HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  mdexchi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdexchi 32165
Description: An exchange lemma for modular pairs. Lemma 1.6 of [MaedaMaeda] p. 2. (Contributed by NM, 22-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mdexch.1 𝐴C
mdexch.2 𝐵C
mdexch.3 𝐶C
Assertion
Ref Expression
mdexchi ((𝐴 𝑀 𝐵𝐶 𝑀 (𝐴 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ 𝐴) → ((𝐶 𝐴) 𝑀 𝐵 ∧ ((𝐶 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝐴𝐵)))

Proof of Theorem mdexchi
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mdexch.3 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐶C
2 mdexch.1 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐴C
3 chjass 31363 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐶C𝐴C𝑥C ) → ((𝐶 𝐴) ∨ 𝑥) = (𝐶 (𝐴 𝑥)))
41, 2, 3mp3an12 1447 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥C → ((𝐶 𝐴) ∨ 𝑥) = (𝐶 (𝐴 𝑥)))
51, 2chjcli 31287 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐶 𝐴) ∈ C
6 chjcom 31336 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥C ∧ (𝐶 𝐴) ∈ C ) → (𝑥 (𝐶 𝐴)) = ((𝐶 𝐴) ∨ 𝑥))
75, 6mpan2 689 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥C → (𝑥 (𝐶 𝐴)) = ((𝐶 𝐴) ∨ 𝑥))
8 chjcl 31187 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴C𝑥C ) → (𝐴 𝑥) ∈ C )
92, 8mpan 688 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥C → (𝐴 𝑥) ∈ C )
10 chjcom 31336 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 𝑥) ∈ C𝐶C ) → ((𝐴 𝑥) ∨ 𝐶) = (𝐶 (𝐴 𝑥)))
119, 1, 10sylancl 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥C → ((𝐴 𝑥) ∨ 𝐶) = (𝐶 (𝐴 𝑥)))
124, 7, 113eqtr4d 2778 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥C → (𝑥 (𝐶 𝐴)) = ((𝐴 𝑥) ∨ 𝐶))
1312ineq1d 4213 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥C → ((𝑥 (𝐶 𝐴)) ∩ 𝐵) = (((𝐴 𝑥) ∨ 𝐶) ∩ 𝐵))
14 inass 4222 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 𝑥) ∨ 𝐶) ∩ (𝐴 𝐵)) ∩ 𝐵) = (((𝐴 𝑥) ∨ 𝐶) ∩ ((𝐴 𝐵) ∩ 𝐵))
15 incom 4203 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 𝐵) ∩ 𝐵) = (𝐵 ∩ (𝐴 𝐵))
16 mdexch.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐵C
172, 16chjcomi 31298 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 𝐵) = (𝐵 𝐴)
1817ineq2i 4211 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐵 ∩ (𝐴 𝐵)) = (𝐵 ∩ (𝐵 𝐴))
1916, 2chabs2i 31349 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐵 ∩ (𝐵 𝐴)) = 𝐵
2018, 19eqtri 2756 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐵 ∩ (𝐴 𝐵)) = 𝐵
2115, 20eqtri 2756 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 𝐵) ∩ 𝐵) = 𝐵
2221ineq2i 4211 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 𝑥) ∨ 𝐶) ∩ ((𝐴 𝐵) ∩ 𝐵)) = (((𝐴 𝑥) ∨ 𝐶) ∩ 𝐵)
2314, 22eqtri 2756 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 𝑥) ∨ 𝐶) ∩ (𝐴 𝐵)) ∩ 𝐵) = (((𝐴 𝑥) ∨ 𝐶) ∩ 𝐵)
2413, 23eqtr4di 2786 . . . . . . . . . . 11 (𝑥C → ((𝑥 (𝐶 𝐴)) ∩ 𝐵) = ((((𝐴 𝑥) ∨ 𝐶) ∩ (𝐴 𝐵)) ∩ 𝐵))
2524ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((𝑥C𝑥𝐵) ∧ (𝐶 𝑀 (𝐴 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ 𝐴)) → ((𝑥 (𝐶 𝐴)) ∩ 𝐵) = ((((𝐴 𝑥) ∨ 𝐶) ∩ (𝐴 𝐵)) ∩ 𝐵))
26 chlej2 31341 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑥C𝐵C𝐴C ) ∧ 𝑥𝐵) → (𝐴 𝑥) ⊆ (𝐴 𝐵))
2726ex 411 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥C𝐵C𝐴C ) → (𝑥𝐵 → (𝐴 𝑥) ⊆ (𝐴 𝐵)))
2816, 2, 27mp3an23 1449 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥C → (𝑥𝐵 → (𝐴 𝑥) ⊆ (𝐴 𝐵)))
292, 16chjcli 31287 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 𝐵) ∈ C
30 mdi 32125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐶C ∧ (𝐴 𝐵) ∈ C ∧ (𝐴 𝑥) ∈ C ) ∧ (𝐶 𝑀 (𝐴 𝐵) ∧ (𝐴 𝑥) ⊆ (𝐴 𝐵))) → (((𝐴 𝑥) ∨ 𝐶) ∩ (𝐴 𝐵)) = ((𝐴 𝑥) ∨ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵))))
3130exp32 419 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐶C ∧ (𝐴 𝐵) ∈ C ∧ (𝐴 𝑥) ∈ C ) → (𝐶 𝑀 (𝐴 𝐵) → ((𝐴 𝑥) ⊆ (𝐴 𝐵) → (((𝐴 𝑥) ∨ 𝐶) ∩ (𝐴 𝐵)) = ((𝐴 𝑥) ∨ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵))))))
321, 29, 31mp3an12 1447 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 𝑥) ∈ C → (𝐶 𝑀 (𝐴 𝐵) → ((𝐴 𝑥) ⊆ (𝐴 𝐵) → (((𝐴 𝑥) ∨ 𝐶) ∩ (𝐴 𝐵)) = ((𝐴 𝑥) ∨ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵))))))
339, 32syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥C → (𝐶 𝑀 (𝐴 𝐵) → ((𝐴 𝑥) ⊆ (𝐴 𝐵) → (((𝐴 𝑥) ∨ 𝐶) ∩ (𝐴 𝐵)) = ((𝐴 𝑥) ∨ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵))))))
3433com23 86 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥C → ((𝐴 𝑥) ⊆ (𝐴 𝐵) → (𝐶 𝑀 (𝐴 𝐵) → (((𝐴 𝑥) ∨ 𝐶) ∩ (𝐴 𝐵)) = ((𝐴 𝑥) ∨ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵))))))
3528, 34syld 47 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥C → (𝑥𝐵 → (𝐶 𝑀 (𝐴 𝐵) → (((𝐴 𝑥) ∨ 𝐶) ∩ (𝐴 𝐵)) = ((𝐴 𝑥) ∨ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵))))))
3635imp31 416 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥C𝑥𝐵) ∧ 𝐶 𝑀 (𝐴 𝐵)) → (((𝐴 𝑥) ∨ 𝐶) ∩ (𝐴 𝐵)) = ((𝐴 𝑥) ∨ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵))))
3736adantrr 715 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥C𝑥𝐵) ∧ (𝐶 𝑀 (𝐴 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ 𝐴)) → (((𝐴 𝑥) ∨ 𝐶) ∩ (𝐴 𝐵)) = ((𝐴 𝑥) ∨ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵))))
381, 29chincli 31290 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵)) ∈ C
39 chlej2 31341 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐶 ∩ (𝐴 𝐵)) ∈ C𝐴C ∧ (𝐴 𝑥) ∈ C ) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ 𝐴) → ((𝐴 𝑥) ∨ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵))) ⊆ ((𝐴 𝑥) ∨ 𝐴))
4039ex 411 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐶 ∩ (𝐴 𝐵)) ∈ C𝐴C ∧ (𝐴 𝑥) ∈ C ) → ((𝐶 ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ 𝐴 → ((𝐴 𝑥) ∨ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵))) ⊆ ((𝐴 𝑥) ∨ 𝐴)))
4138, 2, 40mp3an12 1447 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 𝑥) ∈ C → ((𝐶 ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ 𝐴 → ((𝐴 𝑥) ∨ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵))) ⊆ ((𝐴 𝑥) ∨ 𝐴)))
429, 41syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥C → ((𝐶 ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ 𝐴 → ((𝐴 𝑥) ∨ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵))) ⊆ ((𝐴 𝑥) ∨ 𝐴)))
4342imp 405 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥C ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ 𝐴) → ((𝐴 𝑥) ∨ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵))) ⊆ ((𝐴 𝑥) ∨ 𝐴))
44 chjcom 31336 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 𝑥) ∈ C𝐴C ) → ((𝐴 𝑥) ∨ 𝐴) = (𝐴 (𝐴 𝑥)))
459, 2, 44sylancl 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥C → ((𝐴 𝑥) ∨ 𝐴) = (𝐴 (𝐴 𝑥)))
462chjidmi 31351 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 𝐴) = 𝐴
4746oveq1i 7436 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 𝐴) ∨ 𝑥) = (𝐴 𝑥)
48 chjass 31363 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴C𝐴C𝑥C ) → ((𝐴 𝐴) ∨ 𝑥) = (𝐴 (𝐴 𝑥)))
492, 2, 48mp3an12 1447 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥C → ((𝐴 𝐴) ∨ 𝑥) = (𝐴 (𝐴 𝑥)))
50 chjcom 31336 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴C𝑥C ) → (𝐴 𝑥) = (𝑥 𝐴))
512, 50mpan 688 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥C → (𝐴 𝑥) = (𝑥 𝐴))
5247, 49, 513eqtr3a 2792 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥C → (𝐴 (𝐴 𝑥)) = (𝑥 𝐴))
5345, 52eqtrd 2768 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥C → ((𝐴 𝑥) ∨ 𝐴) = (𝑥 𝐴))
5453adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥C ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ 𝐴) → ((𝐴 𝑥) ∨ 𝐴) = (𝑥 𝐴))
5543, 54sseqtrd 4022 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥C ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ 𝐴) → ((𝐴 𝑥) ∨ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵))) ⊆ (𝑥 𝐴))
5655ad2ant2rl 747 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥C𝑥𝐵) ∧ (𝐶 𝑀 (𝐴 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ 𝐴)) → ((𝐴 𝑥) ∨ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵))) ⊆ (𝑥 𝐴))
5737, 56eqsstrd 4020 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥C𝑥𝐵) ∧ (𝐶 𝑀 (𝐴 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ 𝐴)) → (((𝐴 𝑥) ∨ 𝐶) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (𝑥 𝐴))
5857ssrind 4238 . . . . . . . . . 10 (((𝑥C𝑥𝐵) ∧ (𝐶 𝑀 (𝐴 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ 𝐴)) → ((((𝐴 𝑥) ∨ 𝐶) ∩ (𝐴 𝐵)) ∩ 𝐵) ⊆ ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵))
5925, 58eqsstrd 4020 . . . . . . . . 9 (((𝑥C𝑥𝐵) ∧ (𝐶 𝑀 (𝐴 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ 𝐴)) → ((𝑥 (𝐶 𝐴)) ∩ 𝐵) ⊆ ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵))
6059adantrl 714 . . . . . . . 8 (((𝑥C𝑥𝐵) ∧ (𝐴 𝑀 𝐵 ∧ (𝐶 𝑀 (𝐴 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ 𝐴))) → ((𝑥 (𝐶 𝐴)) ∩ 𝐵) ⊆ ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵))
61 mdi 32125 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴C𝐵C𝑥C ) ∧ (𝐴 𝑀 𝐵𝑥𝐵)) → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 (𝐴𝐵)))
6261exp32 419 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴C𝐵C𝑥C ) → (𝐴 𝑀 𝐵 → (𝑥𝐵 → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 (𝐴𝐵)))))
632, 16, 62mp3an12 1447 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥C → (𝐴 𝑀 𝐵 → (𝑥𝐵 → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 (𝐴𝐵)))))
6463com23 86 . . . . . . . . . . 11 (𝑥C → (𝑥𝐵 → (𝐴 𝑀 𝐵 → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 (𝐴𝐵)))))
6564imp31 416 . . . . . . . . . 10 (((𝑥C𝑥𝐵) ∧ 𝐴 𝑀 𝐵) → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 (𝐴𝐵)))
662, 1chub2i 31300 . . . . . . . . . . . . 13 𝐴 ⊆ (𝐶 𝐴)
67 ssrin 4236 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ⊆ (𝐶 𝐴) → (𝐴𝐵) ⊆ ((𝐶 𝐴) ∩ 𝐵))
6866, 67ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴𝐵) ⊆ ((𝐶 𝐴) ∩ 𝐵)
692, 16chincli 31290 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴𝐵) ∈ C
705, 16chincli 31290 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐶 𝐴) ∩ 𝐵) ∈ C
71 chlej2 31341 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴𝐵) ∈ C ∧ ((𝐶 𝐴) ∩ 𝐵) ∈ C𝑥C ) ∧ (𝐴𝐵) ⊆ ((𝐶 𝐴) ∩ 𝐵)) → (𝑥 (𝐴𝐵)) ⊆ (𝑥 ((𝐶 𝐴) ∩ 𝐵)))
7271ex 411 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴𝐵) ∈ C ∧ ((𝐶 𝐴) ∩ 𝐵) ∈ C𝑥C ) → ((𝐴𝐵) ⊆ ((𝐶 𝐴) ∩ 𝐵) → (𝑥 (𝐴𝐵)) ⊆ (𝑥 ((𝐶 𝐴) ∩ 𝐵))))
7369, 70, 72mp3an12 1447 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥C → ((𝐴𝐵) ⊆ ((𝐶 𝐴) ∩ 𝐵) → (𝑥 (𝐴𝐵)) ⊆ (𝑥 ((𝐶 𝐴) ∩ 𝐵))))
7468, 73mpi 20 . . . . . . . . . . 11 (𝑥C → (𝑥 (𝐴𝐵)) ⊆ (𝑥 ((𝐶 𝐴) ∩ 𝐵)))
7574ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((𝑥C𝑥𝐵) ∧ 𝐴 𝑀 𝐵) → (𝑥 (𝐴𝐵)) ⊆ (𝑥 ((𝐶 𝐴) ∩ 𝐵)))
7665, 75eqsstrd 4020 . . . . . . . . 9 (((𝑥C𝑥𝐵) ∧ 𝐴 𝑀 𝐵) → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 ((𝐶 𝐴) ∩ 𝐵)))
7776adantrr 715 . . . . . . . 8 (((𝑥C𝑥𝐵) ∧ (𝐴 𝑀 𝐵 ∧ (𝐶 𝑀 (𝐴 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ 𝐴))) → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 ((𝐶 𝐴) ∩ 𝐵)))
7860, 77sstrd 3992 . . . . . . 7 (((𝑥C𝑥𝐵) ∧ (𝐴 𝑀 𝐵 ∧ (𝐶 𝑀 (𝐴 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ 𝐴))) → ((𝑥 (𝐶 𝐴)) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 ((𝐶 𝐴) ∩ 𝐵)))
7978exp31 418 . . . . . 6 (𝑥C → (𝑥𝐵 → ((𝐴 𝑀 𝐵 ∧ (𝐶 𝑀 (𝐴 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ 𝐴)) → ((𝑥 (𝐶 𝐴)) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 ((𝐶 𝐴) ∩ 𝐵)))))
8079com3r 87 . . . . 5 ((𝐴 𝑀 𝐵 ∧ (𝐶 𝑀 (𝐴 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ 𝐴)) → (𝑥C → (𝑥𝐵 → ((𝑥 (𝐶 𝐴)) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 ((𝐶 𝐴) ∩ 𝐵)))))
81803impb 1112 . . . 4 ((𝐴 𝑀 𝐵𝐶 𝑀 (𝐴 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ 𝐴) → (𝑥C → (𝑥𝐵 → ((𝑥 (𝐶 𝐴)) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 ((𝐶 𝐴) ∩ 𝐵)))))
8281ralrimiv 3142 . . 3 ((𝐴 𝑀 𝐵𝐶 𝑀 (𝐴 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ 𝐴) → ∀𝑥C (𝑥𝐵 → ((𝑥 (𝐶 𝐴)) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 ((𝐶 𝐴) ∩ 𝐵))))
83 mdbr2 32126 . . . 4 (((𝐶 𝐴) ∈ C𝐵C ) → ((𝐶 𝐴) 𝑀 𝐵 ↔ ∀𝑥C (𝑥𝐵 → ((𝑥 (𝐶 𝐴)) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 ((𝐶 𝐴) ∩ 𝐵)))))
845, 16, 83mp2an 690 . . 3 ((𝐶 𝐴) 𝑀 𝐵 ↔ ∀𝑥C (𝑥𝐵 → ((𝑥 (𝐶 𝐴)) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 ((𝐶 𝐴) ∩ 𝐵))))
8582, 84sylibr 233 . 2 ((𝐴 𝑀 𝐵𝐶 𝑀 (𝐴 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ 𝐴) → (𝐶 𝐴) 𝑀 𝐵)
861, 2chjcomi 31298 . . . . 5 (𝐶 𝐴) = (𝐴 𝐶)
87 incom 4203 . . . . . 6 (𝐵 ∩ (𝐴 𝐵)) = ((𝐴 𝐵) ∩ 𝐵)
8818, 87, 193eqtr3ri 2765 . . . . 5 𝐵 = ((𝐴 𝐵) ∩ 𝐵)
8986, 88ineq12i 4212 . . . 4 ((𝐶 𝐴) ∩ 𝐵) = ((𝐴 𝐶) ∩ ((𝐴 𝐵) ∩ 𝐵))
90 inass 4222 . . . . 5 (((𝐴 𝐶) ∩ (𝐴 𝐵)) ∩ 𝐵) = ((𝐴 𝐶) ∩ ((𝐴 𝐵) ∩ 𝐵))
912, 16chub1i 31299 . . . . . . . 8 𝐴 ⊆ (𝐴 𝐵)
92 mdi 32125 . . . . . . . . . 10 (((𝐶C ∧ (𝐴 𝐵) ∈ C𝐴C ) ∧ (𝐶 𝑀 (𝐴 𝐵) ∧ 𝐴 ⊆ (𝐴 𝐵))) → ((𝐴 𝐶) ∩ (𝐴 𝐵)) = (𝐴 (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵))))
9392exp32 419 . . . . . . . . 9 ((𝐶C ∧ (𝐴 𝐵) ∈ C𝐴C ) → (𝐶 𝑀 (𝐴 𝐵) → (𝐴 ⊆ (𝐴 𝐵) → ((𝐴 𝐶) ∩ (𝐴 𝐵)) = (𝐴 (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵))))))
941, 29, 2, 93mp3an 1457 . . . . . . . 8 (𝐶 𝑀 (𝐴 𝐵) → (𝐴 ⊆ (𝐴 𝐵) → ((𝐴 𝐶) ∩ (𝐴 𝐵)) = (𝐴 (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵)))))
9591, 94mpi 20 . . . . . . 7 (𝐶 𝑀 (𝐴 𝐵) → ((𝐴 𝐶) ∩ (𝐴 𝐵)) = (𝐴 (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵))))
962, 38chjcomi 31298 . . . . . . . 8 (𝐴 (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵))) = ((𝐶 ∩ (𝐴 𝐵)) ∨ 𝐴)
9738, 2chlejb1i 31306 . . . . . . . . 9 ((𝐶 ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ 𝐴 ↔ ((𝐶 ∩ (𝐴 𝐵)) ∨ 𝐴) = 𝐴)
9897biimpi 215 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ 𝐴 → ((𝐶 ∩ (𝐴 𝐵)) ∨ 𝐴) = 𝐴)
9996, 98eqtrid 2780 . . . . . . 7 ((𝐶 ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ 𝐴 → (𝐴 (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵))) = 𝐴)
10095, 99sylan9eq 2788 . . . . . 6 ((𝐶 𝑀 (𝐴 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ 𝐴) → ((𝐴 𝐶) ∩ (𝐴 𝐵)) = 𝐴)
101100ineq1d 4213 . . . . 5 ((𝐶 𝑀 (𝐴 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ 𝐴) → (((𝐴 𝐶) ∩ (𝐴 𝐵)) ∩ 𝐵) = (𝐴𝐵))
10290, 101eqtr3id 2782 . . . 4 ((𝐶 𝑀 (𝐴 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ 𝐴) → ((𝐴 𝐶) ∩ ((𝐴 𝐵) ∩ 𝐵)) = (𝐴𝐵))
10389, 102eqtrid 2780 . . 3 ((𝐶 𝑀 (𝐴 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ 𝐴) → ((𝐶 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝐴𝐵))
1041033adant1 1127 . 2 ((𝐴 𝑀 𝐵𝐶 𝑀 (𝐴 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ 𝐴) → ((𝐶 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝐴𝐵))
10585, 104jca 510 1 ((𝐴 𝑀 𝐵𝐶 𝑀 (𝐴 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ 𝐴) → ((𝐶 𝐴) 𝑀 𝐵 ∧ ((𝐶 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝐴𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wral 3058  cin 3948  wss 3949   class class class wbr 5152  (class class class)co 7426   C cch 30759   chj 30763   𝑀 cmd 30796
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9672  ax-cc 10466  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224  ax-addf 11225  ax-mulf 11226  ax-hilex 30829  ax-hfvadd 30830  ax-hvcom 30831  ax-hvass 30832  ax-hv0cl 30833  ax-hvaddid 30834  ax-hfvmul 30835  ax-hvmulid 30836  ax-hvmulass 30837  ax-hvdistr1 30838  ax-hvdistr2 30839  ax-hvmul0 30840  ax-hfi 30909  ax-his1 30912  ax-his2 30913  ax-his3 30914  ax-his4 30915  ax-hcompl 31032
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7691  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8172  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-2o 8494  df-oadd 8497  df-omul 8498  df-er 8731  df-map 8853  df-pm 8854  df-ixp 8923  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-fsupp 9394  df-fi 9442  df-sup 9473  df-inf 9474  df-oi 9541  df-card 9970  df-acn 9973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-q 12971  df-rp 13015  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-ioo 13368  df-ico 13370  df-icc 13371  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-fl 13797  df-seq 14007  df-exp 14067  df-hash 14330  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-clim 15472  df-rlim 15473  df-sum 15673  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-starv 17255  df-sca 17256  df-vsca 17257  df-ip 17258  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ds 17262  df-unif 17263  df-hom 17264  df-cco 17265  df-rest 17411  df-topn 17412  df-0g 17430  df-gsum 17431  df-topgen 17432  df-pt 17433  df-prds 17436  df-xrs 17491  df-qtop 17496  df-imas 17497  df-xps 17499  df-mre 17573  df-mrc 17574  df-acs 17576  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-submnd 18748  df-mulg 19031  df-cntz 19275  df-cmn 19744  df-psmet 21278  df-xmet 21279  df-met 21280  df-bl 21281  df-mopn 21282  df-fbas 21283  df-fg 21284  df-cnfld 21287  df-top 22816  df-topon 22833  df-topsp 22855  df-bases 22869  df-cld 22943  df-ntr 22944  df-cls 22945  df-nei 23022  df-cn 23151  df-cnp 23152  df-lm 23153  df-haus 23239  df-tx 23486  df-hmeo 23679  df-fil 23770  df-fm 23862  df-flim 23863  df-flf 23864  df-xms 24246  df-ms 24247  df-tms 24248  df-cfil 25203  df-cau 25204  df-cmet 25205  df-grpo 30323  df-gid 30324  df-ginv 30325  df-gdiv 30326  df-ablo 30375  df-vc 30389  df-nv 30422  df-va 30425  df-ba 30426  df-sm 30427  df-0v 30428  df-vs 30429  df-nmcv 30430  df-ims 30431  df-dip 30531  df-ssp 30552  df-ph 30643  df-cbn 30693  df-hnorm 30798  df-hba 30799  df-hvsub 30801  df-hlim 30802  df-hcau 30803  df-sh 31037  df-ch 31051  df-oc 31082  df-ch0 31083  df-shs 31138  df-chj 31140  df-md 32110
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator