Theorem mdsymlem5 32435

Description: Lemma for mdsymi 32439. (Contributed by NM, 2-Jul-2004.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdsymlem1.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
mdsymlem1.2	⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
mdsymlem1.3	⊢ 𝐶 = (𝐴 ∨ℋ 𝑝)

Assertion

Ref	Expression
mdsymlem5	⊢ ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → (¬ 𝑞 = 𝑝 → ((𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵)) → (((𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑐) ∧ 𝑝 ∈ HAtoms) → (𝑝 ⊆ 𝑐 → 𝑝 ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴))))))

Distinct variable groups:   𝑟,𝑞,𝐶   𝑝,𝑐,𝑞,𝑟,𝐴   𝐵,𝑐,𝑝,𝑞,𝑟

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑝,𝑐)

Proof of Theorem mdsymlem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ne 2938	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑞 ≠ 𝑝 ↔ ¬ 𝑞 = 𝑝)
2		atnemeq0 32405	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ∈ HAtoms) → (𝑞 ≠ 𝑝 ↔ (𝑞 ∩ 𝑝) = 0ℋ))
3	1, 2	bitr3id 285	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ∈ HAtoms) → (¬ 𝑞 = 𝑝 ↔ (𝑞 ∩ 𝑝) = 0ℋ))
4	3	anbi2d 630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ∈ HAtoms) → ((𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝) ↔ (𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ∩ 𝑝) = 0ℋ)))
5	4	3adant3 1131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → ((𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝) ↔ (𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ∩ 𝑝) = 0ℋ)))
6		atelch 32372	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑞 ∈ HAtoms → 𝑞 ∈ Cℋ )
7		atexch 32409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → ((𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ∩ 𝑝) = 0ℋ) → 𝑟 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑝)))
8	6, 7	syl3an1 1162	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → ((𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ∩ 𝑝) = 0ℋ) → 𝑟 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑝)))
9	5, 8	sylbid 240	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → ((𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝) → 𝑟 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑝)))
10	9	expd 415	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → (𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) → (¬ 𝑞 = 𝑝 → 𝑟 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑝))))
11	10	3com23 1125	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ∈ HAtoms) → (𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) → (¬ 𝑞 = 𝑝 → 𝑟 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑝))))
12	11	3expa 1117	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ 𝑝 ∈ HAtoms) → (𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) → (¬ 𝑞 = 𝑝 → 𝑟 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑝))))
13	12	adantrl 716	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ HAtoms)) → (𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) → (¬ 𝑞 = 𝑝 → 𝑟 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑝))))
14	13	adantrd 491	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ HAtoms)) → ((𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵)) → (¬ 𝑞 = 𝑝 → 𝑟 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑝))))
15	14	imp32 418	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ HAtoms)) ∧ ((𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝)) → 𝑟 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑝))
16	15	adantrl 716	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ HAtoms)) ∧ (𝐴 ⊆ 𝑐 ∧ ((𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝))) → 𝑟 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑝))
17	16	adantrr 717	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ HAtoms)) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝑐 ∧ ((𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝)) ∧ 𝑝 ⊆ 𝑐)) → 𝑟 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑝))
18		simplrl 777	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝) → 𝑞 ⊆ 𝐴)
19		atelch 32372	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑝 ∈ HAtoms → 𝑝 ∈ Cℋ )
20	19	anim1i 615	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) → (𝑝 ∈ Cℋ ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ))
21	20	ancoms 458	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ HAtoms) → (𝑝 ∈ Cℋ ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ))
22		mdsymlem1.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
23		chub2 31536	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) → 𝐴 ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴))
24	22, 23	mpan 690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑐 ∈ Cℋ → 𝐴 ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴))
25		sstr 4003	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴)) → 𝑞 ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴))
26	24, 25	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) → 𝑞 ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴))
27		chub1 31535	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → 𝑐 ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴))
28	22, 27	mpan2 691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑐 ∈ Cℋ → 𝑐 ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴))
29		sstr 4003	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑝 ⊆ 𝑐 ∧ 𝑐 ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴)) → 𝑝 ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴))
30	28, 29	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑝 ⊆ 𝑐 ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) → 𝑝 ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴))
31	26, 30	anim12i 613	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) ∧ (𝑝 ⊆ 𝑐 ∧ 𝑐 ∈ Cℋ )) → (𝑞 ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴) ∧ 𝑝 ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴)))
32	31	anandirs 679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ⊆ 𝑐) ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) → (𝑞 ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴) ∧ 𝑝 ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴)))
33	32	ancoms 458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑐 ∈ Cℋ ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ⊆ 𝑐)) → (𝑞 ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴) ∧ 𝑝 ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴)))
34	33	adantll 714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ⊆ 𝑐)) → (𝑞 ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴) ∧ 𝑝 ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴)))
35		chjcl 31385	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → (𝑐 ∨ℋ 𝐴) ∈ Cℋ )
36	22, 35	mpan2 691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑐 ∈ Cℋ → (𝑐 ∨ℋ 𝐴) ∈ Cℋ )
37		chlub 31537	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ Cℋ ∧ (𝑐 ∨ℋ 𝐴) ∈ Cℋ ) → ((𝑞 ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴) ∧ 𝑝 ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴)) ↔ (𝑞 ∨ℋ 𝑝) ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴)))
38	36, 37	syl3an3 1164	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ Cℋ ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) → ((𝑞 ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴) ∧ 𝑝 ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴)) ↔ (𝑞 ∨ℋ 𝑝) ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴)))
39	38	3expa 1117	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) → ((𝑞 ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴) ∧ 𝑝 ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴)) ↔ (𝑞 ∨ℋ 𝑝) ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴)))
40	39	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ⊆ 𝑐)) → ((𝑞 ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴) ∧ 𝑝 ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴)) ↔ (𝑞 ∨ℋ 𝑝) ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴)))
41	34, 40	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ⊆ 𝑐)) → (𝑞 ∨ℋ 𝑝) ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴))
42	41	adantrl 716	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐴 ⊆ 𝑐 ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ⊆ 𝑐))) → (𝑞 ∨ℋ 𝑝) ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴))
43		chlejb2 31541	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) → (𝐴 ⊆ 𝑐 ↔ (𝑐 ∨ℋ 𝐴) = 𝑐))
44	22, 43	mpan 690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑐 ∈ Cℋ → (𝐴 ⊆ 𝑐 ↔ (𝑐 ∨ℋ 𝐴) = 𝑐))
45	44	biimpa 476	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑐) → (𝑐 ∨ℋ 𝐴) = 𝑐)
46	45	ad2ant2lr 748	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐴 ⊆ 𝑐 ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ⊆ 𝑐))) → (𝑐 ∨ℋ 𝐴) = 𝑐)
47	42, 46	sseqtrd 4035	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐴 ⊆ 𝑐 ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ⊆ 𝑐))) → (𝑞 ∨ℋ 𝑝) ⊆ 𝑐)
48	47	exp45 438	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) → (𝐴 ⊆ 𝑐 → (𝑞 ⊆ 𝐴 → (𝑝 ⊆ 𝑐 → (𝑞 ∨ℋ 𝑝) ⊆ 𝑐))))
49	48	anasss 466	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑞 ∈ Cℋ ∧ (𝑝 ∈ Cℋ ∧ 𝑐 ∈ Cℋ )) → (𝐴 ⊆ 𝑐 → (𝑞 ⊆ 𝐴 → (𝑝 ⊆ 𝑐 → (𝑞 ∨ℋ 𝑝) ⊆ 𝑐))))
50	6, 21, 49	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ (𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ HAtoms)) → (𝐴 ⊆ 𝑐 → (𝑞 ⊆ 𝐴 → (𝑝 ⊆ 𝑐 → (𝑞 ∨ℋ 𝑝) ⊆ 𝑐))))
51	50	adantlr 715	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ HAtoms)) → (𝐴 ⊆ 𝑐 → (𝑞 ⊆ 𝐴 → (𝑝 ⊆ 𝑐 → (𝑞 ∨ℋ 𝑝) ⊆ 𝑐))))
52	18, 51	syl7 74	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ HAtoms)) → (𝐴 ⊆ 𝑐 → (((𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝) → (𝑝 ⊆ 𝑐 → (𝑞 ∨ℋ 𝑝) ⊆ 𝑐))))
53	52	imp44 428	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ HAtoms)) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝑐 ∧ ((𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝)) ∧ 𝑝 ⊆ 𝑐)) → (𝑞 ∨ℋ 𝑝) ⊆ 𝑐)
54	17, 53	sstrd 4005	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ HAtoms)) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝑐 ∧ ((𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝)) ∧ 𝑝 ⊆ 𝑐)) → 𝑟 ⊆ 𝑐)
55		simplrr 778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝) → 𝑟 ⊆ 𝐵)
56	55	ad2antlr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ⊆ 𝑐 ∧ ((𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝)) ∧ 𝑝 ⊆ 𝑐) → 𝑟 ⊆ 𝐵)
57	56	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ HAtoms)) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝑐 ∧ ((𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝)) ∧ 𝑝 ⊆ 𝑐)) → 𝑟 ⊆ 𝐵)
58	54, 57	ssind 4248	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ HAtoms)) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝑐 ∧ ((𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝)) ∧ 𝑝 ⊆ 𝑐)) → 𝑟 ⊆ (𝑐 ∩ 𝐵))
59		atelch 32372	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑟 ∈ HAtoms → 𝑟 ∈ Cℋ )
60	6, 59	anim12i 613	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → (𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑟 ∈ Cℋ ))
61		mdsymlem1.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
62		chincl 31527	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝑐 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ )
63	61, 62	mpan2 691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑐 ∈ Cℋ → (𝑐 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ )
64		chlej1 31538	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑟 ∈ Cℋ ∧ (𝑐 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑐 ∩ 𝐵)) → (𝑟 ∨ℋ 𝑞) ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑞))
65	64	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑟 ∈ Cℋ ∧ (𝑐 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ∈ Cℋ ) → (𝑟 ⊆ (𝑐 ∩ 𝐵) → (𝑟 ∨ℋ 𝑞) ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑞)))
66	63, 65	syl3an2 1163	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑟 ∈ Cℋ ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ∈ Cℋ ) → (𝑟 ⊆ (𝑐 ∩ 𝐵) → (𝑟 ∨ℋ 𝑞) ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑞)))
67	66	3comr 1124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑟 ∈ Cℋ ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) → (𝑟 ⊆ (𝑐 ∩ 𝐵) → (𝑟 ∨ℋ 𝑞) ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑞)))
68	67	3expa 1117	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑟 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) → (𝑟 ⊆ (𝑐 ∩ 𝐵) → (𝑟 ∨ℋ 𝑞) ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑞)))
69	68	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑟 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑞 ⊆ 𝐴) → (𝑟 ⊆ (𝑐 ∩ 𝐵) → (𝑟 ∨ℋ 𝑞) ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑞)))
70		chlej2 31539	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ∧ (𝑐 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ ) ∧ 𝑞 ⊆ 𝐴) → ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑞) ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴))
71	22, 70	mp3anl2 1455	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑞 ∈ Cℋ ∧ (𝑐 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ ) ∧ 𝑞 ⊆ 𝐴) → ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑞) ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴))
72	63, 71	sylanl2 681	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑞 ⊆ 𝐴) → ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑞) ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴))
73	72	adantllr 719	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑟 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑞 ⊆ 𝐴) → ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑞) ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴))
74		sstr2 4001	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑟 ∨ℋ 𝑞) ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑞) → (((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑞) ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴) → (𝑟 ∨ℋ 𝑞) ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴)))
75	73, 74	syl5com 31	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑟 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑞 ⊆ 𝐴) → ((𝑟 ∨ℋ 𝑞) ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑞) → (𝑟 ∨ℋ 𝑞) ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴)))
76		chjcom 31534	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑟 ∈ Cℋ ) → (𝑞 ∨ℋ 𝑟) = (𝑟 ∨ℋ 𝑞))
77	76	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑟 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑞 ⊆ 𝐴) → (𝑞 ∨ℋ 𝑟) = (𝑟 ∨ℋ 𝑞))
78	77	sseq1d 4026	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑟 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑞 ⊆ 𝐴) → ((𝑞 ∨ℋ 𝑟) ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴) ↔ (𝑟 ∨ℋ 𝑞) ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴)))
79	75, 78	sylibrd 259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑟 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑞 ⊆ 𝐴) → ((𝑟 ∨ℋ 𝑞) ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑞) → (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴)))
80	69, 79	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑟 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑞 ⊆ 𝐴) → (𝑟 ⊆ (𝑐 ∩ 𝐵) → (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴)))
81	80	adantrl 716	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑟 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) ∧ (𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ 𝑞 ⊆ 𝐴)) → (𝑟 ⊆ (𝑐 ∩ 𝐵) → (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴)))
82		sstr2 4001	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) → ((𝑞 ∨ℋ 𝑟) ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴) → 𝑝 ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴)))
83	82	ad2antrl 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑟 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) ∧ (𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ 𝑞 ⊆ 𝐴)) → ((𝑞 ∨ℋ 𝑟) ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴) → 𝑝 ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴)))
84	81, 83	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑟 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) ∧ (𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ 𝑞 ⊆ 𝐴)) → (𝑟 ⊆ (𝑐 ∩ 𝐵) → 𝑝 ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴)))
85	84	exp32 420	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑟 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) → (𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) → (𝑞 ⊆ 𝐴 → (𝑟 ⊆ (𝑐 ∩ 𝐵) → 𝑝 ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴)))))
86	60, 85	sylan 580	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) → (𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) → (𝑞 ⊆ 𝐴 → (𝑟 ⊆ (𝑐 ∩ 𝐵) → 𝑝 ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴)))))
87	86	adantrr 717	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ HAtoms)) → (𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) → (𝑞 ⊆ 𝐴 → (𝑟 ⊆ (𝑐 ∩ 𝐵) → 𝑝 ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴)))))
88	87	imp31 417	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ HAtoms)) ∧ 𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟)) ∧ 𝑞 ⊆ 𝐴) → (𝑟 ⊆ (𝑐 ∩ 𝐵) → 𝑝 ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴)))
89	88	adantrr 717	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ HAtoms)) ∧ 𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟)) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵)) → (𝑟 ⊆ (𝑐 ∩ 𝐵) → 𝑝 ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴)))
90	89	anasss 466	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ HAtoms)) ∧ (𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵))) → (𝑟 ⊆ (𝑐 ∩ 𝐵) → 𝑝 ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴)))
91	90	adantrr 717	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ HAtoms)) ∧ ((𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝)) → (𝑟 ⊆ (𝑐 ∩ 𝐵) → 𝑝 ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴)))
92	91	adantrl 716	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ HAtoms)) ∧ (𝐴 ⊆ 𝑐 ∧ ((𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝))) → (𝑟 ⊆ (𝑐 ∩ 𝐵) → 𝑝 ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴)))
93	92	adantrr 717	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ HAtoms)) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝑐 ∧ ((𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝)) ∧ 𝑝 ⊆ 𝑐)) → (𝑟 ⊆ (𝑐 ∩ 𝐵) → 𝑝 ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴)))
94	58, 93	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ HAtoms)) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝑐 ∧ ((𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝)) ∧ 𝑝 ⊆ 𝑐)) → 𝑝 ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴))
95	94	exp32 420	. . . . . 6 ⊢ (((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ HAtoms)) → ((𝐴 ⊆ 𝑐 ∧ ((𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝)) → (𝑝 ⊆ 𝑐 → 𝑝 ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴))))
96	95	exp4d 433	. . . . 5 ⊢ (((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ HAtoms)) → (𝐴 ⊆ 𝑐 → ((𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵)) → (¬ 𝑞 = 𝑝 → (𝑝 ⊆ 𝑐 → 𝑝 ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴))))))
97	96	exp32 420	. . . 4 ⊢ ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → (𝑐 ∈ Cℋ → (𝑝 ∈ HAtoms → (𝐴 ⊆ 𝑐 → ((𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵)) → (¬ 𝑞 = 𝑝 → (𝑝 ⊆ 𝑐 → 𝑝 ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴))))))))
98	97	com34 91	. . 3 ⊢ ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → (𝑐 ∈ Cℋ → (𝐴 ⊆ 𝑐 → (𝑝 ∈ HAtoms → ((𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵)) → (¬ 𝑞 = 𝑝 → (𝑝 ⊆ 𝑐 → 𝑝 ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴))))))))
99	98	imp4c 423	. 2 ⊢ ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → (((𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑐) ∧ 𝑝 ∈ HAtoms) → ((𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵)) → (¬ 𝑞 = 𝑝 → (𝑝 ⊆ 𝑐 → 𝑝 ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴))))))
100	99	com24 95	1 ⊢ ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → (¬ 𝑞 = 𝑝 → ((𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵)) → (((𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑐) ∧ 𝑝 ∈ HAtoms) → (𝑝 ⊆ 𝑐 → 𝑝 ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴))))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1536   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2937   ∩ cin 3961   ⊆ wss 3962  (class class class)co 7430   C_ℋ cch 30957   ∨_ℋ chj 30961  0_ℋc0h 30963  HAtomscat 30993

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cc 10472  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230  ax-addf 11231  ax-mulf 11232  ax-hilex 31027  ax-hfvadd 31028  ax-hvcom 31029  ax-hvass 31030  ax-hv0cl 31031  ax-hvaddid 31032  ax-hfvmul 31033  ax-hvmulid 31034  ax-hvmulass 31035  ax-hvdistr1 31036  ax-hvdistr2 31037  ax-hvmul0 31038  ax-hfi 31107  ax-his1 31110  ax-his2 31111  ax-his3 31112  ax-his4 31113  ax-hcompl 31230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-oadd 8508  df-omul 8509  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-fi 9448  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-card 9976  df-acn 9979  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-xmul 13153  df-ioo 13387  df-ico 13389  df-icc 13390  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-seq 14039  df-exp 14099  df-hash 14366  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-clim 15520  df-rlim 15521  df-sum 15719  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-submnd 18809  df-mulg 19098  df-cntz 19347  df-cmn 19814  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-met 21375  df-bl 21376  df-mopn 21377  df-fbas 21378  df-fg 21379  df-cnfld 21382  df-top 22915  df-topon 22932  df-topsp 22954  df-bases 22968  df-cld 23042  df-ntr 23043  df-cls 23044  df-nei 23121  df-cn 23250  df-cnp 23251  df-lm 23252  df-haus 23338  df-tx 23585  df-hmeo 23778  df-fil 23869  df-fm 23961  df-flim 23962  df-flf 23963  df-xms 24345  df-ms 24346  df-tms 24347  df-cfil 25302  df-cau 25303  df-cmet 25304  df-grpo 30521  df-gid 30522  df-ginv 30523  df-gdiv 30524  df-ablo 30573  df-vc 30587  df-nv 30620  df-va 30623  df-ba 30624  df-sm 30625  df-0v 30626  df-vs 30627  df-nmcv 30628  df-ims 30629  df-dip 30729  df-ssp 30750  df-ph 30841  df-cbn 30891  df-hnorm 30996  df-hba 30997  df-hvsub 30999  df-hlim 31000  df-hcau 31001  df-sh 31235  df-ch 31249  df-oc 31280  df-ch0 31281  df-shs 31336  df-span 31337  df-chj 31338  df-chsup 31339  df-pjh 31423  df-cv 32307  df-at 32366

This theorem is referenced by:  mdsymlem6  32436