Theorem atcvat4i 29807

Description: A condition implying existence of an atom with the properties shown. Lemma 3.2.20 of [PtakPulmannova] p. 68. (Contributed by NM, 2-Jul-2004.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
atcvat3.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
atcvat4i	⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → ((𝐴 ≠ 0ℋ ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝑥))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶

Proof of Theorem atcvat4i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		atcvat3.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
2	1	hatomici 29769	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ≠ 0ℋ → ∃𝑥 ∈ HAtoms 𝑥 ⊆ 𝐴)
3		atelch 29754	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐶 ∈ HAtoms → 𝐶 ∈ Cℋ )
4		atelch 29754	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ HAtoms → 𝑥 ∈ Cℋ )
5		chub1 28917	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐶 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → 𝐶 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝑥))
6	3, 4, 5	syl2an 589	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐶 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) → 𝐶 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝑥))
7		sseq1 3851	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵 = 𝐶 → (𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝑥) ↔ 𝐶 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝑥)))
8	6, 7	syl5ibr 238	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 = 𝐶 → ((𝐶 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) → 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝑥)))
9	8	expd 406	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 = 𝐶 → (𝐶 ∈ HAtoms → (𝑥 ∈ HAtoms → 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝑥))))
10	9	impcom 398	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 = 𝐶) → (𝑥 ∈ HAtoms → 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝑥)))
11	10	anim2d 605	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 = 𝐶) → ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) → (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝑥))))
12	11	expcomd 408	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 = 𝐶) → (𝑥 ∈ HAtoms → (𝑥 ⊆ 𝐴 → (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝑥)))))
13	12	reximdvai 3223	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 = 𝐶) → (∃𝑥 ∈ HAtoms 𝑥 ⊆ 𝐴 → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝑥))))
14	2, 13	syl5 34	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 = 𝐶) → (𝐴 ≠ 0ℋ → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝑥))))
15	14	ex 403	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ HAtoms → (𝐵 = 𝐶 → (𝐴 ≠ 0ℋ → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝑥)))))
16	15	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶) → (𝐶 ∈ HAtoms → (𝐵 = 𝐶 → (𝐴 ≠ 0ℋ → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝑥))))))
17	16	com4l 92	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ HAtoms → (𝐵 = 𝐶 → (𝐴 ≠ 0ℋ → (𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝑥))))))
18	17	imp4a 415	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ HAtoms → (𝐵 = 𝐶 → ((𝐴 ≠ 0ℋ ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝑥)))))
19	18	adantl 475	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (𝐵 = 𝐶 → ((𝐴 ≠ 0ℋ ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝑥)))))
20		atelch 29754	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ HAtoms → 𝐵 ∈ Cℋ )
21		chlejb2 28923	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐶 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → (𝐶 ⊆ 𝐴 ↔ (𝐴 ∨ℋ 𝐶) = 𝐴))
22	1, 21	mpan2 682	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐶 ∈ Cℋ → (𝐶 ⊆ 𝐴 ↔ (𝐴 ∨ℋ 𝐶) = 𝐴))
23	22	biimpa 470	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐶 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∨ℋ 𝐶) = 𝐴)
24	23	sseq2d 3858	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴) → (𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶) ↔ 𝐵 ⊆ 𝐴))
25	24	biimpa 470	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐶 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)) → 𝐵 ⊆ 𝐴)
26	25	expl 451	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ Cℋ → ((𝐶 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)) → 𝐵 ⊆ 𝐴))
27	26	adantl 475	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → ((𝐶 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)) → 𝐵 ⊆ 𝐴))
28		chub2 28918	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝐵))
29	27, 28	jctird 522	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → ((𝐶 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)) → (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝐵))))
30	20, 3, 29	syl2an 589	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → ((𝐶 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)) → (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝐵))))
31		simpl 476	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → 𝐵 ∈ HAtoms)
32	30, 31	jctild 521	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → ((𝐶 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)) → (𝐵 ∈ HAtoms ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝐵)))))
33	32	impl 449	. . . . 5 ⊢ ((((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)) → (𝐵 ∈ HAtoms ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝐵))))
34		sseq1 3851	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 ⊆ 𝐴 ↔ 𝐵 ⊆ 𝐴))
35		oveq2 6918	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝐶 ∨ℋ 𝑥) = (𝐶 ∨ℋ 𝐵))
36	35	sseq2d 3858	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝑥) ↔ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝐵)))
37	34, 36	anbi12d 624	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝑥)) ↔ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝐵))))
38	37	rspcev 3526	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝐵))) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝑥)))
39	33, 38	syl 17	. . . 4 ⊢ ((((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝑥)))
40	39	adantrl 707	. . 3 ⊢ ((((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴) ∧ (𝐴 ≠ 0ℋ ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶))) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝑥)))
41	40	exp31 412	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (𝐶 ⊆ 𝐴 → ((𝐴 ≠ 0ℋ ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝑥)))))
42		simpr 479	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≠ 0ℋ ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)) → 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶))
43		ioran 1011	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐶 ⊆ 𝐴) ↔ (¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ ¬ 𝐶 ⊆ 𝐴))
44	1	atcvat3i 29806	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (((¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ ¬ 𝐶 ⊆ 𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)) → (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ∈ HAtoms))
45	3	ad2antlr 718	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ ¬ 𝐶 ⊆ 𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶))) → 𝐶 ∈ Cℋ )
46	44	imp 397	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ ¬ 𝐶 ⊆ 𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶))) → (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ∈ HAtoms)
47		simpll 783	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ ¬ 𝐶 ⊆ 𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶))) → 𝐵 ∈ HAtoms)
48	45, 46, 47	3jca 1162	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ ¬ 𝐶 ⊆ 𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶))) → (𝐶 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms))
49		inss2 4060	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)
50		chjcom 28916	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → (𝐵 ∨ℋ 𝐶) = (𝐶 ∨ℋ 𝐵))
51	20, 3, 50	syl2an 589	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (𝐵 ∨ℋ 𝐶) = (𝐶 ∨ℋ 𝐵))
52	49, 51	syl5sseq 3878	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝐵))
53	52	adantr 474	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ ¬ 𝐶 ⊆ 𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶))) → (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝐵))
54		atnssm0 29786	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (¬ 𝐶 ⊆ 𝐴 ↔ (𝐴 ∩ 𝐶) = 0ℋ))
55	1, 54	mpan 681	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐶 ∈ HAtoms → (¬ 𝐶 ⊆ 𝐴 ↔ (𝐴 ∩ 𝐶) = 0ℋ))
56	55	adantl 475	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (¬ 𝐶 ⊆ 𝐴 ↔ (𝐴 ∩ 𝐶) = 0ℋ))
57		inss1 4059	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ⊆ 𝐴
58		sslin 4065	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ⊆ 𝐴 → (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) ⊆ (𝐶 ∩ 𝐴))
59	57, 58	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) ⊆ (𝐶 ∩ 𝐴)
60		incom 4034	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐶 ∩ 𝐴) = (𝐴 ∩ 𝐶)
61	59, 60	sseqtri 3862	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) ⊆ (𝐴 ∩ 𝐶)
62		sseq2 3852	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐶) = 0ℋ → ((𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) ⊆ (𝐴 ∩ 𝐶) ↔ (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) ⊆ 0ℋ))
63	61, 62	mpbii 225	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐶) = 0ℋ → (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) ⊆ 0ℋ)
64		simpr 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → 𝐶 ∈ Cℋ )
65		chjcl 28767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∈ Cℋ )
66		chincl 28909	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∈ Cℋ ) → (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ∈ Cℋ )
67	1, 65, 66	sylancr 581	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ∈ Cℋ )
68		chincl 28909	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐶 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ∈ Cℋ ) → (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) ∈ Cℋ )
69	64, 67, 68	syl2anc 579	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) ∈ Cℋ )
70	20, 3, 69	syl2an 589	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) ∈ Cℋ )
71		chle0 28853	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) ∈ Cℋ → ((𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) ⊆ 0ℋ ↔ (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) = 0ℋ))
72	70, 71	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → ((𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) ⊆ 0ℋ ↔ (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) = 0ℋ))
73	63, 72	syl5ib 236	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → ((𝐴 ∩ 𝐶) = 0ℋ → (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) = 0ℋ))
74	56, 73	sylbid 232	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (¬ 𝐶 ⊆ 𝐴 → (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) = 0ℋ))
75	74	imp 397	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ¬ 𝐶 ⊆ 𝐴) → (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) = 0ℋ)
76	75	adantrl 707	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ (¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ ¬ 𝐶 ⊆ 𝐴)) → (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) = 0ℋ)
77	76	adantrr 708	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ ¬ 𝐶 ⊆ 𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶))) → (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) = 0ℋ)
78	53, 77	jca 507	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ ¬ 𝐶 ⊆ 𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶))) → ((𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) = 0ℋ))
79		atexch 29791	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → (((𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) = 0ℋ) → 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)))))
80	48, 78, 79	sylc 65	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ ¬ 𝐶 ⊆ 𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶))) → 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))))
81	80, 57	jctil 515	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ ¬ 𝐶 ⊆ 𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶))) → ((𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)))))
82	81	ex 403	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (((¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ ¬ 𝐶 ⊆ 𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)) → ((𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))))))
83	44, 82	jcad 508	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (((¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ ¬ 𝐶 ⊆ 𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)) → ((𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ∈ HAtoms ∧ ((𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)))))))
84		sseq1 3851	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) → (𝑥 ⊆ 𝐴 ↔ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ⊆ 𝐴))
85		oveq2 6918	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) → (𝐶 ∨ℋ 𝑥) = (𝐶 ∨ℋ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))))
86	85	sseq2d 3858	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) → (𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝑥) ↔ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)))))
87	84, 86	anbi12d 624	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) → ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝑥)) ↔ ((𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))))))
88	87	rspcev 3526	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ∈ HAtoms ∧ ((𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))))) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝑥)))
89	83, 88	syl6 35	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (((¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ ¬ 𝐶 ⊆ 𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝑥))))
90	89	expd 406	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → ((¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ ¬ 𝐶 ⊆ 𝐴) → (𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝑥)))))
91	43, 90	syl5bi 234	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (¬ (𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐶 ⊆ 𝐴) → (𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝑥)))))
92	42, 91	syl7 74	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (¬ (𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐶 ⊆ 𝐴) → ((𝐴 ≠ 0ℋ ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝑥)))))
93	19, 41, 92	ecase3d 1061	1 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → ((𝐴 ≠ 0ℋ ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝑥))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   ∨ wo 878   ∧ w3a 1111   = wceq 1656   ∈ wcel 2164   ≠ wne 2999  ∃wrex 3118   ∩ cin 3797   ⊆ wss 3798  (class class class)co 6910   C_ℋ cch 28337   ∨_ℋ chj 28341  0_ℋc0h 28343  HAtomscat 28373

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-inf2 8822  ax-cc 9579  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336  ax-pre-sup 10337  ax-addf 10338  ax-mulf 10339  ax-hilex 28407  ax-hfvadd 28408  ax-hvcom 28409  ax-hvass 28410  ax-hv0cl 28411  ax-hvaddid 28412  ax-hfvmul 28413  ax-hvmulid 28414  ax-hvmulass 28415  ax-hvdistr1 28416  ax-hvdistr2 28417  ax-hvmul0 28418  ax-hfi 28487  ax-his1 28490  ax-his2 28491  ax-his3 28492  ax-his4 28493  ax-hcompl 28610

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-fal 1670  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-int 4700  df-iun 4744  df-iin 4745  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-se 5306  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-isom 6136  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-of 7162  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-supp 7565  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-1o 7831  df-2o 7832  df-oadd 7835  df-omul 7836  df-er 8014  df-map 8129  df-pm 8130  df-ixp 8182  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-fin 8232  df-fsupp 8551  df-fi 8592  df-sup 8623  df-inf 8624  df-oi 8691  df-card 9085  df-acn 9088  df-cda 9312  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-div 11017  df-nn 11358  df-2 11421  df-3 11422  df-4 11423  df-5 11424  df-6 11425  df-7 11426  df-8 11427  df-9 11428  df-n0 11626  df-z 11712  df-dec 11829  df-uz 11976  df-q 12079  df-rp 12120  df-xneg 12239  df-xadd 12240  df-xmul 12241  df-ioo 12474  df-ico 12476  df-icc 12477  df-fz 12627  df-fzo 12768  df-fl 12895  df-seq 13103  df-exp 13162  df-hash 13418  df-cj 14223  df-re 14224  df-im 14225  df-sqrt 14359  df-abs 14360  df-clim 14603  df-rlim 14604  df-sum 14801  df-struct 16231  df-ndx 16232  df-slot 16233  df-base 16235  df-sets 16236  df-ress 16237  df-plusg 16325  df-mulr 16326  df-starv 16327  df-sca 16328  df-vsca 16329  df-ip 16330  df-tset 16331  df-ple 16332  df-ds 16334  df-unif 16335  df-hom 16336  df-cco 16337  df-rest 16443  df-topn 16444  df-0g 16462  df-gsum 16463  df-topgen 16464  df-pt 16465  df-prds 16468  df-xrs 16522  df-qtop 16527  df-imas 16528  df-xps 16530  df-mre 16606  df-mrc 16607  df-acs 16609  df-mgm 17602  df-sgrp 17644  df-mnd 17655  df-submnd 17696  df-mulg 17902  df-cntz 18107  df-cmn 18555  df-psmet 20105  df-xmet 20106  df-met 20107  df-bl 20108  df-mopn 20109  df-fbas 20110  df-fg 20111  df-cnfld 20114  df-top 21076  df-topon 21093  df-topsp 21115  df-bases 21128  df-cld 21201  df-ntr 21202  df-cls 21203  df-nei 21280  df-cn 21409  df-cnp 21410  df-lm 21411  df-haus 21497  df-tx 21743  df-hmeo 21936  df-fil 22027  df-fm 22119  df-flim 22120  df-flf 22121  df-xms 22502  df-ms 22503  df-tms 22504  df-cfil 23430  df-cau 23431  df-cmet 23432  df-grpo 27899  df-gid 27900  df-ginv 27901  df-gdiv 27902  df-ablo 27951  df-vc 27965  df-nv 27998  df-va 28001  df-ba 28002  df-sm 28003  df-0v 28004  df-vs 28005  df-nmcv 28006  df-ims 28007  df-dip 28107  df-ssp 28128  df-ph 28219  df-cbn 28270  df-hnorm 28376  df-hba 28377  df-hvsub 28379  df-hlim 28380  df-hcau 28381  df-sh 28615  df-ch 28629  df-oc 28660  df-ch0 28661  df-shs 28718  df-span 28719  df-chj 28720  df-chsup 28721  df-pjh 28805  df-cv 29689  df-at 29748

This theorem is referenced by:  mdsymlem3  29815