HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  mdsymlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdsymlem3 32287
Description: Lemma for mdsymi 32293. (Contributed by NM, 2-Jul-2004.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mdsymlem1.1 𝐴C
mdsymlem1.2 𝐵C
mdsymlem1.3 𝐶 = (𝐴 𝑝)
Assertion
Ref Expression
mdsymlem3 ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ ¬ (𝐵𝐶) ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ⊆ (𝐴 𝐵)) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ∃𝑟 ∈ HAtoms ∃𝑞 ∈ HAtoms (𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵)))
Distinct variable groups:   𝑟,𝑞,𝐶   𝑞,𝑝,𝑟,𝐴   𝐵,𝑝,𝑞,𝑟
Allowed substitution hint:   𝐶(𝑝)

Proof of Theorem mdsymlem3
StepHypRef Expression
1 ssin 4229 . . . . . . . . . 10 ((𝑟𝐵𝑟𝐶) ↔ 𝑟 ⊆ (𝐵𝐶))
2 mdsymlem1.3 . . . . . . . . . . . . 13 𝐶 = (𝐴 𝑝)
32sseq2i 4006 . . . . . . . . . . . 12 (𝑟𝐶𝑟 ⊆ (𝐴 𝑝))
43biimpi 215 . . . . . . . . . . 11 (𝑟𝐶𝑟 ⊆ (𝐴 𝑝))
54adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((𝑟𝐵𝑟𝐶) → 𝑟 ⊆ (𝐴 𝑝))
61, 5sylbir 234 . . . . . . . . 9 (𝑟 ⊆ (𝐵𝐶) → 𝑟 ⊆ (𝐴 𝑝))
7 mdsymlem1.1 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐴C
87atcvat4i 32279 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ∈ HAtoms) → ((𝐴 ≠ 0𝑟 ⊆ (𝐴 𝑝)) → ∃𝑞 ∈ HAtoms (𝑞𝐴𝑟 ⊆ (𝑝 𝑞))))
98exp4b 429 . . . . . . . . . . . 12 (𝑟 ∈ HAtoms → (𝑝 ∈ HAtoms → (𝐴 ≠ 0 → (𝑟 ⊆ (𝐴 𝑝) → ∃𝑞 ∈ HAtoms (𝑞𝐴𝑟 ⊆ (𝑝 𝑞))))))
109com34 91 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 ∈ HAtoms → (𝑝 ∈ HAtoms → (𝑟 ⊆ (𝐴 𝑝) → (𝐴 ≠ 0 → ∃𝑞 ∈ HAtoms (𝑞𝐴𝑟 ⊆ (𝑝 𝑞))))))
1110com23 86 . . . . . . . . . 10 (𝑟 ∈ HAtoms → (𝑟 ⊆ (𝐴 𝑝) → (𝑝 ∈ HAtoms → (𝐴 ≠ 0 → ∃𝑞 ∈ HAtoms (𝑞𝐴𝑟 ⊆ (𝑝 𝑞))))))
1211imp4b 420 . . . . . . . . 9 ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ (𝐴 𝑝)) → ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝐴 ≠ 0) → ∃𝑞 ∈ HAtoms (𝑞𝐴𝑟 ⊆ (𝑝 𝑞))))
136, 12sylan2 591 . . . . . . . 8 ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ (𝐵𝐶)) → ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝐴 ≠ 0) → ∃𝑞 ∈ HAtoms (𝑞𝐴𝑟 ⊆ (𝑝 𝑞))))
1413adantrr 715 . . . . . . 7 ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ (𝑟 ⊆ (𝐵𝐶) ∧ ¬ 𝑟𝐴)) → ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝐴 ≠ 0) → ∃𝑞 ∈ HAtoms (𝑞𝐴𝑟 ⊆ (𝑝 𝑞))))
1514com12 32 . . . . . 6 ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ (𝑟 ⊆ (𝐵𝐶) ∧ ¬ 𝑟𝐴)) → ∃𝑞 ∈ HAtoms (𝑞𝐴𝑟 ⊆ (𝑝 𝑞))))
1615adantlr 713 . . . . 5 (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ ¬ (𝐵𝐶) ⊆ 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ (𝑟 ⊆ (𝐵𝐶) ∧ ¬ 𝑟𝐴)) → ∃𝑞 ∈ HAtoms (𝑞𝐴𝑟 ⊆ (𝑝 𝑞))))
1716adantlr 713 . . . 4 ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ ¬ (𝐵𝐶) ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ⊆ (𝐴 𝐵)) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ (𝑟 ⊆ (𝐵𝐶) ∧ ¬ 𝑟𝐴)) → ∃𝑞 ∈ HAtoms (𝑞𝐴𝑟 ⊆ (𝑝 𝑞))))
1817imp 405 . . 3 (((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ ¬ (𝐵𝐶) ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ⊆ (𝐴 𝐵)) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑟 ∈ HAtoms ∧ (𝑟 ⊆ (𝐵𝐶) ∧ ¬ 𝑟𝐴))) → ∃𝑞 ∈ HAtoms (𝑞𝐴𝑟 ⊆ (𝑝 𝑞)))
19 nssne2 4040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑟𝐴) → 𝑞𝑟)
2019adantrl 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑞𝐴 ∧ (𝑟 ⊆ (𝐵𝐶) ∧ ¬ 𝑟𝐴)) → 𝑞𝑟)
21 atnemeq0 32259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → (𝑞𝑟 ↔ (𝑞𝑟) = 0))
2221ancoms 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ∈ HAtoms) → (𝑞𝑟 ↔ (𝑞𝑟) = 0))
2320, 22imbitrid 243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ∈ HAtoms) → ((𝑞𝐴 ∧ (𝑟 ⊆ (𝐵𝐶) ∧ ¬ 𝑟𝐴)) → (𝑞𝑟) = 0))
2423adantll 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ 𝑞 ∈ HAtoms) → ((𝑞𝐴 ∧ (𝑟 ⊆ (𝐵𝐶) ∧ ¬ 𝑟𝐴)) → (𝑞𝑟) = 0))
2524adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ 𝑞 ∈ HAtoms) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 𝑞)) → ((𝑞𝐴 ∧ (𝑟 ⊆ (𝐵𝐶) ∧ ¬ 𝑟𝐴)) → (𝑞𝑟) = 0))
26 atelch 32226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑝 ∈ HAtoms → 𝑝C )
27 atelch 32226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑞 ∈ HAtoms → 𝑞C )
28 chjcom 31388 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑝C𝑞C ) → (𝑝 𝑞) = (𝑞 𝑝))
2926, 27, 28syl2an 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ∈ HAtoms) → (𝑝 𝑞) = (𝑞 𝑝))
3029adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ 𝑞 ∈ HAtoms) → (𝑝 𝑞) = (𝑞 𝑝))
3130sseq2d 4009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ 𝑞 ∈ HAtoms) → (𝑟 ⊆ (𝑝 𝑞) ↔ 𝑟 ⊆ (𝑞 𝑝)))
32 atexch 32263 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑞C𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ∈ HAtoms) → ((𝑟 ⊆ (𝑞 𝑝) ∧ (𝑞𝑟) = 0) → 𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟)))
3327, 32syl3an1 1160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ∈ HAtoms) → ((𝑟 ⊆ (𝑞 𝑝) ∧ (𝑞𝑟) = 0) → 𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟)))
34333com13 1121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ∈ HAtoms) → ((𝑟 ⊆ (𝑞 𝑝) ∧ (𝑞𝑟) = 0) → 𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟)))
35343expa 1115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ 𝑞 ∈ HAtoms) → ((𝑟 ⊆ (𝑞 𝑝) ∧ (𝑞𝑟) = 0) → 𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟)))
3635expd 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ 𝑞 ∈ HAtoms) → (𝑟 ⊆ (𝑞 𝑝) → ((𝑞𝑟) = 0𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟))))
3731, 36sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ 𝑞 ∈ HAtoms) → (𝑟 ⊆ (𝑝 𝑞) → ((𝑞𝑟) = 0𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟))))
3837imp 405 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ 𝑞 ∈ HAtoms) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 𝑞)) → ((𝑞𝑟) = 0𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟)))
3925, 38syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ 𝑞 ∈ HAtoms) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 𝑞)) → ((𝑞𝐴 ∧ (𝑟 ⊆ (𝐵𝐶) ∧ ¬ 𝑟𝐴)) → 𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟)))
4039expd 414 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ 𝑞 ∈ HAtoms) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 𝑞)) → (𝑞𝐴 → ((𝑟 ⊆ (𝐵𝐶) ∧ ¬ 𝑟𝐴) → 𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟))))
4140exp31 418 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → (𝑞 ∈ HAtoms → (𝑟 ⊆ (𝑝 𝑞) → (𝑞𝐴 → ((𝑟 ⊆ (𝐵𝐶) ∧ ¬ 𝑟𝐴) → 𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟))))))
4241com24 95 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → (𝑞𝐴 → (𝑟 ⊆ (𝑝 𝑞) → (𝑞 ∈ HAtoms → ((𝑟 ⊆ (𝐵𝐶) ∧ ¬ 𝑟𝐴) → 𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟))))))
4342impd 409 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → ((𝑞𝐴𝑟 ⊆ (𝑝 𝑞)) → (𝑞 ∈ HAtoms → ((𝑟 ⊆ (𝐵𝐶) ∧ ¬ 𝑟𝐴) → 𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟)))))
4443com24 95 . . . . . . . . . . 11 ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → ((𝑟 ⊆ (𝐵𝐶) ∧ ¬ 𝑟𝐴) → (𝑞 ∈ HAtoms → ((𝑞𝐴𝑟 ⊆ (𝑝 𝑞)) → 𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟)))))
4544imp4b 420 . . . . . . . . . 10 (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑟 ⊆ (𝐵𝐶) ∧ ¬ 𝑟𝐴)) → ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ (𝑞𝐴𝑟 ⊆ (𝑝 𝑞))) → 𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟)))
4645anasss 465 . . . . . . . . 9 ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ (𝑟 ∈ HAtoms ∧ (𝑟 ⊆ (𝐵𝐶) ∧ ¬ 𝑟𝐴))) → ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ (𝑞𝐴𝑟 ⊆ (𝑝 𝑞))) → 𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟)))
47 simprl 769 . . . . . . . . . . 11 ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ (𝑞𝐴𝑟 ⊆ (𝑝 𝑞))) → 𝑞𝐴)
4847a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ (𝑟 ∈ HAtoms ∧ (𝑟 ⊆ (𝐵𝐶) ∧ ¬ 𝑟𝐴))) → ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ (𝑞𝐴𝑟 ⊆ (𝑝 𝑞))) → 𝑞𝐴))
49 simpl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑟𝐵𝑟𝐶) → 𝑟𝐵)
501, 49sylbir 234 . . . . . . . . . . . 12 (𝑟 ⊆ (𝐵𝐶) → 𝑟𝐵)
5150ad2antrl 726 . . . . . . . . . . 11 ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ (𝑟 ⊆ (𝐵𝐶) ∧ ¬ 𝑟𝐴)) → 𝑟𝐵)
5251adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ (𝑟 ∈ HAtoms ∧ (𝑟 ⊆ (𝐵𝐶) ∧ ¬ 𝑟𝐴))) → 𝑟𝐵)
5348, 52jctird 525 . . . . . . . . 9 ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ (𝑟 ∈ HAtoms ∧ (𝑟 ⊆ (𝐵𝐶) ∧ ¬ 𝑟𝐴))) → ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ (𝑞𝐴𝑟 ⊆ (𝑝 𝑞))) → (𝑞𝐴𝑟𝐵)))
5446, 53jcad 511 . . . . . . . 8 ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ (𝑟 ∈ HAtoms ∧ (𝑟 ⊆ (𝐵𝐶) ∧ ¬ 𝑟𝐴))) → ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ (𝑞𝐴𝑟 ⊆ (𝑝 𝑞))) → (𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵))))
5554expd 414 . . . . . . 7 ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ (𝑟 ∈ HAtoms ∧ (𝑟 ⊆ (𝐵𝐶) ∧ ¬ 𝑟𝐴))) → (𝑞 ∈ HAtoms → ((𝑞𝐴𝑟 ⊆ (𝑝 𝑞)) → (𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵)))))
5655adantlr 713 . . . . . 6 (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ ¬ (𝐵𝐶) ⊆ 𝐴) ∧ (𝑟 ∈ HAtoms ∧ (𝑟 ⊆ (𝐵𝐶) ∧ ¬ 𝑟𝐴))) → (𝑞 ∈ HAtoms → ((𝑞𝐴𝑟 ⊆ (𝑝 𝑞)) → (𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵)))))
5756adantlr 713 . . . . 5 ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ ¬ (𝐵𝐶) ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ⊆ (𝐴 𝐵)) ∧ (𝑟 ∈ HAtoms ∧ (𝑟 ⊆ (𝐵𝐶) ∧ ¬ 𝑟𝐴))) → (𝑞 ∈ HAtoms → ((𝑞𝐴𝑟 ⊆ (𝑝 𝑞)) → (𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵)))))
5857adantlr 713 . . . 4 (((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ ¬ (𝐵𝐶) ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ⊆ (𝐴 𝐵)) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑟 ∈ HAtoms ∧ (𝑟 ⊆ (𝐵𝐶) ∧ ¬ 𝑟𝐴))) → (𝑞 ∈ HAtoms → ((𝑞𝐴𝑟 ⊆ (𝑝 𝑞)) → (𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵)))))
5958reximdvai 3154 . . 3 (((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ ¬ (𝐵𝐶) ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ⊆ (𝐴 𝐵)) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑟 ∈ HAtoms ∧ (𝑟 ⊆ (𝐵𝐶) ∧ ¬ 𝑟𝐴))) → (∃𝑞 ∈ HAtoms (𝑞𝐴𝑟 ⊆ (𝑝 𝑞)) → ∃𝑞 ∈ HAtoms (𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵))))
6018, 59mpd 15 . 2 (((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ ¬ (𝐵𝐶) ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ⊆ (𝐴 𝐵)) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑟 ∈ HAtoms ∧ (𝑟 ⊆ (𝐵𝐶) ∧ ¬ 𝑟𝐴))) → ∃𝑞 ∈ HAtoms (𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵)))
61 mdsymlem1.2 . . . . . . 7 𝐵C
62 chjcl 31239 . . . . . . . . 9 ((𝐴C𝑝C ) → (𝐴 𝑝) ∈ C )
637, 62mpan 688 . . . . . . . 8 (𝑝C → (𝐴 𝑝) ∈ C )
642, 63eqeltrid 2829 . . . . . . 7 (𝑝C𝐶C )
65 chincl 31381 . . . . . . 7 ((𝐵C𝐶C ) → (𝐵𝐶) ∈ C )
6661, 64, 65sylancr 585 . . . . . 6 (𝑝C → (𝐵𝐶) ∈ C )
6726, 66syl 17 . . . . 5 (𝑝 ∈ HAtoms → (𝐵𝐶) ∈ C )
68 chrelat2 32252 . . . . 5 (((𝐵𝐶) ∈ C𝐴C ) → (¬ (𝐵𝐶) ⊆ 𝐴 ↔ ∃𝑟 ∈ HAtoms (𝑟 ⊆ (𝐵𝐶) ∧ ¬ 𝑟𝐴)))
6967, 7, 68sylancl 584 . . . 4 (𝑝 ∈ HAtoms → (¬ (𝐵𝐶) ⊆ 𝐴 ↔ ∃𝑟 ∈ HAtoms (𝑟 ⊆ (𝐵𝐶) ∧ ¬ 𝑟𝐴)))
7069biimpa 475 . . 3 ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ ¬ (𝐵𝐶) ⊆ 𝐴) → ∃𝑟 ∈ HAtoms (𝑟 ⊆ (𝐵𝐶) ∧ ¬ 𝑟𝐴))
7170ad2antrr 724 . 2 ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ ¬ (𝐵𝐶) ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ⊆ (𝐴 𝐵)) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ∃𝑟 ∈ HAtoms (𝑟 ⊆ (𝐵𝐶) ∧ ¬ 𝑟𝐴))
7260, 71reximddv 3160 1 ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ ¬ (𝐵𝐶) ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ⊆ (𝐴 𝐵)) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ∃𝑟 ∈ HAtoms ∃𝑞 ∈ HAtoms (𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2929  wrex 3059  cin 3943  wss 3944  (class class class)co 7419   C cch 30811   chj 30815  0c0h 30817  HAtomscat 30847
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-inf2 9666  ax-cc 10460  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218  ax-addf 11219  ax-mulf 11220  ax-hilex 30881  ax-hfvadd 30882  ax-hvcom 30883  ax-hvass 30884  ax-hv0cl 30885  ax-hvaddid 30886  ax-hfvmul 30887  ax-hvmulid 30888  ax-hvmulass 30889  ax-hvdistr1 30890  ax-hvdistr2 30891  ax-hvmul0 30892  ax-hfi 30961  ax-his1 30964  ax-his2 30965  ax-his3 30966  ax-his4 30967  ax-hcompl 31084
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7685  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-oadd 8491  df-omul 8492  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9388  df-fi 9436  df-sup 9467  df-inf 9468  df-oi 9535  df-card 9964  df-acn 9967  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12506  df-z 12592  df-dec 12711  df-uz 12856  df-q 12966  df-rp 13010  df-xneg 13127  df-xadd 13128  df-xmul 13129  df-ioo 13363  df-ico 13365  df-icc 13366  df-fz 13520  df-fzo 13663  df-fl 13793  df-seq 14003  df-exp 14063  df-hash 14326  df-cj 15082  df-re 15083  df-im 15084  df-sqrt 15218  df-abs 15219  df-clim 15468  df-rlim 15469  df-sum 15669  df-struct 17119  df-sets 17136  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17184  df-ress 17213  df-plusg 17249  df-mulr 17250  df-starv 17251  df-sca 17252  df-vsca 17253  df-ip 17254  df-tset 17255  df-ple 17256  df-ds 17258  df-unif 17259  df-hom 17260  df-cco 17261  df-rest 17407  df-topn 17408  df-0g 17426  df-gsum 17427  df-topgen 17428  df-pt 17429  df-prds 17432  df-xrs 17487  df-qtop 17492  df-imas 17493  df-xps 17495  df-mre 17569  df-mrc 17570  df-acs 17572  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-submnd 18744  df-mulg 19032  df-cntz 19280  df-cmn 19749  df-psmet 21288  df-xmet 21289  df-met 21290  df-bl 21291  df-mopn 21292  df-fbas 21293  df-fg 21294  df-cnfld 21297  df-top 22840  df-topon 22857  df-topsp 22879  df-bases 22893  df-cld 22967  df-ntr 22968  df-cls 22969  df-nei 23046  df-cn 23175  df-cnp 23176  df-lm 23177  df-haus 23263  df-tx 23510  df-hmeo 23703  df-fil 23794  df-fm 23886  df-flim 23887  df-flf 23888  df-xms 24270  df-ms 24271  df-tms 24272  df-cfil 25227  df-cau 25228  df-cmet 25229  df-grpo 30375  df-gid 30376  df-ginv 30377  df-gdiv 30378  df-ablo 30427  df-vc 30441  df-nv 30474  df-va 30477  df-ba 30478  df-sm 30479  df-0v 30480  df-vs 30481  df-nmcv 30482  df-ims 30483  df-dip 30583  df-ssp 30604  df-ph 30695  df-cbn 30745  df-hnorm 30850  df-hba 30851  df-hvsub 30853  df-hlim 30854  df-hcau 30855  df-sh 31089  df-ch 31103  df-oc 31134  df-ch0 31135  df-shs 31190  df-span 31191  df-chj 31192  df-chsup 31193  df-pjh 31277  df-cv 32161  df-at 32220
This theorem is referenced by:  mdsymlem4  32288
  Copyright terms: Public domain W3C validator