Theorem clatglbss 18575

Description: Subset law for greatest lower bound. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
clatglb.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
clatglb.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
clatglb.g	⊢ 𝐺 = (glb‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
clatglbss	⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑇) → (𝐺‘𝑇) ≤ (𝐺‘𝑆))

Proof of Theorem clatglbss

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1208	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑇) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝐾 ∈ CLat)
2		simpl2 1209	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑇) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑇 ⊆ 𝐵)
3		simp3 1154	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑇) → 𝑆 ⊆ 𝑇)
4	3	sselda 3945	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑇) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ 𝑇)
5		clatglb.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
6		clatglb.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
7		clatglb.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (glb‘𝐾)
8	5, 6, 7	clatglble 18573	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) → (𝐺‘𝑇) ≤ 𝑦)
9	1, 2, 4, 8	syl3anc 1396	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑇) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑇) ≤ 𝑦)
10	9	ralrimiva 3163	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑇) → ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝐺‘𝑇) ≤ 𝑦)
11		simp1 1152	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑇) → 𝐾 ∈ CLat)
12	5, 7	clatglbcl 18561	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) → (𝐺‘𝑇) ∈ 𝐵)
13	12	3adant3 1148	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑇) → (𝐺‘𝑇) ∈ 𝐵)
14		sstr 3953	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
15	14	ancoms 463	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑇) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
16	15	3adant1 1146	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑇) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
17	5, 6, 7	clatleglb 18574	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ (𝐺‘𝑇) ∈ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → ((𝐺‘𝑇) ≤ (𝐺‘𝑆) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝐺‘𝑇) ≤ 𝑦))
18	11, 13, 16, 17	syl3anc 1396	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑇) → ((𝐺‘𝑇) ≤ (𝐺‘𝑆) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝐺‘𝑇) ≤ 𝑦))
19	10, 18	mpbird 260	1 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑇) → (𝐺‘𝑇) ≤ (𝐺‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∀wral 3085   ⊆ wss 3913   class class class wbr 5113  ‘cfv 6537  Basecbs 17269  lecple 17317  glbcglb 18366  CLatccla 18554

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5557  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-oprab 7415  df-poset 18369  df-lub 18400  df-glb 18401  df-join 18402  df-meet 18403  df-lat 18488  df-clat 18555

This theorem is referenced by:  dochss  42063