Theorem atordi 31624

Description: An ordering law for a Hilbert lattice atom and a commuting subspace. (Contributed by NM, 12-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
atoml.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
atordi	⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐴 𝐶ℋ 𝐵) → (𝐵 ⊆ 𝐴 ∨ 𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴)))

Proof of Theorem atordi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		atelch 31584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ HAtoms → 𝐵 ∈ Cℋ )
2		atoml.1	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
3	2	choccli 30547	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⊥‘𝐴) ∈ Cℋ
4		chincl 30739	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((⊥‘𝐴) ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ((⊥‘𝐴) ∩ 𝐵) ∈ Cℋ )
5	3, 4	mpan 688	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵 ∈ Cℋ → ((⊥‘𝐴) ∩ 𝐵) ∈ Cℋ )
6		chj0 30737	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((⊥‘𝐴) ∩ 𝐵) ∈ Cℋ → (((⊥‘𝐴) ∩ 𝐵) ∨ℋ 0ℋ) = ((⊥‘𝐴) ∩ 𝐵))
7	5, 6	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ Cℋ → (((⊥‘𝐴) ∩ 𝐵) ∨ℋ 0ℋ) = ((⊥‘𝐴) ∩ 𝐵))
8		incom 4200	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊥‘𝐴) ∩ 𝐵) = (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴))
9	7, 8	eqtrdi 2788	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ Cℋ → (((⊥‘𝐴) ∩ 𝐵) ∨ℋ 0ℋ) = (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)))
10		h0elch 30495	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0ℋ ∈ Cℋ
11		chjcom 30746	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((⊥‘𝐴) ∩ 𝐵) ∈ Cℋ ∧ 0ℋ ∈ Cℋ ) → (((⊥‘𝐴) ∩ 𝐵) ∨ℋ 0ℋ) = (0ℋ ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ 𝐵)))
12	5, 10, 11	sylancl 586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ Cℋ → (((⊥‘𝐴) ∩ 𝐵) ∨ℋ 0ℋ) = (0ℋ ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ 𝐵)))
13	9, 12	eqtr3d 2774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ Cℋ → (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = (0ℋ ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ 𝐵)))
14		incom 4200	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊥‘𝐴) ∩ 𝐴) = (𝐴 ∩ (⊥‘𝐴))
15	2	chocini 30694	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ
16	14, 15	eqtri 2760	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⊥‘𝐴) ∩ 𝐴) = 0ℋ
17	16	oveq1i 7415	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((⊥‘𝐴) ∩ 𝐴) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ 𝐵)) = (0ℋ ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ 𝐵))
18	13, 17	eqtr4di 2790	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ Cℋ → (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = (((⊥‘𝐴) ∩ 𝐴) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ 𝐵)))
19	18	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 𝐶ℋ 𝐵) → (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = (((⊥‘𝐴) ∩ 𝐴) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ 𝐵)))
20	2	cmidi 30850	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐴 𝐶ℋ 𝐴
21	2, 2, 20	cmcm2ii 30838	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐴 𝐶ℋ (⊥‘𝐴)
22		fh2 30859	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((⊥‘𝐴) ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐴 𝐶ℋ (⊥‘𝐴) ∧ 𝐴 𝐶ℋ 𝐵)) → ((⊥‘𝐴) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = (((⊥‘𝐴) ∩ 𝐴) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ 𝐵)))
23	21, 22	mpanr1 701	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((⊥‘𝐴) ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐴 𝐶ℋ 𝐵) → ((⊥‘𝐴) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = (((⊥‘𝐴) ∩ 𝐴) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ 𝐵)))
24	2, 23	mp3anl2 1456	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((⊥‘𝐴) ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐴 𝐶ℋ 𝐵) → ((⊥‘𝐴) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = (((⊥‘𝐴) ∩ 𝐴) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ 𝐵)))
25	3, 24	mpanl1 698	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 𝐶ℋ 𝐵) → ((⊥‘𝐴) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = (((⊥‘𝐴) ∩ 𝐴) ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ 𝐵)))
26	19, 25	eqtr4d 2775	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 𝐶ℋ 𝐵) → (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = ((⊥‘𝐴) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
27	1, 26	sylan 580	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐴 𝐶ℋ 𝐵) → (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = ((⊥‘𝐴) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
28		incom 4200	. . . . . . 7 ⊢ ((⊥‘𝐴) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴))
29	27, 28	eqtrdi 2788	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐴 𝐶ℋ 𝐵) → (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)))
30	29	adantr 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐴 𝐶ℋ 𝐵) ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)))
31	2	atoml2i 31623	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴) → ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms)
32	31	adantlr 713	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐴 𝐶ℋ 𝐵) ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴) → ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms)
33	30, 32	eqeltrd 2833	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐴 𝐶ℋ 𝐵) ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms)
34		atssma 31618	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ (⊥‘𝐴) ∈ Cℋ ) → (𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴) ↔ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms))
35	3, 34	mpan2 689	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ HAtoms → (𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴) ↔ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms))
36	35	ad2antrr 724	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐴 𝐶ℋ 𝐵) ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴) ↔ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms))
37	33, 36	mpbird 256	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐴 𝐶ℋ 𝐵) ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴))
38	37	ex 413	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐴 𝐶ℋ 𝐵) → (¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 → 𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴)))
39	38	orrd 861	1 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐴 𝐶ℋ 𝐵) → (𝐵 ⊆ 𝐴 ∨ 𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ∩ cin 3946   ⊆ wss 3947   class class class wbr 5147  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405   C_ℋ cch 30169  ⊥cort 30170   ∨_ℋ chj 30173  0_ℋc0h 30175   𝐶_ℋ ccm 30176  HAtomscat 30205

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cc 10426  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186  ax-hilex 30239  ax-hfvadd 30240  ax-hvcom 30241  ax-hvass 30242  ax-hv0cl 30243  ax-hvaddid 30244  ax-hfvmul 30245  ax-hvmulid 30246  ax-hvmulass 30247  ax-hvdistr1 30248  ax-hvdistr2 30249  ax-hvmul0 30250  ax-hfi 30319  ax-his1 30322  ax-his2 30323  ax-his3 30324  ax-his4 30325  ax-hcompl 30442

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-oadd 8466  df-omul 8467  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-acn 9933  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-rest 17364  df-topn 17365  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-topgen 17385  df-pt 17386  df-prds 17389  df-xrs 17444  df-qtop 17449  df-imas 17450  df-xps 17452  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-mulg 18945  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-fbas 20933  df-fg 20934  df-cnfld 20937  df-top 22387  df-topon 22404  df-topsp 22426  df-bases 22440  df-cld 22514  df-ntr 22515  df-cls 22516  df-nei 22593  df-cn 22722  df-cnp 22723  df-lm 22724  df-haus 22810  df-tx 23057  df-hmeo 23250  df-fil 23341  df-fm 23433  df-flim 23434  df-flf 23435  df-xms 23817  df-ms 23818  df-tms 23819  df-cfil 24763  df-cau 24764  df-cmet 24765  df-grpo 29733  df-gid 29734  df-ginv 29735  df-gdiv 29736  df-ablo 29785  df-vc 29799  df-nv 29832  df-va 29835  df-ba 29836  df-sm 29837  df-0v 29838  df-vs 29839  df-nmcv 29840  df-ims 29841  df-dip 29941  df-ssp 29962  df-ph 30053  df-cbn 30103  df-hnorm 30208  df-hba 30209  df-hvsub 30211  df-hlim 30212  df-hcau 30213  df-sh 30447  df-ch 30461  df-oc 30492  df-ch0 30493  df-shs 30548  df-span 30549  df-chj 30550  df-chsup 30551  df-pjh 30635  df-cm 30823  df-cv 31519  df-at 31578

This theorem is referenced by:  atord  31628  chirredlem4  31633