Theorem ntropn 22965

Description: The interior of a subset of a topology's underlying set is open. (Contributed by NM, 11-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
clscld.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
ntropn	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → ((int‘𝐽)‘𝑆) ∈ 𝐽)

Proof of Theorem ntropn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clscld.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2	1	ntrval 22952	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → ((int‘𝐽)‘𝑆) = ∪ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆))
3		inss1 4186	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ⊆ 𝐽
4		uniopn 22813	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ⊆ 𝐽) → ∪ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ∈ 𝐽)
5	3, 4	mpan2 691	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ∪ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ∈ 𝐽)
6	5	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → ∪ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ∈ 𝐽)
7	2, 6	eqeltrd 2833	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → ((int‘𝐽)‘𝑆) ∈ 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ∩ cin 3897   ⊆ wss 3898  𝒫 cpw 4549  ∪ cuni 4858  ‘cfv 6486  Topctop 22809  intcnt 22933

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-top 22810  df-ntr 22936

This theorem is referenced by:  ntrval2  22967  ntrss3  22976  ntrin  22977  cmclsopn  22978  cmntrcld  22979  isopn3  22982  ntridm  22984  neiint  23020  topssnei  23040  maxlp  23063  restntr  23098  iscnp4  23179  cnntri  23187  cnprest  23205  llycmpkgen2  23466  xkococnlem  23575  flimopn  23891  fclsneii  23933  fcfnei  23951  subgntr  24023  iccntr  24738  rectbntr0  24749  bcthlem5  25256  bcth3  25259  limcflf  25810  perfdvf  25832  ubthlem1  30852  cvmlift2lem12  35379  opnregcld  36395  ntrrn  44239  toplatglb  49125