HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  mdsymlem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdsymlem5 30111
Description: Lemma for mdsymi 30115. (Contributed by NM, 2-Jul-2004.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mdsymlem1.1 𝐴C
mdsymlem1.2 𝐵C
mdsymlem1.3 𝐶 = (𝐴 𝑝)
Assertion
Ref Expression
mdsymlem5 ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → (¬ 𝑞 = 𝑝 → ((𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵)) → (((𝑐C𝐴𝑐) ∧ 𝑝 ∈ HAtoms) → (𝑝𝑐𝑝 ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴))))))
Distinct variable groups:   𝑟,𝑞,𝐶   𝑝,𝑐,𝑞,𝑟,𝐴   𝐵,𝑐,𝑝,𝑞,𝑟
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑝,𝑐)

Proof of Theorem mdsymlem5
StepHypRef Expression
1 df-ne 3014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑞𝑝 ↔ ¬ 𝑞 = 𝑝)
2 atnemeq0 30081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ∈ HAtoms) → (𝑞𝑝 ↔ (𝑞𝑝) = 0))
31, 2syl5bbr 286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ∈ HAtoms) → (¬ 𝑞 = 𝑝 ↔ (𝑞𝑝) = 0))
43anbi2d 628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ∈ HAtoms) → ((𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝) ↔ (𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ (𝑞𝑝) = 0)))
543adant3 1124 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → ((𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝) ↔ (𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ (𝑞𝑝) = 0)))
6 atelch 30048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑞 ∈ HAtoms → 𝑞C )
7 atexch 30085 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑞C𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → ((𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ (𝑞𝑝) = 0) → 𝑟 ⊆ (𝑞 𝑝)))
86, 7syl3an1 1155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → ((𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ (𝑞𝑝) = 0) → 𝑟 ⊆ (𝑞 𝑝)))
95, 8sylbid 241 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → ((𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝) → 𝑟 ⊆ (𝑞 𝑝)))
109expd 416 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → (𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) → (¬ 𝑞 = 𝑝𝑟 ⊆ (𝑞 𝑝))))
11103com23 1118 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ∈ HAtoms) → (𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) → (¬ 𝑞 = 𝑝𝑟 ⊆ (𝑞 𝑝))))
12113expa 1110 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ 𝑝 ∈ HAtoms) → (𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) → (¬ 𝑞 = 𝑝𝑟 ⊆ (𝑞 𝑝))))
1312adantrl 712 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐C𝑝 ∈ HAtoms)) → (𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) → (¬ 𝑞 = 𝑝𝑟 ⊆ (𝑞 𝑝))))
1413adantrd 492 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐C𝑝 ∈ HAtoms)) → ((𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵)) → (¬ 𝑞 = 𝑝𝑟 ⊆ (𝑞 𝑝))))
1514imp32 419 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐C𝑝 ∈ HAtoms)) ∧ ((𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵)) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝)) → 𝑟 ⊆ (𝑞 𝑝))
1615adantrl 712 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐C𝑝 ∈ HAtoms)) ∧ (𝐴𝑐 ∧ ((𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵)) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝))) → 𝑟 ⊆ (𝑞 𝑝))
1716adantrr 713 . . . . . . . . . 10 ((((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐C𝑝 ∈ HAtoms)) ∧ ((𝐴𝑐 ∧ ((𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵)) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝)) ∧ 𝑝𝑐)) → 𝑟 ⊆ (𝑞 𝑝))
18 simplrl 773 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵)) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝) → 𝑞𝐴)
19 atelch 30048 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑝 ∈ HAtoms → 𝑝C )
2019anim1i 614 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑐C ) → (𝑝C𝑐C ))
2120ancoms 459 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑐C𝑝 ∈ HAtoms) → (𝑝C𝑐C ))
22 mdsymlem1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝐴C
23 chub2 29212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐴C𝑐C ) → 𝐴 ⊆ (𝑐 𝐴))
2422, 23mpan 686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑐C𝐴 ⊆ (𝑐 𝐴))
25 sstr 3972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑞𝐴𝐴 ⊆ (𝑐 𝐴)) → 𝑞 ⊆ (𝑐 𝐴))
2624, 25sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑞𝐴𝑐C ) → 𝑞 ⊆ (𝑐 𝐴))
27 chub1 29211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑐C𝐴C ) → 𝑐 ⊆ (𝑐 𝐴))
2822, 27mpan2 687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑐C𝑐 ⊆ (𝑐 𝐴))
29 sstr 3972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑝𝑐𝑐 ⊆ (𝑐 𝐴)) → 𝑝 ⊆ (𝑐 𝐴))
3028, 29sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑝𝑐𝑐C ) → 𝑝 ⊆ (𝑐 𝐴))
3126, 30anim12i 612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑞𝐴𝑐C ) ∧ (𝑝𝑐𝑐C )) → (𝑞 ⊆ (𝑐 𝐴) ∧ 𝑝 ⊆ (𝑐 𝐴)))
3231anandirs 675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑞𝐴𝑝𝑐) ∧ 𝑐C ) → (𝑞 ⊆ (𝑐 𝐴) ∧ 𝑝 ⊆ (𝑐 𝐴)))
3332ancoms 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑐C ∧ (𝑞𝐴𝑝𝑐)) → (𝑞 ⊆ (𝑐 𝐴) ∧ 𝑝 ⊆ (𝑐 𝐴)))
3433adantll 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑞C𝑝C ) ∧ 𝑐C ) ∧ (𝑞𝐴𝑝𝑐)) → (𝑞 ⊆ (𝑐 𝐴) ∧ 𝑝 ⊆ (𝑐 𝐴)))
35 chjcl 29061 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑐C𝐴C ) → (𝑐 𝐴) ∈ C )
3622, 35mpan2 687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑐C → (𝑐 𝐴) ∈ C )
37 chlub 29213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑞C𝑝C ∧ (𝑐 𝐴) ∈ C ) → ((𝑞 ⊆ (𝑐 𝐴) ∧ 𝑝 ⊆ (𝑐 𝐴)) ↔ (𝑞 𝑝) ⊆ (𝑐 𝐴)))
3836, 37syl3an3 1157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑞C𝑝C𝑐C ) → ((𝑞 ⊆ (𝑐 𝐴) ∧ 𝑝 ⊆ (𝑐 𝐴)) ↔ (𝑞 𝑝) ⊆ (𝑐 𝐴)))
39383expa 1110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑞C𝑝C ) ∧ 𝑐C ) → ((𝑞 ⊆ (𝑐 𝐴) ∧ 𝑝 ⊆ (𝑐 𝐴)) ↔ (𝑞 𝑝) ⊆ (𝑐 𝐴)))
4039adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑞C𝑝C ) ∧ 𝑐C ) ∧ (𝑞𝐴𝑝𝑐)) → ((𝑞 ⊆ (𝑐 𝐴) ∧ 𝑝 ⊆ (𝑐 𝐴)) ↔ (𝑞 𝑝) ⊆ (𝑐 𝐴)))
4134, 40mpbid 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑞C𝑝C ) ∧ 𝑐C ) ∧ (𝑞𝐴𝑝𝑐)) → (𝑞 𝑝) ⊆ (𝑐 𝐴))
4241adantrl 712 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑞C𝑝C ) ∧ 𝑐C ) ∧ (𝐴𝑐 ∧ (𝑞𝐴𝑝𝑐))) → (𝑞 𝑝) ⊆ (𝑐 𝐴))
43 chlejb2 29217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴C𝑐C ) → (𝐴𝑐 ↔ (𝑐 𝐴) = 𝑐))
4422, 43mpan 686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑐C → (𝐴𝑐 ↔ (𝑐 𝐴) = 𝑐))
4544biimpa 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑐C𝐴𝑐) → (𝑐 𝐴) = 𝑐)
4645ad2ant2lr 744 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑞C𝑝C ) ∧ 𝑐C ) ∧ (𝐴𝑐 ∧ (𝑞𝐴𝑝𝑐))) → (𝑐 𝐴) = 𝑐)
4742, 46sseqtrd 4004 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑞C𝑝C ) ∧ 𝑐C ) ∧ (𝐴𝑐 ∧ (𝑞𝐴𝑝𝑐))) → (𝑞 𝑝) ⊆ 𝑐)
4847exp45 439 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑞C𝑝C ) ∧ 𝑐C ) → (𝐴𝑐 → (𝑞𝐴 → (𝑝𝑐 → (𝑞 𝑝) ⊆ 𝑐))))
4948anasss 467 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑞C ∧ (𝑝C𝑐C )) → (𝐴𝑐 → (𝑞𝐴 → (𝑝𝑐 → (𝑞 𝑝) ⊆ 𝑐))))
506, 21, 49syl2an 595 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ (𝑐C𝑝 ∈ HAtoms)) → (𝐴𝑐 → (𝑞𝐴 → (𝑝𝑐 → (𝑞 𝑝) ⊆ 𝑐))))
5150adantlr 711 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐C𝑝 ∈ HAtoms)) → (𝐴𝑐 → (𝑞𝐴 → (𝑝𝑐 → (𝑞 𝑝) ⊆ 𝑐))))
5218, 51syl7 74 . . . . . . . . . . 11 (((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐C𝑝 ∈ HAtoms)) → (𝐴𝑐 → (((𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵)) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝) → (𝑝𝑐 → (𝑞 𝑝) ⊆ 𝑐))))
5352imp44 429 . . . . . . . . . 10 ((((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐C𝑝 ∈ HAtoms)) ∧ ((𝐴𝑐 ∧ ((𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵)) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝)) ∧ 𝑝𝑐)) → (𝑞 𝑝) ⊆ 𝑐)
5417, 53sstrd 3974 . . . . . . . . 9 ((((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐C𝑝 ∈ HAtoms)) ∧ ((𝐴𝑐 ∧ ((𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵)) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝)) ∧ 𝑝𝑐)) → 𝑟𝑐)
55 simplrr 774 . . . . . . . . . . 11 (((𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵)) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝) → 𝑟𝐵)
5655ad2antlr 723 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑐 ∧ ((𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵)) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝)) ∧ 𝑝𝑐) → 𝑟𝐵)
5756adantl 482 . . . . . . . . 9 ((((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐C𝑝 ∈ HAtoms)) ∧ ((𝐴𝑐 ∧ ((𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵)) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝)) ∧ 𝑝𝑐)) → 𝑟𝐵)
5854, 57ssind 4206 . . . . . . . 8 ((((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐C𝑝 ∈ HAtoms)) ∧ ((𝐴𝑐 ∧ ((𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵)) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝)) ∧ 𝑝𝑐)) → 𝑟 ⊆ (𝑐𝐵))
59 atelch 30048 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑟 ∈ HAtoms → 𝑟C )
606, 59anim12i 612 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → (𝑞C𝑟C ))
61 mdsymlem1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝐵C
62 chincl 29203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑐C𝐵C ) → (𝑐𝐵) ∈ C )
6361, 62mpan2 687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑐C → (𝑐𝐵) ∈ C )
64 chlej1 29214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑟C ∧ (𝑐𝐵) ∈ C𝑞C ) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑐𝐵)) → (𝑟 𝑞) ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝑞))
6564ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑟C ∧ (𝑐𝐵) ∈ C𝑞C ) → (𝑟 ⊆ (𝑐𝐵) → (𝑟 𝑞) ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝑞)))
6663, 65syl3an2 1156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑟C𝑐C𝑞C ) → (𝑟 ⊆ (𝑐𝐵) → (𝑟 𝑞) ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝑞)))
67663comr 1117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑞C𝑟C𝑐C ) → (𝑟 ⊆ (𝑐𝐵) → (𝑟 𝑞) ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝑞)))
68673expa 1110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑞C𝑟C ) ∧ 𝑐C ) → (𝑟 ⊆ (𝑐𝐵) → (𝑟 𝑞) ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝑞)))
6968adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑞C𝑟C ) ∧ 𝑐C ) ∧ 𝑞𝐴) → (𝑟 ⊆ (𝑐𝐵) → (𝑟 𝑞) ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝑞)))
70 chlej2 29215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑞C𝐴C ∧ (𝑐𝐵) ∈ C ) ∧ 𝑞𝐴) → ((𝑐𝐵) ∨ 𝑞) ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴))
7122, 70mp3anl2 1447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑞C ∧ (𝑐𝐵) ∈ C ) ∧ 𝑞𝐴) → ((𝑐𝐵) ∨ 𝑞) ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴))
7263, 71sylanl2 677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑞C𝑐C ) ∧ 𝑞𝐴) → ((𝑐𝐵) ∨ 𝑞) ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴))
7372adantllr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑞C𝑟C ) ∧ 𝑐C ) ∧ 𝑞𝐴) → ((𝑐𝐵) ∨ 𝑞) ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴))
74 sstr2 3971 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑟 𝑞) ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝑞) → (((𝑐𝐵) ∨ 𝑞) ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴) → (𝑟 𝑞) ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴)))
7573, 74syl5com 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑞C𝑟C ) ∧ 𝑐C ) ∧ 𝑞𝐴) → ((𝑟 𝑞) ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝑞) → (𝑟 𝑞) ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴)))
76 chjcom 29210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑞C𝑟C ) → (𝑞 𝑟) = (𝑟 𝑞))
7776ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑞C𝑟C ) ∧ 𝑐C ) ∧ 𝑞𝐴) → (𝑞 𝑟) = (𝑟 𝑞))
7877sseq1d 3995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑞C𝑟C ) ∧ 𝑐C ) ∧ 𝑞𝐴) → ((𝑞 𝑟) ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴) ↔ (𝑟 𝑞) ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴)))
7975, 78sylibrd 260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑞C𝑟C ) ∧ 𝑐C ) ∧ 𝑞𝐴) → ((𝑟 𝑞) ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝑞) → (𝑞 𝑟) ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴)))
8069, 79syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑞C𝑟C ) ∧ 𝑐C ) ∧ 𝑞𝐴) → (𝑟 ⊆ (𝑐𝐵) → (𝑞 𝑟) ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴)))
8180adantrl 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑞C𝑟C ) ∧ 𝑐C ) ∧ (𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ 𝑞𝐴)) → (𝑟 ⊆ (𝑐𝐵) → (𝑞 𝑟) ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴)))
82 sstr2 3971 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) → ((𝑞 𝑟) ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴) → 𝑝 ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴)))
8382ad2antrl 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑞C𝑟C ) ∧ 𝑐C ) ∧ (𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ 𝑞𝐴)) → ((𝑞 𝑟) ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴) → 𝑝 ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴)))
8481, 83syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑞C𝑟C ) ∧ 𝑐C ) ∧ (𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ 𝑞𝐴)) → (𝑟 ⊆ (𝑐𝐵) → 𝑝 ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴)))
8584exp32 421 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑞C𝑟C ) ∧ 𝑐C ) → (𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) → (𝑞𝐴 → (𝑟 ⊆ (𝑐𝐵) → 𝑝 ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴)))))
8660, 85sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ 𝑐C ) → (𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) → (𝑞𝐴 → (𝑟 ⊆ (𝑐𝐵) → 𝑝 ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴)))))
8786adantrr 713 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐C𝑝 ∈ HAtoms)) → (𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) → (𝑞𝐴 → (𝑟 ⊆ (𝑐𝐵) → 𝑝 ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴)))))
8887imp31 418 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐C𝑝 ∈ HAtoms)) ∧ 𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟)) ∧ 𝑞𝐴) → (𝑟 ⊆ (𝑐𝐵) → 𝑝 ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴)))
8988adantrr 713 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐C𝑝 ∈ HAtoms)) ∧ 𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟)) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵)) → (𝑟 ⊆ (𝑐𝐵) → 𝑝 ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴)))
9089anasss 467 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐C𝑝 ∈ HAtoms)) ∧ (𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵))) → (𝑟 ⊆ (𝑐𝐵) → 𝑝 ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴)))
9190adantrr 713 . . . . . . . . . 10 ((((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐C𝑝 ∈ HAtoms)) ∧ ((𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵)) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝)) → (𝑟 ⊆ (𝑐𝐵) → 𝑝 ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴)))
9291adantrl 712 . . . . . . . . 9 ((((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐C𝑝 ∈ HAtoms)) ∧ (𝐴𝑐 ∧ ((𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵)) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝))) → (𝑟 ⊆ (𝑐𝐵) → 𝑝 ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴)))
9392adantrr 713 . . . . . . . 8 ((((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐C𝑝 ∈ HAtoms)) ∧ ((𝐴𝑐 ∧ ((𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵)) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝)) ∧ 𝑝𝑐)) → (𝑟 ⊆ (𝑐𝐵) → 𝑝 ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴)))
9458, 93mpd 15 . . . . . . 7 ((((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐C𝑝 ∈ HAtoms)) ∧ ((𝐴𝑐 ∧ ((𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵)) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝)) ∧ 𝑝𝑐)) → 𝑝 ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴))
9594exp32 421 . . . . . 6 (((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐C𝑝 ∈ HAtoms)) → ((𝐴𝑐 ∧ ((𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵)) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝)) → (𝑝𝑐𝑝 ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴))))
9695exp4d 434 . . . . 5 (((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐C𝑝 ∈ HAtoms)) → (𝐴𝑐 → ((𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵)) → (¬ 𝑞 = 𝑝 → (𝑝𝑐𝑝 ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴))))))
9796exp32 421 . . . 4 ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → (𝑐C → (𝑝 ∈ HAtoms → (𝐴𝑐 → ((𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵)) → (¬ 𝑞 = 𝑝 → (𝑝𝑐𝑝 ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴))))))))
9897com34 91 . . 3 ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → (𝑐C → (𝐴𝑐 → (𝑝 ∈ HAtoms → ((𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵)) → (¬ 𝑞 = 𝑝 → (𝑝𝑐𝑝 ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴))))))))
9998imp4c 424 . 2 ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → (((𝑐C𝐴𝑐) ∧ 𝑝 ∈ HAtoms) → ((𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵)) → (¬ 𝑞 = 𝑝 → (𝑝𝑐𝑝 ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴))))))
10099com24 95 1 ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → (¬ 𝑞 = 𝑝 → ((𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵)) → (((𝑐C𝐴𝑐) ∧ 𝑝 ∈ HAtoms) → (𝑝𝑐𝑝 ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  cin 3932  wss 3933  (class class class)co 7145   C cch 28633   chj 28637  0c0h 28639  HAtomscat 28669
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-cc 9845  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603  ax-addf 10604  ax-mulf 10605  ax-hilex 28703  ax-hfvadd 28704  ax-hvcom 28705  ax-hvass 28706  ax-hv0cl 28707  ax-hvaddid 28708  ax-hfvmul 28709  ax-hvmulid 28710  ax-hvmulass 28711  ax-hvdistr1 28712  ax-hvdistr2 28713  ax-hvmul0 28714  ax-hfi 28783  ax-his1 28786  ax-his2 28787  ax-his3 28788  ax-his4 28789  ax-hcompl 28906
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-supp 7820  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-oadd 8095  df-omul 8096  df-er 8278  df-map 8397  df-pm 8398  df-ixp 8450  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-acn 9359  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-fl 13150  df-seq 13358  df-exp 13418  df-hash 13679  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-clim 14833  df-rlim 14834  df-sum 15031  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-starv 16568  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-ip 16571  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-unif 16576  df-hom 16577  df-cco 16578  df-rest 16684  df-topn 16685  df-0g 16703  df-gsum 16704  df-topgen 16705  df-pt 16706  df-prds 16709  df-xrs 16763  df-qtop 16768  df-imas 16769  df-xps 16771  df-mre 16845  df-mrc 16846  df-acs 16848  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-submnd 17945  df-mulg 18163  df-cntz 18385  df-cmn 18837  df-psmet 20465  df-xmet 20466  df-met 20467  df-bl 20468  df-mopn 20469  df-fbas 20470  df-fg 20471  df-cnfld 20474  df-top 21430  df-topon 21447  df-topsp 21469  df-bases 21482  df-cld 21555  df-ntr 21556  df-cls 21557  df-nei 21634  df-cn 21763  df-cnp 21764  df-lm 21765  df-haus 21851  df-tx 22098  df-hmeo 22291  df-fil 22382  df-fm 22474  df-flim 22475  df-flf 22476  df-xms 22857  df-ms 22858  df-tms 22859  df-cfil 23785  df-cau 23786  df-cmet 23787  df-grpo 28197  df-gid 28198  df-ginv 28199  df-gdiv 28200  df-ablo 28249  df-vc 28263  df-nv 28296  df-va 28299  df-ba 28300  df-sm 28301  df-0v 28302  df-vs 28303  df-nmcv 28304  df-ims 28305  df-dip 28405  df-ssp 28426  df-ph 28517  df-cbn 28567  df-hnorm 28672  df-hba 28673  df-hvsub 28675  df-hlim 28676  df-hcau 28677  df-sh 28911  df-ch 28925  df-oc 28956  df-ch0 28957  df-shs 29012  df-span 29013  df-chj 29014  df-chsup 29015  df-pjh 29099  df-cv 29983  df-at 30042
This theorem is referenced by:  mdsymlem6  30112
  Copyright terms: Public domain W3C validator