Theorem clsdif 23009

Description: A closure of a complement is the complement of the interior. (Contributed by Jeff Hankins, 31-Aug-2009.)

Hypothesis

Ref	Expression
clscld.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
clsdif	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → ((cls‘𝐽)‘(𝑋 ∖ 𝐴)) = (𝑋 ∖ ((int‘𝐽)‘𝐴)))

Proof of Theorem clsdif

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difss 4090	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∖ 𝐴) ⊆ 𝑋
2		clscld.1	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
3	2	clsval2 23006	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑋 ∖ 𝐴) ⊆ 𝑋) → ((cls‘𝐽)‘(𝑋 ∖ 𝐴)) = (𝑋 ∖ ((int‘𝐽)‘(𝑋 ∖ (𝑋 ∖ 𝐴)))))
4	1, 3	mpan2 692	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ((cls‘𝐽)‘(𝑋 ∖ 𝐴)) = (𝑋 ∖ ((int‘𝐽)‘(𝑋 ∖ (𝑋 ∖ 𝐴)))))
5	4	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → ((cls‘𝐽)‘(𝑋 ∖ 𝐴)) = (𝑋 ∖ ((int‘𝐽)‘(𝑋 ∖ (𝑋 ∖ 𝐴)))))
6		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → 𝐴 ⊆ 𝑋)
7		dfss4 4223	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑋 ↔ (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ 𝐴)) = 𝐴)
8	6, 7	sylib 218	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ 𝐴)) = 𝐴)
9	8	fveq2d 6846	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → ((int‘𝐽)‘(𝑋 ∖ (𝑋 ∖ 𝐴))) = ((int‘𝐽)‘𝐴))
10	9	difeq2d 4080	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → (𝑋 ∖ ((int‘𝐽)‘(𝑋 ∖ (𝑋 ∖ 𝐴)))) = (𝑋 ∖ ((int‘𝐽)‘𝐴)))
11	5, 10	eqtrd 2772	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → ((cls‘𝐽)‘(𝑋 ∖ 𝐴)) = (𝑋 ∖ ((int‘𝐽)‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∖ cdif 3900   ⊆ wss 3903  ∪ cuni 4865  ‘cfv 6500  Topctop 22849  intcnt 22973  clsccl 22974

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-top 22850  df-cld 22975  df-ntr 22976  df-cls 22977

This theorem is referenced by:  maxlp  23103  topbnd  36537