Theorem chirredlem4 30474

Description: Lemma for chirredi 30475. (Contributed by NM, 15-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
chirred.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
chirred.2	⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → 𝐴 𝐶ℋ 𝑥)

Assertion

Ref	Expression
chirredlem4	⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ (𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) → (𝑟 = 𝑝 ∨ 𝑟 = 𝑞))

Distinct variable group:   𝑞,𝑝,𝑟,𝑥,𝐴

Proof of Theorem chirredlem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		atelch 30425	. . . . 5 ⊢ (𝑟 ∈ HAtoms → 𝑟 ∈ Cℋ )
2		breq2 5057	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑟 → (𝐴 𝐶ℋ 𝑥 ↔ 𝐴 𝐶ℋ 𝑟))
3		chirred.2	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → 𝐴 𝐶ℋ 𝑥)
4	2, 3	vtoclga 3489	. . . . 5 ⊢ (𝑟 ∈ Cℋ → 𝐴 𝐶ℋ 𝑟)
5	1, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑟 ∈ HAtoms → 𝐴 𝐶ℋ 𝑟)
6		chirred.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
7	6	atordi 30465	. . . 4 ⊢ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝐴 𝐶ℋ 𝑟) → (𝑟 ⊆ 𝐴 ∨ 𝑟 ⊆ (⊥‘𝐴)))
8	5, 7	mpdan 687	. . 3 ⊢ (𝑟 ∈ HAtoms → (𝑟 ⊆ 𝐴 ∨ 𝑟 ⊆ (⊥‘𝐴)))
9	8	ad2antrl 728	. 2 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ (𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) → (𝑟 ⊆ 𝐴 ∨ 𝑟 ⊆ (⊥‘𝐴)))
10	6, 3	chirredlem3 30473	. . 3 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ (𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) → (𝑟 ⊆ 𝐴 → 𝑟 = 𝑝))
11	6	ococi 29486	. . . . . . . 8 ⊢ (⊥‘(⊥‘𝐴)) = 𝐴
12	11	sseq2i 3930	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐴)) ↔ 𝑝 ⊆ 𝐴)
13	12	biimpri 231	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 ⊆ 𝐴 → 𝑝 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐴)))
14		atelch 30425	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑞 ∈ HAtoms → 𝑞 ∈ Cℋ )
15		atelch 30425	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 ∈ HAtoms → 𝑝 ∈ Cℋ )
16		chjcom 29587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ Cℋ ) → (𝑞 ∨ℋ 𝑝) = (𝑝 ∨ℋ 𝑞))
17	14, 15, 16	syl2an 599	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ∈ HAtoms) → (𝑞 ∨ℋ 𝑝) = (𝑝 ∨ℋ 𝑞))
18	17	sseq2d 3933	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ∈ HAtoms) → (𝑟 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑝) ↔ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞)))
19	18	anbi2d 632	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ∈ HAtoms) → ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑝)) ↔ (𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))))
20	19	ad2ant2r 747	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴)) ∧ (𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐴)))) → ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑝)) ↔ (𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))))
21	6	choccli 29388	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊥‘𝐴) ∈ Cℋ
22		cmcm3 29696	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → (𝐴 𝐶ℋ 𝑥 ↔ (⊥‘𝐴) 𝐶ℋ 𝑥))
23	6, 22	mpan 690	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → (𝐴 𝐶ℋ 𝑥 ↔ (⊥‘𝐴) 𝐶ℋ 𝑥))
24	3, 23	mpbid 235	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → (⊥‘𝐴) 𝐶ℋ 𝑥)
25	21, 24	chirredlem3 30473	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴)) ∧ (𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐴)))) ∧ (𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑝))) → (𝑟 ⊆ (⊥‘𝐴) → 𝑟 = 𝑞))
26	25	ex 416	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴)) ∧ (𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐴)))) → ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ (𝑞 ∨ℋ 𝑝)) → (𝑟 ⊆ (⊥‘𝐴) → 𝑟 = 𝑞)))
27	20, 26	sylbird 263	. . . . . 6 ⊢ (((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴)) ∧ (𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐴)))) → ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞)) → (𝑟 ⊆ (⊥‘𝐴) → 𝑟 = 𝑞)))
28	13, 27	sylanr2 683	. . . . 5 ⊢ (((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴)) ∧ (𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴)) → ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞)) → (𝑟 ⊆ (⊥‘𝐴) → 𝑟 = 𝑞)))
29	28	imp 410	. . . 4 ⊢ ((((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴)) ∧ (𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) → (𝑟 ⊆ (⊥‘𝐴) → 𝑟 = 𝑞))
30	29	ancom1s 653	. . 3 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ (𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) → (𝑟 ⊆ (⊥‘𝐴) → 𝑟 = 𝑞))
31	10, 30	orim12d 965	. 2 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ (𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) → ((𝑟 ⊆ 𝐴 ∨ 𝑟 ⊆ (⊥‘𝐴)) → (𝑟 = 𝑝 ∨ 𝑟 = 𝑞)))
32	9, 31	mpd 15	1 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ (𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) → (𝑟 = 𝑝 ∨ 𝑟 = 𝑞))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 847   = wceq 1543   ∈ wcel 2110   ⊆ wss 3866   class class class wbr 5053  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213   C_ℋ cch 29010  ⊥cort 29011   ∨_ℋ chj 29014   𝐶_ℋ ccm 29017  HAtomscat 29046

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-inf2 9256  ax-cc 10049  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807  ax-addf 10808  ax-mulf 10809  ax-hilex 29080  ax-hfvadd 29081  ax-hvcom 29082  ax-hvass 29083  ax-hv0cl 29084  ax-hvaddid 29085  ax-hfvmul 29086  ax-hvmulid 29087  ax-hvmulass 29088  ax-hvdistr1 29089  ax-hvdistr2 29090  ax-hvmul0 29091  ax-hfi 29160  ax-his1 29163  ax-his2 29164  ax-his3 29165  ax-his4 29166  ax-hcompl 29283

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-iin 4907  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-isom 6389  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-of 7469  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-supp 7904  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-2o 8203  df-oadd 8206  df-omul 8207  df-er 8391  df-map 8510  df-pm 8511  df-ixp 8579  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-fsupp 8986  df-fi 9027  df-sup 9058  df-inf 9059  df-oi 9126  df-card 9555  df-acn 9558  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-4 11895  df-5 11896  df-6 11897  df-7 11898  df-8 11899  df-9 11900  df-n0 12091  df-z 12177  df-dec 12294  df-uz 12439  df-q 12545  df-rp 12587  df-xneg 12704  df-xadd 12705  df-xmul 12706  df-ioo 12939  df-ico 12941  df-icc 12942  df-fz 13096  df-fzo 13239  df-fl 13367  df-seq 13575  df-exp 13636  df-hash 13897  df-cj 14662  df-re 14663  df-im 14664  df-sqrt 14798  df-abs 14799  df-clim 15049  df-rlim 15050  df-sum 15250  df-struct 16700  df-sets 16717  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-ress 16785  df-plusg 16815  df-mulr 16816  df-starv 16817  df-sca 16818  df-vsca 16819  df-ip 16820  df-tset 16821  df-ple 16822  df-ds 16824  df-unif 16825  df-hom 16826  df-cco 16827  df-rest 16927  df-topn 16928  df-0g 16946  df-gsum 16947  df-topgen 16948  df-pt 16949  df-prds 16952  df-xrs 17007  df-qtop 17012  df-imas 17013  df-xps 17015  df-mre 17089  df-mrc 17090  df-acs 17092  df-mgm 18114  df-sgrp 18163  df-mnd 18174  df-submnd 18219  df-mulg 18489  df-cntz 18711  df-cmn 19172  df-psmet 20355  df-xmet 20356  df-met 20357  df-bl 20358  df-mopn 20359  df-fbas 20360  df-fg 20361  df-cnfld 20364  df-top 21791  df-topon 21808  df-topsp 21830  df-bases 21843  df-cld 21916  df-ntr 21917  df-cls 21918  df-nei 21995  df-cn 22124  df-cnp 22125  df-lm 22126  df-haus 22212  df-tx 22459  df-hmeo 22652  df-fil 22743  df-fm 22835  df-flim 22836  df-flf 22837  df-xms 23218  df-ms 23219  df-tms 23220  df-cfil 24152  df-cau 24153  df-cmet 24154  df-grpo 28574  df-gid 28575  df-ginv 28576  df-gdiv 28577  df-ablo 28626  df-vc 28640  df-nv 28673  df-va 28676  df-ba 28677  df-sm 28678  df-0v 28679  df-vs 28680  df-nmcv 28681  df-ims 28682  df-dip 28782  df-ssp 28803  df-ph 28894  df-cbn 28944  df-hnorm 29049  df-hba 29050  df-hvsub 29052  df-hlim 29053  df-hcau 29054  df-sh 29288  df-ch 29302  df-oc 29333  df-ch0 29334  df-shs 29389  df-span 29390  df-chj 29391  df-chsup 29392  df-pjh 29476  df-cm 29664  df-cv 30360  df-at 30419

This theorem is referenced by:  chirredi  30475