Theorem mdsymlem3 32387

Description: Lemma for mdsymi 32393. (Contributed by NM, 2-Jul-2004.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdsymlem1.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
mdsymlem1.2	⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
mdsymlem1.3	⊢ 𝐶 = (𝐴 ∨ℋ 𝑝)

Assertion

Ref	Expression
mdsymlem3	⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ ¬ (𝐵 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ∧ 𝐴 ≠ 0ℋ) → ∃𝑟 ∈ HAtoms ∃𝑞 ∈ HAtoms (𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑟,𝑞,𝐶   𝑞,𝑝,𝑟,𝐴   𝐵,𝑝,𝑞,𝑟

Allowed substitution hint:   𝐶(𝑝)

Proof of Theorem mdsymlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssin 4188	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑟 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐶) ↔ 𝑟 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶))
2		mdsymlem1.3	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐶 = (𝐴 ∨ℋ 𝑝)
3	2	sseq2i 3960	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑟 ⊆ 𝐶 ↔ 𝑟 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝑝))
4	3	biimpi 216	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 ⊆ 𝐶 → 𝑟 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝑝))
5	4	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑟 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐶) → 𝑟 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝑝))
6	1, 5	sylbir 235	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶) → 𝑟 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝑝))
7		mdsymlem1.1	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
8	7	atcvat4i 32379	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ∈ HAtoms) → ((𝐴 ≠ 0ℋ ∧ 𝑟 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝑝)) → ∃𝑞 ∈ HAtoms (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))))
9	8	exp4b 430	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑟 ∈ HAtoms → (𝑝 ∈ HAtoms → (𝐴 ≠ 0ℋ → (𝑟 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝑝) → ∃𝑞 ∈ HAtoms (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))))))
10	9	com34 91	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 ∈ HAtoms → (𝑝 ∈ HAtoms → (𝑟 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝑝) → (𝐴 ≠ 0ℋ → ∃𝑞 ∈ HAtoms (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))))))
11	10	com23 86	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 ∈ HAtoms → (𝑟 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝑝) → (𝑝 ∈ HAtoms → (𝐴 ≠ 0ℋ → ∃𝑞 ∈ HAtoms (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))))))
12	11	imp4b 421	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝑝)) → ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝐴 ≠ 0ℋ) → ∃𝑞 ∈ HAtoms (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))))
13	6, 12	sylan2 593	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶)) → ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝐴 ≠ 0ℋ) → ∃𝑞 ∈ HAtoms (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))))
14	13	adantrr 717	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ (𝑟 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶) ∧ ¬ 𝑟 ⊆ 𝐴)) → ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝐴 ≠ 0ℋ) → ∃𝑞 ∈ HAtoms (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))))
15	14	com12 32	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝐴 ≠ 0ℋ) → ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ (𝑟 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶) ∧ ¬ 𝑟 ⊆ 𝐴)) → ∃𝑞 ∈ HAtoms (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))))
16	15	adantlr 715	. . . . 5 ⊢ (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ ¬ (𝐵 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ 0ℋ) → ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ (𝑟 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶) ∧ ¬ 𝑟 ⊆ 𝐴)) → ∃𝑞 ∈ HAtoms (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))))
17	16	adantlr 715	. . . 4 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ ¬ (𝐵 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ∧ 𝐴 ≠ 0ℋ) → ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ (𝑟 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶) ∧ ¬ 𝑟 ⊆ 𝐴)) → ∃𝑞 ∈ HAtoms (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))))
18	17	imp 406	. . 3 ⊢ (((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ ¬ (𝐵 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ∧ 𝐴 ≠ 0ℋ) ∧ (𝑟 ∈ HAtoms ∧ (𝑟 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶) ∧ ¬ 𝑟 ⊆ 𝐴))) → ∃𝑞 ∈ HAtoms (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞)))
19		nssne2 3994	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝑟 ⊆ 𝐴) → 𝑞 ≠ 𝑟)
20	19	adantrl 716	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ (𝑟 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶) ∧ ¬ 𝑟 ⊆ 𝐴)) → 𝑞 ≠ 𝑟)
21		atnemeq0 32359	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → (𝑞 ≠ 𝑟 ↔ (𝑞 ∩ 𝑟) = 0ℋ))
22	21	ancoms 458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ∈ HAtoms) → (𝑞 ≠ 𝑟 ↔ (𝑞 ∩ 𝑟) = 0ℋ))
23	20, 22	imbitrid 244	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ∈ HAtoms) → ((𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ (𝑟 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶) ∧ ¬ 𝑟 ⊆ 𝐴)) → (𝑞 ∩ 𝑟) = 0ℋ))
24	23	adantll 714	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ 𝑞 ∈ HAtoms) → ((𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ (𝑟 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶) ∧ ¬ 𝑟 ⊆ 𝐴)) → (𝑞 ∩ 𝑟) = 0ℋ))
25	24	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ 𝑞 ∈ HAtoms) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞)) → ((𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ (𝑟 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶) ∧ ¬ 𝑟 ⊆ 𝐴)) → (𝑞 ∩ 𝑟) = 0ℋ))
26		atelch 32326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑝 ∈ HAtoms → 𝑝 ∈ Cℋ )
27		atelch 32326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑞 ∈ HAtoms → 𝑞 ∈ Cℋ )
28		chjcom 31488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑝 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ∈ Cℋ ) → (𝑝 ∨ℋ 𝑞) = (𝑞 ∨ℋ 𝑝))
29	26, 27, 28	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ∈ HAtoms) → (𝑝 ∨ℋ 𝑞) = (𝑞 ∨ℋ 𝑝))
30	29	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ 𝑞 ∈ HAtoms) → (𝑝 ∨ℋ 𝑞) = (𝑞 ∨ℋ 𝑝))
31	30	sseq2d 3963	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ 𝑞 ∈ HAtoms) → (𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞) ↔ 𝑟 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑝)))
32		atexch 32363	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ∈ HAtoms) → ((𝑟 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑝) ∧ (𝑞 ∩ 𝑟) = 0ℋ) → 𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟)))
33	27, 32	syl3an1 1163	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ∈ HAtoms) → ((𝑟 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑝) ∧ (𝑞 ∩ 𝑟) = 0ℋ) → 𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟)))
34	33	3com13 1124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ∈ HAtoms) → ((𝑟 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑝) ∧ (𝑞 ∩ 𝑟) = 0ℋ) → 𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟)))
35	34	3expa 1118	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ 𝑞 ∈ HAtoms) → ((𝑟 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑝) ∧ (𝑞 ∩ 𝑟) = 0ℋ) → 𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟)))
36	35	expd 415	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ 𝑞 ∈ HAtoms) → (𝑟 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑝) → ((𝑞 ∩ 𝑟) = 0ℋ → 𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟))))
37	31, 36	sylbid 240	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ 𝑞 ∈ HAtoms) → (𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞) → ((𝑞 ∩ 𝑟) = 0ℋ → 𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟))))
38	37	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ 𝑞 ∈ HAtoms) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞)) → ((𝑞 ∩ 𝑟) = 0ℋ → 𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟)))
39	25, 38	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ 𝑞 ∈ HAtoms) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞)) → ((𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ (𝑟 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶) ∧ ¬ 𝑟 ⊆ 𝐴)) → 𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟)))
40	39	expd 415	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ 𝑞 ∈ HAtoms) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞)) → (𝑞 ⊆ 𝐴 → ((𝑟 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶) ∧ ¬ 𝑟 ⊆ 𝐴) → 𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟))))
41	40	exp31 419	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → (𝑞 ∈ HAtoms → (𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞) → (𝑞 ⊆ 𝐴 → ((𝑟 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶) ∧ ¬ 𝑟 ⊆ 𝐴) → 𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟))))))
42	41	com24 95	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → (𝑞 ⊆ 𝐴 → (𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞) → (𝑞 ∈ HAtoms → ((𝑟 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶) ∧ ¬ 𝑟 ⊆ 𝐴) → 𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟))))))
43	42	impd 410	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → ((𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞)) → (𝑞 ∈ HAtoms → ((𝑟 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶) ∧ ¬ 𝑟 ⊆ 𝐴) → 𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟)))))
44	43	com24 95	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → ((𝑟 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶) ∧ ¬ 𝑟 ⊆ 𝐴) → (𝑞 ∈ HAtoms → ((𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞)) → 𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟)))))
45	44	imp4b 421	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑟 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶) ∧ ¬ 𝑟 ⊆ 𝐴)) → ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) → 𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟)))
46	45	anasss 466	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ (𝑟 ∈ HAtoms ∧ (𝑟 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶) ∧ ¬ 𝑟 ⊆ 𝐴))) → ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) → 𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟)))
47		simprl 770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) → 𝑞 ⊆ 𝐴)
48	47	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ (𝑟 ∈ HAtoms ∧ (𝑟 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶) ∧ ¬ 𝑟 ⊆ 𝐴))) → ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) → 𝑞 ⊆ 𝐴))
49		simpl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑟 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐶) → 𝑟 ⊆ 𝐵)
50	1, 49	sylbir 235	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑟 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶) → 𝑟 ⊆ 𝐵)
51	50	ad2antrl 728	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ (𝑟 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶) ∧ ¬ 𝑟 ⊆ 𝐴)) → 𝑟 ⊆ 𝐵)
52	51	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ (𝑟 ∈ HAtoms ∧ (𝑟 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶) ∧ ¬ 𝑟 ⊆ 𝐴))) → 𝑟 ⊆ 𝐵)
53	48, 52	jctird 526	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ (𝑟 ∈ HAtoms ∧ (𝑟 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶) ∧ ¬ 𝑟 ⊆ 𝐴))) → ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) → (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵)))
54	46, 53	jcad 512	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ (𝑟 ∈ HAtoms ∧ (𝑟 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶) ∧ ¬ 𝑟 ⊆ 𝐴))) → ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) → (𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵))))
55	54	expd 415	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ (𝑟 ∈ HAtoms ∧ (𝑟 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶) ∧ ¬ 𝑟 ⊆ 𝐴))) → (𝑞 ∈ HAtoms → ((𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞)) → (𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵)))))
56	55	adantlr 715	. . . . . 6 ⊢ (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ ¬ (𝐵 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐴) ∧ (𝑟 ∈ HAtoms ∧ (𝑟 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶) ∧ ¬ 𝑟 ⊆ 𝐴))) → (𝑞 ∈ HAtoms → ((𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞)) → (𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵)))))
57	56	adantlr 715	. . . . 5 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ ¬ (𝐵 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ∧ (𝑟 ∈ HAtoms ∧ (𝑟 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶) ∧ ¬ 𝑟 ⊆ 𝐴))) → (𝑞 ∈ HAtoms → ((𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞)) → (𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵)))))
58	57	adantlr 715	. . . 4 ⊢ (((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ ¬ (𝐵 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ∧ 𝐴 ≠ 0ℋ) ∧ (𝑟 ∈ HAtoms ∧ (𝑟 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶) ∧ ¬ 𝑟 ⊆ 𝐴))) → (𝑞 ∈ HAtoms → ((𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞)) → (𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵)))))
59	58	reximdvai 3144	. . 3 ⊢ (((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ ¬ (𝐵 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ∧ 𝐴 ≠ 0ℋ) ∧ (𝑟 ∈ HAtoms ∧ (𝑟 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶) ∧ ¬ 𝑟 ⊆ 𝐴))) → (∃𝑞 ∈ HAtoms (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞)) → ∃𝑞 ∈ HAtoms (𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵))))
60	18, 59	mpd 15	. 2 ⊢ (((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ ¬ (𝐵 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ∧ 𝐴 ≠ 0ℋ) ∧ (𝑟 ∈ HAtoms ∧ (𝑟 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶) ∧ ¬ 𝑟 ⊆ 𝐴))) → ∃𝑞 ∈ HAtoms (𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵)))
61		mdsymlem1.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
62		chjcl 31339	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ Cℋ ) → (𝐴 ∨ℋ 𝑝) ∈ Cℋ )
63	7, 62	mpan 690	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ Cℋ → (𝐴 ∨ℋ 𝑝) ∈ Cℋ )
64	2, 63	eqeltrid 2837	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ Cℋ → 𝐶 ∈ Cℋ )
65		chincl 31481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → (𝐵 ∩ 𝐶) ∈ Cℋ )
66	61, 64, 65	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 ∈ Cℋ → (𝐵 ∩ 𝐶) ∈ Cℋ )
67	26, 66	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑝 ∈ HAtoms → (𝐵 ∩ 𝐶) ∈ Cℋ )
68		chrelat2 32352	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∩ 𝐶) ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → (¬ (𝐵 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐴 ↔ ∃𝑟 ∈ HAtoms (𝑟 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶) ∧ ¬ 𝑟 ⊆ 𝐴)))
69	67, 7, 68	sylancl 586	. . . 4 ⊢ (𝑝 ∈ HAtoms → (¬ (𝐵 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐴 ↔ ∃𝑟 ∈ HAtoms (𝑟 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶) ∧ ¬ 𝑟 ⊆ 𝐴)))
70	69	biimpa 476	. . 3 ⊢ ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ ¬ (𝐵 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐴) → ∃𝑟 ∈ HAtoms (𝑟 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶) ∧ ¬ 𝑟 ⊆ 𝐴))
71	70	ad2antrr 726	. 2 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ ¬ (𝐵 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ∧ 𝐴 ≠ 0ℋ) → ∃𝑟 ∈ HAtoms (𝑟 ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶) ∧ ¬ 𝑟 ⊆ 𝐴))
72	60, 71	reximddv 3149	1 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ ¬ (𝐵 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ∧ 𝐴 ≠ 0ℋ) → ∃𝑟 ∈ HAtoms ∃𝑞 ∈ HAtoms (𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929  ∃wrex 3057   ∩ cin 3897   ⊆ wss 3898  (class class class)co 7352   C_ℋ cch 30911   ∨_ℋ chj 30915  0_ℋc0h 30917  HAtomscat 30947

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-inf2 9538  ax-cc 10333  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090  ax-pre-sup 11091  ax-addf 11092  ax-mulf 11093  ax-hilex 30981  ax-hfvadd 30982  ax-hvcom 30983  ax-hvass 30984  ax-hv0cl 30985  ax-hvaddid 30986  ax-hfvmul 30987  ax-hvmulid 30988  ax-hvmulass 30989  ax-hvdistr1 30990  ax-hvdistr2 30991  ax-hvmul0 30992  ax-hfi 31061  ax-his1 31064  ax-his2 31065  ax-his3 31066  ax-his4 31067  ax-hcompl 31184

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-tp 4580  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-of 7616  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-supp 8097  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-2o 8392  df-oadd 8395  df-omul 8396  df-er 8628  df-map 8758  df-pm 8759  df-ixp 8828  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-fsupp 9253  df-fi 9302  df-sup 9333  df-inf 9334  df-oi 9403  df-card 9839  df-acn 9842  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-div 11782  df-nn 12133  df-2 12195  df-3 12196  df-4 12197  df-5 12198  df-6 12199  df-7 12200  df-8 12201  df-9 12202  df-n0 12389  df-z 12476  df-dec 12595  df-uz 12739  df-q 12849  df-rp 12893  df-xneg 13013  df-xadd 13014  df-xmul 13015  df-ioo 13251  df-ico 13253  df-icc 13254  df-fz 13410  df-fzo 13557  df-fl 13698  df-seq 13911  df-exp 13971  df-hash 14240  df-cj 15008  df-re 15009  df-im 15010  df-sqrt 15144  df-abs 15145  df-clim 15397  df-rlim 15398  df-sum 15596  df-struct 17060  df-sets 17077  df-slot 17095  df-ndx 17107  df-base 17123  df-ress 17144  df-plusg 17176  df-mulr 17177  df-starv 17178  df-sca 17179  df-vsca 17180  df-ip 17181  df-tset 17182  df-ple 17183  df-ds 17185  df-unif 17186  df-hom 17187  df-cco 17188  df-rest 17328  df-topn 17329  df-0g 17347  df-gsum 17348  df-topgen 17349  df-pt 17350  df-prds 17353  df-xrs 17408  df-qtop 17413  df-imas 17414  df-xps 17416  df-mre 17490  df-mrc 17491  df-acs 17493  df-mgm 18550  df-sgrp 18629  df-mnd 18645  df-submnd 18694  df-mulg 18983  df-cntz 19231  df-cmn 19696  df-psmet 21285  df-xmet 21286  df-met 21287  df-bl 21288  df-mopn 21289  df-fbas 21290  df-fg 21291  df-cnfld 21294  df-top 22810  df-topon 22827  df-topsp 22849  df-bases 22862  df-cld 22935  df-ntr 22936  df-cls 22937  df-nei 23014  df-cn 23143  df-cnp 23144  df-lm 23145  df-haus 23231  df-tx 23478  df-hmeo 23671  df-fil 23762  df-fm 23854  df-flim 23855  df-flf 23856  df-xms 24236  df-ms 24237  df-tms 24238  df-cfil 25183  df-cau 25184  df-cmet 25185  df-grpo 30475  df-gid 30476  df-ginv 30477  df-gdiv 30478  df-ablo 30527  df-vc 30541  df-nv 30574  df-va 30577  df-ba 30578  df-sm 30579  df-0v 30580  df-vs 30581  df-nmcv 30582  df-ims 30583  df-dip 30683  df-ssp 30704  df-ph 30795  df-cbn 30845  df-hnorm 30950  df-hba 30951  df-hvsub 30953  df-hlim 30954  df-hcau 30955  df-sh 31189  df-ch 31203  df-oc 31234  df-ch0 31235  df-shs 31290  df-span 31291  df-chj 31292  df-chsup 31293  df-pjh 31377  df-cv 32261  df-at 32320

This theorem is referenced by:  mdsymlem4  32388