HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  mdexchi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdexchi 32364
Description: An exchange lemma for modular pairs. Lemma 1.6 of [MaedaMaeda] p. 2. (Contributed by NM, 22-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mdexch.1 𝐴C
mdexch.2 𝐵C
mdexch.3 𝐶C
Assertion
Ref Expression
mdexchi ((𝐴 𝑀 𝐵𝐶 𝑀 (𝐴 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ 𝐴) → ((𝐶 𝐴) 𝑀 𝐵 ∧ ((𝐶 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝐴𝐵)))

Proof of Theorem mdexchi
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mdexch.3 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐶C
2 mdexch.1 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐴C
3 chjass 31562 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐶C𝐴C𝑥C ) → ((𝐶 𝐴) ∨ 𝑥) = (𝐶 (𝐴 𝑥)))
41, 2, 3mp3an12 1450 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥C → ((𝐶 𝐴) ∨ 𝑥) = (𝐶 (𝐴 𝑥)))
51, 2chjcli 31486 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐶 𝐴) ∈ C
6 chjcom 31535 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥C ∧ (𝐶 𝐴) ∈ C ) → (𝑥 (𝐶 𝐴)) = ((𝐶 𝐴) ∨ 𝑥))
75, 6mpan2 691 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥C → (𝑥 (𝐶 𝐴)) = ((𝐶 𝐴) ∨ 𝑥))
8 chjcl 31386 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴C𝑥C ) → (𝐴 𝑥) ∈ C )
92, 8mpan 690 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥C → (𝐴 𝑥) ∈ C )
10 chjcom 31535 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 𝑥) ∈ C𝐶C ) → ((𝐴 𝑥) ∨ 𝐶) = (𝐶 (𝐴 𝑥)))
119, 1, 10sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥C → ((𝐴 𝑥) ∨ 𝐶) = (𝐶 (𝐴 𝑥)))
124, 7, 113eqtr4d 2785 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥C → (𝑥 (𝐶 𝐴)) = ((𝐴 𝑥) ∨ 𝐶))
1312ineq1d 4227 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥C → ((𝑥 (𝐶 𝐴)) ∩ 𝐵) = (((𝐴 𝑥) ∨ 𝐶) ∩ 𝐵))
14 inass 4236 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 𝑥) ∨ 𝐶) ∩ (𝐴 𝐵)) ∩ 𝐵) = (((𝐴 𝑥) ∨ 𝐶) ∩ ((𝐴 𝐵) ∩ 𝐵))
15 incom 4217 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 𝐵) ∩ 𝐵) = (𝐵 ∩ (𝐴 𝐵))
16 mdexch.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐵C
172, 16chjcomi 31497 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 𝐵) = (𝐵 𝐴)
1817ineq2i 4225 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐵 ∩ (𝐴 𝐵)) = (𝐵 ∩ (𝐵 𝐴))
1916, 2chabs2i 31548 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐵 ∩ (𝐵 𝐴)) = 𝐵
2018, 19eqtri 2763 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐵 ∩ (𝐴 𝐵)) = 𝐵
2115, 20eqtri 2763 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 𝐵) ∩ 𝐵) = 𝐵
2221ineq2i 4225 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 𝑥) ∨ 𝐶) ∩ ((𝐴 𝐵) ∩ 𝐵)) = (((𝐴 𝑥) ∨ 𝐶) ∩ 𝐵)
2314, 22eqtri 2763 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 𝑥) ∨ 𝐶) ∩ (𝐴 𝐵)) ∩ 𝐵) = (((𝐴 𝑥) ∨ 𝐶) ∩ 𝐵)
2413, 23eqtr4di 2793 . . . . . . . . . . 11 (𝑥C → ((𝑥 (𝐶 𝐴)) ∩ 𝐵) = ((((𝐴 𝑥) ∨ 𝐶) ∩ (𝐴 𝐵)) ∩ 𝐵))
2524ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝑥C𝑥𝐵) ∧ (𝐶 𝑀 (𝐴 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ 𝐴)) → ((𝑥 (𝐶 𝐴)) ∩ 𝐵) = ((((𝐴 𝑥) ∨ 𝐶) ∩ (𝐴 𝐵)) ∩ 𝐵))
26 chlej2 31540 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑥C𝐵C𝐴C ) ∧ 𝑥𝐵) → (𝐴 𝑥) ⊆ (𝐴 𝐵))
2726ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥C𝐵C𝐴C ) → (𝑥𝐵 → (𝐴 𝑥) ⊆ (𝐴 𝐵)))
2816, 2, 27mp3an23 1452 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥C → (𝑥𝐵 → (𝐴 𝑥) ⊆ (𝐴 𝐵)))
292, 16chjcli 31486 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 𝐵) ∈ C
30 mdi 32324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐶C ∧ (𝐴 𝐵) ∈ C ∧ (𝐴 𝑥) ∈ C ) ∧ (𝐶 𝑀 (𝐴 𝐵) ∧ (𝐴 𝑥) ⊆ (𝐴 𝐵))) → (((𝐴 𝑥) ∨ 𝐶) ∩ (𝐴 𝐵)) = ((𝐴 𝑥) ∨ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵))))
3130exp32 420 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐶C ∧ (𝐴 𝐵) ∈ C ∧ (𝐴 𝑥) ∈ C ) → (𝐶 𝑀 (𝐴 𝐵) → ((𝐴 𝑥) ⊆ (𝐴 𝐵) → (((𝐴 𝑥) ∨ 𝐶) ∩ (𝐴 𝐵)) = ((𝐴 𝑥) ∨ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵))))))
321, 29, 31mp3an12 1450 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 𝑥) ∈ C → (𝐶 𝑀 (𝐴 𝐵) → ((𝐴 𝑥) ⊆ (𝐴 𝐵) → (((𝐴 𝑥) ∨ 𝐶) ∩ (𝐴 𝐵)) = ((𝐴 𝑥) ∨ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵))))))
339, 32syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥C → (𝐶 𝑀 (𝐴 𝐵) → ((𝐴 𝑥) ⊆ (𝐴 𝐵) → (((𝐴 𝑥) ∨ 𝐶) ∩ (𝐴 𝐵)) = ((𝐴 𝑥) ∨ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵))))))
3433com23 86 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥C → ((𝐴 𝑥) ⊆ (𝐴 𝐵) → (𝐶 𝑀 (𝐴 𝐵) → (((𝐴 𝑥) ∨ 𝐶) ∩ (𝐴 𝐵)) = ((𝐴 𝑥) ∨ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵))))))
3528, 34syld 47 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥C → (𝑥𝐵 → (𝐶 𝑀 (𝐴 𝐵) → (((𝐴 𝑥) ∨ 𝐶) ∩ (𝐴 𝐵)) = ((𝐴 𝑥) ∨ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵))))))
3635imp31 417 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥C𝑥𝐵) ∧ 𝐶 𝑀 (𝐴 𝐵)) → (((𝐴 𝑥) ∨ 𝐶) ∩ (𝐴 𝐵)) = ((𝐴 𝑥) ∨ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵))))
3736adantrr 717 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥C𝑥𝐵) ∧ (𝐶 𝑀 (𝐴 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ 𝐴)) → (((𝐴 𝑥) ∨ 𝐶) ∩ (𝐴 𝐵)) = ((𝐴 𝑥) ∨ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵))))
381, 29chincli 31489 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵)) ∈ C
39 chlej2 31540 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐶 ∩ (𝐴 𝐵)) ∈ C𝐴C ∧ (𝐴 𝑥) ∈ C ) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ 𝐴) → ((𝐴 𝑥) ∨ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵))) ⊆ ((𝐴 𝑥) ∨ 𝐴))
4039ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐶 ∩ (𝐴 𝐵)) ∈ C𝐴C ∧ (𝐴 𝑥) ∈ C ) → ((𝐶 ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ 𝐴 → ((𝐴 𝑥) ∨ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵))) ⊆ ((𝐴 𝑥) ∨ 𝐴)))
4138, 2, 40mp3an12 1450 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 𝑥) ∈ C → ((𝐶 ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ 𝐴 → ((𝐴 𝑥) ∨ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵))) ⊆ ((𝐴 𝑥) ∨ 𝐴)))
429, 41syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥C → ((𝐶 ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ 𝐴 → ((𝐴 𝑥) ∨ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵))) ⊆ ((𝐴 𝑥) ∨ 𝐴)))
4342imp 406 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥C ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ 𝐴) → ((𝐴 𝑥) ∨ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵))) ⊆ ((𝐴 𝑥) ∨ 𝐴))
44 chjcom 31535 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 𝑥) ∈ C𝐴C ) → ((𝐴 𝑥) ∨ 𝐴) = (𝐴 (𝐴 𝑥)))
459, 2, 44sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥C → ((𝐴 𝑥) ∨ 𝐴) = (𝐴 (𝐴 𝑥)))
462chjidmi 31550 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 𝐴) = 𝐴
4746oveq1i 7441 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 𝐴) ∨ 𝑥) = (𝐴 𝑥)
48 chjass 31562 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴C𝐴C𝑥C ) → ((𝐴 𝐴) ∨ 𝑥) = (𝐴 (𝐴 𝑥)))
492, 2, 48mp3an12 1450 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥C → ((𝐴 𝐴) ∨ 𝑥) = (𝐴 (𝐴 𝑥)))
50 chjcom 31535 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴C𝑥C ) → (𝐴 𝑥) = (𝑥 𝐴))
512, 50mpan 690 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥C → (𝐴 𝑥) = (𝑥 𝐴))
5247, 49, 513eqtr3a 2799 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥C → (𝐴 (𝐴 𝑥)) = (𝑥 𝐴))
5345, 52eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥C → ((𝐴 𝑥) ∨ 𝐴) = (𝑥 𝐴))
5453adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥C ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ 𝐴) → ((𝐴 𝑥) ∨ 𝐴) = (𝑥 𝐴))
5543, 54sseqtrd 4036 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥C ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ 𝐴) → ((𝐴 𝑥) ∨ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵))) ⊆ (𝑥 𝐴))
5655ad2ant2rl 749 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥C𝑥𝐵) ∧ (𝐶 𝑀 (𝐴 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ 𝐴)) → ((𝐴 𝑥) ∨ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵))) ⊆ (𝑥 𝐴))
5737, 56eqsstrd 4034 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥C𝑥𝐵) ∧ (𝐶 𝑀 (𝐴 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ 𝐴)) → (((𝐴 𝑥) ∨ 𝐶) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (𝑥 𝐴))
5857ssrind 4252 . . . . . . . . . 10 (((𝑥C𝑥𝐵) ∧ (𝐶 𝑀 (𝐴 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ 𝐴)) → ((((𝐴 𝑥) ∨ 𝐶) ∩ (𝐴 𝐵)) ∩ 𝐵) ⊆ ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵))
5925, 58eqsstrd 4034 . . . . . . . . 9 (((𝑥C𝑥𝐵) ∧ (𝐶 𝑀 (𝐴 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ 𝐴)) → ((𝑥 (𝐶 𝐴)) ∩ 𝐵) ⊆ ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵))
6059adantrl 716 . . . . . . . 8 (((𝑥C𝑥𝐵) ∧ (𝐴 𝑀 𝐵 ∧ (𝐶 𝑀 (𝐴 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ 𝐴))) → ((𝑥 (𝐶 𝐴)) ∩ 𝐵) ⊆ ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵))
61 mdi 32324 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴C𝐵C𝑥C ) ∧ (𝐴 𝑀 𝐵𝑥𝐵)) → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 (𝐴𝐵)))
6261exp32 420 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴C𝐵C𝑥C ) → (𝐴 𝑀 𝐵 → (𝑥𝐵 → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 (𝐴𝐵)))))
632, 16, 62mp3an12 1450 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥C → (𝐴 𝑀 𝐵 → (𝑥𝐵 → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 (𝐴𝐵)))))
6463com23 86 . . . . . . . . . . 11 (𝑥C → (𝑥𝐵 → (𝐴 𝑀 𝐵 → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 (𝐴𝐵)))))
6564imp31 417 . . . . . . . . . 10 (((𝑥C𝑥𝐵) ∧ 𝐴 𝑀 𝐵) → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 (𝐴𝐵)))
662, 1chub2i 31499 . . . . . . . . . . . . 13 𝐴 ⊆ (𝐶 𝐴)
67 ssrin 4250 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ⊆ (𝐶 𝐴) → (𝐴𝐵) ⊆ ((𝐶 𝐴) ∩ 𝐵))
6866, 67ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴𝐵) ⊆ ((𝐶 𝐴) ∩ 𝐵)
692, 16chincli 31489 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴𝐵) ∈ C
705, 16chincli 31489 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐶 𝐴) ∩ 𝐵) ∈ C
71 chlej2 31540 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴𝐵) ∈ C ∧ ((𝐶 𝐴) ∩ 𝐵) ∈ C𝑥C ) ∧ (𝐴𝐵) ⊆ ((𝐶 𝐴) ∩ 𝐵)) → (𝑥 (𝐴𝐵)) ⊆ (𝑥 ((𝐶 𝐴) ∩ 𝐵)))
7271ex 412 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴𝐵) ∈ C ∧ ((𝐶 𝐴) ∩ 𝐵) ∈ C𝑥C ) → ((𝐴𝐵) ⊆ ((𝐶 𝐴) ∩ 𝐵) → (𝑥 (𝐴𝐵)) ⊆ (𝑥 ((𝐶 𝐴) ∩ 𝐵))))
7369, 70, 72mp3an12 1450 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥C → ((𝐴𝐵) ⊆ ((𝐶 𝐴) ∩ 𝐵) → (𝑥 (𝐴𝐵)) ⊆ (𝑥 ((𝐶 𝐴) ∩ 𝐵))))
7468, 73mpi 20 . . . . . . . . . . 11 (𝑥C → (𝑥 (𝐴𝐵)) ⊆ (𝑥 ((𝐶 𝐴) ∩ 𝐵)))
7574ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝑥C𝑥𝐵) ∧ 𝐴 𝑀 𝐵) → (𝑥 (𝐴𝐵)) ⊆ (𝑥 ((𝐶 𝐴) ∩ 𝐵)))
7665, 75eqsstrd 4034 . . . . . . . . 9 (((𝑥C𝑥𝐵) ∧ 𝐴 𝑀 𝐵) → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 ((𝐶 𝐴) ∩ 𝐵)))
7776adantrr 717 . . . . . . . 8 (((𝑥C𝑥𝐵) ∧ (𝐴 𝑀 𝐵 ∧ (𝐶 𝑀 (𝐴 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ 𝐴))) → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 ((𝐶 𝐴) ∩ 𝐵)))
7860, 77sstrd 4006 . . . . . . 7 (((𝑥C𝑥𝐵) ∧ (𝐴 𝑀 𝐵 ∧ (𝐶 𝑀 (𝐴 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ 𝐴))) → ((𝑥 (𝐶 𝐴)) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 ((𝐶 𝐴) ∩ 𝐵)))
7978exp31 419 . . . . . 6 (𝑥C → (𝑥𝐵 → ((𝐴 𝑀 𝐵 ∧ (𝐶 𝑀 (𝐴 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ 𝐴)) → ((𝑥 (𝐶 𝐴)) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 ((𝐶 𝐴) ∩ 𝐵)))))
8079com3r 87 . . . . 5 ((𝐴 𝑀 𝐵 ∧ (𝐶 𝑀 (𝐴 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ 𝐴)) → (𝑥C → (𝑥𝐵 → ((𝑥 (𝐶 𝐴)) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 ((𝐶 𝐴) ∩ 𝐵)))))
81803impb 1114 . . . 4 ((𝐴 𝑀 𝐵𝐶 𝑀 (𝐴 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ 𝐴) → (𝑥C → (𝑥𝐵 → ((𝑥 (𝐶 𝐴)) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 ((𝐶 𝐴) ∩ 𝐵)))))
8281ralrimiv 3143 . . 3 ((𝐴 𝑀 𝐵𝐶 𝑀 (𝐴 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ 𝐴) → ∀𝑥C (𝑥𝐵 → ((𝑥 (𝐶 𝐴)) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 ((𝐶 𝐴) ∩ 𝐵))))
83 mdbr2 32325 . . . 4 (((𝐶 𝐴) ∈ C𝐵C ) → ((𝐶 𝐴) 𝑀 𝐵 ↔ ∀𝑥C (𝑥𝐵 → ((𝑥 (𝐶 𝐴)) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 ((𝐶 𝐴) ∩ 𝐵)))))
845, 16, 83mp2an 692 . . 3 ((𝐶 𝐴) 𝑀 𝐵 ↔ ∀𝑥C (𝑥𝐵 → ((𝑥 (𝐶 𝐴)) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 ((𝐶 𝐴) ∩ 𝐵))))
8582, 84sylibr 234 . 2 ((𝐴 𝑀 𝐵𝐶 𝑀 (𝐴 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ 𝐴) → (𝐶 𝐴) 𝑀 𝐵)
861, 2chjcomi 31497 . . . . 5 (𝐶 𝐴) = (𝐴 𝐶)
87 incom 4217 . . . . . 6 (𝐵 ∩ (𝐴 𝐵)) = ((𝐴 𝐵) ∩ 𝐵)
8818, 87, 193eqtr3ri 2772 . . . . 5 𝐵 = ((𝐴 𝐵) ∩ 𝐵)
8986, 88ineq12i 4226 . . . 4 ((𝐶 𝐴) ∩ 𝐵) = ((𝐴 𝐶) ∩ ((𝐴 𝐵) ∩ 𝐵))
90 inass 4236 . . . . 5 (((𝐴 𝐶) ∩ (𝐴 𝐵)) ∩ 𝐵) = ((𝐴 𝐶) ∩ ((𝐴 𝐵) ∩ 𝐵))
912, 16chub1i 31498 . . . . . . . 8 𝐴 ⊆ (𝐴 𝐵)
92 mdi 32324 . . . . . . . . . 10 (((𝐶C ∧ (𝐴 𝐵) ∈ C𝐴C ) ∧ (𝐶 𝑀 (𝐴 𝐵) ∧ 𝐴 ⊆ (𝐴 𝐵))) → ((𝐴 𝐶) ∩ (𝐴 𝐵)) = (𝐴 (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵))))
9392exp32 420 . . . . . . . . 9 ((𝐶C ∧ (𝐴 𝐵) ∈ C𝐴C ) → (𝐶 𝑀 (𝐴 𝐵) → (𝐴 ⊆ (𝐴 𝐵) → ((𝐴 𝐶) ∩ (𝐴 𝐵)) = (𝐴 (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵))))))
941, 29, 2, 93mp3an 1460 . . . . . . . 8 (𝐶 𝑀 (𝐴 𝐵) → (𝐴 ⊆ (𝐴 𝐵) → ((𝐴 𝐶) ∩ (𝐴 𝐵)) = (𝐴 (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵)))))
9591, 94mpi 20 . . . . . . 7 (𝐶 𝑀 (𝐴 𝐵) → ((𝐴 𝐶) ∩ (𝐴 𝐵)) = (𝐴 (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵))))
962, 38chjcomi 31497 . . . . . . . 8 (𝐴 (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵))) = ((𝐶 ∩ (𝐴 𝐵)) ∨ 𝐴)
9738, 2chlejb1i 31505 . . . . . . . . 9 ((𝐶 ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ 𝐴 ↔ ((𝐶 ∩ (𝐴 𝐵)) ∨ 𝐴) = 𝐴)
9897biimpi 216 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ 𝐴 → ((𝐶 ∩ (𝐴 𝐵)) ∨ 𝐴) = 𝐴)
9996, 98eqtrid 2787 . . . . . . 7 ((𝐶 ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ 𝐴 → (𝐴 (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵))) = 𝐴)
10095, 99sylan9eq 2795 . . . . . 6 ((𝐶 𝑀 (𝐴 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ 𝐴) → ((𝐴 𝐶) ∩ (𝐴 𝐵)) = 𝐴)
101100ineq1d 4227 . . . . 5 ((𝐶 𝑀 (𝐴 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ 𝐴) → (((𝐴 𝐶) ∩ (𝐴 𝐵)) ∩ 𝐵) = (𝐴𝐵))
10290, 101eqtr3id 2789 . . . 4 ((𝐶 𝑀 (𝐴 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ 𝐴) → ((𝐴 𝐶) ∩ ((𝐴 𝐵) ∩ 𝐵)) = (𝐴𝐵))
10389, 102eqtrid 2787 . . 3 ((𝐶 𝑀 (𝐴 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ 𝐴) → ((𝐶 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝐴𝐵))
1041033adant1 1129 . 2 ((𝐴 𝑀 𝐵𝐶 𝑀 (𝐴 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ 𝐴) → ((𝐶 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝐴𝐵))
10585, 104jca 511 1 ((𝐴 𝑀 𝐵𝐶 𝑀 (𝐴 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ 𝐴) → ((𝐶 𝐴) 𝑀 𝐵 ∧ ((𝐶 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝐴𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  cin 3962  wss 3963   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431   C cch 30958   chj 30962   𝑀 cmd 30995
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cc 10473  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232  ax-mulf 11233  ax-hilex 31028  ax-hfvadd 31029  ax-hvcom 31030  ax-hvass 31031  ax-hv0cl 31032  ax-hvaddid 31033  ax-hfvmul 31034  ax-hvmulid 31035  ax-hvmulass 31036  ax-hvdistr1 31037  ax-hvdistr2 31038  ax-hvmul0 31039  ax-hfi 31108  ax-his1 31111  ax-his2 31112  ax-his3 31113  ax-his4 31114  ax-hcompl 31231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-oadd 8509  df-omul 8510  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-acn 9980  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ioo 13388  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-sum 15720  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17469  df-topn 17470  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-topgen 17490  df-pt 17491  df-prds 17494  df-xrs 17549  df-qtop 17554  df-imas 17555  df-xps 17557  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-mulg 19099  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-fbas 21379  df-fg 21380  df-cnfld 21383  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cld 23043  df-ntr 23044  df-cls 23045  df-nei 23122  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-lm 23253  df-haus 23339  df-tx 23586  df-hmeo 23779  df-fil 23870  df-fm 23962  df-flim 23963  df-flf 23964  df-xms 24346  df-ms 24347  df-tms 24348  df-cfil 25303  df-cau 25304  df-cmet 25305  df-grpo 30522  df-gid 30523  df-ginv 30524  df-gdiv 30525  df-ablo 30574  df-vc 30588  df-nv 30621  df-va 30624  df-ba 30625  df-sm 30626  df-0v 30627  df-vs 30628  df-nmcv 30629  df-ims 30630  df-dip 30730  df-ssp 30751  df-ph 30842  df-cbn 30892  df-hnorm 30997  df-hba 30998  df-hvsub 31000  df-hlim 31001  df-hcau 31002  df-sh 31236  df-ch 31250  df-oc 31281  df-ch0 31282  df-shs 31337  df-chj 31339  df-md 32309
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator