Theorem atordi 32286

Description: An ordering law for a Hilbert lattice atom and a commuting subspace. (Contributed by NM, 12-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
atoml.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
atordi	⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐴 𝐶ℋ 𝐵) → (𝐵 ⊆ 𝐴 ∨ 𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴)))

Proof of Theorem atordi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		atelch 32246	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ HAtoms → 𝐵 ∈ Cℋ )
2		atoml.1	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
3	2	choccli 31209	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⊥‘𝐴) ∈ Cℋ
4		chincl 31401	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((⊥‘𝐴) ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ((⊥‘𝐴) ∩ 𝐵) ∈ Cℋ )
5	3, 4	mpan 690	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵 ∈ Cℋ → ((⊥‘𝐴) ∩ 𝐵) ∈ Cℋ )
6		chj0 31399	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((⊥‘𝐴) ∩ 𝐵) ∈ Cℋ → (((⊥‘𝐴) ∩ 𝐵) ∨ℋ 0ℋ) = ((⊥‘𝐴) ∩ 𝐵))
7	5, 6	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ Cℋ → (((⊥‘𝐴) ∩ 𝐵) ∨ℋ 0ℋ) = ((⊥‘𝐴) ∩ 𝐵))
8		incom 4168	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊥‘𝐴) ∩ 𝐵) = (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴))
9	7, 8	eqtrdi 2780	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ Cℋ → (((⊥‘𝐴) ∩ 𝐵) ∨ℋ 0ℋ) = (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)))
10		h0elch 31157	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0ℋ ∈ Cℋ
11		chjcom 31408	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((⊥‘𝐴) ∩ 𝐵) ∈ Cℋ ∧ 0ℋ ∈ Cℋ ) → (((⊥‘𝐴) ∩ 𝐵) ∨ℋ 0ℋ) = (0ℋ ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ 𝐵)))
12	5, 10, 11	sylancl 586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ Cℋ → (((⊥‘𝐴) ∩ 𝐵) ∨ℋ 0ℋ) = (0ℋ ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ 𝐵)))
13	9, 12	eqtr3d 2766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ Cℋ → (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = (0ℋ ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ 𝐵)))
14		incom 4168	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊥‘𝐴) ∩ 𝐴) = (𝐴 ∩ (⊥‘𝐴))
15	2	chocini 31356	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ
16	14, 15	eqtri 2752	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⊥‘𝐴) ∩ 𝐴) = 0ℋ
17	16	oveq1i 7379	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((⊥‘𝐴) ∩ 𝐴) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ 𝐵)) = (0ℋ ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ 𝐵))
18	13, 17	eqtr4di 2782	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ Cℋ → (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = (((⊥‘𝐴) ∩ 𝐴) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ 𝐵)))
19	18	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 𝐶ℋ 𝐵) → (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = (((⊥‘𝐴) ∩ 𝐴) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ 𝐵)))
20	2	cmidi 31512	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐴 𝐶ℋ 𝐴
21	2, 2, 20	cmcm2ii 31500	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐴 𝐶ℋ (⊥‘𝐴)
22		fh2 31521	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((⊥‘𝐴) ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐴 𝐶ℋ (⊥‘𝐴) ∧ 𝐴 𝐶ℋ 𝐵)) → ((⊥‘𝐴) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = (((⊥‘𝐴) ∩ 𝐴) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ 𝐵)))
23	21, 22	mpanr1 703	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((⊥‘𝐴) ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐴 𝐶ℋ 𝐵) → ((⊥‘𝐴) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = (((⊥‘𝐴) ∩ 𝐴) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ 𝐵)))
24	2, 23	mp3anl2 1458	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((⊥‘𝐴) ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐴 𝐶ℋ 𝐵) → ((⊥‘𝐴) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = (((⊥‘𝐴) ∩ 𝐴) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ 𝐵)))
25	3, 24	mpanl1 700	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 𝐶ℋ 𝐵) → ((⊥‘𝐴) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = (((⊥‘𝐴) ∩ 𝐴) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ 𝐵)))
26	19, 25	eqtr4d 2767	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 𝐶ℋ 𝐵) → (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = ((⊥‘𝐴) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
27	1, 26	sylan 580	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐴 𝐶ℋ 𝐵) → (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = ((⊥‘𝐴) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
28		incom 4168	. . . . . . 7 ⊢ ((⊥‘𝐴) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴))
29	27, 28	eqtrdi 2780	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐴 𝐶ℋ 𝐵) → (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)))
30	29	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐴 𝐶ℋ 𝐵) ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)))
31	2	atoml2i 32285	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴) → ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms)
32	31	adantlr 715	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐴 𝐶ℋ 𝐵) ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴) → ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms)
33	30, 32	eqeltrd 2828	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐴 𝐶ℋ 𝐵) ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms)
34		atssma 32280	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ (⊥‘𝐴) ∈ Cℋ ) → (𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴) ↔ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms))
35	3, 34	mpan2 691	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ HAtoms → (𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴) ↔ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms))
36	35	ad2antrr 726	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐴 𝐶ℋ 𝐵) ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴) ↔ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms))
37	33, 36	mpbird 257	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐴 𝐶ℋ 𝐵) ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴))
38	37	ex 412	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐴 𝐶ℋ 𝐵) → (¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 → 𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴)))
39	38	orrd 863	1 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐴 𝐶ℋ 𝐵) → (𝐵 ⊆ 𝐴 ∨ 𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∩ cin 3910   ⊆ wss 3911   class class class wbr 5102  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369   C_ℋ cch 30831  ⊥cort 30832   ∨_ℋ chj 30835  0_ℋc0h 30837   𝐶_ℋ ccm 30838  HAtomscat 30867

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-inf2 9570  ax-cc 10364  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122  ax-addf 11123  ax-mulf 11124  ax-hilex 30901  ax-hfvadd 30902  ax-hvcom 30903  ax-hvass 30904  ax-hv0cl 30905  ax-hvaddid 30906  ax-hfvmul 30907  ax-hvmulid 30908  ax-hvmulass 30909  ax-hvdistr1 30910  ax-hvdistr2 30911  ax-hvmul0 30912  ax-hfi 30981  ax-his1 30984  ax-his2 30985  ax-his3 30986  ax-his4 30987  ax-hcompl 31104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-of 7633  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-supp 8117  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-oadd 8415  df-omul 8416  df-er 8648  df-map 8778  df-pm 8779  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9289  df-fi 9338  df-sup 9369  df-inf 9370  df-oi 9439  df-card 9868  df-acn 9871  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-z 12506  df-dec 12626  df-uz 12770  df-q 12884  df-rp 12928  df-xneg 13048  df-xadd 13049  df-xmul 13050  df-ioo 13286  df-ico 13288  df-icc 13289  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-fl 13730  df-seq 13943  df-exp 14003  df-hash 14272  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178  df-clim 15430  df-rlim 15431  df-sum 15629  df-struct 17093  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-ress 17177  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-rest 17361  df-topn 17362  df-0g 17380  df-gsum 17381  df-topgen 17382  df-pt 17383  df-prds 17386  df-xrs 17441  df-qtop 17446  df-imas 17447  df-xps 17449  df-mre 17523  df-mrc 17524  df-acs 17526  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-submnd 18687  df-mulg 18976  df-cntz 19225  df-cmn 19688  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-fbas 21237  df-fg 21238  df-cnfld 21241  df-top 22757  df-topon 22774  df-topsp 22796  df-bases 22809  df-cld 22882  df-ntr 22883  df-cls 22884  df-nei 22961  df-cn 23090  df-cnp 23091  df-lm 23092  df-haus 23178  df-tx 23425  df-hmeo 23618  df-fil 23709  df-fm 23801  df-flim 23802  df-flf 23803  df-xms 24184  df-ms 24185  df-tms 24186  df-cfil 25131  df-cau 25132  df-cmet 25133  df-grpo 30395  df-gid 30396  df-ginv 30397  df-gdiv 30398  df-ablo 30447  df-vc 30461  df-nv 30494  df-va 30497  df-ba 30498  df-sm 30499  df-0v 30500  df-vs 30501  df-nmcv 30502  df-ims 30503  df-dip 30603  df-ssp 30624  df-ph 30715  df-cbn 30765  df-hnorm 30870  df-hba 30871  df-hvsub 30873  df-hlim 30874  df-hcau 30875  df-sh 31109  df-ch 31123  df-oc 31154  df-ch0 31155  df-shs 31210  df-span 31211  df-chj 31212  df-chsup 31213  df-pjh 31297  df-cm 31485  df-cv 32181  df-at 32240

This theorem is referenced by:  atord  32290  chirredlem4  32295