Theorem atcvat4i 32824

Description: A condition implying existence of an atom with the properties shown. Lemma 3.2.20 of [PtakPulmannova] p. 68. (Contributed by NM, 2-Jul-2004.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
atcvat3.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
atcvat4i	⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → ((𝐴 ≠ 0ℋ ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝑥))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶

Proof of Theorem atcvat4i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		atcvat3.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
2	1	hatomici 32786	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ≠ 0ℋ → ∃𝑥 ∈ HAtoms 𝑥 ⊆ 𝐴)
3		atelch 32771	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐶 ∈ HAtoms → 𝐶 ∈ Cℋ )
4		atelch 32771	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ HAtoms → 𝑥 ∈ Cℋ )
5		chub1 31934	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐶 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → 𝐶 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝑥))
6	3, 4, 5	syl2an 608	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐶 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) → 𝐶 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝑥))
7		sseq1 3963	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵 = 𝐶 → (𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝑥) ↔ 𝐶 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝑥)))
8	6, 7	imbitrrid 249	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 = 𝐶 → ((𝐶 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) → 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝑥)))
9	8	expd 421	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 = 𝐶 → (𝐶 ∈ HAtoms → (𝑥 ∈ HAtoms → 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝑥))))
10	9	impcom 413	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 = 𝐶) → (𝑥 ∈ HAtoms → 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝑥)))
11	10	anim2d 624	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 = 𝐶) → ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) → (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝑥))))
12	11	expcomd 422	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 = 𝐶) → (𝑥 ∈ HAtoms → (𝑥 ⊆ 𝐴 → (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝑥)))))
13	12	reximdvai 3178	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 = 𝐶) → (∃𝑥 ∈ HAtoms 𝑥 ⊆ 𝐴 → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝑥))))
14	2, 13	syl5 35	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 = 𝐶) → (𝐴 ≠ 0ℋ → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝑥))))
15	14	ex 418	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ HAtoms → (𝐵 = 𝐶 → (𝐴 ≠ 0ℋ → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝑥)))))
16	15	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶) → (𝐶 ∈ HAtoms → (𝐵 = 𝐶 → (𝐴 ≠ 0ℋ → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝑥))))))
17	16	com4l 93	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ HAtoms → (𝐵 = 𝐶 → (𝐴 ≠ 0ℋ → (𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝑥))))))
18	17	imp4a 428	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ HAtoms → (𝐵 = 𝐶 → ((𝐴 ≠ 0ℋ ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝑥)))))
19	18	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (𝐵 = 𝐶 → ((𝐴 ≠ 0ℋ ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝑥)))))
20		atelch 32771	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ HAtoms → 𝐵 ∈ Cℋ )
21		chlejb2 31940	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐶 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → (𝐶 ⊆ 𝐴 ↔ (𝐴 ∨ℋ 𝐶) = 𝐴))
22	1, 21	mpan2 704	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐶 ∈ Cℋ → (𝐶 ⊆ 𝐴 ↔ (𝐴 ∨ℋ 𝐶) = 𝐴))
23	22	biimpa 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐶 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∨ℋ 𝐶) = 𝐴)
24	23	sseq2d 3970	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴) → (𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶) ↔ 𝐵 ⊆ 𝐴))
25	24	biimpa 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐶 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)) → 𝐵 ⊆ 𝐴)
26	25	expl 463	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ Cℋ → ((𝐶 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)) → 𝐵 ⊆ 𝐴))
27	26	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → ((𝐶 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)) → 𝐵 ⊆ 𝐴))
28		chub2 31935	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝐵))
29	27, 28	jctird 536	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → ((𝐶 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)) → (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝐵))))
30	20, 3, 29	syl2an 608	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → ((𝐶 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)) → (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝐵))))
31		simpl 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → 𝐵 ∈ HAtoms)
32	30, 31	jctild 535	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → ((𝐶 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)) → (𝐵 ∈ HAtoms ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝐵)))))
33	32	impl 461	. . . . 5 ⊢ ((((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)) → (𝐵 ∈ HAtoms ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝐵))))
34		sseq1 3963	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 ⊆ 𝐴 ↔ 𝐵 ⊆ 𝐴))
35		oveq2 7427	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝐶 ∨ℋ 𝑥) = (𝐶 ∨ℋ 𝐵))
36	35	sseq2d 3970	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝑥) ↔ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝐵)))
37	34, 36	anbi12d 644	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝑥)) ↔ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝐵))))
38	37	rspcev 3583	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝐵))) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝑥)))
39	33, 38	syl 18	. . . 4 ⊢ ((((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝑥)))
40	39	adantrl 729	. . 3 ⊢ ((((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴) ∧ (𝐴 ≠ 0ℋ ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶))) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝑥)))
41	40	exp31 425	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (𝐶 ⊆ 𝐴 → ((𝐴 ≠ 0ℋ ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝑥)))))
42		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≠ 0ℋ ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)) → 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶))
43		ioran 999	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐶 ⊆ 𝐴) ↔ (¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ ¬ 𝐶 ⊆ 𝐴))
44	1	atcvat3i 32823	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (((¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ ¬ 𝐶 ⊆ 𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)) → (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ∈ HAtoms))
45	3	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ ¬ 𝐶 ⊆ 𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶))) → 𝐶 ∈ Cℋ )
46	44	imp 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ ¬ 𝐶 ⊆ 𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶))) → (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ∈ HAtoms)
47		simpll 779	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ ¬ 𝐶 ⊆ 𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶))) → 𝐵 ∈ HAtoms)
48	45, 46, 47	3jca 1146	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ ¬ 𝐶 ⊆ 𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶))) → (𝐶 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms))
49		inss2 4190	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)
50		chjcom 31933	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → (𝐵 ∨ℋ 𝐶) = (𝐶 ∨ℋ 𝐵))
51	20, 3, 50	syl2an 608	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (𝐵 ∨ℋ 𝐶) = (𝐶 ∨ℋ 𝐵))
52	49, 51	sseqtrid 3980	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝐵))
53	52	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ ¬ 𝐶 ⊆ 𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶))) → (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝐵))
54		atnssm0 32803	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (¬ 𝐶 ⊆ 𝐴 ↔ (𝐴 ∩ 𝐶) = 0ℋ))
55	1, 54	mpan 703	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐶 ∈ HAtoms → (¬ 𝐶 ⊆ 𝐴 ↔ (𝐴 ∩ 𝐶) = 0ℋ))
56	55	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (¬ 𝐶 ⊆ 𝐴 ↔ (𝐴 ∩ 𝐶) = 0ℋ))
57		inss1 4189	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ⊆ 𝐴
58		sslin 4195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ⊆ 𝐴 → (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) ⊆ (𝐶 ∩ 𝐴))
59	57, 58	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) ⊆ (𝐶 ∩ 𝐴)
60		incom 4162	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐶 ∩ 𝐴) = (𝐴 ∩ 𝐶)
61	59, 60	sseqtri 3986	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) ⊆ (𝐴 ∩ 𝐶)
62		sseq2 3964	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐶) = 0ℋ → ((𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) ⊆ (𝐴 ∩ 𝐶) ↔ (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) ⊆ 0ℋ))
63	61, 62	mpbii 236	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐶) = 0ℋ → (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) ⊆ 0ℋ)
64		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → 𝐶 ∈ Cℋ )
65		chjcl 31784	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∈ Cℋ )
66		chincl 31926	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∈ Cℋ ) → (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ∈ Cℋ )
67	1, 65, 66	sylancr 599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ∈ Cℋ )
68		chincl 31926	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐶 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ∈ Cℋ ) → (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) ∈ Cℋ )
69	64, 67, 68	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) ∈ Cℋ )
70	20, 3, 69	syl2an 608	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) ∈ Cℋ )
71		chle0 31870	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) ∈ Cℋ → ((𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) ⊆ 0ℋ ↔ (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) = 0ℋ))
72	70, 71	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → ((𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) ⊆ 0ℋ ↔ (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) = 0ℋ))
73	63, 72	imbitrid 247	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → ((𝐴 ∩ 𝐶) = 0ℋ → (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) = 0ℋ))
74	56, 73	sylbid 243	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (¬ 𝐶 ⊆ 𝐴 → (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) = 0ℋ))
75	74	imp 412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ¬ 𝐶 ⊆ 𝐴) → (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) = 0ℋ)
76	75	adantrl 729	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ (¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ ¬ 𝐶 ⊆ 𝐴)) → (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) = 0ℋ)
77	76	adantrr 730	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ ¬ 𝐶 ⊆ 𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶))) → (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) = 0ℋ)
78	53, 77	jca 521	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ ¬ 𝐶 ⊆ 𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶))) → ((𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) = 0ℋ))
79		atexch 32808	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → (((𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))) = 0ℋ) → 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)))))
80	48, 78, 79	sylc 66	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ ¬ 𝐶 ⊆ 𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶))) → 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))))
81	80, 57	jctil 529	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ ¬ 𝐶 ⊆ 𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶))) → ((𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)))))
82	81	ex 418	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (((¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ ¬ 𝐶 ⊆ 𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)) → ((𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))))))
83	44, 82	jcad 522	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (((¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ ¬ 𝐶 ⊆ 𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)) → ((𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ∈ HAtoms ∧ ((𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)))))))
84		sseq1 3963	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) → (𝑥 ⊆ 𝐴 ↔ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ⊆ 𝐴))
85		oveq2 7427	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) → (𝐶 ∨ℋ 𝑥) = (𝐶 ∨ℋ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))))
86	85	sseq2d 3970	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) → (𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝑥) ↔ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)))))
87	84, 86	anbi12d 644	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) → ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝑥)) ↔ ((𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))))))
88	87	rspcev 3583	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ∈ HAtoms ∧ ((𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))))) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝑥)))
89	83, 88	syl6 36	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (((¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ ¬ 𝐶 ⊆ 𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝑥))))
90	89	expd 421	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → ((¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ ¬ 𝐶 ⊆ 𝐴) → (𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝑥)))))
91	43, 90	biimtrid 245	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (¬ (𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐶 ⊆ 𝐴) → (𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝑥)))))
92	42, 91	syl7 75	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (¬ (𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐶 ⊆ 𝐴) → ((𝐴 ≠ 0ℋ ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝑥)))))
93	19, 41, 92	ecase3d 1050	1 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → ((𝐴 ≠ 0ℋ ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐶 ∨ℋ 𝑥))))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  ∃wrex 3091   ∩ cin 3905   ⊆ wss 3906  (class class class)co 7419   C_ℋ cch 31356   ∨_ℋ chj 31360  0_ℋc0h 31362  HAtomscat 31392

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-inf2 9617  ax-cc 10434  ax-cnex 11175  ax-resscn 11176  ax-1cn 11177  ax-icn 11178  ax-addcl 11179  ax-addrcl 11180  ax-mulcl 11181  ax-mulrcl 11182  ax-mulcom 11183  ax-addass 11184  ax-mulass 11185  ax-distr 11186  ax-i2m1 11187  ax-1ne0 11188  ax-1rid 11189  ax-rnegex 11190  ax-rrecex 11191  ax-cnre 11192  ax-pre-lttri 11193  ax-pre-lttrn 11194  ax-pre-ltadd 11195  ax-pre-mulgt0 11196  ax-pre-sup 11197  ax-addf 11198  ax-mulf 11199  ax-hilex 31426  ax-hfvadd 31427  ax-hvcom 31428  ax-hvass 31429  ax-hv0cl 31430  ax-hvaddid 31431  ax-hfvmul 31432  ax-hvmulid 31433  ax-hvmulass 31434  ax-hvdistr1 31435  ax-hvdistr2 31436  ax-hvmul0 31437  ax-hfi 31506  ax-his1 31509  ax-his2 31510  ax-his3 31511  ax-his4 31512  ax-hcompl 31629

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7684  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-supp 8163  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-oadd 8463  df-omul 8464  df-er 8700  df-map 8832  df-pm 8833  df-ixp 8902  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-fsupp 9329  df-fi 9378  df-sup 9409  df-inf 9410  df-oi 9479  df-card 9941  df-acn 9944  df-pnf 11264  df-mnf 11265  df-xr 11266  df-ltxr 11267  df-le 11268  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11891  df-nn 12253  df-2 12322  df-3 12323  df-4 12324  df-5 12325  df-6 12326  df-7 12327  df-8 12328  df-9 12329  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12732  df-uz 12883  df-q 12993  df-rp 13037  df-xneg 13157  df-xadd 13158  df-xmul 13159  df-ioo 13396  df-ico 13398  df-icc 13399  df-fz 13556  df-fzo 13704  df-fl 13847  df-seq 14060  df-exp 14120  df-hash 14389  df-cj 15178  df-re 15179  df-im 15180  df-sqrt 15314  df-abs 15315  df-clim 15567  df-rlim 15568  df-sum 15766  df-struct 17233  df-sets 17250  df-slot 17268  df-ndx 17280  df-base 17296  df-ress 17317  df-plusg 17349  df-mulr 17350  df-starv 17351  df-sca 17352  df-vsca 17353  df-ip 17354  df-tset 17355  df-ple 17356  df-ds 17358  df-unif 17359  df-hom 17360  df-cco 17361  df-rest 17501  df-topn 17502  df-0g 17520  df-gsum 17521  df-topgen 17522  df-pt 17523  df-prds 17526  df-xrs 17582  df-qtop 17587  df-imas 17588  df-xps 17590  df-mre 17664  df-mrc 17665  df-acs 17667  df-mgm 18724  df-sgrp 18813  df-mnd 18829  df-submnd 18883  df-mulg 19182  df-cntz 19435  df-cmn 19900  df-psmet 21568  df-xmet 21569  df-met 21570  df-bl 21571  df-mopn 21572  df-fbas 21573  df-fg 21574  df-cnfld 21577  df-top 23105  df-topon 23122  df-topsp 23144  df-bases 23157  df-cld 23230  df-ntr 23231  df-cls 23232  df-nei 23309  df-cn 23438  df-cnp 23439  df-lm 23440  df-haus 23526  df-tx 23774  df-hmeo 23967  df-fil 24058  df-fm 24150  df-flim 24151  df-flf 24152  df-xms 24532  df-ms 24533  df-tms 24534  df-cfil 25469  df-cau 25470  df-cmet 25471  df-grpo 30920  df-gid 30921  df-ginv 30922  df-gdiv 30923  df-ablo 30972  df-vc 30986  df-nv 31019  df-va 31022  df-ba 31023  df-sm 31024  df-0v 31025  df-vs 31026  df-nmcv 31027  df-ims 31028  df-dip 31128  df-ssp 31149  df-ph 31240  df-cbn 31290  df-hnorm 31395  df-hba 31396  df-hvsub 31398  df-hlim 31399  df-hcau 31400  df-sh 31634  df-ch 31648  df-oc 31679  df-ch0 31680  df-shs 31735  df-span 31736  df-chj 31737  df-chsup 31738  df-pjh 31822  df-cv 32706  df-at 32765

This theorem is used by:  mdsymlem3  32832