Theorem mdexchi 32665

Description: An exchange lemma for modular pairs. Lemma 1.6 of [MaedaMaeda] p. 2. (Contributed by NM, 22-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdexch.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
mdexch.2	⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
mdexch.3	⊢ 𝐶 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
mdexchi	⊢ ((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐶 𝑀ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ 𝐴) → ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) 𝑀ℋ 𝐵 ∧ ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝐴 ∩ 𝐵)))

Proof of Theorem mdexchi

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mdexch.3	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐶 ∈ Cℋ
2		mdexch.1	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
3		chjass 31863	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐶 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝑥) = (𝐶 ∨ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝑥)))
4	1, 2, 3	mp3an12 1480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝑥) = (𝐶 ∨ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝑥)))
5	1, 2	chjcli 31787	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∈ Cℋ
6		chjcom 31836	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ (𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∈ Cℋ ) → (𝑥 ∨ℋ (𝐶 ∨ℋ 𝐴)) = ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝑥))
7	5, 6	mpan2 703	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → (𝑥 ∨ℋ (𝐶 ∨ℋ 𝐴)) = ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝑥))
8		chjcl 31687	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∈ Cℋ )
9	2, 8	mpan 702	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → (𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∈ Cℋ )
10		chjcom 31836	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ 𝐶) = (𝐶 ∨ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝑥)))
11	9, 1, 10	sylancl 597	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ 𝐶) = (𝐶 ∨ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝑥)))
12	4, 7, 11	3eqtr4d 2808	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → (𝑥 ∨ℋ (𝐶 ∨ℋ 𝐴)) = ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ 𝐶))
13	12	ineq1d 4173	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → ((𝑥 ∨ℋ (𝐶 ∨ℋ 𝐴)) ∩ 𝐵) = (((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐵))
14		inass 4181	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ 𝐶) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ∩ 𝐵) = (((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ 𝐶) ∩ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐵))
15		incom 4163	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐵) = (𝐵 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
16		mdexch.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
17	2, 16	chjcomi 31798	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) = (𝐵 ∨ℋ 𝐴)
18	17	ineq2i 4171	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐵 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = (𝐵 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐴))
19	16, 2	chabs2i 31849	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐵 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐴)) = 𝐵
20	18, 19	eqtri 2786	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐵 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = 𝐵
21	15, 20	eqtri 2786	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐵) = 𝐵
22	21	ineq2i 4171	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ 𝐶) ∩ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐵)) = (((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐵)
23	14, 22	eqtri 2786	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ 𝐶) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ∩ 𝐵) = (((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐵)
24	13, 23	eqtr4di 2816	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → ((𝑥 ∨ℋ (𝐶 ∨ℋ 𝐴)) ∩ 𝐵) = ((((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ 𝐶) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ∩ 𝐵))
25	24	ad2antrr 738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐶 𝑀ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ 𝐴)) → ((𝑥 ∨ℋ (𝐶 ∨ℋ 𝐴)) ∩ 𝐵) = ((((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ 𝐶) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ∩ 𝐵))
26		chlej2 31841	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) → (𝐴 ∨ℋ 𝑥) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
27	26	ex 417	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → (𝑥 ⊆ 𝐵 → (𝐴 ∨ℋ 𝑥) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
28	16, 2, 27	mp3an23 1482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → (𝑥 ⊆ 𝐵 → (𝐴 ∨ℋ 𝑥) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
29	2, 16	chjcli 31787	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∈ Cℋ
30		mdi 32625	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐶 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∈ Cℋ ) ∧ (𝐶 𝑀ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝐴 ∨ℋ 𝑥) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) → (((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ 𝐶) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))
31	30	exp32 425	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐶 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∈ Cℋ ) → (𝐶 𝑀ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → (((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ 𝐶) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))))
32	1, 29, 31	mp3an12 1480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∈ Cℋ → (𝐶 𝑀ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → (((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ 𝐶) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))))
33	9, 32	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → (𝐶 𝑀ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → (((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ 𝐶) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))))
34	33	com23 87	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → (𝐶 𝑀ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → (((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ 𝐶) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))))
35	28, 34	syld 48	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → (𝑥 ⊆ 𝐵 → (𝐶 𝑀ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → (((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ 𝐶) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))))
36	35	imp31 422	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐶 𝑀ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → (((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ 𝐶) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))
37	36	adantrr 729	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐶 𝑀ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ 𝐴)) → (((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ 𝐶) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))
38	1, 29	chincli 31790	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ∈ Cℋ
39		chlej2 31841	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∈ Cℋ ) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ 𝐴) → ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ 𝐴))
40	39	ex 417	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∈ Cℋ ) → ((𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ 𝐴 → ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ 𝐴)))
41	38, 2, 40	mp3an12 1480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∈ Cℋ → ((𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ 𝐴 → ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ 𝐴)))
42	9, 41	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → ((𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ 𝐴 → ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ 𝐴)))
43	42	imp 411	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ 𝐴) → ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ 𝐴))
44		chjcom 31836	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ 𝐴) = (𝐴 ∨ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝑥)))
45	9, 2, 44	sylancl 597	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ 𝐴) = (𝐴 ∨ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝑥)))
46	2	chjidmi 31851	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 ∨ℋ 𝐴) = 𝐴
47	46	oveq1i 7422	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝑥) = (𝐴 ∨ℋ 𝑥)
48		chjass 31863	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → ((𝐴 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝑥) = (𝐴 ∨ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝑥)))
49	2, 2, 48	mp3an12 1480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → ((𝐴 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝑥) = (𝐴 ∨ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝑥)))
50		chjcom 31836	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (𝐴 ∨ℋ 𝑥) = (𝑥 ∨ℋ 𝐴))
51	2, 50	mpan 702	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → (𝐴 ∨ℋ 𝑥) = (𝑥 ∨ℋ 𝐴))
52	47, 49, 51	3eqtr3a 2822	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → (𝐴 ∨ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝑥)) = (𝑥 ∨ℋ 𝐴))
53	45, 52	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ 𝐴) = (𝑥 ∨ℋ 𝐴))
54	53	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ 𝐴) → ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ 𝐴) = (𝑥 ∨ℋ 𝐴))
55	43, 54	sseqtrd 3974	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ 𝐴) → ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) ⊆ (𝑥 ∨ℋ 𝐴))
56	55	ad2ant2rl 761	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐶 𝑀ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ 𝐴)) → ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) ⊆ (𝑥 ∨ℋ 𝐴))
57	37, 56	eqsstrd 3972	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐶 𝑀ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ 𝐴)) → (((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ 𝐶) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (𝑥 ∨ℋ 𝐴))
58	57	ssrind 4197	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐶 𝑀ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ 𝐴)) → ((((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ 𝐶) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ∩ 𝐵) ⊆ ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵))
59	25, 58	eqsstrd 3972	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐶 𝑀ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ 𝐴)) → ((𝑥 ∨ℋ (𝐶 ∨ℋ 𝐴)) ∩ 𝐵) ⊆ ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵))
60	59	adantrl 728	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ (𝐶 𝑀ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ 𝐴))) → ((𝑥 ∨ℋ (𝐶 ∨ℋ 𝐴)) ∩ 𝐵) ⊆ ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵))
61		mdi 32625	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵)) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)))
62	61	exp32 425	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (𝐴 𝑀ℋ 𝐵 → (𝑥 ⊆ 𝐵 → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)))))
63	2, 16, 62	mp3an12 1480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → (𝐴 𝑀ℋ 𝐵 → (𝑥 ⊆ 𝐵 → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)))))
64	63	com23 87	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → (𝑥 ⊆ 𝐵 → (𝐴 𝑀ℋ 𝐵 → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)))))
65	64	imp31 422	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐴 𝑀ℋ 𝐵) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)))
66	2, 1	chub2i 31800	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐴 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝐴)
67		ssrin 4195	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝐴) → (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵))
68	66, 67	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵)
69	2, 16	chincli 31790	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ
70	5, 16	chincli 31790	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) ∈ Cℋ
71		chlej2 31841	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ ∧ ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵)) → (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ (𝑥 ∨ℋ ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵)))
72	71	ex 417	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ ∧ ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) → (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ (𝑥 ∨ℋ ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵))))
73	69, 70, 72	mp3an12 1480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) → (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ (𝑥 ∨ℋ ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵))))
74	68, 73	mpi 21	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ (𝑥 ∨ℋ ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵)))
75	74	ad2antrr 738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐴 𝑀ℋ 𝐵) → (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ (𝑥 ∨ℋ ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵)))
76	65, 75	eqsstrd 3972	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐴 𝑀ℋ 𝐵) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 ∨ℋ ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵)))
77	76	adantrr 729	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ (𝐶 𝑀ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ 𝐴))) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 ∨ℋ ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵)))
78	60, 77	sstrd 3948	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ (𝐶 𝑀ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ 𝐴))) → ((𝑥 ∨ℋ (𝐶 ∨ℋ 𝐴)) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 ∨ℋ ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵)))
79	78	exp31 424	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → (𝑥 ⊆ 𝐵 → ((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ (𝐶 𝑀ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ 𝐴)) → ((𝑥 ∨ℋ (𝐶 ∨ℋ 𝐴)) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 ∨ℋ ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵)))))
80	79	com3r 88	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ (𝐶 𝑀ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ 𝐴)) → (𝑥 ∈ Cℋ → (𝑥 ⊆ 𝐵 → ((𝑥 ∨ℋ (𝐶 ∨ℋ 𝐴)) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 ∨ℋ ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵)))))
81	80	3impb 1132	. . . 4 ⊢ ((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐶 𝑀ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ 𝐴) → (𝑥 ∈ Cℋ → (𝑥 ⊆ 𝐵 → ((𝑥 ∨ℋ (𝐶 ∨ℋ 𝐴)) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 ∨ℋ ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵)))))
82	81	ralrimiv 3156	. . 3 ⊢ ((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐶 𝑀ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ 𝐴) → ∀𝑥 ∈ Cℋ (𝑥 ⊆ 𝐵 → ((𝑥 ∨ℋ (𝐶 ∨ℋ 𝐴)) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 ∨ℋ ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵))))
83		mdbr2 32626	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) 𝑀ℋ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ Cℋ (𝑥 ⊆ 𝐵 → ((𝑥 ∨ℋ (𝐶 ∨ℋ 𝐴)) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 ∨ℋ ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵)))))
84	5, 16, 83	mp2an 704	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) 𝑀ℋ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ Cℋ (𝑥 ⊆ 𝐵 → ((𝑥 ∨ℋ (𝐶 ∨ℋ 𝐴)) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 ∨ℋ ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵))))
85	82, 84	sylibr 237	. 2 ⊢ ((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐶 𝑀ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ 𝐴) → (𝐶 ∨ℋ 𝐴) 𝑀ℋ 𝐵)
86	1, 2	chjcomi 31798	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∨ℋ 𝐴) = (𝐴 ∨ℋ 𝐶)
87		incom 4163	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐵)
88	18, 87, 19	3eqtr3ri 2795	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐵)
89	86, 88	ineq12i 4172	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∩ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐵))
90		inass 4181	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ∩ 𝐵) = ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∩ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐵))
91	2, 16	chub1i 31799	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)
92		mdi 32625	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐶 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐶 𝑀ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐴 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) → ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = (𝐴 ∨ℋ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))
93	92	exp32 425	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → (𝐶 𝑀ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → (𝐴 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = (𝐴 ∨ℋ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))))
94	1, 29, 2, 93	mp3an 1490	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 𝑀ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → (𝐴 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = (𝐴 ∨ℋ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))))
95	91, 94	mpi 21	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 𝑀ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = (𝐴 ∨ℋ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))
96	2, 38	chjcomi 31798	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∨ℋ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) = ((𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ∨ℋ 𝐴)
97	38, 2	chlejb1i 31806	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ 𝐴 ↔ ((𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ∨ℋ 𝐴) = 𝐴)
98	97	biimpi 219	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ 𝐴 → ((𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ∨ℋ 𝐴) = 𝐴)
99	96, 98	eqtrid 2810	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ 𝐴 → (𝐴 ∨ℋ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) = 𝐴)
100	95, 99	sylan9eq 2818	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 𝑀ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ 𝐴) → ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = 𝐴)
101	100	ineq1d 4173	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 𝑀ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ 𝐴) → (((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ∩ 𝐵) = (𝐴 ∩ 𝐵))
102	90, 101	eqtr3id 2812	. . . 4 ⊢ ((𝐶 𝑀ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ 𝐴) → ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∩ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐵)) = (𝐴 ∩ 𝐵))
103	89, 102	eqtrid 2810	. . 3 ⊢ ((𝐶 𝑀ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ 𝐴) → ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝐴 ∩ 𝐵))
104	103	3adant1 1148	. 2 ⊢ ((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐶 𝑀ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ 𝐴) → ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝐴 ∩ 𝐵))
105	85, 104	jca 520	1 ⊢ ((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐶 𝑀ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ 𝐴) → ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) 𝑀ℋ 𝐵 ∧ ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝐴 ∩ 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079   ∩ cin 3905   ⊆ wss 3906   class class class wbr 5110  (class class class)co 7412   C_ℋ cch 31259   ∨_ℋ chj 31263   𝑀_ℋ cmd 31296

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-inf2 9611  ax-cc 10420  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-pre-sup 11179  ax-addf 11180  ax-mulf 11181  ax-hilex 31329  ax-hfvadd 31330  ax-hvcom 31331  ax-hvass 31332  ax-hv0cl 31333  ax-hvaddid 31334  ax-hfvmul 31335  ax-hvmulid 31336  ax-hvmulass 31337  ax-hvdistr1 31338  ax-hvdistr2 31339  ax-hvmul0 31340  ax-hfi 31409  ax-his1 31412  ax-his2 31413  ax-his3 31414  ax-his4 31415  ax-hcompl 31532

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7676  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8158  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-2o 8455  df-oadd 8458  df-omul 8459  df-er 8695  df-map 8827  df-pm 8828  df-ixp 8897  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-fsupp 9323  df-fi 9372  df-sup 9403  df-inf 9404  df-oi 9473  df-card 9926  df-acn 9929  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-4 12306  df-5 12307  df-6 12308  df-7 12309  df-8 12310  df-9 12311  df-n0 12506  df-z 12593  df-dec 12713  df-uz 12864  df-q 12974  df-rp 13018  df-xneg 13138  df-xadd 13139  df-xmul 13140  df-ioo 13377  df-ico 13379  df-icc 13380  df-fz 13537  df-fzo 13685  df-fl 13827  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14369  df-cj 15152  df-re 15153  df-im 15154  df-sqrt 15288  df-abs 15289  df-clim 15541  df-rlim 15542  df-sum 15740  df-struct 17208  df-sets 17225  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-ress 17292  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-hom 17335  df-cco 17336  df-rest 17476  df-topn 17477  df-0g 17495  df-gsum 17496  df-topgen 17497  df-pt 17498  df-prds 17501  df-xrs 17557  df-qtop 17562  df-imas 17563  df-xps 17565  df-mre 17639  df-mrc 17640  df-acs 17642  df-mgm 18699  df-sgrp 18778  df-mnd 18794  df-submnd 18843  df-mulg 19135  df-cntz 19388  df-cmn 19853  df-psmet 21495  df-xmet 21496  df-met 21497  df-bl 21498  df-mopn 21499  df-fbas 21500  df-fg 21501  df-cnfld 21504  df-top 23032  df-topon 23049  df-topsp 23071  df-bases 23084  df-cld 23157  df-ntr 23158  df-cls 23159  df-nei 23236  df-cn 23365  df-cnp 23366  df-lm 23367  df-haus 23453  df-tx 23700  df-hmeo 23893  df-fil 23984  df-fm 24076  df-flim 24077  df-flf 24078  df-xms 24458  df-ms 24459  df-tms 24460  df-cfil 25395  df-cau 25396  df-cmet 25397  df-grpo 30823  df-gid 30824  df-ginv 30825  df-gdiv 30826  df-ablo 30875  df-vc 30889  df-nv 30922  df-va 30925  df-ba 30926  df-sm 30927  df-0v 30928  df-vs 30929  df-nmcv 30930  df-ims 30931  df-dip 31031  df-ssp 31052  df-ph 31143  df-cbn 31193  df-hnorm 31298  df-hba 31299  df-hvsub 31301  df-hlim 31302  df-hcau 31303  df-sh 31537  df-ch 31551  df-oc 31582  df-ch0 31583  df-shs 31638  df-chj 31640  df-md 32610

This theorem is referenced by: (None)