MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ntropn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ntropn 23057
Description: The interior of a subset of a topology's underlying set is open. (Contributed by NM, 11-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Nov-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
clscld.1 𝑋 = 𝐽
Assertion
Ref Expression
ntropn ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → ((int‘𝐽)‘𝑆) ∈ 𝐽)

Proof of Theorem ntropn
StepHypRef Expression
1 clscld.1 . . 3 𝑋 = 𝐽
21ntrval 23044 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → ((int‘𝐽)‘𝑆) = (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆))
3 inss1 4237 . . . 4 (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ⊆ 𝐽
4 uniopn 22903 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ⊆ 𝐽) → (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ∈ 𝐽)
53, 4mpan2 691 . . 3 (𝐽 ∈ Top → (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ∈ 𝐽)
65adantr 480 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ∈ 𝐽)
72, 6eqeltrd 2841 1 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → ((int‘𝐽)‘𝑆) ∈ 𝐽)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  cin 3950  wss 3951  𝒫 cpw 4600   cuni 4907  cfv 6561  Topctop 22899  intcnt 23025
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-top 22900  df-ntr 23028
This theorem is referenced by:  ntrval2  23059  ntrss3  23068  ntrin  23069  cmclsopn  23070  cmntrcld  23071  isopn3  23074  ntridm  23076  neiint  23112  topssnei  23132  maxlp  23155  restntr  23190  iscnp4  23271  cnntri  23279  cnprest  23297  llycmpkgen2  23558  xkococnlem  23667  flimopn  23983  fclsneii  24025  fcfnei  24043  subgntr  24115  iccntr  24843  rectbntr0  24854  bcthlem5  25362  bcth3  25365  limcflf  25916  perfdvf  25938  ubthlem1  30889  cvmlift2lem12  35319  opnregcld  36331  ntrrn  44135  toplatglb  48890
  Copyright terms: Public domain W3C validator