Theorem cmclsopn 23129

Description: The complement of a closure is open. (Contributed by NM, 11-Sep-2006.)

Hypothesis

Ref	Expression
clscld.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
cmclsopn	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝑋 ∖ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) ∈ 𝐽)

Proof of Theorem cmclsopn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clscld.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2	1	clsval2 23117	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) = (𝑋 ∖ ((int‘𝐽)‘(𝑋 ∖ 𝑆))))
3	2	difeq2d 4081	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝑋 ∖ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) = (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ ((int‘𝐽)‘(𝑋 ∖ 𝑆)))))
4		difss 4090	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∖ 𝑆) ⊆ 𝑋
5	1	ntropn 23116	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑋 ∖ 𝑆) ⊆ 𝑋) → ((int‘𝐽)‘(𝑋 ∖ 𝑆)) ∈ 𝐽)
6	4, 5	mpan2 701	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ((int‘𝐽)‘(𝑋 ∖ 𝑆)) ∈ 𝐽)
7	1	eltopss 22974	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ((int‘𝐽)‘(𝑋 ∖ 𝑆)) ∈ 𝐽) → ((int‘𝐽)‘(𝑋 ∖ 𝑆)) ⊆ 𝑋)
8	6, 7	mpdan 697	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ((int‘𝐽)‘(𝑋 ∖ 𝑆)) ⊆ 𝑋)
9		dfss4 4222	. . . . 5 ⊢ (((int‘𝐽)‘(𝑋 ∖ 𝑆)) ⊆ 𝑋 ↔ (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ ((int‘𝐽)‘(𝑋 ∖ 𝑆)))) = ((int‘𝐽)‘(𝑋 ∖ 𝑆)))
10	8, 9	sylib 220	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ ((int‘𝐽)‘(𝑋 ∖ 𝑆)))) = ((int‘𝐽)‘(𝑋 ∖ 𝑆)))
11	10, 6	eqeltrd 2863	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ ((int‘𝐽)‘(𝑋 ∖ 𝑆)))) ∈ 𝐽)
12	11	adantr 484	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ ((int‘𝐽)‘(𝑋 ∖ 𝑆)))) ∈ 𝐽)
13	3, 12	eqeltrd 2863	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝑋 ∖ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) ∈ 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1561   ∈ wcel 2143   ∖ cdif 3902   ⊆ wss 3905  ∪ cuni 4866  ‘cfv 6521  Topctop 22960  intcnt 23084  clsccl 23085

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5228  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7718

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-id 5543  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-top 22961  df-cld 23086  df-ntr 23087  df-cls 23088

This theorem is referenced by:  elcls  23140