Theorem atcvat4i 32749

Description: A condition implying existence of an atom with the properties shown. Lemma 3.2.20 of [PtakPulmannova] p. 68. (Contributed by NM, 2-Jul-2004.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
atcvat3.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
atcvat4i	⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → ((𝐴 ≠ 0ℋ ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝑥))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶

Proof of Theorem atcvat4i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		atcvat3.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
2	1	hatomici 32711	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ≠ 0ℋ → ∃𝑥 ∈ HAtoms 𝑥 ⊆ 𝐴)
3		atelch 32696	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐶 ∈ HAtoms → 𝐶 ∈ Cℋ )
4		atelch 32696	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ HAtoms → 𝑥 ∈ Cℋ )
5		chub1 31859	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐶 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → 𝐶 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝑥))
6	3, 4, 5	syl2an 607	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐶 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) → 𝐶 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝑥))
7		sseq1 3962	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵 = 𝐶 → (𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝑥) ↔ 𝐶 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝑥)))
8	6, 7	imbitrrid 249	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 = 𝐶 → ((𝐶 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) → 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝑥)))
9	8	expd 420	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 = 𝐶 → (𝐶 ∈ HAtoms → (𝑥 ∈ HAtoms → 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝑥))))
10	9	impcom 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 = 𝐶) → (𝑥 ∈ HAtoms → 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝑥)))
11	10	anim2d 623	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 = 𝐶) → ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) → (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝑥))))
12	11	expcomd 421	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 = 𝐶) → (𝑥 ∈ HAtoms → (𝑥 ⊆ 𝐴 → (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝑥)))))
13	12	reximdvai 3176	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 = 𝐶) → (∃𝑥 ∈ HAtoms 𝑥 ⊆ 𝐴 → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝑥))))
14	2, 13	syl5 35	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 = 𝐶) → (𝐴 ≠ 0ℋ → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝑥))))
15	14	ex 417	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ HAtoms → (𝐵 = 𝐶 → (𝐴 ≠ 0ℋ → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝑥)))))
16	15	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶) → (𝐶 ∈ HAtoms → (𝐵 = 𝐶 → (𝐴 ≠ 0ℋ → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝑥))))))
17	16	com4l 93	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ HAtoms → (𝐵 = 𝐶 → (𝐴 ≠ 0ℋ → (𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝑥))))))
18	17	imp4a 427	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ HAtoms → (𝐵 = 𝐶 → ((𝐴 ≠ 0ℋ ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝑥)))))
19	18	adantl 486	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (𝐵 = 𝐶 → ((𝐴 ≠ 0ℋ ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝑥)))))
20		atelch 32696	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ HAtoms → 𝐵 ∈ Cℋ )
21		chlejb2 31865	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐶 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → (𝐶 ⊆ 𝐴 ↔ (𝐴 ∨ℋ 𝐶) = 𝐴))
22	1, 21	mpan2 703	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐶 ∈ Cℋ → (𝐶 ⊆ 𝐴 ↔ (𝐴 ∨ℋ 𝐶) = 𝐴))
23	22	biimpa 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐶 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∨ℋ 𝐶) = 𝐴)
24	23	sseq2d 3969	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴) → (𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶) ↔ 𝐵 ⊆ 𝐴))
25	24	biimpa 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐶 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)) → 𝐵 ⊆ 𝐴)
26	25	expl 462	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ Cℋ → ((𝐶 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)) → 𝐵 ⊆ 𝐴))
27	26	adantl 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → ((𝐶 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)) → 𝐵 ⊆ 𝐴))
28		chub2 31860	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝐵))
29	27, 28	jctird 535	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → ((𝐶 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)) → (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝐵))))
30	20, 3, 29	syl2an 607	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → ((𝐶 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)) → (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝐵))))
31		simpl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → 𝐵 ∈ HAtoms)
32	30, 31	jctild 534	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → ((𝐶 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)) → (𝐵 ∈ HAtoms ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝐵)))))
33	32	impl 460	. . . . 5 ⊢ ((((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)) → (𝐵 ∈ HAtoms ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝐵))))
34		sseq1 3962	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 ⊆ 𝐴 ↔ 𝐵 ⊆ 𝐴))
35		oveq2 7418	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝐶 ∨ℋ 𝑥) = (𝐶 ∨ℋ 𝐵))
36	35	sseq2d 3969	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝑥) ↔ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝐵)))
37	34, 36	anbi12d 643	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝑥)) ↔ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝐵))))
38	37	rspcev 3581	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝐵))) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝑥)))
39	33, 38	syl 18	. . . 4 ⊢ ((((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝑥)))
40	39	adantrl 728	. . 3 ⊢ ((((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴) ∧ (𝐴 ≠ 0ℋ ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶))) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝑥)))
41	40	exp31 424	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (𝐶 ⊆ 𝐴 → ((𝐴 ≠ 0ℋ ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝑥)))))
42		simpr 489	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≠ 0ℋ ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)) → 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶))
43		ioran 999	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐶 ⊆ 𝐴) ↔ (¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ ¬ 𝐶 ⊆ 𝐴))
44	1	atcvat3i 32748	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (((¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ ¬ 𝐶 ⊆ 𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)) → (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ∈ HAtoms))
45	3	ad2antlr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ ¬ 𝐶 ⊆ 𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶))) → 𝐶 ∈ Cℋ )
46	44	imp 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ ¬ 𝐶 ⊆ 𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶))) → (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ∈ HAtoms)
47		simpll 778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ ¬ 𝐶 ⊆ 𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶))) → 𝐵 ∈ HAtoms)
48	45, 46, 47	3jca 1146	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ ¬ 𝐶 ⊆ 𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶))) → (𝐶 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms))
49		inss2 4190	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)
50		chjcom 31858	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → (𝐵 ∨ℋ 𝐶) = (𝐶 ∨ℋ 𝐵))
51	20, 3, 50	syl2an 607	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (𝐵 ∨ℋ 𝐶) = (𝐶 ∨ℋ 𝐵))
52	49, 51	sseqtrid 3979	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝐵))
53	52	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ ¬ 𝐶 ⊆ 𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶))) → (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝐵))
54		atnssm0 32728	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (¬ 𝐶 ⊆ 𝐴 ↔ (𝐴 ∩ 𝐶) = 0ℋ))
55	1, 54	mpan 702	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐶 ∈ HAtoms → (¬ 𝐶 ⊆ 𝐴 ↔ (𝐴 ∩ 𝐶) = 0ℋ))
56	55	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (¬ 𝐶 ⊆ 𝐴 ↔ (𝐴 ∩ 𝐶) = 0ℋ))
57		inss1 4189	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ⊆ 𝐴
58		sslin 4195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ⊆ 𝐴 → (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) ⊆ (𝐶 ∩ 𝐴))
59	57, 58	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) ⊆ (𝐶 ∩ 𝐴)
60		incom 4162	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐶 ∩ 𝐴) = (𝐴 ∩ 𝐶)
61	59, 60	sseqtri 3985	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) ⊆ (𝐴 ∩ 𝐶)
62		sseq2 3963	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐶) = 0ℋ → ((𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) ⊆ (𝐴 ∩ 𝐶) ↔ (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) ⊆ 0ℋ))
63	61, 62	mpbii 236	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐶) = 0ℋ → (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) ⊆ 0ℋ)
64		simpr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → 𝐶 ∈ Cℋ )
65		chjcl 31709	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∈ Cℋ )
66		chincl 31851	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∈ Cℋ ) → (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ∈ Cℋ )
67	1, 65, 66	sylancr 598	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ∈ Cℋ )
68		chincl 31851	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐶 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ∈ Cℋ ) → (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) ∈ Cℋ )
69	64, 67, 68	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) ∈ Cℋ )
70	20, 3, 69	syl2an 607	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) ∈ Cℋ )
71		chle0 31795	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) ∈ Cℋ → ((𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) ⊆ 0ℋ ↔ (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) = 0ℋ))
72	70, 71	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → ((𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) ⊆ 0ℋ ↔ (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) = 0ℋ))
73	63, 72	imbitrid 247	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → ((𝐴 ∩ 𝐶) = 0ℋ → (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) = 0ℋ))
74	56, 73	sylbid 243	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (¬ 𝐶 ⊆ 𝐴 → (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) = 0ℋ))
75	74	imp 411	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ¬ 𝐶 ⊆ 𝐴) → (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) = 0ℋ)
76	75	adantrl 728	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ (¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ ¬ 𝐶 ⊆ 𝐴)) → (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) = 0ℋ)
77	76	adantrr 729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ ¬ 𝐶 ⊆ 𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶))) → (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) = 0ℋ)
78	53, 77	jca 520	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ ¬ 𝐶 ⊆ 𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶))) → ((𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) = 0ℋ))
79		atexch 32733	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → (((𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) = 0ℋ) → 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)))))
80	48, 78, 79	sylc 66	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ ¬ 𝐶 ⊆ 𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶))) → 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))))
81	80, 57	jctil 528	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ ¬ 𝐶 ⊆ 𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶))) → ((𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)))))
82	81	ex 417	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (((¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ ¬ 𝐶 ⊆ 𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)) → ((𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))))))
83	44, 82	jcad 521	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (((¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ ¬ 𝐶 ⊆ 𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)) → ((𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ∈ HAtoms ∧ ((𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)))))))
84		sseq1 3962	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) → (𝑥 ⊆ 𝐴 ↔ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ⊆ 𝐴))
85		oveq2 7418	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) → (𝐶 ∨ℋ 𝑥) = (𝐶 ∨ℋ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))))
86	85	sseq2d 3969	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) → (𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝑥) ↔ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)))))
87	84, 86	anbi12d 643	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) → ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝑥)) ↔ ((𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))))))
88	87	rspcev 3581	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ∈ HAtoms ∧ ((𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))))) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝑥)))
89	83, 88	syl6 36	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (((¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ ¬ 𝐶 ⊆ 𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝑥))))
90	89	expd 420	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → ((¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ ¬ 𝐶 ⊆ 𝐴) → (𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝑥)))))
91	43, 90	biimtrid 245	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (¬ (𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐶 ⊆ 𝐴) → (𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝑥)))))
92	42, 91	syl7 75	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (¬ (𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐶 ⊆ 𝐴) → ((𝐴 ≠ 0ℋ ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝑥)))))
93	19, 41, 92	ecase3d 1050	1 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → ((𝐴 ≠ 0ℋ ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝑥))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∃wrex 3089   ∩ cin 3904   ⊆ wss 3905  (class class class)co 7410   C_ℋ cch 31281   ∨_ℋ chj 31285  0_ℋc0h 31287  HAtomscat 31317

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-inf2 9606  ax-cc 10414  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-pre-sup 11173  ax-addf 11174  ax-mulf 11175  ax-hilex 31351  ax-hfvadd 31352  ax-hvcom 31353  ax-hvass 31354  ax-hv0cl 31355  ax-hvaddid 31356  ax-hfvmul 31357  ax-hvmulid 31358  ax-hvmulass 31359  ax-hvdistr1 31360  ax-hvdistr2 31361  ax-hvmul0 31362  ax-hfi 31431  ax-his1 31434  ax-his2 31435  ax-his3 31436  ax-his4 31437  ax-hcompl 31554

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-oadd 8453  df-omul 8454  df-er 8690  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9318  df-fi 9367  df-sup 9398  df-inf 9399  df-oi 9468  df-card 9921  df-acn 9924  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-9 12305  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12858  df-q 12968  df-rp 13012  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-ioo 13371  df-ico 13373  df-icc 13374  df-fz 13531  df-fzo 13679  df-fl 13821  df-seq 14034  df-exp 14094  df-hash 14363  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-clim 15535  df-rlim 15536  df-sum 15734  df-struct 17202  df-sets 17219  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-ress 17286  df-plusg 17318  df-mulr 17319  df-starv 17320  df-sca 17321  df-vsca 17322  df-ip 17323  df-tset 17324  df-ple 17325  df-ds 17327  df-unif 17328  df-hom 17329  df-cco 17330  df-rest 17470  df-topn 17471  df-0g 17489  df-gsum 17490  df-topgen 17491  df-pt 17492  df-prds 17495  df-xrs 17551  df-qtop 17556  df-imas 17557  df-xps 17559  df-mre 17633  df-mrc 17634  df-acs 17636  df-mgm 18693  df-sgrp 18772  df-mnd 18788  df-submnd 18837  df-mulg 19129  df-cntz 19382  df-cmn 19847  df-psmet 21514  df-xmet 21515  df-met 21516  df-bl 21517  df-mopn 21518  df-fbas 21519  df-fg 21520  df-cnfld 21523  df-top 23051  df-topon 23068  df-topsp 23090  df-bases 23103  df-cld 23176  df-ntr 23177  df-cls 23178  df-nei 23255  df-cn 23384  df-cnp 23385  df-lm 23386  df-haus 23472  df-tx 23719  df-hmeo 23912  df-fil 24003  df-fm 24095  df-flim 24096  df-flf 24097  df-xms 24477  df-ms 24478  df-tms 24479  df-cfil 25414  df-cau 25415  df-cmet 25416  df-grpo 30845  df-gid 30846  df-ginv 30847  df-gdiv 30848  df-ablo 30897  df-vc 30911  df-nv 30944  df-va 30947  df-ba 30948  df-sm 30949  df-0v 30950  df-vs 30951  df-nmcv 30952  df-ims 30953  df-dip 31053  df-ssp 31074  df-ph 31165  df-cbn 31215  df-hnorm 31320  df-hba 31321  df-hvsub 31323  df-hlim 31324  df-hcau 31325  df-sh 31559  df-ch 31573  df-oc 31604  df-ch0 31605  df-shs 31660  df-span 31661  df-chj 31662  df-chsup 31663  df-pjh 31747  df-cv 32631  df-at 32690

This theorem is referenced by:  mdsymlem3  32757