MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ntropn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ntropn 21649
Description: The interior of a subset of a topology's underlying set is open. (Contributed by NM, 11-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Nov-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
clscld.1 𝑋 = 𝐽
Assertion
Ref Expression
ntropn ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → ((int‘𝐽)‘𝑆) ∈ 𝐽)

Proof of Theorem ntropn
StepHypRef Expression
1 clscld.1 . . 3 𝑋 = 𝐽
21ntrval 21636 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → ((int‘𝐽)‘𝑆) = (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆))
3 inss1 4203 . . . 4 (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ⊆ 𝐽
4 uniopn 21497 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ⊆ 𝐽) → (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ∈ 𝐽)
53, 4mpan2 689 . . 3 (𝐽 ∈ Top → (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ∈ 𝐽)
65adantr 483 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ∈ 𝐽)
72, 6eqeltrd 2911 1 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → ((int‘𝐽)‘𝑆) ∈ 𝐽)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398   = wceq 1530  wcel 2107  cin 3933  wss 3934  𝒫 cpw 4537   cuni 4830  cfv 6348  Topctop 21493  intcnt 21617
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-top 21494  df-ntr 21620
This theorem is referenced by:  ntrval2  21651  ntrss3  21660  ntrin  21661  cmclsopn  21662  cmntrcld  21663  isopn3  21666  ntridm  21668  neiint  21704  topssnei  21724  maxlp  21747  restntr  21782  iscnp4  21863  cnntri  21871  cnprest  21889  llycmpkgen2  22150  xkococnlem  22259  flimopn  22575  fclsneii  22617  fcfnei  22635  subgntr  22707  iccntr  23421  rectbntr0  23432  bcthlem5  23923  bcth3  23926  limcflf  24471  perfdvf  24493  ubthlem1  28639  cvmlift2lem12  32554  opnregcld  33671  ntrrn  40462
  Copyright terms: Public domain W3C validator