Theorem clsdif 23083

Description: A closure of a complement is the complement of the interior. (Contributed by Jeff Hankins, 31-Aug-2009.)

Hypothesis

Ref	Expression
clscld.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
clsdif	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → ((cls‘𝐽)‘(𝑋 ∖ 𝐴)) = (𝑋 ∖ ((int‘𝐽)‘𝐴)))

Proof of Theorem clsdif

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difss 4147	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∖ 𝐴) ⊆ 𝑋
2		clscld.1	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
3	2	clsval2 23080	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑋 ∖ 𝐴) ⊆ 𝑋) → ((cls‘𝐽)‘(𝑋 ∖ 𝐴)) = (𝑋 ∖ ((int‘𝐽)‘(𝑋 ∖ (𝑋 ∖ 𝐴)))))
4	1, 3	mpan2 691	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ((cls‘𝐽)‘(𝑋 ∖ 𝐴)) = (𝑋 ∖ ((int‘𝐽)‘(𝑋 ∖ (𝑋 ∖ 𝐴)))))
5	4	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → ((cls‘𝐽)‘(𝑋 ∖ 𝐴)) = (𝑋 ∖ ((int‘𝐽)‘(𝑋 ∖ (𝑋 ∖ 𝐴)))))
6		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → 𝐴 ⊆ 𝑋)
7		dfss4 4276	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑋 ↔ (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ 𝐴)) = 𝐴)
8	6, 7	sylib 218	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ 𝐴)) = 𝐴)
9	8	fveq2d 6915	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → ((int‘𝐽)‘(𝑋 ∖ (𝑋 ∖ 𝐴))) = ((int‘𝐽)‘𝐴))
10	9	difeq2d 4137	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → (𝑋 ∖ ((int‘𝐽)‘(𝑋 ∖ (𝑋 ∖ 𝐴)))) = (𝑋 ∖ ((int‘𝐽)‘𝐴)))
11	5, 10	eqtrd 2776	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → ((cls‘𝐽)‘(𝑋 ∖ 𝐴)) = (𝑋 ∖ ((int‘𝐽)‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1538   ∈ wcel 2107   ∖ cdif 3961   ⊆ wss 3964  ∪ cuni 4913  ‘cfv 6566  Topctop 22921  intcnt 23047  clsccl 23048

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5286  ax-sep 5303  ax-nul 5313  ax-pow 5372  ax-pr 5439  ax-un 7758

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3435  df-v 3481  df-sbc 3793  df-csb 3910  df-dif 3967  df-un 3969  df-in 3971  df-ss 3981  df-nul 4341  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4914  df-int 4953  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5584  df-xp 5696  df-rel 5697  df-cnv 5698  df-co 5699  df-dm 5700  df-rn 5701  df-res 5702  df-ima 5703  df-iota 6519  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-top 22922  df-cld 23049  df-ntr 23050  df-cls 23051

This theorem is referenced by:  maxlp  23177  topbnd  36319