Theorem mdexchi 32422

Description: An exchange lemma for modular pairs. Lemma 1.6 of [MaedaMaeda] p. 2. (Contributed by NM, 22-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdexch.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
mdexch.2	⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
mdexch.3	⊢ 𝐶 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
mdexchi	⊢ ((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐶 𝑀ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ 𝐴) → ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) 𝑀ℋ 𝐵 ∧ ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝐴 ∩ 𝐵)))

Proof of Theorem mdexchi

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mdexch.3	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐶 ∈ Cℋ
2		mdexch.1	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
3		chjass 31620	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐶 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝑥) = (𝐶 ∨ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝑥)))
4	1, 2, 3	mp3an12 1454	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝑥) = (𝐶 ∨ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝑥)))
5	1, 2	chjcli 31544	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∈ Cℋ
6		chjcom 31593	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ (𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∈ Cℋ ) → (𝑥 ∨ℋ (𝐶 ∨ℋ 𝐴)) = ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝑥))
7	5, 6	mpan2 692	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → (𝑥 ∨ℋ (𝐶 ∨ℋ 𝐴)) = ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝑥))
8		chjcl 31444	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∈ Cℋ )
9	2, 8	mpan 691	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → (𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∈ Cℋ )
10		chjcom 31593	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ 𝐶) = (𝐶 ∨ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝑥)))
11	9, 1, 10	sylancl 587	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ 𝐶) = (𝐶 ∨ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝑥)))
12	4, 7, 11	3eqtr4d 2782	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → (𝑥 ∨ℋ (𝐶 ∨ℋ 𝐴)) = ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ 𝐶))
13	12	ineq1d 4173	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → ((𝑥 ∨ℋ (𝐶 ∨ℋ 𝐴)) ∩ 𝐵) = (((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐵))
14		inass 4182	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ 𝐶) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ∩ 𝐵) = (((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ 𝐶) ∩ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐵))
15		incom 4163	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐵) = (𝐵 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
16		mdexch.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
17	2, 16	chjcomi 31555	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) = (𝐵 ∨ℋ 𝐴)
18	17	ineq2i 4171	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐵 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = (𝐵 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐴))
19	16, 2	chabs2i 31606	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐵 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐴)) = 𝐵
20	18, 19	eqtri 2760	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐵 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = 𝐵
21	15, 20	eqtri 2760	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐵) = 𝐵
22	21	ineq2i 4171	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ 𝐶) ∩ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐵)) = (((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐵)
23	14, 22	eqtri 2760	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ 𝐶) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ∩ 𝐵) = (((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐵)
24	13, 23	eqtr4di 2790	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → ((𝑥 ∨ℋ (𝐶 ∨ℋ 𝐴)) ∩ 𝐵) = ((((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ 𝐶) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ∩ 𝐵))
25	24	ad2antrr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐶 𝑀ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ 𝐴)) → ((𝑥 ∨ℋ (𝐶 ∨ℋ 𝐴)) ∩ 𝐵) = ((((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ 𝐶) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ∩ 𝐵))
26		chlej2 31598	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) → (𝐴 ∨ℋ 𝑥) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
27	26	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → (𝑥 ⊆ 𝐵 → (𝐴 ∨ℋ 𝑥) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
28	16, 2, 27	mp3an23 1456	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → (𝑥 ⊆ 𝐵 → (𝐴 ∨ℋ 𝑥) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
29	2, 16	chjcli 31544	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∈ Cℋ
30		mdi 32382	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐶 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∈ Cℋ ) ∧ (𝐶 𝑀ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝐴 ∨ℋ 𝑥) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) → (((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ 𝐶) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))
31	30	exp32 420	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐶 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∈ Cℋ ) → (𝐶 𝑀ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → (((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ 𝐶) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))))
32	1, 29, 31	mp3an12 1454	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∈ Cℋ → (𝐶 𝑀ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → (((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ 𝐶) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))))
33	9, 32	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → (𝐶 𝑀ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → (((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ 𝐶) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))))
34	33	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → (𝐶 𝑀ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → (((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ 𝐶) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))))
35	28, 34	syld 47	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → (𝑥 ⊆ 𝐵 → (𝐶 𝑀ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → (((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ 𝐶) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))))
36	35	imp31 417	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐶 𝑀ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → (((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ 𝐶) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))
37	36	adantrr 718	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐶 𝑀ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ 𝐴)) → (((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ 𝐶) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))
38	1, 29	chincli 31547	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ∈ Cℋ
39		chlej2 31598	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∈ Cℋ ) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ 𝐴) → ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ 𝐴))
40	39	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∈ Cℋ ) → ((𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ 𝐴 → ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ 𝐴)))
41	38, 2, 40	mp3an12 1454	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∈ Cℋ → ((𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ 𝐴 → ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ 𝐴)))
42	9, 41	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → ((𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ 𝐴 → ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ 𝐴)))
43	42	imp 406	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ 𝐴) → ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ 𝐴))
44		chjcom 31593	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ 𝐴) = (𝐴 ∨ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝑥)))
45	9, 2, 44	sylancl 587	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ 𝐴) = (𝐴 ∨ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝑥)))
46	2	chjidmi 31608	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 ∨ℋ 𝐴) = 𝐴
47	46	oveq1i 7378	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝑥) = (𝐴 ∨ℋ 𝑥)
48		chjass 31620	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → ((𝐴 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝑥) = (𝐴 ∨ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝑥)))
49	2, 2, 48	mp3an12 1454	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → ((𝐴 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝑥) = (𝐴 ∨ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝑥)))
50		chjcom 31593	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (𝐴 ∨ℋ 𝑥) = (𝑥 ∨ℋ 𝐴))
51	2, 50	mpan 691	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → (𝐴 ∨ℋ 𝑥) = (𝑥 ∨ℋ 𝐴))
52	47, 49, 51	3eqtr3a 2796	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → (𝐴 ∨ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝑥)) = (𝑥 ∨ℋ 𝐴))
53	45, 52	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ 𝐴) = (𝑥 ∨ℋ 𝐴))
54	53	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ 𝐴) → ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ 𝐴) = (𝑥 ∨ℋ 𝐴))
55	43, 54	sseqtrd 3972	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ 𝐴) → ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) ⊆ (𝑥 ∨ℋ 𝐴))
56	55	ad2ant2rl 750	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐶 𝑀ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ 𝐴)) → ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) ⊆ (𝑥 ∨ℋ 𝐴))
57	37, 56	eqsstrd 3970	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐶 𝑀ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ 𝐴)) → (((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ 𝐶) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (𝑥 ∨ℋ 𝐴))
58	57	ssrind 4198	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐶 𝑀ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ 𝐴)) → ((((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ 𝐶) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ∩ 𝐵) ⊆ ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵))
59	25, 58	eqsstrd 3970	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐶 𝑀ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ 𝐴)) → ((𝑥 ∨ℋ (𝐶 ∨ℋ 𝐴)) ∩ 𝐵) ⊆ ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵))
60	59	adantrl 717	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ (𝐶 𝑀ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ 𝐴))) → ((𝑥 ∨ℋ (𝐶 ∨ℋ 𝐴)) ∩ 𝐵) ⊆ ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵))
61		mdi 32382	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵)) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)))
62	61	exp32 420	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (𝐴 𝑀ℋ 𝐵 → (𝑥 ⊆ 𝐵 → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)))))
63	2, 16, 62	mp3an12 1454	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → (𝐴 𝑀ℋ 𝐵 → (𝑥 ⊆ 𝐵 → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)))))
64	63	com23 86	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → (𝑥 ⊆ 𝐵 → (𝐴 𝑀ℋ 𝐵 → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)))))
65	64	imp31 417	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐴 𝑀ℋ 𝐵) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)))
66	2, 1	chub2i 31557	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐴 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝐴)
67		ssrin 4196	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝐴) → (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵))
68	66, 67	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵)
69	2, 16	chincli 31547	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ
70	5, 16	chincli 31547	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) ∈ Cℋ
71		chlej2 31598	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ ∧ ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵)) → (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ (𝑥 ∨ℋ ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵)))
72	71	ex 412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ ∧ ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) → (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ (𝑥 ∨ℋ ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵))))
73	69, 70, 72	mp3an12 1454	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) → (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ (𝑥 ∨ℋ ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵))))
74	68, 73	mpi 20	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ (𝑥 ∨ℋ ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵)))
75	74	ad2antrr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐴 𝑀ℋ 𝐵) → (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ (𝑥 ∨ℋ ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵)))
76	65, 75	eqsstrd 3970	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐴 𝑀ℋ 𝐵) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 ∨ℋ ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵)))
77	76	adantrr 718	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ (𝐶 𝑀ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ 𝐴))) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 ∨ℋ ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵)))
78	60, 77	sstrd 3946	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ (𝐶 𝑀ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ 𝐴))) → ((𝑥 ∨ℋ (𝐶 ∨ℋ 𝐴)) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 ∨ℋ ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵)))
79	78	exp31 419	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → (𝑥 ⊆ 𝐵 → ((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ (𝐶 𝑀ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ 𝐴)) → ((𝑥 ∨ℋ (𝐶 ∨ℋ 𝐴)) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 ∨ℋ ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵)))))
80	79	com3r 87	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ (𝐶 𝑀ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ 𝐴)) → (𝑥 ∈ Cℋ → (𝑥 ⊆ 𝐵 → ((𝑥 ∨ℋ (𝐶 ∨ℋ 𝐴)) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 ∨ℋ ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵)))))
81	80	3impb 1115	. . . 4 ⊢ ((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐶 𝑀ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ 𝐴) → (𝑥 ∈ Cℋ → (𝑥 ⊆ 𝐵 → ((𝑥 ∨ℋ (𝐶 ∨ℋ 𝐴)) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 ∨ℋ ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵)))))
82	81	ralrimiv 3129	. . 3 ⊢ ((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐶 𝑀ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ 𝐴) → ∀𝑥 ∈ Cℋ (𝑥 ⊆ 𝐵 → ((𝑥 ∨ℋ (𝐶 ∨ℋ 𝐴)) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 ∨ℋ ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵))))
83		mdbr2 32383	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) 𝑀ℋ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ Cℋ (𝑥 ⊆ 𝐵 → ((𝑥 ∨ℋ (𝐶 ∨ℋ 𝐴)) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 ∨ℋ ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵)))))
84	5, 16, 83	mp2an 693	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) 𝑀ℋ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ Cℋ (𝑥 ⊆ 𝐵 → ((𝑥 ∨ℋ (𝐶 ∨ℋ 𝐴)) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 ∨ℋ ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵))))
85	82, 84	sylibr 234	. 2 ⊢ ((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐶 𝑀ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ 𝐴) → (𝐶 ∨ℋ 𝐴) 𝑀ℋ 𝐵)
86	1, 2	chjcomi 31555	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∨ℋ 𝐴) = (𝐴 ∨ℋ 𝐶)
87		incom 4163	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐵)
88	18, 87, 19	3eqtr3ri 2769	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐵)
89	86, 88	ineq12i 4172	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∩ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐵))
90		inass 4182	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ∩ 𝐵) = ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∩ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐵))
91	2, 16	chub1i 31556	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)
92		mdi 32382	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐶 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐶 𝑀ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐴 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) → ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = (𝐴 ∨ℋ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))
93	92	exp32 420	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → (𝐶 𝑀ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → (𝐴 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = (𝐴 ∨ℋ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))))
94	1, 29, 2, 93	mp3an 1464	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 𝑀ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → (𝐴 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = (𝐴 ∨ℋ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))))
95	91, 94	mpi 20	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 𝑀ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = (𝐴 ∨ℋ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))
96	2, 38	chjcomi 31555	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∨ℋ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) = ((𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ∨ℋ 𝐴)
97	38, 2	chlejb1i 31563	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ 𝐴 ↔ ((𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ∨ℋ 𝐴) = 𝐴)
98	97	biimpi 216	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ 𝐴 → ((𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ∨ℋ 𝐴) = 𝐴)
99	96, 98	eqtrid 2784	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ 𝐴 → (𝐴 ∨ℋ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) = 𝐴)
100	95, 99	sylan9eq 2792	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 𝑀ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ 𝐴) → ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = 𝐴)
101	100	ineq1d 4173	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 𝑀ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ 𝐴) → (((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ∩ 𝐵) = (𝐴 ∩ 𝐵))
102	90, 101	eqtr3id 2786	. . . 4 ⊢ ((𝐶 𝑀ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ 𝐴) → ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∩ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐵)) = (𝐴 ∩ 𝐵))
103	89, 102	eqtrid 2784	. . 3 ⊢ ((𝐶 𝑀ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ 𝐴) → ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝐴 ∩ 𝐵))
104	103	3adant1 1131	. 2 ⊢ ((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐶 𝑀ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ 𝐴) → ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝐴 ∩ 𝐵))
105	85, 104	jca 511	1 ⊢ ((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐶 𝑀ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ 𝐴) → ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) 𝑀ℋ 𝐵 ∧ ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝐴 ∩ 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052   ∩ cin 3902   ⊆ wss 3903   class class class wbr 5100  (class class class)co 7368   C_ℋ cch 31016   ∨_ℋ chj 31020   𝑀_ℋ cmd 31053

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-inf2 9562  ax-cc 10357  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116  ax-addf 11117  ax-mulf 11118  ax-hilex 31086  ax-hfvadd 31087  ax-hvcom 31088  ax-hvass 31089  ax-hv0cl 31090  ax-hvaddid 31091  ax-hfvmul 31092  ax-hvmulid 31093  ax-hvmulass 31094  ax-hvdistr1 31095  ax-hvdistr2 31096  ax-hvmul0 31097  ax-hfi 31166  ax-his1 31169  ax-his2 31170  ax-his3 31171  ax-his4 31172  ax-hcompl 31289

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-of 7632  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-supp 8113  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-oadd 8411  df-omul 8412  df-er 8645  df-map 8777  df-pm 8778  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9277  df-fi 9326  df-sup 9357  df-inf 9358  df-oi 9427  df-card 9863  df-acn 9866  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12918  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ioo 13277  df-ico 13279  df-icc 13280  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-fl 13724  df-seq 13937  df-exp 13997  df-hash 14266  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-clim 15423  df-rlim 15424  df-sum 15622  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-starv 17204  df-sca 17205  df-vsca 17206  df-ip 17207  df-tset 17208  df-ple 17209  df-ds 17211  df-unif 17212  df-hom 17213  df-cco 17214  df-rest 17354  df-topn 17355  df-0g 17373  df-gsum 17374  df-topgen 17375  df-pt 17376  df-prds 17379  df-xrs 17435  df-qtop 17440  df-imas 17441  df-xps 17443  df-mre 17517  df-mrc 17518  df-acs 17520  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-submnd 18721  df-mulg 19010  df-cntz 19258  df-cmn 19723  df-psmet 21313  df-xmet 21314  df-met 21315  df-bl 21316  df-mopn 21317  df-fbas 21318  df-fg 21319  df-cnfld 21322  df-top 22850  df-topon 22867  df-topsp 22889  df-bases 22902  df-cld 22975  df-ntr 22976  df-cls 22977  df-nei 23054  df-cn 23183  df-cnp 23184  df-lm 23185  df-haus 23271  df-tx 23518  df-hmeo 23711  df-fil 23802  df-fm 23894  df-flim 23895  df-flf 23896  df-xms 24276  df-ms 24277  df-tms 24278  df-cfil 25223  df-cau 25224  df-cmet 25225  df-grpo 30580  df-gid 30581  df-ginv 30582  df-gdiv 30583  df-ablo 30632  df-vc 30646  df-nv 30679  df-va 30682  df-ba 30683  df-sm 30684  df-0v 30685  df-vs 30686  df-nmcv 30687  df-ims 30688  df-dip 30788  df-ssp 30809  df-ph 30900  df-cbn 30950  df-hnorm 31055  df-hba 31056  df-hvsub 31058  df-hlim 31059  df-hcau 31060  df-sh 31294  df-ch 31308  df-oc 31339  df-ch0 31340  df-shs 31395  df-chj 31397  df-md 32367

This theorem is referenced by: (None)