Theorem mdsymlem5 32169

Description: Lemma for mdsymi 32173. (Contributed by NM, 2-Jul-2004.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdsymlem1.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
mdsymlem1.2	⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
mdsymlem1.3	⊢ 𝐶 = (𝐴 ∨ℋ 𝑝)

Assertion

Ref	Expression
mdsymlem5	⊢ ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → (¬ 𝑞 = 𝑝 → ((𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵)) → (((𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑐) ∧ 𝑝 ∈ HAtoms) → (𝑝 ⊆ 𝑐 → 𝑝 ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴))))))

Distinct variable groups:   𝑟,𝑞,𝐶   𝑝,𝑐,𝑞,𝑟,𝐴   𝐵,𝑐,𝑝,𝑞,𝑟

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑝,𝑐)

Proof of Theorem mdsymlem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ne 2935	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑞 ≠ 𝑝 ↔ ¬ 𝑞 = 𝑝)
2		atnemeq0 32139	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ∈ HAtoms) → (𝑞 ≠ 𝑝 ↔ (𝑞 ∩ 𝑝) = 0ℋ))
3	1, 2	bitr3id 285	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ∈ HAtoms) → (¬ 𝑞 = 𝑝 ↔ (𝑞 ∩ 𝑝) = 0ℋ))
4	3	anbi2d 628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ∈ HAtoms) → ((𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝) ↔ (𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ∩ 𝑝) = 0ℋ)))
5	4	3adant3 1129	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → ((𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝) ↔ (𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ∩ 𝑝) = 0ℋ)))
6		atelch 32106	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑞 ∈ HAtoms → 𝑞 ∈ Cℋ )
7		atexch 32143	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → ((𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ∩ 𝑝) = 0ℋ) → 𝑟 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑝)))
8	6, 7	syl3an1 1160	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → ((𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ∩ 𝑝) = 0ℋ) → 𝑟 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑝)))
9	5, 8	sylbid 239	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → ((𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝) → 𝑟 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑝)))
10	9	expd 415	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → (𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) → (¬ 𝑞 = 𝑝 → 𝑟 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑝))))
11	10	3com23 1123	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ∈ HAtoms) → (𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) → (¬ 𝑞 = 𝑝 → 𝑟 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑝))))
12	11	3expa 1115	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ 𝑝 ∈ HAtoms) → (𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) → (¬ 𝑞 = 𝑝 → 𝑟 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑝))))
13	12	adantrl 713	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ HAtoms)) → (𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) → (¬ 𝑞 = 𝑝 → 𝑟 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑝))))
14	13	adantrd 491	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ HAtoms)) → ((𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵)) → (¬ 𝑞 = 𝑝 → 𝑟 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑝))))
15	14	imp32 418	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ HAtoms)) ∧ ((𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝)) → 𝑟 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑝))
16	15	adantrl 713	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ HAtoms)) ∧ (𝐴 ⊆ 𝑐 ∧ ((𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝))) → 𝑟 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑝))
17	16	adantrr 714	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ HAtoms)) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝑐 ∧ ((𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝)) ∧ 𝑝 ⊆ 𝑐)) → 𝑟 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑝))
18		simplrl 774	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝) → 𝑞 ⊆ 𝐴)
19		atelch 32106	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑝 ∈ HAtoms → 𝑝 ∈ Cℋ )
20	19	anim1i 614	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) → (𝑝 ∈ Cℋ ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ))
21	20	ancoms 458	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ HAtoms) → (𝑝 ∈ Cℋ ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ))
22		mdsymlem1.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
23		chub2 31270	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) → 𝐴 ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴))
24	22, 23	mpan 687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑐 ∈ Cℋ → 𝐴 ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴))
25		sstr 3985	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴)) → 𝑞 ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴))
26	24, 25	sylan2 592	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) → 𝑞 ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴))
27		chub1 31269	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → 𝑐 ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴))
28	22, 27	mpan2 688	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑐 ∈ Cℋ → 𝑐 ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴))
29		sstr 3985	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑝 ⊆ 𝑐 ∧ 𝑐 ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴)) → 𝑝 ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴))
30	28, 29	sylan2 592	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑝 ⊆ 𝑐 ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) → 𝑝 ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴))
31	26, 30	anim12i 612	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) ∧ (𝑝 ⊆ 𝑐 ∧ 𝑐 ∈ Cℋ )) → (𝑞 ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴) ∧ 𝑝 ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴)))
32	31	anandirs 676	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ⊆ 𝑐) ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) → (𝑞 ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴) ∧ 𝑝 ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴)))
33	32	ancoms 458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑐 ∈ Cℋ ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ⊆ 𝑐)) → (𝑞 ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴) ∧ 𝑝 ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴)))
34	33	adantll 711	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ⊆ 𝑐)) → (𝑞 ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴) ∧ 𝑝 ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴)))
35		chjcl 31119	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → (𝑐 ∨ℋ 𝐴) ∈ Cℋ )
36	22, 35	mpan2 688	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑐 ∈ Cℋ → (𝑐 ∨ℋ 𝐴) ∈ Cℋ )
37		chlub 31271	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ Cℋ ∧ (𝑐 ∨ℋ 𝐴) ∈ Cℋ ) → ((𝑞 ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴) ∧ 𝑝 ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴)) ↔ (𝑞 ∨ℋ 𝑝) ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴)))
38	36, 37	syl3an3 1162	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ Cℋ ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) → ((𝑞 ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴) ∧ 𝑝 ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴)) ↔ (𝑞 ∨ℋ 𝑝) ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴)))
39	38	3expa 1115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) → ((𝑞 ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴) ∧ 𝑝 ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴)) ↔ (𝑞 ∨ℋ 𝑝) ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴)))
40	39	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ⊆ 𝑐)) → ((𝑞 ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴) ∧ 𝑝 ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴)) ↔ (𝑞 ∨ℋ 𝑝) ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴)))
41	34, 40	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ⊆ 𝑐)) → (𝑞 ∨ℋ 𝑝) ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴))
42	41	adantrl 713	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐴 ⊆ 𝑐 ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ⊆ 𝑐))) → (𝑞 ∨ℋ 𝑝) ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴))
43		chlejb2 31275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) → (𝐴 ⊆ 𝑐 ↔ (𝑐 ∨ℋ 𝐴) = 𝑐))
44	22, 43	mpan 687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑐 ∈ Cℋ → (𝐴 ⊆ 𝑐 ↔ (𝑐 ∨ℋ 𝐴) = 𝑐))
45	44	biimpa 476	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑐) → (𝑐 ∨ℋ 𝐴) = 𝑐)
46	45	ad2ant2lr 745	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐴 ⊆ 𝑐 ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ⊆ 𝑐))) → (𝑐 ∨ℋ 𝐴) = 𝑐)
47	42, 46	sseqtrd 4017	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐴 ⊆ 𝑐 ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ⊆ 𝑐))) → (𝑞 ∨ℋ 𝑝) ⊆ 𝑐)
48	47	exp45 438	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) → (𝐴 ⊆ 𝑐 → (𝑞 ⊆ 𝐴 → (𝑝 ⊆ 𝑐 → (𝑞 ∨ℋ 𝑝) ⊆ 𝑐))))
49	48	anasss 466	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑞 ∈ Cℋ ∧ (𝑝 ∈ Cℋ ∧ 𝑐 ∈ Cℋ )) → (𝐴 ⊆ 𝑐 → (𝑞 ⊆ 𝐴 → (𝑝 ⊆ 𝑐 → (𝑞 ∨ℋ 𝑝) ⊆ 𝑐))))
50	6, 21, 49	syl2an 595	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ (𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ HAtoms)) → (𝐴 ⊆ 𝑐 → (𝑞 ⊆ 𝐴 → (𝑝 ⊆ 𝑐 → (𝑞 ∨ℋ 𝑝) ⊆ 𝑐))))
51	50	adantlr 712	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ HAtoms)) → (𝐴 ⊆ 𝑐 → (𝑞 ⊆ 𝐴 → (𝑝 ⊆ 𝑐 → (𝑞 ∨ℋ 𝑝) ⊆ 𝑐))))
52	18, 51	syl7 74	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ HAtoms)) → (𝐴 ⊆ 𝑐 → (((𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝) → (𝑝 ⊆ 𝑐 → (𝑞 ∨ℋ 𝑝) ⊆ 𝑐))))
53	52	imp44 428	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ HAtoms)) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝑐 ∧ ((𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝)) ∧ 𝑝 ⊆ 𝑐)) → (𝑞 ∨ℋ 𝑝) ⊆ 𝑐)
54	17, 53	sstrd 3987	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ HAtoms)) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝑐 ∧ ((𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝)) ∧ 𝑝 ⊆ 𝑐)) → 𝑟 ⊆ 𝑐)
55		simplrr 775	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝) → 𝑟 ⊆ 𝐵)
56	55	ad2antlr 724	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ⊆ 𝑐 ∧ ((𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝)) ∧ 𝑝 ⊆ 𝑐) → 𝑟 ⊆ 𝐵)
57	56	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ HAtoms)) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝑐 ∧ ((𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝)) ∧ 𝑝 ⊆ 𝑐)) → 𝑟 ⊆ 𝐵)
58	54, 57	ssind 4227	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ HAtoms)) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝑐 ∧ ((𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝)) ∧ 𝑝 ⊆ 𝑐)) → 𝑟 ⊆ (𝑐 ∩ 𝐵))
59		atelch 32106	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑟 ∈ HAtoms → 𝑟 ∈ Cℋ )
60	6, 59	anim12i 612	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → (𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑟 ∈ Cℋ ))
61		mdsymlem1.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
62		chincl 31261	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝑐 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ )
63	61, 62	mpan2 688	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑐 ∈ Cℋ → (𝑐 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ )
64		chlej1 31272	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑟 ∈ Cℋ ∧ (𝑐 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑐 ∩ 𝐵)) → (𝑟 ∨ℋ 𝑞) ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑞))
65	64	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑟 ∈ Cℋ ∧ (𝑐 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ∈ Cℋ ) → (𝑟 ⊆ (𝑐 ∩ 𝐵) → (𝑟 ∨ℋ 𝑞) ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑞)))
66	63, 65	syl3an2 1161	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑟 ∈ Cℋ ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ∈ Cℋ ) → (𝑟 ⊆ (𝑐 ∩ 𝐵) → (𝑟 ∨ℋ 𝑞) ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑞)))
67	66	3comr 1122	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑟 ∈ Cℋ ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) → (𝑟 ⊆ (𝑐 ∩ 𝐵) → (𝑟 ∨ℋ 𝑞) ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑞)))
68	67	3expa 1115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑟 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) → (𝑟 ⊆ (𝑐 ∩ 𝐵) → (𝑟 ∨ℋ 𝑞) ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑞)))
69	68	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑟 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑞 ⊆ 𝐴) → (𝑟 ⊆ (𝑐 ∩ 𝐵) → (𝑟 ∨ℋ 𝑞) ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑞)))
70		chlej2 31273	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ∧ (𝑐 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ ) ∧ 𝑞 ⊆ 𝐴) → ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑞) ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴))
71	22, 70	mp3anl2 1452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑞 ∈ Cℋ ∧ (𝑐 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ ) ∧ 𝑞 ⊆ 𝐴) → ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑞) ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴))
72	63, 71	sylanl2 678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑞 ⊆ 𝐴) → ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑞) ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴))
73	72	adantllr 716	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑟 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑞 ⊆ 𝐴) → ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑞) ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴))
74		sstr2 3984	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑟 ∨ℋ 𝑞) ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑞) → (((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑞) ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴) → (𝑟 ∨ℋ 𝑞) ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴)))
75	73, 74	syl5com 31	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑟 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑞 ⊆ 𝐴) → ((𝑟 ∨ℋ 𝑞) ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑞) → (𝑟 ∨ℋ 𝑞) ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴)))
76		chjcom 31268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑟 ∈ Cℋ ) → (𝑞 ∨ℋ 𝑟) = (𝑟 ∨ℋ 𝑞))
77	76	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑟 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑞 ⊆ 𝐴) → (𝑞 ∨ℋ 𝑟) = (𝑟 ∨ℋ 𝑞))
78	77	sseq1d 4008	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑟 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑞 ⊆ 𝐴) → ((𝑞 ∨ℋ 𝑟) ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴) ↔ (𝑟 ∨ℋ 𝑞) ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴)))
79	75, 78	sylibrd 259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑟 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑞 ⊆ 𝐴) → ((𝑟 ∨ℋ 𝑞) ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑞) → (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴)))
80	69, 79	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑟 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑞 ⊆ 𝐴) → (𝑟 ⊆ (𝑐 ∩ 𝐵) → (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴)))
81	80	adantrl 713	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑟 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) ∧ (𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ 𝑞 ⊆ 𝐴)) → (𝑟 ⊆ (𝑐 ∩ 𝐵) → (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴)))
82		sstr2 3984	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) → ((𝑞 ∨ℋ 𝑟) ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴) → 𝑝 ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴)))
83	82	ad2antrl 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑟 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) ∧ (𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ 𝑞 ⊆ 𝐴)) → ((𝑞 ∨ℋ 𝑟) ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴) → 𝑝 ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴)))
84	81, 83	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑟 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) ∧ (𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ 𝑞 ⊆ 𝐴)) → (𝑟 ⊆ (𝑐 ∩ 𝐵) → 𝑝 ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴)))
85	84	exp32 420	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑟 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) → (𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) → (𝑞 ⊆ 𝐴 → (𝑟 ⊆ (𝑐 ∩ 𝐵) → 𝑝 ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴)))))
86	60, 85	sylan 579	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) → (𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) → (𝑞 ⊆ 𝐴 → (𝑟 ⊆ (𝑐 ∩ 𝐵) → 𝑝 ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴)))))
87	86	adantrr 714	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ HAtoms)) → (𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) → (𝑞 ⊆ 𝐴 → (𝑟 ⊆ (𝑐 ∩ 𝐵) → 𝑝 ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴)))))
88	87	imp31 417	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ HAtoms)) ∧ 𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟)) ∧ 𝑞 ⊆ 𝐴) → (𝑟 ⊆ (𝑐 ∩ 𝐵) → 𝑝 ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴)))
89	88	adantrr 714	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ HAtoms)) ∧ 𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟)) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵)) → (𝑟 ⊆ (𝑐 ∩ 𝐵) → 𝑝 ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴)))
90	89	anasss 466	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ HAtoms)) ∧ (𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵))) → (𝑟 ⊆ (𝑐 ∩ 𝐵) → 𝑝 ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴)))
91	90	adantrr 714	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ HAtoms)) ∧ ((𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝)) → (𝑟 ⊆ (𝑐 ∩ 𝐵) → 𝑝 ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴)))
92	91	adantrl 713	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ HAtoms)) ∧ (𝐴 ⊆ 𝑐 ∧ ((𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝))) → (𝑟 ⊆ (𝑐 ∩ 𝐵) → 𝑝 ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴)))
93	92	adantrr 714	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ HAtoms)) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝑐 ∧ ((𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝)) ∧ 𝑝 ⊆ 𝑐)) → (𝑟 ⊆ (𝑐 ∩ 𝐵) → 𝑝 ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴)))
94	58, 93	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ HAtoms)) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝑐 ∧ ((𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝)) ∧ 𝑝 ⊆ 𝑐)) → 𝑝 ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴))
95	94	exp32 420	. . . . . 6 ⊢ (((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ HAtoms)) → ((𝐴 ⊆ 𝑐 ∧ ((𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝)) → (𝑝 ⊆ 𝑐 → 𝑝 ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴))))
96	95	exp4d 433	. . . . 5 ⊢ (((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ HAtoms)) → (𝐴 ⊆ 𝑐 → ((𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵)) → (¬ 𝑞 = 𝑝 → (𝑝 ⊆ 𝑐 → 𝑝 ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴))))))
97	96	exp32 420	. . . 4 ⊢ ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → (𝑐 ∈ Cℋ → (𝑝 ∈ HAtoms → (𝐴 ⊆ 𝑐 → ((𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵)) → (¬ 𝑞 = 𝑝 → (𝑝 ⊆ 𝑐 → 𝑝 ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴))))))))
98	97	com34 91	. . 3 ⊢ ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → (𝑐 ∈ Cℋ → (𝐴 ⊆ 𝑐 → (𝑝 ∈ HAtoms → ((𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵)) → (¬ 𝑞 = 𝑝 → (𝑝 ⊆ 𝑐 → 𝑝 ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴))))))))
99	98	imp4c 423	. 2 ⊢ ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → (((𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑐) ∧ 𝑝 ∈ HAtoms) → ((𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵)) → (¬ 𝑞 = 𝑝 → (𝑝 ⊆ 𝑐 → 𝑝 ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴))))))
100	99	com24 95	1 ⊢ ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → (¬ 𝑞 = 𝑝 → ((𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵)) → (((𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑐) ∧ 𝑝 ∈ HAtoms) → (𝑝 ⊆ 𝑐 → 𝑝 ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴))))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2934   ∩ cin 3942   ⊆ wss 3943  (class class class)co 7405   C_ℋ cch 30691   ∨_ℋ chj 30695  0_ℋc0h 30697  HAtomscat 30727

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cc 10432  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192  ax-hilex 30761  ax-hfvadd 30762  ax-hvcom 30763  ax-hvass 30764  ax-hv0cl 30765  ax-hvaddid 30766  ax-hfvmul 30767  ax-hvmulid 30768  ax-hvmulass 30769  ax-hvdistr1 30770  ax-hvdistr2 30771  ax-hvmul0 30772  ax-hfi 30841  ax-his1 30844  ax-his2 30845  ax-his3 30846  ax-his4 30847  ax-hcompl 30964

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-oadd 8471  df-omul 8472  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-acn 9939  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-ioo 13334  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-rlim 15439  df-sum 15639  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-hom 17230  df-cco 17231  df-rest 17377  df-topn 17378  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-topgen 17398  df-pt 17399  df-prds 17402  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-mulg 18996  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-fbas 21237  df-fg 21238  df-cnfld 21241  df-top 22751  df-topon 22768  df-topsp 22790  df-bases 22804  df-cld 22878  df-ntr 22879  df-cls 22880  df-nei 22957  df-cn 23086  df-cnp 23087  df-lm 23088  df-haus 23174  df-tx 23421  df-hmeo 23614  df-fil 23705  df-fm 23797  df-flim 23798  df-flf 23799  df-xms 24181  df-ms 24182  df-tms 24183  df-cfil 25138  df-cau 25139  df-cmet 25140  df-grpo 30255  df-gid 30256  df-ginv 30257  df-gdiv 30258  df-ablo 30307  df-vc 30321  df-nv 30354  df-va 30357  df-ba 30358  df-sm 30359  df-0v 30360  df-vs 30361  df-nmcv 30362  df-ims 30363  df-dip 30463  df-ssp 30484  df-ph 30575  df-cbn 30625  df-hnorm 30730  df-hba 30731  df-hvsub 30733  df-hlim 30734  df-hcau 30735  df-sh 30969  df-ch 30983  df-oc 31014  df-ch0 31015  df-shs 31070  df-span 31071  df-chj 31072  df-chsup 31073  df-pjh 31157  df-cv 32041  df-at 32100

This theorem is referenced by:  mdsymlem6  32170