HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  chirredlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chirredlem2 30177
Description: Lemma for chirredi 30180. (Contributed by NM, 15-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
chirred.1 𝐴C
Assertion
Ref Expression
chirredlem2 ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝𝐴) ∧ (𝑞C𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟𝐴) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 𝑞))) → ((⊥‘𝑟) ∩ (𝑝 𝑞)) = 𝑞)
Distinct variable group:   𝑞,𝑝,𝑟,𝐴

Proof of Theorem chirredlem2
StepHypRef Expression
1 atelch 30130 . . . . . 6 (𝑝 ∈ HAtoms → 𝑝C )
2 chjcom 29292 . . . . . 6 ((𝑝C𝑞C ) → (𝑝 𝑞) = (𝑞 𝑝))
31, 2sylan 583 . . . . 5 ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑞C ) → (𝑝 𝑞) = (𝑞 𝑝))
43ad2ant2r 746 . . . 4 (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝𝐴) ∧ (𝑞C𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) → (𝑝 𝑞) = (𝑞 𝑝))
54adantr 484 . . 3 ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝𝐴) ∧ (𝑞C𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟𝐴) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 𝑞))) → (𝑝 𝑞) = (𝑞 𝑝))
65ineq2d 4174 . 2 ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝𝐴) ∧ (𝑞C𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟𝐴) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 𝑞))) → ((⊥‘𝑟) ∩ (𝑝 𝑞)) = ((⊥‘𝑟) ∩ (𝑞 𝑝)))
7 atelch 30130 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 ∈ HAtoms → 𝑟C )
8 choccl 29092 . . . . . . . . . . 11 (𝑟C → (⊥‘𝑟) ∈ C )
97, 8syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑟 ∈ HAtoms → (⊥‘𝑟) ∈ C )
10 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑞C𝑞C )
119, 10, 13anim123i 1148 . . . . . . . . 9 ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑞C𝑝 ∈ HAtoms) → ((⊥‘𝑟) ∈ C𝑞C𝑝C ))
12113com13 1121 . . . . . . . 8 ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑞C𝑟 ∈ HAtoms) → ((⊥‘𝑟) ∈ C𝑞C𝑝C ))
13123expa 1115 . . . . . . 7 (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑞C ) ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → ((⊥‘𝑟) ∈ C𝑞C𝑝C ))
1413adantllr 718 . . . . . 6 ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝𝐴) ∧ 𝑞C ) ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → ((⊥‘𝑟) ∈ C𝑞C𝑝C ))
1514adantlrr 720 . . . . 5 ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝𝐴) ∧ (𝑞C𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → ((⊥‘𝑟) ∈ C𝑞C𝑝C ))
1615adantrr 716 . . . 4 ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝𝐴) ∧ (𝑞C𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ (𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟𝐴)) → ((⊥‘𝑟) ∈ C𝑞C𝑝C ))
1716adantrr 716 . . 3 ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝𝐴) ∧ (𝑞C𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟𝐴) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 𝑞))) → ((⊥‘𝑟) ∈ C𝑞C𝑝C ))
18 simpll 766 . . . . 5 (((𝑞C𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴)) ∧ (𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟𝐴)) → 𝑞C )
199ad2antrl 727 . . . . 5 (((𝑞C𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴)) ∧ (𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟𝐴)) → (⊥‘𝑟) ∈ C )
20 chirred.1 . . . . . . . . 9 𝐴C
21 chsscon3 29286 . . . . . . . . 9 ((𝑟C𝐴C ) → (𝑟𝐴 ↔ (⊥‘𝐴) ⊆ (⊥‘𝑟)))
227, 20, 21sylancl 589 . . . . . . . 8 (𝑟 ∈ HAtoms → (𝑟𝐴 ↔ (⊥‘𝐴) ⊆ (⊥‘𝑟)))
2322biimpa 480 . . . . . . 7 ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟𝐴) → (⊥‘𝐴) ⊆ (⊥‘𝑟))
24 sstr 3961 . . . . . . 7 ((𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴) ∧ (⊥‘𝐴) ⊆ (⊥‘𝑟)) → 𝑞 ⊆ (⊥‘𝑟))
2523, 24sylan2 595 . . . . . 6 ((𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴) ∧ (𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟𝐴)) → 𝑞 ⊆ (⊥‘𝑟))
2625adantll 713 . . . . 5 (((𝑞C𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴)) ∧ (𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟𝐴)) → 𝑞 ⊆ (⊥‘𝑟))
27 lecm 29403 . . . . 5 ((𝑞C ∧ (⊥‘𝑟) ∈ C𝑞 ⊆ (⊥‘𝑟)) → 𝑞 𝐶 (⊥‘𝑟))
2818, 19, 26, 27syl3anc 1368 . . . 4 (((𝑞C𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴)) ∧ (𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟𝐴)) → 𝑞 𝐶 (⊥‘𝑟))
2928ad2ant2lr 747 . . 3 ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝𝐴) ∧ (𝑞C𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟𝐴) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 𝑞))) → 𝑞 𝐶 (⊥‘𝑟))
30 chsscon3 29286 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑝C𝐴C ) → (𝑝𝐴 ↔ (⊥‘𝐴) ⊆ (⊥‘𝑝)))
3120, 30mpan2 690 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝C → (𝑝𝐴 ↔ (⊥‘𝐴) ⊆ (⊥‘𝑝)))
3231biimpa 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑝C𝑝𝐴) → (⊥‘𝐴) ⊆ (⊥‘𝑝))
33 sstr 3961 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴) ∧ (⊥‘𝐴) ⊆ (⊥‘𝑝)) → 𝑞 ⊆ (⊥‘𝑝))
3432, 33sylan2 595 . . . . . . . . . . 11 ((𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴) ∧ (𝑝C𝑝𝐴)) → 𝑞 ⊆ (⊥‘𝑝))
3534an12s 648 . . . . . . . . . 10 ((𝑝C ∧ (𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴) ∧ 𝑝𝐴)) → 𝑞 ⊆ (⊥‘𝑝))
3635ancom2s 649 . . . . . . . . 9 ((𝑝C ∧ (𝑝𝐴𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) → 𝑞 ⊆ (⊥‘𝑝))
3736adantll 713 . . . . . . . 8 (((𝑞C𝑝C ) ∧ (𝑝𝐴𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) → 𝑞 ⊆ (⊥‘𝑝))
38 choccl 29092 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝C → (⊥‘𝑝) ∈ C )
39 lecm 29403 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑞C ∧ (⊥‘𝑝) ∈ C𝑞 ⊆ (⊥‘𝑝)) → 𝑞 𝐶 (⊥‘𝑝))
4038, 39syl3an2 1161 . . . . . . . . . . 11 ((𝑞C𝑝C𝑞 ⊆ (⊥‘𝑝)) → 𝑞 𝐶 (⊥‘𝑝))
41403expia 1118 . . . . . . . . . 10 ((𝑞C𝑝C ) → (𝑞 ⊆ (⊥‘𝑝) → 𝑞 𝐶 (⊥‘𝑝)))
42 cmcm2 29402 . . . . . . . . . 10 ((𝑞C𝑝C ) → (𝑞 𝐶 𝑝𝑞 𝐶 (⊥‘𝑝)))
4341, 42sylibrd 262 . . . . . . . . 9 ((𝑞C𝑝C ) → (𝑞 ⊆ (⊥‘𝑝) → 𝑞 𝐶 𝑝))
4443adantr 484 . . . . . . . 8 (((𝑞C𝑝C ) ∧ (𝑝𝐴𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) → (𝑞 ⊆ (⊥‘𝑝) → 𝑞 𝐶 𝑝))
4537, 44mpd 15 . . . . . . 7 (((𝑞C𝑝C ) ∧ (𝑝𝐴𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) → 𝑞 𝐶 𝑝)
461, 45sylanl2 680 . . . . . 6 (((𝑞C𝑝 ∈ HAtoms) ∧ (𝑝𝐴𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) → 𝑞 𝐶 𝑝)
4746ancom1s 652 . . . . 5 (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑞C ) ∧ (𝑝𝐴𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) → 𝑞 𝐶 𝑝)
4847an4s 659 . . . 4 (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝𝐴) ∧ (𝑞C𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) → 𝑞 𝐶 𝑝)
4948adantr 484 . . 3 ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝𝐴) ∧ (𝑞C𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟𝐴) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 𝑞))) → 𝑞 𝐶 𝑝)
50 fh2 29405 . . 3 ((((⊥‘𝑟) ∈ C𝑞C𝑝C ) ∧ (𝑞 𝐶 (⊥‘𝑟) ∧ 𝑞 𝐶 𝑝)) → ((⊥‘𝑟) ∩ (𝑞 𝑝)) = (((⊥‘𝑟) ∩ 𝑞) ∨ ((⊥‘𝑟) ∩ 𝑝)))
5117, 29, 49, 50syl12anc 835 . 2 ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝𝐴) ∧ (𝑞C𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟𝐴) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 𝑞))) → ((⊥‘𝑟) ∩ (𝑞 𝑝)) = (((⊥‘𝑟) ∩ 𝑞) ∨ ((⊥‘𝑟) ∩ 𝑝)))
52 sseqin2 4177 . . . . . 6 (𝑞 ⊆ (⊥‘𝑟) ↔ ((⊥‘𝑟) ∩ 𝑞) = 𝑞)
5326, 52sylib 221 . . . . 5 (((𝑞C𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴)) ∧ (𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟𝐴)) → ((⊥‘𝑟) ∩ 𝑞) = 𝑞)
5453ad2ant2lr 747 . . . 4 ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝𝐴) ∧ (𝑞C𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟𝐴) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 𝑞))) → ((⊥‘𝑟) ∩ 𝑞) = 𝑞)
55 incom 4163 . . . . 5 ((⊥‘𝑟) ∩ 𝑝) = (𝑝 ∩ (⊥‘𝑟))
5620chirredlem1 30176 . . . . . 6 (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ (𝑞C𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟𝐴) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 𝑞))) → (𝑝 ∩ (⊥‘𝑟)) = 0)
5756adantllr 718 . . . . 5 ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝𝐴) ∧ (𝑞C𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟𝐴) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 𝑞))) → (𝑝 ∩ (⊥‘𝑟)) = 0)
5855, 57syl5eq 2871 . . . 4 ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝𝐴) ∧ (𝑞C𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟𝐴) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 𝑞))) → ((⊥‘𝑟) ∩ 𝑝) = 0)
5954, 58oveq12d 7167 . . 3 ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝𝐴) ∧ (𝑞C𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟𝐴) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 𝑞))) → (((⊥‘𝑟) ∩ 𝑞) ∨ ((⊥‘𝑟) ∩ 𝑝)) = (𝑞 0))
60 chj0 29283 . . . . 5 (𝑞C → (𝑞 0) = 𝑞)
6160adantr 484 . . . 4 ((𝑞C𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴)) → (𝑞 0) = 𝑞)
6261ad2antlr 726 . . 3 ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝𝐴) ∧ (𝑞C𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟𝐴) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 𝑞))) → (𝑞 0) = 𝑞)
6359, 62eqtrd 2859 . 2 ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝𝐴) ∧ (𝑞C𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟𝐴) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 𝑞))) → (((⊥‘𝑟) ∩ 𝑞) ∨ ((⊥‘𝑟) ∩ 𝑝)) = 𝑞)
646, 51, 633eqtrd 2863 1 ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝𝐴) ∧ (𝑞C𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟𝐴) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 𝑞))) → ((⊥‘𝑟) ∩ (𝑝 𝑞)) = 𝑞)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115  cin 3918  wss 3919   class class class wbr 5052  cfv 6343  (class class class)co 7149   C cch 28715  cort 28716   chj 28719  0c0h 28721   𝐶 ccm 28722  HAtomscat 28751
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-inf2 9101  ax-cc 9855  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612  ax-pre-sup 10613  ax-addf 10614  ax-mulf 10615  ax-hilex 28785  ax-hfvadd 28786  ax-hvcom 28787  ax-hvass 28788  ax-hv0cl 28789  ax-hvaddid 28790  ax-hfvmul 28791  ax-hvmulid 28792  ax-hvmulass 28793  ax-hvdistr1 28794  ax-hvdistr2 28795  ax-hvmul0 28796  ax-hfi 28865  ax-his1 28868  ax-his2 28869  ax-his3 28870  ax-his4 28871  ax-hcompl 28988
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-iin 4908  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-se 5502  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-isom 6352  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-of 7403  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-supp 7827  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-2o 8099  df-oadd 8102  df-omul 8103  df-er 8285  df-map 8404  df-pm 8405  df-ixp 8458  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-fsupp 8831  df-fi 8872  df-sup 8903  df-inf 8904  df-oi 8971  df-card 9365  df-acn 9368  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-div 11296  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-4 11699  df-5 11700  df-6 11701  df-7 11702  df-8 11703  df-9 11704  df-n0 11895  df-z 11979  df-dec 12096  df-uz 12241  df-q 12346  df-rp 12387  df-xneg 12504  df-xadd 12505  df-xmul 12506  df-ioo 12739  df-ico 12741  df-icc 12742  df-fz 12895  df-fzo 13038  df-fl 13166  df-seq 13374  df-exp 13435  df-hash 13696  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-clim 14845  df-rlim 14846  df-sum 15043  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-starv 16580  df-sca 16581  df-vsca 16582  df-ip 16583  df-tset 16584  df-ple 16585  df-ds 16587  df-unif 16588  df-hom 16589  df-cco 16590  df-rest 16696  df-topn 16697  df-0g 16715  df-gsum 16716  df-topgen 16717  df-pt 16718  df-prds 16721  df-xrs 16775  df-qtop 16780  df-imas 16781  df-xps 16783  df-mre 16857  df-mrc 16858  df-acs 16860  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-submnd 17957  df-mulg 18225  df-cntz 18447  df-cmn 18908  df-psmet 20537  df-xmet 20538  df-met 20539  df-bl 20540  df-mopn 20541  df-fbas 20542  df-fg 20543  df-cnfld 20546  df-top 21502  df-topon 21519  df-topsp 21541  df-bases 21554  df-cld 21627  df-ntr 21628  df-cls 21629  df-nei 21706  df-cn 21835  df-cnp 21836  df-lm 21837  df-haus 21923  df-tx 22170  df-hmeo 22363  df-fil 22454  df-fm 22546  df-flim 22547  df-flf 22548  df-xms 22930  df-ms 22931  df-tms 22932  df-cfil 23862  df-cau 23863  df-cmet 23864  df-grpo 28279  df-gid 28280  df-ginv 28281  df-gdiv 28282  df-ablo 28331  df-vc 28345  df-nv 28378  df-va 28381  df-ba 28382  df-sm 28383  df-0v 28384  df-vs 28385  df-nmcv 28386  df-ims 28387  df-dip 28487  df-ssp 28508  df-ph 28599  df-cbn 28649  df-hnorm 28754  df-hba 28755  df-hvsub 28757  df-hlim 28758  df-hcau 28759  df-sh 28993  df-ch 29007  df-oc 29038  df-ch0 29039  df-shs 29094  df-span 29095  df-chj 29096  df-chsup 29097  df-pjh 29181  df-cm 29369  df-cv 30065  df-at 30124
This theorem is referenced by:  chirredlem3  30178
  Copyright terms: Public domain W3C validator