Theorem mdexchi 32596

Description: An exchange lemma for modular pairs. Lemma 1.6 of [MaedaMaeda] p. 2. (Contributed by NM, 22-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdexch.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
mdexch.2	⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
mdexch.3	⊢ 𝐶 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
mdexchi	⊢ ((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐶 𝑀ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ 𝐴) → ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) 𝑀ℋ 𝐵 ∧ ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝐴 ∩ 𝐵)))

Proof of Theorem mdexchi

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mdexch.3	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐶 ∈ Cℋ
2		mdexch.1	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
3		chjass 31794	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐶 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝑥) = (𝐶 ∨ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝑥)))
4	1, 2, 3	mp3an12 1475	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝑥) = (𝐶 ∨ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝑥)))
5	1, 2	chjcli 31718	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∈ Cℋ
6		chjcom 31767	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ (𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∈ Cℋ ) → (𝑥 ∨ℋ (𝐶 ∨ℋ 𝐴)) = ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝑥))
7	5, 6	mpan2 703	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → (𝑥 ∨ℋ (𝐶 ∨ℋ 𝐴)) = ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝑥))
8		chjcl 31618	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∈ Cℋ )
9	2, 8	mpan 702	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → (𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∈ Cℋ )
10		chjcom 31767	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ 𝐶) = (𝐶 ∨ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝑥)))
11	9, 1, 10	sylancl 597	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ 𝐶) = (𝐶 ∨ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝑥)))
12	4, 7, 11	3eqtr4d 2810	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → (𝑥 ∨ℋ (𝐶 ∨ℋ 𝐴)) = ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ 𝐶))
13	12	ineq1d 4174	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → ((𝑥 ∨ℋ (𝐶 ∨ℋ 𝐴)) ∩ 𝐵) = (((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐵))
14		inass 4182	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ 𝐶) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ∩ 𝐵) = (((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ 𝐶) ∩ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐵))
15		incom 4164	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐵) = (𝐵 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
16		mdexch.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
17	2, 16	chjcomi 31729	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) = (𝐵 ∨ℋ 𝐴)
18	17	ineq2i 4172	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐵 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = (𝐵 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐴))
19	16, 2	chabs2i 31780	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐵 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐴)) = 𝐵
20	18, 19	eqtri 2788	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐵 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = 𝐵
21	15, 20	eqtri 2788	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐵) = 𝐵
22	21	ineq2i 4172	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ 𝐶) ∩ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐵)) = (((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐵)
23	14, 22	eqtri 2788	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ 𝐶) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ∩ 𝐵) = (((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ 𝐶) ∩ 𝐵)
24	13, 23	eqtr4di 2818	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → ((𝑥 ∨ℋ (𝐶 ∨ℋ 𝐴)) ∩ 𝐵) = ((((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ 𝐶) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ∩ 𝐵))
25	24	ad2antrr 738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐶 𝑀ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ 𝐴)) → ((𝑥 ∨ℋ (𝐶 ∨ℋ 𝐴)) ∩ 𝐵) = ((((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ 𝐶) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ∩ 𝐵))
26		chlej2 31772	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) → (𝐴 ∨ℋ 𝑥) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
27	26	ex 417	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → (𝑥 ⊆ 𝐵 → (𝐴 ∨ℋ 𝑥) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
28	16, 2, 27	mp3an23 1477	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → (𝑥 ⊆ 𝐵 → (𝐴 ∨ℋ 𝑥) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
29	2, 16	chjcli 31718	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∈ Cℋ
30		mdi 32556	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐶 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∈ Cℋ ) ∧ (𝐶 𝑀ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝐴 ∨ℋ 𝑥) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) → (((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ 𝐶) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))
31	30	exp32 425	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐶 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∈ Cℋ ) → (𝐶 𝑀ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → (((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ 𝐶) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))))
32	1, 29, 31	mp3an12 1475	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∈ Cℋ → (𝐶 𝑀ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → (((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ 𝐶) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))))
33	9, 32	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → (𝐶 𝑀ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → (((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ 𝐶) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))))
34	33	com23 87	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → (𝐶 𝑀ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → (((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ 𝐶) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))))
35	28, 34	syld 48	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → (𝑥 ⊆ 𝐵 → (𝐶 𝑀ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → (((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ 𝐶) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))))
36	35	imp31 422	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐶 𝑀ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → (((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ 𝐶) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))
37	36	adantrr 729	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐶 𝑀ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ 𝐴)) → (((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ 𝐶) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))
38	1, 29	chincli 31721	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ∈ Cℋ
39		chlej2 31772	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∈ Cℋ ) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ 𝐴) → ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ 𝐴))
40	39	ex 417	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∈ Cℋ ) → ((𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ 𝐴 → ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ 𝐴)))
41	38, 2, 40	mp3an12 1475	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∈ Cℋ → ((𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ 𝐴 → ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ 𝐴)))
42	9, 41	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → ((𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ 𝐴 → ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ 𝐴)))
43	42	imp 411	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ 𝐴) → ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ 𝐴))
44		chjcom 31767	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ 𝐴) = (𝐴 ∨ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝑥)))
45	9, 2, 44	sylancl 597	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ 𝐴) = (𝐴 ∨ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝑥)))
46	2	chjidmi 31782	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 ∨ℋ 𝐴) = 𝐴
47	46	oveq1i 7410	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝑥) = (𝐴 ∨ℋ 𝑥)
48		chjass 31794	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → ((𝐴 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝑥) = (𝐴 ∨ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝑥)))
49	2, 2, 48	mp3an12 1475	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → ((𝐴 ∨ℋ 𝐴) ∨ℋ 𝑥) = (𝐴 ∨ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝑥)))
50		chjcom 31767	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (𝐴 ∨ℋ 𝑥) = (𝑥 ∨ℋ 𝐴))
51	2, 50	mpan 702	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → (𝐴 ∨ℋ 𝑥) = (𝑥 ∨ℋ 𝐴))
52	47, 49, 51	3eqtr3a 2824	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → (𝐴 ∨ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝑥)) = (𝑥 ∨ℋ 𝐴))
53	45, 52	eqtrd 2800	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ 𝐴) = (𝑥 ∨ℋ 𝐴))
54	53	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ 𝐴) → ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ 𝐴) = (𝑥 ∨ℋ 𝐴))
55	43, 54	sseqtrd 3975	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ 𝐴) → ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) ⊆ (𝑥 ∨ℋ 𝐴))
56	55	ad2ant2rl 761	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐶 𝑀ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ 𝐴)) → ((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) ⊆ (𝑥 ∨ℋ 𝐴))
57	37, 56	eqsstrd 3973	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐶 𝑀ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ 𝐴)) → (((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ 𝐶) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (𝑥 ∨ℋ 𝐴))
58	57	ssrind 4198	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐶 𝑀ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ 𝐴)) → ((((𝐴 ∨ℋ 𝑥) ∨ℋ 𝐶) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ∩ 𝐵) ⊆ ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵))
59	25, 58	eqsstrd 3973	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐶 𝑀ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ 𝐴)) → ((𝑥 ∨ℋ (𝐶 ∨ℋ 𝐴)) ∩ 𝐵) ⊆ ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵))
60	59	adantrl 728	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ (𝐶 𝑀ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ 𝐴))) → ((𝑥 ∨ℋ (𝐶 ∨ℋ 𝐴)) ∩ 𝐵) ⊆ ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵))
61		mdi 32556	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵)) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)))
62	61	exp32 425	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (𝐴 𝑀ℋ 𝐵 → (𝑥 ⊆ 𝐵 → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)))))
63	2, 16, 62	mp3an12 1475	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → (𝐴 𝑀ℋ 𝐵 → (𝑥 ⊆ 𝐵 → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)))))
64	63	com23 87	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → (𝑥 ⊆ 𝐵 → (𝐴 𝑀ℋ 𝐵 → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)))))
65	64	imp31 422	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐴 𝑀ℋ 𝐵) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)))
66	2, 1	chub2i 31731	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐴 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝐴)
67		ssrin 4196	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝐴) → (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵))
68	66, 67	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵)
69	2, 16	chincli 31721	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ
70	5, 16	chincli 31721	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) ∈ Cℋ
71		chlej2 31772	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ ∧ ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵)) → (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ (𝑥 ∨ℋ ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵)))
72	71	ex 417	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ ∧ ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) → (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ (𝑥 ∨ℋ ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵))))
73	69, 70, 72	mp3an12 1475	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) → (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ (𝑥 ∨ℋ ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵))))
74	68, 73	mpi 21	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ (𝑥 ∨ℋ ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵)))
75	74	ad2antrr 738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐴 𝑀ℋ 𝐵) → (𝑥 ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ (𝑥 ∨ℋ ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵)))
76	65, 75	eqsstrd 3973	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐴 𝑀ℋ 𝐵) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 ∨ℋ ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵)))
77	76	adantrr 729	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ (𝐶 𝑀ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ 𝐴))) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 ∨ℋ ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵)))
78	60, 77	sstrd 3949	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ (𝐶 𝑀ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ 𝐴))) → ((𝑥 ∨ℋ (𝐶 ∨ℋ 𝐴)) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 ∨ℋ ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵)))
79	78	exp31 424	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → (𝑥 ⊆ 𝐵 → ((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ (𝐶 𝑀ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ 𝐴)) → ((𝑥 ∨ℋ (𝐶 ∨ℋ 𝐴)) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 ∨ℋ ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵)))))
80	79	com3r 88	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ (𝐶 𝑀ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ 𝐴)) → (𝑥 ∈ Cℋ → (𝑥 ⊆ 𝐵 → ((𝑥 ∨ℋ (𝐶 ∨ℋ 𝐴)) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 ∨ℋ ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵)))))
81	80	3impb 1130	. . . 4 ⊢ ((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐶 𝑀ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ 𝐴) → (𝑥 ∈ Cℋ → (𝑥 ⊆ 𝐵 → ((𝑥 ∨ℋ (𝐶 ∨ℋ 𝐴)) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 ∨ℋ ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵)))))
82	81	ralrimiv 3156	. . 3 ⊢ ((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐶 𝑀ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ 𝐴) → ∀𝑥 ∈ Cℋ (𝑥 ⊆ 𝐵 → ((𝑥 ∨ℋ (𝐶 ∨ℋ 𝐴)) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 ∨ℋ ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵))))
83		mdbr2 32557	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) 𝑀ℋ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ Cℋ (𝑥 ⊆ 𝐵 → ((𝑥 ∨ℋ (𝐶 ∨ℋ 𝐴)) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 ∨ℋ ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵)))))
84	5, 16, 83	mp2an 704	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) 𝑀ℋ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ Cℋ (𝑥 ⊆ 𝐵 → ((𝑥 ∨ℋ (𝐶 ∨ℋ 𝐴)) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 ∨ℋ ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵))))
85	82, 84	sylibr 237	. 2 ⊢ ((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐶 𝑀ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ 𝐴) → (𝐶 ∨ℋ 𝐴) 𝑀ℋ 𝐵)
86	1, 2	chjcomi 31729	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∨ℋ 𝐴) = (𝐴 ∨ℋ 𝐶)
87		incom 4164	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐵)
88	18, 87, 19	3eqtr3ri 2797	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐵)
89	86, 88	ineq12i 4173	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∩ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐵))
90		inass 4182	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ∩ 𝐵) = ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∩ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐵))
91	2, 16	chub1i 31730	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)
92		mdi 32556	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐶 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐶 𝑀ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝐴 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) → ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = (𝐴 ∨ℋ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))
93	92	exp32 425	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → (𝐶 𝑀ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → (𝐴 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = (𝐴 ∨ℋ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))))
94	1, 29, 2, 93	mp3an 1485	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 𝑀ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → (𝐴 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = (𝐴 ∨ℋ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))))
95	91, 94	mpi 21	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 𝑀ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = (𝐴 ∨ℋ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))))
96	2, 38	chjcomi 31729	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∨ℋ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) = ((𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ∨ℋ 𝐴)
97	38, 2	chlejb1i 31737	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ 𝐴 ↔ ((𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ∨ℋ 𝐴) = 𝐴)
98	97	biimpi 219	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ 𝐴 → ((𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ∨ℋ 𝐴) = 𝐴)
99	96, 98	eqtrid 2812	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ 𝐴 → (𝐴 ∨ℋ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) = 𝐴)
100	95, 99	sylan9eq 2820	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 𝑀ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ 𝐴) → ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = 𝐴)
101	100	ineq1d 4174	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 𝑀ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ 𝐴) → (((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ∩ 𝐵) = (𝐴 ∩ 𝐵))
102	90, 101	eqtr3id 2814	. . . 4 ⊢ ((𝐶 𝑀ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ 𝐴) → ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∩ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐵)) = (𝐴 ∩ 𝐵))
103	89, 102	eqtrid 2812	. . 3 ⊢ ((𝐶 𝑀ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ 𝐴) → ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝐴 ∩ 𝐵))
104	103	3adant1 1146	. 2 ⊢ ((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐶 𝑀ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ 𝐴) → ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝐴 ∩ 𝐵))
105	85, 104	jca 520	1 ⊢ ((𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝐶 𝑀ℋ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ 𝐴) → ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) 𝑀ℋ 𝐵 ∧ ((𝐶 ∨ℋ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝐴 ∩ 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ∀wral 3079   ∩ cin 3906   ⊆ wss 3907   class class class wbr 5105  (class class class)co 7400   C_ℋ cch 31190   ∨_ℋ chj 31194   𝑀_ℋ cmd 31227

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-inf2 9598  ax-cc 10407  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166  ax-addf 11167  ax-mulf 11168  ax-hilex 31260  ax-hfvadd 31261  ax-hvcom 31262  ax-hvass 31263  ax-hv0cl 31264  ax-hvaddid 31265  ax-hfvmul 31266  ax-hvmulid 31267  ax-hvmulass 31268  ax-hvdistr1 31269  ax-hvdistr2 31270  ax-hvmul0 31271  ax-hfi 31340  ax-his1 31343  ax-his2 31344  ax-his3 31345  ax-his4 31346  ax-hcompl 31463

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-iin 4955  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-se 5606  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-isom 6534  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-of 7664  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8145  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-2o 8442  df-oadd 8445  df-omul 8446  df-er 8682  df-map 8814  df-pm 8815  df-ixp 8884  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-fsupp 9310  df-fi 9359  df-sup 9390  df-inf 9391  df-oi 9460  df-card 9913  df-acn 9916  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-4 12296  df-5 12297  df-6 12298  df-7 12299  df-8 12300  df-9 12301  df-n0 12496  df-z 12583  df-dec 12703  df-uz 12854  df-q 12964  df-rp 13008  df-xneg 13128  df-xadd 13129  df-xmul 13130  df-ioo 13367  df-ico 13369  df-icc 13370  df-fz 13527  df-fzo 13674  df-fl 13816  df-seq 14029  df-exp 14089  df-hash 14358  df-cj 15140  df-re 15141  df-im 15142  df-sqrt 15276  df-abs 15277  df-clim 15529  df-rlim 15530  df-sum 15728  df-struct 17197  df-sets 17214  df-slot 17232  df-ndx 17244  df-base 17260  df-ress 17281  df-plusg 17313  df-mulr 17314  df-starv 17315  df-sca 17316  df-vsca 17317  df-ip 17318  df-tset 17319  df-ple 17320  df-ds 17322  df-unif 17323  df-hom 17324  df-cco 17325  df-rest 17465  df-topn 17466  df-0g 17484  df-gsum 17485  df-topgen 17486  df-pt 17487  df-prds 17490  df-xrs 17546  df-qtop 17551  df-imas 17552  df-xps 17554  df-mre 17628  df-mrc 17629  df-acs 17631  df-mgm 18688  df-sgrp 18767  df-mnd 18783  df-submnd 18832  df-mulg 19125  df-cntz 19378  df-cmn 19843  df-psmet 21474  df-xmet 21475  df-met 21476  df-bl 21477  df-mopn 21478  df-fbas 21479  df-fg 21480  df-cnfld 21483  df-top 23012  df-topon 23029  df-topsp 23051  df-bases 23064  df-cld 23137  df-ntr 23138  df-cls 23139  df-nei 23216  df-cn 23345  df-cnp 23346  df-lm 23347  df-haus 23433  df-tx 23680  df-hmeo 23873  df-fil 23964  df-fm 24056  df-flim 24057  df-flf 24058  df-xms 24438  df-ms 24439  df-tms 24440  df-cfil 25375  df-cau 25376  df-cmet 25377  df-grpo 30754  df-gid 30755  df-ginv 30756  df-gdiv 30757  df-ablo 30806  df-vc 30820  df-nv 30853  df-va 30856  df-ba 30857  df-sm 30858  df-0v 30859  df-vs 30860  df-nmcv 30861  df-ims 30862  df-dip 30962  df-ssp 30983  df-ph 31074  df-cbn 31124  df-hnorm 31229  df-hba 31230  df-hvsub 31232  df-hlim 31233  df-hcau 31234  df-sh 31468  df-ch 31482  df-oc 31513  df-ch0 31514  df-shs 31569  df-chj 31571  df-md 32541

This theorem is referenced by: (None)