Theorem mdsymlem3 32433

Description: Lemma for mdsymi 32439. (Contributed by NM, 2-Jul-2004.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdsymlem1.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
mdsymlem1.2	⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
mdsymlem1.3	⊢ 𝐶 = (𝐴 ∨ℋ 𝑝)

Assertion

Ref	Expression
mdsymlem3	⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ ¬ (𝐵 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ∧ 𝐴 ≠ 0ℋ) → ∃𝑟 ∈ HAtoms ∃𝑞 ∈ HAtoms (𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑟,𝑞,𝐶   𝑞,𝑝,𝑟,𝐴   𝐵,𝑝,𝑞,𝑟

Allowed substitution hint:   𝐶(𝑝)

Proof of Theorem mdsymlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssin 4246	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑟 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐶) ↔ 𝑟 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶))
2		mdsymlem1.3	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐶 = (𝐴 ∨ℋ 𝑝)
3	2	sseq2i 4024	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑟 ⊆ 𝐶 ↔ 𝑟 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝑝))
4	3	biimpi 216	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 ⊆ 𝐶 → 𝑟 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝑝))
5	4	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑟 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐶) → 𝑟 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝑝))
6	1, 5	sylbir 235	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶) → 𝑟 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝑝))
7		mdsymlem1.1	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
8	7	atcvat4i 32425	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ∈ HAtoms) → ((𝐴 ≠ 0ℋ ∧ 𝑟 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝑝)) → ∃𝑞 ∈ HAtoms (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))))
9	8	exp4b 430	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑟 ∈ HAtoms → (𝑝 ∈ HAtoms → (𝐴 ≠ 0ℋ → (𝑟 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝑝) → ∃𝑞 ∈ HAtoms (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))))))
10	9	com34 91	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 ∈ HAtoms → (𝑝 ∈ HAtoms → (𝑟 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝑝) → (𝐴 ≠ 0ℋ → ∃𝑞 ∈ HAtoms (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))))))
11	10	com23 86	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 ∈ HAtoms → (𝑟 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝑝) → (𝑝 ∈ HAtoms → (𝐴 ≠ 0ℋ → ∃𝑞 ∈ HAtoms (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))))))
12	11	imp4b 421	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝑝)) → ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝐴 ≠ 0ℋ) → ∃𝑞 ∈ HAtoms (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))))
13	6, 12	sylan2 593	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶)) → ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝐴 ≠ 0ℋ) → ∃𝑞 ∈ HAtoms (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))))
14	13	adantrr 717	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ (𝑟 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶) ∧ ¬ 𝑟 ⊆ 𝐴)) → ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝐴 ≠ 0ℋ) → ∃𝑞 ∈ HAtoms (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))))
15	14	com12 32	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝐴 ≠ 0ℋ) → ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ (𝑟 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶) ∧ ¬ 𝑟 ⊆ 𝐴)) → ∃𝑞 ∈ HAtoms (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))))
16	15	adantlr 715	. . . . 5 ⊢ (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ ¬ (𝐵 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ 0ℋ) → ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ (𝑟 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶) ∧ ¬ 𝑟 ⊆ 𝐴)) → ∃𝑞 ∈ HAtoms (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))))
17	16	adantlr 715	. . . 4 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ ¬ (𝐵 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ∧ 𝐴 ≠ 0ℋ) → ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ (𝑟 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶) ∧ ¬ 𝑟 ⊆ 𝐴)) → ∃𝑞 ∈ HAtoms (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))))
18	17	imp 406	. . 3 ⊢ (((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ ¬ (𝐵 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ∧ 𝐴 ≠ 0ℋ) ∧ (𝑟 ∈ HAtoms ∧ (𝑟 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶) ∧ ¬ 𝑟 ⊆ 𝐴))) → ∃𝑞 ∈ HAtoms (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞)))
19		nssne2 4058	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝑟 ⊆ 𝐴) → 𝑞 ≠ 𝑟)
20	19	adantrl 716	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ (𝑟 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶) ∧ ¬ 𝑟 ⊆ 𝐴)) → 𝑞 ≠ 𝑟)
21		atnemeq0 32405	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → (𝑞 ≠ 𝑟 ↔ (𝑞 ∩ 𝑟) = 0ℋ))
22	21	ancoms 458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ∈ HAtoms) → (𝑞 ≠ 𝑟 ↔ (𝑞 ∩ 𝑟) = 0ℋ))
23	20, 22	imbitrid 244	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ∈ HAtoms) → ((𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ (𝑟 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶) ∧ ¬ 𝑟 ⊆ 𝐴)) → (𝑞 ∩ 𝑟) = 0ℋ))
24	23	adantll 714	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ 𝑞 ∈ HAtoms) → ((𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ (𝑟 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶) ∧ ¬ 𝑟 ⊆ 𝐴)) → (𝑞 ∩ 𝑟) = 0ℋ))
25	24	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ 𝑞 ∈ HAtoms) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞)) → ((𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ (𝑟 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶) ∧ ¬ 𝑟 ⊆ 𝐴)) → (𝑞 ∩ 𝑟) = 0ℋ))
26		atelch 32372	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑝 ∈ HAtoms → 𝑝 ∈ Cℋ )
27		atelch 32372	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑞 ∈ HAtoms → 𝑞 ∈ Cℋ )
28		chjcom 31534	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑝 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ∈ Cℋ ) → (𝑝 ∨ℋ 𝑞) = (𝑞 ∨ℋ 𝑝))
29	26, 27, 28	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ∈ HAtoms) → (𝑝 ∨ℋ 𝑞) = (𝑞 ∨ℋ 𝑝))
30	29	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ 𝑞 ∈ HAtoms) → (𝑝 ∨ℋ 𝑞) = (𝑞 ∨ℋ 𝑝))
31	30	sseq2d 4027	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ 𝑞 ∈ HAtoms) → (𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞) ↔ 𝑟 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑝)))
32		atexch 32409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ∈ HAtoms) → ((𝑟 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑝) ∧ (𝑞 ∩ 𝑟) = 0ℋ) → 𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟)))
33	27, 32	syl3an1 1162	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ∈ HAtoms) → ((𝑟 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑝) ∧ (𝑞 ∩ 𝑟) = 0ℋ) → 𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟)))
34	33	3com13 1123	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ∈ HAtoms) → ((𝑟 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑝) ∧ (𝑞 ∩ 𝑟) = 0ℋ) → 𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟)))
35	34	3expa 1117	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ 𝑞 ∈ HAtoms) → ((𝑟 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑝) ∧ (𝑞 ∩ 𝑟) = 0ℋ) → 𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟)))
36	35	expd 415	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ 𝑞 ∈ HAtoms) → (𝑟 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑝) → ((𝑞 ∩ 𝑟) = 0ℋ → 𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟))))
37	31, 36	sylbid 240	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ 𝑞 ∈ HAtoms) → (𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞) → ((𝑞 ∩ 𝑟) = 0ℋ → 𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟))))
38	37	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ 𝑞 ∈ HAtoms) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞)) → ((𝑞 ∩ 𝑟) = 0ℋ → 𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟)))
39	25, 38	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ 𝑞 ∈ HAtoms) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞)) → ((𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ (𝑟 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶) ∧ ¬ 𝑟 ⊆ 𝐴)) → 𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟)))
40	39	expd 415	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ 𝑞 ∈ HAtoms) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞)) → (𝑞 ⊆ 𝐴 → ((𝑟 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶) ∧ ¬ 𝑟 ⊆ 𝐴) → 𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟))))
41	40	exp31 419	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → (𝑞 ∈ HAtoms → (𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞) → (𝑞 ⊆ 𝐴 → ((𝑟 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶) ∧ ¬ 𝑟 ⊆ 𝐴) → 𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟))))))
42	41	com24 95	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → (𝑞 ⊆ 𝐴 → (𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞) → (𝑞 ∈ HAtoms → ((𝑟 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶) ∧ ¬ 𝑟 ⊆ 𝐴) → 𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟))))))
43	42	impd 410	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → ((𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞)) → (𝑞 ∈ HAtoms → ((𝑟 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶) ∧ ¬ 𝑟 ⊆ 𝐴) → 𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟)))))
44	43	com24 95	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → ((𝑟 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶) ∧ ¬ 𝑟 ⊆ 𝐴) → (𝑞 ∈ HAtoms → ((𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞)) → 𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟)))))
45	44	imp4b 421	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑟 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶) ∧ ¬ 𝑟 ⊆ 𝐴)) → ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) → 𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟)))
46	45	anasss 466	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ (𝑟 ∈ HAtoms ∧ (𝑟 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶) ∧ ¬ 𝑟 ⊆ 𝐴))) → ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) → 𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟)))
47		simprl 771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) → 𝑞 ⊆ 𝐴)
48	47	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ (𝑟 ∈ HAtoms ∧ (𝑟 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶) ∧ ¬ 𝑟 ⊆ 𝐴))) → ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) → 𝑞 ⊆ 𝐴))
49		simpl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑟 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐶) → 𝑟 ⊆ 𝐵)
50	1, 49	sylbir 235	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑟 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶) → 𝑟 ⊆ 𝐵)
51	50	ad2antrl 728	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ (𝑟 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶) ∧ ¬ 𝑟 ⊆ 𝐴)) → 𝑟 ⊆ 𝐵)
52	51	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ (𝑟 ∈ HAtoms ∧ (𝑟 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶) ∧ ¬ 𝑟 ⊆ 𝐴))) → 𝑟 ⊆ 𝐵)
53	48, 52	jctird 526	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ (𝑟 ∈ HAtoms ∧ (𝑟 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶) ∧ ¬ 𝑟 ⊆ 𝐴))) → ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) → (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵)))
54	46, 53	jcad 512	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ (𝑟 ∈ HAtoms ∧ (𝑟 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶) ∧ ¬ 𝑟 ⊆ 𝐴))) → ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) → (𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵))))
55	54	expd 415	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ (𝑟 ∈ HAtoms ∧ (𝑟 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶) ∧ ¬ 𝑟 ⊆ 𝐴))) → (𝑞 ∈ HAtoms → ((𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞)) → (𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵)))))
56	55	adantlr 715	. . . . . 6 ⊢ (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ ¬ (𝐵 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐴) ∧ (𝑟 ∈ HAtoms ∧ (𝑟 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶) ∧ ¬ 𝑟 ⊆ 𝐴))) → (𝑞 ∈ HAtoms → ((𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞)) → (𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵)))))
57	56	adantlr 715	. . . . 5 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ ¬ (𝐵 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ∧ (𝑟 ∈ HAtoms ∧ (𝑟 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶) ∧ ¬ 𝑟 ⊆ 𝐴))) → (𝑞 ∈ HAtoms → ((𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞)) → (𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵)))))
58	57	adantlr 715	. . . 4 ⊢ (((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ ¬ (𝐵 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ∧ 𝐴 ≠ 0ℋ) ∧ (𝑟 ∈ HAtoms ∧ (𝑟 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶) ∧ ¬ 𝑟 ⊆ 𝐴))) → (𝑞 ∈ HAtoms → ((𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞)) → (𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵)))))
59	58	reximdvai 3162	. . 3 ⊢ (((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ ¬ (𝐵 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ∧ 𝐴 ≠ 0ℋ) ∧ (𝑟 ∈ HAtoms ∧ (𝑟 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶) ∧ ¬ 𝑟 ⊆ 𝐴))) → (∃𝑞 ∈ HAtoms (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞)) → ∃𝑞 ∈ HAtoms (𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵))))
60	18, 59	mpd 15	. 2 ⊢ (((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ ¬ (𝐵 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ∧ 𝐴 ≠ 0ℋ) ∧ (𝑟 ∈ HAtoms ∧ (𝑟 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶) ∧ ¬ 𝑟 ⊆ 𝐴))) → ∃𝑞 ∈ HAtoms (𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵)))
61		mdsymlem1.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
62		chjcl 31385	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ Cℋ ) → (𝐴 ∨ℋ 𝑝) ∈ Cℋ )
63	7, 62	mpan 690	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ Cℋ → (𝐴 ∨ℋ 𝑝) ∈ Cℋ )
64	2, 63	eqeltrid 2842	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ Cℋ → 𝐶 ∈ Cℋ )
65		chincl 31527	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → (𝐵 ∩ 𝐶) ∈ Cℋ )
66	61, 64, 65	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 ∈ Cℋ → (𝐵 ∩ 𝐶) ∈ Cℋ )
67	26, 66	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑝 ∈ HAtoms → (𝐵 ∩ 𝐶) ∈ Cℋ )
68		chrelat2 32398	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∩ 𝐶) ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → (¬ (𝐵 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐴 ↔ ∃𝑟 ∈ HAtoms (𝑟 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶) ∧ ¬ 𝑟 ⊆ 𝐴)))
69	67, 7, 68	sylancl 586	. . . 4 ⊢ (𝑝 ∈ HAtoms → (¬ (𝐵 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐴 ↔ ∃𝑟 ∈ HAtoms (𝑟 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶) ∧ ¬ 𝑟 ⊆ 𝐴)))
70	69	biimpa 476	. . 3 ⊢ ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ ¬ (𝐵 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐴) → ∃𝑟 ∈ HAtoms (𝑟 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶) ∧ ¬ 𝑟 ⊆ 𝐴))
71	70	ad2antrr 726	. 2 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ ¬ (𝐵 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ∧ 𝐴 ≠ 0ℋ) → ∃𝑟 ∈ HAtoms (𝑟 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶) ∧ ¬ 𝑟 ⊆ 𝐴))
72	60, 71	reximddv 3168	1 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ ¬ (𝐵 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ∧ 𝐴 ≠ 0ℋ) → ∃𝑟 ∈ HAtoms ∃𝑞 ∈ HAtoms (𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1536   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2937  ∃wrex 3067   ∩ cin 3961   ⊆ wss 3962  (class class class)co 7430   C_ℋ cch 30957   ∨_ℋ chj 30961  0_ℋc0h 30963  HAtomscat 30993

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cc 10472  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230  ax-addf 11231  ax-mulf 11232  ax-hilex 31027  ax-hfvadd 31028  ax-hvcom 31029  ax-hvass 31030  ax-hv0cl 31031  ax-hvaddid 31032  ax-hfvmul 31033  ax-hvmulid 31034  ax-hvmulass 31035  ax-hvdistr1 31036  ax-hvdistr2 31037  ax-hvmul0 31038  ax-hfi 31107  ax-his1 31110  ax-his2 31111  ax-his3 31112  ax-his4 31113  ax-hcompl 31230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-oadd 8508  df-omul 8509  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-fi 9448  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-card 9976  df-acn 9979  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-xmul 13153  df-ioo 13387  df-ico 13389  df-icc 13390  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-seq 14039  df-exp 14099  df-hash 14366  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-clim 15520  df-rlim 15521  df-sum 15719  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-submnd 18809  df-mulg 19098  df-cntz 19347  df-cmn 19814  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-met 21375  df-bl 21376  df-mopn 21377  df-fbas 21378  df-fg 21379  df-cnfld 21382  df-top 22915  df-topon 22932  df-topsp 22954  df-bases 22968  df-cld 23042  df-ntr 23043  df-cls 23044  df-nei 23121  df-cn 23250  df-cnp 23251  df-lm 23252  df-haus 23338  df-tx 23585  df-hmeo 23778  df-fil 23869  df-fm 23961  df-flim 23962  df-flf 23963  df-xms 24345  df-ms 24346  df-tms 24347  df-cfil 25302  df-cau 25303  df-cmet 25304  df-grpo 30521  df-gid 30522  df-ginv 30523  df-gdiv 30524  df-ablo 30573  df-vc 30587  df-nv 30620  df-va 30623  df-ba 30624  df-sm 30625  df-0v 30626  df-vs 30627  df-nmcv 30628  df-ims 30629  df-dip 30729  df-ssp 30750  df-ph 30841  df-cbn 30891  df-hnorm 30996  df-hba 30997  df-hvsub 30999  df-hlim 31000  df-hcau 31001  df-sh 31235  df-ch 31249  df-oc 31280  df-ch0 31281  df-shs 31336  df-span 31337  df-chj 31338  df-chsup 31339  df-pjh 31423  df-cv 32307  df-at 32366

This theorem is referenced by:  mdsymlem4  32434