ((𝑥 ∨ℋ (𝐶 ∨ℋ 𝐴)) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 ∨ℋ ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵))))
83		mdbr2 32271	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) 𝑀ℋ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ Cℋ (𝑥 ⊆ 𝐵 → ((𝑥 ∨ℋ (𝐶 ∨ℋ 𝐴)) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 ∨ℋ ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵)))))
84	5, 16, 83	mp2an 692	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) 𝑀ℋ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ Cℋ (𝑥 ⊆ 𝐵 → ((𝑥 ∨ℋ (𝐶 ∨ℋ 𝐴)) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 ∨ℋ ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵))))
85	82, 84	sylibr 234	. 2 ⊢ ((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐶 𝑀ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ 𝐴) → (𝐶 ∨ℋ 𝐴) 𝑀ℋ 𝐵)
86	1, 2	chjcomi 31443	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∨ℋ 𝐴) = (𝐴 ∨ℋ 𝐶)
87		incom 4159	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐵)
88	18, 87, 19	3eqtr3ri 2763	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐵)
89	86, 88	ineq12i 4168	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∩ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐵))
90		inass 4178	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ∩ 𝐵) = ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∩ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐵))
91	2, 16	chub1i 31444	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)
92		mdi 32270	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐶 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐶 𝑀ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐴 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) → ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = (𝐴 ∨ℋ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))
93	92	exp32 420	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → (𝐶 𝑀ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → (𝐴 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = (𝐴 ∨ℋ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))))
94	1, 29, 2, 93	mp3an 1463	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 𝑀ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → (𝐴 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = (𝐴 ∨ℋ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))))
95	91, 94	mpi 20	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 𝑀ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = (𝐴 ∨ℋ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))
96	2, 38	chjcomi 31443	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∨ℋ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) = ((𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ∨ℋ 𝐴)
97	38, 2	chlejb1i 31451	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ 𝐴 ↔ ((𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ∨ℋ 𝐴) = 𝐴)
98	97	biimpi 216	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ 𝐴 → ((𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ∨ℋ 𝐴) = 𝐴)
99	96, 98	eqtrid 2778	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ 𝐴 → (𝐴 ∨ℋ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) = 𝐴)
100	95, 99	sylan9eq 2786	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 𝑀ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ 𝐴) → ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = 𝐴)
101	100	ineq1d 4169	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 𝑀ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ 𝐴) → (((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ∩ 𝐵) = (𝐴 ∩ 𝐵))
102	90, 101	eqtr3id 2780	. . . 4 ⊢ ((𝐶 𝑀ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ 𝐴) → ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∩ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐵)) = (𝐴 ∩ 𝐵))
103	89, 102	eqtrid 2778	. . 3 ⊢ ((𝐶 𝑀ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ 𝐴) → ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝐴 ∩ 𝐵))
104	103	3adant1 1130	. 2 ⊢ ((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐶 𝑀ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ 𝐴) → ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝐴 ∩ 𝐵))
105	85, 104	jca 511	1 ⊢ ((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐶 𝑀ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ 𝐴) → ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) 𝑀ℋ 𝐵 ∧ ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝐴 ∩ 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047   ∩ cin 3901   ⊆ wss 3902   class class class wbr 5091  (class class class)co 7346   C_ℋ cch 30904   ∨_ℋ chj 30908   𝑀_ℋ cmd 30941

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-inf2 9531  ax-cc 10323  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080  ax-pre-sup 11081  ax-addf 11082  ax-mulf 11083  ax-hilex 30974  ax-hfvadd 30975  ax-hvcom 30976  ax-hvass 30977  ax-hv0cl 30978  ax-hvaddid 30979  ax-hfvmul 30980  ax-hvmulid 30981  ax-hvmulass 30982  ax-hvdistr1 30983  ax-hvdistr2 30984  ax-hvmul0 30985  ax-hfi 31054  ax-his1 31057  ax-his2 31058  ax-his3 31059  ax-his4 31060  ax-hcompl 31177

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-se 5570  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-of 7610  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8091  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-oadd 8389  df-omul 8390  df-er 8622  df-map 8752  df-pm 8753  df-ixp 8822  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-fsupp 9246  df-fi 9295  df-sup 9326  df-inf 9327  df-oi 9396  df-card 9829  df-acn 9832  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-div 11772  df-nn 12123  df-2 12185  df-3 12186  df-4 12187  df-5 12188  df-6 12189  df-7 12190  df-8 12191  df-9 12192  df-n0 12379  df-z 12466  df-dec 12586  df-uz 12730  df-q 12844  df-rp 12888  df-xneg 13008  df-xadd 13009  df-xmul 13010  df-ioo 13246  df-ico 13248  df-icc 13249  df-fz 13405  df-fzo 13552  df-fl 13693  df-seq 13906  df-exp 13966  df-hash 14235  df-cj 15003  df-re 15004  df-im 15005  df-sqrt 15139  df-abs 15140  df-clim 15392  df-rlim 15393  df-sum 15591  df-struct 17055  df-sets 17072  df-slot 17090  df-ndx 17102  df-base 17118  df-ress 17139  df-plusg 17171  df-mulr 17172  df-starv 17173  df-sca 17174  df-vsca 17175  df-ip 17176  df-tset 17177  df-ple 17178  df-ds 17180  df-unif 17181  df-hom 17182  df-cco 17183  df-rest 17323  df-topn 17324  df-0g 17342  df-gsum 17343  df-topgen 17344  df-pt 17345  df-prds 17348  df-xrs 17403  df-qtop 17408  df-imas 17409  df-xps 17411  df-mre 17485  df-mrc 17486  df-acs 17488  df-mgm 18545  df-sgrp 18624  df-mnd 18640  df-submnd 18689  df-mulg 18978  df-cntz 19227  df-cmn 19692  df-psmet 21281  df-xmet 21282  df-met 21283  df-bl 21284  df-mopn 21285  df-fbas 21286  df-fg 21287  df-cnfld 21290  df-top 22807  df-topon 22824  df-topsp 22846  df-bases 22859  df-cld 22932  df-ntr 22933  df-cls 22934  df-nei 23011  df-cn 23140  df-cnp 23141  df-lm 23142  df-haus 23228  df-tx 23475  df-hmeo 23668  df-fil 23759  df-fm 23851  df-flim 23852  df-flf 23853  df-xms 24233  df-ms 24234  df-tms 24235  df-cfil 25180  df-cau 25181  df-cmet 25182  df-grpo 30468  df-gid 30469  df-ginv 30470  df-gdiv 30471  df-ablo 30520  df-vc 30534  df-nv 30567  df-va 30570  df-ba 30571  df-sm 30572  df-0v 30573  df-vs 30574  df-nmcv 30575  df-ims 30576  df-dip 30676  df-ssp 30697  df-ph 30788  df-cbn 30838  df-hnorm 30943  df-hba 30944  df-hvsub 30946  df-hlim 30947  df-hcau 30948  df-sh 31182  df-ch 31196  df-oc 31227  df-ch0 31228  df-shs 31283  df-chj 31285  df-md 32255

This theorem is referenced by: (None)