Theorem ntropn 22952

Description: The interior of a subset of a topology's underlying set is open. (Contributed by NM, 11-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
clscld.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
ntropn	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → ((int‘𝐽)‘𝑆) ∈ 𝐽)

Proof of Theorem ntropn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clscld.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2	1	ntrval 22939	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → ((int‘𝐽)‘𝑆) = ∪ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆))
3		inss1 4190	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ⊆ 𝐽
4		uniopn 22800	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ⊆ 𝐽) → ∪ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ∈ 𝐽)
5	3, 4	mpan2 691	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ∪ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ∈ 𝐽)
6	5	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → ∪ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ∈ 𝐽)
7	2, 6	eqeltrd 2828	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → ((int‘𝐽)‘𝑆) ∈ 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∩ cin 3904   ⊆ wss 3905  𝒫 cpw 4553  ∪ cuni 4861  ‘cfv 6486  Topctop 22796  intcnt 22920

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-top 22797  df-ntr 22923

This theorem is referenced by:  ntrval2  22954  ntrss3  22963  ntrin  22964  cmclsopn  22965  cmntrcld  22966  isopn3  22969  ntridm  22971  neiint  23007  topssnei  23027  maxlp  23050  restntr  23085  iscnp4  23166  cnntri  23174  cnprest  23192  llycmpkgen2  23453  xkococnlem  23562  flimopn  23878  fclsneii  23920  fcfnei  23938  subgntr  24010  iccntr  24726  rectbntr0  24737  bcthlem5  25244  bcth3  25247  limcflf  25798  perfdvf  25820  ubthlem1  30832  cvmlift2lem12  35286  opnregcld  36303  ntrrn  44095  toplatglb  48986