HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  atcvat4i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem atcvat4i 31917
Description: A condition implying existence of an atom with the properties shown. Lemma 3.2.20 of [PtakPulmannova] p. 68. (Contributed by NM, 2-Jul-2004.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
atcvat3.1 𝐴C
Assertion
Ref Expression
atcvat4i ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → ((𝐴 ≠ 0𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶)) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥𝐴𝐵 ⊆ (𝐶 𝑥))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶

Proof of Theorem atcvat4i
StepHypRef Expression
1 atcvat3.1 . . . . . . . . 9 𝐴C
21hatomici 31879 . . . . . . . 8 (𝐴 ≠ 0 → ∃𝑥 ∈ HAtoms 𝑥𝐴)
3 atelch 31864 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐶 ∈ HAtoms → 𝐶C )
4 atelch 31864 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ HAtoms → 𝑥C )
5 chub1 31027 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐶C𝑥C ) → 𝐶 ⊆ (𝐶 𝑥))
63, 4, 5syl2an 594 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐶 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) → 𝐶 ⊆ (𝐶 𝑥))
7 sseq1 4006 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵 = 𝐶 → (𝐵 ⊆ (𝐶 𝑥) ↔ 𝐶 ⊆ (𝐶 𝑥)))
86, 7imbitrrid 245 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 = 𝐶 → ((𝐶 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) → 𝐵 ⊆ (𝐶 𝑥)))
98expd 414 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 = 𝐶 → (𝐶 ∈ HAtoms → (𝑥 ∈ HAtoms → 𝐵 ⊆ (𝐶 𝑥))))
109impcom 406 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 = 𝐶) → (𝑥 ∈ HAtoms → 𝐵 ⊆ (𝐶 𝑥)))
1110anim2d 610 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 = 𝐶) → ((𝑥𝐴𝑥 ∈ HAtoms) → (𝑥𝐴𝐵 ⊆ (𝐶 𝑥))))
1211expcomd 415 . . . . . . . . 9 ((𝐶 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 = 𝐶) → (𝑥 ∈ HAtoms → (𝑥𝐴 → (𝑥𝐴𝐵 ⊆ (𝐶 𝑥)))))
1312reximdvai 3163 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 = 𝐶) → (∃𝑥 ∈ HAtoms 𝑥𝐴 → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥𝐴𝐵 ⊆ (𝐶 𝑥))))
142, 13syl5 34 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 = 𝐶) → (𝐴 ≠ 0 → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥𝐴𝐵 ⊆ (𝐶 𝑥))))
1514ex 411 . . . . . 6 (𝐶 ∈ HAtoms → (𝐵 = 𝐶 → (𝐴 ≠ 0 → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥𝐴𝐵 ⊆ (𝐶 𝑥)))))
1615a1i 11 . . . . 5 (𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶) → (𝐶 ∈ HAtoms → (𝐵 = 𝐶 → (𝐴 ≠ 0 → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥𝐴𝐵 ⊆ (𝐶 𝑥))))))
1716com4l 92 . . . 4 (𝐶 ∈ HAtoms → (𝐵 = 𝐶 → (𝐴 ≠ 0 → (𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥𝐴𝐵 ⊆ (𝐶 𝑥))))))
1817imp4a 421 . . 3 (𝐶 ∈ HAtoms → (𝐵 = 𝐶 → ((𝐴 ≠ 0𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶)) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥𝐴𝐵 ⊆ (𝐶 𝑥)))))
1918adantl 480 . 2 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (𝐵 = 𝐶 → ((𝐴 ≠ 0𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶)) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥𝐴𝐵 ⊆ (𝐶 𝑥)))))
20 atelch 31864 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ HAtoms → 𝐵C )
21 chlejb2 31033 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐶C𝐴C ) → (𝐶𝐴 ↔ (𝐴 𝐶) = 𝐴))
221, 21mpan2 687 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐶C → (𝐶𝐴 ↔ (𝐴 𝐶) = 𝐴))
2322biimpa 475 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐶C𝐶𝐴) → (𝐴 𝐶) = 𝐴)
2423sseq2d 4013 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐶C𝐶𝐴) → (𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶) ↔ 𝐵𝐴))
2524biimpa 475 . . . . . . . . . . 11 (((𝐶C𝐶𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶)) → 𝐵𝐴)
2625expl 456 . . . . . . . . . 10 (𝐶C → ((𝐶𝐴𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶)) → 𝐵𝐴))
2726adantl 480 . . . . . . . . 9 ((𝐵C𝐶C ) → ((𝐶𝐴𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶)) → 𝐵𝐴))
28 chub2 31028 . . . . . . . . 9 ((𝐵C𝐶C ) → 𝐵 ⊆ (𝐶 𝐵))
2927, 28jctird 525 . . . . . . . 8 ((𝐵C𝐶C ) → ((𝐶𝐴𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶)) → (𝐵𝐴𝐵 ⊆ (𝐶 𝐵))))
3020, 3, 29syl2an 594 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → ((𝐶𝐴𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶)) → (𝐵𝐴𝐵 ⊆ (𝐶 𝐵))))
31 simpl 481 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → 𝐵 ∈ HAtoms)
3230, 31jctild 524 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → ((𝐶𝐴𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶)) → (𝐵 ∈ HAtoms ∧ (𝐵𝐴𝐵 ⊆ (𝐶 𝐵)))))
3332impl 454 . . . . 5 ((((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝐶𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶)) → (𝐵 ∈ HAtoms ∧ (𝐵𝐴𝐵 ⊆ (𝐶 𝐵))))
34 sseq1 4006 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐵 → (𝑥𝐴𝐵𝐴))
35 oveq2 7419 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐵 → (𝐶 𝑥) = (𝐶 𝐵))
3635sseq2d 4013 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐵 → (𝐵 ⊆ (𝐶 𝑥) ↔ 𝐵 ⊆ (𝐶 𝐵)))
3734, 36anbi12d 629 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐵 → ((𝑥𝐴𝐵 ⊆ (𝐶 𝑥)) ↔ (𝐵𝐴𝐵 ⊆ (𝐶 𝐵))))
3837rspcev 3611 . . . . 5 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ (𝐵𝐴𝐵 ⊆ (𝐶 𝐵))) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥𝐴𝐵 ⊆ (𝐶 𝑥)))
3933, 38syl 17 . . . 4 ((((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝐶𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶)) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥𝐴𝐵 ⊆ (𝐶 𝑥)))
4039adantrl 712 . . 3 ((((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝐶𝐴) ∧ (𝐴 ≠ 0𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶))) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥𝐴𝐵 ⊆ (𝐶 𝑥)))
4140exp31 418 . 2 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (𝐶𝐴 → ((𝐴 ≠ 0𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶)) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥𝐴𝐵 ⊆ (𝐶 𝑥)))))
42 simpr 483 . . 3 ((𝐴 ≠ 0𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶)) → 𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶))
43 ioran 980 . . . 4 (¬ (𝐵 = 𝐶𝐶𝐴) ↔ (¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ ¬ 𝐶𝐴))
441atcvat3i 31916 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (((¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ ¬ 𝐶𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶)) → (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ∈ HAtoms))
453ad2antlr 723 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ ¬ 𝐶𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶))) → 𝐶C )
4644imp 405 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ ¬ 𝐶𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶))) → (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ∈ HAtoms)
47 simpll 763 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ ¬ 𝐶𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶))) → 𝐵 ∈ HAtoms)
4845, 46, 473jca 1126 . . . . . . . . . 10 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ ¬ 𝐶𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶))) → (𝐶C ∧ (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms))
49 inss2 4228 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ⊆ (𝐵 𝐶)
50 chjcom 31026 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵C𝐶C ) → (𝐵 𝐶) = (𝐶 𝐵))
5120, 3, 50syl2an 594 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (𝐵 𝐶) = (𝐶 𝐵))
5249, 51sseqtrid 4033 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ⊆ (𝐶 𝐵))
5352adantr 479 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ ¬ 𝐶𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶))) → (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ⊆ (𝐶 𝐵))
54 atnssm0 31896 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴C𝐶 ∈ HAtoms) → (¬ 𝐶𝐴 ↔ (𝐴𝐶) = 0))
551, 54mpan 686 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐶 ∈ HAtoms → (¬ 𝐶𝐴 ↔ (𝐴𝐶) = 0))
5655adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (¬ 𝐶𝐴 ↔ (𝐴𝐶) = 0))
57 inss1 4227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ⊆ 𝐴
58 sslin 4233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ⊆ 𝐴 → (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶))) ⊆ (𝐶𝐴))
5957, 58ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶))) ⊆ (𝐶𝐴)
60 incom 4200 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐶𝐴) = (𝐴𝐶)
6159, 60sseqtri 4017 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶))) ⊆ (𝐴𝐶)
62 sseq2 4007 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴𝐶) = 0 → ((𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶))) ⊆ (𝐴𝐶) ↔ (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶))) ⊆ 0))
6361, 62mpbii 232 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴𝐶) = 0 → (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶))) ⊆ 0)
64 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐵C𝐶C ) → 𝐶C )
65 chjcl 30877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐵C𝐶C ) → (𝐵 𝐶) ∈ C )
66 chincl 31019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴C ∧ (𝐵 𝐶) ∈ C ) → (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ∈ C )
671, 65, 66sylancr 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐵C𝐶C ) → (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ∈ C )
68 chincl 31019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐶C ∧ (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ∈ C ) → (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶))) ∈ C )
6964, 67, 68syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐵C𝐶C ) → (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶))) ∈ C )
7020, 3, 69syl2an 594 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶))) ∈ C )
71 chle0 30963 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶))) ∈ C → ((𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶))) ⊆ 0 ↔ (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶))) = 0))
7270, 71syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → ((𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶))) ⊆ 0 ↔ (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶))) = 0))
7363, 72imbitrid 243 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → ((𝐴𝐶) = 0 → (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶))) = 0))
7456, 73sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (¬ 𝐶𝐴 → (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶))) = 0))
7574imp 405 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ¬ 𝐶𝐴) → (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶))) = 0)
7675adantrl 712 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ (¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ ¬ 𝐶𝐴)) → (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶))) = 0)
7776adantrr 713 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ ¬ 𝐶𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶))) → (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶))) = 0)
7853, 77jca 510 . . . . . . . . . 10 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ ¬ 𝐶𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶))) → ((𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ⊆ (𝐶 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶))) = 0))
79 atexch 31901 . . . . . . . . . 10 ((𝐶C ∧ (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → (((𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ⊆ (𝐶 𝐵) ∧ (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶))) = 0) → 𝐵 ⊆ (𝐶 (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)))))
8048, 78, 79sylc 65 . . . . . . . . 9 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ ¬ 𝐶𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶))) → 𝐵 ⊆ (𝐶 (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶))))
8180, 57jctil 518 . . . . . . . 8 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ ¬ 𝐶𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶))) → ((𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ⊆ 𝐴𝐵 ⊆ (𝐶 (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)))))
8281ex 411 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (((¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ ¬ 𝐶𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶)) → ((𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ⊆ 𝐴𝐵 ⊆ (𝐶 (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶))))))
8344, 82jcad 511 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (((¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ ¬ 𝐶𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶)) → ((𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ∈ HAtoms ∧ ((𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ⊆ 𝐴𝐵 ⊆ (𝐶 (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)))))))
84 sseq1 4006 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) → (𝑥𝐴 ↔ (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ⊆ 𝐴))
85 oveq2 7419 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) → (𝐶 𝑥) = (𝐶 (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶))))
8685sseq2d 4013 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) → (𝐵 ⊆ (𝐶 𝑥) ↔ 𝐵 ⊆ (𝐶 (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)))))
8784, 86anbi12d 629 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) → ((𝑥𝐴𝐵 ⊆ (𝐶 𝑥)) ↔ ((𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ⊆ 𝐴𝐵 ⊆ (𝐶 (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶))))))
8887rspcev 3611 . . . . . 6 (((𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ∈ HAtoms ∧ ((𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ⊆ 𝐴𝐵 ⊆ (𝐶 (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶))))) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥𝐴𝐵 ⊆ (𝐶 𝑥)))
8983, 88syl6 35 . . . . 5 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (((¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ ¬ 𝐶𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶)) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥𝐴𝐵 ⊆ (𝐶 𝑥))))
9089expd 414 . . . 4 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → ((¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ ¬ 𝐶𝐴) → (𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥𝐴𝐵 ⊆ (𝐶 𝑥)))))
9143, 90biimtrid 241 . . 3 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (¬ (𝐵 = 𝐶𝐶𝐴) → (𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥𝐴𝐵 ⊆ (𝐶 𝑥)))))
9242, 91syl7 74 . 2 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (¬ (𝐵 = 𝐶𝐶𝐴) → ((𝐴 ≠ 0𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶)) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥𝐴𝐵 ⊆ (𝐶 𝑥)))))
9319, 41, 92ecase3d 1030 1 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → ((𝐴 ≠ 0𝐵 ⊆ (𝐴 𝐶)) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥𝐴𝐵 ⊆ (𝐶 𝑥))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394  wo 843  w3a 1085   = wceq 1539  wcel 2104  wne 2938  wrex 3068  cin 3946  wss 3947  (class class class)co 7411   C cch 30449   chj 30453  0c0h 30455  HAtomscat 30485
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cc 10432  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192  ax-hilex 30519  ax-hfvadd 30520  ax-hvcom 30521  ax-hvass 30522  ax-hv0cl 30523  ax-hvaddid 30524  ax-hfvmul 30525  ax-hvmulid 30526  ax-hvmulass 30527  ax-hvdistr1 30528  ax-hvdistr2 30529  ax-hvmul0 30530  ax-hfi 30599  ax-his1 30602  ax-his2 30603  ax-his3 30604  ax-his4 30605  ax-hcompl 30722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-omul 8473  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-acn 9939  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ioo 13332  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-rest 17372  df-topn 17373  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-topgen 17393  df-pt 17394  df-prds 17397  df-xrs 17452  df-qtop 17457  df-imas 17458  df-xps 17460  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-mulg 18987  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-fbas 21141  df-fg 21142  df-cnfld 21145  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-cld 22743  df-ntr 22744  df-cls 22745  df-nei 22822  df-cn 22951  df-cnp 22952  df-lm 22953  df-haus 23039  df-tx 23286  df-hmeo 23479  df-fil 23570  df-fm 23662  df-flim 23663  df-flf 23664  df-xms 24046  df-ms 24047  df-tms 24048  df-cfil 25003  df-cau 25004  df-cmet 25005  df-grpo 30013  df-gid 30014  df-ginv 30015  df-gdiv 30016  df-ablo 30065  df-vc 30079  df-nv 30112  df-va 30115  df-ba 30116  df-sm 30117  df-0v 30118  df-vs 30119  df-nmcv 30120  df-ims 30121  df-dip 30221  df-ssp 30242  df-ph 30333  df-cbn 30383  df-hnorm 30488  df-hba 30489  df-hvsub 30491  df-hlim 30492  df-hcau 30493  df-sh 30727  df-ch 30741  df-oc 30772  df-ch0 30773  df-shs 30828  df-span 30829  df-chj 30830  df-chsup 30831  df-pjh 30915  df-cv 31799  df-at 31858
This theorem is referenced by:  mdsymlem3  31925
  Copyright terms: Public domain W3C validator