MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clatglbss Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem clatglbss 18477
Description: Subset law for greatest lower bound. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
clatglb.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
clatglb.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
clatglb.g 𝐺 = (glbβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
clatglbss ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 βŠ† 𝑇) β†’ (πΊβ€˜π‘‡) ≀ (πΊβ€˜π‘†))
Proof of Theorem clatglbss
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 1190 . . . 4 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 βŠ† 𝑇) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 𝐾 ∈ CLat)
2 simpl2 1191 . . . 4 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 βŠ† 𝑇) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 𝑇 βŠ† 𝐡)
3 simp3 1137 . . . . 5 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 βŠ† 𝑇) β†’ 𝑆 βŠ† 𝑇)
43sselda 3983 . . . 4 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 βŠ† 𝑇) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 𝑦 ∈ 𝑇)
5 clatglb.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
6 clatglb.l . . . . 5 ≀ = (leβ€˜πΎ)
7 clatglb.g . . . . 5 𝐺 = (glbβ€˜πΎ)
85, 6, 7clatglble 18475 . . . 4 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) β†’ (πΊβ€˜π‘‡) ≀ 𝑦)
91, 2, 4, 8syl3anc 1370 . . 3 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 βŠ† 𝑇) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (πΊβ€˜π‘‡) ≀ 𝑦)
109ralrimiva 3145 . 2 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 βŠ† 𝑇) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (πΊβ€˜π‘‡) ≀ 𝑦)
11 simp1 1135 . . 3 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 βŠ† 𝑇) β†’ 𝐾 ∈ CLat)
125, 7clatglbcl 18463 . . . 4 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇 βŠ† 𝐡) β†’ (πΊβ€˜π‘‡) ∈ 𝐡)
13123adant3 1131 . . 3 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 βŠ† 𝑇) β†’ (πΊβ€˜π‘‡) ∈ 𝐡)
14 sstr 3991 . . . . 5 ((𝑆 βŠ† 𝑇 ∧ 𝑇 βŠ† 𝐡) β†’ 𝑆 βŠ† 𝐡)
1514ancoms 458 . . . 4 ((𝑇 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 βŠ† 𝑇) β†’ 𝑆 βŠ† 𝐡)
16153adant1 1129 . . 3 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 βŠ† 𝑇) β†’ 𝑆 βŠ† 𝐡)
175, 6, 7clatleglb 18476 . . 3 ((𝐾 ∈ CLat ∧ (πΊβ€˜π‘‡) ∈ 𝐡 ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) β†’ ((πΊβ€˜π‘‡) ≀ (πΊβ€˜π‘†) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (πΊβ€˜π‘‡) ≀ 𝑦))
1811, 13, 16, 17syl3anc 1370 . 2 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 βŠ† 𝑇) β†’ ((πΊβ€˜π‘‡) ≀ (πΊβ€˜π‘†) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (πΊβ€˜π‘‡) ≀ 𝑦))
1910, 18mpbird 256 1 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 βŠ† 𝑇) β†’ (πΊβ€˜π‘‡) ≀ (πΊβ€˜π‘†))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  βˆ€wral 3060   βŠ† wss 3949   class class class wbr 5149  β€˜cfv 6544  Basecbs 17149  lecple 17209  glbcglb 18268  CLatccla 18456
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-oprab 7416  df-poset 18271  df-lub 18304  df-glb 18305  df-join 18306  df-meet 18307  df-lat 18390  df-clat 18457
This theorem is referenced by:  dochss  40540
  Copyright terms: Public domain W3C validator