Theorem chirredlem2 32369

Description: Lemma for chirredi 32372. (Contributed by NM, 15-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
chirred.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
chirredlem2	⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) → ((⊥‘𝑟) ∩ (𝑝 ∨ℋ 𝑞)) = 𝑞)

Distinct variable group:   𝑞,𝑝,𝑟,𝐴

Proof of Theorem chirredlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		atelch 32322	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 ∈ HAtoms → 𝑝 ∈ Cℋ )
2		chjcom 31484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ∈ Cℋ ) → (𝑝 ∨ℋ 𝑞) = (𝑞 ∨ℋ 𝑝))
3	1, 2	sylan 580	. . . . 5 ⊢ ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ∈ Cℋ ) → (𝑝 ∨ℋ 𝑞) = (𝑞 ∨ℋ 𝑝))
4	3	ad2ant2r 747	. . . 4 ⊢ (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) → (𝑝 ∨ℋ 𝑞) = (𝑞 ∨ℋ 𝑝))
5	4	adantr 480	. . 3 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) → (𝑝 ∨ℋ 𝑞) = (𝑞 ∨ℋ 𝑝))
6	5	ineq2d 4170	. 2 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) → ((⊥‘𝑟) ∩ (𝑝 ∨ℋ 𝑞)) = ((⊥‘𝑟) ∩ (𝑞 ∨ℋ 𝑝)))
7		atelch 32322	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 ∈ HAtoms → 𝑟 ∈ Cℋ )
8		choccl 31284	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 ∈ Cℋ → (⊥‘𝑟) ∈ Cℋ )
9	7, 8	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 ∈ HAtoms → (⊥‘𝑟) ∈ Cℋ )
10		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑞 ∈ Cℋ → 𝑞 ∈ Cℋ )
11	9, 10, 1	3anim123i 1151	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ HAtoms) → ((⊥‘𝑟) ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ Cℋ ))
12	11	3com13 1124	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → ((⊥‘𝑟) ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ Cℋ ))
13	12	3expa 1118	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → ((⊥‘𝑟) ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ Cℋ ))
14	13	adantllr 719	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → ((⊥‘𝑟) ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ Cℋ ))
15	14	adantlrr 721	. . . . 5 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → ((⊥‘𝑟) ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ Cℋ ))
16	15	adantrr 717	. . . 4 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ (𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴)) → ((⊥‘𝑟) ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ Cℋ ))
17	16	adantrr 717	. . 3 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) → ((⊥‘𝑟) ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ Cℋ ))
18		simpll 766	. . . . 5 ⊢ (((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴)) ∧ (𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴)) → 𝑞 ∈ Cℋ )
19	9	ad2antrl 728	. . . . 5 ⊢ (((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴)) ∧ (𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴)) → (⊥‘𝑟) ∈ Cℋ )
20		chirred.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
21		chsscon3 31478	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑟 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → (𝑟 ⊆ 𝐴 ↔ (⊥‘𝐴) ⊆ (⊥‘𝑟)))
22	7, 20, 21	sylancl 586	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 ∈ HAtoms → (𝑟 ⊆ 𝐴 ↔ (⊥‘𝐴) ⊆ (⊥‘𝑟)))
23	22	biimpa 476	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) → (⊥‘𝐴) ⊆ (⊥‘𝑟))
24		sstr 3943	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴) ∧ (⊥‘𝐴) ⊆ (⊥‘𝑟)) → 𝑞 ⊆ (⊥‘𝑟))
25	23, 24	sylan2 593	. . . . . 6 ⊢ ((𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴) ∧ (𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴)) → 𝑞 ⊆ (⊥‘𝑟))
26	25	adantll 714	. . . . 5 ⊢ (((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴)) ∧ (𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴)) → 𝑞 ⊆ (⊥‘𝑟))
27		lecm 31595	. . . . 5 ⊢ ((𝑞 ∈ Cℋ ∧ (⊥‘𝑟) ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝑟)) → 𝑞 𝐶ℋ (⊥‘𝑟))
28	18, 19, 26, 27	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴)) ∧ (𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴)) → 𝑞 𝐶ℋ (⊥‘𝑟))
29	28	ad2ant2lr 748	. . 3 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) → 𝑞 𝐶ℋ (⊥‘𝑟))
30		chsscon3 31478	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑝 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → (𝑝 ⊆ 𝐴 ↔ (⊥‘𝐴) ⊆ (⊥‘𝑝)))
31	20, 30	mpan2 691	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑝 ∈ Cℋ → (𝑝 ⊆ 𝐴 ↔ (⊥‘𝐴) ⊆ (⊥‘𝑝)))
32	31	biimpa 476	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑝 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) → (⊥‘𝐴) ⊆ (⊥‘𝑝))
33		sstr 3943	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴) ∧ (⊥‘𝐴) ⊆ (⊥‘𝑝)) → 𝑞 ⊆ (⊥‘𝑝))
34	32, 33	sylan2 593	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴) ∧ (𝑝 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴)) → 𝑞 ⊆ (⊥‘𝑝))
35	34	an12s 649	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 ∈ Cℋ ∧ (𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴) ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴)) → 𝑞 ⊆ (⊥‘𝑝))
36	35	ancom2s 650	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 ∈ Cℋ ∧ (𝑝 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) → 𝑞 ⊆ (⊥‘𝑝))
37	36	adantll 714	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ Cℋ ) ∧ (𝑝 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) → 𝑞 ⊆ (⊥‘𝑝))
38		choccl 31284	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 ∈ Cℋ → (⊥‘𝑝) ∈ Cℋ )
39		lecm 31595	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑞 ∈ Cℋ ∧ (⊥‘𝑝) ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝑝)) → 𝑞 𝐶ℋ (⊥‘𝑝))
40	38, 39	syl3an2 1164	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝑝)) → 𝑞 𝐶ℋ (⊥‘𝑝))
41	40	3expia 1121	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ Cℋ ) → (𝑞 ⊆ (⊥‘𝑝) → 𝑞 𝐶ℋ (⊥‘𝑝)))
42		cmcm2 31594	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ Cℋ ) → (𝑞 𝐶ℋ 𝑝 ↔ 𝑞 𝐶ℋ (⊥‘𝑝)))
43	41, 42	sylibrd 259	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ Cℋ ) → (𝑞 ⊆ (⊥‘𝑝) → 𝑞 𝐶ℋ 𝑝))
44	43	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ Cℋ ) ∧ (𝑝 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) → (𝑞 ⊆ (⊥‘𝑝) → 𝑞 𝐶ℋ 𝑝))
45	37, 44	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ Cℋ ) ∧ (𝑝 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) → 𝑞 𝐶ℋ 𝑝)
46	1, 45	sylanl2 681	. . . . . 6 ⊢ (((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ HAtoms) ∧ (𝑝 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) → 𝑞 𝐶ℋ 𝑝)
47	46	ancom1s 653	. . . . 5 ⊢ (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ∈ Cℋ ) ∧ (𝑝 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) → 𝑞 𝐶ℋ 𝑝)
48	47	an4s 660	. . . 4 ⊢ (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) → 𝑞 𝐶ℋ 𝑝)
49	48	adantr 480	. . 3 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) → 𝑞 𝐶ℋ 𝑝)
50		fh2 31597	. . 3 ⊢ ((((⊥‘𝑟) ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ Cℋ ) ∧ (𝑞 𝐶ℋ (⊥‘𝑟) ∧ 𝑞 𝐶ℋ 𝑝)) → ((⊥‘𝑟) ∩ (𝑞 ∨ℋ 𝑝)) = (((⊥‘𝑟) ∩ 𝑞) ∨ℋ ((⊥‘𝑟) ∩ 𝑝)))
51	17, 29, 49, 50	syl12anc 836	. 2 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) → ((⊥‘𝑟) ∩ (𝑞 ∨ℋ 𝑝)) = (((⊥‘𝑟) ∩ 𝑞) ∨ℋ ((⊥‘𝑟) ∩ 𝑝)))
52		sseqin2 4173	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 ⊆ (⊥‘𝑟) ↔ ((⊥‘𝑟) ∩ 𝑞) = 𝑞)
53	26, 52	sylib 218	. . . . 5 ⊢ (((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴)) ∧ (𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴)) → ((⊥‘𝑟) ∩ 𝑞) = 𝑞)
54	53	ad2ant2lr 748	. . . 4 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) → ((⊥‘𝑟) ∩ 𝑞) = 𝑞)
55		incom 4159	. . . . 5 ⊢ ((⊥‘𝑟) ∩ 𝑝) = (𝑝 ∩ (⊥‘𝑟))
56	20	chirredlem1 32368	. . . . . 6 ⊢ (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ (𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) → (𝑝 ∩ (⊥‘𝑟)) = 0ℋ)
57	56	adantllr 719	. . . . 5 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) → (𝑝 ∩ (⊥‘𝑟)) = 0ℋ)
58	55, 57	eqtrid 2778	. . . 4 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) → ((⊥‘𝑟) ∩ 𝑝) = 0ℋ)
59	54, 58	oveq12d 7364	. . 3 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) → (((⊥‘𝑟) ∩ 𝑞) ∨ℋ ((⊥‘𝑟) ∩ 𝑝)) = (𝑞 ∨ℋ 0ℋ))
60		chj0 31475	. . . . 5 ⊢ (𝑞 ∈ Cℋ → (𝑞 ∨ℋ 0ℋ) = 𝑞)
61	60	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴)) → (𝑞 ∨ℋ 0ℋ) = 𝑞)
62	61	ad2antlr 727	. . 3 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) → (𝑞 ∨ℋ 0ℋ) = 𝑞)
63	59, 62	eqtrd 2766	. 2 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) → (((⊥‘𝑟) ∩ 𝑞) ∨ℋ ((⊥‘𝑟) ∩ 𝑝)) = 𝑞)
64	6, 51, 63	3eqtrd 2770	1 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) → ((⊥‘𝑟) ∩ (𝑝 ∨ℋ 𝑞)) = 𝑞)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ∩ cin 3901   ⊆ wss 3902   class class class wbr 5091  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346   C_ℋ cch 30907  ⊥cort 30908   ∨_ℋ chj 30911  0_ℋc0h 30913   𝐶_ℋ ccm 30914  HAtomscat 30943

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-inf2 9531  ax-cc 10326  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084  ax-addf 11085  ax-mulf 11086  ax-hilex 30977  ax-hfvadd 30978  ax-hvcom 30979  ax-hvass 30980  ax-hv0cl 30981  ax-hvaddid 30982  ax-hfvmul 30983  ax-hvmulid 30984  ax-hvmulass 30985  ax-hvdistr1 30986  ax-hvdistr2 30987  ax-hvmul0 30988  ax-hfi 31057  ax-his1 31060  ax-his2 31061  ax-his3 31062  ax-his4 31063  ax-hcompl 31180

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-se 5570  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-of 7610  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8091  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-oadd 8389  df-omul 8390  df-er 8622  df-map 8752  df-pm 8753  df-ixp 8822  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-fsupp 9246  df-fi 9295  df-sup 9326  df-inf 9327  df-oi 9396  df-card 9832  df-acn 9835  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-n0 12382  df-z 12469  df-dec 12589  df-uz 12733  df-q 12847  df-rp 12891  df-xneg 13011  df-xadd 13012  df-xmul 13013  df-ioo 13249  df-ico 13251  df-icc 13252  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-fl 13696  df-seq 13909  df-exp 13969  df-hash 14238  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-clim 15395  df-rlim 15396  df-sum 15594  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-starv 17176  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-unif 17184  df-hom 17185  df-cco 17186  df-rest 17326  df-topn 17327  df-0g 17345  df-gsum 17346  df-topgen 17347  df-pt 17348  df-prds 17351  df-xrs 17406  df-qtop 17411  df-imas 17412  df-xps 17414  df-mre 17488  df-mrc 17489  df-acs 17491  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-submnd 18692  df-mulg 18981  df-cntz 19230  df-cmn 19695  df-psmet 21284  df-xmet 21285  df-met 21286  df-bl 21287  df-mopn 21288  df-fbas 21289  df-fg 21290  df-cnfld 21293  df-top 22810  df-topon 22827  df-topsp 22849  df-bases 22862  df-cld 22935  df-ntr 22936  df-cls 22937  df-nei 23014  df-cn 23143  df-cnp 23144  df-lm 23145  df-haus 23231  df-tx 23478  df-hmeo 23671  df-fil 23762  df-fm 23854  df-flim 23855  df-flf 23856  df-xms 24236  df-ms 24237  df-tms 24238  df-cfil 25183  df-cau 25184  df-cmet 25185  df-grpo 30471  df-gid 30472  df-ginv 30473  df-gdiv 30474  df-ablo 30523  df-vc 30537  df-nv 30570  df-va 30573  df-ba 30574  df-sm 30575  df-0v 30576  df-vs 30577  df-nmcv 30578  df-ims 30579  df-dip 30679  df-ssp 30700  df-ph 30791  df-cbn 30841  df-hnorm 30946  df-hba 30947  df-hvsub 30949  df-hlim 30950  df-hcau 30951  df-sh 31185  df-ch 31199  df-oc 31230  df-ch0 31231  df-shs 31286  df-span 31287  df-chj 31288  df-chsup 31289  df-pjh 31373  df-cm 31561  df-cv 32257  df-at 32316

This theorem is referenced by:  chirredlem3  32370