Theorem ntropn 21654

Description: The interior of a subset of a topology's underlying set is open. (Contributed by NM, 11-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
clscld.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
ntropn	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → ((int‘𝐽)‘𝑆) ∈ 𝐽)

Proof of Theorem ntropn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clscld.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2	1	ntrval 21641	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → ((int‘𝐽)‘𝑆) = ∪ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆))
3		inss1 4155	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ⊆ 𝐽
4		uniopn 21502	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ⊆ 𝐽) → ∪ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ∈ 𝐽)
5	3, 4	mpan2 690	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ∪ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ∈ 𝐽)
6	5	adantr 484	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → ∪ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ∈ 𝐽)
7	2, 6	eqeltrd 2890	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → ((int‘𝐽)‘𝑆) ∈ 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ∩ cin 3880   ⊆ wss 3881  𝒫 cpw 4497  ∪ cuni 4800  ‘cfv 6324  Topctop 21498  intcnt 21622

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-top 21499  df-ntr 21625

This theorem is referenced by:  ntrval2  21656  ntrss3  21665  ntrin  21666  cmclsopn  21667  cmntrcld  21668  isopn3  21671  ntridm  21673  neiint  21709  topssnei  21729  maxlp  21752  restntr  21787  iscnp4  21868  cnntri  21876  cnprest  21894  llycmpkgen2  22155  xkococnlem  22264  flimopn  22580  fclsneii  22622  fcfnei  22640  subgntr  22712  iccntr  23426  rectbntr0  23437  bcthlem5  23932  bcth3  23935  limcflf  24484  perfdvf  24506  ubthlem1  28653  cvmlift2lem12  32674  opnregcld  33791  ntrrn  40825