Theorem chirredlem2 33026

Description: Lemma for chirredi 33029. (Contributed by NM, 15-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
chirred.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
chirredlem2	⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) → ((⊥‘𝑟) ∩ (𝑝 ∨ℋ 𝑞)) = 𝑞)

Distinct variable group:   𝑞,𝑝,𝑟,𝐴

Proof of Theorem chirredlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		atelch 32979	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 ∈ HAtoms → 𝑝 ∈ Cℋ )
2		chjcom 32141	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ∈ Cℋ ) → (𝑝 ∨ℋ 𝑞) = (𝑞 ∨ℋ 𝑝))
3	1, 2	sylan 592	. . . . 5 ⊢ ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ∈ Cℋ ) → (𝑝 ∨ℋ 𝑞) = (𝑞 ∨ℋ 𝑝))
4	3	ad2ant2r 760	. . . 4 ⊢ (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) → (𝑝 ∨ℋ 𝑞) = (𝑞 ∨ℋ 𝑝))
5	4	adantr 486	. . 3 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) → (𝑝 ∨ℋ 𝑞) = (𝑞 ∨ℋ 𝑝))
6	5	ineq2d 4120	. 2 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) → ((⊥‘𝑟) ∩ (𝑝 ∨ℋ 𝑞)) = ((⊥‘𝑟) ∩ (𝑞 ∨ℋ 𝑝)))
7		atelch 32979	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 ∈ HAtoms → 𝑟 ∈ Cℋ )
8		choccl 31941	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 ∈ Cℋ → (⊥‘𝑟) ∈ Cℋ )
9	7, 8	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 ∈ HAtoms → (⊥‘𝑟) ∈ Cℋ )
10		id 23	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑞 ∈ Cℋ → 𝑞 ∈ Cℋ )
11	9, 10, 1	3anim123i 1169	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ HAtoms) → ((⊥‘𝑟) ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ Cℋ ))
12	11	3com13 1142	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → ((⊥‘𝑟) ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ Cℋ ))
13	12	3expa 1136	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → ((⊥‘𝑟) ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ Cℋ ))
14	13	adantllr 732	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → ((⊥‘𝑟) ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ Cℋ ))
15	14	adantlrr 734	. . . . 5 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → ((⊥‘𝑟) ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ Cℋ ))
16	15	adantrr 730	. . . 4 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ (𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴)) → ((⊥‘𝑟) ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ Cℋ ))
17	16	adantrr 730	. . 3 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) → ((⊥‘𝑟) ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ Cℋ ))
18		simpll 779	. . . . 5 ⊢ (((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴)) ∧ (𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴)) → 𝑞 ∈ Cℋ )
19	9	ad2antrl 741	. . . . 5 ⊢ (((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴)) ∧ (𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴)) → (⊥‘𝑟) ∈ Cℋ )
20		chirred.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
21		chsscon3 32135	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑟 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → (𝑟 ⊆ 𝐴 ↔ (⊥‘𝐴) ⊆ (⊥‘𝑟)))
22	7, 20, 21	sylancl 598	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 ∈ HAtoms → (𝑟 ⊆ 𝐴 ↔ (⊥‘𝐴) ⊆ (⊥‘𝑟)))
23	22	biimpa 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) → (⊥‘𝐴) ⊆ (⊥‘𝑟))
24		sstr 3921	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴) ∧ (⊥‘𝐴) ⊆ (⊥‘𝑟)) → 𝑞 ⊆ (⊥‘𝑟))
25	23, 24	sylan2 605	. . . . . 6 ⊢ ((𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴) ∧ (𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴)) → 𝑞 ⊆ (⊥‘𝑟))
26	25	adantll 727	. . . . 5 ⊢ (((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴)) ∧ (𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴)) → 𝑞 ⊆ (⊥‘𝑟))
27		lecm 32252	. . . . 5 ⊢ ((𝑞 ∈ Cℋ ∧ (⊥‘𝑟) ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝑟)) → 𝑞 𝐶ℋ (⊥‘𝑟))
28	18, 19, 26, 27	syl3anc 1399	. . . 4 ⊢ (((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴)) ∧ (𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴)) → 𝑞 𝐶ℋ (⊥‘𝑟))
29	28	ad2ant2lr 761	. . 3 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) → 𝑞 𝐶ℋ (⊥‘𝑟))
30		chsscon3 32135	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑝 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → (𝑝 ⊆ 𝐴 ↔ (⊥‘𝐴) ⊆ (⊥‘𝑝)))
31	20, 30	mpan2 704	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑝 ∈ Cℋ → (𝑝 ⊆ 𝐴 ↔ (⊥‘𝐴) ⊆ (⊥‘𝑝)))
32	31	biimpa 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑝 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) → (⊥‘𝐴) ⊆ (⊥‘𝑝))
33		sstr 3921	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴) ∧ (⊥‘𝐴) ⊆ (⊥‘𝑝)) → 𝑞 ⊆ (⊥‘𝑝))
34	32, 33	sylan2 605	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴) ∧ (𝑝 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴)) → 𝑞 ⊆ (⊥‘𝑝))
35	34	an12s 662	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 ∈ Cℋ ∧ (𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴) ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴)) → 𝑞 ⊆ (⊥‘𝑝))
36	35	ancom2s 663	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 ∈ Cℋ ∧ (𝑝 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) → 𝑞 ⊆ (⊥‘𝑝))
37	36	adantll 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ Cℋ ) ∧ (𝑝 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) → 𝑞 ⊆ (⊥‘𝑝))
38		choccl 31941	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 ∈ Cℋ → (⊥‘𝑝) ∈ Cℋ )
39		lecm 32252	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑞 ∈ Cℋ ∧ (⊥‘𝑝) ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝑝)) → 𝑞 𝐶ℋ (⊥‘𝑝))
40	38, 39	syl3an2 1182	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝑝)) → 𝑞 𝐶ℋ (⊥‘𝑝))
41	40	3expia 1139	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ Cℋ ) → (𝑞 ⊆ (⊥‘𝑝) → 𝑞 𝐶ℋ (⊥‘𝑝)))
42		cmcm2 32251	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ Cℋ ) → (𝑞 𝐶ℋ 𝑝 ↔ 𝑞 𝐶ℋ (⊥‘𝑝)))
43	41, 42	sylibrd 262	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ Cℋ ) → (𝑞 ⊆ (⊥‘𝑝) → 𝑞 𝐶ℋ 𝑝))
44	43	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ Cℋ ) ∧ (𝑝 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) → (𝑞 ⊆ (⊥‘𝑝) → 𝑞 𝐶ℋ 𝑝))
45	37, 44	mpd 16	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ Cℋ ) ∧ (𝑝 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) → 𝑞 𝐶ℋ 𝑝)
46	1, 45	sylanl2 694	. . . . . 6 ⊢ (((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ HAtoms) ∧ (𝑝 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) → 𝑞 𝐶ℋ 𝑝)
47	46	ancom1s 666	. . . . 5 ⊢ (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ∈ Cℋ ) ∧ (𝑝 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) → 𝑞 𝐶ℋ 𝑝)
48	47	an4s 673	. . . 4 ⊢ (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) → 𝑞 𝐶ℋ 𝑝)
49	48	adantr 486	. . 3 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) → 𝑞 𝐶ℋ 𝑝)
50		fh2 32254	. . 3 ⊢ ((((⊥‘𝑟) ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ Cℋ ) ∧ (𝑞 𝐶ℋ (⊥‘𝑟) ∧ 𝑞 𝐶ℋ 𝑝)) → ((⊥‘𝑟) ∩ (𝑞 ∨ℋ 𝑝)) = (((⊥‘𝑟) ∩ 𝑞) ∨ℋ ((⊥‘𝑟) ∩ 𝑝)))
51	17, 29, 49, 50	syl12anc 850	. 2 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) → ((⊥‘𝑟) ∩ (𝑞 ∨ℋ 𝑝)) = (((⊥‘𝑟) ∩ 𝑞) ∨ℋ ((⊥‘𝑟) ∩ 𝑝)))
52		sseqin2 4123	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 ⊆ (⊥‘𝑟) ↔ ((⊥‘𝑟) ∩ 𝑞) = 𝑞)
53	26, 52	sylib 221	. . . . 5 ⊢ (((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴)) ∧ (𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴)) → ((⊥‘𝑟) ∩ 𝑞) = 𝑞)
54	53	ad2ant2lr 761	. . . 4 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) → ((⊥‘𝑟) ∩ 𝑞) = 𝑞)
55		incom 4109	. . . . 5 ⊢ ((⊥‘𝑟) ∩ 𝑝) = (𝑝 ∩ (⊥‘𝑟))
56	20	chirredlem1 33025	. . . . . 6 ⊢ (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ (𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) → (𝑝 ∩ (⊥‘𝑟)) = 0ℋ)
57	56	adantllr 732	. . . . 5 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) → (𝑝 ∩ (⊥‘𝑟)) = 0ℋ)
58	55, 57	eqtrid 2810	. . . 4 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) → ((⊥‘𝑟) ∩ 𝑝) = 0ℋ)
59	54, 58	oveq12d 7464	. . 3 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) → (((⊥‘𝑟) ∩ 𝑞) ∨ℋ ((⊥‘𝑟) ∩ 𝑝)) = (𝑞 ∨ℋ 0ℋ))
60		chj0 32132	. . . . 5 ⊢ (𝑞 ∈ Cℋ → (𝑞 ∨ℋ 0ℋ) = 𝑞)
61	60	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴)) → (𝑞 ∨ℋ 0ℋ) = 𝑞)
62	61	ad2antlr 740	. . 3 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) → (𝑞 ∨ℋ 0ℋ) = 𝑞)
63	59, 62	eqtrd 2798	. 2 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) → (((⊥‘𝑟) ∩ 𝑞) ∨ℋ ((⊥‘𝑟) ∩ 𝑝)) = 𝑞)
64	6, 51, 63	3eqtrd 2802	1 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) → ((⊥‘𝑟) ∩ (𝑝 ∨ℋ 𝑞)) = 𝑞)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900   ∩ cin 4092   class class class wbr 5106  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446   C_ℋ cch 31564  ⊥cort 31565   ∨_ℋ chj 31568  0_ℋc0h 31570   𝐶_ℋ ccm 31571  HAtomscat 31600

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-inf2 9672  ax-cc 10543  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307  ax-pre-sup 11308  ax-addf 11309  ax-mulf 11310  ax-hilex 31634  ax-hfvadd 31635  ax-hvcom 31636  ax-hvass 31637  ax-hv0cl 31638  ax-hvaddid 31639  ax-hfvmul 31640  ax-hvmulid 31641  ax-hvmulass 31642  ax-hvdistr1 31643  ax-hvdistr2 31644  ax-hvmul0 31645  ax-hfi 31714  ax-his1 31717  ax-his2 31718  ax-his3 31719  ax-his4 31720  ax-hcompl 31837

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-se 5610  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-of 7720  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-supp 8208  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8507  df-2o 8508  df-oadd 8511  df-omul 8512  df-er 8748  df-map 8880  df-pm 8881  df-ixp 8957  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-fin 9008  df-fsupp 9385  df-fi 9433  df-sup 9464  df-inf 9465  df-oi 9534  df-card 10050  df-acn 10053  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-div 12004  df-nn 12366  df-2 12435  df-3 12436  df-4 12437  df-5 12438  df-6 12439  df-7 12440  df-8 12441  df-9 12442  df-n0 12637  df-z 12724  df-dec 12845  df-uz 12996  df-q 13106  df-rp 13151  df-xneg 13271  df-xadd 13272  df-xmul 13273  df-ioo 13510  df-ico 13512  df-icc 13513  df-fz 13670  df-fzo 13819  df-fl 13962  df-seq 14175  df-exp 14235  df-hash 14505  df-cj 15298  df-re 15299  df-im 15300  df-sqrt 15434  df-abs 15435  df-clim 15687  df-rlim 15688  df-sum 15886  df-struct 17357  df-sets 17374  df-slot 17392  df-ndx 17404  df-base 17420  df-ress 17441  df-plusg 17473  df-mulr 17474  df-starv 17475  df-sca 17476  df-vsca 17477  df-ip 17478  df-tset 17479  df-ple 17480  df-ds 17482  df-unif 17483  df-hom 17484  df-cco 17485  df-rest 17625  df-topn 17626  df-0g 17644  df-gsum 17645  df-topgen 17646  df-pt 17647  df-prds 17650  df-xrs 17706  df-qtop 17711  df-imas 17712  df-xps 17714  df-mre 17788  df-mrc 17789  df-acs 17791  df-mgm 18848  df-sgrp 18940  df-mnd 18956  df-submnd 19011  df-mulg 19310  df-cntz 19564  df-cmn 20029  df-psmet 21703  df-xmet 21704  df-met 21705  df-bl 21706  df-mopn 21707  df-fbas 21708  df-fg 21709  df-cnfld 21712  df-top 23245  df-topon 23262  df-topsp 23284  df-bases 23297  df-cld 23370  df-ntr 23371  df-cls 23372  df-nei 23449  df-cn 23578  df-cnp 23579  df-lm 23580  df-haus 23666  df-tx 23914  df-hmeo 24107  df-fil 24198  df-fm 24290  df-flim 24291  df-flf 24292  df-xms 24672  df-ms 24673  df-tms 24674  df-cfil 25609  df-cau 25610  df-cmet 25611  df-grpo 31128  df-gid 31129  df-ginv 31130  df-gdiv 31131  df-ablo 31180  df-vc 31194  df-nv 31227  df-va 31230  df-ba 31231  df-sm 31232  df-0v 31233  df-vs 31234  df-nmcv 31235  df-ims 31236  df-dip 31336  df-ssp 31357  df-ph 31448  df-cbn 31498  df-hnorm 31603  df-hba 31604  df-hvsub 31606  df-hlim 31607  df-hcau 31608  df-sh 31842  df-ch 31856  df-oc 31887  df-ch0 31888  df-shs 31943  df-span 31944  df-chj 31945  df-chsup 31946  df-pjh 32030  df-cm 32218  df-cv 32914  df-at 32973

This theorem is used by:  chirredlem3  33027