Theorem atcvat4i 32600

Description: A condition implying existence of an atom with the properties shown. Lemma 3.2.20 of [PtakPulmannova] p. 68. (Contributed by NM, 2-Jul-2004.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
atcvat3.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
atcvat4i	⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → ((𝐴 ≠ 0ℋ ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝑥))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶

Proof of Theorem atcvat4i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		atcvat3.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
2	1	hatomici 32562	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ≠ 0ℋ → ∃𝑥 ∈ HAtoms 𝑥 ⊆ 𝐴)
3		atelch 32547	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐶 ∈ HAtoms → 𝐶 ∈ Cℋ )
4		atelch 32547	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ HAtoms → 𝑥 ∈ Cℋ )
5		chub1 31710	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐶 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → 𝐶 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝑥))
6	3, 4, 5	syl2an 605	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐶 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) → 𝐶 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝑥))
7		sseq1 3961	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵 = 𝐶 → (𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝑥) ↔ 𝐶 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝑥)))
8	6, 7	imbitrrid 248	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 = 𝐶 → ((𝐶 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) → 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝑥)))
9	8	expd 419	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 = 𝐶 → (𝐶 ∈ HAtoms → (𝑥 ∈ HAtoms → 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝑥))))
10	9	impcom 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 = 𝐶) → (𝑥 ∈ HAtoms → 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝑥)))
11	10	anim2d 621	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 = 𝐶) → ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) → (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝑥))))
12	11	expcomd 420	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 = 𝐶) → (𝑥 ∈ HAtoms → (𝑥 ⊆ 𝐴 → (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝑥)))))
13	12	reximdvai 3173	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 = 𝐶) → (∃𝑥 ∈ HAtoms 𝑥 ⊆ 𝐴 → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝑥))))
14	2, 13	syl5 34	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 = 𝐶) → (𝐴 ≠ 0ℋ → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝑥))))
15	14	ex 416	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ HAtoms → (𝐵 = 𝐶 → (𝐴 ≠ 0ℋ → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝑥)))))
16	15	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶) → (𝐶 ∈ HAtoms → (𝐵 = 𝐶 → (𝐴 ≠ 0ℋ → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝑥))))))
17	16	com4l 92	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ HAtoms → (𝐵 = 𝐶 → (𝐴 ≠ 0ℋ → (𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝑥))))))
18	17	imp4a 426	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ HAtoms → (𝐵 = 𝐶 → ((𝐴 ≠ 0ℋ ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝑥)))))
19	18	adantl 485	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (𝐵 = 𝐶 → ((𝐴 ≠ 0ℋ ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝑥)))))
20		atelch 32547	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ HAtoms → 𝐵 ∈ Cℋ )
21		chlejb2 31716	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐶 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → (𝐶 ⊆ 𝐴 ↔ (𝐴 ∨ℋ 𝐶) = 𝐴))
22	1, 21	mpan2 701	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐶 ∈ Cℋ → (𝐶 ⊆ 𝐴 ↔ (𝐴 ∨ℋ 𝐶) = 𝐴))
23	22	biimpa 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐶 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∨ℋ 𝐶) = 𝐴)
24	23	sseq2d 3968	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴) → (𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶) ↔ 𝐵 ⊆ 𝐴))
25	24	biimpa 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐶 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)) → 𝐵 ⊆ 𝐴)
26	25	expl 461	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ Cℋ → ((𝐶 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)) → 𝐵 ⊆ 𝐴))
27	26	adantl 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → ((𝐶 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)) → 𝐵 ⊆ 𝐴))
28		chub2 31711	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝐵))
29	27, 28	jctird 534	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → ((𝐶 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)) → (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝐵))))
30	20, 3, 29	syl2an 605	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → ((𝐶 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)) → (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝐵))))
31		simpl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → 𝐵 ∈ HAtoms)
32	30, 31	jctild 533	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → ((𝐶 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)) → (𝐵 ∈ HAtoms ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝐵)))))
33	32	impl 459	. . . . 5 ⊢ ((((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)) → (𝐵 ∈ HAtoms ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝐵))))
34		sseq1 3961	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 ⊆ 𝐴 ↔ 𝐵 ⊆ 𝐴))
35		oveq2 7404	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝐶 ∨ℋ 𝑥) = (𝐶 ∨ℋ 𝐵))
36	35	sseq2d 3968	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝑥) ↔ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝐵)))
37	34, 36	anbi12d 641	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝑥)) ↔ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝐵))))
38	37	rspcev 3581	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝐵))) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝑥)))
39	33, 38	syl 17	. . . 4 ⊢ ((((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝑥)))
40	39	adantrl 726	. . 3 ⊢ ((((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴) ∧ (𝐴 ≠ 0ℋ ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶))) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝑥)))
41	40	exp31 423	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (𝐶 ⊆ 𝐴 → ((𝐴 ≠ 0ℋ ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝑥)))))
42		simpr 488	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≠ 0ℋ ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)) → 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶))
43		ioran 997	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐶 ⊆ 𝐴) ↔ (¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ ¬ 𝐶 ⊆ 𝐴))
44	1	atcvat3i 32599	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (((¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ ¬ 𝐶 ⊆ 𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)) → (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ∈ HAtoms))
45	3	ad2antlr 737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ ¬ 𝐶 ⊆ 𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶))) → 𝐶 ∈ Cℋ )
46	44	imp 410	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ ¬ 𝐶 ⊆ 𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶))) → (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ∈ HAtoms)
47		simpll 776	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ ¬ 𝐶 ⊆ 𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶))) → 𝐵 ∈ HAtoms)
48	45, 46, 47	3jca 1141	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ ¬ 𝐶 ⊆ 𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶))) → (𝐶 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms))
49		inss2 4189	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)
50		chjcom 31709	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → (𝐵 ∨ℋ 𝐶) = (𝐶 ∨ℋ 𝐵))
51	20, 3, 50	syl2an 605	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (𝐵 ∨ℋ 𝐶) = (𝐶 ∨ℋ 𝐵))
52	49, 51	sseqtrid 3978	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝐵))
53	52	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ ¬ 𝐶 ⊆ 𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶))) → (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝐵))
54		atnssm0 32579	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (¬ 𝐶 ⊆ 𝐴 ↔ (𝐴 ∩ 𝐶) = 0ℋ))
55	1, 54	mpan 700	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐶 ∈ HAtoms → (¬ 𝐶 ⊆ 𝐴 ↔ (𝐴 ∩ 𝐶) = 0ℋ))
56	55	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (¬ 𝐶 ⊆ 𝐴 ↔ (𝐴 ∩ 𝐶) = 0ℋ))
57		inss1 4188	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ⊆ 𝐴
58		sslin 4194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ⊆ 𝐴 → (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) ⊆ (𝐶 ∩ 𝐴))
59	57, 58	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) ⊆ (𝐶 ∩ 𝐴)
60		incom 4161	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐶 ∩ 𝐴) = (𝐴 ∩ 𝐶)
61	59, 60	sseqtri 3984	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) ⊆ (𝐴 ∩ 𝐶)
62		sseq2 3962	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐶) = 0ℋ → ((𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) ⊆ (𝐴 ∩ 𝐶) ↔ (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) ⊆ 0ℋ))
63	61, 62	mpbii 235	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐶) = 0ℋ → (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) ⊆ 0ℋ)
64		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → 𝐶 ∈ Cℋ )
65		chjcl 31560	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∈ Cℋ )
66		chincl 31702	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∈ Cℋ ) → (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ∈ Cℋ )
67	1, 65, 66	sylancr 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ∈ Cℋ )
68		chincl 31702	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐶 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ∈ Cℋ ) → (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) ∈ Cℋ )
69	64, 67, 68	syl2anc 593	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) ∈ Cℋ )
70	20, 3, 69	syl2an 605	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) ∈ Cℋ )
71		chle0 31646	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) ∈ Cℋ → ((𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) ⊆ 0ℋ ↔ (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) = 0ℋ))
72	70, 71	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → ((𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) ⊆ 0ℋ ↔ (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) = 0ℋ))
73	63, 72	imbitrid 246	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → ((𝐴 ∩ 𝐶) = 0ℋ → (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) = 0ℋ))
74	56, 73	sylbid 242	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (¬ 𝐶 ⊆ 𝐴 → (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) = 0ℋ))
75	74	imp 410	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ¬ 𝐶 ⊆ 𝐴) → (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) = 0ℋ)
76	75	adantrl 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ (¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ ¬ 𝐶 ⊆ 𝐴)) → (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) = 0ℋ)
77	76	adantrr 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ ¬ 𝐶 ⊆ 𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶))) → (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) = 0ℋ)
78	53, 77	jca 519	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ ¬ 𝐶 ⊆ 𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶))) → ((𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) = 0ℋ))
79		atexch 32584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → (((𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) = 0ℋ) → 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)))))
80	48, 78, 79	sylc 65	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ ¬ 𝐶 ⊆ 𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶))) → 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))))
81	80, 57	jctil 527	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ ¬ 𝐶 ⊆ 𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶))) → ((𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)))))
82	81	ex 416	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (((¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ ¬ 𝐶 ⊆ 𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)) → ((𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))))))
83	44, 82	jcad 520	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (((¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ ¬ 𝐶 ⊆ 𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)) → ((𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ∈ HAtoms ∧ ((𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)))))))
84		sseq1 3961	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) → (𝑥 ⊆ 𝐴 ↔ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ⊆ 𝐴))
85		oveq2 7404	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) → (𝐶 ∨ℋ 𝑥) = (𝐶 ∨ℋ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))))
86	85	sseq2d 3968	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) → (𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝑥) ↔ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)))))
87	84, 86	anbi12d 641	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) → ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝑥)) ↔ ((𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))))))
88	87	rspcev 3581	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ∈ HAtoms ∧ ((𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))))) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝑥)))
89	83, 88	syl6 35	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (((¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ ¬ 𝐶 ⊆ 𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝑥))))
90	89	expd 419	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → ((¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ ¬ 𝐶 ⊆ 𝐴) → (𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝑥)))))
91	43, 90	biimtrid 244	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (¬ (𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐶 ⊆ 𝐴) → (𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝑥)))))
92	42, 91	syl7 74	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (¬ (𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐶 ⊆ 𝐴) → ((𝐴 ≠ 0ℋ ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝑥)))))
93	19, 41, 92	ecase3d 1046	1 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → ((𝐴 ≠ 0ℋ ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝑥))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∨ wo 858   ∧ w3a 1098   = wceq 1560   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  ∃wrex 3086   ∩ cin 3903   ⊆ wss 3904  (class class class)co 7396   C_ℋ cch 31132   ∨_ℋ chj 31136  0_ℋc0h 31138  HAtomscat 31168

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-inf2 9596  ax-cc 10392  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150  ax-pre-sup 11151  ax-addf 11152  ax-mulf 11153  ax-hilex 31202  ax-hfvadd 31203  ax-hvcom 31204  ax-hvass 31205  ax-hv0cl 31206  ax-hvaddid 31207  ax-hfvmul 31208  ax-hvmulid 31209  ax-hvmulass 31210  ax-hvdistr1 31211  ax-hvdistr2 31212  ax-hvmul0 31213  ax-hfi 31282  ax-his1 31285  ax-his2 31286  ax-his3 31287  ax-his4 31288  ax-hcompl 31405

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-iin 4952  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-isom 6530  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-of 7660  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-supp 8141  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-oadd 8441  df-omul 8442  df-er 8678  df-map 8810  df-pm 8811  df-ixp 8880  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-fsupp 9308  df-fi 9357  df-sup 9388  df-inf 9389  df-oi 9458  df-card 9897  df-acn 9900  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-div 11845  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12482  df-z 12569  df-dec 12689  df-uz 12840  df-q 12950  df-rp 12994  df-xneg 13114  df-xadd 13115  df-xmul 13116  df-ioo 13353  df-ico 13355  df-icc 13356  df-fz 13513  df-fzo 13660  df-fl 13802  df-seq 14015  df-exp 14075  df-hash 14344  df-cj 15126  df-re 15127  df-im 15128  df-sqrt 15262  df-abs 15263  df-clim 15515  df-rlim 15516  df-sum 15714  df-struct 17183  df-sets 17200  df-slot 17218  df-ndx 17230  df-base 17246  df-ress 17267  df-plusg 17299  df-mulr 17300  df-starv 17301  df-sca 17302  df-vsca 17303  df-ip 17304  df-tset 17305  df-ple 17306  df-ds 17308  df-unif 17309  df-hom 17310  df-cco 17311  df-rest 17451  df-topn 17452  df-0g 17470  df-gsum 17471  df-topgen 17472  df-pt 17473  df-prds 17476  df-xrs 17532  df-qtop 17537  df-imas 17538  df-xps 17540  df-mre 17614  df-mrc 17615  df-acs 17617  df-mgm 18674  df-sgrp 18753  df-mnd 18769  df-submnd 18818  df-mulg 19110  df-cntz 19357  df-cmn 19822  df-psmet 21416  df-xmet 21417  df-met 21418  df-bl 21419  df-mopn 21420  df-fbas 21421  df-fg 21422  df-cnfld 21425  df-top 22954  df-topon 22971  df-topsp 22993  df-bases 23006  df-cld 23079  df-ntr 23080  df-cls 23081  df-nei 23158  df-cn 23287  df-cnp 23288  df-lm 23289  df-haus 23375  df-tx 23622  df-hmeo 23815  df-fil 23906  df-fm 23998  df-flim 23999  df-flf 24000  df-xms 24380  df-ms 24381  df-tms 24382  df-cfil 25317  df-cau 25318  df-cmet 25319  df-grpo 30696  df-gid 30697  df-ginv 30698  df-gdiv 30699  df-ablo 30748  df-vc 30762  df-nv 30795  df-va 30798  df-ba 30799  df-sm 30800  df-0v 30801  df-vs 30802  df-nmcv 30803  df-ims 30804  df-dip 30904  df-ssp 30925  df-ph 31016  df-cbn 31066  df-hnorm 31171  df-hba 31172  df-hvsub 31174  df-hlim 31175  df-hcau 31176  df-sh 31410  df-ch 31424  df-oc 31455  df-ch0 31456  df-shs 31511  df-span 31512  df-chj 31513  df-chsup 31514  df-pjh 31598  df-cv 32482  df-at 32541

This theorem is referenced by:  mdsymlem3  32608