HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  atordi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem atordi 29580
Description: An ordering law for a Hilbert lattice atom and a commuting subspace. (Contributed by NM, 12-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
atoml.1 𝐴C
Assertion
Ref Expression
atordi ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐴 𝐶 𝐵) → (𝐵𝐴𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴)))

Proof of Theorem atordi
StepHypRef Expression
1 atelch 29540 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ HAtoms → 𝐵C )
2 atoml.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐴C
32choccli 28503 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⊥‘𝐴) ∈ C
4 chincl 28695 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((⊥‘𝐴) ∈ C𝐵C ) → ((⊥‘𝐴) ∩ 𝐵) ∈ C )
53, 4mpan 662 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵C → ((⊥‘𝐴) ∩ 𝐵) ∈ C )
6 chj0 28693 . . . . . . . . . . . . . 14 (((⊥‘𝐴) ∩ 𝐵) ∈ C → (((⊥‘𝐴) ∩ 𝐵) ∨ 0) = ((⊥‘𝐴) ∩ 𝐵))
75, 6syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵C → (((⊥‘𝐴) ∩ 𝐵) ∨ 0) = ((⊥‘𝐴) ∩ 𝐵))
8 incom 3956 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊥‘𝐴) ∩ 𝐵) = (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴))
97, 8syl6eq 2821 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵C → (((⊥‘𝐴) ∩ 𝐵) ∨ 0) = (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)))
10 h0elch 28449 . . . . . . . . . . . . 13 0C
11 chjcom 28702 . . . . . . . . . . . . 13 ((((⊥‘𝐴) ∩ 𝐵) ∈ C ∧ 0C ) → (((⊥‘𝐴) ∩ 𝐵) ∨ 0) = (0 ((⊥‘𝐴) ∩ 𝐵)))
125, 10, 11sylancl 566 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵C → (((⊥‘𝐴) ∩ 𝐵) ∨ 0) = (0 ((⊥‘𝐴) ∩ 𝐵)))
139, 12eqtr3d 2807 . . . . . . . . . . 11 (𝐵C → (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = (0 ((⊥‘𝐴) ∩ 𝐵)))
14 incom 3956 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊥‘𝐴) ∩ 𝐴) = (𝐴 ∩ (⊥‘𝐴))
152chocini 28650 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0
1614, 15eqtri 2793 . . . . . . . . . . . 12 ((⊥‘𝐴) ∩ 𝐴) = 0
1716oveq1i 6802 . . . . . . . . . . 11 (((⊥‘𝐴) ∩ 𝐴) ∨ ((⊥‘𝐴) ∩ 𝐵)) = (0 ((⊥‘𝐴) ∩ 𝐵))
1813, 17syl6eqr 2823 . . . . . . . . . 10 (𝐵C → (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = (((⊥‘𝐴) ∩ 𝐴) ∨ ((⊥‘𝐴) ∩ 𝐵)))
1918adantr 466 . . . . . . . . 9 ((𝐵C𝐴 𝐶 𝐵) → (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = (((⊥‘𝐴) ∩ 𝐴) ∨ ((⊥‘𝐴) ∩ 𝐵)))
202cmidi 28806 . . . . . . . . . . . . 13 𝐴 𝐶 𝐴
212, 2, 20cmcm2ii 28794 . . . . . . . . . . . 12 𝐴 𝐶 (⊥‘𝐴)
22 fh2 28815 . . . . . . . . . . . 12 ((((⊥‘𝐴) ∈ C𝐴C𝐵C ) ∧ (𝐴 𝐶 (⊥‘𝐴) ∧ 𝐴 𝐶 𝐵)) → ((⊥‘𝐴) ∩ (𝐴 𝐵)) = (((⊥‘𝐴) ∩ 𝐴) ∨ ((⊥‘𝐴) ∩ 𝐵)))
2321, 22mpanr1 675 . . . . . . . . . . 11 ((((⊥‘𝐴) ∈ C𝐴C𝐵C ) ∧ 𝐴 𝐶 𝐵) → ((⊥‘𝐴) ∩ (𝐴 𝐵)) = (((⊥‘𝐴) ∩ 𝐴) ∨ ((⊥‘𝐴) ∩ 𝐵)))
242, 23mp3anl2 1567 . . . . . . . . . 10 ((((⊥‘𝐴) ∈ C𝐵C ) ∧ 𝐴 𝐶 𝐵) → ((⊥‘𝐴) ∩ (𝐴 𝐵)) = (((⊥‘𝐴) ∩ 𝐴) ∨ ((⊥‘𝐴) ∩ 𝐵)))
253, 24mpanl1 672 . . . . . . . . 9 ((𝐵C𝐴 𝐶 𝐵) → ((⊥‘𝐴) ∩ (𝐴 𝐵)) = (((⊥‘𝐴) ∩ 𝐴) ∨ ((⊥‘𝐴) ∩ 𝐵)))
2619, 25eqtr4d 2808 . . . . . . . 8 ((𝐵C𝐴 𝐶 𝐵) → (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = ((⊥‘𝐴) ∩ (𝐴 𝐵)))
271, 26sylan 561 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐴 𝐶 𝐵) → (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = ((⊥‘𝐴) ∩ (𝐴 𝐵)))
28 incom 3956 . . . . . . 7 ((⊥‘𝐴) ∩ (𝐴 𝐵)) = ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴))
2927, 28syl6eq 2821 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐴 𝐶 𝐵) → (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)))
3029adantr 466 . . . . 5 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐴 𝐶 𝐵) ∧ ¬ 𝐵𝐴) → (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)))
312atoml2i 29579 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ ¬ 𝐵𝐴) → ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms)
3231adantlr 686 . . . . 5 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐴 𝐶 𝐵) ∧ ¬ 𝐵𝐴) → ((𝐴 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms)
3330, 32eqeltrd 2850 . . . 4 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐴 𝐶 𝐵) ∧ ¬ 𝐵𝐴) → (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms)
34 atssma 29574 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ (⊥‘𝐴) ∈ C ) → (𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴) ↔ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms))
353, 34mpan2 663 . . . . 5 (𝐵 ∈ HAtoms → (𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴) ↔ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms))
3635ad2antrr 697 . . . 4 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐴 𝐶 𝐵) ∧ ¬ 𝐵𝐴) → (𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴) ↔ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms))
3733, 36mpbird 247 . . 3 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐴 𝐶 𝐵) ∧ ¬ 𝐵𝐴) → 𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴))
3837ex 397 . 2 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐴 𝐶 𝐵) → (¬ 𝐵𝐴𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴)))
3938orrd 842 1 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐴 𝐶 𝐵) → (𝐵𝐴𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 382  wo 826  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  cin 3722  wss 3723   class class class wbr 4786  cfv 6031  (class class class)co 6792   C cch 28123  cort 28124   chj 28127  0c0h 28129   𝐶 ccm 28130  HAtomscat 28159
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-inf2 8701  ax-cc 9458  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214  ax-pre-sup 10215  ax-addf 10216  ax-mulf 10217  ax-hilex 28193  ax-hfvadd 28194  ax-hvcom 28195  ax-hvass 28196  ax-hv0cl 28197  ax-hvaddid 28198  ax-hfvmul 28199  ax-hvmulid 28200  ax-hvmulass 28201  ax-hvdistr1 28202  ax-hvdistr2 28203  ax-hvmul0 28204  ax-hfi 28273  ax-his1 28276  ax-his2 28277  ax-his3 28278  ax-his4 28279  ax-hcompl 28396
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-iin 4657  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-of 7043  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-supp 7446  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-2o 7713  df-oadd 7716  df-omul 7717  df-er 7895  df-map 8010  df-pm 8011  df-ixp 8062  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-fsupp 8431  df-fi 8472  df-sup 8503  df-inf 8504  df-oi 8570  df-card 8964  df-acn 8967  df-cda 9191  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-div 10886  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-4 11282  df-5 11283  df-6 11284  df-7 11285  df-8 11286  df-9 11287  df-n0 11494  df-z 11579  df-dec 11695  df-uz 11888  df-q 11991  df-rp 12035  df-xneg 12150  df-xadd 12151  df-xmul 12152  df-ioo 12383  df-ico 12385  df-icc 12386  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-fl 12800  df-seq 13008  df-exp 13067  df-hash 13321  df-cj 14046  df-re 14047  df-im 14048  df-sqrt 14182  df-abs 14183  df-clim 14426  df-rlim 14427  df-sum 14624  df-struct 16065  df-ndx 16066  df-slot 16067  df-base 16069  df-sets 16070  df-ress 16071  df-plusg 16161  df-mulr 16162  df-starv 16163  df-sca 16164  df-vsca 16165  df-ip 16166  df-tset 16167  df-ple 16168  df-ds 16171  df-unif 16172  df-hom 16173  df-cco 16174  df-rest 16290  df-topn 16291  df-0g 16309  df-gsum 16310  df-topgen 16311  df-pt 16312  df-prds 16315  df-xrs 16369  df-qtop 16374  df-imas 16375  df-xps 16377  df-mre 16453  df-mrc 16454  df-acs 16456  df-mgm 17449  df-sgrp 17491  df-mnd 17502  df-submnd 17543  df-mulg 17748  df-cntz 17956  df-cmn 18401  df-psmet 19952  df-xmet 19953  df-met 19954  df-bl 19955  df-mopn 19956  df-fbas 19957  df-fg 19958  df-cnfld 19961  df-top 20918  df-topon 20935  df-topsp 20957  df-bases 20970  df-cld 21043  df-ntr 21044  df-cls 21045  df-nei 21122  df-cn 21251  df-cnp 21252  df-lm 21253  df-haus 21339  df-tx 21585  df-hmeo 21778  df-fil 21869  df-fm 21961  df-flim 21962  df-flf 21963  df-xms 22344  df-ms 22345  df-tms 22346  df-cfil 23271  df-cau 23272  df-cmet 23273  df-grpo 27684  df-gid 27685  df-ginv 27686  df-gdiv 27687  df-ablo 27736  df-vc 27751  df-nv 27784  df-va 27787  df-ba 27788  df-sm 27789  df-0v 27790  df-vs 27791  df-nmcv 27792  df-ims 27793  df-dip 27893  df-ssp 27914  df-ph 28005  df-cbn 28056  df-hnorm 28162  df-hba 28163  df-hvsub 28165  df-hlim 28166  df-hcau 28167  df-sh 28401  df-ch 28415  df-oc 28446  df-ch0 28447  df-shs 28504  df-span 28505  df-chj 28506  df-chsup 28507  df-pjh 28591  df-cm 28779  df-cv 29475  df-at 29534
This theorem is referenced by:  atord  29584  chirredlem4  29589
  Copyright terms: Public domain W3C validator