HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  mdsymlem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdsymlem5 29593
Description: Lemma for mdsymi 29597. (Contributed by NM, 2-Jul-2004.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mdsymlem1.1 𝐴C
mdsymlem1.2 𝐵C
mdsymlem1.3 𝐶 = (𝐴 𝑝)
Assertion
Ref Expression
mdsymlem5 ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → (¬ 𝑞 = 𝑝 → ((𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵)) → (((𝑐C𝐴𝑐) ∧ 𝑝 ∈ HAtoms) → (𝑝𝑐𝑝 ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴))))))
Distinct variable groups:   𝑟,𝑞,𝐶   𝑝,𝑐,𝑞,𝑟,𝐴   𝐵,𝑐,𝑝,𝑞,𝑟
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑝,𝑐)

Proof of Theorem mdsymlem5
StepHypRef Expression
1 df-ne 2979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑞𝑝 ↔ ¬ 𝑞 = 𝑝)
2 atnemeq0 29563 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ∈ HAtoms) → (𝑞𝑝 ↔ (𝑞𝑝) = 0))
31, 2syl5bbr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ∈ HAtoms) → (¬ 𝑞 = 𝑝 ↔ (𝑞𝑝) = 0))
43anbi2d 616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ∈ HAtoms) → ((𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝) ↔ (𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ (𝑞𝑝) = 0)))
543adant3 1155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → ((𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝) ↔ (𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ (𝑞𝑝) = 0)))
6 atelch 29530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑞 ∈ HAtoms → 𝑞C )
7 atexch 29567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑞C𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → ((𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ (𝑞𝑝) = 0) → 𝑟 ⊆ (𝑞 𝑝)))
86, 7syl3an1 1195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → ((𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ (𝑞𝑝) = 0) → 𝑟 ⊆ (𝑞 𝑝)))
95, 8sylbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → ((𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝) → 𝑟 ⊆ (𝑞 𝑝)))
109expd 402 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → (𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) → (¬ 𝑞 = 𝑝𝑟 ⊆ (𝑞 𝑝))))
11103com23 1149 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ∈ HAtoms) → (𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) → (¬ 𝑞 = 𝑝𝑟 ⊆ (𝑞 𝑝))))
12113expa 1140 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ 𝑝 ∈ HAtoms) → (𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) → (¬ 𝑞 = 𝑝𝑟 ⊆ (𝑞 𝑝))))
1312adantrl 698 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐C𝑝 ∈ HAtoms)) → (𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) → (¬ 𝑞 = 𝑝𝑟 ⊆ (𝑞 𝑝))))
1413adantrd 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐C𝑝 ∈ HAtoms)) → ((𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵)) → (¬ 𝑞 = 𝑝𝑟 ⊆ (𝑞 𝑝))))
1514imp32 407 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐C𝑝 ∈ HAtoms)) ∧ ((𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵)) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝)) → 𝑟 ⊆ (𝑞 𝑝))
1615adantrl 698 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐C𝑝 ∈ HAtoms)) ∧ (𝐴𝑐 ∧ ((𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵)) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝))) → 𝑟 ⊆ (𝑞 𝑝))
1716adantrr 699 . . . . . . . . . 10 ((((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐C𝑝 ∈ HAtoms)) ∧ ((𝐴𝑐 ∧ ((𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵)) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝)) ∧ 𝑝𝑐)) → 𝑟 ⊆ (𝑞 𝑝))
18 simplrl 786 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵)) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝) → 𝑞𝐴)
19 atelch 29530 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑝 ∈ HAtoms → 𝑝C )
2019anim1i 604 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑐C ) → (𝑝C𝑐C ))
2120ancoms 448 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑐C𝑝 ∈ HAtoms) → (𝑝C𝑐C ))
22 mdsymlem1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝐴C
23 chub2 28694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐴C𝑐C ) → 𝐴 ⊆ (𝑐 𝐴))
2422, 23mpan 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑐C𝐴 ⊆ (𝑐 𝐴))
25 sstr 3806 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑞𝐴𝐴 ⊆ (𝑐 𝐴)) → 𝑞 ⊆ (𝑐 𝐴))
2624, 25sylan2 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑞𝐴𝑐C ) → 𝑞 ⊆ (𝑐 𝐴))
27 chub1 28693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑐C𝐴C ) → 𝑐 ⊆ (𝑐 𝐴))
2822, 27mpan2 674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑐C𝑐 ⊆ (𝑐 𝐴))
29 sstr 3806 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑝𝑐𝑐 ⊆ (𝑐 𝐴)) → 𝑝 ⊆ (𝑐 𝐴))
3028, 29sylan2 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑝𝑐𝑐C ) → 𝑝 ⊆ (𝑐 𝐴))
3126, 30anim12i 602 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑞𝐴𝑐C ) ∧ (𝑝𝑐𝑐C )) → (𝑞 ⊆ (𝑐 𝐴) ∧ 𝑝 ⊆ (𝑐 𝐴)))
3231anandirs 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑞𝐴𝑝𝑐) ∧ 𝑐C ) → (𝑞 ⊆ (𝑐 𝐴) ∧ 𝑝 ⊆ (𝑐 𝐴)))
3332ancoms 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑐C ∧ (𝑞𝐴𝑝𝑐)) → (𝑞 ⊆ (𝑐 𝐴) ∧ 𝑝 ⊆ (𝑐 𝐴)))
3433adantll 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑞C𝑝C ) ∧ 𝑐C ) ∧ (𝑞𝐴𝑝𝑐)) → (𝑞 ⊆ (𝑐 𝐴) ∧ 𝑝 ⊆ (𝑐 𝐴)))
35 chjcl 28543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑐C𝐴C ) → (𝑐 𝐴) ∈ C )
3622, 35mpan2 674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑐C → (𝑐 𝐴) ∈ C )
37 chlub 28695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑞C𝑝C ∧ (𝑐 𝐴) ∈ C ) → ((𝑞 ⊆ (𝑐 𝐴) ∧ 𝑝 ⊆ (𝑐 𝐴)) ↔ (𝑞 𝑝) ⊆ (𝑐 𝐴)))
3836, 37syl3an3 1198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑞C𝑝C𝑐C ) → ((𝑞 ⊆ (𝑐 𝐴) ∧ 𝑝 ⊆ (𝑐 𝐴)) ↔ (𝑞 𝑝) ⊆ (𝑐 𝐴)))
39383expa 1140 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑞C𝑝C ) ∧ 𝑐C ) → ((𝑞 ⊆ (𝑐 𝐴) ∧ 𝑝 ⊆ (𝑐 𝐴)) ↔ (𝑞 𝑝) ⊆ (𝑐 𝐴)))
4039adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑞C𝑝C ) ∧ 𝑐C ) ∧ (𝑞𝐴𝑝𝑐)) → ((𝑞 ⊆ (𝑐 𝐴) ∧ 𝑝 ⊆ (𝑐 𝐴)) ↔ (𝑞 𝑝) ⊆ (𝑐 𝐴)))
4134, 40mpbid 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑞C𝑝C ) ∧ 𝑐C ) ∧ (𝑞𝐴𝑝𝑐)) → (𝑞 𝑝) ⊆ (𝑐 𝐴))
4241adantrl 698 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑞C𝑝C ) ∧ 𝑐C ) ∧ (𝐴𝑐 ∧ (𝑞𝐴𝑝𝑐))) → (𝑞 𝑝) ⊆ (𝑐 𝐴))
43 chlejb2 28699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴C𝑐C ) → (𝐴𝑐 ↔ (𝑐 𝐴) = 𝑐))
4422, 43mpan 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑐C → (𝐴𝑐 ↔ (𝑐 𝐴) = 𝑐))
4544biimpa 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑐C𝐴𝑐) → (𝑐 𝐴) = 𝑐)
4645ad2ant2lr 745 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑞C𝑝C ) ∧ 𝑐C ) ∧ (𝐴𝑐 ∧ (𝑞𝐴𝑝𝑐))) → (𝑐 𝐴) = 𝑐)
4742, 46sseqtrd 3838 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑞C𝑝C ) ∧ 𝑐C ) ∧ (𝐴𝑐 ∧ (𝑞𝐴𝑝𝑐))) → (𝑞 𝑝) ⊆ 𝑐)
4847exp45 427 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑞C𝑝C ) ∧ 𝑐C ) → (𝐴𝑐 → (𝑞𝐴 → (𝑝𝑐 → (𝑞 𝑝) ⊆ 𝑐))))
4948anasss 454 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑞C ∧ (𝑝C𝑐C )) → (𝐴𝑐 → (𝑞𝐴 → (𝑝𝑐 → (𝑞 𝑝) ⊆ 𝑐))))
506, 21, 49syl2an 585 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ (𝑐C𝑝 ∈ HAtoms)) → (𝐴𝑐 → (𝑞𝐴 → (𝑝𝑐 → (𝑞 𝑝) ⊆ 𝑐))))
5150adantlr 697 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐C𝑝 ∈ HAtoms)) → (𝐴𝑐 → (𝑞𝐴 → (𝑝𝑐 → (𝑞 𝑝) ⊆ 𝑐))))
5218, 51syl7 74 . . . . . . . . . . 11 (((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐C𝑝 ∈ HAtoms)) → (𝐴𝑐 → (((𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵)) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝) → (𝑝𝑐 → (𝑞 𝑝) ⊆ 𝑐))))
5352imp44 417 . . . . . . . . . 10 ((((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐C𝑝 ∈ HAtoms)) ∧ ((𝐴𝑐 ∧ ((𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵)) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝)) ∧ 𝑝𝑐)) → (𝑞 𝑝) ⊆ 𝑐)
5417, 53sstrd 3808 . . . . . . . . 9 ((((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐C𝑝 ∈ HAtoms)) ∧ ((𝐴𝑐 ∧ ((𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵)) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝)) ∧ 𝑝𝑐)) → 𝑟𝑐)
55 simplrr 787 . . . . . . . . . . 11 (((𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵)) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝) → 𝑟𝐵)
5655ad2antlr 709 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑐 ∧ ((𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵)) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝)) ∧ 𝑝𝑐) → 𝑟𝐵)
5756adantl 469 . . . . . . . . 9 ((((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐C𝑝 ∈ HAtoms)) ∧ ((𝐴𝑐 ∧ ((𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵)) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝)) ∧ 𝑝𝑐)) → 𝑟𝐵)
5854, 57ssind 4033 . . . . . . . 8 ((((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐C𝑝 ∈ HAtoms)) ∧ ((𝐴𝑐 ∧ ((𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵)) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝)) ∧ 𝑝𝑐)) → 𝑟 ⊆ (𝑐𝐵))
59 atelch 29530 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑟 ∈ HAtoms → 𝑟C )
606, 59anim12i 602 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → (𝑞C𝑟C ))
61 mdsymlem1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝐵C
62 chincl 28685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑐C𝐵C ) → (𝑐𝐵) ∈ C )
6361, 62mpan2 674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑐C → (𝑐𝐵) ∈ C )
64 chlej1 28696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑟C ∧ (𝑐𝐵) ∈ C𝑞C ) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑐𝐵)) → (𝑟 𝑞) ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝑞))
6564ex 399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑟C ∧ (𝑐𝐵) ∈ C𝑞C ) → (𝑟 ⊆ (𝑐𝐵) → (𝑟 𝑞) ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝑞)))
6663, 65syl3an2 1196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑟C𝑐C𝑞C ) → (𝑟 ⊆ (𝑐𝐵) → (𝑟 𝑞) ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝑞)))
67663comr 1148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑞C𝑟C𝑐C ) → (𝑟 ⊆ (𝑐𝐵) → (𝑟 𝑞) ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝑞)))
68673expa 1140 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑞C𝑟C ) ∧ 𝑐C ) → (𝑟 ⊆ (𝑐𝐵) → (𝑟 𝑞) ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝑞)))
6968adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑞C𝑟C ) ∧ 𝑐C ) ∧ 𝑞𝐴) → (𝑟 ⊆ (𝑐𝐵) → (𝑟 𝑞) ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝑞)))
70 chlej2 28697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑞C𝐴C ∧ (𝑐𝐵) ∈ C ) ∧ 𝑞𝐴) → ((𝑐𝐵) ∨ 𝑞) ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴))
7122, 70mp3anl2 1573 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑞C ∧ (𝑐𝐵) ∈ C ) ∧ 𝑞𝐴) → ((𝑐𝐵) ∨ 𝑞) ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴))
7263, 71sylanl2 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑞C𝑐C ) ∧ 𝑞𝐴) → ((𝑐𝐵) ∨ 𝑞) ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴))
7372adantllr 701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑞C𝑟C ) ∧ 𝑐C ) ∧ 𝑞𝐴) → ((𝑐𝐵) ∨ 𝑞) ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴))
74 sstr2 3805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑟 𝑞) ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝑞) → (((𝑐𝐵) ∨ 𝑞) ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴) → (𝑟 𝑞) ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴)))
7573, 74syl5com 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑞C𝑟C ) ∧ 𝑐C ) ∧ 𝑞𝐴) → ((𝑟 𝑞) ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝑞) → (𝑟 𝑞) ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴)))
76 chjcom 28692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑞C𝑟C ) → (𝑞 𝑟) = (𝑟 𝑞))
7776ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑞C𝑟C ) ∧ 𝑐C ) ∧ 𝑞𝐴) → (𝑞 𝑟) = (𝑟 𝑞))
7877sseq1d 3829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑞C𝑟C ) ∧ 𝑐C ) ∧ 𝑞𝐴) → ((𝑞 𝑟) ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴) ↔ (𝑟 𝑞) ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴)))
7975, 78sylibrd 250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑞C𝑟C ) ∧ 𝑐C ) ∧ 𝑞𝐴) → ((𝑟 𝑞) ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝑞) → (𝑞 𝑟) ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴)))
8069, 79syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑞C𝑟C ) ∧ 𝑐C ) ∧ 𝑞𝐴) → (𝑟 ⊆ (𝑐𝐵) → (𝑞 𝑟) ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴)))
8180adantrl 698 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑞C𝑟C ) ∧ 𝑐C ) ∧ (𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ 𝑞𝐴)) → (𝑟 ⊆ (𝑐𝐵) → (𝑞 𝑟) ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴)))
82 sstr2 3805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) → ((𝑞 𝑟) ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴) → 𝑝 ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴)))
8382ad2antrl 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑞C𝑟C ) ∧ 𝑐C ) ∧ (𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ 𝑞𝐴)) → ((𝑞 𝑟) ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴) → 𝑝 ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴)))
8481, 83syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑞C𝑟C ) ∧ 𝑐C ) ∧ (𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ 𝑞𝐴)) → (𝑟 ⊆ (𝑐𝐵) → 𝑝 ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴)))
8584exp32 409 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑞C𝑟C ) ∧ 𝑐C ) → (𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) → (𝑞𝐴 → (𝑟 ⊆ (𝑐𝐵) → 𝑝 ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴)))))
8660, 85sylan 571 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ 𝑐C ) → (𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) → (𝑞𝐴 → (𝑟 ⊆ (𝑐𝐵) → 𝑝 ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴)))))
8786adantrr 699 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐C𝑝 ∈ HAtoms)) → (𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) → (𝑞𝐴 → (𝑟 ⊆ (𝑐𝐵) → 𝑝 ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴)))))
8887imp31 406 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐C𝑝 ∈ HAtoms)) ∧ 𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟)) ∧ 𝑞𝐴) → (𝑟 ⊆ (𝑐𝐵) → 𝑝 ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴)))
8988adantrr 699 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐C𝑝 ∈ HAtoms)) ∧ 𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟)) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵)) → (𝑟 ⊆ (𝑐𝐵) → 𝑝 ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴)))
9089anasss 454 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐C𝑝 ∈ HAtoms)) ∧ (𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵))) → (𝑟 ⊆ (𝑐𝐵) → 𝑝 ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴)))
9190adantrr 699 . . . . . . . . . 10 ((((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐C𝑝 ∈ HAtoms)) ∧ ((𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵)) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝)) → (𝑟 ⊆ (𝑐𝐵) → 𝑝 ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴)))
9291adantrl 698 . . . . . . . . 9 ((((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐C𝑝 ∈ HAtoms)) ∧ (𝐴𝑐 ∧ ((𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵)) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝))) → (𝑟 ⊆ (𝑐𝐵) → 𝑝 ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴)))
9392adantrr 699 . . . . . . . 8 ((((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐C𝑝 ∈ HAtoms)) ∧ ((𝐴𝑐 ∧ ((𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵)) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝)) ∧ 𝑝𝑐)) → (𝑟 ⊆ (𝑐𝐵) → 𝑝 ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴)))
9458, 93mpd 15 . . . . . . 7 ((((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐C𝑝 ∈ HAtoms)) ∧ ((𝐴𝑐 ∧ ((𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵)) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝)) ∧ 𝑝𝑐)) → 𝑝 ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴))
9594exp32 409 . . . . . 6 (((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐C𝑝 ∈ HAtoms)) → ((𝐴𝑐 ∧ ((𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵)) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝)) → (𝑝𝑐𝑝 ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴))))
9695exp4d 422 . . . . 5 (((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐C𝑝 ∈ HAtoms)) → (𝐴𝑐 → ((𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵)) → (¬ 𝑞 = 𝑝 → (𝑝𝑐𝑝 ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴))))))
9796exp32 409 . . . 4 ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → (𝑐C → (𝑝 ∈ HAtoms → (𝐴𝑐 → ((𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵)) → (¬ 𝑞 = 𝑝 → (𝑝𝑐𝑝 ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴))))))))
9897com34 91 . . 3 ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → (𝑐C → (𝐴𝑐 → (𝑝 ∈ HAtoms → ((𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵)) → (¬ 𝑞 = 𝑝 → (𝑝𝑐𝑝 ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴))))))))
9998imp4c 412 . 2 ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → (((𝑐C𝐴𝑐) ∧ 𝑝 ∈ HAtoms) → ((𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵)) → (¬ 𝑞 = 𝑝 → (𝑝𝑐𝑝 ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴))))))
10099com24 95 1 ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → (¬ 𝑞 = 𝑝 → ((𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵)) → (((𝑐C𝐴𝑐) ∧ 𝑝 ∈ HAtoms) → (𝑝𝑐𝑝 ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1100   = wceq 1637  wcel 2156  wne 2978  cin 3768  wss 3769  (class class class)co 6870   C cch 28113   chj 28117  0c0h 28119  HAtomscat 28149
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5096  ax-un 7175  ax-inf2 8781  ax-cc 9538  ax-cnex 10273  ax-resscn 10274  ax-1cn 10275  ax-icn 10276  ax-addcl 10277  ax-addrcl 10278  ax-mulcl 10279  ax-mulrcl 10280  ax-mulcom 10281  ax-addass 10282  ax-mulass 10283  ax-distr 10284  ax-i2m1 10285  ax-1ne0 10286  ax-1rid 10287  ax-rnegex 10288  ax-rrecex 10289  ax-cnre 10290  ax-pre-lttri 10291  ax-pre-lttrn 10292  ax-pre-ltadd 10293  ax-pre-mulgt0 10294  ax-pre-sup 10295  ax-addf 10296  ax-mulf 10297  ax-hilex 28183  ax-hfvadd 28184  ax-hvcom 28185  ax-hvass 28186  ax-hv0cl 28187  ax-hvaddid 28188  ax-hfvmul 28189  ax-hvmulid 28190  ax-hvmulass 28191  ax-hvdistr1 28192  ax-hvdistr2 28193  ax-hvmul0 28194  ax-hfi 28263  ax-his1 28266  ax-his2 28267  ax-his3 28268  ax-his4 28269  ax-hcompl 28386
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-fal 1651  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ne 2979  df-nel 3082  df-ral 3101  df-rex 3102  df-reu 3103  df-rmo 3104  df-rab 3105  df-v 3393  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4117  df-if 4280  df-pw 4353  df-sn 4371  df-pr 4373  df-tp 4375  df-op 4377  df-uni 4631  df-int 4670  df-iun 4714  df-iin 4715  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-se 5271  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-pred 5893  df-ord 5939  df-on 5940  df-lim 5941  df-suc 5942  df-iota 6060  df-fun 6099  df-fn 6100  df-f 6101  df-f1 6102  df-fo 6103  df-f1o 6104  df-fv 6105  df-isom 6106  df-riota 6831  df-ov 6873  df-oprab 6874  df-mpt2 6875  df-of 7123  df-om 7292  df-1st 7394  df-2nd 7395  df-supp 7526  df-wrecs 7638  df-recs 7700  df-rdg 7738  df-1o 7792  df-2o 7793  df-oadd 7796  df-omul 7797  df-er 7975  df-map 8090  df-pm 8091  df-ixp 8142  df-en 8189  df-dom 8190  df-sdom 8191  df-fin 8192  df-fsupp 8511  df-fi 8552  df-sup 8583  df-inf 8584  df-oi 8650  df-card 9044  df-acn 9047  df-cda 9271  df-pnf 10357  df-mnf 10358  df-xr 10359  df-ltxr 10360  df-le 10361  df-sub 10549  df-neg 10550  df-div 10966  df-nn 11302  df-2 11360  df-3 11361  df-4 11362  df-5 11363  df-6 11364  df-7 11365  df-8 11366  df-9 11367  df-n0 11556  df-z 11640  df-dec 11756  df-uz 11901  df-q 12004  df-rp 12043  df-xneg 12158  df-xadd 12159  df-xmul 12160  df-ioo 12393  df-ico 12395  df-icc 12396  df-fz 12546  df-fzo 12686  df-fl 12813  df-seq 13021  df-exp 13080  df-hash 13334  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194  df-abs 14195  df-clim 14438  df-rlim 14439  df-sum 14636  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-starv 16164  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-ip 16167  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16171  df-unif 16172  df-hom 16173  df-cco 16174  df-rest 16284  df-topn 16285  df-0g 16303  df-gsum 16304  df-topgen 16305  df-pt 16306  df-prds 16309  df-xrs 16363  df-qtop 16368  df-imas 16369  df-xps 16371  df-mre 16447  df-mrc 16448  df-acs 16450  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-submnd 17537  df-mulg 17742  df-cntz 17947  df-cmn 18392  df-psmet 19942  df-xmet 19943  df-met 19944  df-bl 19945  df-mopn 19946  df-fbas 19947  df-fg 19948  df-cnfld 19951  df-top 20909  df-topon 20926  df-topsp 20948  df-bases 20961  df-cld 21034  df-ntr 21035  df-cls 21036  df-nei 21113  df-cn 21242  df-cnp 21243  df-lm 21244  df-haus 21330  df-tx 21576  df-hmeo 21769  df-fil 21860  df-fm 21952  df-flim 21953  df-flf 21954  df-xms 22335  df-ms 22336  df-tms 22337  df-cfil 23263  df-cau 23264  df-cmet 23265  df-grpo 27675  df-gid 27676  df-ginv 27677  df-gdiv 27678  df-ablo 27727  df-vc 27741  df-nv 27774  df-va 27777  df-ba 27778  df-sm 27779  df-0v 27780  df-vs 27781  df-nmcv 27782  df-ims 27783  df-dip 27883  df-ssp 27904  df-ph 27995  df-cbn 28046  df-hnorm 28152  df-hba 28153  df-hvsub 28155  df-hlim 28156  df-hcau 28157  df-sh 28391  df-ch 28405  df-oc 28436  df-ch0 28437  df-shs 28494  df-span 28495  df-chj 28496  df-chsup 28497  df-pjh 28581  df-cv 29465  df-at 29524
This theorem is referenced by:  mdsymlem6  29594
  Copyright terms: Public domain W3C validator