HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  atcvat4i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem atcvat4i 32425
Description: A condition implying existence of an atom with the properties shown. Lemma 3.2.20 of [PtakPulmannova] p. 68. (Contributed by NM, 2-Jul-2004.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
atcvat3.1 𝐴C
Assertion
Ref Expression
atcvat4i ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → ((𝐴 ≠ 0𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶)) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥𝐴𝐵 ⊆ (𝐶 𝑥))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶

Proof of Theorem atcvat4i
StepHypRef Expression
1 atcvat3.1 . . . . . . . . 9 𝐴C
21hatomici 32387 . . . . . . . 8 (𝐴 ≠ 0 → ∃𝑥 ∈ HAtoms 𝑥𝐴)
3 atelch 32372 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐶 ∈ HAtoms → 𝐶C )
4 atelch 32372 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ HAtoms → 𝑥C )
5 chub1 31535 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐶C𝑥C ) → 𝐶 ⊆ (𝐶 𝑥))
63, 4, 5syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐶 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) → 𝐶 ⊆ (𝐶 𝑥))
7 sseq1 4020 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵 = 𝐶 → (𝐵 ⊆ (𝐶 𝑥) ↔ 𝐶 ⊆ (𝐶 𝑥)))
86, 7imbitrrid 246 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 = 𝐶 → ((𝐶 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) → 𝐵 ⊆ (𝐶 𝑥)))
98expd 415 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 = 𝐶 → (𝐶 ∈ HAtoms → (𝑥 ∈ HAtoms → 𝐵 ⊆ (𝐶 𝑥))))
109impcom 407 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 = 𝐶) → (𝑥 ∈ HAtoms → 𝐵 ⊆ (𝐶 𝑥)))
1110anim2d 612 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 = 𝐶) → ((𝑥𝐴𝑥 ∈ HAtoms) → (𝑥𝐴𝐵 ⊆ (𝐶 𝑥))))
1211expcomd 416 . . . . . . . . 9 ((𝐶 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 = 𝐶) → (𝑥 ∈ HAtoms → (𝑥𝐴 → (𝑥𝐴𝐵 ⊆ (𝐶 𝑥)))))
1312reximdvai 3162 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 = 𝐶) → (∃𝑥 ∈ HAtoms 𝑥𝐴 → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥𝐴𝐵 ⊆ (𝐶 𝑥))))
142, 13syl5 34 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 = 𝐶) → (𝐴 ≠ 0 → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥𝐴𝐵 ⊆ (𝐶 𝑥))))
1514ex 412 . . . . . 6 (𝐶 ∈ HAtoms → (𝐵 = 𝐶 → (𝐴 ≠ 0 → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥𝐴𝐵 ⊆ (𝐶 𝑥)))))
1615a1i 11 . . . . 5 (𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶) → (𝐶 ∈ HAtoms → (𝐵 = 𝐶 → (𝐴 ≠ 0 → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥𝐴𝐵 ⊆ (𝐶 𝑥))))))
1716com4l 92 . . . 4 (𝐶 ∈ HAtoms → (𝐵 = 𝐶 → (𝐴 ≠ 0 → (𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥𝐴𝐵 ⊆ (𝐶 𝑥))))))
1817imp4a 422 . . 3 (𝐶 ∈ HAtoms → (𝐵 = 𝐶 → ((𝐴 ≠ 0𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶)) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥𝐴𝐵 ⊆ (𝐶 𝑥)))))
1918adantl 481 . 2 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (𝐵 = 𝐶 → ((𝐴 ≠ 0𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶)) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥𝐴𝐵 ⊆ (𝐶 𝑥)))))
20 atelch 32372 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ HAtoms → 𝐵C )
21 chlejb2 31541 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐶C𝐴C ) → (𝐶𝐴 ↔ (𝐴 𝐶) = 𝐴))
221, 21mpan2 691 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐶C → (𝐶𝐴 ↔ (𝐴 𝐶) = 𝐴))
2322biimpa 476 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐶C𝐶𝐴) → (𝐴 𝐶) = 𝐴)
2423sseq2d 4027 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐶C𝐶𝐴) → (𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶) ↔ 𝐵𝐴))
2524biimpa 476 . . . . . . . . . . 11 (((𝐶C𝐶𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶)) → 𝐵𝐴)
2625expl 457 . . . . . . . . . 10 (𝐶C → ((𝐶𝐴𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶)) → 𝐵𝐴))
2726adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝐵C𝐶C ) → ((𝐶𝐴𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶)) → 𝐵𝐴))
28 chub2 31536 . . . . . . . . 9 ((𝐵C𝐶C ) → 𝐵 ⊆ (𝐶 𝐵))
2927, 28jctird 526 . . . . . . . 8 ((𝐵C𝐶C ) → ((𝐶𝐴𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶)) → (𝐵𝐴𝐵 ⊆ (𝐶 𝐵))))
3020, 3, 29syl2an 596 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → ((𝐶𝐴𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶)) → (𝐵𝐴𝐵 ⊆ (𝐶 𝐵))))
31 simpl 482 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → 𝐵 ∈ HAtoms)
3230, 31jctild 525 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → ((𝐶𝐴𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶)) → (𝐵 ∈ HAtoms ∧ (𝐵𝐴𝐵 ⊆ (𝐶 𝐵)))))
3332impl 455 . . . . 5 ((((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝐶𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶)) → (𝐵 ∈ HAtoms ∧ (𝐵𝐴𝐵 ⊆ (𝐶 𝐵))))
34 sseq1 4020 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐵 → (𝑥𝐴𝐵𝐴))
35 oveq2 7438 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐵 → (𝐶 𝑥) = (𝐶 𝐵))
3635sseq2d 4027 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐵 → (𝐵 ⊆ (𝐶 𝑥) ↔ 𝐵 ⊆ (𝐶 𝐵)))
3734, 36anbi12d 632 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐵 → ((𝑥𝐴𝐵 ⊆ (𝐶 𝑥)) ↔ (𝐵𝐴𝐵 ⊆ (𝐶 𝐵))))
3837rspcev 3621 . . . . 5 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ (𝐵𝐴𝐵 ⊆ (𝐶 𝐵))) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥𝐴𝐵 ⊆ (𝐶 𝑥)))
3933, 38syl 17 . . . 4 ((((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝐶𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶)) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥𝐴𝐵 ⊆ (𝐶 𝑥)))
4039adantrl 716 . . 3 ((((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝐶𝐴) ∧ (𝐴 ≠ 0𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶))) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥𝐴𝐵 ⊆ (𝐶 𝑥)))
4140exp31 419 . 2 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (𝐶𝐴 → ((𝐴 ≠ 0𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶)) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥𝐴𝐵 ⊆ (𝐶 𝑥)))))
42 simpr 484 . . 3 ((𝐴 ≠ 0𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶)) → 𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶))
43 ioran 985 . . . 4 (¬ (𝐵 = 𝐶𝐶𝐴) ↔ (¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ ¬ 𝐶𝐴))
441atcvat3i 32424 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (((¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ ¬ 𝐶𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶)) → (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ∈ HAtoms))
453ad2antlr 727 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ ¬ 𝐶𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶))) → 𝐶C )
4644imp 406 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ ¬ 𝐶𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶))) → (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ∈ HAtoms)
47 simpll 767 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ ¬ 𝐶𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶))) → 𝐵 ∈ HAtoms)
4845, 46, 473jca 1127 . . . . . . . . . 10 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ ¬ 𝐶𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶))) → (𝐶C ∧ (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms))
49 inss2 4245 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ⊆ (𝐵 𝐶)
50 chjcom 31534 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵C𝐶C ) → (𝐵 𝐶) = (𝐶 𝐵))
5120, 3, 50syl2an 596 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (𝐵 𝐶) = (𝐶 𝐵))
5249, 51sseqtrid 4047 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ⊆ (𝐶 𝐵))
5352adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ ¬ 𝐶𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶))) → (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ⊆ (𝐶 𝐵))
54 atnssm0 32404 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴C𝐶 ∈ HAtoms) → (¬ 𝐶𝐴 ↔ (𝐴𝐶) = 0))
551, 54mpan 690 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐶 ∈ HAtoms → (¬ 𝐶𝐴 ↔ (𝐴𝐶) = 0))
5655adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (¬ 𝐶𝐴 ↔ (𝐴𝐶) = 0))
57 inss1 4244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ⊆ 𝐴
58 sslin 4250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ⊆ 𝐴 → (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶))) ⊆ (𝐶𝐴))
5957, 58ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶))) ⊆ (𝐶𝐴)
60 incom 4216 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐶𝐴) = (𝐴𝐶)
6159, 60sseqtri 4031 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶))) ⊆ (𝐴𝐶)
62 sseq2 4021 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴𝐶) = 0 → ((𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶))) ⊆ (𝐴𝐶) ↔ (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶))) ⊆ 0))
6361, 62mpbii 233 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴𝐶) = 0 → (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶))) ⊆ 0)
64 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐵C𝐶C ) → 𝐶C )
65 chjcl 31385 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐵C𝐶C ) → (𝐵 𝐶) ∈ C )
66 chincl 31527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴C ∧ (𝐵 𝐶) ∈ C ) → (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ∈ C )
671, 65, 66sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐵C𝐶C ) → (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ∈ C )
68 chincl 31527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐶C ∧ (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ∈ C ) → (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶))) ∈ C )
6964, 67, 68syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐵C𝐶C ) → (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶))) ∈ C )
7020, 3, 69syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶))) ∈ C )
71 chle0 31471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶))) ∈ C → ((𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶))) ⊆ 0 ↔ (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶))) = 0))
7270, 71syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → ((𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶))) ⊆ 0 ↔ (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶))) = 0))
7363, 72imbitrid 244 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → ((𝐴𝐶) = 0 → (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶))) = 0))
7456, 73sylbid 240 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (¬ 𝐶𝐴 → (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶))) = 0))
7574imp 406 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ¬ 𝐶𝐴) → (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶))) = 0)
7675adantrl 716 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ (¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ ¬ 𝐶𝐴)) → (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶))) = 0)
7776adantrr 717 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ ¬ 𝐶𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶))) → (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶))) = 0)
7853, 77jca 511 . . . . . . . . . 10 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ ¬ 𝐶𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶))) → ((𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ⊆ (𝐶 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶))) = 0))
79 atexch 32409 . . . . . . . . . 10 ((𝐶C ∧ (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → (((𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ⊆ (𝐶 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶))) = 0) → 𝐵 ⊆ (𝐶 (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)))))
8048, 78, 79sylc 65 . . . . . . . . 9 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ ¬ 𝐶𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶))) → 𝐵 ⊆ (𝐶 (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶))))
8180, 57jctil 519 . . . . . . . 8 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ ¬ 𝐶𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶))) → ((𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ⊆ 𝐴𝐵 ⊆ (𝐶 (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)))))
8281ex 412 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (((¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ ¬ 𝐶𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶)) → ((𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ⊆ 𝐴𝐵 ⊆ (𝐶 (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶))))))
8344, 82jcad 512 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (((¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ ¬ 𝐶𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶)) → ((𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ∈ HAtoms ∧ ((𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ⊆ 𝐴𝐵 ⊆ (𝐶 (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)))))))
84 sseq1 4020 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) → (𝑥𝐴 ↔ (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ⊆ 𝐴))
85 oveq2 7438 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) → (𝐶 𝑥) = (𝐶 (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶))))
8685sseq2d 4027 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) → (𝐵 ⊆ (𝐶 𝑥) ↔ 𝐵 ⊆ (𝐶 (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)))))
8784, 86anbi12d 632 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) → ((𝑥𝐴𝐵 ⊆ (𝐶 𝑥)) ↔ ((𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ⊆ 𝐴𝐵 ⊆ (𝐶 (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶))))))
8887rspcev 3621 . . . . . 6 (((𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ∈ HAtoms ∧ ((𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ⊆ 𝐴𝐵 ⊆ (𝐶 (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶))))) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥𝐴𝐵 ⊆ (𝐶 𝑥)))
8983, 88syl6 35 . . . . 5 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (((¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ ¬ 𝐶𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶)) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥𝐴𝐵 ⊆ (𝐶 𝑥))))
9089expd 415 . . . 4 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → ((¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ ¬ 𝐶𝐴) → (𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥𝐴𝐵 ⊆ (𝐶 𝑥)))))
9143, 90biimtrid 242 . . 3 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (¬ (𝐵 = 𝐶𝐶𝐴) → (𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥𝐴𝐵 ⊆ (𝐶 𝑥)))))
9242, 91syl7 74 . 2 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (¬ (𝐵 = 𝐶𝐶𝐴) → ((𝐴 ≠ 0𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶)) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥𝐴𝐵 ⊆ (𝐶 𝑥)))))
9319, 41, 92ecase3d 1034 1 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → ((𝐴 ≠ 0𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶)) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥𝐴𝐵 ⊆ (𝐶 𝑥))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937  wrex 3067  cin 3961  wss 3962  (class class class)co 7430   C cch 30957   chj 30961  0c0h 30963  HAtomscat 30993
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cc 10472  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230  ax-addf 11231  ax-mulf 11232  ax-hilex 31027  ax-hfvadd 31028  ax-hvcom 31029  ax-hvass 31030  ax-hv0cl 31031  ax-hvaddid 31032  ax-hfvmul 31033  ax-hvmulid 31034  ax-hvmulass 31035  ax-hvdistr1 31036  ax-hvdistr2 31037  ax-hvmul0 31038  ax-hfi 31107  ax-his1 31110  ax-his2 31111  ax-his3 31112  ax-his4 31113  ax-hcompl 31230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-oadd 8508  df-omul 8509  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-fi 9448  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-card 9976  df-acn 9979  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-xmul 13153  df-ioo 13387  df-ico 13389  df-icc 13390  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-seq 14039  df-exp 14099  df-hash 14366  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-clim 15520  df-rlim 15521  df-sum 15719  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-submnd 18809  df-mulg 19098  df-cntz 19347  df-cmn 19814  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-met 21375  df-bl 21376  df-mopn 21377  df-fbas 21378  df-fg 21379  df-cnfld 21382  df-top 22915  df-topon 22932  df-topsp 22954  df-bases 22968  df-cld 23042  df-ntr 23043  df-cls 23044  df-nei 23121  df-cn 23250  df-cnp 23251  df-lm 23252  df-haus 23338  df-tx 23585  df-hmeo 23778  df-fil 23869  df-fm 23961  df-flim 23962  df-flf 23963  df-xms 24345  df-ms 24346  df-tms 24347  df-cfil 25302  df-cau 25303  df-cmet 25304  df-grpo 30521  df-gid 30522  df-ginv 30523  df-gdiv 30524  df-ablo 30573  df-vc 30587  df-nv 30620  df-va 30623  df-ba 30624  df-sm 30625  df-0v 30626  df-vs 30627  df-nmcv 30628  df-ims 30629  df-dip 30729  df-ssp 30750  df-ph 30841  df-cbn 30891  df-hnorm 30996  df-hba 30997  df-hvsub 30999  df-hlim 31000  df-hcau 31001  df-sh 31235  df-ch 31249  df-oc 31280  df-ch0 31281  df-shs 31336  df-span 31337  df-chj 31338  df-chsup 31339  df-pjh 31423  df-cv 32307  df-at 32366
This theorem is referenced by:  mdsymlem3  32433
  Copyright terms: Public domain W3C validator