Theorem cmclsopn 23086

Description: The complement of a closure is open. (Contributed by NM, 11-Sep-2006.)

Hypothesis

Ref	Expression
clscld.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
cmclsopn	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝑋 ∖ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) ∈ 𝐽)

Proof of Theorem cmclsopn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clscld.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2	1	clsval2 23074	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) = (𝑋 ∖ ((int‘𝐽)‘(𝑋 ∖ 𝑆))))
3	2	difeq2d 4136	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝑋 ∖ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) = (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ ((int‘𝐽)‘(𝑋 ∖ 𝑆)))))
4		difss 4146	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∖ 𝑆) ⊆ 𝑋
5	1	ntropn 23073	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑋 ∖ 𝑆) ⊆ 𝑋) → ((int‘𝐽)‘(𝑋 ∖ 𝑆)) ∈ 𝐽)
6	4, 5	mpan2 691	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ((int‘𝐽)‘(𝑋 ∖ 𝑆)) ∈ 𝐽)
7	1	eltopss 22929	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ((int‘𝐽)‘(𝑋 ∖ 𝑆)) ∈ 𝐽) → ((int‘𝐽)‘(𝑋 ∖ 𝑆)) ⊆ 𝑋)
8	6, 7	mpdan 687	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ((int‘𝐽)‘(𝑋 ∖ 𝑆)) ⊆ 𝑋)
9		dfss4 4275	. . . . 5 ⊢ (((int‘𝐽)‘(𝑋 ∖ 𝑆)) ⊆ 𝑋 ↔ (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ ((int‘𝐽)‘(𝑋 ∖ 𝑆)))) = ((int‘𝐽)‘(𝑋 ∖ 𝑆)))
10	8, 9	sylib 218	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ ((int‘𝐽)‘(𝑋 ∖ 𝑆)))) = ((int‘𝐽)‘(𝑋 ∖ 𝑆)))
11	10, 6	eqeltrd 2839	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ ((int‘𝐽)‘(𝑋 ∖ 𝑆)))) ∈ 𝐽)
12	11	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ ((int‘𝐽)‘(𝑋 ∖ 𝑆)))) ∈ 𝐽)
13	3, 12	eqeltrd 2839	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝑋 ∖ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) ∈ 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ∖ cdif 3960   ⊆ wss 3963  ∪ cuni 4912  ‘cfv 6563  Topctop 22915  intcnt 23041  clsccl 23042

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-top 22916  df-cld 23043  df-ntr 23044  df-cls 23045

This theorem is referenced by:  elcls  23097