Theorem mdsymlem3 32735

Description: Lemma for mdsymi 32741. (Contributed by NM, 2-Jul-2004.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdsymlem1.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
mdsymlem1.2	⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
mdsymlem1.3	⊢ 𝐶 = (𝐴 ∨ℋ 𝑝)

Assertion

Ref	Expression
mdsymlem3	⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ ¬ (𝐵 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ∧ 𝐴 ≠ 0ℋ) → ∃𝑟 ∈ HAtoms ∃𝑞 ∈ HAtoms (𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑟,𝑞,𝐶   𝑞,𝑝,𝑟,𝐴   𝐵,𝑝,𝑞,𝑟

Allowed substitution hint:   𝐶(𝑝)

Proof of Theorem mdsymlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssin 4192	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑟 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐶) ↔ 𝑟 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶))
2		mdsymlem1.3	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐶 = (𝐴 ∨ℋ 𝑝)
3	2	sseq2i 3967	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 ⊆ 𝐶 ↔ 𝑟 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝑝))
4	3	bilani 509	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑟 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐶) → 𝑟 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝑝))
5	1, 4	sylbir 238	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶) → 𝑟 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝑝))
6		mdsymlem1.1	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
7	6	atcvat4i 32727	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ∈ HAtoms) → ((𝐴 ≠ 0ℋ ∧ 𝑟 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝑝)) → ∃𝑞 ∈ HAtoms (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))))
8	7	exp4b 435	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑟 ∈ HAtoms → (𝑝 ∈ HAtoms → (𝐴 ≠ 0ℋ → (𝑟 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝑝) → ∃𝑞 ∈ HAtoms (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))))))
9	8	com34 92	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 ∈ HAtoms → (𝑝 ∈ HAtoms → (𝑟 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝑝) → (𝐴 ≠ 0ℋ → ∃𝑞 ∈ HAtoms (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))))))
10	9	com23 87	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 ∈ HAtoms → (𝑟 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝑝) → (𝑝 ∈ HAtoms → (𝐴 ≠ 0ℋ → ∃𝑞 ∈ HAtoms (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))))))
11	10	imp4b 426	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝑝)) → ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝐴 ≠ 0ℋ) → ∃𝑞 ∈ HAtoms (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))))
12	5, 11	sylan2 604	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶)) → ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝐴 ≠ 0ℋ) → ∃𝑞 ∈ HAtoms (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))))
13	12	adantrr 729	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ (𝑟 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶) ∧ ¬ 𝑟 ⊆ 𝐴)) → ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝐴 ≠ 0ℋ) → ∃𝑞 ∈ HAtoms (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))))
14	13	com12 33	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝐴 ≠ 0ℋ) → ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ (𝑟 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶) ∧ ¬ 𝑟 ⊆ 𝐴)) → ∃𝑞 ∈ HAtoms (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))))
15	14	adantlr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ ¬ (𝐵 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ 0ℋ) → ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ (𝑟 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶) ∧ ¬ 𝑟 ⊆ 𝐴)) → ∃𝑞 ∈ HAtoms (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))))
16	15	adantlr 727	. . . 4 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ ¬ (𝐵 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ∧ 𝐴 ≠ 0ℋ) → ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ (𝑟 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶) ∧ ¬ 𝑟 ⊆ 𝐴)) → ∃𝑞 ∈ HAtoms (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))))
17	16	imp 411	. . 3 ⊢ (((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ ¬ (𝐵 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ∧ 𝐴 ≠ 0ℋ) ∧ (𝑟 ∈ HAtoms ∧ (𝑟 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶) ∧ ¬ 𝑟 ⊆ 𝐴))) → ∃𝑞 ∈ HAtoms (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞)))
18		nssne2 4001	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝑟 ⊆ 𝐴) → 𝑞 ≠ 𝑟)
19	18	adantrl 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ (𝑟 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶) ∧ ¬ 𝑟 ⊆ 𝐴)) → 𝑞 ≠ 𝑟)
20		atnemeq0 32707	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → (𝑞 ≠ 𝑟 ↔ (𝑞 ∩ 𝑟) = 0ℋ))
21	20	ancoms 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ∈ HAtoms) → (𝑞 ≠ 𝑟 ↔ (𝑞 ∩ 𝑟) = 0ℋ))
22	19, 21	imbitrid 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ∈ HAtoms) → ((𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ (𝑟 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶) ∧ ¬ 𝑟 ⊆ 𝐴)) → (𝑞 ∩ 𝑟) = 0ℋ))
23	22	adantll 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ 𝑞 ∈ HAtoms) → ((𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ (𝑟 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶) ∧ ¬ 𝑟 ⊆ 𝐴)) → (𝑞 ∩ 𝑟) = 0ℋ))
24	23	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ 𝑞 ∈ HAtoms) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞)) → ((𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ (𝑟 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶) ∧ ¬ 𝑟 ⊆ 𝐴)) → (𝑞 ∩ 𝑟) = 0ℋ))
25		atelch 32674	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑝 ∈ HAtoms → 𝑝 ∈ Cℋ )
26		atelch 32674	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑞 ∈ HAtoms → 𝑞 ∈ Cℋ )
27		chjcom 31836	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑝 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ∈ Cℋ ) → (𝑝 ∨ℋ 𝑞) = (𝑞 ∨ℋ 𝑝))
28	25, 26, 27	syl2an 607	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ∈ HAtoms) → (𝑝 ∨ℋ 𝑞) = (𝑞 ∨ℋ 𝑝))
29	28	adantlr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ 𝑞 ∈ HAtoms) → (𝑝 ∨ℋ 𝑞) = (𝑞 ∨ℋ 𝑝))
30	29	sseq2d 3970	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ 𝑞 ∈ HAtoms) → (𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞) ↔ 𝑟 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑝)))
31		atexch 32711	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ∈ HAtoms) → ((𝑟 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑝) ∧ (𝑞 ∩ 𝑟) = 0ℋ) → 𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟)))
32	26, 31	syl3an1 1181	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ∈ HAtoms) → ((𝑟 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑝) ∧ (𝑞 ∩ 𝑟) = 0ℋ) → 𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟)))
33	32	3com13 1142	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ∈ HAtoms) → ((𝑟 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑝) ∧ (𝑞 ∩ 𝑟) = 0ℋ) → 𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟)))
34	33	3expa 1136	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ 𝑞 ∈ HAtoms) → ((𝑟 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑝) ∧ (𝑞 ∩ 𝑟) = 0ℋ) → 𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟)))
35	34	expd 420	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ 𝑞 ∈ HAtoms) → (𝑟 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑝) → ((𝑞 ∩ 𝑟) = 0ℋ → 𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟))))
36	30, 35	sylbid 243	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ 𝑞 ∈ HAtoms) → (𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞) → ((𝑞 ∩ 𝑟) = 0ℋ → 𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟))))
37	36	imp 411	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ 𝑞 ∈ HAtoms) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞)) → ((𝑞 ∩ 𝑟) = 0ℋ → 𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟)))
38	24, 37	syld 48	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ 𝑞 ∈ HAtoms) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞)) → ((𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ (𝑟 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶) ∧ ¬ 𝑟 ⊆ 𝐴)) → 𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟)))
39	38	expd 420	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ 𝑞 ∈ HAtoms) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞)) → (𝑞 ⊆ 𝐴 → ((𝑟 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶) ∧ ¬ 𝑟 ⊆ 𝐴) → 𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟))))
40	39	exp31 424	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → (𝑞 ∈ HAtoms → (𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞) → (𝑞 ⊆ 𝐴 → ((𝑟 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶) ∧ ¬ 𝑟 ⊆ 𝐴) → 𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟))))))
41	40	com24 96	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → (𝑞 ⊆ 𝐴 → (𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞) → (𝑞 ∈ HAtoms → ((𝑟 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶) ∧ ¬ 𝑟 ⊆ 𝐴) → 𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟))))))
42	41	impd 415	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → ((𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞)) → (𝑞 ∈ HAtoms → ((𝑟 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶) ∧ ¬ 𝑟 ⊆ 𝐴) → 𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟)))))
43	42	com24 96	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → ((𝑟 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶) ∧ ¬ 𝑟 ⊆ 𝐴) → (𝑞 ∈ HAtoms → ((𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞)) → 𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟)))))
44	43	imp4b 426	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑟 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶) ∧ ¬ 𝑟 ⊆ 𝐴)) → ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) → 𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟)))
45	44	anasss 471	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ (𝑟 ∈ HAtoms ∧ (𝑟 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶) ∧ ¬ 𝑟 ⊆ 𝐴))) → ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) → 𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟)))
46		simprl 782	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) → 𝑞 ⊆ 𝐴)
47	46	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ (𝑟 ∈ HAtoms ∧ (𝑟 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶) ∧ ¬ 𝑟 ⊆ 𝐴))) → ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) → 𝑞 ⊆ 𝐴))
48		simpl 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑟 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐶) → 𝑟 ⊆ 𝐵)
49	1, 48	sylbir 238	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑟 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶) → 𝑟 ⊆ 𝐵)
50	49	ad2antrl 740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ (𝑟 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶) ∧ ¬ 𝑟 ⊆ 𝐴)) → 𝑟 ⊆ 𝐵)
51	50	adantl 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ (𝑟 ∈ HAtoms ∧ (𝑟 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶) ∧ ¬ 𝑟 ⊆ 𝐴))) → 𝑟 ⊆ 𝐵)
52	47, 51	jctird 535	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ (𝑟 ∈ HAtoms ∧ (𝑟 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶) ∧ ¬ 𝑟 ⊆ 𝐴))) → ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) → (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵)))
53	45, 52	jcad 521	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ (𝑟 ∈ HAtoms ∧ (𝑟 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶) ∧ ¬ 𝑟 ⊆ 𝐴))) → ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) → (𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵))))
54	53	expd 420	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ (𝑟 ∈ HAtoms ∧ (𝑟 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶) ∧ ¬ 𝑟 ⊆ 𝐴))) → (𝑞 ∈ HAtoms → ((𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞)) → (𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵)))))
55	54	adantlr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ ¬ (𝐵 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐴) ∧ (𝑟 ∈ HAtoms ∧ (𝑟 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶) ∧ ¬ 𝑟 ⊆ 𝐴))) → (𝑞 ∈ HAtoms → ((𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞)) → (𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵)))))
56	55	adantlr 727	. . . . 5 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ ¬ (𝐵 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ∧ (𝑟 ∈ HAtoms ∧ (𝑟 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶) ∧ ¬ 𝑟 ⊆ 𝐴))) → (𝑞 ∈ HAtoms → ((𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞)) → (𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵)))))
57	56	adantlr 727	. . . 4 ⊢ (((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ ¬ (𝐵 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ∧ 𝐴 ≠ 0ℋ) ∧ (𝑟 ∈ HAtoms ∧ (𝑟 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶) ∧ ¬ 𝑟 ⊆ 𝐴))) → (𝑞 ∈ HAtoms → ((𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞)) → (𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵)))))
58	57	reximdvai 3176	. . 3 ⊢ (((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ ¬ (𝐵 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ∧ 𝐴 ≠ 0ℋ) ∧ (𝑟 ∈ HAtoms ∧ (𝑟 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶) ∧ ¬ 𝑟 ⊆ 𝐴))) → (∃𝑞 ∈ HAtoms (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞)) → ∃𝑞 ∈ HAtoms (𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵))))
59	17, 58	mpd 16	. 2 ⊢ (((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ ¬ (𝐵 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ∧ 𝐴 ≠ 0ℋ) ∧ (𝑟 ∈ HAtoms ∧ (𝑟 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶) ∧ ¬ 𝑟 ⊆ 𝐴))) → ∃𝑞 ∈ HAtoms (𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵)))
60		mdsymlem1.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
61		chjcl 31687	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ Cℋ ) → (𝐴 ∨ℋ 𝑝) ∈ Cℋ )
62	6, 61	mpan 702	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ Cℋ → (𝐴 ∨ℋ 𝑝) ∈ Cℋ )
63	2, 62	eqeltrid 2867	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ Cℋ → 𝐶 ∈ Cℋ )
64		chincl 31829	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → (𝐵 ∩ 𝐶) ∈ Cℋ )
65	60, 63, 64	sylancr 598	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 ∈ Cℋ → (𝐵 ∩ 𝐶) ∈ Cℋ )
66	25, 65	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑝 ∈ HAtoms → (𝐵 ∩ 𝐶) ∈ Cℋ )
67		chrelat2 32700	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∩ 𝐶) ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → (¬ (𝐵 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐴 ↔ ∃𝑟 ∈ HAtoms (𝑟 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶) ∧ ¬ 𝑟 ⊆ 𝐴)))
68	66, 6, 67	sylancl 597	. . . 4 ⊢ (𝑝 ∈ HAtoms → (¬ (𝐵 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐴 ↔ ∃𝑟 ∈ HAtoms (𝑟 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶) ∧ ¬ 𝑟 ⊆ 𝐴)))
69	68	biimpa 481	. . 3 ⊢ ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ ¬ (𝐵 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐴) → ∃𝑟 ∈ HAtoms (𝑟 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶) ∧ ¬ 𝑟 ⊆ 𝐴))
70	69	ad2antrr 738	. 2 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ ¬ (𝐵 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ∧ 𝐴 ≠ 0ℋ) → ∃𝑟 ∈ HAtoms (𝑟 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶) ∧ ¬ 𝑟 ⊆ 𝐴))
71	59, 70	reximddv 3181	1 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ ¬ (𝐵 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ∧ 𝐴 ≠ 0ℋ) → ∃𝑟 ∈ HAtoms ∃𝑞 ∈ HAtoms (𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∃wrex 3089   ∩ cin 3905   ⊆ wss 3906  (class class class)co 7412   C_ℋ cch 31259   ∨_ℋ chj 31263  0_ℋc0h 31265  HAtomscat 31295

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-inf2 9611  ax-cc 10420  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-pre-sup 11179  ax-addf 11180  ax-mulf 11181  ax-hilex 31329  ax-hfvadd 31330  ax-hvcom 31331  ax-hvass 31332  ax-hv0cl 31333  ax-hvaddid 31334  ax-hfvmul 31335  ax-hvmulid 31336  ax-hvmulass 31337  ax-hvdistr1 31338  ax-hvdistr2 31339  ax-hvmul0 31340  ax-hfi 31409  ax-his1 31412  ax-his2 31413  ax-his3 31414  ax-his4 31415  ax-hcompl 31532

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7676  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8158  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-2o 8455  df-oadd 8458  df-omul 8459  df-er 8695  df-map 8827  df-pm 8828  df-ixp 8897  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-fsupp 9323  df-fi 9372  df-sup 9403  df-inf 9404  df-oi 9473  df-card 9926  df-acn 9929  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-4 12306  df-5 12307  df-6 12308  df-7 12309  df-8 12310  df-9 12311  df-n0 12506  df-z 12593  df-dec 12713  df-uz 12864  df-q 12974  df-rp 13018  df-xneg 13138  df-xadd 13139  df-xmul 13140  df-ioo 13377  df-ico 13379  df-icc 13380  df-fz 13537  df-fzo 13685  df-fl 13827  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14369  df-cj 15152  df-re 15153  df-im 15154  df-sqrt 15288  df-abs 15289  df-clim 15541  df-rlim 15542  df-sum 15740  df-struct 17208  df-sets 17225  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-ress 17292  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-hom 17335  df-cco 17336  df-rest 17476  df-topn 17477  df-0g 17495  df-gsum 17496  df-topgen 17497  df-pt 17498  df-prds 17501  df-xrs 17557  df-qtop 17562  df-imas 17563  df-xps 17565  df-mre 17639  df-mrc 17640  df-acs 17642  df-mgm 18699  df-sgrp 18778  df-mnd 18794  df-submnd 18843  df-mulg 19135  df-cntz 19388  df-cmn 19853  df-psmet 21495  df-xmet 21496  df-met 21497  df-bl 21498  df-mopn 21499  df-fbas 21500  df-fg 21501  df-cnfld 21504  df-top 23032  df-topon 23049  df-topsp 23071  df-bases 23084  df-cld 23157  df-ntr 23158  df-cls 23159  df-nei 23236  df-cn 23365  df-cnp 23366  df-lm 23367  df-haus 23453  df-tx 23700  df-hmeo 23893  df-fil 23984  df-fm 24076  df-flim 24077  df-flf 24078  df-xms 24458  df-ms 24459  df-tms 24460  df-cfil 25395  df-cau 25396  df-cmet 25397  df-grpo 30823  df-gid 30824  df-ginv 30825  df-gdiv 30826  df-ablo 30875  df-vc 30889  df-nv 30922  df-va 30925  df-ba 30926  df-sm 30927  df-0v 30928  df-vs 30929  df-nmcv 30930  df-ims 30931  df-dip 31031  df-ssp 31052  df-ph 31143  df-cbn 31193  df-hnorm 31298  df-hba 31299  df-hvsub 31301  df-hlim 31302  df-hcau 31303  df-sh 31537  df-ch 31551  df-oc 31582  df-ch0 31583  df-shs 31638  df-span 31639  df-chj 31640  df-chsup 31641  df-pjh 31725  df-cv 32609  df-at 32668

This theorem is referenced by:  mdsymlem4  32736