Theorem ntropn 22144

Description: The interior of a subset of a topology's underlying set is open. (Contributed by NM, 11-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
clscld.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
ntropn	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → ((int‘𝐽)‘𝑆) ∈ 𝐽)

Proof of Theorem ntropn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clscld.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2	1	ntrval 22131	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → ((int‘𝐽)‘𝑆) = ∪ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆))
3		inss1 4164	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ⊆ 𝐽
4		uniopn 21990	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ⊆ 𝐽) → ∪ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ∈ 𝐽)
5	3, 4	mpan2 687	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ∪ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ∈ 𝐽)
6	5	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → ∪ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ∈ 𝐽)
7	2, 6	eqeltrd 2837	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → ((int‘𝐽)‘𝑆) ∈ 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ∩ cin 3887   ⊆ wss 3888  𝒫 cpw 4535  ∪ cuni 4841  ‘cfv 6423  Topctop 21986  intcnt 22112

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5210  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7571

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3067  df-rex 3068  df-reu 3069  df-rab 3071  df-v 3429  df-sbc 3717  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-nul 4259  df-if 4462  df-pw 4537  df-sn 4564  df-pr 4566  df-op 4570  df-uni 4842  df-iun 4928  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-id 5485  df-xp 5591  df-rel 5592  df-cnv 5593  df-co 5594  df-dm 5595  df-rn 5596  df-res 5597  df-ima 5598  df-iota 6381  df-fun 6425  df-fn 6426  df-f 6427  df-f1 6428  df-fo 6429  df-f1o 6430  df-fv 6431  df-top 21987  df-ntr 22115

This theorem is referenced by:  ntrval2  22146  ntrss3  22155  ntrin  22156  cmclsopn  22157  cmntrcld  22158  isopn3  22161  ntridm  22163  neiint  22199  topssnei  22219  maxlp  22242  restntr  22277  iscnp4  22358  cnntri  22366  cnprest  22384  llycmpkgen2  22645  xkococnlem  22754  flimopn  23070  fclsneii  23112  fcfnei  23130  subgntr  23202  iccntr  23928  rectbntr0  23939  bcthlem5  24435  bcth3  24438  limcflf  24988  perfdvf  25010  ubthlem1  29173  cvmlift2lem12  33218  opnregcld  34488  ntrrn  41663  toplatglb  46217