Theorem cmclsopn 22983

Description: The complement of a closure is open. (Contributed by NM, 11-Sep-2006.)

Hypothesis

Ref	Expression
clscld.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
cmclsopn	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝑋 ∖ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) ∈ 𝐽)

Proof of Theorem cmclsopn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clscld.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2	1	clsval2 22971	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) = (𝑋 ∖ ((int‘𝐽)‘(𝑋 ∖ 𝑆))))
3	2	difeq2d 4075	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝑋 ∖ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) = (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ ((int‘𝐽)‘(𝑋 ∖ 𝑆)))))
4		difss 4085	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∖ 𝑆) ⊆ 𝑋
5	1	ntropn 22970	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑋 ∖ 𝑆) ⊆ 𝑋) → ((int‘𝐽)‘(𝑋 ∖ 𝑆)) ∈ 𝐽)
6	4, 5	mpan2 691	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ((int‘𝐽)‘(𝑋 ∖ 𝑆)) ∈ 𝐽)
7	1	eltopss 22828	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ((int‘𝐽)‘(𝑋 ∖ 𝑆)) ∈ 𝐽) → ((int‘𝐽)‘(𝑋 ∖ 𝑆)) ⊆ 𝑋)
8	6, 7	mpdan 687	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ((int‘𝐽)‘(𝑋 ∖ 𝑆)) ⊆ 𝑋)
9		dfss4 4218	. . . . 5 ⊢ (((int‘𝐽)‘(𝑋 ∖ 𝑆)) ⊆ 𝑋 ↔ (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ ((int‘𝐽)‘(𝑋 ∖ 𝑆)))) = ((int‘𝐽)‘(𝑋 ∖ 𝑆)))
10	8, 9	sylib 218	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ ((int‘𝐽)‘(𝑋 ∖ 𝑆)))) = ((int‘𝐽)‘(𝑋 ∖ 𝑆)))
11	10, 6	eqeltrd 2831	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ ((int‘𝐽)‘(𝑋 ∖ 𝑆)))) ∈ 𝐽)
12	11	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ ((int‘𝐽)‘(𝑋 ∖ 𝑆)))) ∈ 𝐽)
13	3, 12	eqeltrd 2831	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝑋 ∖ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) ∈ 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ∖ cdif 3894   ⊆ wss 3897  ∪ cuni 4858  ‘cfv 6487  Topctop 22814  intcnt 22938  clsccl 22939

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-top 22815  df-cld 22940  df-ntr 22941  df-cls 22942

This theorem is referenced by:  elcls  22994