Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clatglbss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clatglbss 17740
 Description: Subset law for greatest lower bound. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
clatglb.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
clatglb.l = (le‘𝐾)
clatglb.g 𝐺 = (glb‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
clatglbss ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇𝐵𝑆𝑇) → (𝐺𝑇) (𝐺𝑆))

Proof of Theorem clatglbss
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 1187 . . . 4 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇𝐵𝑆𝑇) ∧ 𝑦𝑆) → 𝐾 ∈ CLat)
2 simpl2 1188 . . . 4 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇𝐵𝑆𝑇) ∧ 𝑦𝑆) → 𝑇𝐵)
3 simp3 1134 . . . . 5 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇𝐵𝑆𝑇) → 𝑆𝑇)
43sselda 3970 . . . 4 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇𝐵𝑆𝑇) ∧ 𝑦𝑆) → 𝑦𝑇)
5 clatglb.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
6 clatglb.l . . . . 5 = (le‘𝐾)
7 clatglb.g . . . . 5 𝐺 = (glb‘𝐾)
85, 6, 7clatglble 17738 . . . 4 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇𝐵𝑦𝑇) → (𝐺𝑇) 𝑦)
91, 2, 4, 8syl3anc 1367 . . 3 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇𝐵𝑆𝑇) ∧ 𝑦𝑆) → (𝐺𝑇) 𝑦)
109ralrimiva 3185 . 2 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇𝐵𝑆𝑇) → ∀𝑦𝑆 (𝐺𝑇) 𝑦)
11 simp1 1132 . . 3 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇𝐵𝑆𝑇) → 𝐾 ∈ CLat)
125, 7clatglbcl 17727 . . . 4 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇𝐵) → (𝐺𝑇) ∈ 𝐵)
13123adant3 1128 . . 3 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇𝐵𝑆𝑇) → (𝐺𝑇) ∈ 𝐵)
14 sstr 3978 . . . . 5 ((𝑆𝑇𝑇𝐵) → 𝑆𝐵)
1514ancoms 461 . . . 4 ((𝑇𝐵𝑆𝑇) → 𝑆𝐵)
16153adant1 1126 . . 3 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇𝐵𝑆𝑇) → 𝑆𝐵)
175, 6, 7clatleglb 17739 . . 3 ((𝐾 ∈ CLat ∧ (𝐺𝑇) ∈ 𝐵𝑆𝐵) → ((𝐺𝑇) (𝐺𝑆) ↔ ∀𝑦𝑆 (𝐺𝑇) 𝑦))
1811, 13, 16, 17syl3anc 1367 . 2 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇𝐵𝑆𝑇) → ((𝐺𝑇) (𝐺𝑆) ↔ ∀𝑦𝑆 (𝐺𝑇) 𝑦))
1910, 18mpbird 259 1 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇𝐵𝑆𝑇) → (𝐺𝑇) (𝐺𝑆))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1536   ∈ wcel 2113  ∀wral 3141   ⊆ wss 3939   class class class wbr 5069  ‘cfv 6358  Basecbs 16486  lecple 16575  glbcglb 17556  CLatccla 17720 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-rep 5193  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-op 4577  df-uni 4842  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-id 5463  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7117  df-oprab 7163  df-poset 17559  df-lub 17587  df-glb 17588  df-join 17589  df-meet 17590  df-lat 17659  df-clat 17721 This theorem is referenced by:  dochss  38505
 Copyright terms: Public domain W3C validator