Theorem atordi 30281

Description: An ordering law for a Hilbert lattice atom and a commuting subspace. (Contributed by NM, 12-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
atoml.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
atordi	⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐴 𝐶ℋ 𝐵) → (𝐵 ⊆ 𝐴 ∨ 𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴)))

Proof of Theorem atordi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		atelch 30241	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ HAtoms → 𝐵 ∈ Cℋ )
2		atoml.1	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
3	2	choccli 29204	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⊥‘𝐴) ∈ Cℋ
4		chincl 29396	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((⊥‘𝐴) ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ((⊥‘𝐴) ∩ 𝐵) ∈ Cℋ )
5	3, 4	mpan 689	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵 ∈ Cℋ → ((⊥‘𝐴) ∩ 𝐵) ∈ Cℋ )
6		chj0 29394	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((⊥‘𝐴) ∩ 𝐵) ∈ Cℋ → (((⊥‘𝐴) ∩ 𝐵) ∨ℋ 0ℋ) = ((⊥‘𝐴) ∩ 𝐵))
7	5, 6	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ Cℋ → (((⊥‘𝐴) ∩ 𝐵) ∨ℋ 0ℋ) = ((⊥‘𝐴) ∩ 𝐵))
8		incom 4109	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊥‘𝐴) ∩ 𝐵) = (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴))
9	7, 8	eqtrdi 2810	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ Cℋ → (((⊥‘𝐴) ∩ 𝐵) ∨ℋ 0ℋ) = (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)))
10		h0elch 29152	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0ℋ ∈ Cℋ
11		chjcom 29403	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((⊥‘𝐴) ∩ 𝐵) ∈ Cℋ ∧ 0ℋ ∈ Cℋ ) → (((⊥‘𝐴) ∩ 𝐵) ∨ℋ 0ℋ) = (0ℋ ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ 𝐵)))
12	5, 10, 11	sylancl 589	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ Cℋ → (((⊥‘𝐴) ∩ 𝐵) ∨ℋ 0ℋ) = (0ℋ ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ 𝐵)))
13	9, 12	eqtr3d 2796	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ Cℋ → (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = (0ℋ ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ 𝐵)))
14		incom 4109	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊥‘𝐴) ∩ 𝐴) = (𝐴 ∩ (⊥‘𝐴))
15	2	chocini 29351	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ
16	14, 15	eqtri 2782	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⊥‘𝐴) ∩ 𝐴) = 0ℋ
17	16	oveq1i 7167	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((⊥‘𝐴) ∩ 𝐴) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ 𝐵)) = (0ℋ ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ 𝐵))
18	13, 17	eqtr4di 2812	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ Cℋ → (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = (((⊥‘𝐴) ∩ 𝐴) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ 𝐵)))
19	18	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 𝐶ℋ 𝐵) → (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = (((⊥‘𝐴) ∩ 𝐴) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ 𝐵)))
20	2	cmidi 29507	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐴 𝐶ℋ 𝐴
21	2, 2, 20	cmcm2ii 29495	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐴 𝐶ℋ (⊥‘𝐴)
22		fh2 29516	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((⊥‘𝐴) ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐴 𝐶ℋ (⊥‘𝐴) ∧ 𝐴 𝐶ℋ 𝐵)) → ((⊥‘𝐴) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = (((⊥‘𝐴) ∩ 𝐴) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ 𝐵)))
23	21, 22	mpanr1 702	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((⊥‘𝐴) ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐴 𝐶ℋ 𝐵) → ((⊥‘𝐴) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = (((⊥‘𝐴) ∩ 𝐴) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ 𝐵)))
24	2, 23	mp3anl2 1454	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((⊥‘𝐴) ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐴 𝐶ℋ 𝐵) → ((⊥‘𝐴) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = (((⊥‘𝐴) ∩ 𝐴) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ 𝐵)))
25	3, 24	mpanl1 699	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 𝐶ℋ 𝐵) → ((⊥‘𝐴) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = (((⊥‘𝐴) ∩ 𝐴) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ 𝐵)))
26	19, 25	eqtr4d 2797	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 𝐶ℋ 𝐵) → (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = ((⊥‘𝐴) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
27	1, 26	sylan 583	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐴 𝐶ℋ 𝐵) → (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = ((⊥‘𝐴) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
28		incom 4109	. . . . . . 7 ⊢ ((⊥‘𝐴) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴))
29	27, 28	eqtrdi 2810	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐴 𝐶ℋ 𝐵) → (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)))
30	29	adantr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐴 𝐶ℋ 𝐵) ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)))
31	2	atoml2i 30280	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴) → ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms)
32	31	adantlr 714	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐴 𝐶ℋ 𝐵) ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴) → ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms)
33	30, 32	eqeltrd 2853	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐴 𝐶ℋ 𝐵) ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms)
34		atssma 30275	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ (⊥‘𝐴) ∈ Cℋ ) → (𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴) ↔ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms))
35	3, 34	mpan2 690	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ HAtoms → (𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴) ↔ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms))
36	35	ad2antrr 725	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐴 𝐶ℋ 𝐵) ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴) ↔ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms))
37	33, 36	mpbird 260	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐴 𝐶ℋ 𝐵) ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴))
38	37	ex 416	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐴 𝐶ℋ 𝐵) → (¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 → 𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴)))
39	38	orrd 860	1 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐴 𝐶ℋ 𝐵) → (𝐵 ⊆ 𝐴 ∨ 𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 844   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2112   ∩ cin 3860   ⊆ wss 3861   class class class wbr 5037  ‘cfv 6341  (class class class)co 7157   C_ℋ cch 28826  ⊥cort 28827   ∨_ℋ chj 28830  0_ℋc0h 28832   𝐶_ℋ ccm 28833  HAtomscat 28862

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5161  ax-sep 5174  ax-nul 5181  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7466  ax-inf2 9151  ax-cc 9909  ax-cnex 10645  ax-resscn 10646  ax-1cn 10647  ax-icn 10648  ax-addcl 10649  ax-addrcl 10650  ax-mulcl 10651  ax-mulrcl 10652  ax-mulcom 10653  ax-addass 10654  ax-mulass 10655  ax-distr 10656  ax-i2m1 10657  ax-1ne0 10658  ax-1rid 10659  ax-rnegex 10660  ax-rrecex 10661  ax-cnre 10662  ax-pre-lttri 10663  ax-pre-lttrn 10664  ax-pre-ltadd 10665  ax-pre-mulgt0 10666  ax-pre-sup 10667  ax-addf 10668  ax-mulf 10669  ax-hilex 28896  ax-hfvadd 28897  ax-hvcom 28898  ax-hvass 28899  ax-hv0cl 28900  ax-hvaddid 28901  ax-hfvmul 28902  ax-hvmulid 28903  ax-hvmulass 28904  ax-hvdistr1 28905  ax-hvdistr2 28906  ax-hvmul0 28907  ax-hfi 28976  ax-his1 28979  ax-his2 28980  ax-his3 28981  ax-his4 28982  ax-hcompl 29099

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rmo 3079  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3700  df-csb 3809  df-dif 3864  df-un 3866  df-in 3868  df-ss 3878  df-pss 3880  df-nul 4229  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-uni 4803  df-int 4843  df-iun 4889  df-iin 4890  df-br 5038  df-opab 5100  df-mpt 5118  df-tr 5144  df-id 5435  df-eprel 5440  df-po 5448  df-so 5449  df-fr 5488  df-se 5489  df-we 5490  df-xp 5535  df-rel 5536  df-cnv 5537  df-co 5538  df-dm 5539  df-rn 5540  df-res 5541  df-ima 5542  df-pred 6132  df-ord 6178  df-on 6179  df-lim 6180  df-suc 6181  df-iota 6300  df-fun 6343  df-fn 6344  df-f 6345  df-f1 6346  df-fo 6347  df-f1o 6348  df-fv 6349  df-isom 6350  df-riota 7115  df-ov 7160  df-oprab 7161  df-mpo 7162  df-of 7412  df-om 7587  df-1st 7700  df-2nd 7701  df-supp 7843  df-wrecs 7964  df-recs 8025  df-rdg 8063  df-1o 8119  df-2o 8120  df-oadd 8123  df-omul 8124  df-er 8306  df-map 8425  df-pm 8426  df-ixp 8494  df-en 8542  df-dom 8543  df-sdom 8544  df-fin 8545  df-fsupp 8881  df-fi 8922  df-sup 8953  df-inf 8954  df-oi 9021  df-card 9415  df-acn 9418  df-pnf 10729  df-mnf 10730  df-xr 10731  df-ltxr 10732  df-le 10733  df-sub 10924  df-neg 10925  df-div 11350  df-nn 11689  df-2 11751  df-3 11752  df-4 11753  df-5 11754  df-6 11755  df-7 11756  df-8 11757  df-9 11758  df-n0 11949  df-z 12035  df-dec 12152  df-uz 12297  df-q 12403  df-rp 12445  df-xneg 12562  df-xadd 12563  df-xmul 12564  df-ioo 12797  df-ico 12799  df-icc 12800  df-fz 12954  df-fzo 13097  df-fl 13225  df-seq 13433  df-exp 13494  df-hash 13755  df-cj 14520  df-re 14521  df-im 14522  df-sqrt 14656  df-abs 14657  df-clim 14907  df-rlim 14908  df-sum 15105  df-struct 16558  df-ndx 16559  df-slot 16560  df-base 16562  df-sets 16563  df-ress 16564  df-plusg 16651  df-mulr 16652  df-starv 16653  df-sca 16654  df-vsca 16655  df-ip 16656  df-tset 16657  df-ple 16658  df-ds 16660  df-unif 16661  df-hom 16662  df-cco 16663  df-rest 16769  df-topn 16770  df-0g 16788  df-gsum 16789  df-topgen 16790  df-pt 16791  df-prds 16794  df-xrs 16848  df-qtop 16853  df-imas 16854  df-xps 16856  df-mre 16930  df-mrc 16931  df-acs 16933  df-mgm 17933  df-sgrp 17982  df-mnd 17993  df-submnd 18038  df-mulg 18307  df-cntz 18529  df-cmn 18990  df-psmet 20173  df-xmet 20174  df-met 20175  df-bl 20176  df-mopn 20177  df-fbas 20178  df-fg 20179  df-cnfld 20182  df-top 21609  df-topon 21626  df-topsp 21648  df-bases 21661  df-cld 21734  df-ntr 21735  df-cls 21736  df-nei 21813  df-cn 21942  df-cnp 21943  df-lm 21944  df-haus 22030  df-tx 22277  df-hmeo 22470  df-fil 22561  df-fm 22653  df-flim 22654  df-flf 22655  df-xms 23037  df-ms 23038  df-tms 23039  df-cfil 23970  df-cau 23971  df-cmet 23972  df-grpo 28390  df-gid 28391  df-ginv 28392  df-gdiv 28393  df-ablo 28442  df-vc 28456  df-nv 28489  df-va 28492  df-ba 28493  df-sm 28494  df-0v 28495  df-vs 28496  df-nmcv 28497  df-ims 28498  df-dip 28598  df-ssp 28619  df-ph 28710  df-cbn 28760  df-hnorm 28865  df-hba 28866  df-hvsub 28868  df-hlim 28869  df-hcau 28870  df-sh 29104  df-ch 29118  df-oc 29149  df-ch0 29150  df-shs 29205  df-span 29206  df-chj 29207  df-chsup 29208  df-pjh 29292  df-cm 29480  df-cv 30176  df-at 30235

This theorem is referenced by:  atord  30285  chirredlem4  30290