HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  mdexchi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdexchi 32354
Description: An exchange lemma for modular pairs. Lemma 1.6 of [MaedaMaeda] p. 2. (Contributed by NM, 22-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mdexch.1 𝐴C
mdexch.2 𝐵C
mdexch.3 𝐶C
Assertion
Ref Expression
mdexchi ((𝐴 𝑀 𝐵𝐶 𝑀 (𝐴 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ 𝐴) → ((𝐶 𝐴) 𝑀 𝐵 ∧ ((𝐶 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝐴𝐵)))

Proof of Theorem mdexchi
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mdexch.3 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐶C
2 mdexch.1 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐴C
3 chjass 31552 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐶C𝐴C𝑥C ) → ((𝐶 𝐴) ∨ 𝑥) = (𝐶 (𝐴 𝑥)))
41, 2, 3mp3an12 1453 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥C → ((𝐶 𝐴) ∨ 𝑥) = (𝐶 (𝐴 𝑥)))
51, 2chjcli 31476 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐶 𝐴) ∈ C
6 chjcom 31525 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥C ∧ (𝐶 𝐴) ∈ C ) → (𝑥 (𝐶 𝐴)) = ((𝐶 𝐴) ∨ 𝑥))
75, 6mpan2 691 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥C → (𝑥 (𝐶 𝐴)) = ((𝐶 𝐴) ∨ 𝑥))
8 chjcl 31376 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴C𝑥C ) → (𝐴 𝑥) ∈ C )
92, 8mpan 690 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥C → (𝐴 𝑥) ∈ C )
10 chjcom 31525 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 𝑥) ∈ C𝐶C ) → ((𝐴 𝑥) ∨ 𝐶) = (𝐶 (𝐴 𝑥)))
119, 1, 10sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥C → ((𝐴 𝑥) ∨ 𝐶) = (𝐶 (𝐴 𝑥)))
124, 7, 113eqtr4d 2787 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥C → (𝑥 (𝐶 𝐴)) = ((𝐴 𝑥) ∨ 𝐶))
1312ineq1d 4219 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥C → ((𝑥 (𝐶 𝐴)) ∩ 𝐵) = (((𝐴 𝑥) ∨ 𝐶) ∩ 𝐵))
14 inass 4228 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 𝑥) ∨ 𝐶) ∩ (𝐴 𝐵)) ∩ 𝐵) = (((𝐴 𝑥) ∨ 𝐶) ∩ ((𝐴 𝐵) ∩ 𝐵))
15 incom 4209 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 𝐵) ∩ 𝐵) = (𝐵 ∩ (𝐴 𝐵))
16 mdexch.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐵C
172, 16chjcomi 31487 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 𝐵) = (𝐵 𝐴)
1817ineq2i 4217 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐵 ∩ (𝐴 𝐵)) = (𝐵 ∩ (𝐵 𝐴))
1916, 2chabs2i 31538 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐵 ∩ (𝐵 𝐴)) = 𝐵
2018, 19eqtri 2765 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐵 ∩ (𝐴 𝐵)) = 𝐵
2115, 20eqtri 2765 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 𝐵) ∩ 𝐵) = 𝐵
2221ineq2i 4217 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 𝑥) ∨ 𝐶) ∩ ((𝐴 𝐵) ∩ 𝐵)) = (((𝐴 𝑥) ∨ 𝐶) ∩ 𝐵)
2314, 22eqtri 2765 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 𝑥) ∨ 𝐶) ∩ (𝐴 𝐵)) ∩ 𝐵) = (((𝐴 𝑥) ∨ 𝐶) ∩ 𝐵)
2413, 23eqtr4di 2795 . . . . . . . . . . 11 (𝑥C → ((𝑥 (𝐶 𝐴)) ∩ 𝐵) = ((((𝐴 𝑥) ∨ 𝐶) ∩ (𝐴 𝐵)) ∩ 𝐵))
2524ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝑥C𝑥𝐵) ∧ (𝐶 𝑀 (𝐴 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ 𝐴)) → ((𝑥 (𝐶 𝐴)) ∩ 𝐵) = ((((𝐴 𝑥) ∨ 𝐶) ∩ (𝐴 𝐵)) ∩ 𝐵))
26 chlej2 31530 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑥C𝐵C𝐴C ) ∧ 𝑥𝐵) → (𝐴 𝑥) ⊆ (𝐴 𝐵))
2726ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥C𝐵C𝐴C ) → (𝑥𝐵 → (𝐴 𝑥) ⊆ (𝐴 𝐵)))
2816, 2, 27mp3an23 1455 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥C → (𝑥𝐵 → (𝐴 𝑥) ⊆ (𝐴 𝐵)))
292, 16chjcli 31476 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 𝐵) ∈ C
30 mdi 32314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐶C ∧ (𝐴 𝐵) ∈ C ∧ (𝐴 𝑥) ∈ C ) ∧ (𝐶 𝑀 (𝐴 𝐵) ∧ (𝐴 𝑥) ⊆ (𝐴 𝐵))) → (((𝐴 𝑥) ∨ 𝐶) ∩ (𝐴 𝐵)) = ((𝐴 𝑥) ∨ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵))))
3130exp32 420 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐶C ∧ (𝐴 𝐵) ∈ C ∧ (𝐴 𝑥) ∈ C ) → (𝐶 𝑀 (𝐴 𝐵) → ((𝐴 𝑥) ⊆ (𝐴 𝐵) → (((𝐴 𝑥) ∨ 𝐶) ∩ (𝐴 𝐵)) = ((𝐴 𝑥) ∨ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵))))))
321, 29, 31mp3an12 1453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 𝑥) ∈ C → (𝐶 𝑀 (𝐴 𝐵) → ((𝐴 𝑥) ⊆ (𝐴 𝐵) → (((𝐴 𝑥) ∨ 𝐶) ∩ (𝐴 𝐵)) = ((𝐴 𝑥) ∨ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵))))))
339, 32syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥C → (𝐶 𝑀 (𝐴 𝐵) → ((𝐴 𝑥) ⊆ (𝐴 𝐵) → (((𝐴 𝑥) ∨ 𝐶) ∩ (𝐴 𝐵)) = ((𝐴 𝑥) ∨ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵))))))
3433com23 86 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥C → ((𝐴 𝑥) ⊆ (𝐴 𝐵) → (𝐶 𝑀 (𝐴 𝐵) → (((𝐴 𝑥) ∨ 𝐶) ∩ (𝐴 𝐵)) = ((𝐴 𝑥) ∨ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵))))))
3528, 34syld 47 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥C → (𝑥𝐵 → (𝐶 𝑀 (𝐴 𝐵) → (((𝐴 𝑥) ∨ 𝐶) ∩ (𝐴 𝐵)) = ((𝐴 𝑥) ∨ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵))))))
3635imp31 417 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥C𝑥𝐵) ∧ 𝐶 𝑀 (𝐴 𝐵)) → (((𝐴 𝑥) ∨ 𝐶) ∩ (𝐴 𝐵)) = ((𝐴 𝑥) ∨ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵))))
3736adantrr 717 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥C𝑥𝐵) ∧ (𝐶 𝑀 (𝐴 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ 𝐴)) → (((𝐴 𝑥) ∨ 𝐶) ∩ (𝐴 𝐵)) = ((𝐴 𝑥) ∨ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵))))
381, 29chincli 31479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵)) ∈ C
39 chlej2 31530 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐶 ∩ (𝐴 𝐵)) ∈ C𝐴C ∧ (𝐴 𝑥) ∈ C ) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ 𝐴) → ((𝐴 𝑥) ∨ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵))) ⊆ ((𝐴 𝑥) ∨ 𝐴))
4039ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐶 ∩ (𝐴 𝐵)) ∈ C𝐴C ∧ (𝐴 𝑥) ∈ C ) → ((𝐶 ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ 𝐴 → ((𝐴 𝑥) ∨ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵))) ⊆ ((𝐴 𝑥) ∨ 𝐴)))
4138, 2, 40mp3an12 1453 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 𝑥) ∈ C → ((𝐶 ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ 𝐴 → ((𝐴 𝑥) ∨ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵))) ⊆ ((𝐴 𝑥) ∨ 𝐴)))
429, 41syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥C → ((𝐶 ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ 𝐴 → ((𝐴 𝑥) ∨ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵))) ⊆ ((𝐴 𝑥) ∨ 𝐴)))
4342imp 406 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥C ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ 𝐴) → ((𝐴 𝑥) ∨ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵))) ⊆ ((𝐴 𝑥) ∨ 𝐴))
44 chjcom 31525 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 𝑥) ∈ C𝐴C ) → ((𝐴 𝑥) ∨ 𝐴) = (𝐴 (𝐴 𝑥)))
459, 2, 44sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥C → ((𝐴 𝑥) ∨ 𝐴) = (𝐴 (𝐴 𝑥)))
462chjidmi 31540 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 𝐴) = 𝐴
4746oveq1i 7441 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 𝐴) ∨ 𝑥) = (𝐴 𝑥)
48 chjass 31552 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴C𝐴C𝑥C ) → ((𝐴 𝐴) ∨ 𝑥) = (𝐴 (𝐴 𝑥)))
492, 2, 48mp3an12 1453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥C → ((𝐴 𝐴) ∨ 𝑥) = (𝐴 (𝐴 𝑥)))
50 chjcom 31525 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴C𝑥C ) → (𝐴 𝑥) = (𝑥 𝐴))
512, 50mpan 690 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥C → (𝐴 𝑥) = (𝑥 𝐴))
5247, 49, 513eqtr3a 2801 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥C → (𝐴 (𝐴 𝑥)) = (𝑥 𝐴))
5345, 52eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥C → ((𝐴 𝑥) ∨ 𝐴) = (𝑥 𝐴))
5453adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥C ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ 𝐴) → ((𝐴 𝑥) ∨ 𝐴) = (𝑥 𝐴))
5543, 54sseqtrd 4020 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥C ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ 𝐴) → ((𝐴 𝑥) ∨ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵))) ⊆ (𝑥 𝐴))
5655ad2ant2rl 749 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥C𝑥𝐵) ∧ (𝐶 𝑀 (𝐴 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ 𝐴)) → ((𝐴 𝑥) ∨ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵))) ⊆ (𝑥 𝐴))
5737, 56eqsstrd 4018 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥C𝑥𝐵) ∧ (𝐶 𝑀 (𝐴 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ 𝐴)) → (((𝐴 𝑥) ∨ 𝐶) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (𝑥 𝐴))
5857ssrind 4244 . . . . . . . . . 10 (((𝑥C𝑥𝐵) ∧ (𝐶 𝑀 (𝐴 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ 𝐴)) → ((((𝐴 𝑥) ∨ 𝐶) ∩ (𝐴 𝐵)) ∩ 𝐵) ⊆ ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵))
5925, 58eqsstrd 4018 . . . . . . . . 9 (((𝑥C𝑥𝐵) ∧ (𝐶 𝑀 (𝐴 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ 𝐴)) → ((𝑥 (𝐶 𝐴)) ∩ 𝐵) ⊆ ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵))
6059adantrl 716 . . . . . . . 8 (((𝑥C𝑥𝐵) ∧ (𝐴 𝑀 𝐵 ∧ (𝐶 𝑀 (𝐴 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ 𝐴))) → ((𝑥 (𝐶 𝐴)) ∩ 𝐵) ⊆ ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵))
61 mdi 32314 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴C𝐵C𝑥C ) ∧ (𝐴 𝑀 𝐵𝑥𝐵)) → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 (𝐴𝐵)))
6261exp32 420 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴C𝐵C𝑥C ) → (𝐴 𝑀 𝐵 → (𝑥𝐵 → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 (𝐴𝐵)))))
632, 16, 62mp3an12 1453 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥C → (𝐴 𝑀 𝐵 → (𝑥𝐵 → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 (𝐴𝐵)))))
6463com23 86 . . . . . . . . . . 11 (𝑥C → (𝑥𝐵 → (𝐴 𝑀 𝐵 → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 (𝐴𝐵)))))
6564imp31 417 . . . . . . . . . 10 (((𝑥C𝑥𝐵) ∧ 𝐴 𝑀 𝐵) → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 (𝐴𝐵)))
662, 1chub2i 31489 . . . . . . . . . . . . 13 𝐴 ⊆ (𝐶 𝐴)
67 ssrin 4242 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ⊆ (𝐶 𝐴) → (𝐴𝐵) ⊆ ((𝐶 𝐴) ∩ 𝐵))
6866, 67ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴𝐵) ⊆ ((𝐶 𝐴) ∩ 𝐵)
692, 16chincli 31479 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴𝐵) ∈ C
705, 16chincli 31479 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐶 𝐴) ∩ 𝐵) ∈ C
71 chlej2 31530 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴𝐵) ∈ C ∧ ((𝐶 𝐴) ∩ 𝐵) ∈ C𝑥C ) ∧ (𝐴𝐵) ⊆ ((𝐶 𝐴) ∩ 𝐵)) → (𝑥 (𝐴𝐵)) ⊆ (𝑥 ((𝐶 𝐴) ∩ 𝐵)))
7271ex 412 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴𝐵) ∈ C ∧ ((𝐶 𝐴) ∩ 𝐵) ∈ C𝑥C ) → ((𝐴𝐵) ⊆ ((𝐶 𝐴) ∩ 𝐵) → (𝑥 (𝐴𝐵)) ⊆ (𝑥 ((𝐶 𝐴) ∩ 𝐵))))
7369, 70, 72mp3an12 1453 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥C → ((𝐴𝐵) ⊆ ((𝐶 𝐴) ∩ 𝐵) → (𝑥 (𝐴𝐵)) ⊆ (𝑥 ((𝐶 𝐴) ∩ 𝐵))))
7468, 73mpi 20 . . . . . . . . . . 11 (𝑥C → (𝑥 (𝐴𝐵)) ⊆ (𝑥 ((𝐶 𝐴) ∩ 𝐵)))
7574ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝑥C𝑥𝐵) ∧ 𝐴 𝑀 𝐵) → (𝑥 (𝐴𝐵)) ⊆ (𝑥 ((𝐶 𝐴) ∩ 𝐵)))
7665, 75eqsstrd 4018 . . . . . . . . 9 (((𝑥C𝑥𝐵) ∧ 𝐴 𝑀 𝐵) → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 ((𝐶 𝐴) ∩ 𝐵)))
7776adantrr 717 . . . . . . . 8 (((𝑥C𝑥𝐵) ∧ (𝐴 𝑀 𝐵 ∧ (𝐶 𝑀 (𝐴 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ 𝐴))) → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 ((𝐶 𝐴) ∩ 𝐵)))
7860, 77sstrd 3994 . . . . . . 7 (((𝑥C𝑥𝐵) ∧ (𝐴 𝑀 𝐵 ∧ (𝐶 𝑀 (𝐴 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ 𝐴))) → ((𝑥 (𝐶 𝐴)) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 ((𝐶 𝐴) ∩ 𝐵)))
7978exp31 419 . . . . . 6 (𝑥C → (𝑥𝐵 → ((𝐴 𝑀 𝐵 ∧ (𝐶 𝑀 (𝐴 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ 𝐴)) → ((𝑥 (𝐶 𝐴)) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 ((𝐶 𝐴) ∩ 𝐵)))))
8079com3r 87 . . . . 5 ((𝐴 𝑀 𝐵 ∧ (𝐶 𝑀 (𝐴 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ 𝐴)) → (𝑥C → (𝑥𝐵 → ((𝑥 (𝐶 𝐴)) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 ((𝐶 𝐴) ∩ 𝐵)))))
81803impb 1115 . . . 4 ((𝐴 𝑀 𝐵𝐶 𝑀 (𝐴 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ 𝐴) → (𝑥C → (𝑥𝐵 → ((𝑥 (𝐶 𝐴)) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 ((𝐶 𝐴) ∩ 𝐵)))))
8281ralrimiv 3145 . . 3 ((𝐴 𝑀 𝐵𝐶 𝑀 (𝐴 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ 𝐴) → ∀𝑥C (𝑥𝐵 → ((𝑥 (𝐶 𝐴)) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 ((𝐶 𝐴) ∩ 𝐵))))
83 mdbr2 32315 . . . 4 (((𝐶 𝐴) ∈ C𝐵C ) → ((𝐶 𝐴) 𝑀 𝐵 ↔ ∀𝑥C (𝑥𝐵 → ((𝑥 (𝐶 𝐴)) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 ((𝐶 𝐴) ∩ 𝐵)))))
845, 16, 83mp2an 692 . . 3 ((𝐶 𝐴) 𝑀 𝐵 ↔ ∀𝑥C (𝑥𝐵 → ((𝑥 (𝐶 𝐴)) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 ((𝐶 𝐴) ∩ 𝐵))))
8582, 84sylibr 234 . 2 ((𝐴 𝑀 𝐵𝐶 𝑀 (𝐴 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ 𝐴) → (𝐶 𝐴) 𝑀 𝐵)
861, 2chjcomi 31487 . . . . 5 (𝐶 𝐴) = (𝐴 𝐶)
87 incom 4209 . . . . . 6 (𝐵 ∩ (𝐴 𝐵)) = ((𝐴 𝐵) ∩ 𝐵)
8818, 87, 193eqtr3ri 2774 . . . . 5 𝐵 = ((𝐴 𝐵) ∩ 𝐵)
8986, 88ineq12i 4218 . . . 4 ((𝐶 𝐴) ∩ 𝐵) = ((𝐴 𝐶) ∩ ((𝐴 𝐵) ∩ 𝐵))
90 inass 4228 . . . . 5 (((𝐴 𝐶) ∩ (𝐴 𝐵)) ∩ 𝐵) = ((𝐴 𝐶) ∩ ((𝐴 𝐵) ∩ 𝐵))
912, 16chub1i 31488 . . . . . . . 8 𝐴 ⊆ (𝐴 𝐵)
92 mdi 32314 . . . . . . . . . 10 (((𝐶C ∧ (𝐴 𝐵) ∈ C𝐴C ) ∧ (𝐶 𝑀 (𝐴 𝐵) ∧ 𝐴 ⊆ (𝐴 𝐵))) → ((𝐴 𝐶) ∩ (𝐴 𝐵)) = (𝐴 (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵))))
9392exp32 420 . . . . . . . . 9 ((𝐶C ∧ (𝐴 𝐵) ∈ C𝐴C ) → (𝐶 𝑀 (𝐴 𝐵) → (𝐴 ⊆ (𝐴 𝐵) → ((𝐴 𝐶) ∩ (𝐴 𝐵)) = (𝐴 (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵))))))
941, 29, 2, 93mp3an 1463 . . . . . . . 8 (𝐶 𝑀 (𝐴 𝐵) → (𝐴 ⊆ (𝐴 𝐵) → ((𝐴 𝐶) ∩ (𝐴 𝐵)) = (𝐴 (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵)))))
9591, 94mpi 20 . . . . . . 7 (𝐶 𝑀 (𝐴 𝐵) → ((𝐴 𝐶) ∩ (𝐴 𝐵)) = (𝐴 (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵))))
962, 38chjcomi 31487 . . . . . . . 8 (𝐴 (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵))) = ((𝐶 ∩ (𝐴 𝐵)) ∨ 𝐴)
9738, 2chlejb1i 31495 . . . . . . . . 9 ((𝐶 ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ 𝐴 ↔ ((𝐶 ∩ (𝐴 𝐵)) ∨ 𝐴) = 𝐴)
9897biimpi 216 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ 𝐴 → ((𝐶 ∩ (𝐴 𝐵)) ∨ 𝐴) = 𝐴)
9996, 98eqtrid 2789 . . . . . . 7 ((𝐶 ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ 𝐴 → (𝐴 (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵))) = 𝐴)
10095, 99sylan9eq 2797 . . . . . 6 ((𝐶 𝑀 (𝐴 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ 𝐴) → ((𝐴 𝐶) ∩ (𝐴 𝐵)) = 𝐴)
101100ineq1d 4219 . . . . 5 ((𝐶 𝑀 (𝐴 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ 𝐴) → (((𝐴 𝐶) ∩ (𝐴 𝐵)) ∩ 𝐵) = (𝐴𝐵))
10290, 101eqtr3id 2791 . . . 4 ((𝐶 𝑀 (𝐴 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ 𝐴) → ((𝐴 𝐶) ∩ ((𝐴 𝐵) ∩ 𝐵)) = (𝐴𝐵))
10389, 102eqtrid 2789 . . 3 ((𝐶 𝑀 (𝐴 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ 𝐴) → ((𝐶 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝐴𝐵))
1041033adant1 1131 . 2 ((𝐴 𝑀 𝐵𝐶 𝑀 (𝐴 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ 𝐴) → ((𝐶 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝐴𝐵))
10585, 104jca 511 1 ((𝐴 𝑀 𝐵𝐶 𝑀 (𝐴 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ 𝐴) → ((𝐶 𝐴) 𝑀 𝐵 ∧ ((𝐶 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝐴𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  cin 3950  wss 3951   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431   C cch 30948   chj 30952   𝑀 cmd 30985
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cc 10475  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234  ax-mulf 11235  ax-hilex 31018  ax-hfvadd 31019  ax-hvcom 31020  ax-hvass 31021  ax-hv0cl 31022  ax-hvaddid 31023  ax-hfvmul 31024  ax-hvmulid 31025  ax-hvmulass 31026  ax-hvdistr1 31027  ax-hvdistr2 31028  ax-hvmul0 31029  ax-hfi 31098  ax-his1 31101  ax-his2 31102  ax-his3 31103  ax-his4 31104  ax-hcompl 31221
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-omul 8511  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-acn 9982  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-lm 23237  df-haus 23323  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cfil 25289  df-cau 25290  df-cmet 25291  df-grpo 30512  df-gid 30513  df-ginv 30514  df-gdiv 30515  df-ablo 30564  df-vc 30578  df-nv 30611  df-va 30614  df-ba 30615  df-sm 30616  df-0v 30617  df-vs 30618  df-nmcv 30619  df-ims 30620  df-dip 30720  df-ssp 30741  df-ph 30832  df-cbn 30882  df-hnorm 30987  df-hba 30988  df-hvsub 30990  df-hlim 30991  df-hcau 30992  df-sh 31226  df-ch 31240  df-oc 31271  df-ch0 31272  df-shs 31327  df-chj 31329  df-md 32299
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator