Theorem mdsymlem5 32556

Description: Lemma for mdsymi 32560. (Contributed by NM, 2-Jul-2004.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdsymlem1.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
mdsymlem1.2	⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
mdsymlem1.3	⊢ 𝐶 = (𝐴 ∨ℋ 𝑝)

Assertion

Ref	Expression
mdsymlem5	⊢ ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → (¬ 𝑞 = 𝑝 → ((𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵)) → (((𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑐) ∧ 𝑝 ∈ HAtoms) → (𝑝 ⊆ 𝑐 → 𝑝 ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴))))))

Distinct variable groups:   𝑟,𝑞,𝐶   𝑝,𝑐,𝑞,𝑟,𝐴   𝐵,𝑐,𝑝,𝑞,𝑟

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑝,𝑐)

Proof of Theorem mdsymlem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ne 2957	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑞 ≠ 𝑝 ↔ ¬ 𝑞 = 𝑝)
2		atnemeq0 32526	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ∈ HAtoms) → (𝑞 ≠ 𝑝 ↔ (𝑞 ∩ 𝑝) = 0ℋ))
3	1, 2	bitr3id 287	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ∈ HAtoms) → (¬ 𝑞 = 𝑝 ↔ (𝑞 ∩ 𝑝) = 0ℋ))
4	3	anbi2d 639	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ∈ HAtoms) → ((𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝) ↔ (𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ∩ 𝑝) = 0ℋ)))
5	4	3adant3 1144	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → ((𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝) ↔ (𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ∩ 𝑝) = 0ℋ)))
6		atelch 32493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑞 ∈ HAtoms → 𝑞 ∈ Cℋ )
7		atexch 32530	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → ((𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ∩ 𝑝) = 0ℋ) → 𝑟 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑝)))
8	6, 7	syl3an1 1175	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → ((𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ∩ 𝑝) = 0ℋ) → 𝑟 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑝)))
9	5, 8	sylbid 242	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → ((𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝) → 𝑟 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑝)))
10	9	expd 419	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → (𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) → (¬ 𝑞 = 𝑝 → 𝑟 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑝))))
11	10	3com23 1138	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ∈ HAtoms) → (𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) → (¬ 𝑞 = 𝑝 → 𝑟 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑝))))
12	11	3expa 1130	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ 𝑝 ∈ HAtoms) → (𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) → (¬ 𝑞 = 𝑝 → 𝑟 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑝))))
13	12	adantrl 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ HAtoms)) → (𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) → (¬ 𝑞 = 𝑝 → 𝑟 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑝))))
14	13	adantrd 495	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ HAtoms)) → ((𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵)) → (¬ 𝑞 = 𝑝 → 𝑟 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑝))))
15	14	imp32 422	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ HAtoms)) ∧ ((𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝)) → 𝑟 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑝))
16	15	adantrl 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ HAtoms)) ∧ (𝐴 ⊆ 𝑐 ∧ ((𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝))) → 𝑟 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑝))
17	16	adantrr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ HAtoms)) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝑐 ∧ ((𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝)) ∧ 𝑝 ⊆ 𝑐)) → 𝑟 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑝))
18		simplrl 786	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝) → 𝑞 ⊆ 𝐴)
19		atelch 32493	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑝 ∈ HAtoms → 𝑝 ∈ Cℋ )
20	19	anim1i 624	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) → (𝑝 ∈ Cℋ ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ))
21	20	ancoms 462	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ HAtoms) → (𝑝 ∈ Cℋ ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ))
22		mdsymlem1.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
23		chub2 31657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) → 𝐴 ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴))
24	22, 23	mpan 700	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑐 ∈ Cℋ → 𝐴 ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴))
25		sstr 3944	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴)) → 𝑞 ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴))
26	24, 25	sylan2 602	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) → 𝑞 ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴))
27		chub1 31656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → 𝑐 ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴))
28	22, 27	mpan2 701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑐 ∈ Cℋ → 𝑐 ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴))
29		sstr 3944	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑝 ⊆ 𝑐 ∧ 𝑐 ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴)) → 𝑝 ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴))
30	28, 29	sylan2 602	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑝 ⊆ 𝑐 ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) → 𝑝 ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴))
31	26, 30	anim12i 622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) ∧ (𝑝 ⊆ 𝑐 ∧ 𝑐 ∈ Cℋ )) → (𝑞 ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴) ∧ 𝑝 ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴)))
32	31	anandirs 689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ⊆ 𝑐) ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) → (𝑞 ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴) ∧ 𝑝 ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴)))
33	32	ancoms 462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑐 ∈ Cℋ ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ⊆ 𝑐)) → (𝑞 ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴) ∧ 𝑝 ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴)))
34	33	adantll 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ⊆ 𝑐)) → (𝑞 ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴) ∧ 𝑝 ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴)))
35		chjcl 31506	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → (𝑐 ∨ℋ 𝐴) ∈ Cℋ )
36	22, 35	mpan2 701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑐 ∈ Cℋ → (𝑐 ∨ℋ 𝐴) ∈ Cℋ )
37		chlub 31658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ Cℋ ∧ (𝑐 ∨ℋ 𝐴) ∈ Cℋ ) → ((𝑞 ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴) ∧ 𝑝 ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴)) ↔ (𝑞 ∨ℋ 𝑝) ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴)))
38	36, 37	syl3an3 1177	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ Cℋ ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) → ((𝑞 ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴) ∧ 𝑝 ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴)) ↔ (𝑞 ∨ℋ 𝑝) ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴)))
39	38	3expa 1130	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) → ((𝑞 ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴) ∧ 𝑝 ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴)) ↔ (𝑞 ∨ℋ 𝑝) ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴)))
40	39	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ⊆ 𝑐)) → ((𝑞 ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴) ∧ 𝑝 ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴)) ↔ (𝑞 ∨ℋ 𝑝) ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴)))
41	34, 40	mpbid 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ⊆ 𝑐)) → (𝑞 ∨ℋ 𝑝) ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴))
42	41	adantrl 726	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐴 ⊆ 𝑐 ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ⊆ 𝑐))) → (𝑞 ∨ℋ 𝑝) ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴))
43		chlejb2 31662	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) → (𝐴 ⊆ 𝑐 ↔ (𝑐 ∨ℋ 𝐴) = 𝑐))
44	22, 43	mpan 700	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑐 ∈ Cℋ → (𝐴 ⊆ 𝑐 ↔ (𝑐 ∨ℋ 𝐴) = 𝑐))
45	44	biimpa 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑐) → (𝑐 ∨ℋ 𝐴) = 𝑐)
46	45	ad2ant2lr 758	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐴 ⊆ 𝑐 ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ⊆ 𝑐))) → (𝑐 ∨ℋ 𝐴) = 𝑐)
47	42, 46	sseqtrd 3972	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐴 ⊆ 𝑐 ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ⊆ 𝑐))) → (𝑞 ∨ℋ 𝑝) ⊆ 𝑐)
48	47	exp45 442	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) → (𝐴 ⊆ 𝑐 → (𝑞 ⊆ 𝐴 → (𝑝 ⊆ 𝑐 → (𝑞 ∨ℋ 𝑝) ⊆ 𝑐))))
49	48	anasss 470	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑞 ∈ Cℋ ∧ (𝑝 ∈ Cℋ ∧ 𝑐 ∈ Cℋ )) → (𝐴 ⊆ 𝑐 → (𝑞 ⊆ 𝐴 → (𝑝 ⊆ 𝑐 → (𝑞 ∨ℋ 𝑝) ⊆ 𝑐))))
50	6, 21, 49	syl2an 605	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ (𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ HAtoms)) → (𝐴 ⊆ 𝑐 → (𝑞 ⊆ 𝐴 → (𝑝 ⊆ 𝑐 → (𝑞 ∨ℋ 𝑝) ⊆ 𝑐))))
51	50	adantlr 725	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ HAtoms)) → (𝐴 ⊆ 𝑐 → (𝑞 ⊆ 𝐴 → (𝑝 ⊆ 𝑐 → (𝑞 ∨ℋ 𝑝) ⊆ 𝑐))))
52	18, 51	syl7 74	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ HAtoms)) → (𝐴 ⊆ 𝑐 → (((𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝) → (𝑝 ⊆ 𝑐 → (𝑞 ∨ℋ 𝑝) ⊆ 𝑐))))
53	52	imp44 432	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ HAtoms)) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝑐 ∧ ((𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝)) ∧ 𝑝 ⊆ 𝑐)) → (𝑞 ∨ℋ 𝑝) ⊆ 𝑐)
54	17, 53	sstrd 3946	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ HAtoms)) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝑐 ∧ ((𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝)) ∧ 𝑝 ⊆ 𝑐)) → 𝑟 ⊆ 𝑐)
55		simplrr 787	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝) → 𝑟 ⊆ 𝐵)
56	55	ad2antlr 737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ⊆ 𝑐 ∧ ((𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝)) ∧ 𝑝 ⊆ 𝑐) → 𝑟 ⊆ 𝐵)
57	56	adantl 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ HAtoms)) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝑐 ∧ ((𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝)) ∧ 𝑝 ⊆ 𝑐)) → 𝑟 ⊆ 𝐵)
58	54, 57	ssind 4192	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ HAtoms)) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝑐 ∧ ((𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝)) ∧ 𝑝 ⊆ 𝑐)) → 𝑟 ⊆ (𝑐 ∩ 𝐵))
59		atelch 32493	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑟 ∈ HAtoms → 𝑟 ∈ Cℋ )
60	6, 59	anim12i 622	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → (𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑟 ∈ Cℋ ))
61		mdsymlem1.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
62		chincl 31648	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝑐 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ )
63	61, 62	mpan2 701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑐 ∈ Cℋ → (𝑐 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ )
64		chlej1 31659	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑟 ∈ Cℋ ∧ (𝑐 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑐 ∩ 𝐵)) → (𝑟 ∨ℋ 𝑞) ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑞))
65	64	ex 416	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑟 ∈ Cℋ ∧ (𝑐 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ∈ Cℋ ) → (𝑟 ⊆ (𝑐 ∩ 𝐵) → (𝑟 ∨ℋ 𝑞) ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑞)))
66	63, 65	syl3an2 1176	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑟 ∈ Cℋ ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ∈ Cℋ ) → (𝑟 ⊆ (𝑐 ∩ 𝐵) → (𝑟 ∨ℋ 𝑞) ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑞)))
67	66	3comr 1137	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑟 ∈ Cℋ ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) → (𝑟 ⊆ (𝑐 ∩ 𝐵) → (𝑟 ∨ℋ 𝑞) ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑞)))
68	67	3expa 1130	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑟 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) → (𝑟 ⊆ (𝑐 ∩ 𝐵) → (𝑟 ∨ℋ 𝑞) ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑞)))
69	68	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑟 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑞 ⊆ 𝐴) → (𝑟 ⊆ (𝑐 ∩ 𝐵) → (𝑟 ∨ℋ 𝑞) ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑞)))
70		chlej2 31660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ∧ (𝑐 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ ) ∧ 𝑞 ⊆ 𝐴) → ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑞) ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴))
71	22, 70	mp3anl2 1476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑞 ∈ Cℋ ∧ (𝑐 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ ) ∧ 𝑞 ⊆ 𝐴) → ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑞) ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴))
72	63, 71	sylanl2 691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑞 ⊆ 𝐴) → ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑞) ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴))
73	72	adantllr 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑟 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑞 ⊆ 𝐴) → ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑞) ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴))
74		sstr2 3943	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑟 ∨ℋ 𝑞) ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑞) → (((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑞) ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴) → (𝑟 ∨ℋ 𝑞) ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴)))
75	73, 74	syl5com 31	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑟 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑞 ⊆ 𝐴) → ((𝑟 ∨ℋ 𝑞) ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑞) → (𝑟 ∨ℋ 𝑞) ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴)))
76		chjcom 31655	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑟 ∈ Cℋ ) → (𝑞 ∨ℋ 𝑟) = (𝑟 ∨ℋ 𝑞))
77	76	ad2antrr 736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑟 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑞 ⊆ 𝐴) → (𝑞 ∨ℋ 𝑟) = (𝑟 ∨ℋ 𝑞))
78	77	sseq1d 3967	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑟 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑞 ⊆ 𝐴) → ((𝑞 ∨ℋ 𝑟) ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴) ↔ (𝑟 ∨ℋ 𝑞) ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴)))
79	75, 78	sylibrd 261	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑟 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑞 ⊆ 𝐴) → ((𝑟 ∨ℋ 𝑞) ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑞) → (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴)))
80	69, 79	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑟 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑞 ⊆ 𝐴) → (𝑟 ⊆ (𝑐 ∩ 𝐵) → (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴)))
81	80	adantrl 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑟 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) ∧ (𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ 𝑞 ⊆ 𝐴)) → (𝑟 ⊆ (𝑐 ∩ 𝐵) → (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴)))
82		sstr2 3943	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) → ((𝑞 ∨ℋ 𝑟) ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴) → 𝑝 ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴)))
83	82	ad2antrl 738	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑟 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) ∧ (𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ 𝑞 ⊆ 𝐴)) → ((𝑞 ∨ℋ 𝑟) ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴) → 𝑝 ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴)))
84	81, 83	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑟 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) ∧ (𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ 𝑞 ⊆ 𝐴)) → (𝑟 ⊆ (𝑐 ∩ 𝐵) → 𝑝 ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴)))
85	84	exp32 424	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑟 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) → (𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) → (𝑞 ⊆ 𝐴 → (𝑟 ⊆ (𝑐 ∩ 𝐵) → 𝑝 ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴)))))
86	60, 85	sylan 589	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) → (𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) → (𝑞 ⊆ 𝐴 → (𝑟 ⊆ (𝑐 ∩ 𝐵) → 𝑝 ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴)))))
87	86	adantrr 727	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ HAtoms)) → (𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) → (𝑞 ⊆ 𝐴 → (𝑟 ⊆ (𝑐 ∩ 𝐵) → 𝑝 ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴)))))
88	87	imp31 421	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ HAtoms)) ∧ 𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟)) ∧ 𝑞 ⊆ 𝐴) → (𝑟 ⊆ (𝑐 ∩ 𝐵) → 𝑝 ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴)))
89	88	adantrr 727	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ HAtoms)) ∧ 𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟)) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵)) → (𝑟 ⊆ (𝑐 ∩ 𝐵) → 𝑝 ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴)))
90	89	anasss 470	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ HAtoms)) ∧ (𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵))) → (𝑟 ⊆ (𝑐 ∩ 𝐵) → 𝑝 ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴)))
91	90	adantrr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ HAtoms)) ∧ ((𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝)) → (𝑟 ⊆ (𝑐 ∩ 𝐵) → 𝑝 ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴)))
92	91	adantrl 726	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ HAtoms)) ∧ (𝐴 ⊆ 𝑐 ∧ ((𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝))) → (𝑟 ⊆ (𝑐 ∩ 𝐵) → 𝑝 ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴)))
93	92	adantrr 727	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ HAtoms)) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝑐 ∧ ((𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝)) ∧ 𝑝 ⊆ 𝑐)) → (𝑟 ⊆ (𝑐 ∩ 𝐵) → 𝑝 ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴)))
94	58, 93	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ HAtoms)) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝑐 ∧ ((𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝)) ∧ 𝑝 ⊆ 𝑐)) → 𝑝 ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴))
95	94	exp32 424	. . . . . 6 ⊢ (((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ HAtoms)) → ((𝐴 ⊆ 𝑐 ∧ ((𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝)) → (𝑝 ⊆ 𝑐 → 𝑝 ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴))))
96	95	exp4d 437	. . . . 5 ⊢ (((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ HAtoms)) → (𝐴 ⊆ 𝑐 → ((𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵)) → (¬ 𝑞 = 𝑝 → (𝑝 ⊆ 𝑐 → 𝑝 ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴))))))
97	96	exp32 424	. . . 4 ⊢ ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → (𝑐 ∈ Cℋ → (𝑝 ∈ HAtoms → (𝐴 ⊆ 𝑐 → ((𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵)) → (¬ 𝑞 = 𝑝 → (𝑝 ⊆ 𝑐 → 𝑝 ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴))))))))
98	97	com34 91	. . 3 ⊢ ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → (𝑐 ∈ Cℋ → (𝐴 ⊆ 𝑐 → (𝑝 ∈ HAtoms → ((𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵)) → (¬ 𝑞 = 𝑝 → (𝑝 ⊆ 𝑐 → 𝑝 ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴))))))))
99	98	imp4c 427	. 2 ⊢ ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → (((𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑐) ∧ 𝑝 ∈ HAtoms) → ((𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵)) → (¬ 𝑞 = 𝑝 → (𝑝 ⊆ 𝑐 → 𝑝 ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴))))))
100	99	com24 95	1 ⊢ ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → (¬ 𝑞 = 𝑝 → ((𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵)) → (((𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑐) ∧ 𝑝 ∈ HAtoms) → (𝑝 ⊆ 𝑐 → 𝑝 ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴))))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956   ∩ cin 3903   ⊆ wss 3904  (class class class)co 7392   C_ℋ cch 31078   ∨_ℋ chj 31082  0_ℋc0h 31084  HAtomscat 31114

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-inf2 9593  ax-cc 10389  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147  ax-pre-sup 11148  ax-addf 11149  ax-mulf 11150  ax-hilex 31148  ax-hfvadd 31149  ax-hvcom 31150  ax-hvass 31151  ax-hv0cl 31152  ax-hvaddid 31153  ax-hfvmul 31154  ax-hvmulid 31155  ax-hvmulass 31156  ax-hvdistr1 31157  ax-hvdistr2 31158  ax-hvmul0 31159  ax-hfi 31228  ax-his1 31231  ax-his2 31232  ax-his3 31233  ax-his4 31234  ax-hcompl 31351

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-se 5599  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-isom 6526  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-of 7656  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-supp 8136  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-2o 8433  df-oadd 8436  df-omul 8437  df-er 8673  df-map 8805  df-pm 8806  df-ixp 8876  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-fin 8927  df-fsupp 9305  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9455  df-card 9894  df-acn 9897  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12208  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12479  df-z 12566  df-dec 12686  df-uz 12837  df-q 12947  df-rp 12991  df-xneg 13111  df-xadd 13112  df-xmul 13113  df-ioo 13350  df-ico 13352  df-icc 13353  df-fz 13510  df-fzo 13657  df-fl 13799  df-seq 14012  df-exp 14072  df-hash 14341  df-cj 15109  df-re 15110  df-im 15111  df-sqrt 15245  df-abs 15246  df-clim 15498  df-rlim 15499  df-sum 15697  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17250  df-plusg 17282  df-mulr 17283  df-starv 17284  df-sca 17285  df-vsca 17286  df-ip 17287  df-tset 17288  df-ple 17289  df-ds 17291  df-unif 17292  df-hom 17293  df-cco 17294  df-rest 17434  df-topn 17435  df-0g 17453  df-gsum 17454  df-topgen 17455  df-pt 17456  df-prds 17459  df-xrs 17515  df-qtop 17520  df-imas 17521  df-xps 17523  df-mre 17597  df-mrc 17598  df-acs 17600  df-mgm 18657  df-sgrp 18736  df-mnd 18752  df-submnd 18801  df-mulg 19093  df-cntz 19340  df-cmn 19805  df-psmet 21396  df-xmet 21397  df-met 21398  df-bl 21399  df-mopn 21400  df-fbas 21401  df-fg 21402  df-cnfld 21405  df-top 22934  df-topon 22951  df-topsp 22973  df-bases 22986  df-cld 23059  df-ntr 23060  df-cls 23061  df-nei 23138  df-cn 23267  df-cnp 23268  df-lm 23269  df-haus 23355  df-tx 23602  df-hmeo 23795  df-fil 23886  df-fm 23978  df-flim 23979  df-flf 23980  df-xms 24360  df-ms 24361  df-tms 24362  df-cfil 25297  df-cau 25298  df-cmet 25299  df-grpo 30642  df-gid 30643  df-ginv 30644  df-gdiv 30645  df-ablo 30694  df-vc 30708  df-nv 30741  df-va 30744  df-ba 30745  df-sm 30746  df-0v 30747  df-vs 30748  df-nmcv 30749  df-ims 30750  df-dip 30850  df-ssp 30871  df-ph 30962  df-cbn 31012  df-hnorm 31117  df-hba 31118  df-hvsub 31120  df-hlim 31121  df-hcau 31122  df-sh 31356  df-ch 31370  df-oc 31401  df-ch0 31402  df-shs 31457  df-span 31458  df-chj 31459  df-chsup 31460  df-pjh 31544  df-cv 32428  df-at 32487

This theorem is referenced by:  mdsymlem6  32557