Theorem cmclsopn 21913

Description: The complement of a closure is open. (Contributed by NM, 11-Sep-2006.)

Hypothesis

Ref	Expression
clscld.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
cmclsopn	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝑋 ∖ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) ∈ 𝐽)

Proof of Theorem cmclsopn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clscld.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2	1	clsval2 21901	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) = (𝑋 ∖ ((int‘𝐽)‘(𝑋 ∖ 𝑆))))
3	2	difeq2d 4023	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝑋 ∖ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) = (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ ((int‘𝐽)‘(𝑋 ∖ 𝑆)))))
4		difss 4032	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∖ 𝑆) ⊆ 𝑋
5	1	ntropn 21900	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑋 ∖ 𝑆) ⊆ 𝑋) → ((int‘𝐽)‘(𝑋 ∖ 𝑆)) ∈ 𝐽)
6	4, 5	mpan2 691	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ((int‘𝐽)‘(𝑋 ∖ 𝑆)) ∈ 𝐽)
7	1	eltopss 21758	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ((int‘𝐽)‘(𝑋 ∖ 𝑆)) ∈ 𝐽) → ((int‘𝐽)‘(𝑋 ∖ 𝑆)) ⊆ 𝑋)
8	6, 7	mpdan 687	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ((int‘𝐽)‘(𝑋 ∖ 𝑆)) ⊆ 𝑋)
9		dfss4 4159	. . . . 5 ⊢ (((int‘𝐽)‘(𝑋 ∖ 𝑆)) ⊆ 𝑋 ↔ (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ ((int‘𝐽)‘(𝑋 ∖ 𝑆)))) = ((int‘𝐽)‘(𝑋 ∖ 𝑆)))
10	8, 9	sylib 221	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ ((int‘𝐽)‘(𝑋 ∖ 𝑆)))) = ((int‘𝐽)‘(𝑋 ∖ 𝑆)))
11	10, 6	eqeltrd 2831	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ ((int‘𝐽)‘(𝑋 ∖ 𝑆)))) ∈ 𝐽)
12	11	adantr 484	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ ((int‘𝐽)‘(𝑋 ∖ 𝑆)))) ∈ 𝐽)
13	3, 12	eqeltrd 2831	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝑋 ∖ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) ∈ 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2112   ∖ cdif 3850   ⊆ wss 3853  ∪ cuni 4805  ‘cfv 6358  Topctop 21744  intcnt 21868  clsccl 21869

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7501

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-op 4534  df-uni 4806  df-int 4846  df-iun 4892  df-iin 4893  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-id 5440  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-top 21745  df-cld 21870  df-ntr 21871  df-cls 21872

This theorem is referenced by:  elcls  21924