HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  atcvat4i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem atcvat4i 29807
Description: A condition implying existence of an atom with the properties shown. Lemma 3.2.20 of [PtakPulmannova] p. 68. (Contributed by NM, 2-Jul-2004.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
atcvat3.1 𝐴C
Assertion
Ref Expression
atcvat4i ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → ((𝐴 ≠ 0𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶)) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥𝐴𝐵 ⊆ (𝐶 𝑥))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶

Proof of Theorem atcvat4i
StepHypRef Expression
1 atcvat3.1 . . . . . . . . 9 𝐴C
21hatomici 29769 . . . . . . . 8 (𝐴 ≠ 0 → ∃𝑥 ∈ HAtoms 𝑥𝐴)
3 atelch 29754 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐶 ∈ HAtoms → 𝐶C )
4 atelch 29754 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ HAtoms → 𝑥C )
5 chub1 28917 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐶C𝑥C ) → 𝐶 ⊆ (𝐶 𝑥))
63, 4, 5syl2an 589 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐶 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) → 𝐶 ⊆ (𝐶 𝑥))
7 sseq1 3851 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵 = 𝐶 → (𝐵 ⊆ (𝐶 𝑥) ↔ 𝐶 ⊆ (𝐶 𝑥)))
86, 7syl5ibr 238 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 = 𝐶 → ((𝐶 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) → 𝐵 ⊆ (𝐶 𝑥)))
98expd 406 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 = 𝐶 → (𝐶 ∈ HAtoms → (𝑥 ∈ HAtoms → 𝐵 ⊆ (𝐶 𝑥))))
109impcom 398 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 = 𝐶) → (𝑥 ∈ HAtoms → 𝐵 ⊆ (𝐶 𝑥)))
1110anim2d 605 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 = 𝐶) → ((𝑥𝐴𝑥 ∈ HAtoms) → (𝑥𝐴𝐵 ⊆ (𝐶 𝑥))))
1211expcomd 408 . . . . . . . . 9 ((𝐶 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 = 𝐶) → (𝑥 ∈ HAtoms → (𝑥𝐴 → (𝑥𝐴𝐵 ⊆ (𝐶 𝑥)))))
1312reximdvai 3223 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 = 𝐶) → (∃𝑥 ∈ HAtoms 𝑥𝐴 → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥𝐴𝐵 ⊆ (𝐶 𝑥))))
142, 13syl5 34 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 = 𝐶) → (𝐴 ≠ 0 → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥𝐴𝐵 ⊆ (𝐶 𝑥))))
1514ex 403 . . . . . 6 (𝐶 ∈ HAtoms → (𝐵 = 𝐶 → (𝐴 ≠ 0 → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥𝐴𝐵 ⊆ (𝐶 𝑥)))))
1615a1i 11 . . . . 5 (𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶) → (𝐶 ∈ HAtoms → (𝐵 = 𝐶 → (𝐴 ≠ 0 → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥𝐴𝐵 ⊆ (𝐶 𝑥))))))
1716com4l 92 . . . 4 (𝐶 ∈ HAtoms → (𝐵 = 𝐶 → (𝐴 ≠ 0 → (𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥𝐴𝐵 ⊆ (𝐶 𝑥))))))
1817imp4a 415 . . 3 (𝐶 ∈ HAtoms → (𝐵 = 𝐶 → ((𝐴 ≠ 0𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶)) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥𝐴𝐵 ⊆ (𝐶 𝑥)))))
1918adantl 475 . 2 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (𝐵 = 𝐶 → ((𝐴 ≠ 0𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶)) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥𝐴𝐵 ⊆ (𝐶 𝑥)))))
20 atelch 29754 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ HAtoms → 𝐵C )
21 chlejb2 28923 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐶C𝐴C ) → (𝐶𝐴 ↔ (𝐴 𝐶) = 𝐴))
221, 21mpan2 682 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐶C → (𝐶𝐴 ↔ (𝐴 𝐶) = 𝐴))
2322biimpa 470 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐶C𝐶𝐴) → (𝐴 𝐶) = 𝐴)
2423sseq2d 3858 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐶C𝐶𝐴) → (𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶) ↔ 𝐵𝐴))
2524biimpa 470 . . . . . . . . . . 11 (((𝐶C𝐶𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶)) → 𝐵𝐴)
2625expl 451 . . . . . . . . . 10 (𝐶C → ((𝐶𝐴𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶)) → 𝐵𝐴))
2726adantl 475 . . . . . . . . 9 ((𝐵C𝐶C ) → ((𝐶𝐴𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶)) → 𝐵𝐴))
28 chub2 28918 . . . . . . . . 9 ((𝐵C𝐶C ) → 𝐵 ⊆ (𝐶 𝐵))
2927, 28jctird 522 . . . . . . . 8 ((𝐵C𝐶C ) → ((𝐶𝐴𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶)) → (𝐵𝐴𝐵 ⊆ (𝐶 𝐵))))
3020, 3, 29syl2an 589 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → ((𝐶𝐴𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶)) → (𝐵𝐴𝐵 ⊆ (𝐶 𝐵))))
31 simpl 476 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → 𝐵 ∈ HAtoms)
3230, 31jctild 521 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → ((𝐶𝐴𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶)) → (𝐵 ∈ HAtoms ∧ (𝐵𝐴𝐵 ⊆ (𝐶 𝐵)))))
3332impl 449 . . . . 5 ((((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝐶𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶)) → (𝐵 ∈ HAtoms ∧ (𝐵𝐴𝐵 ⊆ (𝐶 𝐵))))
34 sseq1 3851 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐵 → (𝑥𝐴𝐵𝐴))
35 oveq2 6918 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐵 → (𝐶 𝑥) = (𝐶 𝐵))
3635sseq2d 3858 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐵 → (𝐵 ⊆ (𝐶 𝑥) ↔ 𝐵 ⊆ (𝐶 𝐵)))
3734, 36anbi12d 624 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐵 → ((𝑥𝐴𝐵 ⊆ (𝐶 𝑥)) ↔ (𝐵𝐴𝐵 ⊆ (𝐶 𝐵))))
3837rspcev 3526 . . . . 5 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ (𝐵𝐴𝐵 ⊆ (𝐶 𝐵))) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥𝐴𝐵 ⊆ (𝐶 𝑥)))
3933, 38syl 17 . . . 4 ((((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝐶𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶)) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥𝐴𝐵 ⊆ (𝐶 𝑥)))
4039adantrl 707 . . 3 ((((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝐶𝐴) ∧ (𝐴 ≠ 0𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶))) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥𝐴𝐵 ⊆ (𝐶 𝑥)))
4140exp31 412 . 2 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (𝐶𝐴 → ((𝐴 ≠ 0𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶)) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥𝐴𝐵 ⊆ (𝐶 𝑥)))))
42 simpr 479 . . 3 ((𝐴 ≠ 0𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶)) → 𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶))
43 ioran 1011 . . . 4 (¬ (𝐵 = 𝐶𝐶𝐴) ↔ (¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ ¬ 𝐶𝐴))
441atcvat3i 29806 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (((¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ ¬ 𝐶𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶)) → (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ∈ HAtoms))
453ad2antlr 718 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ ¬ 𝐶𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶))) → 𝐶C )
4644imp 397 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ ¬ 𝐶𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶))) → (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ∈ HAtoms)
47 simpll 783 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ ¬ 𝐶𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶))) → 𝐵 ∈ HAtoms)
4845, 46, 473jca 1162 . . . . . . . . . 10 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ ¬ 𝐶𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶))) → (𝐶C ∧ (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms))
49 inss2 4060 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ⊆ (𝐵 𝐶)
50 chjcom 28916 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵C𝐶C ) → (𝐵 𝐶) = (𝐶 𝐵))
5120, 3, 50syl2an 589 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (𝐵 𝐶) = (𝐶 𝐵))
5249, 51syl5sseq 3878 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ⊆ (𝐶 𝐵))
5352adantr 474 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ ¬ 𝐶𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶))) → (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ⊆ (𝐶 𝐵))
54 atnssm0 29786 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴C𝐶 ∈ HAtoms) → (¬ 𝐶𝐴 ↔ (𝐴𝐶) = 0))
551, 54mpan 681 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐶 ∈ HAtoms → (¬ 𝐶𝐴 ↔ (𝐴𝐶) = 0))
5655adantl 475 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (¬ 𝐶𝐴 ↔ (𝐴𝐶) = 0))
57 inss1 4059 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ⊆ 𝐴
58 sslin 4065 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ⊆ 𝐴 → (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶))) ⊆ (𝐶𝐴))
5957, 58ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶))) ⊆ (𝐶𝐴)
60 incom 4034 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐶𝐴) = (𝐴𝐶)
6159, 60sseqtri 3862 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶))) ⊆ (𝐴𝐶)
62 sseq2 3852 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴𝐶) = 0 → ((𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶))) ⊆ (𝐴𝐶) ↔ (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶))) ⊆ 0))
6361, 62mpbii 225 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴𝐶) = 0 → (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶))) ⊆ 0)
64 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐵C𝐶C ) → 𝐶C )
65 chjcl 28767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐵C𝐶C ) → (𝐵 𝐶) ∈ C )
66 chincl 28909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴C ∧ (𝐵 𝐶) ∈ C ) → (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ∈ C )
671, 65, 66sylancr 581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐵C𝐶C ) → (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ∈ C )
68 chincl 28909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐶C ∧ (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ∈ C ) → (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶))) ∈ C )
6964, 67, 68syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐵C𝐶C ) → (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶))) ∈ C )
7020, 3, 69syl2an 589 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶))) ∈ C )
71 chle0 28853 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶))) ∈ C → ((𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶))) ⊆ 0 ↔ (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶))) = 0))
7270, 71syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → ((𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶))) ⊆ 0 ↔ (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶))) = 0))
7363, 72syl5ib 236 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → ((𝐴𝐶) = 0 → (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶))) = 0))
7456, 73sylbid 232 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (¬ 𝐶𝐴 → (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶))) = 0))
7574imp 397 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ¬ 𝐶𝐴) → (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶))) = 0)
7675adantrl 707 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ (¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ ¬ 𝐶𝐴)) → (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶))) = 0)
7776adantrr 708 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ ¬ 𝐶𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶))) → (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶))) = 0)
7853, 77jca 507 . . . . . . . . . 10 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ ¬ 𝐶𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶))) → ((𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ⊆ (𝐶 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶))) = 0))
79 atexch 29791 . . . . . . . . . 10 ((𝐶C ∧ (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → (((𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ⊆ (𝐶 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶))) = 0) → 𝐵 ⊆ (𝐶 (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)))))
8048, 78, 79sylc 65 . . . . . . . . 9 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ ¬ 𝐶𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶))) → 𝐵 ⊆ (𝐶 (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶))))
8180, 57jctil 515 . . . . . . . 8 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ ¬ 𝐶𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶))) → ((𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ⊆ 𝐴𝐵 ⊆ (𝐶 (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)))))
8281ex 403 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (((¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ ¬ 𝐶𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶)) → ((𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ⊆ 𝐴𝐵 ⊆ (𝐶 (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶))))))
8344, 82jcad 508 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (((¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ ¬ 𝐶𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶)) → ((𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ∈ HAtoms ∧ ((𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ⊆ 𝐴𝐵 ⊆ (𝐶 (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)))))))
84 sseq1 3851 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) → (𝑥𝐴 ↔ (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ⊆ 𝐴))
85 oveq2 6918 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) → (𝐶 𝑥) = (𝐶 (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶))))
8685sseq2d 3858 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) → (𝐵 ⊆ (𝐶 𝑥) ↔ 𝐵 ⊆ (𝐶 (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)))))
8784, 86anbi12d 624 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) → ((𝑥𝐴𝐵 ⊆ (𝐶 𝑥)) ↔ ((𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ⊆ 𝐴𝐵 ⊆ (𝐶 (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶))))))
8887rspcev 3526 . . . . . 6 (((𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ∈ HAtoms ∧ ((𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ⊆ 𝐴𝐵 ⊆ (𝐶 (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶))))) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥𝐴𝐵 ⊆ (𝐶 𝑥)))
8983, 88syl6 35 . . . . 5 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (((¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ ¬ 𝐶𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶)) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥𝐴𝐵 ⊆ (𝐶 𝑥))))
9089expd 406 . . . 4 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → ((¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ ¬ 𝐶𝐴) → (𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥𝐴𝐵 ⊆ (𝐶 𝑥)))))
9143, 90syl5bi 234 . . 3 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (¬ (𝐵 = 𝐶𝐶𝐴) → (𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥𝐴𝐵 ⊆ (𝐶 𝑥)))))
9242, 91syl7 74 . 2 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (¬ (𝐵 = 𝐶𝐶𝐴) → ((𝐴 ≠ 0𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶)) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥𝐴𝐵 ⊆ (𝐶 𝑥)))))
9319, 41, 92ecase3d 1061 1 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → ((𝐴 ≠ 0𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶)) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥𝐴𝐵 ⊆ (𝐶 𝑥))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 386  wo 878  w3a 1111   = wceq 1656  wcel 2164  wne 2999  wrex 3118  cin 3797  wss 3798  (class class class)co 6910   C cch 28337   chj 28341  0c0h 28343  HAtomscat 28373
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-inf2 8822  ax-cc 9579  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336  ax-pre-sup 10337  ax-addf 10338  ax-mulf 10339  ax-hilex 28407  ax-hfvadd 28408  ax-hvcom 28409  ax-hvass 28410  ax-hv0cl 28411  ax-hvaddid 28412  ax-hfvmul 28413  ax-hvmulid 28414  ax-hvmulass 28415  ax-hvdistr1 28416  ax-hvdistr2 28417  ax-hvmul0 28418  ax-hfi 28487  ax-his1 28490  ax-his2 28491  ax-his3 28492  ax-his4 28493  ax-hcompl 28610
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-fal 1670  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-int 4700  df-iun 4744  df-iin 4745  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-se 5306  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-isom 6136  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-of 7162  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-supp 7565  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-1o 7831  df-2o 7832  df-oadd 7835  df-omul 7836  df-er 8014  df-map 8129  df-pm 8130  df-ixp 8182  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-fin 8232  df-fsupp 8551  df-fi 8592  df-sup 8623  df-inf 8624  df-oi 8691  df-card 9085  df-acn 9088  df-cda 9312  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-div 11017  df-nn 11358  df-2 11421  df-3 11422  df-4 11423  df-5 11424  df-6 11425  df-7 11426  df-8 11427  df-9 11428  df-n0 11626  df-z 11712  df-dec 11829  df-uz 11976  df-q 12079  df-rp 12120  df-xneg 12239  df-xadd 12240  df-xmul 12241  df-ioo 12474  df-ico 12476  df-icc 12477  df-fz 12627  df-fzo 12768  df-fl 12895  df-seq 13103  df-exp 13162  df-hash 13418  df-cj 14223  df-re 14224  df-im 14225  df-sqrt 14359  df-abs 14360  df-clim 14603  df-rlim 14604  df-sum 14801  df-struct 16231  df-ndx 16232  df-slot 16233  df-base 16235  df-sets 16236  df-ress 16237  df-plusg 16325  df-mulr 16326  df-starv 16327  df-sca 16328  df-vsca 16329  df-ip 16330  df-tset 16331  df-ple 16332  df-ds 16334  df-unif 16335  df-hom 16336  df-cco 16337  df-rest 16443  df-topn 16444  df-0g 16462  df-gsum 16463  df-topgen 16464  df-pt 16465  df-prds 16468  df-xrs 16522  df-qtop 16527  df-imas 16528  df-xps 16530  df-mre 16606  df-mrc 16607  df-acs 16609  df-mgm 17602  df-sgrp 17644  df-mnd 17655  df-submnd 17696  df-mulg 17902  df-cntz 18107  df-cmn 18555  df-psmet 20105  df-xmet 20106  df-met 20107  df-bl 20108  df-mopn 20109  df-fbas 20110  df-fg 20111  df-cnfld 20114  df-top 21076  df-topon 21093  df-topsp 21115  df-bases 21128  df-cld 21201  df-ntr 21202  df-cls 21203  df-nei 21280  df-cn 21409  df-cnp 21410  df-lm 21411  df-haus 21497  df-tx 21743  df-hmeo 21936  df-fil 22027  df-fm 22119  df-flim 22120  df-flf 22121  df-xms 22502  df-ms 22503  df-tms 22504  df-cfil 23430  df-cau 23431  df-cmet 23432  df-grpo 27899  df-gid 27900  df-ginv 27901  df-gdiv 27902  df-ablo 27951  df-vc 27965  df-nv 27998  df-va 28001  df-ba 28002  df-sm 28003  df-0v 28004  df-vs 28005  df-nmcv 28006  df-ims 28007  df-dip 28107  df-ssp 28128  df-ph 28219  df-cbn 28270  df-hnorm 28376  df-hba 28377  df-hvsub 28379  df-hlim 28380  df-hcau 28381  df-sh 28615  df-ch 28629  df-oc 28660  df-ch0 28661  df-shs 28718  df-span 28719  df-chj 28720  df-chsup 28721  df-pjh 28805  df-cv 29689  df-at 29748
This theorem is referenced by:  mdsymlem3  29815
  Copyright terms: Public domain W3C validator