Theorem mdsymlem5 32796

Description: Lemma for mdsymi 32800. (Contributed by NM, 2-Jul-2004.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdsymlem1.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
mdsymlem1.2	⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
mdsymlem1.3	⊢ 𝐶 = (𝐴 ∨ℋ 𝑝)

Assertion

Ref	Expression
mdsymlem5	⊢ ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → (¬ 𝑞 = 𝑝 → ((𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵)) → (((𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑐) ∧ 𝑝 ∈ HAtoms) → (𝑝 ⊆ 𝑐 → 𝑝 ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴))))))

Distinct variable groups:   𝑟,𝑞,𝐶   𝑝,𝑐,𝑞,𝑟,𝐴   𝐵,𝑐,𝑝,𝑞,𝑟

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑝, 𝑐)

Proof of Theorem mdsymlem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ne 2962	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑞 ≠ 𝑝 ↔ ¬ 𝑞 = 𝑝)
2		atnemeq0 32766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ∈ HAtoms) → (𝑞 ≠ 𝑝 ↔ (𝑞 ∩ 𝑝) = 0ℋ))
3	1, 2	bitr3id 288	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ∈ HAtoms) → (¬ 𝑞 = 𝑝 ↔ (𝑞 ∩ 𝑝) = 0ℋ))
4	3	anbi2d 642	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ∈ HAtoms) → ((𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝) ↔ (𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ∩ 𝑝) = 0ℋ)))
5	4	3adant3 1150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → ((𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝) ↔ (𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ∩ 𝑝) = 0ℋ)))
6		atelch 32733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑞 ∈ HAtoms → 𝑞 ∈ Cℋ )
7		atexch 32770	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → ((𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ∩ 𝑝) = 0ℋ) → 𝑟 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑝)))
8	6, 7	syl3an1 1181	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → ((𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ∩ 𝑝) = 0ℋ) → 𝑟 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑝)))
9	5, 8	sylbid 243	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → ((𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝) → 𝑟 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑝)))
10	9	expd 421	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → (𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) → (¬ 𝑞 = 𝑝 → 𝑟 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑝))))
11	10	3com23 1144	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ∈ HAtoms) → (𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) → (¬ 𝑞 = 𝑝 → 𝑟 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑝))))
12	11	3expa 1136	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ 𝑝 ∈ HAtoms) → (𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) → (¬ 𝑞 = 𝑝 → 𝑟 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑝))))
13	12	adantrl 729	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ HAtoms)) → (𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) → (¬ 𝑞 = 𝑝 → 𝑟 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑝))))
14	13	adantrd 497	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ HAtoms)) → ((𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵)) → (¬ 𝑞 = 𝑝 → 𝑟 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑝))))
15	14	imp32 424	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ HAtoms)) ∧ ((𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝)) → 𝑟 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑝))
16	15	adantrl 729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ HAtoms)) ∧ (𝐴 ⊆ 𝑐 ∧ ((𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝))) → 𝑟 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑝))
17	16	adantrr 730	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ HAtoms)) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝑐 ∧ ((𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝)) ∧ 𝑝 ⊆ 𝑐)) → 𝑟 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑝))
18		simplrl 789	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝) → 𝑞 ⊆ 𝐴)
19		atelch 32733	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑝 ∈ HAtoms → 𝑝 ∈ Cℋ )
20	19	anim1i 627	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) → (𝑝 ∈ Cℋ ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ))
21	20	ancoms 464	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ HAtoms) → (𝑝 ∈ Cℋ ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ))
22		mdsymlem1.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
23		chub2 31897	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) → 𝐴 ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴))
24	22, 23	mpan 703	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑐 ∈ Cℋ → 𝐴 ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴))
25		sstr 3948	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴)) → 𝑞 ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴))
26	24, 25	sylan2 605	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) → 𝑞 ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴))
27		chub1 31896	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → 𝑐 ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴))
28	22, 27	mpan2 704	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑐 ∈ Cℋ → 𝑐 ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴))
29		sstr 3948	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑝 ⊆ 𝑐 ∧ 𝑐 ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴)) → 𝑝 ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴))
30	28, 29	sylan2 605	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑝 ⊆ 𝑐 ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) → 𝑝 ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴))
31	26, 30	anim12i 625	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) ∧ (𝑝 ⊆ 𝑐 ∧ 𝑐 ∈ Cℋ )) → (𝑞 ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴) ∧ 𝑝 ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴)))
32	31	anandirs 692	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ⊆ 𝑐) ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) → (𝑞 ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴) ∧ 𝑝 ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴)))
33	32	ancoms 464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑐 ∈ Cℋ ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ⊆ 𝑐)) → (𝑞 ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴) ∧ 𝑝 ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴)))
34	33	adantll 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ⊆ 𝑐)) → (𝑞 ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴) ∧ 𝑝 ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴)))
35		chjcl 31746	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → (𝑐 ∨ℋ 𝐴) ∈ Cℋ )
36	22, 35	mpan2 704	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑐 ∈ Cℋ → (𝑐 ∨ℋ 𝐴) ∈ Cℋ )
37		chlub 31898	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ Cℋ ∧ (𝑐 ∨ℋ 𝐴) ∈ Cℋ ) → ((𝑞 ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴) ∧ 𝑝 ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴)) ↔ (𝑞 ∨ℋ 𝑝) ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴)))
38	36, 37	syl3an3 1183	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ Cℋ ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) → ((𝑞 ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴) ∧ 𝑝 ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴)) ↔ (𝑞 ∨ℋ 𝑝) ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴)))
39	38	3expa 1136	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) → ((𝑞 ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴) ∧ 𝑝 ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴)) ↔ (𝑞 ∨ℋ 𝑝) ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴)))
40	39	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ⊆ 𝑐)) → ((𝑞 ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴) ∧ 𝑝 ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴)) ↔ (𝑞 ∨ℋ 𝑝) ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴)))
41	34, 40	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ⊆ 𝑐)) → (𝑞 ∨ℋ 𝑝) ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴))
42	41	adantrl 729	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐴 ⊆ 𝑐 ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ⊆ 𝑐))) → (𝑞 ∨ℋ 𝑝) ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴))
43		chlejb2 31902	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) → (𝐴 ⊆ 𝑐 ↔ (𝑐 ∨ℋ 𝐴) = 𝑐))
44	22, 43	mpan 703	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑐 ∈ Cℋ → (𝐴 ⊆ 𝑐 ↔ (𝑐 ∨ℋ 𝐴) = 𝑐))
45	44	biimpa 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑐) → (𝑐 ∨ℋ 𝐴) = 𝑐)
46	45	ad2ant2lr 761	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐴 ⊆ 𝑐 ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ⊆ 𝑐))) → (𝑐 ∨ℋ 𝐴) = 𝑐)
47	42, 46	sseqtrd 3976	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐴 ⊆ 𝑐 ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ⊆ 𝑐))) → (𝑞 ∨ℋ 𝑝) ⊆ 𝑐)
48	47	exp45 444	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) → (𝐴 ⊆ 𝑐 → (𝑞 ⊆ 𝐴 → (𝑝 ⊆ 𝑐 → (𝑞 ∨ℋ 𝑝) ⊆ 𝑐))))
49	48	anasss 472	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑞 ∈ Cℋ ∧ (𝑝 ∈ Cℋ ∧ 𝑐 ∈ Cℋ )) → (𝐴 ⊆ 𝑐 → (𝑞 ⊆ 𝐴 → (𝑝 ⊆ 𝑐 → (𝑞 ∨ℋ 𝑝) ⊆ 𝑐))))
50	6, 21, 49	syl2an 608	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ (𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ HAtoms)) → (𝐴 ⊆ 𝑐 → (𝑞 ⊆ 𝐴 → (𝑝 ⊆ 𝑐 → (𝑞 ∨ℋ 𝑝) ⊆ 𝑐))))
51	50	adantlr 728	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ HAtoms)) → (𝐴 ⊆ 𝑐 → (𝑞 ⊆ 𝐴 → (𝑝 ⊆ 𝑐 → (𝑞 ∨ℋ 𝑝) ⊆ 𝑐))))
52	18, 51	syl7 75	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ HAtoms)) → (𝐴 ⊆ 𝑐 → (((𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝) → (𝑝 ⊆ 𝑐 → (𝑞 ∨ℋ 𝑝) ⊆ 𝑐))))
53	52	imp44 434	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ HAtoms)) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝑐 ∧ ((𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝)) ∧ 𝑝 ⊆ 𝑐)) → (𝑞 ∨ℋ 𝑝) ⊆ 𝑐)
54	17, 53	sstrd 3950	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ HAtoms)) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝑐 ∧ ((𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝)) ∧ 𝑝 ⊆ 𝑐)) → 𝑟 ⊆ 𝑐)
55		simplrr 790	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝) → 𝑟 ⊆ 𝐵)
56	55	ad2antlr 740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ⊆ 𝑐 ∧ ((𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝)) ∧ 𝑝 ⊆ 𝑐) → 𝑟 ⊆ 𝐵)
57	56	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ HAtoms)) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝑐 ∧ ((𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝)) ∧ 𝑝 ⊆ 𝑐)) → 𝑟 ⊆ 𝐵)
58	54, 57	ssind 4196	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ HAtoms)) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝑐 ∧ ((𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝)) ∧ 𝑝 ⊆ 𝑐)) → 𝑟 ⊆ (𝑐 ∩ 𝐵))
59		atelch 32733	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑟 ∈ HAtoms → 𝑟 ∈ Cℋ )
60	6, 59	anim12i 625	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → (𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑟 ∈ Cℋ ))
61		mdsymlem1.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
62		chincl 31888	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝑐 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ )
63	61, 62	mpan2 704	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑐 ∈ Cℋ → (𝑐 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ )
64		chlej1 31899	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑟 ∈ Cℋ ∧ (𝑐 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑐 ∩ 𝐵)) → (𝑟 ∨ℋ 𝑞) ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑞))
65	64	ex 418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑟 ∈ Cℋ ∧ (𝑐 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ∈ Cℋ ) → (𝑟 ⊆ (𝑐 ∩ 𝐵) → (𝑟 ∨ℋ 𝑞) ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑞)))
66	63, 65	syl3an2 1182	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑟 ∈ Cℋ ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ∈ Cℋ ) → (𝑟 ⊆ (𝑐 ∩ 𝐵) → (𝑟 ∨ℋ 𝑞) ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑞)))
67	66	3comr 1143	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑟 ∈ Cℋ ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) → (𝑟 ⊆ (𝑐 ∩ 𝐵) → (𝑟 ∨ℋ 𝑞) ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑞)))
68	67	3expa 1136	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑟 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) → (𝑟 ⊆ (𝑐 ∩ 𝐵) → (𝑟 ∨ℋ 𝑞) ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑞)))
69	68	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑟 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑞 ⊆ 𝐴) → (𝑟 ⊆ (𝑐 ∩ 𝐵) → (𝑟 ∨ℋ 𝑞) ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑞)))
70		chlej2 31900	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ∧ (𝑐 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ ) ∧ 𝑞 ⊆ 𝐴) → ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑞) ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴))
71	22, 70	mp3anl2 1485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑞 ∈ Cℋ ∧ (𝑐 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ ) ∧ 𝑞 ⊆ 𝐴) → ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑞) ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴))
72	63, 71	sylanl2 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑞 ⊆ 𝐴) → ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑞) ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴))
73	72	adantllr 732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑟 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑞 ⊆ 𝐴) → ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑞) ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴))
74		sstr2 3947	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑟 ∨ℋ 𝑞) ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑞) → (((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑞) ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴) → (𝑟 ∨ℋ 𝑞) ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴)))
75	73, 74	syl5com 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑟 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑞 ⊆ 𝐴) → ((𝑟 ∨ℋ 𝑞) ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑞) → (𝑟 ∨ℋ 𝑞) ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴)))
76		chjcom 31895	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑟 ∈ Cℋ ) → (𝑞 ∨ℋ 𝑟) = (𝑟 ∨ℋ 𝑞))
77	76	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑟 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑞 ⊆ 𝐴) → (𝑞 ∨ℋ 𝑟) = (𝑟 ∨ℋ 𝑞))
78	77	sseq1d 3971	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑟 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑞 ⊆ 𝐴) → ((𝑞 ∨ℋ 𝑟) ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴) ↔ (𝑟 ∨ℋ 𝑞) ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴)))
79	75, 78	sylibrd 262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑟 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑞 ⊆ 𝐴) → ((𝑟 ∨ℋ 𝑞) ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑞) → (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴)))
80	69, 79	syld 48	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑟 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑞 ⊆ 𝐴) → (𝑟 ⊆ (𝑐 ∩ 𝐵) → (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴)))
81	80	adantrl 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑟 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) ∧ (𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ 𝑞 ⊆ 𝐴)) → (𝑟 ⊆ (𝑐 ∩ 𝐵) → (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴)))
82		sstr2 3947	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) → ((𝑞 ∨ℋ 𝑟) ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴) → 𝑝 ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴)))
83	82	ad2antrl 741	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑟 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) ∧ (𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ 𝑞 ⊆ 𝐴)) → ((𝑞 ∨ℋ 𝑟) ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴) → 𝑝 ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴)))
84	81, 83	syld 48	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑟 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) ∧ (𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ 𝑞 ⊆ 𝐴)) → (𝑟 ⊆ (𝑐 ∩ 𝐵) → 𝑝 ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴)))
85	84	exp32 426	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑟 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) → (𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) → (𝑞 ⊆ 𝐴 → (𝑟 ⊆ (𝑐 ∩ 𝐵) → 𝑝 ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴)))))
86	60, 85	sylan 592	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) → (𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) → (𝑞 ⊆ 𝐴 → (𝑟 ⊆ (𝑐 ∩ 𝐵) → 𝑝 ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴)))))
87	86	adantrr 730	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ HAtoms)) → (𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) → (𝑞 ⊆ 𝐴 → (𝑟 ⊆ (𝑐 ∩ 𝐵) → 𝑝 ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴)))))
88	87	imp31 423	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ HAtoms)) ∧ 𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟)) ∧ 𝑞 ⊆ 𝐴) → (𝑟 ⊆ (𝑐 ∩ 𝐵) → 𝑝 ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴)))
89	88	adantrr 730	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ HAtoms)) ∧ 𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟)) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵)) → (𝑟 ⊆ (𝑐 ∩ 𝐵) → 𝑝 ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴)))
90	89	anasss 472	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ HAtoms)) ∧ (𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵))) → (𝑟 ⊆ (𝑐 ∩ 𝐵) → 𝑝 ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴)))
91	90	adantrr 730	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ HAtoms)) ∧ ((𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝)) → (𝑟 ⊆ (𝑐 ∩ 𝐵) → 𝑝 ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴)))
92	91	adantrl 729	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ HAtoms)) ∧ (𝐴 ⊆ 𝑐 ∧ ((𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝))) → (𝑟 ⊆ (𝑐 ∩ 𝐵) → 𝑝 ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴)))
93	92	adantrr 730	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ HAtoms)) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝑐 ∧ ((𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝)) ∧ 𝑝 ⊆ 𝑐)) → (𝑟 ⊆ (𝑐 ∩ 𝐵) → 𝑝 ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴)))
94	58, 93	mpd 16	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ HAtoms)) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝑐 ∧ ((𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝)) ∧ 𝑝 ⊆ 𝑐)) → 𝑝 ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴))
95	94	exp32 426	. . . . . 6 ⊢ (((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ HAtoms)) → ((𝐴 ⊆ 𝑐 ∧ ((𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝)) → (𝑝 ⊆ 𝑐 → 𝑝 ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴))))
96	95	exp4d 439	. . . . 5 ⊢ (((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ HAtoms)) → (𝐴 ⊆ 𝑐 → ((𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵)) → (¬ 𝑞 = 𝑝 → (𝑝 ⊆ 𝑐 → 𝑝 ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴))))))
97	96	exp32 426	. . . 4 ⊢ ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → (𝑐 ∈ Cℋ → (𝑝 ∈ HAtoms → (𝐴 ⊆ 𝑐 → ((𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵)) → (¬ 𝑞 = 𝑝 → (𝑝 ⊆ 𝑐 → 𝑝 ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴))))))))
98	97	com34 92	. . 3 ⊢ ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → (𝑐 ∈ Cℋ → (𝐴 ⊆ 𝑐 → (𝑝 ∈ HAtoms → ((𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵)) → (¬ 𝑞 = 𝑝 → (𝑝 ⊆ 𝑐 → 𝑝 ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴))))))))
99	98	imp4c 429	. 2 ⊢ ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → (((𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑐) ∧ 𝑝 ∈ HAtoms) → ((𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵)) → (¬ 𝑞 = 𝑝 → (𝑝 ⊆ 𝑐 → 𝑝 ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴))))))
100	99	com24 96	1 ⊢ ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → (¬ 𝑞 = 𝑝 → ((𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵)) → (((𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑐) ∧ 𝑝 ∈ HAtoms) → (𝑝 ⊆ 𝑐 → 𝑝 ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴))))))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961   ∩ cin 3907   ⊆ wss 3908  (class class class)co 7423   C_ℋ cch 31318   ∨_ℋ chj 31322  0_ℋc0h 31324  HAtomscat 31354

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-inf2 9620  ax-cc 10437  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-pre-sup 11196  ax-addf 11197  ax-mulf 11198  ax-hilex 31388  ax-hfvadd 31389  ax-hvcom 31390  ax-hvass 31391  ax-hv0cl 31392  ax-hvaddid 31393  ax-hfvmul 31394  ax-hvmulid 31395  ax-hvmulass 31396  ax-hvdistr1 31397  ax-hvdistr2 31398  ax-hvmul0 31399  ax-hfi 31468  ax-his1 31471  ax-his2 31472  ax-his3 31473  ax-his4 31474  ax-hcompl 31591

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-iin 4964  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-se 5620  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-of 7687  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-oadd 8466  df-omul 8467  df-er 8703  df-map 8835  df-pm 8836  df-ixp 8905  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-fi 9381  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-card 9944  df-acn 9947  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12523  df-z 12610  df-dec 12730  df-uz 12881  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-ioo 13394  df-ico 13396  df-icc 13397  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-fl 13845  df-seq 14058  df-exp 14118  df-hash 14387  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313  df-clim 15565  df-rlim 15566  df-sum 15764  df-struct 17232  df-sets 17249  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-ress 17316  df-plusg 17348  df-mulr 17349  df-starv 17350  df-sca 17351  df-vsca 17352  df-ip 17353  df-tset 17354  df-ple 17355  df-ds 17357  df-unif 17358  df-hom 17359  df-cco 17360  df-rest 17500  df-topn 17501  df-0g 17519  df-gsum 17520  df-topgen 17521  df-pt 17522  df-prds 17525  df-xrs 17581  df-qtop 17586  df-imas 17587  df-xps 17589  df-mre 17663  df-mrc 17664  df-acs 17666  df-mgm 18723  df-sgrp 18806  df-mnd 18822  df-submnd 18873  df-mulg 19165  df-cntz 19418  df-cmn 19883  df-psmet 21551  df-xmet 21552  df-met 21553  df-bl 21554  df-mopn 21555  df-fbas 21556  df-fg 21557  df-cnfld 21560  df-top 23088  df-topon 23105  df-topsp 23127  df-bases 23140  df-cld 23213  df-ntr 23214  df-cls 23215  df-nei 23292  df-cn 23421  df-cnp 23422  df-lm 23423  df-haus 23509  df-tx 23756  df-hmeo 23949  df-fil 24040  df-fm 24132  df-flim 24133  df-flf 24134  df-xms 24514  df-ms 24515  df-tms 24516  df-cfil 25451  df-cau 25452  df-cmet 25453  df-grpo 30882  df-gid 30883  df-ginv 30884  df-gdiv 30885  df-ablo 30934  df-vc 30948  df-nv 30981  df-va 30984  df-ba 30985  df-sm 30986  df-0v 30987  df-vs 30988  df-nmcv 30989  df-ims 30990  df-dip 31090  df-ssp 31111  df-ph 31202  df-cbn 31252  df-hnorm 31357  df-hba 31358  df-hvsub 31360  df-hlim 31361  df-hcau 31362  df-sh 31596  df-ch 31610  df-oc 31641  df-ch0 31642  df-shs 31697  df-span 31698  df-chj 31699  df-chsup 31700  df-pjh 31784  df-cv 32668  df-at 32727

This theorem is used by:  mdsymlem6  32797