Theorem clatglbss 18579

Description: Subset law for greatest lower bound. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
clatglb.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
clatglb.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
clatglb.g	⊢ 𝐺 = (glb‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
clatglbss	⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑇) → (𝐺‘𝑇) ≤ (𝐺‘𝑆))

Proof of Theorem clatglbss

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1210	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑇) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝐾 ∈ CLat)
2		simpl2 1211	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑇) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑇 ⊆ 𝐵)
3		simp3 1156	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑇) → 𝑆 ⊆ 𝑇)
4	3	sselda 3937	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑇) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ 𝑇)
5		clatglb.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
6		clatglb.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
7		clatglb.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (glb‘𝐾)
8	5, 6, 7	clatglble 18577	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) → (𝐺‘𝑇) ≤ 𝑦)
9	1, 2, 4, 8	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑇) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑇) ≤ 𝑦)
10	9	ralrimiva 3157	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑇) → ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝐺‘𝑇) ≤ 𝑦)
11		simp1 1154	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑇) → 𝐾 ∈ CLat)
12	5, 7	clatglbcl 18565	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) → (𝐺‘𝑇) ∈ 𝐵)
13	12	3adant3 1150	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑇) → (𝐺‘𝑇) ∈ 𝐵)
14		sstr 3945	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
15	14	ancoms 463	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑇) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
16	15	3adant1 1148	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑇) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
17	5, 6, 7	clatleglb 18578	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ (𝐺‘𝑇) ∈ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → ((𝐺‘𝑇) ≤ (𝐺‘𝑆) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝐺‘𝑇) ≤ 𝑦))
18	11, 13, 16, 17	syl3anc 1398	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑇) → ((𝐺‘𝑇) ≤ (𝐺‘𝑆) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝐺‘𝑇) ≤ 𝑦))
19	10, 18	mpbird 260	1 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑇) → (𝐺‘𝑇) ≤ (𝐺‘𝑆))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079   ⊆ wss 3905   class class class wbr 5109  ‘cfv 6536  Basecbs 17273  lecple 17321  glbcglb 18370  CLatccla 18558

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-oprab 7414  df-poset 18373  df-lub 18404  df-glb 18405  df-join 18406  df-meet 18407  df-lat 18492  df-clat 18559

This theorem is used by:  dochss  42167