Theorem clatglbss 18576

Description: Subset law for greatest lower bound. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
clatglb.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
clatglb.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
clatglb.g	⊢ 𝐺 = (glb‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
clatglbss	⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑇) → (𝐺‘𝑇) ≤ (𝐺‘𝑆))

Proof of Theorem clatglbss

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1190	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑇) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝐾 ∈ CLat)
2		simpl2 1191	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑇) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑇 ⊆ 𝐵)
3		simp3 1137	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑇) → 𝑆 ⊆ 𝑇)
4	3	sselda 3994	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑇) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ 𝑇)
5		clatglb.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
6		clatglb.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
7		clatglb.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (glb‘𝐾)
8	5, 6, 7	clatglble 18574	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) → (𝐺‘𝑇) ≤ 𝑦)
9	1, 2, 4, 8	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑇) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑇) ≤ 𝑦)
10	9	ralrimiva 3143	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑇) → ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝐺‘𝑇) ≤ 𝑦)
11		simp1 1135	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑇) → 𝐾 ∈ CLat)
12	5, 7	clatglbcl 18562	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) → (𝐺‘𝑇) ∈ 𝐵)
13	12	3adant3 1131	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑇) → (𝐺‘𝑇) ∈ 𝐵)
14		sstr 4003	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
15	14	ancoms 458	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑇) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
16	15	3adant1 1129	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑇) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
17	5, 6, 7	clatleglb 18575	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ (𝐺‘𝑇) ∈ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → ((𝐺‘𝑇) ≤ (𝐺‘𝑆) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝐺‘𝑇) ≤ 𝑦))
18	11, 13, 16, 17	syl3anc 1370	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑇) → ((𝐺‘𝑇) ≤ (𝐺‘𝑆) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝐺‘𝑇) ≤ 𝑦))
19	10, 18	mpbird 257	1 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑇) → (𝐺‘𝑇) ≤ (𝐺‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1536   ∈ wcel 2105  ∀wral 3058   ⊆ wss 3962   class class class wbr 5147  ‘cfv 6562  Basecbs 17244  lecple 17304  glbcglb 18367  CLatccla 18555

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-oprab 7434  df-poset 18370  df-lub 18403  df-glb 18404  df-join 18405  df-meet 18406  df-lat 18489  df-clat 18556

This theorem is referenced by:  dochss  41347