HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  mdsymlem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdsymlem5 30488
Description: Lemma for mdsymi 30492. (Contributed by NM, 2-Jul-2004.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mdsymlem1.1 𝐴C
mdsymlem1.2 𝐵C
mdsymlem1.3 𝐶 = (𝐴 𝑝)
Assertion
Ref Expression
mdsymlem5 ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → (¬ 𝑞 = 𝑝 → ((𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵)) → (((𝑐C𝐴𝑐) ∧ 𝑝 ∈ HAtoms) → (𝑝𝑐𝑝 ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴))))))
Distinct variable groups:   𝑟,𝑞,𝐶   𝑝,𝑐,𝑞,𝑟,𝐴   𝐵,𝑐,𝑝,𝑞,𝑟
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑝,𝑐)

Proof of Theorem mdsymlem5
StepHypRef Expression
1 df-ne 2941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑞𝑝 ↔ ¬ 𝑞 = 𝑝)
2 atnemeq0 30458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ∈ HAtoms) → (𝑞𝑝 ↔ (𝑞𝑝) = 0))
31, 2bitr3id 288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ∈ HAtoms) → (¬ 𝑞 = 𝑝 ↔ (𝑞𝑝) = 0))
43anbi2d 632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ∈ HAtoms) → ((𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝) ↔ (𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ (𝑞𝑝) = 0)))
543adant3 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → ((𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝) ↔ (𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ (𝑞𝑝) = 0)))
6 atelch 30425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑞 ∈ HAtoms → 𝑞C )
7 atexch 30462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑞C𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → ((𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ (𝑞𝑝) = 0) → 𝑟 ⊆ (𝑞 𝑝)))
86, 7syl3an1 1165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → ((𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ (𝑞𝑝) = 0) → 𝑟 ⊆ (𝑞 𝑝)))
95, 8sylbid 243 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → ((𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝) → 𝑟 ⊆ (𝑞 𝑝)))
109expd 419 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → (𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) → (¬ 𝑞 = 𝑝𝑟 ⊆ (𝑞 𝑝))))
11103com23 1128 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ∈ HAtoms) → (𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) → (¬ 𝑞 = 𝑝𝑟 ⊆ (𝑞 𝑝))))
12113expa 1120 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ 𝑝 ∈ HAtoms) → (𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) → (¬ 𝑞 = 𝑝𝑟 ⊆ (𝑞 𝑝))))
1312adantrl 716 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐C𝑝 ∈ HAtoms)) → (𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) → (¬ 𝑞 = 𝑝𝑟 ⊆ (𝑞 𝑝))))
1413adantrd 495 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐C𝑝 ∈ HAtoms)) → ((𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵)) → (¬ 𝑞 = 𝑝𝑟 ⊆ (𝑞 𝑝))))
1514imp32 422 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐C𝑝 ∈ HAtoms)) ∧ ((𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵)) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝)) → 𝑟 ⊆ (𝑞 𝑝))
1615adantrl 716 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐C𝑝 ∈ HAtoms)) ∧ (𝐴𝑐 ∧ ((𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵)) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝))) → 𝑟 ⊆ (𝑞 𝑝))
1716adantrr 717 . . . . . . . . . 10 ((((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐C𝑝 ∈ HAtoms)) ∧ ((𝐴𝑐 ∧ ((𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵)) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝)) ∧ 𝑝𝑐)) → 𝑟 ⊆ (𝑞 𝑝))
18 simplrl 777 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵)) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝) → 𝑞𝐴)
19 atelch 30425 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑝 ∈ HAtoms → 𝑝C )
2019anim1i 618 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑐C ) → (𝑝C𝑐C ))
2120ancoms 462 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑐C𝑝 ∈ HAtoms) → (𝑝C𝑐C ))
22 mdsymlem1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝐴C
23 chub2 29589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐴C𝑐C ) → 𝐴 ⊆ (𝑐 𝐴))
2422, 23mpan 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑐C𝐴 ⊆ (𝑐 𝐴))
25 sstr 3909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑞𝐴𝐴 ⊆ (𝑐 𝐴)) → 𝑞 ⊆ (𝑐 𝐴))
2624, 25sylan2 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑞𝐴𝑐C ) → 𝑞 ⊆ (𝑐 𝐴))
27 chub1 29588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑐C𝐴C ) → 𝑐 ⊆ (𝑐 𝐴))
2822, 27mpan2 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑐C𝑐 ⊆ (𝑐 𝐴))
29 sstr 3909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑝𝑐𝑐 ⊆ (𝑐 𝐴)) → 𝑝 ⊆ (𝑐 𝐴))
3028, 29sylan2 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑝𝑐𝑐C ) → 𝑝 ⊆ (𝑐 𝐴))
3126, 30anim12i 616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑞𝐴𝑐C ) ∧ (𝑝𝑐𝑐C )) → (𝑞 ⊆ (𝑐 𝐴) ∧ 𝑝 ⊆ (𝑐 𝐴)))
3231anandirs 679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑞𝐴𝑝𝑐) ∧ 𝑐C ) → (𝑞 ⊆ (𝑐 𝐴) ∧ 𝑝 ⊆ (𝑐 𝐴)))
3332ancoms 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑐C ∧ (𝑞𝐴𝑝𝑐)) → (𝑞 ⊆ (𝑐 𝐴) ∧ 𝑝 ⊆ (𝑐 𝐴)))
3433adantll 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑞C𝑝C ) ∧ 𝑐C ) ∧ (𝑞𝐴𝑝𝑐)) → (𝑞 ⊆ (𝑐 𝐴) ∧ 𝑝 ⊆ (𝑐 𝐴)))
35 chjcl 29438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑐C𝐴C ) → (𝑐 𝐴) ∈ C )
3622, 35mpan2 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑐C → (𝑐 𝐴) ∈ C )
37 chlub 29590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑞C𝑝C ∧ (𝑐 𝐴) ∈ C ) → ((𝑞 ⊆ (𝑐 𝐴) ∧ 𝑝 ⊆ (𝑐 𝐴)) ↔ (𝑞 𝑝) ⊆ (𝑐 𝐴)))
3836, 37syl3an3 1167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑞C𝑝C𝑐C ) → ((𝑞 ⊆ (𝑐 𝐴) ∧ 𝑝 ⊆ (𝑐 𝐴)) ↔ (𝑞 𝑝) ⊆ (𝑐 𝐴)))
39383expa 1120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑞C𝑝C ) ∧ 𝑐C ) → ((𝑞 ⊆ (𝑐 𝐴) ∧ 𝑝 ⊆ (𝑐 𝐴)) ↔ (𝑞 𝑝) ⊆ (𝑐 𝐴)))
4039adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑞C𝑝C ) ∧ 𝑐C ) ∧ (𝑞𝐴𝑝𝑐)) → ((𝑞 ⊆ (𝑐 𝐴) ∧ 𝑝 ⊆ (𝑐 𝐴)) ↔ (𝑞 𝑝) ⊆ (𝑐 𝐴)))
4134, 40mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑞C𝑝C ) ∧ 𝑐C ) ∧ (𝑞𝐴𝑝𝑐)) → (𝑞 𝑝) ⊆ (𝑐 𝐴))
4241adantrl 716 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑞C𝑝C ) ∧ 𝑐C ) ∧ (𝐴𝑐 ∧ (𝑞𝐴𝑝𝑐))) → (𝑞 𝑝) ⊆ (𝑐 𝐴))
43 chlejb2 29594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴C𝑐C ) → (𝐴𝑐 ↔ (𝑐 𝐴) = 𝑐))
4422, 43mpan 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑐C → (𝐴𝑐 ↔ (𝑐 𝐴) = 𝑐))
4544biimpa 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑐C𝐴𝑐) → (𝑐 𝐴) = 𝑐)
4645ad2ant2lr 748 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑞C𝑝C ) ∧ 𝑐C ) ∧ (𝐴𝑐 ∧ (𝑞𝐴𝑝𝑐))) → (𝑐 𝐴) = 𝑐)
4742, 46sseqtrd 3941 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑞C𝑝C ) ∧ 𝑐C ) ∧ (𝐴𝑐 ∧ (𝑞𝐴𝑝𝑐))) → (𝑞 𝑝) ⊆ 𝑐)
4847exp45 442 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑞C𝑝C ) ∧ 𝑐C ) → (𝐴𝑐 → (𝑞𝐴 → (𝑝𝑐 → (𝑞 𝑝) ⊆ 𝑐))))
4948anasss 470 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑞C ∧ (𝑝C𝑐C )) → (𝐴𝑐 → (𝑞𝐴 → (𝑝𝑐 → (𝑞 𝑝) ⊆ 𝑐))))
506, 21, 49syl2an 599 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ (𝑐C𝑝 ∈ HAtoms)) → (𝐴𝑐 → (𝑞𝐴 → (𝑝𝑐 → (𝑞 𝑝) ⊆ 𝑐))))
5150adantlr 715 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐C𝑝 ∈ HAtoms)) → (𝐴𝑐 → (𝑞𝐴 → (𝑝𝑐 → (𝑞 𝑝) ⊆ 𝑐))))
5218, 51syl7 74 . . . . . . . . . . 11 (((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐C𝑝 ∈ HAtoms)) → (𝐴𝑐 → (((𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵)) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝) → (𝑝𝑐 → (𝑞 𝑝) ⊆ 𝑐))))
5352imp44 432 . . . . . . . . . 10 ((((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐C𝑝 ∈ HAtoms)) ∧ ((𝐴𝑐 ∧ ((𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵)) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝)) ∧ 𝑝𝑐)) → (𝑞 𝑝) ⊆ 𝑐)
5417, 53sstrd 3911 . . . . . . . . 9 ((((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐C𝑝 ∈ HAtoms)) ∧ ((𝐴𝑐 ∧ ((𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵)) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝)) ∧ 𝑝𝑐)) → 𝑟𝑐)
55 simplrr 778 . . . . . . . . . . 11 (((𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵)) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝) → 𝑟𝐵)
5655ad2antlr 727 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑐 ∧ ((𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵)) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝)) ∧ 𝑝𝑐) → 𝑟𝐵)
5756adantl 485 . . . . . . . . 9 ((((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐C𝑝 ∈ HAtoms)) ∧ ((𝐴𝑐 ∧ ((𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵)) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝)) ∧ 𝑝𝑐)) → 𝑟𝐵)
5854, 57ssind 4147 . . . . . . . 8 ((((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐C𝑝 ∈ HAtoms)) ∧ ((𝐴𝑐 ∧ ((𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵)) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝)) ∧ 𝑝𝑐)) → 𝑟 ⊆ (𝑐𝐵))
59 atelch 30425 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑟 ∈ HAtoms → 𝑟C )
606, 59anim12i 616 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → (𝑞C𝑟C ))
61 mdsymlem1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝐵C
62 chincl 29580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑐C𝐵C ) → (𝑐𝐵) ∈ C )
6361, 62mpan2 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑐C → (𝑐𝐵) ∈ C )
64 chlej1 29591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑟C ∧ (𝑐𝐵) ∈ C𝑞C ) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑐𝐵)) → (𝑟 𝑞) ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝑞))
6564ex 416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑟C ∧ (𝑐𝐵) ∈ C𝑞C ) → (𝑟 ⊆ (𝑐𝐵) → (𝑟 𝑞) ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝑞)))
6663, 65syl3an2 1166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑟C𝑐C𝑞C ) → (𝑟 ⊆ (𝑐𝐵) → (𝑟 𝑞) ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝑞)))
67663comr 1127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑞C𝑟C𝑐C ) → (𝑟 ⊆ (𝑐𝐵) → (𝑟 𝑞) ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝑞)))
68673expa 1120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑞C𝑟C ) ∧ 𝑐C ) → (𝑟 ⊆ (𝑐𝐵) → (𝑟 𝑞) ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝑞)))
6968adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑞C𝑟C ) ∧ 𝑐C ) ∧ 𝑞𝐴) → (𝑟 ⊆ (𝑐𝐵) → (𝑟 𝑞) ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝑞)))
70 chlej2 29592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑞C𝐴C ∧ (𝑐𝐵) ∈ C ) ∧ 𝑞𝐴) → ((𝑐𝐵) ∨ 𝑞) ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴))
7122, 70mp3anl2 1458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑞C ∧ (𝑐𝐵) ∈ C ) ∧ 𝑞𝐴) → ((𝑐𝐵) ∨ 𝑞) ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴))
7263, 71sylanl2 681 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑞C𝑐C ) ∧ 𝑞𝐴) → ((𝑐𝐵) ∨ 𝑞) ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴))
7372adantllr 719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑞C𝑟C ) ∧ 𝑐C ) ∧ 𝑞𝐴) → ((𝑐𝐵) ∨ 𝑞) ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴))
74 sstr2 3908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑟 𝑞) ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝑞) → (((𝑐𝐵) ∨ 𝑞) ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴) → (𝑟 𝑞) ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴)))
7573, 74syl5com 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑞C𝑟C ) ∧ 𝑐C ) ∧ 𝑞𝐴) → ((𝑟 𝑞) ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝑞) → (𝑟 𝑞) ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴)))
76 chjcom 29587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑞C𝑟C ) → (𝑞 𝑟) = (𝑟 𝑞))
7776ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑞C𝑟C ) ∧ 𝑐C ) ∧ 𝑞𝐴) → (𝑞 𝑟) = (𝑟 𝑞))
7877sseq1d 3932 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑞C𝑟C ) ∧ 𝑐C ) ∧ 𝑞𝐴) → ((𝑞 𝑟) ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴) ↔ (𝑟 𝑞) ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴)))
7975, 78sylibrd 262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑞C𝑟C ) ∧ 𝑐C ) ∧ 𝑞𝐴) → ((𝑟 𝑞) ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝑞) → (𝑞 𝑟) ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴)))
8069, 79syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑞C𝑟C ) ∧ 𝑐C ) ∧ 𝑞𝐴) → (𝑟 ⊆ (𝑐𝐵) → (𝑞 𝑟) ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴)))
8180adantrl 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑞C𝑟C ) ∧ 𝑐C ) ∧ (𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ 𝑞𝐴)) → (𝑟 ⊆ (𝑐𝐵) → (𝑞 𝑟) ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴)))
82 sstr2 3908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) → ((𝑞 𝑟) ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴) → 𝑝 ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴)))
8382ad2antrl 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑞C𝑟C ) ∧ 𝑐C ) ∧ (𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ 𝑞𝐴)) → ((𝑞 𝑟) ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴) → 𝑝 ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴)))
8481, 83syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑞C𝑟C ) ∧ 𝑐C ) ∧ (𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ 𝑞𝐴)) → (𝑟 ⊆ (𝑐𝐵) → 𝑝 ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴)))
8584exp32 424 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑞C𝑟C ) ∧ 𝑐C ) → (𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) → (𝑞𝐴 → (𝑟 ⊆ (𝑐𝐵) → 𝑝 ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴)))))
8660, 85sylan 583 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ 𝑐C ) → (𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) → (𝑞𝐴 → (𝑟 ⊆ (𝑐𝐵) → 𝑝 ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴)))))
8786adantrr 717 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐C𝑝 ∈ HAtoms)) → (𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) → (𝑞𝐴 → (𝑟 ⊆ (𝑐𝐵) → 𝑝 ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴)))))
8887imp31 421 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐C𝑝 ∈ HAtoms)) ∧ 𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟)) ∧ 𝑞𝐴) → (𝑟 ⊆ (𝑐𝐵) → 𝑝 ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴)))
8988adantrr 717 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐C𝑝 ∈ HAtoms)) ∧ 𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟)) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵)) → (𝑟 ⊆ (𝑐𝐵) → 𝑝 ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴)))
9089anasss 470 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐C𝑝 ∈ HAtoms)) ∧ (𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵))) → (𝑟 ⊆ (𝑐𝐵) → 𝑝 ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴)))
9190adantrr 717 . . . . . . . . . 10 ((((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐C𝑝 ∈ HAtoms)) ∧ ((𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵)) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝)) → (𝑟 ⊆ (𝑐𝐵) → 𝑝 ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴)))
9291adantrl 716 . . . . . . . . 9 ((((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐C𝑝 ∈ HAtoms)) ∧ (𝐴𝑐 ∧ ((𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵)) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝))) → (𝑟 ⊆ (𝑐𝐵) → 𝑝 ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴)))
9392adantrr 717 . . . . . . . 8 ((((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐C𝑝 ∈ HAtoms)) ∧ ((𝐴𝑐 ∧ ((𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵)) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝)) ∧ 𝑝𝑐)) → (𝑟 ⊆ (𝑐𝐵) → 𝑝 ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴)))
9458, 93mpd 15 . . . . . . 7 ((((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐C𝑝 ∈ HAtoms)) ∧ ((𝐴𝑐 ∧ ((𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵)) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝)) ∧ 𝑝𝑐)) → 𝑝 ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴))
9594exp32 424 . . . . . 6 (((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐C𝑝 ∈ HAtoms)) → ((𝐴𝑐 ∧ ((𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵)) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝)) → (𝑝𝑐𝑝 ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴))))
9695exp4d 437 . . . . 5 (((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐C𝑝 ∈ HAtoms)) → (𝐴𝑐 → ((𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵)) → (¬ 𝑞 = 𝑝 → (𝑝𝑐𝑝 ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴))))))
9796exp32 424 . . . 4 ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → (𝑐C → (𝑝 ∈ HAtoms → (𝐴𝑐 → ((𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵)) → (¬ 𝑞 = 𝑝 → (𝑝𝑐𝑝 ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴))))))))
9897com34 91 . . 3 ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → (𝑐C → (𝐴𝑐 → (𝑝 ∈ HAtoms → ((𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵)) → (¬ 𝑞 = 𝑝 → (𝑝𝑐𝑝 ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴))))))))
9998imp4c 427 . 2 ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → (((𝑐C𝐴𝑐) ∧ 𝑝 ∈ HAtoms) → ((𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵)) → (¬ 𝑞 = 𝑝 → (𝑝𝑐𝑝 ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴))))))
10099com24 95 1 ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → (¬ 𝑞 = 𝑝 → ((𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵)) → (((𝑐C𝐴𝑐) ∧ 𝑝 ∈ HAtoms) → (𝑝𝑐𝑝 ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1089   = wceq 1543  wcel 2110  wne 2940  cin 3865  wss 3866  (class class class)co 7213   C cch 29010   chj 29014  0c0h 29016  HAtomscat 29046
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-inf2 9256  ax-cc 10049  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807  ax-addf 10808  ax-mulf 10809  ax-hilex 29080  ax-hfvadd 29081  ax-hvcom 29082  ax-hvass 29083  ax-hv0cl 29084  ax-hvaddid 29085  ax-hfvmul 29086  ax-hvmulid 29087  ax-hvmulass 29088  ax-hvdistr1 29089  ax-hvdistr2 29090  ax-hvmul0 29091  ax-hfi 29160  ax-his1 29163  ax-his2 29164  ax-his3 29165  ax-his4 29166  ax-hcompl 29283
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-iin 4907  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-isom 6389  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-of 7469  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-supp 7904  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-2o 8203  df-oadd 8206  df-omul 8207  df-er 8391  df-map 8510  df-pm 8511  df-ixp 8579  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-fsupp 8986  df-fi 9027  df-sup 9058  df-inf 9059  df-oi 9126  df-card 9555  df-acn 9558  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-4 11895  df-5 11896  df-6 11897  df-7 11898  df-8 11899  df-9 11900  df-n0 12091  df-z 12177  df-dec 12294  df-uz 12439  df-q 12545  df-rp 12587  df-xneg 12704  df-xadd 12705  df-xmul 12706  df-ioo 12939  df-ico 12941  df-icc 12942  df-fz 13096  df-fzo 13239  df-fl 13367  df-seq 13575  df-exp 13636  df-hash 13897  df-cj 14662  df-re 14663  df-im 14664  df-sqrt 14798  df-abs 14799  df-clim 15049  df-rlim 15050  df-sum 15250  df-struct 16700  df-sets 16717  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-ress 16785  df-plusg 16815  df-mulr 16816  df-starv 16817  df-sca 16818  df-vsca 16819  df-ip 16820  df-tset 16821  df-ple 16822  df-ds 16824  df-unif 16825  df-hom 16826  df-cco 16827  df-rest 16927  df-topn 16928  df-0g 16946  df-gsum 16947  df-topgen 16948  df-pt 16949  df-prds 16952  df-xrs 17007  df-qtop 17012  df-imas 17013  df-xps 17015  df-mre 17089  df-mrc 17090  df-acs 17092  df-mgm 18114  df-sgrp 18163  df-mnd 18174  df-submnd 18219  df-mulg 18489  df-cntz 18711  df-cmn 19172  df-psmet 20355  df-xmet 20356  df-met 20357  df-bl 20358  df-mopn 20359  df-fbas 20360  df-fg 20361  df-cnfld 20364  df-top 21791  df-topon 21808  df-topsp 21830  df-bases 21843  df-cld 21916  df-ntr 21917  df-cls 21918  df-nei 21995  df-cn 22124  df-cnp 22125  df-lm 22126  df-haus 22212  df-tx 22459  df-hmeo 22652  df-fil 22743  df-fm 22835  df-flim 22836  df-flf 22837  df-xms 23218  df-ms 23219  df-tms 23220  df-cfil 24152  df-cau 24153  df-cmet 24154  df-grpo 28574  df-gid 28575  df-ginv 28576  df-gdiv 28577  df-ablo 28626  df-vc 28640  df-nv 28673  df-va 28676  df-ba 28677  df-sm 28678  df-0v 28679  df-vs 28680  df-nmcv 28681  df-ims 28682  df-dip 28782  df-ssp 28803  df-ph 28894  df-cbn 28944  df-hnorm 29049  df-hba 29050  df-hvsub 29052  df-hlim 29053  df-hcau 29054  df-sh 29288  df-ch 29302  df-oc 29333  df-ch0 29334  df-shs 29389  df-span 29390  df-chj 29391  df-chsup 29392  df-pjh 29476  df-cv 30360  df-at 30419
This theorem is referenced by:  mdsymlem6  30489
  Copyright terms: Public domain W3C validator