Theorem atcvat4i 32881

Description: A condition implying existence of an atom with the properties shown. Lemma 3.2.20 of [PtakPulmannova] p. 68. (Contributed by NM, 2-Jul-2004.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
atcvat3.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
atcvat4i	⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → ((𝐴 ≠ 0ℋ ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝑥))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶

Proof of Theorem atcvat4i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		atcvat3.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
2	1	hatomici 32843	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ≠ 0ℋ → ∃𝑥 ∈ HAtoms 𝑥 ⊆ 𝐴)
3		atelch 32828	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐶 ∈ HAtoms → 𝐶 ∈ Cℋ )
4		atelch 32828	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ HAtoms → 𝑥 ∈ Cℋ )
5		chub1 31991	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐶 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → 𝐶 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝑥))
6	3, 4, 5	syl2an 608	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐶 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) → 𝐶 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝑥))
7		sseq1 3956	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵 = 𝐶 → (𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝑥) ↔ 𝐶 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝑥)))
8	6, 7	imbitrrid 249	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 = 𝐶 → ((𝐶 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) → 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝑥)))
9	8	expd 421	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 = 𝐶 → (𝐶 ∈ HAtoms → (𝑥 ∈ HAtoms → 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝑥))))
10	9	impcom 413	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 = 𝐶) → (𝑥 ∈ HAtoms → 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝑥)))
11	10	anim2d 624	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 = 𝐶) → ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) → (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝑥))))
12	11	expcomd 422	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 = 𝐶) → (𝑥 ∈ HAtoms → (𝑥 ⊆ 𝐴 → (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝑥)))))
13	12	reximdvai 3173	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 = 𝐶) → (∃𝑥 ∈ HAtoms 𝑥 ⊆ 𝐴 → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝑥))))
14	2, 13	syl5 35	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 = 𝐶) → (𝐴 ≠ 0ℋ → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝑥))))
15	14	ex 418	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ HAtoms → (𝐵 = 𝐶 → (𝐴 ≠ 0ℋ → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝑥)))))
16	15	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶) → (𝐶 ∈ HAtoms → (𝐵 = 𝐶 → (𝐴 ≠ 0ℋ → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝑥))))))
17	16	com4l 93	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ HAtoms → (𝐵 = 𝐶 → (𝐴 ≠ 0ℋ → (𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝑥))))))
18	17	imp4a 428	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ HAtoms → (𝐵 = 𝐶 → ((𝐴 ≠ 0ℋ ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝑥)))))
19	18	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (𝐵 = 𝐶 → ((𝐴 ≠ 0ℋ ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝑥)))))
20		atelch 32828	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ HAtoms → 𝐵 ∈ Cℋ )
21		chlejb2 31997	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐶 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → (𝐶 ⊆ 𝐴 ↔ (𝐴 ∨ℋ 𝐶) = 𝐴))
22	1, 21	mpan2 704	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐶 ∈ Cℋ → (𝐶 ⊆ 𝐴 ↔ (𝐴 ∨ℋ 𝐶) = 𝐴))
23	22	biimpa 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐶 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∨ℋ 𝐶) = 𝐴)
24	23	sseq2d 3963	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴) → (𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶) ↔ 𝐵 ⊆ 𝐴))
25	24	biimpa 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐶 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)) → 𝐵 ⊆ 𝐴)
26	25	expl 463	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ Cℋ → ((𝐶 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)) → 𝐵 ⊆ 𝐴))
27	26	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → ((𝐶 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)) → 𝐵 ⊆ 𝐴))
28		chub2 31992	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝐵))
29	27, 28	jctird 536	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → ((𝐶 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)) → (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝐵))))
30	20, 3, 29	syl2an 608	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → ((𝐶 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)) → (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝐵))))
31		simpl 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → 𝐵 ∈ HAtoms)
32	30, 31	jctild 535	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → ((𝐶 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)) → (𝐵 ∈ HAtoms ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝐵)))))
33	32	impl 461	. . . . 5 ⊢ ((((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)) → (𝐵 ∈ HAtoms ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝐵))))
34		sseq1 3956	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 ⊆ 𝐴 ↔ 𝐵 ⊆ 𝐴))
35		oveq2 7422	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝐶 ∨ℋ 𝑥) = (𝐶 ∨ℋ 𝐵))
36	35	sseq2d 3963	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝑥) ↔ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝐵)))
37	34, 36	anbi12d 644	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝑥)) ↔ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝐵))))
38	37	rspcev 3576	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝐵))) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝑥)))
39	33, 38	syl 18	. . . 4 ⊢ ((((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝑥)))
40	39	adantrl 729	. . 3 ⊢ ((((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴) ∧ (𝐴 ≠ 0ℋ ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶))) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝑥)))
41	40	exp31 425	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (𝐶 ⊆ 𝐴 → ((𝐴 ≠ 0ℋ ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝑥)))))
42		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≠ 0ℋ ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)) → 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶))
43		ioran 999	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐶 ⊆ 𝐴) ↔ (¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ ¬ 𝐶 ⊆ 𝐴))
44	1	atcvat3i 32880	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (((¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ ¬ 𝐶 ⊆ 𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)) → (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ∈ HAtoms))
45	3	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ ¬ 𝐶 ⊆ 𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶))) → 𝐶 ∈ Cℋ )
46	44	imp 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ ¬ 𝐶 ⊆ 𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶))) → (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ∈ HAtoms)
47		simpll 779	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ ¬ 𝐶 ⊆ 𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶))) → 𝐵 ∈ HAtoms)
48	45, 46, 47	3jca 1146	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ ¬ 𝐶 ⊆ 𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶))) → (𝐶 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms))
49		inss2 4183	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)
50		chjcom 31990	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → (𝐵 ∨ℋ 𝐶) = (𝐶 ∨ℋ 𝐵))
51	20, 3, 50	syl2an 608	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (𝐵 ∨ℋ 𝐶) = (𝐶 ∨ℋ 𝐵))
52	49, 51	sseqtrid 3973	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝐵))
53	52	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ ¬ 𝐶 ⊆ 𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶))) → (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝐵))
54		atnssm0 32860	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (¬ 𝐶 ⊆ 𝐴 ↔ (𝐴 ∩ 𝐶) = 0ℋ))
55	1, 54	mpan 703	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐶 ∈ HAtoms → (¬ 𝐶 ⊆ 𝐴 ↔ (𝐴 ∩ 𝐶) = 0ℋ))
56	55	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (¬ 𝐶 ⊆ 𝐴 ↔ (𝐴 ∩ 𝐶) = 0ℋ))
57		inss1 4182	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ⊆ 𝐴
58		sslin 4188	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ⊆ 𝐴 → (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) ⊆ (𝐶 ∩ 𝐴))
59	57, 58	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) ⊆ (𝐶 ∩ 𝐴)
60		incom 4155	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐶 ∩ 𝐴) = (𝐴 ∩ 𝐶)
61	59, 60	sseqtri 3979	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) ⊆ (𝐴 ∩ 𝐶)
62		sseq2 3957	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐶) = 0ℋ → ((𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) ⊆ (𝐴 ∩ 𝐶) ↔ (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) ⊆ 0ℋ))
63	61, 62	mpbii 236	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐶) = 0ℋ → (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) ⊆ 0ℋ)
64		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → 𝐶 ∈ Cℋ )
65		chjcl 31841	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∈ Cℋ )
66		chincl 31983	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∈ Cℋ ) → (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ∈ Cℋ )
67	1, 65, 66	sylancr 599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ∈ Cℋ )
68		chincl 31983	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐶 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ∈ Cℋ ) → (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) ∈ Cℋ )
69	64, 67, 68	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) ∈ Cℋ )
70	20, 3, 69	syl2an 608	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) ∈ Cℋ )
71		chle0 31927	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) ∈ Cℋ → ((𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) ⊆ 0ℋ ↔ (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) = 0ℋ))
72	70, 71	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → ((𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) ⊆ 0ℋ ↔ (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) = 0ℋ))
73	63, 72	imbitrid 247	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → ((𝐴 ∩ 𝐶) = 0ℋ → (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) = 0ℋ))
74	56, 73	sylbid 243	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (¬ 𝐶 ⊆ 𝐴 → (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) = 0ℋ))
75	74	imp 412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ¬ 𝐶 ⊆ 𝐴) → (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) = 0ℋ)
76	75	adantrl 729	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ (¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ ¬ 𝐶 ⊆ 𝐴)) → (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) = 0ℋ)
77	76	adantrr 730	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ ¬ 𝐶 ⊆ 𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶))) → (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) = 0ℋ)
78	53, 77	jca 521	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ ¬ 𝐶 ⊆ 𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶))) → ((𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) = 0ℋ))
79		atexch 32865	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → (((𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) = 0ℋ) → 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)))))
80	48, 78, 79	sylc 66	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ ¬ 𝐶 ⊆ 𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶))) → 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))))
81	80, 57	jctil 529	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ ¬ 𝐶 ⊆ 𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶))) → ((𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)))))
82	81	ex 418	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (((¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ ¬ 𝐶 ⊆ 𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)) → ((𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))))))
83	44, 82	jcad 522	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (((¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ ¬ 𝐶 ⊆ 𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)) → ((𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ∈ HAtoms ∧ ((𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)))))))
84		sseq1 3956	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) → (𝑥 ⊆ 𝐴 ↔ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ⊆ 𝐴))
85		oveq2 7422	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) → (𝐶 ∨ℋ 𝑥) = (𝐶 ∨ℋ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))))
86	85	sseq2d 3963	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) → (𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝑥) ↔ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)))))
87	84, 86	anbi12d 644	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) → ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝑥)) ↔ ((𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))))))
88	87	rspcev 3576	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ∈ HAtoms ∧ ((𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))))) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝑥)))
89	83, 88	syl6 36	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (((¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ ¬ 𝐶 ⊆ 𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝑥))))
90	89	expd 421	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → ((¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ ¬ 𝐶 ⊆ 𝐴) → (𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝑥)))))
91	43, 90	biimtrid 245	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (¬ (𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐶 ⊆ 𝐴) → (𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝑥)))))
92	42, 91	syl7 75	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (¬ (𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐶 ⊆ 𝐴) → ((𝐴 ≠ 0ℋ ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝑥)))))
93	19, 41, 92	ecase3d 1050	1 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → ((𝐴 ≠ 0ℋ ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝑥))))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∃wrex 3086   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  (class class class)co 7414   C_ℋ cch 31413   ∨_ℋ chj 31417  0_ℋc0h 31419  HAtomscat 31449

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-inf2 9623  ax-cc 10440  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205  ax-addf 11206  ax-mulf 11207  ax-hilex 31483  ax-hfvadd 31484  ax-hvcom 31485  ax-hvass 31486  ax-hv0cl 31487  ax-hvaddid 31488  ax-hfvmul 31489  ax-hvmulid 31490  ax-hvmulass 31491  ax-hvdistr1 31492  ax-hvdistr2 31493  ax-hvmul0 31494  ax-hfi 31563  ax-his1 31566  ax-his2 31567  ax-his3 31568  ax-his4 31569  ax-hcompl 31686

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8458  df-2o 8459  df-oadd 8462  df-omul 8463  df-er 8699  df-map 8831  df-pm 8832  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9335  df-fi 9384  df-sup 9415  df-inf 9416  df-oi 9485  df-card 9947  df-acn 9950  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-z 12619  df-dec 12740  df-uz 12891  df-q 13001  df-rp 13046  df-xneg 13166  df-xadd 13167  df-xmul 13168  df-ioo 13405  df-ico 13407  df-icc 13408  df-fz 13565  df-fzo 13713  df-fl 13856  df-seq 14069  df-exp 14129  df-hash 14398  df-cj 15189  df-re 15190  df-im 15191  df-sqrt 15325  df-abs 15326  df-clim 15578  df-rlim 15579  df-sum 15777  df-struct 17242  df-sets 17259  df-slot 17277  df-ndx 17289  df-base 17305  df-ress 17326  df-plusg 17358  df-mulr 17359  df-starv 17360  df-sca 17361  df-vsca 17362  df-ip 17363  df-tset 17364  df-ple 17365  df-ds 17367  df-unif 17368  df-hom 17369  df-cco 17370  df-rest 17510  df-topn 17511  df-0g 17529  df-gsum 17530  df-topgen 17531  df-pt 17532  df-prds 17535  df-xrs 17591  df-qtop 17596  df-imas 17597  df-xps 17599  df-mre 17673  df-mrc 17674  df-acs 17676  df-mgm 18733  df-sgrp 18824  df-mnd 18840  df-submnd 18895  df-mulg 19194  df-cntz 19447  df-cmn 19912  df-psmet 21580  df-xmet 21581  df-met 21582  df-bl 21583  df-mopn 21584  df-fbas 21585  df-fg 21586  df-cnfld 21589  df-top 23122  df-topon 23139  df-topsp 23161  df-bases 23174  df-cld 23247  df-ntr 23248  df-cls 23249  df-nei 23326  df-cn 23455  df-cnp 23456  df-lm 23457  df-haus 23543  df-tx 23791  df-hmeo 23984  df-fil 24075  df-fm 24167  df-flim 24168  df-flf 24169  df-xms 24549  df-ms 24550  df-tms 24551  df-cfil 25486  df-cau 25487  df-cmet 25488  df-grpo 30977  df-gid 30978  df-ginv 30979  df-gdiv 30980  df-ablo 31029  df-vc 31043  df-nv 31076  df-va 31079  df-ba 31080  df-sm 31081  df-0v 31082  df-vs 31083  df-nmcv 31084  df-ims 31085  df-dip 31185  df-ssp 31206  df-ph 31297  df-cbn 31347  df-hnorm 31452  df-hba 31453  df-hvsub 31455  df-hlim 31456  df-hcau 31457  df-sh 31691  df-ch 31705  df-oc 31736  df-ch0 31737  df-shs 31792  df-span 31793  df-chj 31794  df-chsup 31795  df-pjh 31879  df-cv 32763  df-at 32822

This theorem is used by:  mdsymlem3  32889