Theorem mdsymlem5 32503

Description: Lemma for mdsymi 32507. (Contributed by NM, 2-Jul-2004.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdsymlem1.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
mdsymlem1.2	⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
mdsymlem1.3	⊢ 𝐶 = (𝐴 ∨ℋ 𝑝)

Assertion

Ref	Expression
mdsymlem5	⊢ ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → (¬ 𝑞 = 𝑝 → ((𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵)) → (((𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑐) ∧ 𝑝 ∈ HAtoms) → (𝑝 ⊆ 𝑐 → 𝑝 ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴))))))

Distinct variable groups:   𝑟,𝑞,𝐶   𝑝,𝑐,𝑞,𝑟,𝐴   𝐵,𝑐,𝑝,𝑞,𝑟

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑝,𝑐)

Proof of Theorem mdsymlem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ne 2936	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑞 ≠ 𝑝 ↔ ¬ 𝑞 = 𝑝)
2		atnemeq0 32473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ∈ HAtoms) → (𝑞 ≠ 𝑝 ↔ (𝑞 ∩ 𝑝) = 0ℋ))
3	1, 2	bitr3id 286	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ∈ HAtoms) → (¬ 𝑞 = 𝑝 ↔ (𝑞 ∩ 𝑝) = 0ℋ))
4	3	anbi2d 636	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ∈ HAtoms) → ((𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝) ↔ (𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ∩ 𝑝) = 0ℋ)))
5	4	3adant3 1138	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → ((𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝) ↔ (𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ∩ 𝑝) = 0ℋ)))
6		atelch 32440	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑞 ∈ HAtoms → 𝑞 ∈ Cℋ )
7		atexch 32477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → ((𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ∩ 𝑝) = 0ℋ) → 𝑟 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑝)))
8	6, 7	syl3an1 1169	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → ((𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ∩ 𝑝) = 0ℋ) → 𝑟 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑝)))
9	5, 8	sylbid 241	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → ((𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝) → 𝑟 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑝)))
10	9	expd 416	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → (𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) → (¬ 𝑞 = 𝑝 → 𝑟 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑝))))
11	10	3com23 1132	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ∈ HAtoms) → (𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) → (¬ 𝑞 = 𝑝 → 𝑟 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑝))))
12	11	3expa 1124	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ 𝑝 ∈ HAtoms) → (𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) → (¬ 𝑞 = 𝑝 → 𝑟 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑝))))
13	12	adantrl 722	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ HAtoms)) → (𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) → (¬ 𝑞 = 𝑝 → 𝑟 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑝))))
14	13	adantrd 492	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ HAtoms)) → ((𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵)) → (¬ 𝑞 = 𝑝 → 𝑟 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑝))))
15	14	imp32 419	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ HAtoms)) ∧ ((𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝)) → 𝑟 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑝))
16	15	adantrl 722	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ HAtoms)) ∧ (𝐴 ⊆ 𝑐 ∧ ((𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝))) → 𝑟 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑝))
17	16	adantrr 723	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ HAtoms)) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝑐 ∧ ((𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝)) ∧ 𝑝 ⊆ 𝑐)) → 𝑟 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑝))
18		simplrl 782	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝) → 𝑞 ⊆ 𝐴)
19		atelch 32440	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑝 ∈ HAtoms → 𝑝 ∈ Cℋ )
20	19	anim1i 621	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) → (𝑝 ∈ Cℋ ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ))
21	20	ancoms 459	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ HAtoms) → (𝑝 ∈ Cℋ ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ))
22		mdsymlem1.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
23		chub2 31604	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) → 𝐴 ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴))
24	22, 23	mpan 696	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑐 ∈ Cℋ → 𝐴 ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴))
25		sstr 3930	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴)) → 𝑞 ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴))
26	24, 25	sylan2 599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) → 𝑞 ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴))
27		chub1 31603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → 𝑐 ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴))
28	22, 27	mpan2 697	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑐 ∈ Cℋ → 𝑐 ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴))
29		sstr 3930	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑝 ⊆ 𝑐 ∧ 𝑐 ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴)) → 𝑝 ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴))
30	28, 29	sylan2 599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑝 ⊆ 𝑐 ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) → 𝑝 ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴))
31	26, 30	anim12i 619	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) ∧ (𝑝 ⊆ 𝑐 ∧ 𝑐 ∈ Cℋ )) → (𝑞 ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴) ∧ 𝑝 ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴)))
32	31	anandirs 685	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ⊆ 𝑐) ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) → (𝑞 ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴) ∧ 𝑝 ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴)))
33	32	ancoms 459	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑐 ∈ Cℋ ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ⊆ 𝑐)) → (𝑞 ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴) ∧ 𝑝 ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴)))
34	33	adantll 720	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ⊆ 𝑐)) → (𝑞 ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴) ∧ 𝑝 ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴)))
35		chjcl 31453	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → (𝑐 ∨ℋ 𝐴) ∈ Cℋ )
36	22, 35	mpan2 697	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑐 ∈ Cℋ → (𝑐 ∨ℋ 𝐴) ∈ Cℋ )
37		chlub 31605	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ Cℋ ∧ (𝑐 ∨ℋ 𝐴) ∈ Cℋ ) → ((𝑞 ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴) ∧ 𝑝 ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴)) ↔ (𝑞 ∨ℋ 𝑝) ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴)))
38	36, 37	syl3an3 1171	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ Cℋ ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) → ((𝑞 ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴) ∧ 𝑝 ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴)) ↔ (𝑞 ∨ℋ 𝑝) ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴)))
39	38	3expa 1124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) → ((𝑞 ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴) ∧ 𝑝 ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴)) ↔ (𝑞 ∨ℋ 𝑝) ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴)))
40	39	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ⊆ 𝑐)) → ((𝑞 ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴) ∧ 𝑝 ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴)) ↔ (𝑞 ∨ℋ 𝑝) ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴)))
41	34, 40	mpbid 233	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ⊆ 𝑐)) → (𝑞 ∨ℋ 𝑝) ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴))
42	41	adantrl 722	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐴 ⊆ 𝑐 ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ⊆ 𝑐))) → (𝑞 ∨ℋ 𝑝) ⊆ (𝑐 ∨ℋ 𝐴))
43		chlejb2 31609	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) → (𝐴 ⊆ 𝑐 ↔ (𝑐 ∨ℋ 𝐴) = 𝑐))
44	22, 43	mpan 696	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑐 ∈ Cℋ → (𝐴 ⊆ 𝑐 ↔ (𝑐 ∨ℋ 𝐴) = 𝑐))
45	44	biimpa 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑐) → (𝑐 ∨ℋ 𝐴) = 𝑐)
46	45	ad2ant2lr 754	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐴 ⊆ 𝑐 ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ⊆ 𝑐))) → (𝑐 ∨ℋ 𝐴) = 𝑐)
47	42, 46	sseqtrd 3958	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐴 ⊆ 𝑐 ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ⊆ 𝑐))) → (𝑞 ∨ℋ 𝑝) ⊆ 𝑐)
48	47	exp45 439	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) → (𝐴 ⊆ 𝑐 → (𝑞 ⊆ 𝐴 → (𝑝 ⊆ 𝑐 → (𝑞 ∨ℋ 𝑝) ⊆ 𝑐))))
49	48	anasss 467	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑞 ∈ Cℋ ∧ (𝑝 ∈ Cℋ ∧ 𝑐 ∈ Cℋ )) → (𝐴 ⊆ 𝑐 → (𝑞 ⊆ 𝐴 → (𝑝 ⊆ 𝑐 → (𝑞 ∨ℋ 𝑝) ⊆ 𝑐))))
50	6, 21, 49	syl2an 602	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ (𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ HAtoms)) → (𝐴 ⊆ 𝑐 → (𝑞 ⊆ 𝐴 → (𝑝 ⊆ 𝑐 → (𝑞 ∨ℋ 𝑝) ⊆ 𝑐))))
51	50	adantlr 721	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ HAtoms)) → (𝐴 ⊆ 𝑐 → (𝑞 ⊆ 𝐴 → (𝑝 ⊆ 𝑐 → (𝑞 ∨ℋ 𝑝) ⊆ 𝑐))))
52	18, 51	syl7 74	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ HAtoms)) → (𝐴 ⊆ 𝑐 → (((𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝) → (𝑝 ⊆ 𝑐 → (𝑞 ∨ℋ 𝑝) ⊆ 𝑐))))
53	52	imp44 429	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ HAtoms)) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝑐 ∧ ((𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝)) ∧ 𝑝 ⊆ 𝑐)) → (𝑞 ∨ℋ 𝑝) ⊆ 𝑐)
54	17, 53	sstrd 3932	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ HAtoms)) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝑐 ∧ ((𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝)) ∧ 𝑝 ⊆ 𝑐)) → 𝑟 ⊆ 𝑐)
55		simplrr 783	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝) → 𝑟 ⊆ 𝐵)
56	55	ad2antlr 733	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ⊆ 𝑐 ∧ ((𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝)) ∧ 𝑝 ⊆ 𝑐) → 𝑟 ⊆ 𝐵)
57	56	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ HAtoms)) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝑐 ∧ ((𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝)) ∧ 𝑝 ⊆ 𝑐)) → 𝑟 ⊆ 𝐵)
58	54, 57	ssind 4176	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ HAtoms)) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝑐 ∧ ((𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝)) ∧ 𝑝 ⊆ 𝑐)) → 𝑟 ⊆ (𝑐 ∩ 𝐵))
59		atelch 32440	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑟 ∈ HAtoms → 𝑟 ∈ Cℋ )
60	6, 59	anim12i 619	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → (𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑟 ∈ Cℋ ))
61		mdsymlem1.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
62		chincl 31595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝑐 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ )
63	61, 62	mpan2 697	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑐 ∈ Cℋ → (𝑐 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ )
64		chlej1 31606	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑟 ∈ Cℋ ∧ (𝑐 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑐 ∩ 𝐵)) → (𝑟 ∨ℋ 𝑞) ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑞))
65	64	ex 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑟 ∈ Cℋ ∧ (𝑐 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ∈ Cℋ ) → (𝑟 ⊆ (𝑐 ∩ 𝐵) → (𝑟 ∨ℋ 𝑞) ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑞)))
66	63, 65	syl3an2 1170	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑟 ∈ Cℋ ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ∈ Cℋ ) → (𝑟 ⊆ (𝑐 ∩ 𝐵) → (𝑟 ∨ℋ 𝑞) ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑞)))
67	66	3comr 1131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑟 ∈ Cℋ ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) → (𝑟 ⊆ (𝑐 ∩ 𝐵) → (𝑟 ∨ℋ 𝑞) ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑞)))
68	67	3expa 1124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑟 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) → (𝑟 ⊆ (𝑐 ∩ 𝐵) → (𝑟 ∨ℋ 𝑞) ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑞)))
69	68	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑟 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑞 ⊆ 𝐴) → (𝑟 ⊆ (𝑐 ∩ 𝐵) → (𝑟 ∨ℋ 𝑞) ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑞)))
70		chlej2 31607	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ∧ (𝑐 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ ) ∧ 𝑞 ⊆ 𝐴) → ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑞) ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴))
71	22, 70	mp3anl2 1464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑞 ∈ Cℋ ∧ (𝑐 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ ) ∧ 𝑞 ⊆ 𝐴) → ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑞) ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴))
72	63, 71	sylanl2 687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑞 ⊆ 𝐴) → ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑞) ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴))
73	72	adantllr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑟 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑞 ⊆ 𝐴) → ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑞) ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴))
74		sstr2 3929	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑟 ∨ℋ 𝑞) ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑞) → (((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑞) ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴) → (𝑟 ∨ℋ 𝑞) ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴)))
75	73, 74	syl5com 31	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑟 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑞 ⊆ 𝐴) → ((𝑟 ∨ℋ 𝑞) ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑞) → (𝑟 ∨ℋ 𝑞) ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴)))
76		chjcom 31602	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑟 ∈ Cℋ ) → (𝑞 ∨ℋ 𝑟) = (𝑟 ∨ℋ 𝑞))
77	76	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑟 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑞 ⊆ 𝐴) → (𝑞 ∨ℋ 𝑟) = (𝑟 ∨ℋ 𝑞))
78	77	sseq1d 3953	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑟 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑞 ⊆ 𝐴) → ((𝑞 ∨ℋ 𝑟) ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴) ↔ (𝑟 ∨ℋ 𝑞) ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴)))
79	75, 78	sylibrd 260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑟 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑞 ⊆ 𝐴) → ((𝑟 ∨ℋ 𝑞) ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝑞) → (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴)))
80	69, 79	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑟 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑞 ⊆ 𝐴) → (𝑟 ⊆ (𝑐 ∩ 𝐵) → (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴)))
81	80	adantrl 722	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑟 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) ∧ (𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ 𝑞 ⊆ 𝐴)) → (𝑟 ⊆ (𝑐 ∩ 𝐵) → (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴)))
82		sstr2 3929	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) → ((𝑞 ∨ℋ 𝑟) ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴) → 𝑝 ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴)))
83	82	ad2antrl 734	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑟 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) ∧ (𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ 𝑞 ⊆ 𝐴)) → ((𝑞 ∨ℋ 𝑟) ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴) → 𝑝 ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴)))
84	81, 83	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑟 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) ∧ (𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ 𝑞 ⊆ 𝐴)) → (𝑟 ⊆ (𝑐 ∩ 𝐵) → 𝑝 ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴)))
85	84	exp32 421	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑟 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) → (𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) → (𝑞 ⊆ 𝐴 → (𝑟 ⊆ (𝑐 ∩ 𝐵) → 𝑝 ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴)))))
86	60, 85	sylan 586	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) → (𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) → (𝑞 ⊆ 𝐴 → (𝑟 ⊆ (𝑐 ∩ 𝐵) → 𝑝 ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴)))))
87	86	adantrr 723	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ HAtoms)) → (𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) → (𝑞 ⊆ 𝐴 → (𝑟 ⊆ (𝑐 ∩ 𝐵) → 𝑝 ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴)))))
88	87	imp31 418	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ HAtoms)) ∧ 𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟)) ∧ 𝑞 ⊆ 𝐴) → (𝑟 ⊆ (𝑐 ∩ 𝐵) → 𝑝 ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴)))
89	88	adantrr 723	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ HAtoms)) ∧ 𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟)) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵)) → (𝑟 ⊆ (𝑐 ∩ 𝐵) → 𝑝 ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴)))
90	89	anasss 467	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ HAtoms)) ∧ (𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵))) → (𝑟 ⊆ (𝑐 ∩ 𝐵) → 𝑝 ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴)))
91	90	adantrr 723	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ HAtoms)) ∧ ((𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝)) → (𝑟 ⊆ (𝑐 ∩ 𝐵) → 𝑝 ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴)))
92	91	adantrl 722	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ HAtoms)) ∧ (𝐴 ⊆ 𝑐 ∧ ((𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝))) → (𝑟 ⊆ (𝑐 ∩ 𝐵) → 𝑝 ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴)))
93	92	adantrr 723	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ HAtoms)) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝑐 ∧ ((𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝)) ∧ 𝑝 ⊆ 𝑐)) → (𝑟 ⊆ (𝑐 ∩ 𝐵) → 𝑝 ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴)))
94	58, 93	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ HAtoms)) ∧ ((𝐴 ⊆ 𝑐 ∧ ((𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝)) ∧ 𝑝 ⊆ 𝑐)) → 𝑝 ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴))
95	94	exp32 421	. . . . . 6 ⊢ (((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ HAtoms)) → ((𝐴 ⊆ 𝑐 ∧ ((𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝)) → (𝑝 ⊆ 𝑐 → 𝑝 ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴))))
96	95	exp4d 434	. . . . 5 ⊢ (((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ (𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ HAtoms)) → (𝐴 ⊆ 𝑐 → ((𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵)) → (¬ 𝑞 = 𝑝 → (𝑝 ⊆ 𝑐 → 𝑝 ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴))))))
97	96	exp32 421	. . . 4 ⊢ ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → (𝑐 ∈ Cℋ → (𝑝 ∈ HAtoms → (𝐴 ⊆ 𝑐 → ((𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵)) → (¬ 𝑞 = 𝑝 → (𝑝 ⊆ 𝑐 → 𝑝 ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴))))))))
98	97	com34 91	. . 3 ⊢ ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → (𝑐 ∈ Cℋ → (𝐴 ⊆ 𝑐 → (𝑝 ∈ HAtoms → ((𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵)) → (¬ 𝑞 = 𝑝 → (𝑝 ⊆ 𝑐 → 𝑝 ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴))))))))
99	98	imp4c 424	. 2 ⊢ ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → (((𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑐) ∧ 𝑝 ∈ HAtoms) → ((𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵)) → (¬ 𝑞 = 𝑝 → (𝑝 ⊆ 𝑐 → 𝑝 ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴))))))
100	99	com24 95	1 ⊢ ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → (¬ 𝑞 = 𝑝 → ((𝑝 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑟) ∧ (𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵)) → (((𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑐) ∧ 𝑝 ∈ HAtoms) → (𝑝 ⊆ 𝑐 → 𝑝 ⊆ ((𝑐 ∩ 𝐵) ∨ℋ 𝐴))))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2935   ∩ cin 3889   ⊆ wss 3890  (class class class)co 7363   C_ℋ cch 31025   ∨_ℋ chj 31029  0_ℋc0h 31031  HAtomscat 31061

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-inf2 9560  ax-cc 10355  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113  ax-pre-sup 11114  ax-addf 11115  ax-mulf 11116  ax-hilex 31095  ax-hfvadd 31096  ax-hvcom 31097  ax-hvass 31098  ax-hv0cl 31099  ax-hvaddid 31100  ax-hfvmul 31101  ax-hvmulid 31102  ax-hvmulass 31103  ax-hvdistr1 31104  ax-hvdistr2 31105  ax-hvmul0 31106  ax-hfi 31175  ax-his1 31178  ax-his2 31179  ax-his3 31180  ax-his4 31181  ax-hcompl 31298

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-iin 4931  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-of 7627  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-supp 8108  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-2o 8403  df-oadd 8406  df-omul 8407  df-er 8640  df-map 8772  df-pm 8773  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9272  df-fi 9321  df-sup 9352  df-inf 9353  df-oi 9422  df-card 9861  df-acn 9864  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-div 11806  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-4 12244  df-5 12245  df-6 12246  df-7 12247  df-8 12248  df-9 12249  df-n0 12436  df-z 12523  df-dec 12643  df-uz 12787  df-q 12897  df-rp 12941  df-xneg 13061  df-xadd 13062  df-xmul 13063  df-ioo 13300  df-ico 13302  df-icc 13303  df-fz 13460  df-fzo 13607  df-fl 13749  df-seq 13962  df-exp 14022  df-hash 14291  df-cj 15059  df-re 15060  df-im 15061  df-sqrt 15195  df-abs 15196  df-clim 15448  df-rlim 15449  df-sum 15647  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17178  df-ress 17199  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-starv 17233  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-ip 17236  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ds 17240  df-unif 17241  df-hom 17242  df-cco 17243  df-rest 17383  df-topn 17384  df-0g 17402  df-gsum 17403  df-topgen 17404  df-pt 17405  df-prds 17408  df-xrs 17464  df-qtop 17469  df-imas 17470  df-xps 17472  df-mre 17546  df-mrc 17547  df-acs 17549  df-mgm 18606  df-sgrp 18685  df-mnd 18701  df-submnd 18750  df-mulg 19042  df-cntz 19290  df-cmn 19755  df-psmet 21346  df-xmet 21347  df-met 21348  df-bl 21349  df-mopn 21350  df-fbas 21351  df-fg 21352  df-cnfld 21355  df-top 22884  df-topon 22901  df-topsp 22923  df-bases 22936  df-cld 23009  df-ntr 23010  df-cls 23011  df-nei 23088  df-cn 23217  df-cnp 23218  df-lm 23219  df-haus 23305  df-tx 23552  df-hmeo 23745  df-fil 23836  df-fm 23928  df-flim 23929  df-flf 23930  df-xms 24310  df-ms 24311  df-tms 24312  df-cfil 25247  df-cau 25248  df-cmet 25249  df-grpo 30589  df-gid 30590  df-ginv 30591  df-gdiv 30592  df-ablo 30641  df-vc 30655  df-nv 30688  df-va 30691  df-ba 30692  df-sm 30693  df-0v 30694  df-vs 30695  df-nmcv 30696  df-ims 30697  df-dip 30797  df-ssp 30818  df-ph 30909  df-cbn 30959  df-hnorm 31064  df-hba 31065  df-hvsub 31067  df-hlim 31068  df-hcau 31069  df-sh 31303  df-ch 31317  df-oc 31348  df-ch0 31349  df-shs 31404  df-span 31405  df-chj 31406  df-chsup 31407  df-pjh 31491  df-cv 32375  df-at 32434

This theorem is referenced by:  mdsymlem6  32504